Szkdolgozt A logritmikus közé Szó Tíme Mtemtik Bsc. Tnári szkirány Témvezet : Besenyei Ádám Adjunktus Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Budest, 5.
Trtlomjegyzék Bevezetés 3. A logritmikus közé két változór 4.. A logritmikus közé értelmezése.................. 4.. Összehsonlítás számtni és mértni közeekkel........ 6.3. Bizonyítás z integrálközé segítségével............... 8.4. Crlson izonyítás z egyenl tlenségre................ A htványközeek és logritmikus közé 5.. A htványközeek........................... 5.. A htványközeek és logritmikus közé............. 8 3. A logritmikus közé három változór 4 3.. áromváltozós közeek........................ 4 3.. Összehsonlítás számtni és mértni közeekkel........ 5 Irodlomjegyzék 3
Bevezetés A szkdolgoztom témájánk válsztáskor fontosnk trtottm, hogy olyn tnári szkiránnyl kcsoltos témkört válsszk, melyet kés i okttói ályfutásom során ngyo tudású diákoknk is megtníthtok. Így esett válsztásom logritmikus közé témkörére. Közeekkel közéiskoli tnulmányi ltt mindenki tlálkozik, de logritmikus közé áltlán nem fordul el. Szkkörökön zonn sok ezzel kcsoltos érdekesség tárgylhtó mélye nlízis hsznált nélkül. A dolgozt három rész l áll. Az els fejezeten deniáljuk két ozitív szám logritmikus közeét, igzoljuk néhány tuljdonságát, mjd háromféle izonyítást is muttunk rr, hogy logritmikus közé számtni és mértni közeek közé esik. A második fejezeten evezetjük két ozitív szám -edik htványközeének foglmát, ismertetjük tuljdonságit, illetve néhány nevezetes htványközeet is megemlítünk. A fejezet továi részéen zt tárgyljuk, hogy milyen értékek esetén hsonlíthtó össze -edik htványközé és logritmikus közé. Végül hrmdik fejezeten kiterjesztjük logritmikus közé foglmát három változór, megvizsgáljuk néhány tuljdonságát, mjd összehsonlítjuk háromváltozós számtni és mértni közeekkel. Szeretnék köszönetet mondni témvezet mnek, Besenyei Ádámnk, ki rengeteg segítséget nyújtott szkdolgoztom elkészítéséen. 3
. fejezet A logritmikus közé két változór Een fejezeten evezetjük két ozitív szám logritmikus közeének foglmát, mjd megmuttjuk, hogy ez közé mindig számtni és mértni közeek között helyezkedik el. Erre tuljdonságr háromféle izonyítást is dunk. A fejezet [3] és [6] cikkek felhsználásávl készült... A logritmikus közé értelmezése Már közéiskoli tnulmányinkól is jól ismert számtni és mértni közeek foglm.... Deníció. Legyen és ozitív szám. Ekkor két szám számtni ritmetiki közee mértni geometrii közee edig A, : +, G, :. A logritmikus közé viszont már nem tnnyg közéiskolán, és z egyetemen sem kerül el. Most evezetjük foglmát, illetve elátjuk néhány tuljdonságát.... Deníció. Legyen és ozitív szám. Ekkor logritmikus közeük, h, L, : log log, h, hol log jelöli természetes lú logritmust. 4
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA 5..3. Állítás. A logritmikus közé következ tuljdonságokkl rendelkezik. i Minden, > szám esetén L, L,, vgyis változóin szimmetrikus. ii Minden,, λ > szám esetén Lλ, λ λ L,, vgyis változóin ozitív homogén. iii Minden, > szám esetén min{, } L, mx{, }, vgyis teljesül közéérték-tuljdonság, s t, egyenl ség csk eseten áll fenn. iv Az L függvény folytonos R + R + -on. Az..3. Állításn szerl tuljdonságok igzolásához szükségünk vn Lgrnge-féle közéértéktételre, mely egyetemi tnnyg, ezért izonyítását nem közöljük megtlálhtó éldául z [5] könyven...4. Tétel Lgrnge-féle közéértéktétel. Legyen f : [, ] R folytonos függvény, mely dierenciálhtó, -n. Ekkor vn olyn c,, hogy f c f f. Most rátérünk z..3. Állításn szerel tuljdonságok izonyításár. Az..3. Állítás izonyítás. i A szimmetriát elég eseten igzolni, ekkor L, log log log log L,. ii A ozitív homogenitás is könnyen eláthtó logritmus zonosságink segítségével: λ λ Lλ, λ log λ log λ λ log λ + log log λ + log λ λ L,. log log iii A közéérték-tuljdonság igzolásához hsználjuk Lgrnge-féle közéértéktételt., kkor L,. Legyen most < mi z i részen izonyított szimmetri mitt feltehet, és tekintsük z [, ] intervllumon értelmezett fx log x függvényt. Ekkor vn olyn c,, hogy c log log,
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA 6 vgyis < c L, <. iv Világos, hogy z L függvény minden esetén folytonos z, ontn. Tekintsük ezután zt z esetet, mikor x, y,, ekkor iii rész izonyításához hsonlón Lx, y c x,y vlmilyen c x,y x, y esetén. Mivel x, y,, ezért c x,y, így Lx, y L,, tehát L folytonos z, ontn is... Összehsonlítás számtni és mértni közeekkel Een szkszn megmuttjuk, hogy ármely két ozitív szám logritmikus közee két szám számtni és mértni közee között helyezkedik el.... Tétel. Minden és ozitív számr G, L, A,, és egyenl ség ontosn esetén áll fenn. Bizonyítás., kkor G, L, A,., kkor szimmetri mitt feltehet, hogy >, ekkor két egyenl tlenséget izonyítunk: G, < L, és L, < A,. Gondoljuk meg el ször G, < L, egyenl tlenséget. Ez zt jelenti, hogy < log log,. mit úgy is írhtunk, hogy < log. Vezessük e z új változót, hol > mitt z >. Ekkor izonyítndó egyenl ség következ lkot ölti: z < z log z z log z.
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA 7 Mivel z >, ezért log z >, így log z-vel vló eszorzás ekvivlens átlkítás. Ekkor rendezés után zt kjuk, hogy < z z log z.. Tekintsük z fz z z log z folytonos függvényt z > számokon. Mivel f z z z >, h z >, ezért f szigorún monoton növ, így fz > f, h z >. Ez éen z. egyenl tlenség, mely ekvivlens z. egyenl tlenséggel. Most lássuk e z L, < A, egyenl tlenséget, hol ismét feltehet, hogy >. Ekkor zt kell igzolni, hogy log log < +, vgyis log < +. változót, hol z >, és helyettesítsük e z iménti egyen- Vezessük e z l tlensége: zz log z > mitt z log z < z +, < log z z z +..3 Tekintsük gz log z z z + folytonos függvényt z > számokon. Mivel g z z zz + >, h z >, ezért g szigorún monoton növ, így gz > g. Ezzel eláttuk z.3 egyenl tlenséget, mely ekvivlens z L, < A, összefüggéssel. A tétel izonyítás ezzel kész.
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA 8.3. Bizonyítás z integrálközé segítségével Een szkszn z integrálközé lklmzásávl egy új izonyítást dunk z... Tételre..3.. Deníció. Legyen f : R + R + szigorún monoton, folytonos függvény. Tegyük fel, hogy és z f értelmezési trtományánk két ontj, <, és jelölje I z f függvény integrálját z [, ] intervllumon, zz I : továá y : I >, kkor szokásos módon I fxdx. fxdx fxdx, fxdx, és y-t ugynúgy deniáljuk. Ekkor z és ozitív számok f-integrálközeét következ kéen értelmezzük: I f y f, h, K f, :, h. Szemléletesen, K f, z z érték és között, melyre z f K f, mgsságú és lú tégll területe megegyezik z f grkonj ltti területtel z [, ] intervllumon lásd.. ár... ár. Az integrálközé.3.. Megjegyzés. Els látásr nem nyilvánvló, hogy K f, deníciój korrekt. Ennek elátásár tegyük fel, hogy <, ekkor z integrálszámítás els
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA 9 közéértéktétele szerint ezért min f [,] min [,] f fxdx mx f, [,] fxdx mx f. [,] Mivel f folytonos [, ]-n, így Bolzno-tétel mitt minden min f és mx f közötti [,] [,] értéket felvesz, és szigorú monotonításól következ en ontosn egyszer veszi zokt fel. ekkor K f, x. Vgyis egyértelm en létezik olyn x [, ], melyre fx y, és Az integrálközé deníciój tehát vlón korrekt < esetén, és világos módon K f, K f, mitt minden, > esetén is. Másrészt edig z iménti meggondolás lján z is könnyen láthtó, hogy K f, folytonos R + R + -on. Az láikn z integrálközé és számtni közé összehsonlíthtóságávl kcsoltn igzolunk egy eredményt, melynek segítségével új izonyítást nyerünk mjd z... Tételre..3.3. Tétel. Legyen f : R + R + dierenciálhtó függvény. f szigorún monoton növ és konkáv, vgy szigorún monoton csökken és konvex függvény, kkor minden, > esetén K f, A,. f szigorún monoton növ és konvex, vgy szigorún monoton csökken és konkáv függvény, kkor minden, > esetén K f, A,. Egyenl ség ontosn kkor áll fenn, h, vgy f lineáris függvény z [, ] intervllumon. Bizonyítás. Tegyük fel el ször, hogy f szigorún monoton növ és konkáv. Legyen < < ez szimmetri mitt feltehet, és tekintsük z f grkonjánk z +, f+ ontjá húzott érint jét. Mivel f konkáv, így grkon z érint ltt fekszik, ezért z érint ltti T terület z [, ] intervllumon leglá kkor, mint grkon ltti I terület lásd.. ár. Világos, hogy + T f fa,,
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA és tehát I fxdx y, y fa,, honnn -vl egyszer sítve y fa, dódik. f szigorún monoton növ, kkor f is szigorún monoton növ, ezért f y f fa,, vgyis K f, A,, és éen ezt krtuk elátni... ár. I T.3. ár. I T Szigorún monoton csökken, konvex függvény esetén hsonlókéen okos- + kodhtunk. Tekintsük ismételten z, f+ ont húzott érint t. Ekkor z érint ltti terület z [, ] intervllumon + T f fa,. Másrészt f grkonj ltti terület z [, ] intervllumon I y. Mivel f ozitív, szigorún monoton csökken és konvex, így I T lásd.3. ár, ezért y fa,, honnn egyszer sítés után y fa, dódik. csökken, kkor f is szigorún monoton csökken, így f szigorún monoton f y f fa,,
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA vgyis K f, A,. Ezzel z.3.3. Tétel els állítását igzoltuk. A tétel második állítás hsonlón izonyíthtó, ezt nem részletezzük. átr vn még z egyenl ség kérdése. Egyrészt, h, kkor K f, A,. Másrészt, h, kkor izonyításól kiolvshtó, hogy egyenl ség csk kkor áll fenn, h z érint ltti terület megegyezik grkon ltti területtel, vgyis f lineáris függvény z [, ] intervllumon. Ezzel z.3.3. Tétel izonyítás kész. Most lássunk z... Tételre egy új izonyítást z.3.3. Tétel segítségével. Az... Tétel izonyítás., kkor egyenl ség áll fenn, hiszen G, L, A,. Tegyük fel, hogy. Az L, < A, egyenl tlenség igzolásához lklmzzuk z.3.3. Tételt z fx x, R+ R + szigorún monoton csökken, konvex nem lineáris függvényre. y dx x [log x] log log log log L,, ezért K, f y f L,. x L, Mivel K, < A, minden ozitív számr, így izonyítndó x L, < A, egyenl tlenséget nyerjük. A G, < L, egyenl tlenség igzolásához legyen fx e x, R + R + szigorún monoton növ és konvex nem lineáris függvény. Ekkor ezért y e x dx [ex ] e e e e, K e x, f y f e e Az fx e x válsztássl tehát K e x, log e e. log e e.
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA Alklmzzuk.3.3. Tételt, ekkor A, < K e x,, h, zz + < log e e..4 Az.4 egyenl tlensége helyettesítsünk e helyée log -t és helyée log -t, ekkor log + log < log elog e log log log. Alklmzv logritmus zonosságit zt kjuk, hogy log < log log log. A logritmus függvény szigorú monoton növekedése mitt ez zt jelenti, hogy < log log, vgyis G, < L, minden ozitív számr. Ezzel z... Tétel izonyítás kész..4. Crlson izonyítás z egyenl tlenségre Een szkszn egy hrmdik izonyítást dunk z... Tételre, s t, elátunk egy élese egyenl tlenséget is, mely [] cikken szereel..4.. Tétel. Tetsz leges, > egymástól különöz számok esetén érvényes z lái egyenl tlenségláncolt: G, < 4 + + < L, < < + A,. Bizonyítás. El ször elátjuk következ egyenl tlenséget: t + + < t + t + < t +,.5 hol t,, > és. E l t szerinti integrálássl dódik mjd z... Tételeli egyenl tlenég. Az.5 egyenl tlenség igzolásához fejtsük ki t + kifejezést, lklmzzuk z, >, számokr számtni és mértni közeek közötti egyenl tlenséget: t + t + t + < t + t + + t + t +.
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA 3 Másrészt + t + t + t + t + + < t + t + + t + +, hol ismét számtni és mértni közeek közötti egyenl tlenséget hsználtuk. Azt ktuk tehát, hogy t + < t + t + < t + +. Vegyük mindegyik tg recirokát, ekkor relációk megfordulnk, és z.5 egyenl tlenség dódik. [, + intervllumon. Ekkor + t + + Integráljuk most z.5 egyenl tlenséget t szerint dt < + t + t + dt < Végezzük el z integrálásokt. Világos módon + t + + dt lim r + [ t + + ] r + + t + dt..6 +. A második integrál kiszámításához törtet rciális törtekre ontjuk, ezzel zt kjuk, hogy így + t + t + + t + t, t + t + dt + [ lim log + t ] r lim r + + t + t + t dt r + log + r + log r Végül számítsuk ki z.6 egyenl tlenség hrmdik tgját is: + t + dt lim r + [ t + ] r. log log. Ezeket z eredményeket z.6 egyenl tlensége helyettesítve kjuk, hogy + < log log <,
. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP KÉT VÁLTOZÓRA 4 honnn recirokkézés után < log log < +.7 dódik. Az.7 egyenl tlensége helyée -t és helyée -t helyettesítünk, így < log log < +. Alklmzzuk logritmus és htványozás zonosságit, ekkor zz mit 4 + < <, log log 4 < log log < + -vel eszorozv tételen szerel +, 4 + < log log < + egyenl tlenséget nyerjük. átr vn még tétel két széls egyenl tlenségének igzolás, ezeken számtni és mértni közeek közti egyenl tlenségét lklmzzuk. Egyrészt G, 4 4 + < < log log, másrészt edig + + + 4 Ezzel tételt igzoltuk. < + + + 4 + A,.
. fejezet A htványközeek és logritmikus közé Een fejezeten logritmikus közé és különöz kitev j htványközeek összehsonlítását vizsgáljuk. Itt felhsználjuk z [], [], z [5] és [7] irodlmt... A htványközeek Een részen deniáljuk két ozitív vlós szám -edik htványközeét, illetve ismertetünk néhány nevezetes htványközeet, mjd igzoljuk htványközé kitev en vló monotonítását.... Deníció. Legyenek és ozitív vlós számok, továá vlós szám. Ekkor z és szám -edik htványközee + M, :.... Megjegyzés. Legyenek és ozitív vlós számok, ekkor kitev rméter néhány seciális értékére -edik htványközé ismert közeet d. + i, kkor M, +, mi számtni közé. ii, kkor M, közé. + +, mi négyzetes iii, kkor M, hrmonikus közé. + + +, mi 5
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP 6 iv 3, kkor M 3, 3 + 3 3 3 + 3 3, mely kifejezést z és ozitív vlós számok Lorentz-közeének is szokás nevezni. A htványközeet egyel re eseten nem értelmezzük, zonn következ tétel segítségével könnyen kiterjeszthetjük erre kitev re is...3. Tétel. Legyenek, > számok. Ekkor lim M. Bizonyítás. A htárérték igzolásához lim log M, log összefüggést fogjuk elátni, ekkor z exonenciális függvény folytonosság mitt lim M, lim ex log M, ex log. Mivel + log M, log log + ezért célszer evezetni z f log + és g függvényeket. Ekkor lklmzhtjuk L'ositl-szályt, mert f és g dierenciálhtó -n, f g, de g. Világos módon f + log + log, így lim f log, másrészt g. Végül tehát lim log M, lim log Ezzel igzoltuk tételt. + f lim g lim f g log.,..4. Megjegyzés. A..3. Tétel lján ármely és ozitív vlós számok esetén legyen M,, mi két szám mértni közee. A htványközeek egy fontos tuljdonság kitev en vló monotonitás...5. Tétel., ozitív vlós számok és q <, kkor M q, < M,. A tétel igzolásához Jensen-egyenl tlenséget fogjuk lklmzni.
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP 7..6. Tétel Jensen-egyenl tlenség. Legyen f : I R konvex függvény, hol I R korlátos vgy nem korlátos intervllum. Tegyük fel, hogy,,..., n tetsz leges elemei z I intervllumnk, továá,,..., n nemnegtív számok súlyok, melyekre + + + n. Ekkor f + + + n n f + f + + n f n. f szigorún konvex és,,..., n súlyok ozitívk, kkor egyenl ség csk z n eseten lehetséges. f konkáv, kkor tétel fordított irányú egyenl tlenséggel teljesül. A Jensen-egyenl tleség segítségével igzoljuk..5. Tételt. A..5. Tétel izonyítás. A q és számok elhelyezkedése szemontjáól négy léésen igzoljuk tételt. i Tegyük fel, hogy < q <. Ekkor q >, ezért z fx x q függvény szigorún konvex x > esetén. Alklmzv Jensen-egyenl tlenséget z q q ozitív számokr q + q q súlyokkl zt kjuk, hogy q + q q < + +, zz q + q q + <. Mivel >, ezért gx x függvény szigorún monoton n x > esetén, így q + q q + g < g, vgyis q + q q mi zt jelenti, hogy M q, < M,. + <, ii Most q < < esetet vizsgáljuk meg. Ekkor > q >, ezért z fx x q függvény szigorún konkáv x > esetén. Ismételten lklmzzuk Jensen-egyenl tlenséget z q q ozitív számokr súlyokkl, ekkor q + q q + >.
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP 8 Alklmzzuk z egyenl tlenség mindkét oldlár gx x csökken függvényt. Ekkor éen szigorún monoton dódik. q + q q + < iii Tegyük fel, hogy q < <, ekkor >. Ezt z esetet is z i részhez q hsonlón izonyíthtjuk, hiszen z fx x q függvény szigorún konvex x > esetén, és gx x függvény szigorún monoton n, h x ozitív szám. iv Een ontn zt z esetet vizsgáljuk meg, h vgy q közül z egyik -vl egyenl. Az i ont lján < q < esetén M q, < M,, hol elvégezve q htárátmenetet M, < M, dódik., kkor hsonlón kjuk, hogy M q, < M,. Ezzel izonyítottuk tételt... A htványközeek és logritmikus közé Een részen z és ozitív számok -edik htványközéét és logritmikus közeét hsonlítjuk össze. A korái eredmények lján igz z lái tétel.... Tétel., >, és, kkor M, < L, < M,. Bizonyítás. Ez z... és z.4.. Tételek l, vlmint..4. Megjegyzés l következik. Felmerül z kérdés, hogy melyik z legkise és legngyo q, melyre M q, < L, < M, teljesül minden ozitív szám esetén?... Tétel., >, és 3, kkor L, < M,. L, Bizonyítás. Tekintsük z M, hánydost, err l látjuk e, hogy és 3 esetén -nél kise. Ehhez lkítsuk át következ módon: z L, M, log log + + log + log z +, log z
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP 9 hol z új változót vezettük e, melyre, > és mitt z > vlmint z. Legyen w z, ekkor z > és z folytán < w <, z + továá z + w w helyettesítéssel L, z +w M, w z + log z +w + log +w w w +w w w + w w log +w log + w log w w w dódik. Vezessük e z f, w + w w w és függvényeket. Ekkor gw log + w log w w L, M, f, w gw. A izonyítás továi részéen Tylor-sorfejtés segítségével megmuttjuk, hogy és < w < esetén f, w < gw. 3 log + w log w El ször gw függvényt fejtsük Tylor-sor, ekkor w < w < estetén log + w + k k+ wk k w w + w3 3 w4 4 +..., és log w + k k+ wk k + k w k k w w w3 3 w4 4..., ezért így log + w log w w + w3 3 + w5 5 +..., gw log + w log w w + 3 w + 5 w4 + 7 w6 +.....
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP Most fejtsük sor z f, w függvényt. A inomiális sorfejtés lján < w < esetén és hol vgyis + w + w + α n f, w k k + w w w w k + w + w + w 3 +... k 3 w k w + w w 3 +..., k 3 αα α... α n +. Ezek lján n! + w w w + w + w 4 +... 3 5 + w + 3 5 Vizsgáljuk most meg k k w 4 +... + 3 együtthtókt. Deníció lján k!, w + w 4 +.... 5 k +, így 3 3! 3 3, továá 3 4 5 5 4 3 5 3 4, áltlán edig k k kk k k + k.
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP Bevezetve z k k jelölést, hol k egész szám, zt kjuk, hogy Mindezek lján tehát fw, + 3 w + 5 w 4 + 7 3w 6 +.... L, M, fw, gw + 3 w + 5 w 4 + 7 3w 6 +... + 3 w + 5 w4 +. 7 w6 +... Megmuttjuk, hogy 3 esetén, továá k <, h k egész szám. E l már következik, hogy fw, < gw. Mivel 3 + + 3 3, ezért, h 3. Másrészt k esetén mindegyik k trtlmzz z szorztot, és emellett áros sok tényez l áll, melyek mindegyike j és közé es vlós szám, h és j leglá. Tehát minden k 3 fw, ozitív egész számr k <, így <, h és < w <. Vgyis gw 3 L, M, <, h és. 3 Ezzel tételt eizonyítottuk...3. Tétel. < 3, kkor vn olyn, >,, hogy L, > M,. Bizonyítás. Az el z izonyítás jelöléseit és eredményeit hsználv zt kell igzolnunk, hogy < esetén vn olyn < w <, melyre fw, > gw. 3 Az fw, és gw függvények sorfejtése lján fw, gw w 3 + 5 w + 7 3 w 4 +.... Mivel < 3 esetén >, ezért h w, kkor fw, gw w 3 >, mi zt jelenti, hogy elég kicsi w esetén fw, gw >. Ezzel igzoltuk tételt.
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP..4. Tétel., >, és q kkor M q, < L,. Bizonyítás. Tudjuk, hogy q -r teljesül z egyenl tlenség, hiszen ez..5. és... Tételek l következik. Okoskodhtunk zonn Tylor-sorok segítségével is. L, Tekintsük ismét z hánydost, err l látjuk e, hogy, >, M q, és q < esetén ngyo -nél. Alkítsuk át hánydost: Legyen w +, ekkor < w < és + w. Ezzel helyettesí- w téssel L, M, log log log. L, M, +w w +w w log +w w dódik, honnn rendezés után zt kjuk, hogy Legyen ekkor A. összefüggés lján L, M, gw w w log + w log w. log + w log w, w L, M, w gw. gw + 3 w + 5 w4 + 7 w6 +..., másrészt edig Tylor-sorejtéssel dódik, hogy Mindezek lján w + + w k w k + w + w 4 + w 6 +.... k k L, M, + w + w 4 + w 6 +... + 3 w + 5 w4 + 7 w6 +..., mely minden < w < esetén -nél ngyo. Ezzel tétel izonyítás kész.
. FEJEZET. A ATVÁNYKÖZEPEK ÉS A LOGARITMIKUS KÖZÉP 3..5. Tétel. q >, kkor vn olyn, >,, hogy M q, > L,. Bizonyítás. Tekintsük ismét z L, M q, log q + q q L, M q, hánydost esetén: q z q z + q q log z q q z q, + q log z z q. L, hol z Mivel q >, ezért, h z +, így elég ngy z M q, esetén hánydos kise -nél. Tehát tételt igzoltuk. A.....5. Tételek lján megválszolhtjuk szksz elején feltett kérdést. A legngyo q, melyre M q, < L, teljesül minden ozitív számok esetén, z q, és legkise, melyre minden ozitív számok esetén M, < L, teljesül, z 3.
3. fejezet A logritmikus közé három változór Een fejezeten logritmikus közeet kiterjesztjük három változór, mjd elátjuk, hogy z így kott közé számtni és mértni közeek közé esik. A fejezet z [] könyv és [4] feldtmegoldás felhsználásávl készült. 3.. áromváltozós közeek A háromváltozós számtni és mértni közeek jól ismertek közéiskoláól. 3... Deníció. Legyenek, és c ozitív számok. Ekkor számtni ritmetiki közeük és mértni geometrii közeük A,, c : + + c, 3 G,, c : 3 c. A logritmikus közé háromváltozós kiterjesztése els látásr nem világos, egy lehetséges értelmezése következ. 3... Deníció. Legyenek, és c áronként különöz ozitív számok. Ekkor logritmikus közeük L,, c : log log log log c + log log clog log + c +. log c log log c log 4
3. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP ÁROM VÁLTOZÓRA 5 3..3. Megjegyzés. Egyel re háromváltozós logritmikus közeet nem értelmezzük kkor, h z,, c számok közül leglá kett egyenl. Kés látni fogjuk, hogy z L függvény folytonosn kiterjed z egész R + R + R + térnyolcdr. A háromváltozós logritmikus közé, kétváltozós esethez hsonlón szimmetrikus és ozitív homogén. Ezt látjuk e következ állításn. 3..4. Állítás. A háromváltozós logritmikus közé z lái tuljdonságokkl rendelkezik. i Páronként különöz,, c > számok esetén L,, c Lâ,, ĉ, hol â,, ĉ z,, c számok tetsz leges sorrendje. ii Páronként különöz,, c > számok és tetsz leges λ > vlós szám esetén Lλ, λ, λc λ L,, c, vgyis L,, c változóin ozitív homogén. Bizonyítás. i Az és felcserélésével háromváltozós L,, c logritmikus közé els és második tgj felcserél dik, így z összeg változtln mrd. sonlón láthtó, hogy és c, vlmint és c felcserélésével sem változik logritmikus közé. A felcserélésekkel,, c ármely sorrendjét megkhtjuk, és eközen L,, c nem változik. ii Az Lλ, λ, λc kifejezés els tgját megvizsgálv λ logλ logλlogλ logλc λ log log log log c dódik. sonlón másik két tgól is kiemelhet λ. Ezzel eláttuk tuljdonságokt. 3.. Összehsonlítás számtni és mértni közeekkel Een részen megmuttjuk, hogy három, áronként különöz ozitív szám logritmikus közee számtni és mértni közeük között helyezkedik el. 3... Tétel. Minden, és c áronként különöz ozitív számr G,, c L,, c A,, c,
3. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP ÁROM VÁLTOZÓRA 6 vgyis 3 + + c c L,, c. 3 A 3... Tétel izonyításához szükségünk vn súlyozott számtni és mértni közeek közötti egyenl tlenségre, vlmint Jensen-egyenl tlenség integrál lkjár. 3... Deníció. Legyenek, és c ozitív számok, vlmint x, y és z nemnegtív számok súlyok, melyekre x + y + z. Ekkor z,, c számok z x, y, z súlyokkl vett súlyozott számtni közee x + y + zc, súlyozott mértni közee edig x y c z. 3..3. Tétel. Legyenek, és c ozitív számok, vlmint x, y és z olyn nemnegtív számok súlyok, melyekre x + y + z. Ekkor z, és c számoknk z x, y és z számokkl vett súlyozott számtni és mértni közeei között érvényes következ egyenl tlenség: x y c z x + y + zc, vgyis x y c x y x + y + x yc. Bizonyítás. A tételt Jensen-egyenl tlenség segítségével fogjuk elátni. Legyen f :, + R, fx e x, mely konvex függvény. Alklmzzuk..6. Tételt z log, log, 3 log c és x, y, 3 z szereosztássl, hol x + y + z. Ekkor e x log +y log +z log c x e log + y e log + z e log c, mi logritmus zonossági lján éen 3..3. Tétel egyenl tlensége. A Jensen-egyenl tlenség egy másik lkjár is szükségünk lesz kés ieken. 3..4. Tétel Jensen-egyenl tlenség integrál lkj. Legyen f : R folytonos függvény, hol R ozitív terület Jordn-mérték hlmz, és jelölje T hlmz területét. Ekkor tetsz leges ϕ : R R konvex függvényre f ϕ f ϕ T T.
3. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP ÁROM VÁLTOZÓRA 7 Bizonyítás. Az f integrál egy közelít összege egymás nem nyúló, mérhet hlmzok, melyekre n fx i T i, hol i i n i, továá x i i minden i,,..., n esetén. Ekkor ϕ konvexitás mitt Jensen-egyenl tlenség lján n fx i T i n ϕ i T ϕ fx i T i T i i n i ϕ fx i T i T. A jo oldlon T ϕ f egy közelít összege áll, így elvégezve htárátmenetet éen izonyítndó egyenl tlenséget kjuk. Ezek után térjünk rá 3... Tétel izonyításár. A 3... Tétel izonyítás. El ször megmuttjuk, hogy L,, c x y c x y dxdy, 3. hol : {x, y R : x, y és x + y }, 3. vgyis,,,,, ontok áltl meghtározott háromszögl síkon. Egyrészt háromváltozós logritmikus közé ozitív homogenitás lján L,, c c L,,, másrészt c c x y c x y dxdy c c x c y dxdy, ezért elegend elátni, hogy L c, c, x y dxdy, 3.3 c c hol nyilván c és helyett és írhtó. c A Fuini-tétel lján számolv kett s integrált x ] x x y dxdy x y dy dx [ x y dx log log x x dx log [ ] [ x x log log ]
3. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP ÁROM VÁLTOZÓRA 8 dódik. A jo oldlt kifejtve kjuk, hogy x y dxdy log log log log log log log log + log log + + log log log log log log L,,. Ezzel 3.3 zonosságot eláttuk, mi ekvivlens 3. zonossággl. Szükségünk lesz még következ zonosságr is: + + c x + y + x ycdxdy, 3.4 3 hol korán deniált 3. hlmz. Az integrált ismét Fuini-tétel szerint számoljuk: x x + y + x yc dy dx x x + x + c dx. A jo oldlon elvégezve z integrálást kjuk, hogy x + y + x ycdxdy + + c, 6 mi éen 3.4 zonosság -szerese. Alklmzzuk most súlyozott számtni és mértni közeek közötti egyenl tlenséget 3. és 3.4 integrálokn szerel integrndusokr. Ekkor x y c x y dxdy x + y + x ycdxdy + + c, 3 vgyis L,, c + + c. 3 Ezzel tételen szerel jo oldli egyenl tlenséget eláttuk. Most lássuk e l oldli egyenl tlenséget. Ehhez írjuk fel 3. egyenl ség jo oldlát más lk: L,, c x y c x y dxdy ex log x y c x y dxdy ex log x + log y + log c x y dxdy exx log + y log + x y log cdxdy.
3. FEJEZET. A LOGARITMIKUS KÖZÉP ÁROM VÁLTOZÓRA 9 elyettesítsünk 3.4 zonosságn helyée log -t, helyée log -t és c helyée log c-t, vlmint vegyük kifejezés exonenciálisát. Ekkor ex x log + y log + x y log c dxdy log + log + log c ex 3 ex log c 3 3 c. ex 3 logc Az exonenciális függvény konvex, így lklmzhtó z integrálokr Jensenegyenl tlenség. Mivel T, ezért 3 c ex x log + y log + x y log c dxdy ex x log + y log + x y log c dxdy L,, c. Ezzel tétel izonyítás kész. 3..5. Megjegyzés. A 3. zonosság segítségével logritmikus közé értelmezési trtományát könnyen kiterjeszthetjük R + R + R + -r, hiszen jo oldli integrál értelmes tetsz leges,, c > számok esetén.
Irodlomjegyzék [] Árhám Gáor: Nevezetes egyenl tlenségek, Mozik Okttási Stúdió, Szeged, 995. [] B. C. Crlson: The Logrithmic Men, The Americn Mthemticl Monthly, Vol. 79, No. 6, Jun. Jul., 97. [3] Kovács Veronik Petz Dénes: Számtni közé, mértni közé, meg ilyenek, Közéiskoli Mtemtiki és Fiziki Lok, 6/3. [4] Közéiskoli Mtemtiki és Fiziki Lok: A 63. feldt, 4/. [5] Lczkovich Miklós T. Sós Ver: Anlízis I, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budest, 6. [6] Ptki János: Közeek, Közéiskoli Mtemtiki és Fiziki Lok, 6/4. [7] Tung Po Lin: The Power Men nd the Logrithmic Men, The Americn Mthemticl Monthly, Vol. 8, No. 8, Oct., 974. 3