Kett s trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága, Riemann szummálhatósága és integrálok Lebesgue szummálhatósága

Kett s trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága, Riemann szummálhatósága és integrálok Lebesgue szummálhatósága Doktori (PhD) értekezés Krizsán Lívia Témavezet : Dr. Móricz Ferenc az MTA doktora professzor emeritus Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Szeged 206

Köszönetnyilvánítás Köszönöm témavezet mnek, Dr. Móricz Ferenc Professzor Úrnak, hogy id t és fáradtságot nem sajnálva segítette munkámat, továbbá hogy hasznos tanácsaival, meglátásaival és útmutatásaival nagyban hozzájárult ezen értekezés eredményeinek megszületéséhez. Végezetül szeretném hálámat kifejezni a Bolyai Intézet minden oktatójának, aki egyetemi és doktori tanulmányaim során hozzájárult szakmai fejl désemhez.

Tartalomjegyzék Bevezetés. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága 3.. El zmények: Zygmund tételei egyszeres trigonometrikus sorok összegfüggvényének simaságáról........................ 3.2. Zygmund tételeinek általánosításai egyszeres trigonometrikus sorokra 6.3. Segédtételek és bizonyítások....................... 7 2. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága 3 2.. Zygmund tételeinek kiterjesztése kett s trigonometrikus sorokra... 3 2.2. Segédtételek és bizonyítások....................... 7 3. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága 24 3.. El zmények: Egyszeres trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága................................... 24 3.2. Kett s trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága....... 26 3.3. Segédtételek és bizonyítások....................... 28 4. Trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága 36 4.. El zmények: Trigonometrikus sorok Lebesgue szummálhatósága... 36 4.2. Egyszeres trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága... 39 4.3. Kett s trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága.... 40 4.4. Segédtételek és bizonyítások....................... 42 Irodalomjegyzék 48 i

Összefoglaló 50. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága... 50 2. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága... 52 3. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága........... 54 4. Trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága........ 56 Summary 58. Smoothness of the sum of single trigonometric series.......... 58 2. Smoothness of the sum of double trigonometric series......... 60 3. Riemann summability of trigonometric series.............. 62 4. Lebesgue summability of trigonometric integrals............ 63 ii

Bevezetés A trigonometrikus sorok jelent sége a XVIII. században kezdett igazán megmutatkozni, amikor is hosszas vizsgálódások után Daniel Bernoullinak sikerült a két végén rögzített rezg húr mozgását szinuszsorok segítségével leírnia. A 800-as évek elején Joseph Fourier szintén szinuszsorokkal modellezte az elszigetelt rúdban zajló h mérséklet változását, ezáltal még inkább hangsúlyozva a trigonometrikus sorok fontosságát. A kés bbiekben számos további alkalmazhatóságra derült fény, többek között az elektrotechnika, rezgésvizsgálat, akusztika, optika, jelfeldolgozás, képfeldolgozás és kvantummechanika területén. Ezen értekezés els felében olyan egy- és kétváltozós trigonometrikus sorokkal foglalkozunk, amelyek abszolút (és ebb l kifolyólag egyenletesen is) konvergensek. Ismert tény, hogy ilyen sorok összegfüggvénye minden pontban létezik és folytonos. Továbbá azt is tudjuk, hogy minden egyenletesen konvergens trigonometrikus sor egyben összegfüggvényének Fourier sora. Az els fejezetben ismertetjük a lip(α), Lip(α) Lipschitz és a zyg(α), Zyg(α) Zygmund osztályokat. Bemutatunk két ismert tételt, amelyek a sor együtthatói bizonyos közepeinek segítségével elegend feltételeket adnak arra, hogy az összegfüggvény egyenletesen sima legyen, azaz hogy a Zyg() vagy a zyg() osztályba tartozzék. A tételek bizonyítása Zygmund nevéhez f z dik (lásd [2,. kötet, 320. oldal]), ezért a kés bbiekben Zygmund tételeiként hivatkozunk rájuk. Ezen tételeket általánosítjuk, vagyis elegend feltételeket adunk arra, hogy a sor összegfüggvénye a Zyg(α) vagy a zyg(α) osztályba tartozzék valamely 0 < α 2 esetén. A könyvben leírtaktól lényegesen más alapötlet bizonyításokat mutatunk be. A bizonyítások egy-egy kulcsfontosságú lemmán alapulnak, ahol a {c n : n N} kezdeti együtthatók bizonyos közepeinek viselkedését összekapcsoljuk a sorozat {c n : n N} farok elemei közepeinek viselkedésével. Végezetül az összegfüggvénynek a Lip() osztályba való tartozására is elegend feltételt adunk.

Bevezetés A második fejezetben a már meglev eredményeinket terjesztjük ki kétváltozós trigonometrikus sorokra. Ismertetjük a kett s sorok tárgyalásához szükséges kétváltozós multiplikatív lip(α, β), Lip(α, β), zyg(α, β) és Zyg(α, β) osztályokat (lásd a [2] és [] cikkekben). Elegend feltételeket fogalmazunk meg arra vonatkozóan, hogy a kett s sor összegfüggvénye valamely zyg(α, β) vagy Zyg(α, β) osztályba tartozzék (0 < α, β 2), illetve lip(α, β) vagy Lip(α, β) osztályba tartozzék (0 < α, β ). Az említett feltételeket itt is a sor együtthatói bizonyos α-tól és β-tól függ közepeinek vizsgálatával nyerjük. Hasonló, azonban technikailag jóval bonyolultabb lemmákat fogalmazunk meg, mint az egyváltozós esetben: a kezdeti és a farok együtthatók közepeinek viselkedése között vonunk ismét párhuzamot. A disszertáció második felében két új összegezhet ségi fogalmat vezetünk be: kett s trigonometrikus sorok Riemann-, és kett s trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatóságát. Az egyváltozós esethez hasonlóan (lásd [2]-ben) egy kett s trigonometrikus sor Riemann összegezhet ségének deniálásakor a sor mindkét változója szerinti kétszeri formális integrálásával kapott függvény szimmetrikus második deriváltjának létezését követeljük meg. Belátjuk, hogy a Riemann szummálhatóság a reguláris konvergencia általánosítása, azaz ha egy kett s trigonometrikus sor regulárisan konvergens, akkor Riemann értelemben is összegezhet, és a két értelemben vett összeg megegyezik. A bizonyításokban kulcsfontosságú szerepet tölt be Robison tétele (lásd [6]-ban), amely a végtelen dimenziójú korlátos-reguláris mátrixok jellemzését adja meg. Az utolsó fejezetet a Lebesgue szummálhatóság témaköréb l már ismert eredmények bemutatásával kezdjük. A trigonometrikus sorok Lebesgue összegezhet ségének fogalmát Zygmund a sor egyszeri formális integrálásával kapott függvény szimmetrikus deriváltjának létezésével deniálta (lásd [2,. kötet, 32. old.]). Megjegyezzük, hogy a Lebesgue szummálhatóság kett s sorokra való kiterjesztését Bagota Mónika és Móricz Ferenc közös [] cikkükben publikálták. A terület legfrissebb eredményeit Móricz [3] cikkében olvashatjuk, amely már trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatóságát tárgyalja. A fejezet csúcspontjaként ezen cikk f bb eredményeit általánosítjuk kett s integrálokra, azaz elegend feltételeket fogalmazunk meg arra vonatkozóan, hogy egy kett s integrál Lebesgue értelemben vett összege megegyezzen a Pringsheim értelemben vett összegével. 2

. fejezet Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága.. El zmények: Zygmund tételei egyszeres trigonometrikus sorok összegfüggvényének simaságáról (.) Ezen fejezetben komplex számok tetsz leges {c n } n Z C sorozatával képezett c n e inx n Z trigonometrikus sorokkal foglalkozunk. Egy ilyen sor szimmetrikus részletösszegein az s N (x) := c n e inx (N = 0,,2,...) n N véges összegeket értjük. Az (.) sort akkor nevezzük konvergensnek, ha a s N(x) = s N véges határérték létezik. Ekkor a sor összegén az s számot értjük. Megjegyezzük, hogy a szakirodalomban gyakran a trigonometrikus sorok (.2) a 0 2 + (a n cos nx+b n sin nx) (a n, b n R) n= valós alakjával találkozunk. Ha azonban felírjuk a cos nx és sin nx függvények cos nx = ( e inx +e inx) és sin nx = ( e inx e inx) (n ) 2 2i 3

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága alakjait, akkor megkapjuk a valós a n, b n és a komplex c n együtthatók közötti összefüggést: (a 2 n ib n ), ha n > 0 c n = a 2 0, ha n = 0 (a 2 n +ib n ), ha n < 0. Innen már látható, hogy az (.) sor szimmetrikus részletösszegei rendre megegyeznek az (.2) sor részletösszegeivel, azaz c n e inx = a N 0 2 + (a n cos nx+b n sin nx) (N = 0,,2,... ). n N n= Az értekezésben azonban a tömörebb írásmód miatt a továbbiakban mindig az (.) komplex alakot fogjuk használni. Deníció. Legyen {c n } n Z C olyan sorozat, amelyre c n < n Z teljesül. Ekkor az (.) trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens. Jelöljük az összegét f(x)-szel: (.3) f(x) := n e n Zc inx, x T := [ π, π). Az egyenletes konvergencia következtében az f(x) függvény folytonos. A fent deniált f(x) függvény simaságának vizsgálatához bevezetjük a Lipschitz és Zygmund osztályok fogalmát. Deníció. Tekintsük a periodikus f:t C függvényt, ahol T a [ π, π) tóruszt jelöli. Azt mondjuk, hogy az f függvény a Lip(α) Lipschitz osztályhoz tartozik valamely α > 0-ra, ha létezik olyan csakis az f függvényt l függ C konstans, melyre teljesül minden x T és h > 0 esetén. f(x, h) := f(x+h) f(x) Ch α Az f függvény a lip(α) kis Lipschitz osztályhoz tartozik valamely α > 0-ra, ha a h 0 h α f(x+h) f(x) = 0 4

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága konvergencia egyenletes x-ben. Az f függvény a Zyg(α) Zygmund osztályhoz tartozik valamely α > 0-ra, ha folytonos és létezik olyan csakis az f függvényt l függ C konstans, amelyre 2 f(x, h) := f(x+h) 2f(x)+f(x h) Ch α fennáll minden x T és h > 0 esetén. Azt mondjuk, hogy f a zyg(α) kis Zygmund osztályhoz tartozik valamely α > 0- ra, ha folytonos és egyenletesen teljesül x-ben. h 0 h α f(x+h) 2f(x)+f(x h) = 0 Az f függvényt simának nevezzük egy x T pontban, ha h 0 h f(x+h) 2f(x)+f(x h) = 0. Világos, hogy a zyg() osztályt éppen azon folytonos függvények alkotják, amelyek egyenletesen simák. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy minden Lipschitz osztálybeli függvény egyenletesen folytonos. Viszont létezik olyan Lebesgue értelemben nem mérhet f függvény (lásd [2,. kötet, 4344. old.]), amelyre f(x+h) 2f(x)+f(x h) = 0 minden x és h esetén. Emiatt követeljük meg a folytonosságot a Zygmund osztályok deníciójában. A deníciók alapján nyilvánvalóak a következ tartalmazási relációk: lip(α) Lip(α) és zyg(α) Zyg(α), továbbá Lip(β) Lip(α) és Zyg(β) Zyg(α), ha 0 < α < β. Világos, hogy ha f lip(), illetve f Lip(α) valamely α > -re, akkor az f függvény konstans. Továbbá, ha f zyg(2), illetve f Zyg(α) valamely α > 2-re, akkor f lineáris függvény, azaz esetünkben a periodicitás miatt f konstans. Érvényesek az alábbi tartalmazások is: (.4) Lip(α) = Zyg(α) és lip(α) = zyg(α), ha 0 < α < 5

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága és Lip() Zyg() és lip() zyg(). Bevezetésképpen ismertetünk két fontos tételt, amelyek megalkotása Zygmund nevéhez f z dik (lásd [2,. kötet, 320. oldal]) és amelyek kés bbi eredményeinket ihlették... Tétel. Ha a {c n } n Z C komplex számsorozathoz létezik olyan K állandó, amelyre teljesül, hogy n 2 c n K (N =,2,... ), N n N akkor c n < és f(x) Zyg(). n Z.2. Tétel. Ha a {c n } n Z C sorozat kielégíti a feltételt, akkor f(x) zyg(). n 2 c n = 0 N N n N.2. Zygmund tételeinek általánosításai egyszeres trigonometrikus sorokra Az el z alfejezet eredményeinek általánosításaként elegend feltételeket adunk arra, hogy az (.3) sor f(x) összegfüggvénye a Zyg(α), illetve a zyg(α) osztályba tartozzék valamely 0 < α 2 esetén. Új eredményeinket a következ tételekben foglaljuk össze..3. Tétel. Legyen {c n } n Z C. Ha valamely 0 < α 2 esetén létezik olyan C α konstans, amelyre teljesül, hogy (.5) N 2 α n N n 2 c n C α (N =,2,... ), akkor az (.3) sor abszolút és egyenletesen konvergens, és az f(x) összegfüggvény a Zyg(α) osztályhoz tartozik. 6

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága.4. Tétel. Legyen {c n } n Z C. Ha valamely 0 < α < 2 értékre teljesül, hogy (.6) N n 2 c N 2 α n = 0, n N akkor f(x) zyg(α). Láthatjuk, hogy a fenti tételek az α = speciális választással éppen az.. és az.2. Tételeket szolgáltatják. Továbbá (.4) alapján az is igaz, hogy ha 0<α<, akkor az (.5) feltétel mellett f(x) a Lip(α), az (.6) feltétel mellett pedig a lip(α) osztályba is beletartozik. Az α = esetben azonban a Lip() Zyg() szigorú tartalmazási reláció áll fenn. Ezért a következ tételben az f(x) Lip() tartalmazásra adunk elegend feltételt..5. Tétel. Ha a {c n } n Z C sorozat kielégíti a (.7) nc n < n Z feltételt, akkor f(x) Lip(). Megjegyzés. Világos, hogy α = esetén (.7)-b l következik (.5). A fordított irányú állítás általában nem igaz, ezt mutatja a c n := n 2 sorozat, ami teljesíti (.5)- öt, de (.7)-et már nem..3. Segédtételek és bizonyítások Az.. és az.2. Tételek általánosításához látszólag kis mértékben kellett módosítanunk a feltételeken. Az új eredmények bizonyításához azonban más eszközök szükségesek, mint amiket Zygmund [2] könyvében találunk. A könyvben leírtaktól lényegesen más alapötlet bizonyításokat mutatunk be. Olyan segédtételeket fogalmazunk meg, amelyek a {c n : n N} kezdeti- és a {c n : n N} farok együtthatók bizonyos közepei közötti összefüggésekre világítanak rá..6. Lemma. Legyen {c n } n Z C. (i) Ha az (.5) feltétel teljesül valamely 0 < α 2 esetén, akkor létezik olyan C α konstans, amelyre fennáll, hogy (.8) N α c n C α (N =,2,... ). n N 7

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága (ii) Fordítva, ha (.8) fennáll valamely 0 α < 2 esetén, akkor (.5) is teljesül. Speciálisan, minden 0 < α < 2 értékre az (.5) és az (.8) feltételek ekvivalensek. Megjegyzés. A lemmában az α-ra tett feltételek élesek. Például a c n :=n sorozat teljesíti az (.5) feltételt az α = 0 esetben, de (.8)-at már nem; a c n := n 3 sorozat pedig α = 2-re kielégíti (.8)-at, de (.5)-öt viszont nem. Bizonyítás. Az (i) állítás bizonyításához tegyük fel, hogy (.5) fennáll valamely 0 < α 2 számra. A rövidség kedvéért vezessük be a D p jelölést a p-edik diadikus blokkra: D p := { 2 p,2 p +,...,2 p+ } (p = 0,,2,... ). Ekkor minden nemnegatív p egész számra teljesül, hogy tehát 2 2p n D p c n n D p c n 2 2 α C α 2 pα n D p n 2 c n C α 2 (p+)(2 α), (p = 0,,2,...). Legyen q 0 tetsz legesen rögzített egész szám. Mivel α > 0, így igaz a következ becslés: n 2 q c n = p=q ahonnan következik, hogy n D p c n 2 2 α C α p=q 2 pα = 2 2 α C α 2 qα 2 α, (.9) 2 qα c n C 22 α α minden q = 0,,2,... esetén. 2 α n 2 q A továbbiakban legyen N N tetsz leges és q-t válasszuk meg úgy, hogy 2 q N < 2 q+ teljesüljön. Ekkor az alábbi módon vezetjük vissza (.8) bizonyítását az (.9) speciális esetre: N α n N c n 2 (q+)α c n 2 α C 22 α α 2 = C 4 α α 2 =: C α α. n 2 q Térjünk rá a (ii) rész igazolására. 8

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága A lemma (.8) feltétele szerint bármely p > 0 egész számra 2 2(p+) n D p n 2 c n n D p c n C α 2 pα, fennáll, ahonnan következik, hogy n D p n 2 c n 4 C α 2 p(2 α) (p = 0,,2,...). Legyen q tetsz leges egész szám. Mivel α < 2, a következ képpen becsülhetünk: azaz (.0) n <2 q n 2 c n = q p=0 2 q(2 α) n D p n 2 c n 4 C α n 2 q n 2 c n q 2 p(2 α) = 4 C 2 q(2 α) α 2 2 α, p=0 4 C α 2 2 α (q =,2,...). Mivel 2 q(2 α) (2 q 2 α = (0 α < 2), ) q ezért létezik olyan csakis α-tól függ γ α konstans, amelyre Így (.0) helyett írhatjuk, hogy 2 q(2 α) (2 q ) 2 α γ α (q =,2,...). (.) (2 q ) 2 α n 2 q n 2 c n 4 C α γ α 2 2 α (q =,2,...), ami bizonyítja (.5)-öt az N = 2 q speciális esetekben. Az általános eset igazolásához legyen N tetsz leges természetes szám. Tekintsük azon q 2 egész számot, amelyre 2 q < N 2 q. Ekkor (.)-et felhasználva nyerjük, hogy N 2 α n N n 2 c n Ezzel a (ii) állítást is beláttuk. (2 q ) 2 α n 2 c n n 2 q ( ) 2 q 2 α 4 C α γ α 2 q 2 2 α 4 C α γ α 32 α 2 2 α =: C α. 9

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága.7. Lemma. Legyen {c n } n Z C. (i) Ha az (.6) feltétel teljesül valamely 0 < α 2 esetén, akkor az is fennáll, hogy (.2) N α c n = 0. N n N (ii) Fordítva, ha valamely 0 α < 2 esetén az (.2) feltétel teljesül, akkor (.6) is fennáll. Speciálisan, az 0 < α < 2 érték mellett az (.6) és az (.2) feltételek ekvivalensek. Bizonyítás. Az.6. Lemma bizonyítása alapján nyilvánvaló. Az.3. Tétel bizonyítása. Legyen x T és 0 < h < tetsz leges. Ekkor 2 f(x,2h) = c n e ( inx e in2h 2+e in2h) = n e n Z n Zc inx 2 (cos 2nh ) = = 4 c n e inx sin 2 nh. n Ezek után tekintsük a következ felbontást: 2 f(x,2h) (.3) 22 α c (2h) α h α n sin 2 nh+ 22 α h α n N c n sin 2 nh =: S N +T N, n >N ahol N-et az alábbi speciális módon választjuk meg: [ ] (.4) N := (0 < h < ), h ahol [ ] a szám egész részét jelöli. Ekkor h, és (.5)-öt felhasználva kapjuk, hogy N (.5) S N (2h) 2 α n 2 c n n N Továbbá < N + és (.8) szerint h (.6) T N 22 α c h α n 2 2 α (N +) α n >N ( ) 2 α 2 n 2 c n 2 2 α C α. N n N n N+ Az eddigi (.3), (.5) és (.6) eredményeinket összevetve 2 f(x,2h) (2h) α 2 2 α (C α + C α ) 0 c n 2 2 α Cα.

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága adódik, ahol a jobb oldal független x T és 0 < h < választásától. Ezzel igazoltuk, hogy f(x) Zyg(α). Az.4. Tétel bizonyítása. Legyen x T tetsz leges. Az (.6) és (.2) feltételek szerint minden rögzített ε > 0 értékhez létezik olyan N 0 küszöbszám, hogy minden N > N 0 esetén (.7) és N 2 α n N (.8) (N +) α n 2 c n n N+ ε 2 2 2 α c n ε 2 2 2 α teljesülnek. Az el z bizonyításhoz hasonlóan vegyük az (.3) alakú felbontást. Legyen Ekkor minden 0 < h < h 0 esetén N := h 0 := N 0. [ ] [ ] = N 0. h h 0 Így (.7) és (.8) szerint (.5) és (.6) mintájára kapjuk, hogy S N ε 2 és T N ε 2 is teljesül, ha 0 < h < h 0, vagyis 2 f(x,2h) (2h) α ε minden x T és 0 < h < h 0 esetén. Ezzel beláttuk, hogy f(x) zyg(α). Az.5. Tétel bizonyítása. Legyen x T és 0<h< tetsz leges. Könnyen látható, hogy f(x,2h) = ( c n e in(x+2h) e inx) = n e n Z n Zc ( in(x+h) e inh e inh) = = 2i c n e in(x+h) sin nh. n

. fejezet. Egyváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága N-et továbbra is deniáljuk az (.4) formulával. Ekkor N < N + és (.7) h szerint a következ becslés adható: f(x,2h) 2h c sin nh n h + c sin nh n h n N n >N nc n +(N +) c n nc n <, n Z n N ami bizonyítja, hogy f(x) Lip(). n N+ 2

2. fejezet Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága 2.. Zygmund tételeinek kiterjesztése kett s trigonometrikus sorokra A kett s sorok tárgyalásához tekintsük {c m,n } (m,n) Z 2 komplex számok olyan kett s sorozatát (jelölésben {c m,n } C), amelyre fennáll az (2.) c m,n < összefüggés. Ekkor a (2.2) f (x, y) := m Z m Z n Z c m,n e i(mx+ny), (x, y) T 2 n Z trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens, következésképpen az f(x, y) összegfüggvény egyenletesen folytonos. A x,h és y,k operátorok x,h f (x, y) := f (x+h, y) f (x, y) y,k f (x, y) := f (x, y +k) f (x, y), h, k > 0 denícióinak bemutatása után bevezetjük ezen operátorok iterált használatára az (2.3) jelölést. f (x, y; h, k) := x,h ( y,k f (x, y)) = y,k ( x,h f (x, y)) = =f (x+h, y +k) f (x+h, y) f (x, y +k)+f (x, y) A továbbiakban ismertetjük a multiplikatív Lipschitz és Zygmund osztályok fogalmát. 3

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága Deníció. Egy folytonos f függvény a Lip(α, β) Lipschitz osztályhoz tartozik valamely α, β >0-ra (lásd []-ben), ha létezik olyan kizárólag az f függvényt l, valamint az α és β számoktól függ C konstans, melyre fennáll, hogy (2.4) f (x, y; h, k) Ch α k β minden x, y és h, k > 0 esetén. Amennyiben h,k 0 h α k β f (x, y; h, k) = 0 is teljesül, méghozzá x-ben és y-ban egyenletesen, akkor azt mondjuk, hogy f a lip(α, β) kis Lipschitz osztályhoz tartozik. A folytonos f függvény a Zyg(α, β) Zygmund osztályhoz tartozik valamely α, β > 0-ra (lásd [2]-ben), ha (2.5) 2 f (x, y; h, k) Ch α k β minden x, y és h, k > 0 esetén, ahol C ismét csak az f függvényt l, α-tól és β-tól függ. Ha ráadásul h,k 0 h α k β 2 f (x, y; h, k) = 0 is fennáll x-ben és y-ban egyenletesen, akkor f a zyg(α, β) kis Zygmund osztályhoz tartozik. Könnyen ellen rizhet, hogy 2 f (x, y; h, k) = ( f (x, y; h, k) ; h, k) = (2.6) =f (x+2h, y +2k)+f (x+2h, y)+f (x, y +2k)+f (x, y) 2f (x+2h, y +k) 2f (x+h, y +2k) 2f (x+h, y) 2f (x, y +k)+4f (x+h, y +k), h, k > 0. A kés bbiekben (2.6) helyett az alábbi szimmetrikus formát fogjuk használni: (2.7) 2 f (x h, y k; h, k) = =f (x+h, y +k)+f (x+h, y k)+f (x h, y +k)+f (x h, y k) 2f (x+h, y) 2f (x, y +k) 2f (x, y k) 2f (x h, y)+4f (x, y). Vegyük észre, hogy minden α, β > 0 esetén Lip(α, β) Zyg(α, β) és lip(α, β) zyg(α, β). 4

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága Ez világosan látható abból, hogy (2.3) és (2.6) szerint 2 f (x h, y k; h, k) = f (x, y; h, k) f (x h, y; h, k) f (x, y k; h, k)+ f (x h, y k; h, k). Deníció. Az egyváltozós esethez hasonlóan egy kétváltozós f(x, y) függvényt akkor nevezzünk simának az (x, y) pontban, ha h,k 0 h k 2 f (x h, y k; h, k) = 0. Láthatjuk, hogy a zyg(,) osztályt éppen a egyenletesen sima, folytonos függvények alkotják. Ezen el zmények után a következ tételekben fogalmazzuk meg a fejezet legfontosabb eredményeit. 2.. Tétel. Legyen {c m,n } C komplex számok olyan kett s sorozata, amelyre (2.8) c m,0 < és c 0,n <. m Z Ha valamely 0 < α, β 2 és C α,β konstansokra (2.9) m 2 n 2 c M 2 α N 2 β m,n C α,β (M, N =,2,...) m M n N fennáll, akkor (2.) teljesül és a (2.2)-ben deniált f összegfüggvény a Zyg(α, β) osztályhoz tartozik. Ha például (2.8) mellett még m n n Z m 2 n 2 c m,n < is teljesül, akkor f Zyg(2,2), míg ha (2.0) m 2 n 2 c m,n C, (M, N =,2,...), MN akkor f Zyg(,). m M n N 2.2. Tétel. Ha a {c m,n } C sorozat teljesíti a (2.8) és a (2.9) feltételeket valamely 0 < α, β < 2 esetén, és ráadásul (2.) M,N M 2 α N 2 β m M n N m 2 n 2 c m,n = 0 is fennáll, akkor a (2.2)-ben deniált f függvény a zyg(α, β) osztályhoz tartozik. 5

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága Ha például (2.8) és (2.0) mellett még az is fennáll, hogy akkor f zyg(,). M,N MN m M n N m 2 n 2 c m,n = 0, Megjegyzés. A 2.2 Tételben a (2.9) feltétel nem hagyható el, ugyanis létezik valós számok olyan kett s sorozata, amelyre (2.) teljesül, de a (2.9)-ben szerepl részletösszegek nem korlátosak. Az el z két tétel feltételeinek er sítésével hasonló elegend ségi tételeket mondhatunk ki az f összegfüggvény Lip(α, β) és lip(α, β) osztályokba való tartozására 0 < α, β esetén. 2.3. Tétel. Legyen {c m,n } C olyan sorozat, amelyre (2.8) teljesül. Ha valamely 0 < α, β számokra és C (3) α,β (2.2) M α N β konstansra fennáll, hogy m M n N mnc m,n C (3) α,β (M, N =,2,...), akkor (2.) is teljesül és a (2.2)-ben megadott f összegfüggvény a Lip(α, β) osztályhoz tartozik. Tehát, ha például a (2.8) feltétel teljesül és akkor f Lip(,). m n mnc m,n <, 2.4. Tétel. Tegyük fel, hogy a {c m,n } C sorozatra a (2.8) és a (2.2) feltételek teljesülnek, és ráadásul (2.3) M,N M α N β m M n N mnc m,n = 0 is fennáll valamely 0 < α, β < esetén. Ekkor a (2.2)-ben deniált f összegfüggvény a lip(α, β) osztályhoz tartozik. 6

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága 2.2. Segédtételek és bizonyítások A bizonyítások felépítése sok hasonlóságot mutat az el z fejezet tételeinek bizonyításaival. Hasonló, ám technikailag jóval bonyolultabb lemmmákat kell megfogalmaznunk. 2.5. Lemma. Minden {c m,n } C sorozathoz, amelyre (2.9) teljesül valamely 0 < α, β 2 esetén, található olyan C () α,β (2.4) is fennáll. M α N 2 β m M n N konstans, hogy n 2 c m,n C () α,β (M, N =,2,...) Bizonyítás. Felhasználva az el z fejezetben a diadikus blokkokra bevezetett D p jelölést a (2.9) feltétel szerint 2 2p n 2 c m,n m D p n N m D p n N m 2 n 2 c m,n C α,β 2 (p+)(2 α) N 2 β, azaz minden p = 0,,2,... és N esetben n 2 c m,n 2 2 α C α,β 2 pα N 2 β. m D p n N Ezt felhasználva kapjuk, hogy tetsz legesen választott r 0 egész számra (2.5) m 2 r n N n 2 c m,n = p=r m D p n N n 2 c m,n 2 2 α C α,β N 2 β 2 pα = 22 α 2 C α,β2 rα N 2 β α teljesül. Ezzel sikerült (2.4)-et belátnunk abban a speciális esetben, amikorm = 2 r (r = 0,,2,... ) és N N. Az általános eset igazolásához válasszunk egy tetsz leges M N számot és tekintsük azt az r egészet, amelyre 2 r M < 2 r+ teljesül. (2.5) szerint igaz az alábbi becslés: (2.6) M α N 2 β m M n N n 2 c m,n 2α(r+) N 2 β Ezzel az általános eset is bizonyítást nyert. p=r m 2 r n N n 2 c m,n 2 α 22 α 2 C 4 α α,β = 2 C α α,β =: C () α,β. 7

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága 2.6. Lemma. Ha a {c m,n } C sorozat kielégíti a (2.) feltételt valamely 0<α, β <2 értékekre, akkor (2.7) M α M,N N 2 β m M n N n 2 c m,n = 0. Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetsz legesen választott szám. A 2.6. Lemma feltételei szerint létezik n 0 N úgy, hogy m 2 n 2 c M 2 α N 2 β m,n ε, ha M, N 2 n 0. m M n N Az el z 2.5. Lemma bizonyítását megismételve úgy, hogy C α,β helyébe ε-t írunk, (2.6) a következ t szolgáltatja: M α N 2 β m M n N n 2 c m,n ami pontosan a bizonyítandó állítás. 4 2 α ε, ha M, N 2n 0, 2.7. Lemma. Ha a {c m,n } C sorozatra teljesül a (2.9) feltétel valamely 0<α, β 2 értékekre, akkor létezik olyan C (2) α,β konstans, melyre (2.8) M α N β c m,n C (2) α,β (M, N =,2,...). m M n N Bizonyítás. Az eddigi bizonyítások gondolatmenetét követve gyeljük meg, hogy (2.9) teljesülése esetén 2 2(p+q) m D p n D p c m,n Átrendezve a következ t kapjuk: m D p m D p n D p m 2 n 2 c m,n C α,β 2 (p+)(2 α) 2 (q+)(2 β) (p, q = 0,,2,...). n D p c m,n 2 4 α β C α,β 2 (pα+qβ) (p, q = 0,,2,...). A már jól megszokott módszert alkalmazva, bármely r, s=0,,2,... számokra fennáll, hogy m 2 r n 2 s c m,n = p=r 2 4 α β C α,β p=r q=s m D p c m,n n D q 2 (pα+qβ) = q=s 8 2 4 α β ( 2 α ) ( 2 β ) C α,β2 (rα+sβ).

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága Ez bizonyítja (2.8)-at, ha M = 2 r és N = 2 s alakúak (r, s = 0,,2,... ). Bármilyen más módon választott M és N értékekhez keressünk olyan r és s egész számokat, amelyekre 2 r M < 2 r+ és 2 s N < 2 s+. Az el bbi speciális esetre vezetjük vissza a feladatunkat: M α N β c m,n 2 α(r+) N β(s+) m M n N Ezzel kész is a bizonyítás. 2 4 α β m 2 r n 2 s c m,n 2 α 2 β ( 2 α ) ( 2 β ) C 6 α,β = ( 2 α ) ( 2 β ) C α,β =: C (2) α,β. 2.8. Lemma. Ha valamely 0 < α, β < 2 értékekre a {c m,n } C sorozat teljesíti a (2.) feltételt, akkor (2.9) M,N M α N β is fennáll. m M n N c m,n = 0 Bizonyítás. A 2.6. Lemma bizonyításában látottakhoz hasonlóan módosítva a 2.7. Lemma bizonyítását kapjuk az állítást. Megjegyezzük, hogy az 0 α, β < 2 esetben a 2.5. és 2.7. Lemmákban szerepl (2.4) (2.9) és (2.8) (2.9) implikációk megfordításai is érvényesek. Speciálisan, a (2.9), (2.4) és (2.8) feltételek ekvivalensek, ha 0 < α, β < 2. Analóg módon a (2.), (2.7) és (2.9) feltételek is ekvivalensek, ha 0 < α, β < 2. A fenti ismeretek birtokában hozzáfoghatunk a fejezet f tételeinek igazolásához. A 2.. Tétel bizonyítása. A (2.9) feltevés alapján alkalmazhatjuk a 2.7. Lemmát az M, N = esetben: m n c m,n C (2) α,β. Ezt összevetve (2.8)-cal kapjuk, hogy (2.) valóban fennáll. Ennek következtében a (2.2)-ben deniált f függvény folytonos. Térjünk rá a (2.4) egyenl tlenség igazolására. Használjuk a (2.7)-ben megadott szimmetrikus alakot. A kés bbiekben megjelen formulák egyszer bb felírása céljából helyettesítsük a h és k értékeket a kétszeresükkel. Elemi átalakításokkal nyerjük 9

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága az alábbi reprezentációt: (2.20) 2 f (x 2h, y 2k; 2h,2k) = = c m,n (e i(m(x+2h)+n(y+2k)) +e i(m(x+2h)+n(y 2k)) m Z n Z +e i(m(x 2h)+n(y+2k)) +e i(m(x 2h)+n(y 2k)) 2e i(m(x+2h)+ny) 2e i(mx+n(y+2k)) 2e i(m(x 2h)+ny) e i(mx+n(y 2k)) +4e i(mx+ny) ) = = c m,n e ( i(mx+ny) e im2h +e im2h 2 ) ( e in2k +e in2k 2 ) = m Z n Z = 6 c m,n e i(mx+ny) sin 2 mh sin 2 nk. m n Az általánosság megszorítása nélkül feltehet, hogy 0 < h, k. Legyen [ ] [ ] M := és N :=, h k ahol [ ] akárcsak az el z fejezetben a szám egész részét jelöli. Világos, hogy M, N. A (2.20)-ben nyert felírást használva a következ képpen becsülhetünk: 2 f (x 2h, y 2k; 2h,2k) Q 2 (f; h, k) := sup (x,y) R 2 (2h) α (2k) β ( 2 4 α β m 2 n 2 c m,n h 2 α k 2 β + n 2 c m,n h α k 2 β m M n N + m M n >N =: 2 4 α β (S +S 2 +S 3 +S 4 ). Mivel (2.9) teljesül, ezért míg a 2.5. Lemma szerint m 2 c m,n h 2 α k β + S M 2 α N 2 β S 2 (2M)α N 2 β m M n N m >M n N m >M n N m >M n >N m 2 n 2 c m,n C α,β, n 2 c m,n 2 α C () α,β. A 2.5. Lemmában M és N szerepét felcserélve jutunk a S 3 (2N)β M 2 α m M n >N 20 m 2 c m,n 2 β C () α,β c m,n h α k β )

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága becsléshez. A hiányzó S 4 (2M) α (2N) β m >M n >N c m,n 2 α+β C (2) α,β egyenl tlenséget pedig a 2.7. Lemma állítása szolgáltalja. Az imént nyert négy becslés eredményeképpen kapjuk a keresett ( ) Q 2 (f; h, k) 6 2 α β C α,β +2 β C () α,β +2 α C () α,β +C(2) α,β összefüggést. Vagyis f Zyg(α, β), ami éppen a bizonyítandó állítás. A 2.2. Tétel bizonyítása. Az el z bizonyításhoz hasonlóan történik, azzal a módosítással, hogy a (2.9) feltétel helyett (2.)-et, valamint a 2.5. és a 2.7. Lemmák helyett a 2.6. és a 2.8. Lemmákat használjuk. A 2.5.2.8. Lemmák bizonyításával analóg módon történik a következ segédtételek bizonyítása is, ezért ezeket a továbbiakban nem részletezzük. 2.9. Lemma. Tegyük fel, hogy a {c m,n } C sorozat teljesíti a (2.2) feltételt valamely 0 < α, β számokra. Ekkor létezik olyan C (4) α,β M α N β m M n N konstans, amelyre nc m,n C (4) α,β (M, N =,2,...). 2.0. Lemma. Ha valamely 0 < α, β < értékekre a {c m,n } C sorozat teljesíti a (2.3) feltételt, akkor M α M,N N β m M n N nc m,n = 0. 2.. Lemma. Ha a {c m,n } C sorozatra teljesül a (2.2) feltétel valamely 0 < α, β esetén, akkor létezik olyan C (5) α,β M α N β m M n N konstans, amelyre c m,n C (5) α,β (M, N =,2,...). 2.2. Lemma. Ha a {c m,n } C sorozatra (2.3) teljesül valamely 0 < α, β < értékekre, akkor M α N β M,N m M n N c m,n = 0. 2

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága A 2.3. Tétel bizonyítása. Alkalmazzuk a 2.. Lemmát az M, N = értékek mellett: m n c m,n < C (5) α,β. Figyelembe véve (2.8)-at is, együttesen adják (2.)-et. Így a (2.2)-ben megadott f függvény folytonos. A Lipschitz osztályba tartozáshoz ellen riznünk kell még (2.3) teljesülését. Tekintsük a (2.3) bal oldalán szerepl kifejezés (2.3) alakját. Azért, hogy kés bbiekben egyszer bb formulákkal dolgozhassunk, h és k helyett vegyük a kétszeresüket. Elemi átalakításokkal nyerjük, hogy f (x, y; 2h,2k) = ( c m,n e i(m(x+2h)+n(y+2k)) m Z n Z (2.2) e i(m(x+2h)+ny) e i(mx+n(y+2k)) +e i(mx+ny)) = = c m,n e ( i(mx+ny) e im2h ) ( e in2k ) = m Z n Z = c m,n e ( i(m(x+h)+n(y+k)) e imh e imh) ( e ink e ink) m Z n Z = 4 c m,n e i(m(x+h)+n(y+k)) sin mh sin nk. m n Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy 0 < h, k. Legyen [ ] [ ] M := és N :=. h k Az (2.2)-ben levezetett alakot használva a következ képpen becsülhetünk: f (x, y; 2h,2k) Q (f; h, k) := sup (x,y) R 2 (2h) α (2k) β 2 2 α β mnc m,n h α k β + m M n N + m M n >N =: 2 2 α β (S 5 +S 6 +S 7 +S 8 ). mc m,n h α k β + m >M n N m >M n >N nc m,n h α k β + c m,n h α k β Becsüljük S 5 -öt (2.2) szerint, S 6 -ot és S 7 -et a 2.9. Lemma, S 8 -at pedig a 2.. Lemma segítségével. Mindezt összevetve adódik, hogy ( ) Q (f; h, k) 4 2 α β C (3) α,β +2 β C (4) α,β +2 α C (4) α,β +C(5) α,β, 22

2. fejezet. Kétváltozós trigonometrikus sorok összegfüggvényének simasága ami igazolja (2.3)-et. Tehát f Lip(α, β). A 2.4. Tétel bizonyítása. Az el z bizonyításhoz hasonlóan történik, azzal a módosítással, hogy a (2.2) feltétel helyett (2.3)-at, valamint a 2.9. és a 2.. Lemmák helyett a 2.0. és a 2.2. Lemmákat használjuk. 23

3. fejezet Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága 3.. El zmények: Egyszeres trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Röviden összefoglaljuk az egyváltozós trigonometrikus sorok Riemann szummálhatóságára vonatkozó ismereteket. Legyen {c n } n Z C mindkét irányban végtelen komplex számsorozat. Amint azt az. Fejezetben is olvashattuk, egy (3.) c n e inx alakú trigonometrikus sort akkor nevezünk konvergensnek, ha az n Z s N (x) := c n e inx (N = 0,,2,...) n N részletösszegek sorozata konvergens. Tekintsük a (3.) sor kétszeri formális integrálásával kapott x 2 (3.2) R (x) := c 0 2 e inx c n n n 2 (x T) sort. Ha {c n } korlátos sorozat, akkor biztosan állíthatjuk, hogy a (3.2)-ben szerepl sor abszolút és egyenletesen konvergens. Következésképpen az imént deniált R(x) függvény mindenütt értelmezett és folytonos is. 24

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Kisebb általakítások elvégzése után világos, hogy (3.3) 2 R (x; 2u) 4u 2 R (x+2u)+r (x 2u) 2R (x) := = 4u 2 =c 0 + ( ) 2 sin nu c n e inx (u > 0). nu n Deníció. Ha a 2 R (x; 2u) = s u 0 4u 2 határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy a (3.) sor az x pontban Riemann módszere szerint összegezhet (röviden: Riemann összegezhet ), és Riemann összege s. Figyeljük meg, hogy a fenti határérték nem más, mint az R függvény klasszikus értelemben vett második szimmetrikus dierenciálhányadosa az x pontban, amelyet általában D 2 R (x)-szel jelölnek. A most bemutatni kívánt tételek Riemann nevéhez f z dnek (lásd Riemann [5] vagy akár Zygmund [2, Vol.I, 39-320 old.] könyvében). Ezért a kés bbiekben csak Riemann Els és Második Tételeként hivatkozunk majd rájuk. 3.. Tétel. Tegyük fel, hogy a {c n } n Z C sorozatra teljesül a (3.4) n c n = 0 feltétel. Ha valamely x pontban a (3.2) sor hagyományos értelemben vett összege s, akkor Riemann módszere szerint is összegezhet s-hez. Láthatjuk, hogy a Riemann szummálhatóság bizonyos értelemben a hagyományos konvergencia általánosítása. 3.2. Tétel. Ha (3.4) fennáll, akkor az is teljesül, hogy 2 R (x; 2u) 4u méghozzá x-ben egyenletesen. = c 0 u+ c n e inx sin2 nu 0 (u 0), n 2 u n Megemlítjük, hogy Weisz [9] könyvében részletesen olvashatunk a Riemann szummálhatóság és egyéb összegezhet ségi eljárások kapcsolatáról is. 25

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága 3.2. Kett s trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága az (3.5) A továbbiakban legyen {c m,n } C komplex számok kett s sorozata. Tekintsük c m,n e i(mx+ny) m Z n Z kett s trigonometrikus sort a téglalap alakú s M,N (x, y) := m M n N szimmetrikus részletösszegeivel. c m,n e i(mx+ny) (M, N = 0,,2,...) Kétféle kett s sorokra vonatkozó konvergencia fogalmat mutatunk be. Az els t Pringsheim vezetett be (lásd Pringsheim [4] cikkében vagy Zygmund [2, Vol. II, 302 old.] könyvében). Deníció. A (3.5) kett s trigonometrikus sor Pringsheim értelemben konvergál az s értékhez valamely (x, y) pontban, ha bármely ε > 0-hoz létezik olyan n 0 természetes szám, hogy s M,N (x, y) S < ε, ha M, N > n 0. A Pringsheim konvergencia jelölésére a megszokott s M,N (x, y) = s M,N jelölést fogjuk használni, ahol M és N egymástól függetlenül tart a végtelenbe. A Pringsheim értelemben vett konvergencia azonban nem garantálja sem a sor tagjainak korlátosságát, sem pedig az ún. (3.6) e ( imx c m, n e iny +c m,n e iny) (n Z) m Z sorösszegek, illetve a (3.7) e ( inx c m,n e imx +c m,n e imx) n Z (m Z). oszlopösszegek konvergenciáját. Ezen okok váltották ki egy er sebb konvergencia fogalom bevezetését, amelyet Hardy [4] cikkében ismertetett. 26

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Deníció. A (3.5) kett s trigonometrikus sor regulárisan konvergens, ha Pringsheim értelemben konvergens, továbbá a (3.6)-beli sorösszegek és a (3.7)-beli oszlopösszegek is konvergensek. Móricz [9] cikkében a (3.5) alakú sorok reguláris konvergenciájára a következ ekvivalens feltételt találta: (3.8) m 0 m M n 0 n N c m,n e i(mx+ny) < ε ha max {m 0, n 0 } > M és 0 m 0 M, 0 n 0 N. A fenti konvergencia típusok ismeretében rátérhetünk a Riemann szummálhatóság fogalmának kiterjesztésére. (3.9) Ha a (3.5) sort formálisan integráljuk mindkét változója szerint kétszer, akkor az x 2 y 2 R(x, y) := c 0,0 4 y2 e imx c m,0 2 m 2 + m m n x2 2 e inx c 0,n n + 2 n e i(mx+ny) c m,n, (x, y) T 2 m 2 n 2 függvényhez jutunk. Ha a {c m,n } sorozat korlátos, akkor az imént kapott (3.9)- ben szerepl sorok abszolút és egyenletesen is konvergensek. Tehát az R függvény minden (x, y) T 2 pontban jól deniált, és az egyenletes konvergencia következtében folytonos is. A kétváltozós eset vizsgálatához vezessük be a következ jelölést: 2 R(x, y; 2u,2v) :=R(x+2u, y +2v)+R(x 2u, y +2v)+R(x+2u, y 2v)+ +R(x 2u, y 2v) 2R(x+2u, y) 2R(x, y +2v) 2R(x 2u, y) 2R(x, y 2v)+4R(x, y) (u, v > 0). (3.3) mintájára írjuk fel az alábbi könnyen ellen rizhet azonosságot: (3.0) 2 R (x, y; 2u,2v) = c 6u 2 v 2 0,0 + ( ) 2 sin mu c m,0 e imx + mu m + ( ) 2 sin nv c 0,n e iny + ( ) 2 ( ) 2 sin mu sin nv c m,n e i(mx+ny). nv mu nv n m n 27

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Deníció. Ha a 2 R (x, y; 2u,2v) = s u,v 0 6u 2 v 2 határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy a (3.5) sor az (x, y) pontban Riemann módszere szerint összegezhet (röviden: Riemann összegezhet ), és Riemann összege s. Ismét megemlítjük, hogy a fenti határérték valójában az R függvény második szimmetrikus dierenciálhányadosa az (x, y) pontban, amelyet D 2 R (x, y)-nal szokás jelölni. A fenti ismereteink birtokában már megfogalmazhatjuk Riemann Els és Második Tételének kétváltozós megfelel it. A következ tétel szerint a Riemann szummálhatóság a reguláris konvergencia általánosításaként is felfogható. 3.3. Tétel. Tegyük fel, hogy a {c m,n } C sorozatra (3.) m + n c m,n = 0 teljesül. Ha valamely (x, y) pontban a (3.5) kett s sor regulárisan konvergens, akkor Riemann módszere szerint is összegezhet, és a két értelemben vett összeg megegyezik. 3.4. Tétel. Ha (3.) teljesül, akkor 2 R (x, y; 2u,2v) 6uv is fennáll, ráadásul (x, y)-ban egyenletesen. 0 (u, v 0) 3.3. Segédtételek és bizonyítások Miel tt hozzákezdenénk az új eredményeink igazolásához, nagy vonalakban tekintsük át Riemann Els és Második Tételének Zygmund [2,. kötet, 39-320. old.]-ben olvasható bizonyítását, ami az alábbi két fontos lépésb l áll:. Rögzítünk egy tetsz leges u k 0 sorozatot, majd Abel transzformációt hajtunk végre a (3.3) jobb oldalán megjelent soron: 2 R (x; 2u k ) 4u 2 k = n=0 s n [ sin 2 nu k nu 2 k 28 ] sin2 (n+)u k (n+)u 2 k

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága 2. Belátjuk, hogy az a k,n := sin2 nu k nu 2 k sin2 (n+)u k (n+)u 2 k elemekb l képezett A = (a k,n ) R N N mátrix reguláris, azaz bármely s k s (k ) konvergens sorozat esetén a σ k := a k,n s n sorozatnak is létezik határértéke és σ k s (k ). A regularitás ellen rzése Toeplitz tételének (lásd Toeplitz [8] cikkében vagy Zygmund [2,. kötet, 74-75. old.] könyvében) segítségével történik, miszerint egy A = (a k,n ) R N N mátrix pontosan akkor reguláris, ha teljesíti a következ három feltételt: (a) k a k,n = 0 (n = 0,,2,...); (b) sup k 0 (c) a k,n < K(< ); n=0 k n=0 a k,n =. Deníció. Kett s sorozatok lineáris transzformációjának reprezentálásához tekintsünk egy n=0 A := [ a j,k m,n : m, n = 0,,2,... ; j, k =,2,... ] végtelen valós mátrixot. Adott {s m,n : m, n = 0,,2,... } valós vagy komplex számok kett s sorozatához rendelt (3.2) t j,k := a j,k m,ns m,n m=0 n=0 összegeket a sorozat A-közepeinek nevezzük. Ha minden j, k=,2,... esetén léteznek a t j,k közepek Pringsheim értelemben, azaz és létezik a M N M,N m=0 n=0 a j,k m,ns m,n = t j,k, t j,k = s j,k véges határérték, akkor azt mondjuk, hogy az {s m,n } sorozat A-összegezhet és A- összege s (b vebben olvasd Hamilton [3] cikkében). 29

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Egy A mátrixot akkor nevezünk korlátos-regulárisnak, ha minden korlátos és konvergens {s m,n } s sorozat A-összegezhet ugyanahhoz az s határértékhez és az A-közepek korlátosak. Robison az alábbi négy szükséges és elegend feltételt adta egy A mátrix korlátos-regularitására (lásd [6]-ban): (a) (b) (c) (d) j,k m=0 j,k n=0 m=0 n=0 a j,k m,n a j,k a j,k m,n m,n a j,k j,k m=0 n=0 = 0 minden n = 0,,2,... esetén; = 0 minden m = 0,,2,... esetén; C < minden j, k =,2,... esetén; m,n =. Figyeljük meg, hogy a (c) feltevésb l következik, hogy a (d)-ben szerepl sor konvergens. Így minden korlátos és konvergens {s m,n } sorozatnak léteznek a (3.2)-ben deniált A-közepei. A kés bbiekben szükségünk lesz arra az észrevételre, miszerint ha a s m,n = 0 m,n speciális eset áll fenn, akkor a (d) feltétel elhagyható, vagyis nem szükséges ahhoz, hogy a konvergenciát belássuk. t j,k = 0 j,k A reguláris mátrixok fogalmának kiterjesztése után már minden eszközünk adott, hogy bebizonyítsuk a 3.2. szakaszban kimondott tételeinket. A 3.3. Tétel bizonyítása. Legyen valamely (x, y) T 2 pontban a (3.5) sor reguláris értelemben vett összege s. A (3.0)-ben felírt azonosság jobb oldalát tekintve láthatjuk, hogy elegend a 2 R (x, y; 2u j,2v k ) = s u j,v k 6u 2 j v2 k határértéket az u j, v k > 0 esetben igazolni. A ( ) 2 sin x g : [0, ) R, g(0) := és g(x) = (x 0). x 30

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága függvény bevezetése után (3.0) az alábbi tömörebb alakba írható át: (3.3) Felhasználva, hogy 2 R (x, y; 2u j,2v k ) 6u 2 j v2 k = m Z c m,n e i(mx+ny) g(mu j )g(nv k ). n Z c m,n e i(mx+ny) +c m, n e i(mx+ny) +c m,n e i( mx+ny) +c m, n e i(mx ny) = = s m,n s m,n s m,n +s m,n (m, n ), a (3.3) sor szimmetrikus részletösszegeit négy összegre bonthatjuk (további részletekért lásd Móricz [0] cikkében): c m,n e i(mx+ny) g(mu j )g(nv k ) = m M n N = M N s m,n [ g (mu j ) g (nv k ) g ((m+)u j ) g (nv k ) m=0 n=0 M + g (mu j ) g ((n+)v k )+g ((m+)u j ) g ((n+)v k ) ] + s m,n [g (mu j ) g (Nv k ) g ((m+)u j ) g (Nv k )] + m=0 s M,n [g (Mu j ) g (nv k ) g (Mu j ) g ((n+)v k )] + N + n=0 +s M,N g (Mu j ) g (Nv k ) =: S +S 2 +S 3 +S 4. Els dleges célunk annak igazolása, hogy S 2, S 3, S 4 0, ha M, N, ugyanis ez esetben (3.4) 2 R (x, y; 2u j,2v k ) = 6u S 2 j v2 = M,N k = s m,n [ g(mu j )g(nv k ) g((m+) u j )g(nv k ) m=0 n=0 g(mu j )g((n+) v k )+g((m+) u j )g((n+) v k ) ]. Minthogy (3.8) szerint az {s m,n } részletösszegek korlátosak, így S 4 0 triviálisan teljesül. Másodsorban (3.5) m=0 g (mu j ) g (Nv k ) g ((m+)u j ) g (Nv k ) = = g (Nv k ) g (mu j ) g ((m+)u j ). m=0 3

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága A jobb oldalon szerepl sort pedig a következ képp becsülhetjük: (m+)uj (3.6) g (mu j ) g ((m+) u j ) = g (t)dt m=0 m=0 mu j A l'hospital szabály kétszeri alkalmazásával nyerjük, hogy (3.7) g (t) = 2 t sin t cos t sin2 t t 3 0 (t 0), aminek felhasználásával adódik, hogy 0 g (t) dt. (3.8) 0 g (t) dt C +2 t+ t dt =: C 2(< ). 3 Mivel g (Nv k ) 0, összegezve az (3.5)(3.8) eredményeinket látható, hogy S 2 0. Az el z gondolatmenetet kissé módosítva M n=0 nyerhet. Ezzel S 3 0 is igazolást nyert. g (Mu j ) g (nv k ) g (Mu j ) g ((n+)v k ) = 0 (3.4) szerint elegend az S összeget alaposabban megvizsgálnunk. Deniáljuk az A = [ a j,k m,n] mátrixot az alábbi elemekkel: a j,k m,n :=g(mu j )g(nv k ) g((m+) u j )g(nv k ) g(mu j )g((n+) v k )+g((m+) u j )g((n+) v k ). Világosan látható (3.4)-b l, hogy ha belátjuk, hogy az A mátrix korlátos-reguláris, akkor a (3.5) sor s összeghez való Riemann szummálhatósága triviálisan következik. Tehát a bizonyítás teljességéhez elegend azt belátnunk, hogy az A mátrix teljesíti Robison tételének (a)(d) feltételeit. Az (a) pont igazolásához tekintsük az alábbi átalakítást: a j,k = g(nv k ) (g(mu j ) g((m+)u j )) m=0 m,n m=0 g((n+) v k ) (g(mu j )+g((m+) u j )) = = (g(mu j ) g((m+) u j )) (g(nv k ) g((n+)v k )) = m=0 ( ) 2 ( ) 2 sin nvk sin(n+)vk = g(mu j ) g((m+) u j ). nv k (n+)v k 32 m=0

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Bármely n = 0,,2,... esetén fennáll, hogy ( ) 2 ( ) 2 sin nvk sin(n+)vk 0 (k ). nv k (n+)v k A fentebb kapott (3.6)(3.8) eredményeinket ismét felhasználva láthatjuk, hogy az (a) feltétel teljesül. A (b) feltétel analóg módon bizonyítható. Szintén (3.6)(3.8) szolgáltatja a (c) pontbeli feltételt: a j,k = g (mu j ) g ((m+) u j ) g (nv k ) g ((n+) v k ) < m=0 n=0 m,n m=0 A (d)-ben szerepl határértéket a n=0 < 2C 2 =: C(< ) minden j, k =,2,... esetén. m=0 n=0 a j,k m,n = (j, k =,2,... ) azonossággal bizonyítjuk. Ezt viszont könnyedén igazolhatjuk, ha vesszük a ( (sin ) 2 ( ) ) 2 a j,k muj sin(m+)uj m,n = mu m=0 n=0 m=0 j (m+)u j ( (sin ) 2 ( ) ) 2 nvk sin(n+)vk. nv k (n+)v k n=0 szétválasztást, ugyanis mindkét sor részletösszegei teleszkopikusak és a j, k értékekt l függetlenül -hez tartanak. Robison tételének alkalmazása az A mátrixra zárja a tétel bizonyítását. A 3.4. Tétel bizonyítása. A (3.0)-ben felírt alakhoz hasonlóan kapjuk, hogy 2 R (x, y; 2u j,2v k ) 6u j v k = u j v k c 0,0 +v k c m,0 e imx sin2 mu j + m 2 u j +u j c 0,n e iny sin2 nv k + n 2 v k n =: S 5 +S 6 +S 7 +S 8. m m n c m,n e i(mx+ny) sin2 mu j m 2 u j Megmutatjuk, hogy S i 0 (i = 5,6,7,8), ha u j, v k 0 (j, k ). sin 2 nv k n 2 v k S 5 0 triviálisan teljesül, S 6, S 7 0 pedig az 3.2. Tétel alkamazásával nyerhet k. 33

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Írjuk S 8 -at az alábbi ekvivalens alakba: Mivel az S 8 = m= n= (c m,n e i(mx+ny) +c m, n e i(mx+ny) + +c m,n e i( mx+ny) +c m, n e i(mx ny) ) sin2 mu j m 2 u j sin 2 nv k n 2 v k. s m,n := c m,n e i(mx+ny) +c m, n e i(mx+ny) +c m,n e i( mx+ny) +c m, n e i(mx ny) kett s sorozat 0-hoz tart, amint m, n, a 3.3. Tétel bizonyításában látottakhoz hasonlón elegend azt igazolnunk, hogy az a j,k m,n := sin2 mu j sin 2 nv k m 2 u j n 2 v k elemekb l képezett A= [ a j,k m,n] mátrix korlátos-regularitás. Ahogy azt korábban már említettük, az s m,n sorozat 0-hoz tartása miatt a (d) feltétel elhagyható, így elég az (a)(c) feltételek teljesülését ellen riznünk. Az (a) feltétel igazolásához vizsgáljuk meg a (3.9) sort. Mivel m= a j,k m,n sin 2 nv k = n 2 v k m= sin 2 mu j m 2 u j. sin 2 nv k n 2 v k 0 as k, ezért elég azt megmutatnunk, hogy az (3.9) jobb oldalán szerepl sor egy K korlát alatt marad minden j esetén. Legyen [ M = M(j) := ahonnan világos, hogy u j u j < M u j +. ] +, Meggyeléseink után a következ képp becsülhetünk: (3.20) m= sin 2 mu j m 2 u j = M m 2 u 2 j + m 2 u m= j ( ) + u j m=m+ u j + u j u j < Mu m 2 j + u j u j M = 2+u j < 2+max u j =: K. j 34

3. fejezet. Trigonometrikus sorok Riemann szummálhatósága Ezzel beláttuk, hogy az (a) feltétel biztosan teljesül. Analóg módon juthatunk el a (b) feltétel igazolásához. A (c) feltételt (3.20)-hoz hasonlóan ellen rizhetjük: m= n= a j,k = m,n m= ( sin 2 mu j m 2 u j 2+max j n= sin 2 nv k n 2 v k ) ( ) u j 2+max v k =: C(< ). k Végül, alkalmazzuk Robison tételét, ami a bizonyítandó állítást adja. 35

4. fejezet Trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága 4.. El zmények: Trigonometrikus sorok Lebesgue szummálhatósága (4.) Legyen {c n } n Z C egy számsorozat. Értelmezzük a c n e inx n Z trigonometrikus sor formális integrálásával kapott (4.2) L(x) := c 0 x+ e inx c n n in (x T) függvényt, feltéve hogy a benne szerepl sor konvergens. Ez a helyzet például, ha {c n } együtthatókra teljesül a feltétel. c n < n n Vegyük észre, hogy a (4.) sor konvergenciája nem vonja maga után L(x) létezését. Például a sin nx log n = e inx 2i log n e inx 2i log n n=2 sor mindenütt konvergens, de L(x) az x = 0 pontban divergens: n=2 n=2 cos n0 L(0) = n log n = n log n. n=2 36 n=2

4. fejezet. Trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága Deníció. Legyen a (4.2) függvény értelmezve az x pont valamely környezetében. Ha a (4.3) L(x, h) 2h := L(x+h) L(x h) 2h s (h 0) határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy a (4.) trigonometrikus sor az x pontban Lebesgue módszerével összegezhet, az s számot pedig a sor Lebesgue értelemben vett összegének nevezzük. Figyeljük meg, hogy ez esetben az s érték éppen az L(x) függvény szimmetrikus deriváltja az x pontban, amit a szakirodalomban általában DL(x)-szel jelölnek. A következ tétel (lásd Zygmund [2,. kötet, 322. old.]) elegend feltételt ad arra, hogy egy trigonometrikus sor hagyományos és Lebesgue értelemben vett összege megegyezzen. 4.. Tétel. Legyen {c n } n Z C olyan sorozat, amelyre a (4.4) nc n = 0 N N n N feltétel teljesül. Ekkor minden x T esetén ( ) L(x, h) s N (x) = 0, ahol N := h 0 2h [ ] h és h > 0, ráadásul a konvergencia egyenletes x-ben. Megjegyezzük, hogy ha akkor a (4.4) feltétel biztosan teljesül. nc n = 0, n A most bemutatott Lebesgue szummálhatóság fogalmát Bagota és Móricz [] cikkükben terjesztették ki kétváltozós trigonometrikus sorokra. Röviden összefoglaljuk a cikk f bb eredményeit, amelyek kés bbi kutatásinkat inspirálták. Tekintsük a {c m,n } C számokból képezett (4.5) c m,n e i(mx+ny) m Z n Z kétváltozós komplex trigonometrikus sort, melynek konvergenciáját az s M,N szimmetrikus részletösszegek Pringsheim értelemben vett konvergenciájával értelmezzük (lásd az el z fejezetben). 37

4. fejezet. Trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága Tekintsük a fenti (4.5) sor x és y szerinti formális integrálásával képezett (4.6) L(x, y) := c 0,0 xy +y e imx c m,0 im +x e iny c 0,n in + m n m n e i(mx+ny) c m,n i 2 mn függvényt, feltéve hogy a benne szerepl sorösszegek mind léteznek és végesek. Deníció. Tegyük fel, hogy a (4.6)-beli függvény értelmezve van az (x, y) pont egy környezetében. Képezzük az L(x, y) függvény szimmetrikus dierenciahányadosát az (x, y) pontban: Ha a L(x, y, h, k) 4hk := [L(x+h, y +k) L(x h, y +k)+ 4hk +L(x h, y k) L(x+h, y k) ] L(x, y, h, k) = s h,k 0 4hk véges határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy a (4.5) sor az (x, y) pontban Lebesgue módszerével összegezhet s-hez. Itt is megjegyezzük, hogy az s értéke éppen L(x, y) függvény szimmetrikus deriváltja az (x, y) pontban. A következ tétel a 4.. Tétel kett s sorokra vonatkozó kiterjesztése (lásd Bagota, Móricz [, 2. Tétel]). 4.2. Tétel. Ha a {c m,n } C sorozatra teljesülnek a (4.7) M M m M n Z mc m,n = 0 és (4.8) N N nc m,n = 0 n N m Z feltételek, akkor bármely (x, y) T 2 pont esetén ( ) L(x, y, h, k) (4.9) s M,N (x, y) = 0, h,k 0 4hk ahol M := [ ], N := h [ ] k és h, k > 0, továbbá a (4.9)-beli konvergencia egyenletes (x, y)-ban. 38

4. fejezet. Trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága Megjegyzés. Speciálisan, hogy ha a {c m,n } m,n Z együtthatókra fennáll, hogy m n Z mc m,n = 0, akkor szükségképpen (4.7) is teljesül. Hasonlóan, garantálja (4.8) fennállását. n m Z nc m,n = 0 4.2. Egyszeres trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatósága A Lebesgue összegezhet ség fogalmát Szász [7] cikkében b vítette tovább, amelyben trigonometrikus integrálok Lebesgue szummálhatóságát vezette be a következ kben bemutatott módon. Legyen az f : R C függvény Lebesgue-értelemben integrálható R minden korlátos intervallumán, jelölésben: f L (R). Tekintsük a loc (4.0) f(s)e isx ds, x T trigonometrikus integrált az I S (x) := R s <S f(s)e isx ds (x T) szimmetrikus részintegráljaival. A (4.0) integrált konvergensnek nevezzük az x T pontban, ha a I S(x) = l S határérték létezik. Ekkor azt mondjuk, hogy az integrál értéke az x pontban az l szám. Ha (4.0)-ben x szerint formálisan integráljuk az integrandust, akkor az (4.) L(x) := R f(s) eisx ds (x T) is függvényhez jutunk. Mivel (4.)-ben szerepl Lebesgue integrál nem feltétlenül létezik, L(x) deníciója egyenl re csak formális. 39