ZÉCHENYI ITVÁN EGYETEM MECHNIK - MOZGÁTN LKLMZOTT MECHNIK TNZÉK Eléleti kédések és álsok egetei lpképésben (Bc képésben) ésteı énökhllgtók sáá (0) Mtetiki lpok eléleti kédések köött seepelhetnek oln egseő sápéldák is, elek ektook és tenookkl ló őeleteket kéik sáon! - ektook skláis sot: dott: és b ekto Feldt: b = eghtáoás - ektook ektoiális sot: dott: és b ekto Feldt: b = eghtáoás - ektook kétsees ektoiális sot: dott:, b és c ekto b c = eghtáoás Feldt: - teno és ekto skláis sot: dott: eg T teno áti és eg ekto Feldt: T = eghtáoás - egségekto felíás: dott:, síkbn léı e egségektonk tengellel beát ϕ söge Feldt: e = eghtáoás () Definiálj kinetik foglát! kinetik ogás leíásál fogllkoik, de ogást kiáltó okokt ( eıhtásokt) ne isgálj () Definiálj kinetik foglát! kinetik ogás okit, ogást létehoó eıhtásokt isgálj, célj okok iseetében ogás eghtáoás (3) Definiálj ngi pont foglát! definíció: ngi tuljdonságokkl endelkeı geoetii pont definíció: Oln test odell, elnek helete (ogás) egetlen pontjánk heletéel (ogásál) egételően egdhtó
(4) Definiálj ee test foglát! Oln test odell, elben báel két pont táolság állndó - pontok táolság eıhtás se áltoik eg (5) Mi sbdságfok? test tébeli, g síkbeli heletét egételően eghtáoó, egástól lineáisn független skláis koodináták (skláis péteek) sá (6) dj eg ogásfüggén (ogástöén) és ngi pont pálájánk (pálgöbéjének) definícióját! ogásfüggén = ( t) helekto-idı P pálgöbe (ekto-sklá) függén, el ngi pont P pillntni heletét eghtáo 0 ( t) P def: pálgöbe tégöbe, elen pont ogás soán égighld ( t0) ( t) def: = ( t) ogásfüggén áltl eghtáoott tégöbe O (7) Definiálj eg tégöbe teésetes koodinát-endseének ián egségektoit! e d - éintı iánú egségekto: e =, e = ds n d e - fınoális egségekto: = κn= n, n = ds ρ b - binoális egségekto: b = e n, b = (8) dj eg ngi pont sebességfüggénének, illete pillntni sebességektoánk ételeését és íj le pillntni sebességekto tuljdonságit! sebességfüggén ogásfüggén idı seinti elsı d deiáltj: ( t) t = dt pillntni sebességekto sebességfüggén eg = ( t ) dott idıpillntbn felett étéke: Tuljdonsági: - pillntni sebesség ekto enniség, - pillntni sebességekto ián egegeik pálgöbe éintıjének iánál (9) Ételee ngi pont pál enti sebességét (pálsebességét) és íj le tuljdonságit! pál enti sebesség pálgöbe entén ét íkoodinát idı seinti elsı deiáltj: Tuljdonsági: - pálsebesség sebességekto éintı iánú koodinátáj, - pálsebesség (elıjeles) sklá enniség, - pálsebesség elıjelét s íkoodinát iánítás dönti el ( t) d s ( t) = dt
(0) Mi hodogáf? Íj le hodogáf legfontosbb jelleıjét! def: hodogáf göbe, elet ngi pont = t sebességektoink égpontj,, koodinát-endseben leí def: sebességektook égpontji áltl eghtáoott göbe, h sebességektookt eg köös kedıpontból éjük fel Legfontosbb jelleı: hodogáf göbe éintıi gosulásektook O hodogáf () dj eg ngi pont köepes sebességének ételeését! P ( t ) P t O < t t > idıintellu ontkoó köepes sebesség: ( t) ( t) k = = = t t t t t () dj eg ngi pont gosulásfüggénét, illete pillntni gosulásektoánk ételeését és íj le pillntni gosulásekto tuljdonságit! gosulásfüggén sebességfüggén idı seinti elsı deiáltj, illete ogásfüggén idı seinti ásodik deiáltj: pillntni gosulásekto gosulásfüggén eg dott idıpillntbn felett étéke: Tuljdonsági: - pillntni gosulás ekto enniség, - pillntni gosulásekto pálgöbe siulósíkjáb esik és pálgöbe e éintıje és n fınoális iánáb esı = ee+ nn össeteıkbıl áll: (3) e,n, b teésetes koodinát-endseben dj eg ngi pont gosulásekto koodinátáink elneeését, kisáítási ódját és fiiki ttlát! ( t) d ( t) d ( t) = = dt dt = Elneeés Kisáítási ód Fiiki ttlo Pál enti gosulás (pálgosulás): Noális gosulás: ( t) d s( t) d e = = dt dt n = ρ t sebességekto ngságánk áltoását jellei sebességekto iánánk áltoását jellei 3
(4) Milen függéneket neeünk foonóii függéneknek és ilen kpcsoltbn állnk egássl? Fooóii függéneknek s = s(t), = (t), e = e (t) pálenti ogásjelleık idıtıl ló függését egdó sklá-függéneket neeük Össefüggés fooóii függének köött: Iset: s=s(t) Iset: e = e (t), s 0, 0 Meghtáondó: ( t) ( t) d s =, dt d ( t) d s( t) e t = = dt dt Meghtáondó: ( t) s t = ( t)dt, 0 + t0 ( t) s ( t)dt 0 t + = (5) dj eg ngi pont egenes onlú ogásánk és síkogásánk definícióját! Egenes onlú ogás: töegpont pálájánk nincs göbülete ( κ = 0 ), göbületi sugá pál inden pontjábn tt égtelenhe (ρ ) íkogás: h ngi pont ogás soán 0 kedısebesség és 0 kedıgosulás ektook síkjából ne lép ki (6) Definiálj ee test sebességállpotát! Mee test sebességállpot ilen enniségekkel dhtó eg egételően? Mee test sebességállpot testet lkotó pontok eg dott idıpillntbeli sebességektoink hl (össessége) Megdás: - test ω sögsebességéel, - test eg dott pontjánk sebességéel (7) Definiálj ee test gosulásállpotát! Mee test gosulásállpot ilen enniségekkel dhtó eg egételően? Mee test gosulásállpot testet lkotó pontok eg dott idıpillntbeli gosulásink hl (össessége) Megdás: - test ε söggosulásál, - test ω sögsebességéel, - test eg dott pontjánk gosulásál (8) Definiálj ee test hldó és fogó ogását! Hldó ogás: test inden pontjánk onos elodulás, test öngál páhuosn odul el Fogó ogás: test pontji test két nuglobn leı pontj áltl eghtáoott tengel, fogástengel köül koncentikus köíeken odulnk el t0 e 4
(9) Definiálj ee test elei és éges ogását! Elei ogás: test égtelenül öid idı ltt égbeenı (eg dott idıpillntbn beköetkeı) ogás Véges ogás: test hossbb idıtt ltt égbeenı ogás (0) dj eg eg dott idıpillntbn ee test két pontjánk sebességekto köötti össefüggést! B = + ω, B ω - test sögsebessége,, B - és B pontok sebessége, - -ból B-be uttó helekto B B () Hogn ostálohtók ee test elei ogási? () 0 ω = () = 0 - elei nuglo, (b) 0 - elei hldó ogás, () 0 ω () = 0 (b) 0 () Definiálj ee test P sebesség- és Q gosuláspólusát! sebességpólus testnek P pontj, elnek éus sebessége gosuláspólus testnek Q pontj, elnek éus gosulás (3) dj eg ee test síkogás esetén sebességáb definícióját és íj le sebességábá ontkoó tételt íkogás sebességábáját úg kpjuk eg, h eg dott idıpillntbn köös kedıpontból feljoljuk test jelleı pontjink sebességektoit Tétel: sebességáb hsonló heletábáho, de heletábáho képest sögsebesség o iánábn 90 -kl el n fogt (4) dj eg eg dott idıpillntbn ee test két pontjánk gosulásekto ekto köötti össefüggést áltlánosn (tébeli ogás) és síkogás esetén! Tébeli ogás: B = + ε B + ω ( ω B), B ω íkogás: (h ogás síkj sík) B B B = + ε k B ω B, ε - test söggosulás, ω - test sögsebessége, ε, B - és B pont gosulás, - -ból B-be uttó helekto B ω B B 5
(5) dj eg ee test síkogás esetén gosulásáb definícióját és íj le gosulásábá ontkoó tételt íkogás gosulásábáját úg kpjuk eg, h eg dott idıpillntbn köös kedıpontból feljoljuk test jelleı pontjink gosulásektoit Tétel: gosulásáb hsonló heletábáho, de heletábáho képest söggosulás iánábn ( 80 ϕ ) söggel el n fogt ϕ sög ee test söggosu- o lás és sögsebessége iseetében eghtáohtó: tgϕ = ε/ω (6) dj eg ee test tist gödülı ogásánk definícióját és definíció köetkeénét! Tist gödülés esetén ee test tljjl éintkeı pontjánk pillntni sebessége null Köetkeén: éintkeési pont ee test pillntni sebességpólus (7) Miko besélünk eltí ogásól? Reltí ogásól bbn esetben besélünk, h eg test (g ngi pont) ogásjelleıit két egásho képest ogó koodinát-endseben kjuk eghtáoni (8) Mit neeünk bsolút sebességnek és gosulásnk, illete eltí sebességnek és gosulásnk? bsolút sebességnek és gosulásnk neeük eg tében ogó ngi pont sebességét és gosulását álló koodinát-endsehe képest Reltí sebességnek és gosulásnk neeük eg tében ogó ngi pont sebességét és gosulását ogó koodinát-endsehe képest (9) Milen össefüggés áll fenn ngi pont bsolút és eltí sebessége köött? dj eg össefüggésben seeplı enniségek jelentését és kisáítási ódját! = + s ζ - töegpont sebessége álló koodinátendseben, ε ω - töegpont sebessége ogó koodinát-endseben, η ρ Ω s = Ω + ω ρ Ω Ω s sállítósebesség ogó koodinátendse on pontjánk sebessége álló ξ O Ω koodinát-endseben, elben ngi pont isgált idıpillntbn ttókodik (30) Milen össefüggés áll fenn ngi pont bsolút és eltí gosulás köött? dj eg össefüggésben seeplı enniségek jelentését és kisáítási ódját! = + +, s c - töegpont gosulás álló koodinátendseben, - töegpont gosulás ogó koodinát-endseben, 6
s = + ε ρ+ ω Ω ( ω ρ) s sállítógosulás ogó koodinátendse on pontjánk gosulás álló koodinátendseben, elben ngi pont ttókodik c = ω Coiolis gosulás kko lép fel, h 0 ω, 0 és ω ne O Ω ε ρ ζ Ω ξ ω Ω η Ω (3) Definiálj ngi pont ipulusát (lendületét) és pedületét (ipulusnotékát)! ngi pont ipulus egenlı ngi pont töegének és sebességének sotál: I = P I ngi pont álló pont sáított pedülete pál egenlı ngi pont ipulusánk pont sáított notékál: B P O π = P I B (3) Definiálj ngi pont kinetiki enegiáját és ngi pont htó eı teljesíténét és unkáját! ngi pont kinetiki enegiáj egenlı ngi pont töegének és sebessége négete sotánk feléel: E= t ngi pont htó eı teljesíténe egenlı eı és ngi pont sebességének skláis sotál: F t P = F ngi pont htó eı <t t > idıtt ltt égett unkáj egenlı eı teljesíténének t és t htáok köött ett idı seinti integáljál: t t W = P dt= F dt= F d t t d (33) Isetesse Newton I töénét! Minden test egd nugó, g egenes onlú egenletesen ogó állpotábn, íg lel á htó eı állpotánk egáltottásá ne kénseíti 7
(34) Isetesse Newton II töénét áltlánosn és őski gkoltbn sokásos lkbn! Áltlánosn: ngi pont ipulusánk idı seinti egáltoás egenlı ngi pont htó eık eedıjéel: I = ( ) = F ɺ d dt Mőski gkoltbn sokásos lk ( = áll): = F (35) Isetesse Newton III töénét! Két test egás gkoolt htásánk ngság indig egenlı és htások ián indig ellentétes: F = F (36) Isetesse D lebet elet! ogástni (kinetiki) feldtok tehetetlenségi (ineci) eı beeetéséel sttiki feldtok eethetık iss: 0 = + F = T + F, T - tehetetlenségi eı, F - külsı eık eedıje (37) Íj fel ngi pont pedülettétel diffeenciális és integál lkját! Diffeenciális lk: ɺ π = M ngi pont álló pont sáított pedületének idı seinti elsı deiáltj egenlı ngi pont htó eınek ugn pont sáított notékál t π Integál lk: ( t ) π ( t ) = M dt Álló pont sáított pedület <t t > idıtt ltti egáltoás egenlı ngi pont htó eı ugn álló pont sáított notékánk t t htáok köötti idı seinti integáljál (38) Íj fel ngi pont enegitételt és unktételt! Enegitétel: E ɺ = P ngi pont kinetiki enegiájánk idı seinti deiáltj egenlı ngi pont htó eık teljesíténéel Munktétel: E E = W ngi pont kinetiki enegiájánk <t t > idıtt ltti egáltoás egenlı ngi pont htó eık <t t > idıtt ltt égett unkájál (39) dj eg konetí eıendse definícióját! Mitıl függ konetí eıtében égett unk? Konetí eıendseıl (eıtéıl) besélünk bbn esetben, h léteik eg oln U = U( ) potenciál (sklá függén), elbıl eı negtí gdiens képéssel sátthtó: F = = gd U du d t 8
konetí eıtében égett unk csk kedı és égsı helettıl függ; étéke egenlı U = U( ) potenciál kedı és égpontbn felett étékének különbségéel: W = U U (40) Isetesse echniki enegi egdásánk tételét! Konetí eıtében ogás soán kinetiki és heleti (potenciális) enegiák össege állndó: E+U = állndó (4) Definiálj sbd- és kénseogást! bd ogásól bbn esetben besélünk, h áltlunk isgált test ogását ás testek ne kdáloák Kénseogásól bbn esetben besélünk, h áltlunk isgált test ogását ás testek elıít geoetii feltételeknek egfelelıen kolátoák (4) Milen kénseeı lép fel si, illete édes kénse esetén? i kénse esetén kénseeı eıleges éintkeı felületeke Édes kénse esetén kénseeı noális és tngenciális koodinátáj köött Coulob féle súlódási töén teet kpcsoltot (43) Miko lép fel ogásbeli súlódás? Íj le Coulob-féle súlódási töént ogásbeli súlódás esetén! Mogásbeli súlódásól besélünk, h testek éintkeési pontjábn n egásho képest éintı iánú (tngenciális) elodulás Coulob-féle súlódási töén: kénseeı tngenciális koodinátájánk ngság noális koodinát µ -sööse, ián pedig ellentétes sebesség iánál (µ - ogásbeli súlódási téneı) éintı iánú eı össeteı: F = µ FN éintı iánú eı koodinát: F = µ F N (44) dj eg ineci-endse és ne ineci-endse definícióját! ineci-endse oln koodinát-endse, elben ogás ás testek kölcsönhtásál, kiáólg külsı eık figelebeételéel eggáhtó ne ineci-endse oln koodinát-endse, elben ogás leíásáho külsı eık ellett ég jáulékos eıket is figelebe kell enni (45) Íj fel kinetik lptöénét ngi pont ne ineci-endseben és dj eg töénben seeplı enniségek jelentését! F + F + F = F s c álló koodinát-endseben őködı eı: F = ogó koodinát-endseben őködı eı: F = 9
sállító eı: F = = [ + ε ρ+ ω ( ω ρ) ] s s Ω Coiolis eı: F = = ω c c O ζ ω ε ρ Ω ξ Ω Ω η (46) Íj le kontinuu, hoogén töegeloslású test és diskét töegeloslású test és definícióját! Kontinuu: oln test, elnek ng test téfogtát foltonosn tölti ki Hoogén töegeloslású test: oln test (kontinuu), elnek töegsőősége állndó, ne függ heltıl Diskét töegeloslású test: oln test, el elhngolhtó töegő ee ásekeet eghtáoott pontjiho ögített ngi pontokból áll (47) dj eg diskét töegeloslású test és kontinuu pont sáított sttiki notékánk definícióját, lint két különböı pont sáított sttiki noték köötti össefüggést! Diskét töegeloslású test pont sáított sttiki noték: n = i i i= n i i O Kontinuu pont sáított sttiki noték: = d= ρ dv ( ) ( V ) átsáító össefüggés: = B B O B ρ B d= ρ dv 0
(48) dj eg ee test töegköéppontjánk definícióját és töegköéppont helektoánk kisáításá solgáló össefüggést! töegköéppont testnek T pontj, ele sáított sttiki (lineáis) noték éus: T = 0 töegköéppont helekto: ρ dv ii ( V) i T = = = (49) dj eg ee test ponti,, tengelée és tengelek áltl eghtáoott síkpáok sáított tehetetlenségi notékok ételeését! Tengele sáított: ( + ) = d, = ( ) ( ) ( + ) = d, = ( ) ( ) ( + ) íkpá sáított: ( ) ( ) d, d, = d, = d (50) Íj fel foltonos töegeloslású test súlponti tehetetlenségi tenoát és dj eg tehetetlenségi teno legfontosbb tuljdonságát! súlponti tehetetlenségi teno: = Tuljdonság: sietikus teno (5) Hogn sáíthtók ki súlponti tehetetlenségi teno és n és ián egségektook iseetében n és n tehetetlenségi noték? = n n, = = n = n n n n (5) Ételee test tehetetlenségi fıiánit és fı tehetetlenségi notékit! H teljesülnek lábbi feltételek: e = e, e = e, e = e, 3 3 3 kko e, e, e ián (tengel) tehetetlenségi fıián (fıtengel) és 3,, 3 sklá sáok, fı tehetetlenségi notékok T T d d
(53) Íj fel teine-tételt és késítsen gáó ábát! teine tétel: ζ ( + ), = ( + ), = ( + ), = + ξ = + ξη, + η = + ξζ, + ζ = + ηζ ξ η (54) Íj le hoogén töegeloslású test esetén tehetetlenségi fıiánok és sietituljdonságok köötti kpcsoltot! - H testnek eg sietisíkj n, kko sietisík eıleges ponti tengel tehetetlenségi fıtengel - H testnek két sietisíkj n, kko e síkok etsésonl tehetetlenségi fıtengel - Háo egás eıleges sietisík etsésonli tehetetlenségi fıtengelek - Tengelsieti esetén sietitengel és á eıleges síkbn leı lenni tengel tehetetlenségi fıtengel (55) dj eg ee test ipulusánk ételeését és kisáításá solgáló össefüggést! Ételeés: Kisáítás: I = d ( ) I = (56) dj eg ee test pont sáított pedületének (ipulusnotékánk) ételeését és kisáításá solgáló össefüggést! Ételeés: π d = d Kisáítás: π ω, hol = = ω s d
(57) dj eg ee test kinetiki enegiájánk ételeését és kisáításá solgáló össefüggést! Ételeés: E = d ( ) Kisáítás: E = ( I + ω π ) = + ω ω ω d s (58) Hogn sáíthtó ki ee teste htó eıendse teljesíténe ER edukált ektokettıséel, illete ER-t lkotó eıkkel és notékokkl? - ER edukált ektokettıséel: P= F + M ω F, M - teste htó eıendse pontb edukált ektokettıse, ω, - test sögsebessége és pontjánk sebessége n - ER-t lkotó eıkkel és notékokkl: P= F + M ω n ER-he ttoó koncentált eık sá, - ER-he ttoó koncentált notékok sá, i - F i koncentált eı tádáspontjánk sebessége, ω j - nnk ee testnek sögsebessége, ele i i j j i= j= M j koncentált noték ht (59) Íj fel ee test esetén ipulustétel és ponti pedülettétel diffeenciális lkját és dj eg össefüggésekben seeplı enniségek jelentését! ɺ ipulus tétel diffeenciális lkj: I = F, g = F, hol I ɺ - test ipulusánk idı seinti deiáltj, F - teste htó külsı eık eedıje, - test töege, - test pontjánk gosulás pedülettétel diffeenciális lkj pont: ɺ M π =, g ε + ω π = M, hol ɺ π - test pont sáított pedületének idı seinti deiáltj, M - teste htó külsı eık pont sáított noték, - test ponti tehetetlenségi teno, ε - test söggosulás, ω - test sögsebessége 3
(60) Íj fel ee test esetén ipulustétel és ponti pedülettétel integál lkját és dj eg össefüggésekben seeplı enniségek jelentését! Ipulus tétel integál lkj: I I ( t ) I ( t ) F( t) dt, hol t = = t I ( t) - test ipulus t idıpillntbn, F( t) - teste htó külsı eık eedıje t π = π π = t π ( t ) - test pont sáított pedület Pedülettétel integál lkj pont: M ( t ) ( t ) M ( t) dt, hol t idıpillntbn, ( t) - teste htó külsı eık pont sáított noték (6) Íj fel ee test tetsıleges pontjá felít pedülettétel diffeenciális lkját és dj eg össefüggésekben seeplı enniségek jelentését! ε + ω ω + = M, hol - test ponti tehetetlenségi teno, ε - test söggosulás, ω - test sögsebessége, - test töege, - test pontjánk gosulás, M - teste htó külsı eık pont sáított noték (6) Isetesse ee test esetén enegi- és unktételt! Enegitétel: Mee test ogási enegiájánk idı seinti deiáltj (idı seinti egáltoás) egenlı teste htó külsı eıendse teljesíténéel: E ɺ = P Munktétel: test éges ogás soán ee test kinetiki enegiájánk egáltoás egenlı teste htó külsı eıendse ugnon ogás soán égett unkájál: E E = W (63) Miko neeünk eg ögített tengel köül fogó testet sttikusn és dinikusn kiegensúloottnk? ttikusn kiegensúloottnk neeünk eg ögített tengel köül fogó ee testet, h test pontj fogástengele esik Dinikusn kiegensúloottnk neeünk eg ögített tengel köül fogó ee testet, h fogástengel test tehetetlenségi fıtengele (64) Milen feltételeések ellett isgáltuk testek ütköését? - ütköı testek lilen étékben uglsk, - ütköés igen öid idı ltt töténik, - öid ideig ttó éintkeés ltt testek heletében ne köetkeik be áltoás, - ütköés köetketében fellépı eık ellett többi eı elhngolhtón kicsi, - éintkeı felületek siák (nincs súlódás) 4
(65) Milen esetben besélünk centikus és ecentikus ütköésıl, lint centikus egenes és centikus fede ütköésıl? Centikus ütköés: ütköési noális áteg indkét test súlpontján Centikus egenes ütköés: testek ponti sebességei ütköési noális iánúk Centikus fede ütköés: testek ponti sebességei ne ütköési noális iánúk Ecentikus ütköés: ütköési noális ne eg át indkét test súlpontján (66) dj eg centikus ütköés esetén ütköési téneı definícióját! eltáolodási sksbn beköetkeı ipulus-áltoás és köeledési sksbn beköetkeı ipulus-áltoás hándos: ( V n n) ( V n n) k = = n n n n (67) dj eg egseő sekeet és össetett sekeet definícióját! Egseő sekeet: isgált endse (sekeet) eg ee testet ttl Össetett sekeet: isgált endse (sekeet) több ee testet ttl (68) dj eg q(t) áltlános koodinát definícióját és legfontosbb tuljdonságit! Áltlános koodinát: ok q(t) skláis péteek (koodináták), elek endse heletét, g ogását egételően eghtáoák Tuljdonságok: - áltlános koodinát elodulás, g sögelfodulás is lehet - áltlános koodinát idınek leglább kétse diffeenciálhtó függéne (léteik qɺɺ ) (69) dj eg ideális kötél tuljdonságit! - súltln és nújthttln, - tökéletesen hjlékon ( hjlítássl seben nincs ellenállás ne lép fel benne hjlító noték), - csk húóeıt képes felenni (ne léphet fel benne noóeı) 5