A FORGALMI ÁRAM FLUKTUÁCIÓJÁNAK HATÁSA AZ ÚT-TELJESÍTMÉNY GÖRBÉRE

Átírás

1 Gradus Vol 4, No 2 (27) ISSN A FORGALMI ÁRAM FLUKTUÁCIÓJÁNAK HATÁSA AZ ÚT-TELJESÍTMÉNY GÖRBÉRE Kovács Tamás *, Alvarez Gil Rafael Informaika Tanszék, GAMF Műszaki és Informaikai Kar, Neumann János Egyeem, Magyarország Kulcsszavak: forgalmi áram idősor ú-eljesímény görbe Keywords: raffic flow ime series link performance funcion Cikköréne: Beérkeze: 27. szepember 25 Ádolgozva: 27. okóber 3. Elfogadva: 27. okóber 27. Összefoglalás Ez a munka az vizsgálja, hogy a közlekedési forgalmi árameloszlások számíásánál alapveő fonosságú ú-eljesímény függvény alakjára milyen haással van az úra befolyó forgalmi áram időbeli flukuációja. A szükséges maemaikai összefüggések ismereése uán egy periodikus, fűrészfog alakú forgalmi áram-függvény segíségével demonsráljuk az ampliúdó és a periódushossz haásá az ú-eljesímény görbe alakjára. Az az eredmény kapuk, hogy az ú-eljesímény görbe monoon-emelkedő arományának szélessége az áramfüggvény ampliúdójával, míg a legmagasabb éréke az ampliúdó és a periódus-idő szorzaával arányos. Absrac This work invesigaes he effec of he raffic flow funcion s flucuaions on he link performance funcion. Afer deriving he employed mahemaical relaionships, he effec a hand is demonsraed wih he help of a simple periodic saw-ooh shaped flow funcion. I is obained ha he widh of he increasing domain in he link performance curve is deermined by he ampliude of he saw-ooh flow, and he maximum value is deermined by he produc of he ampliude and he period lengh.. Bevezeés A közlekedési forgalom elemzésének a célja olyan modell lérehozása, amely leheővé eszi a forgalomban részvevő járművek számára, hogy a leheő legrövidebb időn belül elérjék a céljuka. A probléma megoldásának ké megközelíése, a felhasználói egyensúly ( User Equilibrium ) és a rendszer opimum ( Sysem Opimum ) meghaározása, a Wardrop első és második elvének [] megfelelően. A felhasználói egyensúly az egyes közlekedő szereplők önálló dönései alapján alakul ki, amelynek célja, hogy minimalizálják a sajá úon ölö idejüke. A rendszer opimum a közlekedési rendszernek az az állapoa, amelyben az összes részvevő jármű meneidejének az összege minimális. A közlekedési hálóza modellezésének, valamin a rendszer opimum és a felhasználói egyensúly meghaározásának lényeges kiindulási ponja az ú-eljesímény függvény ( link perfomance funcion ) [2], amely leírja az álagos ú-idő (az ú megéeléhez szükséges idő) függésé az úon folyó forgalmi áram mérékéől. Ké modell emelheő ki: a Beckmann modell [3] és a Neserov & de Palma modell [4]. A Beckmann modellben az ú-eljesímény görbé egy a forgalomól függő, konvex, folyonos, nem csökkenő függvény írja le. A Neserov & de Palma modellben az ú-idő éréke az ú kapaciása (maximális forgalmi áram) ala állandó és megegyezik a szabad ú-idővel, azaz azzal az idővel, amely az ú megéeléhez szükséges, nulla forgalmi áram melle. * Kapcsolaaró szerző. Tel.: cím: kovacs.amas@gamf.uni-neumann.hu 46

2 Kovács Tamás, Alvarez Gil Rafael Az. ábrán négy különböző maemaikai modellnek megfelelő ú-eljesímény függvény láhaó. A BPR, BPR 2 és BPR 3 [5] függvények a Beckmann modellnek felelnek meg, amely megengedi az ú kapaciásának a úllépésé, ellenében a Neserov & de Palma modellel (vasag fekee vonal). Ha az ú végén forgalomirányíó lámpa van, akkor feléelezheő, hogy az ú kapaciása megegyezik a forgalmi lámpa áeresző kapaciásával, ennél nagyobb ámenő forgalom nem leheséges. Ebből a szemponból a Neserov & de Palma modell lászik reálisabbnak. Másrész ennek a modellnek nem realiszikus eleme az, hogy konsansnak veszi a kapaciás érék alai függvény-rész.. ábra. A gyakorlaban alkalmazo ú-eljesímény grafikonok Az ú-eljesímény függvények anulmányozása fonos felada. Chudak, Dos Sanos és Neserov öbb különböző méreű közlekedési hálózaban megmuaák [6], hogy különböző úeljesímény függvények alkalmazása a felhasználói egyensúly vagy a rendszer opimum kiszámíásához, különböző eredményekhez vezehe. A szakirodalomban öbb különböző modell alkalmazak már a késleleési idők meghaározására forgalomirányíó lámpán végződő uakon. Ide vonakozó példa Webser szochaszikus modellje [7], és a mikroszimulációval örénő számíás alkalmazásai [8,9,]. A jelen munka célja, hogy a kereszmeszei forgalmi áram flukuációjának haásá az úeljesímény függvényre bemuassa, iszán maemaikai eszközökkel, egy viszonylag egyszerű és periodikus áram-idő függvény használva kiinduláskén. 2. A flukuáció haásának maemaikai megfogalmazása Egy ado i pillanaban mér kereszmeszei forgalmi áram (amely definíció szerin Q( i)=( i- i- idő ala áhalad jármű-egység)/( i- i-) ) szochaszikus mennyiség, így kisebb nagyobb flukuációval rendelkezik a használ idő-skáláól függően. Példakén a 2. ábra bemua egy ilyen mér idősor. Láhaó, hogy ennél a mérésnél (5 perces mérési inervallumoka használva) a flukuáció ampliúdója körülbelül az álagérék 5%-a. A relaív szórás ennél nyilván kisebb, de nagyságrendben hasonló. A bemuao példa csupán illuszráció, a jelen munka nem űzi ki célkén a flukuáció (vagy a relaív szórás) mérékének részlees elemzésé. 462

3 forgalmi áram (jármű/5min) A forgalmi áram flukuációjának haása az ú-eljesímény görbére idő (min) 2. ábra. Példa a kereszmeszei forgalmi áram flukuációjára. Budapes Üllői ú klinikák irányába, reggel 9 óra. (Forrás: sajá mérés) Min láuk, a közlekedési-lámpás kereszeződésben végződő ú-eljesímény görbéjé alapveően a lámpa áereszési kapaciása haározza meg (Q l). Ez az a maximális Q kereszmeszei forgalmi áram a lámpánál, ami a lámpa leheővé esz. Ha meg akarjuk haározni a eljesíménygörbé, akkor a lámpánál való várakozási idő álag-éréké kell kiszámíanunk különböző forgalmi áram erhelési érékek eseén. Egy ado pillanaban az úon felhalmozódo sor hosszá (N()) úgy definiáljuk, hogy az legyen azon auók száma, amelyek a nulla sebességgel várakoznak a lámpánál abban a pillanaban, amikor a lámpa zöldre vál. Ez a mennyiség ehá lámpa-ciklusonkén csak egyszer mérheő, a öbbi időpillanaban a mér érékek inerpolációjá ekinjük N() érékének. Abban az eseben, amikor a Q() forgalom éréke arósan a Q l lámpa-kapaciás ala van, a lámpánál való álagos várakozási idő a T c lámpa-ciklusidő és a T R piros-jelzés idő-függvénye, és a kövekezőképpen számíhaó: T = T c W() d = T c T c T R (T R ) d = T R 2 2T c () ahol W() a időponban a lámpához érkező jármű várakozási ideje (Ez a függvény lineárisan csökken a [, T R] inervallumon és a [T R, T c] inervallumon). Ilyenkor a zöld-idő ala az összes felhalmozódo sor áju a lámpán. Abban az eseben viszon, amikor a forgalmi áram nagyobb a lámpa-kapaciásnál egy ado [, ] időinervallumban (melyre - >> T c), olyan sor alakul ki, amely nem képes egy zöld-idő ala áhaladni. Ez a öbble-sor a kövekező inegrállal számíhaó ki: N = (Q() Q l )d (2) Nézzük mos az az álalánosabb esee, amikor a [, ] időinervallumban a Q() éréke kisebb is vagy nagyobb is lehe a kriikus Q l éréknél. Ekkor a feni (2) formula nem használhaó, mivel azokon az inegrálási arományokon, ahol Q() Q l <, a felhalmozódo öbble-sor elvileg csökken, de csak abban az eseben, ha vol felhalmozódo sor, azaz az eddigi inegrál-érék poziív vol. Amennyiben az inegrál éréke nullára csökken, a (Q() Q l) függvény -val kell helyeesíenünk, mivel negaív sor érelmelen. Mindez figyelembe véve a időpillanaig felhalmozódo öbble-sor: N() = (Q(τ) Q l ) θ(n(τ)) dτ ahol a ϴ (x) a lépcső-függvény jelöli, azaz éréke negaív arományon, egyébkén. (3) 463

4 Kovács Tamás, Alvarez Gil Rafael Ha feléelezzük, hogy a Q() függvény periodikus p periódus-idővel és van olyan z < p időpon melyre z (Q(τ) Q l )dτ = (Q(τ) Q l )dτ (Q(τ) Q l )dτ [, z ] [ z, p ] akkor a (3) egyenle a kövekezőképpen egyszerűsödik: N() = { (Q(τ) Q l) dτ, [, z ], [ z, p ] Ha meghaározuk az N() függvény, akkor ez alapján a eljes várakozási idő időálaga: T = T + N() d Q l (4) (5) (6) 3. Modellszámíás fűrészfog alakú áram-függvénnyel Ahhoz, hogy képe alkohassunk a flukuáció haásáról, éelezzünk fel egyszerű, fűrészfog alakú Q() függvényeke, amelyek segíségével meghaározhajuk az ú-eljesímény görbé. Legyen ehá az áram-függvény a kövekező alakú: Q() = Q + A ( 2 p ), Q( + p) = Q() [, p] ahol a Q, A és p paraméerek szabadon válaszhaóak a Q() feléel melle. A Q paraméer adja meg a függvény álag-éréké, az A paraméer a fűrészfog ampliúdója, a p paraméer a periódus (lásd a 3. ábrá). Q (7) A Q p 3. ábra. A modell-számíáshoz használ fűrészfog alakú Q() függvény A Q > Q l eseben a kialakul sor idővel végelenbe ar, a Q < Q l A eseben pedig a kialakul N öbblesor. Tehá számunkra csak a Q l A < Q < Q l ese az érdekes. Ahhoz, hogy az (5) megoldás használhassuk, meg kell haároznunk a z éréke, ami i nyilván léezik. Ehhez az 464

5 A forgalmi áram flukuációjának haása az ú-eljesímény görbére z (Q Q l + A ( 2τ p )) dτ =, egyenlee kell megoldani, ami az inegrálás elvégezve és a nem nulla z megoldás kifejezve: Az (5) képlee felhasználva N(): (Q Q l + A) z A p z 2 = z = (Q Q l + A)p A (8) (9) N() = { (Q Q l + A) A p 2 [, z ] A (6) képle alapján a várakozási idő pedig: T = T + z ((Q pq Q l + A) A l p 2 ) d = T + = T + Q l ( (Q Q l + A) 3 p 2A 2, [ z, p ] ( (Q Q l + A) 2 pq l 2 z A 3p z 3 ) = (Q Q l + A) 3 p 3A 2 ) = T + (Q Q l + A) 3 p 6Q l A 2 () () 4. Eredmények és konklúzió A () kifejezés a legmagasabb fokszámo ekinve Ap-ben elsőfokú, ehá az ampliúdó és a periódus növekedésével legmagasabb fokban lineárisan nő a maximális várakozási idő. Emelle ne feledjük, hogy a öbble sor kialakulásának és egyben az ú-eljesímény görbe monoon növekedésének feléele, hogy Q l A < Q. Azaz az ú-eljesímény görbe növekedő szakaszának szélessége az A ampliúdóval egyezik meg. (Ha más haással nem számolunk.) 2 A = 2s, p = 6s A = 4s, p = s Ú-idő (s) Álagos forgalmi áram (jármű/óra) 4. ábra. Az ú-eljesímény görbe a fűrészfog alakú áram függvény melle. A paraméerek az ábrán láhaók. 465

6 Kovács Tamás, Alvarez Gil Rafael Ha meg akarjuk kapni az ú-eljesímény görbé ennél a modellnél, akkor ábrázolnunk kell a T várakozási idő a Q függvényekén, mivel ez az álagos áram-erhelés. A 4. ábra muaja a kapo eredmény (A = 2s, p = 6s) illeve (A = 4s, p = s) paraméer párosíásokkal. Az előbbi paraméer-pár melle a görbe csak kissé ér el a Neserov & de Palma álal javasol modellől, a második paraméerválaszás melle azonban már inkább a Beckmann féle modell érvényes a görbére. Feléelezheő, hogy szochaszikus jellegű, azaz nem szabályos, nem periodikus áramfüggvények eseén a flukuáció álagos ampliúdója és periódus-hossza hasonló haással lesz az úeljesímény görbére. Tehá megállapíhaó, hogy a flukuáció ampliúdójának (vagy más megközelíésben relaív szórásának) és a periódus hosszának méréke alapveően befolyásolhaja az ú-ellenállás görbe jellegé. Köszönenyilváníás Köszöneel arozunk a kuaás ámogaásáér, amely az EFOP A kuaási poenciál fejleszése és bővíése a Neumann János Egyeemen pályáza kereében valósul meg. A projek a Magyar Állam és az Európai Unió ámogaásával, az Európai Szociális Alap ársfinanszírozásával, a Széchenyi 22 program kereében valósul meg. Irodalomjegyzék [] J. G. Wardrop: Some heoreical aspecs of road raffic research. Proceedings of he Insiuion of Civil Engineers, Par II, (36): , 952. [2] Y, Sheffi: Urban Transporaion Neworks: Equilibrium Analysis wih Mahemaical Programing Mehods. PreniceHall, Englewood Cliffs, New Jersey, 985. [3] M. Beckmann, C.B. McGuire, and C. B. Winsen. Sudies in he economics of ransporaion. CT: Yale Universiy Press, 956. [4] Y. Neserov, A. de Palma: Opimizaion formulaions and saic equilibrium in congesed ransporaion neworks, Technical repor, CORE, 998. [5] Bureau of Public Road. Traffic assignmen manual, U.S. Deparmen of Commerce, Urban Planning Division, Washingon, DC., 964. [6] F. A. Chudak, V. Dos Sanos Eleuerio, Y. Neserov: Saic Traffic Assignmen Problem. A comparison beween Beckmann (956) and Neserov & de Palma (998) models, 7h Swiss Transpor Research Conference, STRC, 27. [7] F. V. Webser: Traffic signal seings. Road Research Technical Paper No. 39, Road Research Laboraory, Her Majesy Saionary Office, London, UK, 958. [8] F. Dion, F., H. Rakha, Y. Kang: Comparison of delay esimaes a under-sauraed and oversauraed pre-imed signalized inersecions. Elsevier, Transporaion Research Par B 38, 99 22, 24. [9] T. Kovács, K. Bolla, R. Alvarez Gil, R., E. Csizmás, Cs. Fábián, L. Kovács, K. Medgyes, J. Oszényi, A.Végh: Parameers of he Inelligen Driver Model in signalized inersecions. Technical Gazee Vol. 23, No. 5, , 26. [] R. P. Alvarez Gil., T. Kovács: Közlekedési lámpa opimalizálása IDM alapú szimuláorral. Innováció és fennarhaó felszíni közlekedés IFFK 26, pp ,