Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a megoldás: 2 2 2 = 2 b három 1-es és hét 2-es va; Ez ugyaaz, mit a három 1-es és hét 2 sorbarakásai, erre a tault képlet! 3!7! c három 1-es va; Először eldötjük, hol legye a három 1-es Ehhez a dobás közül hármat kell kiválasztai: 3 lehetőség Ha ez eldőlt, akkor a többi dobásról dötük egyekét, ezek midegyikére 5 lehetőségük va Mivel ezek függetle dötések, a megoldás: 3 5 7 d három 1-es, két 3-as és öt 5-ös va;! Hasolóa a b feladathoz, ez is egy sorbaredezés, így a megoldás 3!2!5! e va 1-es; Az a megoldásához hasolóa látszik, hogy összese 6 sorozat va Hasolóa látható, hogy azo sorozatok száma, melyekbe ics 1-es, 5 A megoldás ezek külöbsége, azaz 6 5 f legfeljebb három 1-es va? Ezt csak esetszétválasztással lehet megoldai aszerit, hogy potosa háy 1-es va lehet ulla, egy, kettő vagy három Ezeket külö-külö a c megoldásához hasolóa lehet számoli, így a megoldás 5 5 9 2 5 8 3 5 7 2 Háy szelvéyre va szükség a TOTÓ-, hogy biztosa 13/13 találatot érjük el tehát 1 mérkőzés ics? Mide meccsről egymástól függetleül döthetük 3-féleképpe 1,2 vagy x, így a megoldás 3 3 3 = 3 13 3 Háyféleképpe tehetük fel egy sakktáblára 8 egyforma bástyát úgy, hogy semelyik kettő e üsse egymást? Mide sorba potosa egyet kell teük Az első sorba 8 helyre tehetük Ha ez megva már, akkor a második sorba már csak 7 olya hely lesz, ahol az első em üti a másodikat,, végül a 8 sorba már csak egyféleképpe tehetjük le a bástyát Ezek függetle dötések, így a megoldás 8 7 6 1 = 8! 4 Háy szelvéyre va szükség a LOTTÓ-, hogy biztosa 5 találatot érjük el? A 90 számak bármelyik 5-elemű részhalmaza lehet kihúzott számötös, így 90 5 szelvéyre va szükség 5 A 0, 1, 2, 3, 4, 5 jegyekből háy hatjegyű, 5-tel osztható számot képezhetük, ha mide jegy egyszer szerepel? És ha többször is szerepelhet? Akkor lesz egy szám 5-tel osztható, ha az utolsó jegye 0 vagy 5 A számolást megehezíti, hogy vigyázuk kell rá, hogy az első jegy em lehet 0 Ezt úgy a legegyszerűbb áthidali, hogy szétválasztuk két esetet aszerit, hogy 0-ra végződik-e a szám a Mide jegy csak egyszer szerepelhet Ha 0-ra végződik, akkor az első öt helyre valahogy sorba kell tei az 1, 2, 3, 4, 5 számokat, a lehetőségek száma 5! Ha em 0-ra
végződik, akkor 5-re kell végződie Ilyekor az első jegy 4 féle lehet 0 és 5 em, ha ezt eldötöttük, akkor a második megit 4 5 és az első helyre választott em, a harmadik helyre 3, a egyedikre 4, az ötödikre 1 lehetőségük va, így összese mivel függetle dötéseket hoztuk 4 4!-t kapuk A megoldás a kapott két szám összege, azaz 5! 4 4! b Többször is szerepelhet ugyaaz a jegy Itt em kell esetszétválasztás Az első jegyre 5, a második, harmadik, egyedik és ötödik jegyre 6, az utolsó jegyre két lehetőségük va, ezek függetleek, azaz a megoldás 5 6 4 2 6 Egy 30 fős osztály diákbizottságot választ: elök, titkár, sportfelelős, kultúros, gazdasági felelős Háyféle eredméy lehet, ha Pistiek mideképpe szeretéek tisztséget adi? Először Pistiek aduk tisztséget: 5 lehetőség, majd egyekét a maradék tisztségekre választuk embereket 29, 28, 27, 26 lehetőség Így a megoldás 5 29 28 27 26 7 Háy olya -betűs em feltétleül értelmes szó va, melybe 3 a, 5 b és 2 c szerepel és a két c ics egymás mellett? Az összes betűs szó a taultak alapjá! 3!5!2! Azo szavak száma, melyekbe egymás mellé kerül a két c úgy számolható, hogy összeragasztjuk a két c-t és egy betűek 9! fogjuk fel Így az ilye szavak száma 3!5!1! A megoldás a kapott két szám külöbsége, azaz! 3!5!2! 9! 3!5!1! 8 Egy trafikba féle képeslap kapható midegyikből korlátla meyiség Háyféleképpe küldhetük a egy barátukak 3 külöbözőt; A -féle lapból 3 külöbözőt kell választauk, így 3 lehetőség va b öt barátukak egyet-egyet; A barátokak küldött lapokról egymástól függetleül döthetük, így a megoldás 5 c öt barátukak 3 3 külöbözőt? Mide barátukál 3 -féleképpe döthetük a küldött lapokról Ezek a dötések függetleek, így a megoldás 5 3 9 Háy olya 6-jegyű szám va, melyek potosa háromféle jegye va, mid páratla, midegyikből 2-2? Először eldötjük, melyik három jegy szerepelje az 1, 3, 5, 7, 9 közül, ez 5 3 lehetőség Ha ez már megva, akkor a kapott háromszor két számot akárhogy sorba kell tei, ezek 6! száma 2!2!2! Tehát a megoldás 5 6! 3 2!2!2! Háy olya 5-jegyű szám va, melybe a 15 szerepel egymás utái jegykét? Ezt csak esetszétválasztással lehet aszerit, hogy hol va bee a 15, rádásul arra is figyeli kell, hogy lehet bee kétszer is a 15, ezt em szabad többször számoluk Ha 15-tel kezdődik, akkor utáa 3 jegyre lehetőségük va, így a megoldás 3 Ha 15 alakú a szám, akkor az első jegy 9 féle, az utolsó kettő féle lehet, így ezek száma 9 2 Ha 15 vagy 15 alakú, akkor az előző esethez hasolóa midkettőél 9 2 lehetőség va Ha ezeket a számokat összeadjuk, akkor kétszer számoljuk a 1515, 1515 és 1515 alakúakat, így ezek számát le kell voi Az első kettő féle, az utosó 9 féle lehet A megoldás tehát 3 3 9 2 2 9
11 Háyféleképpe ültethetük le 30 embert a egy kör alakú, 30 személyes asztalhoz; Ha meg leéek számozva a székek, akkor az első székre ülő emberről 30-féleképpe, majd a másodikra ülőről 29 féleképpe,, az utolsóra ülőről 1 féleképpe dötheték, azaz 30! lee a megoldás Mivel az asztal köralakú, ezért em kell két esetet külöbözőek vei, ha csak elforgatottjai egymásak Mide egyes ültetések saját magát is beleszámolva 30 elforgatottja va, eyiszer számol tehát a 30! egy-egy esetet Így a megoldás 30! 30 b 6 kör alakú, 5 személyes asztalhoz, melyek külöböző szíűek; Először eldötjük, kik üljeek az első asztal körül, erre 30 5 lehetőségük va Ha ez megva, akkor leültetjük ezt az 5 embert, erre az a-hoz hasolóa 5! 5 lehetőség va Ezutá dötük a második asztal embereiről, ez 25 5 lehetőség, majd ezeket ültetjük le, 5! 5 lehetőség, Így a megoldás 30 5! 25 5! 20 5! 15 5! 5! 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5! 5 5 c 6 egyforma, kör alakú, 5 személyes asztalhoz? A megoldás a b feladat megoldása osztva 6!-sal Ugyais a c egy esetéhez a b-ek ayi esete tartozik, aháyféleképpe kiszíezhetjük az asztalokat 6 szíel 12 Háy szigorúa mooto függvéy va az {1, 2,, } halmazból az {1, 2,, 0} halmazba? A szigorú mootoitás miatt, ha eldötjük, kik leszek a képhalmazba, már automatikus, hogy melyik függvéyről va szó Tehát a megoldás 0 13 Egy dobozba cédula va, melyekre redre az 1, 2,, számokat írták Kihúzuk egymás utá 5 cédulát úgy, hogy mide húzás utá a kihúzott cédulát visszatesszük Háy olya eset va, melybe az így kapott számötösbe a számok em csökkeő sorredbe következek? Ha eldötjük, hogy az egyes számok háyszor szerepelek a kihúzottak között pl 3 darab 2-es, 2 darab 7-es, akkor már automatikus, hogy melyik esetről va szó Tehát valójába ismétléses kombiációkat kell számoluk: 5 1 5 14 Háyféleképpe lehet jutalomköyvet 5 diákak kiosztai, ha midekiek legalább egyet akaruk adi és a a köyvek egyformák; Ez aalóg a pézosztással, így a megoldás 5 emberek forit: 9 4 b a köyvek külöbözők? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 15 Háy olya em feltétleül értelmes tizekét betűs szó készíthető az a, a, b, b, c, c, d, d, e, e, f, f betűkből, melybe szomszédos betűk em lehetek egyformák? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 16 Háy olya 0-jegyű szám va, melybe ics 0, de mide más számjegy szerepel legalább egyszer? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 17 Egy 52 lapos fracia kártya csomagot kiosztuk 4 játékosak
Legyeek a játékosok A, B, C és D úgy, hogy A ül szembe C-vel, B pedig D-vel a Háy leosztás va? Először dötük A lapjairól: 52 13 lehetőség Ha ez megva, akkor B lapjairól: 39 13 lehetőség A megoldás: 52 39 26 13 13 13 Más godolatmeettel ez is kijöhet: 52! 13!13!13!13!, a kettő ugyaayi b Háy olya leosztás va, melybe midekiek jut ász? A égy ászt 4! féleképpe oszthatjuk ki Ha ez megva, akkor az a-hoz hasolóa aduk még midekiek 12 lapot A megoldás 4! 48 36 24 12 12 12 c Háy olya leosztás va, melybe mide ász egy kézbe került? Eldőször eldötjük, kiek a kezébe kerüljeek az ászok, ez 4 lehetőség Ha ez megva, akkor kiosztjuk aak a lapját, akiél az ászok leszek: 48 9 lehetőség Utáa osztuk a korábbiak szerit a többiekek A megoldás tehát 4 48 39 26 9 13 13 d Háy olya leosztás va, melybe mide figura két egymással szembe ülő játékoshoz került? Eldötjük, melyik két egymással szembe ülőél legyeek az ászok: 2 lehetőség Aztá osztuk azokak, akikek em jut ász: 36 23 13 13 lehetőség Végül a maradék paklit ebbe most már bee vaak a figurák is kiosztjuk aak a két játékosak, akik mellett az első dötésél dötöttük: 26 13 lehetőség A megoldás: 2 36 23 26 13 13 13 e Háy olya leosztás va, melybe mide játékosak jut mide számból és figurából? Mide számból és figurából 4 va, így mideki mieből egyet kap A 2-eseket is, 3- okat is,, királyokat is, ászokat is 4!-féleképpe oszthatjuk ki, ezek egymástól függetleek, így a megoldás 4! 13 f Háy olya leosztás va, melybe mide játékosak jut legalább egy kőr? Csak szitával lehet, ezt még em taultuk 18 Bizoyítsuk be, hogy a Pascal háromszög bármely sorába a középső elemek a legagyobbak! Azt kell megézi, hogy mikor igaz, hogy k < k1 Beírva a faktoriálisos képletet, majd egyszerűsítve ez arra vezet, hogy k < 1 2 Ez pot azt jeleti, hogy a közepe előtt ő, utáa csökke mide sor Köye látható, hogy páratla eseté a két középső elem egyelő: = 1/2 ld következő feladat 1/2 19 Bizoyítsuk be az alábbi összefüggéseket! a k = k ; Akár a képletből, akár oa látható, hogy a k-elemű és k-elemű részhalmazok párba állíthatók: midekiek a komplemeter legye a párja b k k1 = 1 k1 A faktoriálisos képletet beírva és kicsit számolva kijö 20 Mutassuk meg, hogy 1 k = k1 1 Rajzoljuk le, mit jelet ez a Pascal háromszögbe! k-ra voatkozó idukció k = 1-re köyű elleőrizi Ha k-ig megva, akkor k 1-re: 1 k1 = 1 k k1 = k1 1 k1 = k2 1 21 Hozzuk zárt alakra a következő kifejezést: 0 1 1 1 2 2 1
Ez azt számolja, hogy háyféleképpe választhat egy tagú társaság akárháy de legalább 2 tagú bizottságot és azo belül elököt és titkárt esetszétválasztás a bizottság mérete szerit A megoldás más logikával számolva ugyaez: 12 2 22 Igazoljuk a következő összefüggéseket! a 0 2 4 = 2 1 ; Midkét oldal egy halmaz páros elemszámú részhalmazait számolja b m 0 k m 1 k 1 m k 0 = m k ; Midkét oldal a következő feladat megoldását adja: Háyféleképpe választhatuk férfi és m ő közül k embert? A jobb oldal ezt közvetleül számolja, hisze teljese midegy, ki férfi és ki ő A bal oldal esetszétválasztást csiál aszerit, hogy háy férfit és háy őt választuk c 2 0 2 1 2 = 2 ; Ez átlakítható így: 0 1 1 0 = 2 Ez viszot az előzőek speciális esete: férfi ő közül embert választuk d 0 1 1 2 2 4 2 = 3 A biomiális tételt felírva 1 2 -re pot ez jö ki 23 A koordiátaredszerbe adott 5 olya pot, melyek koordiátái egészek ezeket szokás rácspotokak hívi Mutassuk meg, hogy va köztük kettő, melyek által meghatározott szakasz felezőpotja is rácspot! Egy rácspot két koordiátája 4 féle lehet paritás szempotjából: ps,ps, ps,ptl, ptl,ps, ptl,ptl Skatulya elv szerit lesz két egyforma pot, jelölje ezeket a, b és c, d Ekkor a felezéspot is rácspot lesz, mert a paritások egyezése miatt ac 2 és bd 2 is egész 24 Melyik az a legkisebb k, melyre igaz a következő állítás: k égyzetszám között midig va kettő, melyek külöbsége osztható 8-cal? Egy égyzetszám 8-cal osztva háromféle maradékot adhat Így k = 3 még kevés: 1, 4 és 64 jó ellepélda k = 4 viszot már elég, hisze skatulya elv miatt égy szám közt va kető melyek osztási maradéka ugyaaz 25 Mutassuk meg, hogy F 0 F 1 F = F 2 1, ahol F jelöli az Fiboacci számot! 26 Tegyük fel, hogy lépcsőfokot akaruk megmászi úgy, hogy egyszerre egy vagy két fokot léphetük Háy lehetőségük va? 27 Oldjuk meg az alábbi rekurziókat: a a 1 = 3, a 2 = 8, 3-ra pedig a = 2a 1 2a 2 ; b a 1 = 1, a 2 = 3, 3-ra pedig a = a 1 25a 2! 28 Háy betűs szó készíthető az a, b és c betűkből, ha a két b em lehet egymás mellett; b b utá közvetleül em jöhet c? 29 Oldjuk meg az alábbi rekurziót: a 1 = 1, a 2 = 3, 3-ra pedig a = 2a 1 3a 2!
30 Adjuk meg olya rekurziót, melyek megoldása a = 5 2 3 5! 31 Háyféleképpe juthatuk el az origóból a 18, 6 potba, ha mide lépésbe jobbra fel vagy jobbra le ugorhatuk? És a 18, 9 potba? És a 6, 8 potba? 32 Háyféle sorredbe mehet be 14 fiú és 23 láy a tácterembe, ha mide pillaatba legalább ayi láyak kell bet leie, mit fiúak és a fiúk, illetve láyok egymás közti sorredje em számít? 33 Háy olya 2 1 hosszúságú 1/1 sorozat va, melybe bármely kezdőszelet összege pozitív azaz a 1 > 0, a 1 a 2 > 0,,a 1 a 2 a 21 > 0 és a számok összege 1? 34 Egy kerek asztal körül 2 ember ül Háyféleképpe alkothatak párt úgy, hogy az egy párba lévők kezet foghassaak aélkül, hogy egy másik kezet fogó pár keze alatt vagy felett kellee átyúliuk? 35 Egy barlagászcsapatba 23 férfi és 15 ő va Olya sorredbe szeretéek egy barlag bejáratá bemászi, hogy mide pillaatba legalább ayi férfi maradjo kit, mit ő Háyféleképpe tehetik ezt meg? 36* Száz ember fejére egy-egy fekete vagy fehér sapkát aduk Semmilye jelzést em adhatak egymásak, de mideki körülézhet, tehát a sajátjá kívül midekiről tudja, hogy milye szíű sapka va a fejé Ezek utá sípszóra midekiek fel kell emelie a bal vagy jobb kezét El tudják-e éri, hogy pot a feketék emeljék fel a jobb kezüket és a fehérek a balt vagy esetleg fordítva, a fehérek a jobbat, a feketék a balt? Mielőtt a sapkát kapják, összebeszélhetek