B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1
Tartalom
Függvény szélsőértékei Lokális szélsőértékek Lokális szélsőérték és derivált Abszolút szélsőértékek Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel L Hôpital-szabály Függvények nagyságrendje Taylor-polinom 2
Függvény szélsőértékei
Függvény szélsőértékei Lokális szélsőértékek
Lokális szélsőértékek D Definíció Az f függvénynek a D(f) valamely c belső pontjában lokális maximuma (lokális minimuma) van,ha van olyan c-t tartalmazó nyílt I D(f) intervallum, melynek minden x elemére f(x) f(c) (f(x) f(c)) y x 3
Függvény szélsőértékei Lokális szélsőérték és derivált
T Tétel Ha f-nek c-ben lokális szélsőértéke van, és f diffható c-ben = f (c) = 0. B Tegyük fel, hogy f-nek lokális maximuma van c-ben. Ekkor f f(x) f(c) (c) = lim x c+ x c f (c) = lim x c f(x) f(c) x c 0, 0. D = f (c) csak 0 lehet. Minimumhelyre a bizonyítás ugyanígy működik. Definíció A c D(f) pont az f függvény kritikus pontja ha f nem létezik c-ben vagy ha létezik és f (c) = 0. 4
Függvény szélsőértékei Abszolút szélsőértékek
Abszolút szélsőértékek D Definíció Az f függvénynek a c I D(f) pontban abszolút (globális) maximuma (abszolút minimuma) van az I intervallumra nézve, ha minden x I esetén f(x) f(c) (f(x) f(c)) - A Weierstrass-tétel értelmében, ha f folytonos az [a, b] (korlátos és zárt) intervallumon, akkor van minimuma és maximuma. - Következésképpen a folytonos f-nek abszolút szélsőértéke a kritikus pontokban vagy az intervallum a, b végpontjaiban lehet, és ezek közül a legnagyobb fv.-értékűben van a maximuma, a legkisebb fv.értékűben a minimuma. 5
y lok.max. absz.max. lok.max. nincs nincs lok.max lok.min. absz.min. lok.min. lok.min. kritikus pont: f nem differenciálható kritikus pont: f deriváltja 0 intervallum végpontja abszolút (globális) szélsőérték lok.min. f x 6
P Határozzuk meg az f(x) = x 2 /3 + 2 x függvény abszolút 3 szélsőértékhelyeit a [ 2, 1] intervallumon! M f (x) = 2 3 x 1/3 + 2 ez nincs értelmezve az x = 0 helyen 3 f (x) = 0 x = 1 A kritikus pontok x = 1, x = 0, a végpontok x = 2, x = 1: y x 2 1 0 1 f(x) 3 4 4 1 5 3 3 0 3 0.254 MIN MAX x 2 1 1 7
Középértéktételek
Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel
Középértéktételek T Rolle-tétel Ha f folytonos [a, b]-n, diffható (a, b)-n és f(a) = f(b), akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = 0. B f folytonos [a, b]-n, ezért van abszolút maximuma és minimuma. Mivel f diffható (a, b)-n, ezért ezeket értékként - vagy a végpontokban - vagy olyan c belső pontban veszi fel, ahol f (c) = 0. Ha f a minimum és a maximum legalább egyikét (a, b)-ben veszi fel, akkor ott f (c) = 0. Ha a maximumot és a minimumot is a végpontokban veszi fel, akkor f(a) = f(b) miatt a függvény konstans, így mindenütt 0 a derivált. 8
y f(a) = f(b) a c b x P Igazoljuk, hogy az f(x) = x 5 + 4x 3 + 3x + 1 függvénynek pontosan 1 valós gyöke van! M f (x) = 5x 4 + 12x 2 + 3 > 0 x R f minden valós helyen differenciálható (és így folytonos is). Ha volna f-nek két zérushelye, akkor a Rolle-tétel értelmében köztük valahol 0 lenne a derivált. Legfeljebb egy zérushelye lehet. Ugyanakkor f folytonos és f( 1) = 7, f(1) = 9, tehát a Bolzano-tétel szerint a ( 1, 1) intervallumon f-nek van zérushelye. 9
Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel
T Lagrange-tétel Ha f folytonos [a, b]-n és diffható (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), amelyre f (c) = f(b) f(a) b a. B Legyen g az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokra fektetett szelőegyenes: g(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a) b a Alkalmazzuk a h(x) = f(x) g(x) függvényre a Rolle-tételt: - h(a) = h(b) = 0, - h (x) = ( f(x) f(a) ) f(b) f(a) (x a) = f f(b) f(a) (x) b a b a c (a, b), ahol h (c) = 0 h (c) = f (c) f(b) f(a) b a = 0 10
y f(b) g f f(a) a c h = f g x b 11
T Következmény Ha minden x (a, b) pontban f (x) = 0, akkor f konstans az (a, b) intervallumon (valamely C számra f(x) = C). B Kontrapozícióval bizonyítunk: ha f nem konstans, akkor nem lehet a deriváltja mindenütt 0. Ha f nem konstans, van olyan p, q (a, b), hogy f(p) f(q). Ezekre alkalmazva a Lagrange-tételt, kapunk egy olyan c (p, q) értéket, hogy f (c) = f(p) f(q) p q 0, tehát ezen a c (p, q) (a, b) helyen f (c) 0. 12
T Következmény Ha f (x) = g (x) az (a, b) intervallumon, akkor van olyan C szám, hogy az (a, b) intervallumon f(x) = g(x) + C, azaz f g konstans. B A h(x) = f(x) g(x) függvény deriváltja h (x) = f (x) g (x) = 0, így h(x) = C, azaz f(x) = g(x) + C. P Melyik az a függvény, amelyiknek cos x a deriváltja? M Minden sin x + C alakú függvény, ahol C tetszőleges konstans. 13
Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel
T B Cauchy-féle középértéktétel Ha f és g folytonosak [a, b]-n, diffhatóak (a, b)-n és g -nek nincs zérushelye (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a). g(a) g(b), mert egyébként a Rolle-tétel szerint létezne olyan c (a, b), hogy g (c) = 0, de ezt a feltételek közt kizártuk. f(b) f(a) h(x) = f(x) f(a) (g(x) g(a)) g(b) g(a) h folytonos és diffható, h(a) = h(b) = 0, h (x) = f f(b) f(a) (x) g(b) g(a) g (x) Alkalmazzuk a h függvényre a Rolle-tételt c (a, b), ahol h (c) = 0 f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a). 14
Legyen (g(t), f(t)) egy görbe paraméteres alakja. Deriváltja a t = c helyen: f (c) g. A görbe t = a és t = b paraméterű pontjai (c) (g(a), f(a)) és (g(b), f(b)). A köztük haladó húr iránytangense f(b) f(a) g(b) g(a). A Cauchy-tétel szerint a görbének van ezzel párhuzamos érintője: (g(a), f(a)) iránytangens: f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a) (g(c), f(c)) (g(b), f(b)) 15
L Hôpital-szabály
M Ha az f és g függvény határértékét ismerjük egy c helyen, nem mindig tudjuk meghatározni pl. az f ± g, fg, f g, határértékeket. 0 M Határozatlan alakok: 0,, 0,, 1, 0 0, 0 0 0 : lim x x 2 ax x 2 x 2 1 = 1, lim = 0, lim = a, lim =, lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x4 x 1 x 1 = 2, : lim x x 2 x = 1, lim =, lim x x x x x x 2 = 0, 1 0 : lim x x : 1 : lim x 0 (1 + x) 1 x 3x = 3, lim x 0 1 sin x = 1, x lim x 2 x =, lim x + 1 x = 0, x x = e, lim x (1 + k x )x = e k, 0 0 : lim x 0 + x0 = 1, lim x 0 + 0x = 0, 0 : lim x x 1 x = 1, lim x 1 ln x = e, x 16
T L Hôpital-szabály (első alak) Ha f(a) = g(a) = 0, létezik f (a) és g (a) és g (a) 0, akkor lim a f g = f (a) g (a) B P P lim x 0 f (a) g (a) = lim x a f(x) f(a) x a g(x) g(a) lim x a x a = lim x a = lim x a f(x) f(a) g(x) g(a) = lim x a 1 x + 4 2 = x = cos x 1 = 1. 0 sin x lim x 0 x 2 x+4 1 = 1 4. 0 f(x) f(a) x a g(x) g(a) x a f(x) 0 g(x) 0 = lim x a f(x) g(x) 17
Geometriai szemléltetés Legyen (g(x), f(x)) egy görbe paraméteres alakja, mely áthalad az origón. Legyen az origó az a paraméterhez tartozó pont, azaz f(a) = g(a) = 0. E pontban az érintő iránytangense egyrészt f (a), másrészt a szelők határhelyzete, azaz lim x a g (a) f(x) f(a) g(x) g(a) = lim x a f(x) g(x). iránytangens: f (a) g (a) = lim f(x) x a g(x) (g(a), f(a)) = (0, 0) 18
T L Hôpital-szabály (L Hospital) Legyen f és g két olyan valós függvény, diffhatók egy nyílt I int.-on, kivéve esetleg egy a pontját, g (x) 0, ha x a és x I, lim a f = lim a g = 0 vagy lim a f = lim a g =. létezik az L = lim a f Ekkor g határérték. lim a f g = L, ahol a és L lehet, vagy tetszőleges valós. A tétel féloldali határértékekre is igaz. M Azaz lim a f g = lim a f g,feltéve, hogy a jobb oldali határérték létezik! )! 19 M Ez itt nem a hányados deriváltja, azaz f g ( f g
B Az x a +, f(a) = g(a) = 0 esetet igazoljuk. Alkalmazzuk a Cauchy-féle középértéktételt az [a, x] intervallumra: létezik olyan c (a, x), hogy Mivel f(a) = g(a) = 0, ezért f (c) f(x) f(a) g = (c) g(x) g(a) f (c) g (c) = f(x) g(x). Ha x a +, akkor c a + is fönnáll: lim x a + f(x) g(x) = lim c a + f (c) g (c) = lim x a + f (x) g (x). 20
Példák y 1 x 1 P lim x 1 1 x y 1 x 1 M lim x 1 P lim x 1 ( 1 x x x 1 1 ln x x ln x x + 1 = lim x 1 (x 1) ln x ln x L H = lim x 1 L H = lim x 1 = 1 2, y 1 x ln y = lim = ln y. x 1 ) 1 = lim x 1 1 + ln x 1 x 1 + ln x 1 + 1 + ln x = lim x 1 x ln x x + x ln x 1 1 + ln x 2 + ln x 21
c x 1 P lim x 0 x c x ln c M = lim x 0 1 = ln c. 2 sin x sin 2x P lim x 0 x sin x 2 cos x 2 cos 2x M = lim x 0 1 cos x = lim x 0 2 sin x + 4 sin 2x sin x = lim x 0 2 cos x + 8 cos 2x cos x = 2 + 8 1 = 6. 22
P P P x 2 x + 3 lim x lim x 1 L H( ) e 2x ln x lim x ln x = lim x 0 + x 0 + 1/x ( x x 1 1 ) ln x = lim x 1 ln x ln x + 1 1 x 2x 1 = lim L H( ) 2 x 2e 2x = lim x 4e 2x = 0 L H( = ) 1/x lim x 0 + 1/x 2 = lim x = 0 x 0 + x ln x x + 1 = lim x 1 (x 1) ln x L H( 0 0 ) = lim x 1 1 x 1 x + 1 = 1 2 x 2 L H( 0 0 ) = lim ln x + 1 1 x 1 ln x + x 1 x 23
P lim x 0 (1 + x) 1 x A kitevőben: = lim x 0 (e ln(1+x) ) 1 x ln(1 + x) lim x 0 x Tehát: lim x 0 (1 + x) 1 x = e. = lim e 1 x ln(1+x) = e lim x 0 x 0 L H( 0 0 = ) 1 lim x 0 1 + x = 1 ( P Más változatban: lim 1 + k ) x = e k (k R) x x k = 0 esetén lim 1 x = 1 = e 0, egyébként x 0 ( lim 1 + k ) x ( ( = lim 1 + k ) x ) k k = lim x x x x k x 0 ( ( 1 + k x 1 x ln(1+x) ) x ) k k = e k 24
Amire figyelni kell a l Hospital-szabály alkalmazásánál 1 Csak határozatlan alakokra használható ( 0 0, )! sin x (sin x) cos x P lim = 0, miközben lim x 0 1 + x x 0 (1 + x) = lim = 1 x 0 1 f (x) 2 Fontos, hogy létezzen a lim x a g (x) határérték! P x + sin(x) lim x x létezik. 1 + cos x = 1, miközben a lim határérték nem x 1 25
L Hôpital-szabály Függvények nagyságrendje
Függvények nagyságrendje D Definíció Ha f és g olyan függvények, melyekre lim f(x) = lim g(x) =, akkor f kisebb nagyságrendű mint x x f(x) g (f g), ha lim x g(x) = 0. P P log hatvány (polinom), ugyanis, ha k > 0, akkor ln x L H( lim ) 1/x 1 x x k = lim = lim x kxk 1 x k x k = 0 hatvány (polinom) exp, ugyanis ha n > 0 egész, akkor x n lim L H( ) nx n 1 x e x = lim ) n(n 1)x n 2 = lim L H( ) x x e x = L H( = ) n!x lim x L H( e x L H( ) n! e x = lim x e x = 0 26
Taylor-polinom
Taylor-polinom Szeretnénk egy (esetleg nehezen kiszámítható) függvényt kis fokú polinomokkal közelíteni egy pont közelében. y x 27
Taylor-polinom D Definíció Legyen f egy valós függvény, mely n-szer differenciálható a c pontban. Ekkor a T f,c,n (x) = n k=0 = f(c) + f (c)(x c) + f (c) 2! f (k) (c) (x c) k k! polinomot az f függvény c körüli n-edrendű Taylor-polinomjának nevezzük. (x c) 2 + + f(n) (c) (x c) n n! P f(x) = sin x c = 0 n = 3 sin 0 = 0 sin 0 = cos 0 = 1 sin 0 = sin 0 = 0 sin 0 = cos 0 = 1 T sin,0,3 (x) = x 1 6 x3 28
T Tétel Ha f egy valós függvény, amely n-szer differenciálható a c pontban, és T(x) := T f,c,n (x) az f függvény c körüli n-edfokú Taylor-polinomja, akkor T (k) (c) = f (k) (c) minden 0 k n-re. B A T(x) k-szoros deriválásánál a k-nál kisebb fokú tagok eltűnnek (minden deriválással eggyel csökken a polinom foka), a k-nál nagyobb fokú tagok k-adik deriváltja pedig (x c) többszöröse, tehát a c-beli helyettesítési értékük 0. Így ( f T (k) (k) ) (k) (c) (c) = (x c) k x=c = k! f (k) (c) k(k 1) 1 (x c) 0 x=c = f (k) (c). k! 29
y T f,1,2 (x) = 1 + ( 1)(x 1) + 2(x 1) 2 T f,1,0 (x) = 1 f(x) = 1 x T f,1,1 (x) = 1 + ( 1)(x 1) x 30
T Taylor-tétel Ha f egy valós függvény, mely n-szer differenciálható a c pontban, akkor létezik egy olyan h n (x) valós függvény, hogy f(x) = T f,c,n (x) + h n (x)(x c) n és lim x c h n (x) = 0. A fenti formulában a h n (x)(x c) n tagot az n-edrendű Taylor-polinom Peano-féle maradéktagjának nevezzük. 31
B Legyen T(x) := T f,c,n (x). Azt kell megmutatnunk, hogy lim h f(x) T(x) n(x) = lim x c x c (x c) n = 0 f(x) T(x) lim L 0 H( 0 ) f (x) T (x) x c (x c) n = lim L 0 H( 0 ) x c n(x c) n 1 = L H( 0 0 = ) f (n 1) (x) T (n 1) (x) lim, ahol azért alkalmazhattuk minden x c n!(x c) lépésben a l Hospital-szabályt, mert f (k) differenciálhatósága miatt f (k) folytonos is c-ben, és f (k) (c) = T (k) (c) minden k n 1-re, tehát mindegyik limesz 0 0 alakú. Az utolsó limesz (az 1 szorzó nélkül): n! ( ) f (n 1) (x) f (n 1) (c) + f (n) (c)(x c) lim = x c x c f (n 1) (x) f (n 1) (c) lim f (n) (c) = f (n) (c) f (n) (c) = 0. x c x c 32
Összefoglalás Lokális és abszolút szélsőértékek Lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Rolle-,Lagrange- és Cauchy-féle középértéktétel és következményeik L Hospital-szabály Függvények nagyságrendje Taylor-polinom és Taylor-tétel 33