Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra Pfeil Tamás matematikai elemz szakos adjuktus hallgató Budapest 07
Tartalomjegyzék Bevezetés. Elméleti összefoglaló.. Végtele sorok.................................... Hatváysorok.................................. 5.. Taylor-sorok, Taylor-formula.......................... 7.4. A végtele sor összege.......................... 8 =. Alkalmazások.. Végtele sorok összege............................... Biomiális sorfejtések és alkalmazásaik.................... 4 Irodalomjegyzék Köszöetyilváítás
Bevezetés Témámak a hatváysorok alkalmazását választottam umerikus sorok vizsgálatára. Szakdolgozatomat két részre osztottam. Az els részbe, vagyis az elméleti összefoglalóba ismertetem a témával kapcsolatos deíciókat, tételeket, állításokat, ezzel bemutatom a végtele sorok, hatváysorok és Taylor-sorok elméleti hátterét. A következ fejezetbe végtele sorok összegéek vizsgálatával, majd a biomiális sorokkal és alkalmazásaikkal foglalkozom.
. fejezet Elméleti összefoglaló.. Végtele sorok. Deíció. Legye N +. Ekkor!! = ( )( 4)..., ha páros.!! = ( )( 4)..., ha páratla. Emellett legye 0!! =.. Deíció. Legye (a ) egy valós számsorozat. Jelölje (s ) azt a sorozatot, melyek tagjai s = a s = a + a. s = a + a +... + a = k= a k Ezeket a számokat a. a végtele sor részletösszegeiek evezzük, ahol s az -edik = részletösszeget jelöli. Ha létezik a = lim s. = lim s, azt a végtele sor összegéek evezzük. Jelölés:
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ. Deíció. A a végtele sort kovergesek evezzük, ha a részletösszegek (s ) = sorozata koverges. A (s ) sorozata diverges.. Tétel. Ha a = a végtele sort divergesek evezzük, ha a részletösszegek = 4. Deíció. Adott R eseté a a végtele sor koverges, akkor lim a = 0. alakú sort mértai sorak evezzük, ahol a mértai sor kvóciese.. Tétel. A mértai sor akkor és csak akkor koverges, ha <, és ekkor az összege.. Tétel. Ha a eseté a a végtele sor koverges és összege s, akkor bármely c valós szám = c a végtele sor is koverges és összege c s, azaz = 4. Tétel. Ha a és = ca = c a. b koverges végtele sorok és az összegük a, illetve b, akkor a = (a +b ) végtele sor is koverges és összege a+b, azaz = 5. Deíció. Legye = (a +b ) = = = a + b. a végtele sor, ( k ) idesorozat és legye 0 = 0. Ekkor a = végtele sor egy zárójelezése (a k + + a k + +... + a k ) = k= k= k i= k + = (a +... + a ) + (a + +... + a ) + (a + +... + a ) +..... Állítás. Ha egy végtele sor koverges, akkor aak bármely zárójelezése is koverges, és az összege változatla.. Bizoyítás. Legye a = a a i = = végtele sor koverges, tehát az (s ) részletösszegsorozata tart egy s valós számhoz. Legye ( k ) idesorozat és legye 0 = 0, ekkor a k végtele sor egy zárójelezése, eek k-adik részletösszegét jelölje s k. k= i= k + a i
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 4 Mivel s k = s k mide k idere, továbbá a koverges (s ) sorozat mide részsorozata = is koverges és a részsorozat határértéke egyel az eredeti sorozat határértékével, ezért s k s. 6. Deíció. A a végtele sort abszolút kovergesek evezzük, ha a a végtele sor koverges. 7. Deíció. A a végtele sort feltételese kovergesek evezzük, ha koverges, = de em abszolút koverges. 8. Deíció. Legye a végtele sor és b : N + N + egy bijekció, azaz a pozitív egész = számok halmazáak ömagára törté bijektív leképezése. Ekkor a a a végtele sor b bijekcióhoz tartozó átredezéséek evezzük. = = a b() végtele sort A következ kritériumok segítségével gyakra eldöthetjük, hogy koverges vagy diverges végtele sorral álluk szembe. = 5. Tétel (D'Alembert-féle háyadoskritérium). Legye (a ) egy olya sorozat, melyre mide ide eseté a 0. Ha lim a + a <, akkor a Ha lim a + a >, akkor a a végtele sor abszolút koverges. = a végtele sor diverges. = 6. Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium). Ha lim a <, akkor a a végtele sor abszolút koverges. Ha lim a >, akkor a 7. Tétel (Leibiz-kritérium). A = a végtele sor diverges. = ( ) + a alakú végtele sor koverges, ha (a ) egy = pozitív tagú ullsorozat és va olya N pozitív egész szám, hogy mide N ide eseté a a +.
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 5 8. Tétel (Összehasolító kritériumok). Legye a emegatív tagokból álló végtele = sor. Ha va olya koverges c végtele sor és N pozitív egész szám, hogy mide = N eseté a c, akkor a a végtele sor koverges. = Ha va olya emegatív tagokból álló diverges d végtele sor és N pozitív = a végtele sor diver- egész szám, hogy mide N eseté a d, akkor a ges. =.. Hatváysorok 9. Deíció. Legye 0 R és a, N sorozat. Ekkor a ( 0 ) egy 0 középpotú hatváysor. Az a, N számokat a hatváysor együtthatóiak hívjuk. A hatváysor kovergeciahalmaza azo valós számok halmaza, melyekre a a ( 0 ) végtele sor koverges. 9. Tétel (CauchyHadamard-tétel). Bármely hatváysor kovergeciahalmaza itervallum, mely a végpotjaitól eltekitve a hatváysor középpotjára szimmetrikus. A hatváysor az itervallum mide bels potjába abszolút koverges. 0. Tétel (CauchyHadamard-formula). Legye R = lim sup a. Ha 0 < R, akkor. Ha 0 > R, akkor a ( 0 ) abszolút koverges. a ( 0 ) diverges. pozitív valós szám. A feti R számot a hatváysor kovergeciasugaráak evezzük. Ha lim sup a = 0, akkor a hatváysor mide valós számra abszolút koverges. Ekkor azt modjuk, hogy a hatváysor kovergeciasugara R =. Végül lim sup a = eseté a hatváysor csak az 0 helye koverges, ilyekor azt modjuk, hogy a hatváysor kovergeciasugara R = 0.
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 6 Ha a hatváysor kovergeciahalmaza a K itervallum, akkor ( 0 R, 0 + R) K [ 0 R, 0 + R]. 0. Deíció. A a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéyéek evezzük azt az f függvéyt, mely a hatváysor kovergeciahalmazá va értelmezve és ott a függvéyérték f() = a ( 0 ).. Tétel. Ha a ( 0 ) pozitív kovergeciasugarú hatváysor és összegfüggvéye f, akkor az összegfüggvéy a kovergeciahalmaz bels potjaiba tetsz legese sokszor diereciálható, és ott mide k N + eseté f (k) () = ( )... ( k + )a ( 0 ) k. =k. Következméy. Ha a pozitív kovergeciasugarú a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéye f, akkor a = f () (a), N.!. Tétel (Abel-tétel). A a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéye folytoos a ko- vergeciaitervallum mide potjába.. Deíció. Legye az f függvéy értelmezve az I itervallumo és legye az F függvéy diereciálható ugyaott. Az F függvéyt f egy primitív függvéyéek evezzük az I itervallumo, ha F () = f() mide I eseté.. Deíció. Az f függvéy összes primitív függvéyéek halmazát az f függvéy határozatla itegráljáak evezzük. Jelölése: f()d.. Deíció. Legye [a, b] zárt itervallum, N + és a = 0 < <... < < = b. A P = { 0,,..., } halmazt [a, b] felosztásáak evezzük. 4. Deíció. Legye f az [a, b] zárt itervallumo értelmezett korlátos függvéy. Azt modjuk, hogy az I szám az f függvéy [a, b] itervallumo vett Riema-itegrálja, ha bármely ε > 0 számhoz létezik olya δ > 0 szám, hogy az [a, b] itervallum mide olya P = { 0,,..., } felosztására, melyre P < δ, bárhogya is választjuk ki a c k értéket
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 7 az [ k, k ] itervallumból, teljesül, hogy f(c k ) k I < ε. A Riema-itegrál jelölése I = b a f. k=. Tétel. Ha az f függvéy folytoos az [a, b] itervallumo, akkor az [a, b] itervallumo Riema-itegrálható. 4. Tétel. Tegyük fel, hogy a a ( 0 ) hatváysor az ( 0 R, 0 + R) itervallum mide potjába koverges, és ott az összegfüggvéye f. Ekkor ezekbe a potokba ( 0 ) + koverges a a hatváysor is, továbbá az ( 0 R, 0 + R) itervallumo + ( 0 ) + f()d = a + C, C R. + 5. Tétel. Legye a a ( 0 ) hatváysor összegfüggvéye f, a kovergeciahalmazát pedig jelölje K. Ha [a, b] K, akkor b a f()d = b a a ( 0 ) d = [ a ( 0 ) + + ] b. a.. Taylor-sorok, Taylor-formula 5. Deíció. Ha az f valós függvéy -szer diereciálható az 0 potba, akkor a T () = k=0 f (k) ( 0 ) ( 0 ) k k! poliomot az f függvéy 0 középpotú -edik Taylor-poliomjáak evezzük. 6. Deíció. Legye az f valós függvéy akárháyszor diereciálható az 0 potba. A f () ( 0 )! ( 0 ) = f( 0 )+ f ( 0 )! ( 0 )+ f ( 0)! hatváysort az f függvéy 0 középpotú Taylor-soráak evezzük. ( 0 ) +...+ f () ( 0 ) ( 0 ) +...! Megjegyzés. A Taylor-poliomok a Taylor-sor részletösszegei. Ha speciálisa 0 = 0, akkor a megfelel f () (0)! = f(0) + f (0)! + f (0)! +... + f () (0) +...!
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 8 Taylor-sor az f függvéy úgyevezett Mclauri-sora. Ha 0 valamely köryezetébe f akárháyszor diereciálható függvéy és deriváltjai e köryezetbe abszolútértékbe közös korlát alatt maradak, akkor a függvéy e helyhez tartozó Taylor-sora koverges és el állítja a függvéyt, vagyis f () ( 0 ) f() = ( 0 )! = f( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) + f ( 0)! hacsak az 0 pot szóbaforgó köryezetébe esik. ( 0 ) +... + f () ( 0 ) ( 0 ) +...,! 6. Tétel (Taylor-formula a maradéktag Lagrage-féle alakjával). Legye az I yílt itervallumo értelmezett f valós függvéy ( + )-szer diereciálható és legye 0 I. Ekkor mide I eseté létezik olya c szám 0 és között, melyre R () = f() T () = f (+) (c) ( + )! ( 0) +. 7. Tétel (Biomiális sorfejtés). Legye α R. Ekkor mide R, < eseté ( ) ( ) ( ) α α α ( ) α ( + ) α = + + +... =, 0 ahol ( ) α =, 0 ( ) α = A hatváysor kovergeciasugara. α(α )... (α + ), N +.!.4. A = végtele sor összege Elemi úto meghatározzuk a végtele sor összegét. = ( Alkalmazzuk a Moivre-formulát az 0, π ) számra! (cos() + i si()) = cos() + i si(), N +. ( ) cos() + i si() (cos() + i si()) cos() + i si() = = = (ctg() + i). (si()) (si()) si() A biomiális tételt haszálva: ( ) (ctg() + i) = ctg () + 0 ( ) ( ) ctg ()i +... + ctg()i + ( ) i =
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 9 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] = ctg () ctg () +... + i ctg () ctg () +.... 0 cos() + i si() (si()) és (ctg() + i) egyel, ezért a képzetes rész is egyel, azaz si() si() = ( ) ctg () ( ) ctg () +.... Ha a kitev páratla szám, azaz = m +, akkor [( ) ( ) ( )] si((m + )) m + m + m + = ctg m () ctg m () +... + ( ) m. si() m+ m + Az egyelet jobb oldalá ctg () poliomja található, melyek zérushelyei l = l =,,..., m, hisze ( ) lπ si (m + ) = si(lπ) = 0. m + lπ m +, Az,,..., m zérushelyek külöböz számok a ( 0, π ) itervallumba, ezért az m- edfokú ( ) ( ) ( ) m + m + m + y m y m +... + ( ) m m + poliom gyökei ctg ( ), ctg ( ),..., ctg ( m ). Mivel ctg szigorúa mooto csökke ( a 0, π ) itervallumo és,..., m az itervallum külöböz elemei, ezért ctg ( l ), l =,..., m, a ( ) poliom összes gyöke. A A poliom gyökei és együtthatói közötti egyik összefüggés (Viète-formula) szerit ( m+ ) ctg ( ) + ctg ( ) +... + ctg m(m ) ( m ) = ( m+ ) =. ( si () = ctg () +, 0, π ) azoosság alapjá pedig si ( ) + si ( ) +...+ si ( m ) = m+ctg ( )+ctg ( )+...+ctg ( m ) = Tudjuk, hogy mide Ezt alkalmazva az l = si ( ) > lπ m+ ( 0, π ) számra si() < < tg(), vagyis lπ, l =,..., m számokra azt kapuk, hogy m + (m + ) l π > ctg ( ) lπ, l =,..., m. m + (*) m(m + ). si() > > ctg().
. FEJEZET. ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ 0 Az m számú egyel tleséglácot összeadva az eredméy m(m + ) > (m + ) (m + ) (m + ) + +... + > π π m π m(m ). Ebb l ekvivales átalakítással a + + + 4 +... + m-edik részletösszegre a m következ t kapjuk: π m(m + ) (m + ) > + + + 4 +... + m > π m(m ) (m + ). Mivel hogy m(m + ) m(m ) lim = lim = m (m + ) m (m + ), ezért a red relv alapjá azt kapjuk, lim ( + + + 4 +... + m ) = π m 6.
. fejezet Alkalmazások.. Végtele sorok összege. Példa. ()!! = e. Tudjuk, hogy az epoeciális függvéy ulla középpotú Taylor-sorfejtése e =!, R. Az változó helyére az értéket behelyettesítve megkapjuk a kérdéses végtele sort: e ( = e = )! =! = ()!!.. Példa. ( ) + = l + π. Vizsgáljuk meg a ( ) + + hatváysort, az összegfüggvéye legye f. El ször határozzuk meg a hatváysor kovergeciasugarát a háyadoskritériummal! A középpotba mide hatváysor abszolút koverges, ezért most tegyük fel, hogy 0. Ebbe az esetbe lim a + = lim ( ) + + 4 + ( ) +4 + = lim + + 4 =. a Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges, és ha >, akkor a hatváysor diverges.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK Ezutá ézzük meg a kovergeciaitervallum végpotjaiba a végtele sort! Ha =, ( ) akkor a végtele sor Leibiz-típusú, tehát koverges, és = eseté a + ( ) + ( )+ = + végtele sor diverges. Tehát a kovergeciahalmaz (, ]. A hatváysor összegfüggvéye a kovergeciaitervallum belsejébe tagokét diereciálható, ezért a (, ) itervallumo f () = ( ) = ( ) = ( ) = ( + ) ( + ). Határozzuk meg a racioális törtfüggvéy primitív függvéyeit, amihez el ször botsuk azt parciális törtekre! + = A + + B + C + = A A + A + B + B + C + C + = (A + B) + (B A + C) + (A + C). + A + B = 0 B A + C = 0 A + C = Az egyeletredszer megoldása A =, B =, C =. Itegráljuk a vizsgált racioális törtfüggvéyt! + d = + d + + + d = l + + d = l + 6 + Teljes égyzetté alakítással adjuk meg + = ( ) + 4 + d = 4 = 4 Az el z ek szerit + d = l + 6 + d+ primitív függvéyeit: 4 ( ) + = 4 ( ) +, arctg( ) + K = + d + arctg( ) + K. + d + d.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK ( ) = l + 6 l( + ) + arctg + K. Alkalmas K R eseté f() = ( ) 6 l + + + Az = 0 értéket behelyettesítve: ( ) 0 = f(0) = arctg 6 l () + + K. ( ) arctg + K, < <. (*) Ekkor a K = π 6 eredméyt kapom. Az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a (, ] itervallumo, a ( ) egyel ség jobb oldalá álló függvéy pedig folytoos az = helye, ezért ( ) + = f() = l + π 6 + π 6 = l + π.. Példa. = = l. Iduljuk ki a mértai sorból! = + + + +... = Helyettesítsük helyébe a értéket! + = + +... =, <. ( ), <. Tudjuk, hogy a hatváysor összegfüggvéyéek primitív függvéyeit tagokéti itegrálással számolhatjuk ki, ezért létezik olya C R, melyre l( + ) = C + + 4 4 +... = C + ( ) Az egyel ség az = 0 helye a C = 0 értéket adja. = +, (, ). ( ) Határozzuk meg a CauchyHadamard-formulával a hatváysor kovergeciasugarát! lim ( ) + = =.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 4 A hatváysor = eseté koverges, = eseté pedig diverges, tehát a kovergeciaitervallum (, ]. Az Abel-tétel szerit a ( ) sorfejtés = eseté is érvéyes. Helyettesítsük helyébe a értéket, így l( ) sorfejtését kapjuk meg: l ( ) = ( ) ( ) = = =, [, ). Ebb l következik, hogy Ha =, akkor l ( ) = = [, ). 4. Példa. = 6. ( l ) = l = ( ),. = = El ször megoldjuk a feladatot a mértai sorfejtésb l kiidulva, majd egy hatváysor összegfüggvéyét megkeresve is. A két megoldás lépései léyegébe azoosak. Els megoldás. Iduljuk ki az = + + + +... =, < sorfejtésb l! A kovergeciaitervallum mide bels potjába tagokéti deriválással azt kapjuk, hogy ( ) = Ezt megszorozzuk az változóval: ( ) = + + + 4 + 5 4 +... = ( ) = + + + 4 4 + 5 5 +... =. =, <. A kapott sorfejtést ismét deriváljuk tagokét, majd az eredméyt szorozzuk meg az változóval! = ( ) + ( ) = ( ) = + 4 + 9 + 6 +... =, =
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 5 Az = + ( ) = + 4 + 9 + 6 4 +... =, <. = értéket behelyettesítve megkapom a keresett összeget: = Második megoldás. Vizsgáljuk meg a helye a kérdéses összeg, vagyis = + 4 4 + 9 8 + 6 6 + 5 +... = 6. = hatváysort, mivel eek értéke az = =. Jelölje a hatváysor összegfüggvéyét f. Határozzuk meg a hatváysor kovergeciasugarát és a kovergeciaitervallumát a háyadoskritérium segítségével! A középpotba mide hatváysor abszolút koverges, ezért most tegyük fel, hogy 0. Ebbe az esetbe lim ( + ) + = lim ( + ) =. Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges, és > eseté a hatváysor diverges. Ha 0, akkor osszuk el az f() függvéyértéket az változóval! f() =. = Jelölje F az f(), (0, ) függvéyek azt a primitív függvéyét, melyre lim F () = 0. 0 Ekkor a jobb oldalo tagokét képezve az primitív függvéyeket F () = Ismét alkalmazzuk a korábbi lépéseket!, (0, ). = F () =, = F () d = C + = C + alkalmas C kostas eseté a (0, ) itervallumo. Deriváljuk az egyel ség midkét oldalát, majd szorozzuk meg az változóval: F () = ( ),
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 6 F () = Ismételjük meg az el bbi lépéseket!, (0, ). ( ) f() = F () = + ( ), ( + ) f() = ( ). Végül számoljuk ki a kapott függvéyt az = ( ) helye! Mivel f = megkaptuk a vizsgált végtele sor összegét. 5. Példa. = Legye f() = = π (l ). =,. 8 Gyökkritérium segítségével határozzuk meg, hogy hol koverges a hatváysor. = lim =. lim = 6, ezzel Ha <, akkor a hatváysor koverges, és ha >, akkor a hatváysor diverges. Vizsgáljuk meg a hatváysort a kovergeciaitervallum végpotjaiba! = eseté ( ) koverges és = eseté szité koverges. Tehát a hatváysor = kovergeciahalmaza [, ]. Ezutá belátjuk, hogy = f() + f( ) + l () l ( ), (0, ) kostasfüggvéy. Mivel a kovergeciaitervallum belsejébe a hatváysor összegfüggvéyéek deriváltfüggvéyét tagokéti deriválással határozhatjuk meg, ezért f () = =, <. Az f deriváltfüggvéy az helye f ( ) ( ) =, 0 < <. Másrészt az f függvéy az helye ( ) f( ) =, 0. = =
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 7 Deriváljuk az l() l( ), (0, ) függvéyt: (l () l ( )) = l ( ) + l () l ( ) l () ( ) =. Ezért mide (0, ) eseté és (f() + f( ) + l() l( )) = f () f ( ) + = Tudjuk, hogy Ezek alapjá = = ( ) + = = ( ) + = l() = = = l( ) l( ) l() l( ) l(). + ( ) ( ), 0 < = l( ) = = =, <. = l() (f() + f( ) + l() l( )) = ( ) + ( ) = 0, (0, ). Ezzel beláttuk, hogy az f() + f( ) + l() l( ), (0, ) függvéy kostasfüggvéy. Határozzuk meg e függvéy tagjaiak határértékét, amikor tart egyhez balról! π lim f() = 0 6, mert f egy hatváysor összegfüggvéye, ahol a hatváysor a [, ] itervallumo koverges és ott az összegfüggvéye folytoos. Ezért az helye balról a határértéke az ottai függvéyérték, ami f() = = π az.4. alfejezet szerit. 6 lim f( ) = 0 az f függvéy ulla potbeli folytoossága miatt. 0 = A harmadik tag határértékéek kiszámításához a L'Hospital-szabályt kétszer egymás utá alkalmazhatom, hisze az els háyados számlálójáak és evez jéek a határértéke az adott helye, a másodikak pedig 0. lim l() l( ) = lim 0 l( ) 0 l() = lim 0 l
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 8 Határértéket véve az = helye balról l = lim 0 = lim l()+ l 0 = 0. π lim (f() + f( ) l() l( )) = 0 6, és f() + f( ) + l() l( ), (0, ) kostasfüggvéy, ezért f() + f( ) + l() l( ) = π, (0, ). 6 Ha pedig az = Tehát helye tekitjük a kostasfüggvéyt, akkor f ( ) + f = = ( ) + l ( ) l + (l ) = π 6. = π (l ). ( ) = π 6, Megjegyzés. Iduljuk ki az t = + t + t +... = t, t < sorfejtésb l. Tetsz leges (0, ) eseté midkét oldalt a [0, ] itervallumo itegrálva, a jobb oldalo tagokét itegrálva azt kapjuk, hogy Osszuk az változóval! 0 t dt = 0 0 t dt, l( ) = + + +... = + +, 0 < <. l( ) A L'Hospital-szabály segítségével vizsgáljuk meg az l( ), (0, ) függvéy határ- értékét a ulla helye! = + + +... =, 0 < <. (*) + l( ) lim 0 = lim 0 =,
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 9 hisze az els háyados számlálójáak és evez jéek 0 a határértéke az adott helye. Az l( ), (0, ) függvéyt folytoosa kiterjesztjük a ulla potra a határértékkel, [ akkor a kiterjesztett függvéy folytoos a 0, ] itervallumo, így Riema-itegrálható a [ 0, ] itervallumo. A ( ) egyel ség midkét oldalát itegrálva a [ 0, ] itervallumo a következ eredméyt kapjuk: Ezért 0 l( ) d = 0 [ + ( + ) ] l( ) d = 0 = = = ( ( ) ) 0 = = π (l ). =. l( + ) Ismert, hogy d [ ] em elemi függvéyekb l áll, mégis az itegradus a 0, itervallumo vett Riema-itegrálját ki tudtuk számoli. 6. Példa. ( ) + = l. = Tudjuk, hogy mide (, ] eseté l( + ) = ( ) = + Az = értéket behelyettesítve megkapjuk az példabeli végtele sor összegét: l = ( ) +. Ez a végtele sor feltételese koverges, mivel diverges. = Tekitsük a 6. példabeli végtele sorak azt a b átredezését, ahol b = = =., b = 4, b = 4, N+. Vegyük az átredezett végtele sor -edik részletösszegét: s = }{{ } 4 + }{{ 6} 8 + 5 ( }{{ 0} +... + ) }{{ 4 } 4 6 0 4
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 0 = = 4 + 6 8 + 0 +... + 4 4 ( + 4 + 5 6 +... + A kapott szorzat második téyez je a ezért eseté a határértéke l. A másik két részsorozat = ( ) + ), N +. végtele sor -edik részletösszege, s + = s + +, s + = s + 4, N+. Ezért az (s + ) és (s + ) részsorozatok határértéke is l, így az (s ) részletösszegsorozat határértéke is l, azaz 4 + 6 8 +... = l. 7. Példa. Változtassuk meg a harmoikus sor tagjaiak el jelét úgy, hogy három pozitív tag utá három egatív tag következze, majd ez ismétl djö. Legye tehát akkor b + = ( ) +, b + = ( ) +, b + = ( ) +, N, b = + + 4 5 6 + 7 + 8 + 9.... = El ször lássuk be, hogy s = Ez a ( + + ) = b koverges. = ( 4 + 5 + 6 ( ( ) + + + ) ) ( +...+( ) + + + ), N +. végtele sor -edik részletösszege. Ez utóbbi végtele sor Leibiz-típusú, ezért koverges, vagyis (s ) koverges. Mivel s + = s + ( ) + lim (s ), s + = s + + ( ) + lim (s ), ezért (s ) koverges, vagyis a b végtele sor koverges. =
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK így Mivel + = ( ) = + 6 9 +..., <, f() = + + + = ( + + ) ( ) = ( + + ) ( + 4 + 5 ) +... = + + 4 5 + 6..., <. Az utóbbi hatváysor kovergeciasugara R =, mert mide együttható (c = ( ) [ ], N) abszolútértéke, ezért a CauchyHadamard-formula szerit R = c =. lim Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges. Az utolsó egyel ség azért teljesül, mert egy koverges végtele sor mide zárójelezése is koverges, és a zárójelezett végtele sor összege egyel az eredeti végtele sor összegével. A c hatváysor összegfüggvéyét a (, ) itervallumo tagokét itegrálva ahol K R. + + + d = K + + + 4 4 5 5..., Határozzuk meg a bal oldali itegrált parciális törtekre botással! + + + = + + ( + )( + ) = A + + B + C +, + + = (A + B) + (B A + C) + (A + C), A + B = B A + C =. A + C = Az egyeletredszer megoldása A =, B =, C =. Itegráljuk a vizsgált racioális törtfüggvéyt: + + d = + + d + = l + + + + d + + d. A. példába teljes égyzetté alakítás segítségével meghatároztuk a jobb oldali primitív függvéyeket: arctg( d = ) + L, L R. +
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK A fetiek alapjá + + d = + l + + + + d = l + + + d + + d ( ) = l + + arctg l( + ) + + L, L R. Jelölje a b = R =, mert R = hatváysor összegfüggvéyét g. A hatváysor kovergeciasugara lim b = lim =. Tehát a hatváysor koverges a (, ] itervallumo. El ször az = 0 értéket helyettesítem be, ekkor az L = π eredméyt kapom. Az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a (, ] itervallumo, tehát 8. Példa. = Iduljuk ki az sorfejtésb l. g() = l + ( ) + = π 4. = + + +... = π + π = π l +., < Az változó helyére helyettesítsük be a értéket: + = + 5 5 7 7 +... = ( ), <. Vegyük midkét oldal primitív függvéyeit a (, ) itervallumo. A hatváysor primitív függvéyeit tagokét képezhetjük, ezért alkalmas C R eseté arctg() = ( ) + + + C, <. Határozzuk meg a jobb oldalo álló hatváysor kovergeciasugarát a háyadoskritérium segítségével! lim + + + + = lim + + =.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK A hatváysor < eseté abszolút koverges, és > eseté diverges, tehát a kovergeciasugara. A hatváysor = és = eseté is Leibiz-típusú, ezért koverges, így a kovergeciahalmaza [, ]. Az = 0 értéket behelyettesítve a C = 0 eredméyt kapom, tehát arctg() = ( ) +, <. + Ha =, akkor az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a [, ] itervallumo, továbbá az arctg függvéy is folytoos a [, ] itervallumo, így ( ) + = + 5 7 +... = arctg = π 4. 9. Példa. ( ) ( + ) = π 6. A 8. feladat megoldásakor meghatároztuk az arctg függvéy ulla középpotú sorfejtését, ami az = helye ( ) arctg = ( ( ) + ) + = ( ) ( + ) amib l következik, hogy = + 5 9 7 7 +..., ( ) ( + ) = + 5 9 7 7 +... = arctg ( ) = π 6.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 4.. Biomiális sorfejtések és alkalmazásaik. Példa. ( )!! + = ( ),. ()!! ( ) α Ismert, hogy a biomiális sor < eseté abszolút koverges, és ( + ) α = ( ) α + 0 A biomiális sorfejtés α = eseté Mivel eseté ( ) = ezért a keresett sorfejtés ( ) α + ( + ) = ( ) α +... = ( ), <. ( ) ( ) ( )... ( + )! ( ) α, <. ( )!! = ( ), ()!! + = + + ( )!! ( ), <. ()!! Határozzuk meg a kovergeciasugarat a háyadoskritérium segítségével! ( ) (+ )!! + lim ((+))!! = lim + =, = ( ) ( )!! ()!! ha 0. A középpotba pedig mide hatváysor koverges. Tehát ha <, akkor a végtele sor abszolút koverges, ha >, akkor pedig diverges. Ha =, akkor ( )!! ( ) ( ) = ()!! Becsüljük az utóbbi végtele sor tagjait! ( )!!. ()!! 0 < ( )!! ()!! = ( )!! ()!! < < + ( ). A majoráskritérium miatt a is koverges. = végtele sor koverges, ekkor ( )!! ()!!
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 5 Ha =, akkor Leibiz-típusú, ezért koverges. ( )!! ( ) ()!! Tehát az = helye a hatváysor koverges és = eseté is koverges a ( )!! hatváysor, hisze ( ) is abszolút koverges. Vagyis a kovergecia- ()!! halmaz [, ]. Vizsgáljuk meg a Taylor-formula segítségével a maradéktagot, hogy az milye eseté tart ullához! Legye f() = +, D(f) = [, ]. Eek a függvéyek a deriváltfüggvéyei: f () = ( + ), f () = ( ) ( + ), ( ) ( f () = ) ( ) ( + ) 5,. f () + ( )!! () = ( ) ( + ), N + (, ) eseté, amit teljes idukcióval igazolhatuk. A Lagrage-féle maradéktagos Taylor-formula szerit mide [, ) számhoz létezik olya c () (, ) ulla és között, melyre + = k=0 f (k) ( 0 ) k! k + f (+) (c ()) +. ( + )! E Taylor-formula maradéktagja: eek az abszolútértéke ( )!! R () = ( ) + ( + )! ( + c ()) + +, R () = ( )!! + c () ( + )!! + c () Az R () maradéktag rögzített eseté akkor és csak akkor tart ullához eseté, ha R () ullához tart. +.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 6 Ha, akkor c () <, ezért + c () korlátos. Ha + c () < mide ( )!! idere, akkor ( + )!! 0 szerit R () 0, ha. A 0 < esetbe mide idere 0 c () <, ezért 0 <, így + c () eseté R () 0. Ha = 0, akkor yilvá R () = 0 0, amikor. Ha < 0, akkor < c () < 0 mide idere, ezért 0 < + c () <, amib l következik 0 > >. Tehát + c () + c () <, ezért R () 0, ha. Kérdés, hogy (, ) eseté Taylor-formula maradéktagja ullához tart-e eseté. Ezt az esetet más módo kell megközelíteük. Tekitsük tetsz leges α R eseté a ( ) α biomiális sort, az összegfüggvéye legye f. Tudjuk, hogy f diereciálható a (, ) itervallumo, és itt f () = α(α )... (α + ).! = Ezt szorozzuk meg az ( + ) téyez vel! ( ) f α(α )... (α + ) ()( + ) = ( + )! = = = α(α )... (α + ) +! Alakítsuk át az els tagot: = α + Ezért α(α )... (α + ) = α +! = m= = α(α )... (α m) (m + ) m = α + (m + )! f ()( + ) = α + = α + m= = m= α(α )... (α m) m + m! ( α(α )... (α ) +! = α(α )... (α + ).! α(α )... (α + )! α(α )... (α m) m, <. m! α(α )... (α + )! = α(α )... (α + )! )
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 7 = α+ = α(α )... (α + )! [(α ) + ] = α+α = ( ) α = αf(), <. Szétválasztható változójú diereciálegyeletet kaptuk az f összegfüggvéyre: ( + )f () = αf(), (, ). A szétválasztás utá itegráljuk midkét oldalt, majd megoldjuk az egyeletet: f () f() = α +, l f() = α l + + C, f() = K( + ) α alkalmas C, K R eseté a (, ) itervallumo. Ekkor az = 0 értéket behelyettesítve K = megoldást kapom. Tehát f() = ( + ) α, (, ). Az Abel-tétel szerit az összegfüggvéy folytoos a (, ] itervallumo, tehát az = helye vett sorfejtés eredméye ( )!! ( ) ()!! = =, az = helye vett sorfejtésb l pedig az következik, hogy. Példa. + = + ( )!! ( ) ( ) = ()!!. = ( )!! ( ), (, ]. ()!! A biomiális sorfejtés α = eseté Mivel eseté ( ) = ( ( + ) = ezért a vizsgált biomiális sorfejtés ( ), <. ) ( ) ( )... ( + )! + = + ( )!! ( ), <. ()!! = ( )!! = ( ), ()!!
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 8 Tudjuk, hogy a biomiális sor kovergeciasugara, ezért ha <, akkor a végtele sor abszolút koverges és ha >, akkor a végtele sor diverges. Ha =, akkor a végtele sor + ( )!! ( ). ()!! = Nézzük meg, hogy a tagok abszolútértékéek sorozata mooto csökke -e. Tetsz leges N + eseté ( )!! ()!! > ( + )!! ( + )!!, + > +, ( )!! ( )!! tehát az a = sorozat mooto csökke. Mivel <, N +, ()!! ()!! + ezért az (a ) sorozat ullához tart, így a végtele sor Leibiz-típusú, tehát koverges. Az Abel-tétel alapjá a sorfejtésb l az = helye következik ( )!! ( ) ()!! = =. Ha =, akkor a végtele sor + ( )!! ( ) ( ) = + ()!! = = ( )!!. ()!! Mivel ( )!! <, N +, ezért a mioráskritérium alapjá a végtele sor ()!! = eseté diverges.. Példa. = + = ( )!! ()!!, <. A. Példabeli sorfejtésbe helyébe helyettesítsük a számot, akkor éppe a keresett sorfejtést kapjuk. 4. Példa. arcsi() = + = ( )!! ( + )()!! +,. Az el z példabeli sorfejtés midkét oldaláak primitív függvéyeit képezve azt kapjuk, hogy arcsi() = + = ( )!! ( + )()!! + + C, <, ahol C R alkalmas kostas. Az = 0 értéket behelyettesítve megkapjuk, hogy C = 0.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 9 A középpotba mide hatváysor koverges. Ha pedig 0, akkor a háyadoskritérium segítségével vizsgáljuk meg a kovergeciát. lim ( + )!!()!! + ( + )!!( )!! + = lim + + =. Ha <, akkor hatváysor abszolút koverges, ha pedig >, akkor diverges. A hatváysor az = helye + = ( )!! ()!!( + ). Becsüljük az utóbbi végtele sor tagjait eseté: A = koverges. 0 < ( )!! ()!!( + ) < ( + ) <. végtele sor koverges, ekkor a majoráskritérium miatt ( )!! ()!!( + ) is Ha =, akkor az = potbeli végtele sor elletettjét kapjuk, ami szité koverges. Vizsgáljuk meg az = végpotba a hatváysort. Ekkor azt kapjuk, hogy 5. Példa. π = arcsi = + = ( )!! ()!! +. = + ( )!! ( ),. + ()!! = A. Példabeli sorfejtésbe helyébe az számot helyettesítve a keresett sorfejtéshez jutuk. 6. Példa. arsh() = + = ( ) ( )!! ( + )()!! +,. Az 5. Példabeli egyel ség midkét oldalá primitív függvéyeket képezve arsh() = + ( ) ( )!! ( + )()!! + + C, < = alkalmas C valós számra. Az = 0 értéket behelyettesítve C = 0 az eredméy. A hatváysor yilvá koverges = 0 eseté. Ha pedig 0, akkor a háyadoskritérium segítségével állapítjuk meg a kovergeciasugarat. lim ( + )!!()!! + ( + )!!( )!! + = lim + + =.
. FEJEZET. ALKALMAZÁSOK 0 Ha <, akkor a hatváysor abszolút koverges, ha pedig >, akkor diverges. Ha =, akkor ( ) ( )!! ()!!( + ) Leibiz típusú, ezért koverges. Amikor =, akkor az = helye vett végtele sor elletettjét kapjuk, ami koverges. Az = potba a sorfejtés eredméye arsh() = + ( )!! ( ) ()!! +. = Tudjuk, hogy arsh() = l( + + ), R, ezért ( )!! ( ) ()!! + = l( + ). =
Irodalomjegyzék [] Németh József: El adások a végtele sorokról (00), Polygo Kiadó, Szeged [] B. P. Gyemidovics (974): Matematikai Aalízis Feladatgy jteméy, Taköyvkiadó, Budapest [] Laczkovich Miklós - T. Sós Vera (007): Aalízis II., Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest [4] George B. Thomas: Thomas-féle Kalkulus. (0), Typote Kiadó, Budapest [5] Urbá Jáos: Határértékszámítás (004), M szaki Köyvkiadó, Budapest
Köszöetyilváítás Szeretém megköszöi témavezet mek Pfeil Tamásak a sok segítséget, a türelmet és a precizitást, amivel a szakdolgozatomat kezelte. Köszööm családom támogatását, akik lehet vé tették számomra, hogy eljussak idáig. Köszöet barátaimak, akik midig biztattak és mellettem álltak.