Kombiatorika és Gráfelmélet Ez az előadásvázlat remélhetőe segíti a vizsgára való felkészülést, de em pótolja az előadást. Vizsgá lehetek olya kérdések, amelyekről ez a jegyzet em szól. Nyíregyháza, 2008. február Permutáció, variáció, kombiáció, osztók száma Róka Sádor P =!, P k1,k2,...,kr =! k 1!k 2!...k r! V k = 1)... [k 1]) =! k)!, C k = ) k =! k! k)!, Cki) = ) k 1 k V ki) = k 1. 5 gyerek háyféle sorredbe ülhet le egy padra? Egy asztal köré? 2. Háyféle lottóhúzás lehetséges a 90-ből 5-öt lottó? 3. Háyféleképp lehet kitöltei a totószelvéyt? 4. Egy 5 fős társaság tagjai között 3 külöböző köyvet sorsolak ki. Háyféleképp végződhet a sorsolás, ha a) egy személy csak egy köyvet yerhet; b) egy személy több köyvet is yerhet? 5. Egy 5 fős társaság tagjai között 3 egyforma pézérmét sorsolak ki. Háyféleképp végződhet a sorsolás, ha a) egy személy csak egy érmét yerhet; b) egy személy több érmét is yerhet? 6. Háromféle fagyiból háyféle 5 gombócos kelyhet lehet összeállítai? 7. Háyféle sorredje va a MAT EMAT IKA szó betűiek? 8. Az 1, 2, 3, 4, 5 számokak írjuk fel egy olya permutációját, amelybe az iverziók száma 4. Legfeljebb háy iverzió lehet egy permutációba? 9. 10! =?! = 90 2)!, =? 9! 10. 13 mérkőzéses totószelvéyből legkevesebb meyit töltsük ki, hogy biztosa legye 5 találat? 11. Számold össze, háy pozitív osztója va a 72-ek! 12. Számold össze, háy pozitív osztója va 16 200-ak! Kalmár László Matematikaversey országos dötője, 1991., 5. osztályosok verseye Gyakorló feladatok 1. Egy jégbarlag bejáratától öt úto juthatuk el az első terembe, ie hat út vezet a másodikba, majd ie három út a harmadikba. Háyféle úto juthatuk el az első teremből a harmadik terembe? A) 3 B) 5 C) 18 D) 30 E) 90 2. Háy egyees húzható egy kocka yolc csúcsá át úgy, hogy mide egyees két csúcsot tartalmazzo? A) 4 B) 12 C) 20 D) 24 E) 28 3. 4 fiú és 3 láy úgy ült le egy 7 személyes padra, hogy sem két láy, sem két fiú em ült egymás mellett. Háy ültetési sorred képzelhető el? A) 24 B) 30 C) 35 D) 21 E) 144 4. Háyféleképp tudsz sorbaraki 5 egybevágó háromszöglapot, melyek közül 2 piros és 3 kék? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 74 5. Háy olya háromjegyű szám va, amelyek egyik és csak az egyik számjegye a) 5-ös; b) 0? 6. Háy olya háromjegyű szám va, amely számba va/ics a) 5-ös; b) 0 számjegy? 7. Háy olya égyjegyű pozitív egész szám va, amelybe szerepel a 0 számjegy? Zríyi Iloa Matematikaversey megyei fordulója, 1993., 5. osztályosok verseye 8. Háy olya hatjegyű pozitív egész szám va, amelybe a számjegyek összege 3? Zríyi Iloa Matematikaversey megyei fordulója, 1997., 6. osztályosok verseye
9. Háy olya háromjegyű pozitív egész szám va, melyek mide számjegye kisebb, mit 4? Zríyi Iloa Matematikaversey megyei fordulója, 1996., 5. osztályosok verseye 10. Adott a síko 10 pot úgy, hogy közülük semelyik három sics egy egyeese. Háy olya egyees va, amely az adott potok közül kettő átmegy? 11. Az 1, 2, 2, 3, 3, 3 számjegyek külöböző sorredjeivel háy a) 6-jegyű szám; b) 6-jegyű páros szám képezhető? 12. elem harmadosztályú ismétléses és ismétlés élküli variációi számáak külöbsége 65. Határozzuk meg értékét! 13. Adott a síko 20 pot, amelyek közül bármely három em illeszkedik egy egyeesre. Háy háromszöget határozak meg ezek a potok? 14. Egy csomag magyar kártyából kihúzuk 10 lapot. Háy esetbe lesz a kihúzott lapok között a) legalább 7 zöld; b) legfeljebb 7 zöld? 15. Az 5-ös lottó háy olya húzás lehetséges, amelybe a kihúzott számok között a) szerepel a 7 és a 13; b) em szerepel a 7 és a 13? Haoi toryai, Fiboacci-sorozat Rekurzió, teljes idukció 1. A bal felső sarokból idulva előre, ill. lefele lépkedve háyféleképpe olvasható ki a KOMBINAT ORIKA szó? K O M B I N A T O O M B I N A T O R M B I N A T O R I B I N A T O R I K I N A T O R I K A 2. Háyféleképpe olvashatja le Kriszta kedvec macskája evét az ábráról, ha csak jobbra vagy lefelé léphet? M A F A F F I A I A A 3. Háyféle úto olvasható ki az ABACUS szó az ábrá? A B B A A A C C C C U U U U U S S S S S S 4. Valaki úgy megy fel a lépcső, hogy egy-egy lépésével vagy 1, vagy 2 lépcsőfokot lép át. Háyféleképpe juthat fel a 10. lépcsőfokra? 5. Háyféleképpe lehet egy 2 10-es téglalapot 2 1-es domiókkal kiraki? 6. Háy olya yolc számból álló, csak 0-t vagy 1-et tartalmazó sorozat va, amelybe em fordul elő két szomszédos 1-es? 7. Mutassuk meg, hogy egy égyzet feldarabolható db égyzetre, ahol 6. 8. Mutassuk meg, hogy egy háromszög feldarabolható db, hozzá hasoló háromszögre, ahol 6. 9. Mutassuk meg, hogy 1 2 3 = 1) 2. 10. Mutassuk meg, hogy 1 x) 1 x, ha N és x 1 Beroulli-egyelőtleség).
11. Igazoljuk, hogy 6 3, = 1, 2,... 12. Igazoljuk, hogy p p, ahol p prímszám, N kis Fermat-tétel). 13. Mutasd meg, hogy 2 100 3 100 < 4 100. 14. Mutassuk meg, hogy 2 > 2, ha > 4 egész szám. Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 2004., 7. osztályosok verseye 15. Hol a hiba a következő bizoyításba? Állítás: Bármely pozitív egészre a 1 = 1, ahol a > 0 tetszőleges szám. Bizoyítás: Ha = 1, akkor a 1 = a 1 1 = a 0 = 1. Ha feltesszük, hogy a tétel igaz az 1, 2,..., esetre, akkor azt kapjuk, hogy a 1) 1 = a = = 1; tehát a tétel 1) esetére is igaz. 1 a 1 a a = 1 1 2 1 16. Igazoljuk a következő oszthatóságokat. a) 4 7 3 1, = 1, 2,..., f) 17 6 2 19 2 1, = 1, 2,..., b) 9 7 3 1, = 1, 2,..., g) 9 3 1) 3 2) 3, = 1, 2,..., c) 7 5 9 1 2 4 3, = 1, 2,..., h) 7 3 21 2 2, = 1, 2,..., d) 17 7 5 2 1 2 31, = 1, 2,..., i) 133 11 2 12 21, = 0, 1,..., e) 19 5 2 3 2 3 3 1, = 1, 2,..., j) 16 3 22 8 9, = 1, 2,... 17. Néháy egyees a síkot tartomáyokra botja. Mutassuk meg, hogy ezek a részek két szíel kiszíezhetők úgy, hogy az oldalszomszédos tartomáyok külöböző szíűek legyeek. Biomiális tétel, poliomiális tétel. Halmazredszerek Pascal háromszög. Biomiális tétel és bizoyítása. Az 0) 1) 2) 3) ) = 2 összefüggést igazoljuk 3-féle módo: az -elemű halmaz részhalmazait összeszámolva elemszám alapjá; teljes idukcióval; biomiális tétellel. 1. Számolja ki a biomiális tétel segítségével! a) x 1) 3 ; b) a 2) 4 ; c) 1, 02 4 ; d) 1, 01 5 ; e) 99 4 ; f) 999 3. 2. Bizoyítsa be a biomiális tétel segítségével a következő összefüggéseket! a) 0) 1) 2) 3) ) = 2 ; b) 0) 1) 2) ) 3 1) ) = 0; c) 0) 2 ) ) 1 2 2 ) 2 2 3 3 2 ) = 3. 3. Igazolja az alábbi összefüggéseket! ) = k) ; b) ) k ) k1 = 1 k1) ; c) ) k = k a) k 4. a b c) 4 kifejtése utá meyi az a 3 b, ab 2 c,... együtthatója? 1 k 1) ; d) k k) s) = ) s s k s). 5. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük bármely kettőek az uiója kiadja az alaphalmazt. 6. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük semelyik kettőek se legye közös eleme. 7. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük bármely kettőek egy közös eleme legye. 8. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük bármely kettőek egy közös eleme legye, ám bármely három halmazak e legye közös eleme. 9. Adjuk meg a természetes számokak három olya részhalmazát, hogy bármely szám szerepel legalább részhalmazba, és bármely két halmazak végtele sok közös eleme va, míg a három halmazak ics közös eleme.
10. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük egyik se tartalmazza részkét valamely másikat. 11. Egy matematikaverseye 6 feladatot tűztek ki. Bármely két verseyzőt választjuk, midegyikek va olya feladata, amellyel a másik em foglalkozott. Ezt a feltételt betartva adjo meg olya redszert, amelybe miél több verseyző vesz részt. Sperer-redszer) Skatulya-elv, logikai szita 1. Legalább mekkora létszámú az az osztály, ahol biztosa va két olya diák, akiek ugyaayi foga va? 2. Egy fiókba 10 fekete és 10 bara, ugyaolya méretű zoki va. Háy darabot kell találomra kivei, hogy biztosa legye köztük egy pár azoos szíű) zoki? 3. Egy zsákba 10 pár fekete és 10 pár bara, ugyaolya méretű kesztyű va. Háy darabot kell találomra kivei, hogy biztosa legye köztük egy pár azoos szíű) kesztyű? 4. Egy zsákba 11 piros, 8 fehér és 6 fekete golyó va. Háy golyót kell kivei véletleszerűe, hogy biztosa legye közte a) fehér vagy fekete; b) fehér és fekete; c) két külöböző szí; d) valamelyik szíből mid; e) két szíből midegyik; f) valamelyik szíből három? 5. Leírtam az összes háromjegyű pozitív egész számot egy-egy kártyára, és egy üres kalapba tettem őket. Legkevesebb háy számkártyát kell becsukott szemmel kihúzi ahhoz, hogy biztosa legye közöttük kettő, melybe megegyezik a számjegyek összege? 6. Mutasd meg, hogy öt, 10-él agyobb prímszám közül midig kiválasztható kettő, melyek külöbsége osztható 10-zel! 7. Egy szabályos egyelő oldalú) háromszög alakú céltábla oldala 1 m. A céltáblát 10 lövés eltalálta. Igazold, hogy va két olya találat, amelyek 34 cm-él közelebb vaak egymáshoz. Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1984., 5. osztályosok verseye 8. Egy 8 cm oldalú égyzetbe találomra berajzoluk 260 potot. Bizoyítsd be, hogy a potok között biztosa lesz kettő, amelyek egymástól mért távolsága 1 cm-él kisebb. Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1984., 7. osztályosok verseye 9. Háy olya szám va az 1, 2, 3,..., 99, 100 számok között, amely a 2, 3 és az 5 számok közül a) legalább az egyikkel osztható? b) csak az egyikkel osztható? c) legfeljebb kettőek többszöröse? d) potosa kettőek többszöröse? e) egyikkel sem osztható? 10. Egy 30 fős osztály taulói három yelvet taulak: agolt, émetet és fraciát. Mide diák legalább egy yelvet taul: agolt 14-e, émetet 15-e, fraciát 11-e, potosa két yelvet pedig összese 6-a. Háya taulják midhárom yelvet? A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. Egy fordító asztalá lévő 12 db köyv közül 7 db em fracia yelvű és 4 db regéy. A regéyek közül 3 db em fracia yelvű. Háy olya köyv va, amely fracia yelvű, de em regéy? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 12. Háy olya pozitív egész szám va, amely osztója a 2000 vagy a 2005 számok valamelyikéek?
Algoritmusok Redezés, maximális elem kiválasztása, két első kiválasztása, első és utolsó kiválasztása. Ládapakolás. Útvoaltervezés, legrövidebb út keresése. Egy csoportba a legtöbb ember kiválasztása úgy, hogy bármely kettő ismerje egymást. Két ember között ismeresősökö keresztül a legrövidebb kapcsolat. Budapestről mely fővárosokba lehet eljuti repülővel, akár többszöri átszállással? Az szám prímszám-e? Aagrammakészítés. Hogya fog oroszlát a matematikus? 1. a) 3; b) 9; c) 27 érme közül egy hamis, s ez köyebb, mit a másik kettő, amelyek egyelő súlyúak. Egy kétkarú mérlege súlyok felhaszálása élkül egy mérlegeléssel keresd ki közülük a hamis érmét. Hogya lehet ezt megtei? kártyatrükk 2. Va 8 db, párokét külöböző súlyú golyók és egy kétkarú mérlegük. Válaszd ki közülük miél kevesebb mérlegeléssel a) a legköyebb golyót; b) a legköyebb és a legehezebb golyót; c) a két legehezebb golyót! Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1994., 7. osztályosok verseye) 3. Hamis pézek: 10 láda péz között az egyik ládába csupa 11 grammos érme va, a többibe 10 grammosak az érmék. Okos Domokosak csak egyetle mérésre va lehetősége, s azutá tudia kell, hogy melyik a ehezebb érméket tartalmazó láda. A méréshez kap egy egykarú mérleget mérősúlyokkal. Hogya találja meg a ehezebb érméket tartalmazó ládát? 4. A hamis mérleg: Egy iste háta mögötti helye, egy kis boltba vei szereték 1 kg lisztet. A boltba va kétkarú mérleg, vaak mérősúlyok, és va liszt is agyobb meyiségbe. Azoba, ha a mérleg midkét serpeyőjébe egy-egy 1 kg-os mérősúlyt teszük, a mérleg yelve ics egyesúlyba. Bárhogya is szereték, em tudjuk a mérleget hitelese beállítai, hamisa mér a mérleg. Hogya tuduk kiméri 1 kg lisztet? 5. Az euklideszi algoritmus segítségével határozza meg az alábbi számpárok legagyobb közös osztóját. a) 91, 169 b) 96, 320 c) 315, 2475 d) 802, 2005 e) 3737, 131313 6. Egy üzletek 10 bőrödöt szállítottak és hozzájuk egy külö borítékba 10 kulcsot. Mide kulccsal csak egy bőröd yitható. Legkevesebb háy próbálkozással találhatjuk meg biztosa a 10 bőröd midegyikéhez a megfelelő kulcsot? A) 10 B) 45 C) 55 D) 90 E) 100 7. Három rabló: Két rabló, Tódor és Domokos úgy szokott megosztozi a zsákmáyo, hogy az egyik kétfelé osztja azt, és a másik azt a részt veszi el, amelyiket akarja. Ez így igazságos, mert midkettőek megva a lehetősége arra, hogy megszerezze a zsákmáy felét. Ez így met éveke át, amikor is befogadták maguk közé Jeromost, s ettől kezdve hármasba jártak fosztogati. A régi osztozkodási módszer helyett új eljárásra va szükség. Hogya osztozkodjo a három rabló, ha azt szereték biztosítai, hogy bármelyikük megkapja a zsákmáy harmadát, bármit is csiál a másik kettő? 8. Egy fotos,,titkos jeletést 10 oldalra gépeltek le és az egyes oldalakat megkapta egy-egy ember és hazavitte. Mid a 10 emberek va telefoja. Hogya lehete miél kevesebb telefobeszélgetéssel megszervezi, hogy a jeletés teljes tartalmát mid a 10 ember megismerje? A telefobeszélgetéskor a két ember az összes redelkezésre álló iformációt kölcsööse kicseréli.) Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1993., 8. osztályosok verseye 9. Átkelés. Tudor, Vidor, Szedi és Szudi egy sötét, szűk alagúto szeretéek átjuti. Va egy éháy percig égő lámpásuk. Tudor 1, Vidor 2, Szedi 4 és Szudi 5 perc alatt képes megtei a távot. A sötétbe félek, ezért az alagútba lámpás élkül em mehetek és a szűk alagútba egyszerre legfeljebb kette férek el. Szervezd meg az átkelést úgy, hogy a lámpást miél kevesebb ideig kellje haszáli.
10. Vérvizsgálat: Bergegócia harcba áll a szomszédos Burkusországgal. Bergegócia kis ország, szegéy ország, kicsi hadserege va. 128 fős a hadsereg. A kiváló hírszerzések köszöhetőe megtudják, hogy a burkusok alattomos módo megfertőzték az egyik bergegóc katoát egy agyo veszélyes vírussal. A vírus 10 api lappagás utá tovább fertőzi a vírushordozó katoával éritkezőket. Gyorsa cselekediük kell. Bármilye kiváló is a hírszerzés, em tudják, hogy melyik ez a fertőzött katoa. Ha megtalálják, akkor godos orvosi kezeléssel a fertőzés megállítható, és a katoa is meggyógyítható. Nem marad más számukra, mit hogy vért veszek a katoáktól, és a vérhez alkalmas reagest adva, kiderül, hogy va-e a vérbe vírus, vagy sem. Sajos ez lassú eljárás, 1 ap kell, mire vegyszer hatása értékelhető. Ez a vizsgálat, a reages vegyszer ráadásul agyo költséges. Ha egyesével mid a 128 katoá elvégzik a vizsgálatot, a hadsereg költségvetése csődbe jut. Hogya lehete a vizsgálatok számát jeletőse csökketei, akár 10-él kevesebb vizsgálattal megtaláli a fertőzött katoát? 11. Bajokság-szervezés. Szervezd meg egy 8 csapatból álló bajokság fordulóit úgy, hogy mideki midekivel egy mérkőzést játsszo, és mide fordulóba 4 mérkőzést játsszaak. Euler-kör, Hamilto-kör Nagyapáim dédapjai ugyaazok-e, mit dédapáim agyapjai? Kőigsbergi hidak 1736). Egy voallal megrajzolható ábrák. Az első gráfelméleti moográfiát Kőig Dées írta, 1936-ba.) Hamilto kör: dodekaéder-játék. Gráf: potokból és bizoyos potokat összekötő élekből álló alakzat. Véges gráf: ha potjaiak száma véges. Hurokél: az olya él, amelyek két végpotja azoos. Egyszerű gráf: az olya gráf, melybe ics többszörös él és hurokél. Euler-voal: olya zárt voal, amely a gráf mide élét potosa egyszer futja be. Euler-kör és Euler-út fogalma is.) Hamilto-kör: olya kör, amely a gráf mide csúcsá egyszer és csak egyszer halad át. Pot csúcs) fokszáma foka): ameyi él idul abból a potból. Tétel: Egy G gráfba akkor és csak akkor va Euler-kör, ha G mide potjáak fokszáma páros, és G összefüggő. A G összefüggő gráfba akkor és csak akkor va Euler-út, ha két csúcsáak fokszáma páratla és a többi fokszám páros. Hamilto-kör létezésére több elégséges feltételt adtak. Jól kezelhető szükséges és elégséges feltétel azoba em ismeretes. Tétel: [Dirac] Ha egy potú G gráfba mide pot foka legalább /2, akkor a gráfba létezik Hamilto-kör. A gráfelmélet egyszerű tételei Teljes gráf: az olya véges gráf, amelyek bármely két csúcsa között potosa egy él vezet. Reguláris gráf: ha egy gráf mide potjáak fokszáma ugyaaz a k szám, akkor a gráfot k-adfokú reguláris gráfak evezzük. Összefüggő gráf: ha egy gráf bármely csúcsából bármely másikba eljuthatuk egymáshoz csatlakozó éleke, akkor összefüggő gráfról beszélük. Komplemeter gráf: Egy adott G gráf komplemete az a G gráf, melyek a csúcsai ugyaazok, mit G-ek, továbbá a két gráfak ics közös éle, és együtt teljes gráfot alkotak. Részgráf: a G a G részgráfja, ha G a G bizoyos éleiből és csúcsaiból áll. Izolált pot: olya csúcs, amelyek a fokszáma 0. Izomorf gráfok: a G és G gráfok izomorfak, ha az 1, 2,..., számokkal midkét gráf csúcsai úgy megszámozhatók, hogy midkét gráfba ugyaott legyeek élek. Tehát, ha i és j között va él G-be, akkor G -be is, illetve ha G-be ics él i és j között, akkor G -be sics.)
1. Adjo meg olya 8 csúcsú összefüggő egyszerű gráfot, amelyek 16 éle va. 2. Adjo meg olya em összefüggő 6 csúcsú gráfot, amely gráf mide csúcsáak 2 a fokszáma. 3. Egy gráf csúcsai: 2, 3, 4, 6, 8, 9; kösd össze, ha va 1-él agyobb közös osztója. Va-e a gráfak teljes égyszöge? Va-e Euler-voala, Hamilto-köre a gráfak? 4. Adjo meg 6 csúcsú 3-adredű reguláris gráfot. 5. Adjo meg olya 4 csúcsú gráfot, amely izomorf a komplemeterével. 6. Rajzolja fel az összes 3 csúcsú párokét em izomorf egyszerű gráfot. 7. Rajzoljo fel olya 5 csúcsú gráfot, amelybe ics háromszög, és ics 3 izolált pot. 1. Tétel: Mide gráfba a fokszámok összege páros. 2. Tétel: Mide gráfba páros a páratla fokszámú potok száma. 3. Tétel: A legalább 2-potú egyszerű gráfak va két azoos fokszámú potja. 4. Tétel: A teljes -gráf éleiek száma 1) 2. 5. Tétel: Gráf vagy komplemetere összefüggő. 8. Mutassuk meg, hogy véges gráfba midig va két olya pot, amelyek fokszáma megegyezik. Ha megegedük többszörös éleket, akkor az állítás em igaz. Keressük ellepéldát.) 9. Egy terembe 30 ember gyűlt össze. Vaak közöttük olyaok, akik ismerik egymást, és olyaok is, akik em az ismeretség kölcsöös). Mutassuk meg, hogy a 30 ember között va 2 olya, akikek a terembe azoos számú ismerőse va! Kalmár László Matematikaversey országos dötője, 1998., 5. osztályosok verseye 10. Adott a síko 100 pot, amelyek között semelyik három ics egy egyeese. A potokat összekötő szakaszok midegyikét pirosra vagy kékre festjük. Igazold, hogy va a potok között legalább kettő olya, amelyből azoos számú piros szakasz idul ki! Varga Tamás Matematikaversey országos dötője, 1994/95., 7. osztályosok verseye 11. Egy társaságba émely emberek kezet fogtak egymással. Mutassuk meg, hogy biztosa va közöttük kettő, aki ugyaayi emberrel fogott kezet. 12. a) Va-e olya 10 potú gráf, amelybe mide pot fokszáma 3? b) Va-e olya 11 potú gráf, amelybe mide pot fokszáma 3? 13. Egy 7 csúcsú gráfba az élek száma 15, és 6 csúcsáak a fokszámai redre: 3, 3, 4, 4, 5, 5. Meyi a hetedik csúcs fokszáma? 14. Felsorolom egy 5 csúcsú egyszerű gráf csúcsaiak fokszámait, öt külöböző esetet. Ezek közül az egyik kakukktojás, mert em létezik olya gráf. Melyik ez? A) 1, 1, 1, 1, 0 B) 2, 2, 2, 2, 2 C) 3, 3, 3, 3, 3 D) 2, 2, 3, 3, 4 E) 2, 2, 2, 4, 4 15. Késő este egy autóbuszo hete utaztak, mideki a végállomáso szállt le. A játékos kedvű sofőr midegyik utastól megkérdezte, háy embert ismer utastársai közül. Sorra a következő válaszokat kapta: 1, 2, 3, 6, 5, 3, 1. A sofőr rövid godolkodás utá rájött, valaki em modott igazat. Hogya okoskodott a sofőr? Az ismeretség kölcsöös!) Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1993., 7. osztályosok verseye
Síkbeli gráfok. Gráfok szíezése A három ház három kút probléma. Síkbarajzolható gráfok. Kuratowski-tétel: Egy gráf potosa akkor síkbarajzolható, ha em tartalmaz teljes ötszög részgráfot, és ics 3 ház 3 kút részgráfja. Négyszí-sejtés. Ma már: égyszítétel.) 1852-be Fracis Guthrie Britaia térképé a grófságokat szíezve azt találta, hogy 3 szí kevés ehhez, míg 4 szíel jól szíezhető a térkép azaz, a szomszédos tartomáyok külöböző szíűek). Hamarosa eljutott a kérdés matematikusokhoz De Morga, Hamilto), hogy vajo kiszíezhető-e mide térkép 4 szíel. 1879-be Kempe közölt egy bizoyítást erre, amelyről 1890-be Heawood megmutatta, hogy hibás, ám azo az úto 5 szíre igazolható az állítás. A kutatások arra vezettek, hogy 1476 alapesetet kell megvizsgáli, és ez 1976-ba megtörtét. Appel és Hake számítógépet is haszálva bebizoyította a égyszísejtést. A számítógép 1200 órá át dolgozott, a bizoyítás 800 oldalas. A,,szép bizoyítást még ma is keresik. Kromatikus szám. Egy gráf csúcsait úgy szíezzük, hogy ha két csúcsot él köt össze, akkor azok külöböző szíűek. Az ilye szíezéshez szükséges szíek miimális száma a gráf kromatikus száma. 1. Adott egy gráf: a) a csúcsai: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Két csúcsot kössö össze, ha a hozzájuk tartozó számok szorzata páros. b) a csúcsai: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Két csúcsot kössö össze, ha a hozzájuk tartozó számok összege páros. c) a csúcsai: 2, 3, 4, 6, 8, 9; köss össze két csúcsot, ha va 1-él agyobb közös osztója. A kapott gráf síkbarajzolható-e? Va-e Euler-voala? Va-e Hamilto-köre? Va-e teljes égyszöge? Meyi a kromatikus száma? 2. Rajzoljo fel olya 6 csúcsú gráfot, amelyek kromatikus száma 2, ill. olyat, amelyek 3. 3. Rajzolja meg a 3 ház-3 kút gráf komplemeterét. A 3 ház 3 kút páros gráf-e? Miért? Meyi a kromatikus száma a 3 ház 3 kút gráfak? Va-e Euler voala a 3 ház-3 kút gráfak? Va-e Hamilto köre a 3 ház-3 kút gráfak? 4. Va-e olya 8 élű, 6 csúcsú gráf, amely em rajzolható síkba? Az Euler-féle poliédertétel. Fagráfok Euler poliéder tétele: Ha egy kovex poliéder csúcsaiak, lapjaiak és éleiek számát redre c, l és e jelöli, akkor c l = e 2 Bizoyítjuk. Fagráf: összefüggő, körmetes, egyszerű gráf. Tétel: Az szögpotú G gráf akkor és csak akkor fagráf, ha a) összefüggő és körmetes; vagy b) bármely két potját egyetle út köti össze; vagy c) összefüggő és bármely élét elhagyva, két kompoesű gráfot kapuk; vagy d) összefüggő és 1 éle va; vagy e) összefüggő és 1 éle va.
Tétel: Ha egy legalább 2 potú összefüggő gráfak kevesebb éle va, mit potja, akkor a gráfak va elsőfokú potja. Tétel: Mide legalább 2 potú fába va legalább két elsőfokú pot. Tekitsük a leghosszabb utat. Eek midkét végpotja elsőfokú pot. Tegyük fel, hogy az egyik végpot em elsőfokú, azaz vezet belőle még egy él a fa valamely potjába. Az út többi potjába em vezethet, hisze ekkor kört tartalmaza a fa. Ha pedig egy újabb potba vezet az él, akkor az eredeti utat ezzel megtoldva egy hosszabb utat kapák, ez pedig elletmod a feltevések. Tétel: Az -potú egyszerű összefüggő gráfak legalább 1 éle va. Biz. idukcióval. Tétel: Egy -potú összefüggő gráf potosa akkor fa, ha 1 éle va. Szélsőérték-problémák: Ramsey, Turá Szélsőérték-problémák: csúcsú gráfba legfeljebb háy él lehet, ha az síkbeli gráf? csúcsú gráfba legfeljebb háy él lehet, ha a gráf kromatikus száma 2? 1. Rajzoljo egy 7 csúcsú, körmetes gráfot a lehető legtöbb éllel. 2. Legfeljebb háy éle va egy 10 csúcsú, háromszögmetes gráfak? 3. Legfeljebb háy éle va egy 12 csúcsú, égyszögmetes gráfak? Turá-tétele: az csúcsú gráfba maximálisa [ 2 4 ] él lehet aélkül, hogy háromszöget tartalmazzo. Ramsey-típusú feladatok Legelőször 1894-be redezték meg a ma Kürschák-verseyek evezett matematikaverseyt középiskolásokak. Az 1947. évi versey három feladatáak egyike a következő: 1. Feladat. Bizoyítsuk be, hogy hattagú társaságak midig va vagy három olya tagja, akik egymással ismeretségbe vaak, vagy három olya tagja, akik között ics két ismeretségbe levő. A feladatra a bizoyítást Friderikusz Sádor: Szigorúa yilváos Budapest, 1988) c. köyvéből idézzük, az Erdős Pállal, a,,magyar matematika utazó agykövetével készített riportból: Egy Erdős-feladváy: egy vacsora vedégeit találomra választjuk ki a telefoköyvből, de az elfogadott szabály, hogy vagy legalább háromak ismerie kell egymást, vagy legalább 3-ak em szabad ismerie egymást. Legalább háy vedég kell ahhoz, hogy eleget tegyük ezekek az elfogadott szabályokak? Az Erdős-féle megoldás a következő: kezdjük egy 6 tagú asztaltársasággal. Az olvasó képzelje magát közéjük. Ha a másik 5 vedégre éz, akkor vagy legalább 3 ismerőst lát, vagy legalább 3 ismeretlet. Modjuk, hogy 3 ismeretleel ül szemközt a bizoyítás úgyis egyforma). Vegyük sorra a lehetőségeket: a) midhárom vedég ismeri egymást tehát ők alkotják az ismerősök hármasát; b) a 3 ember közül em mideki ismeri a többit, leie kell tehát közöttük 2-ek, aki még em találkozott. Mivel ö em ismeri őket, öel együtt ez a páros a kölcsöös ismeretleek hármasát alkotja. Midebből az következik, hogy 6 vedég midig elég hozzá, hogy előforduljo az egyik vagy a másik hármas. Azt is be lehet bizoyítai, hogy 5 vedég em midig elég. Az egész feladváy egyelőre pofoegyszerűek látszik. De em sokáig marad az. Tegyük fel, hogy em 3, haem 4 kölcsöös ismerőst vagy kölcsöös ismeretlet akaruk láti a vacsoráál! Némi erőfeszítéssel rá lehet jöi a megoldásra: legalább 18 vedégre va szükség. És ha legalább 5 kölcsööse ismerőst vagy ismeretle jelelétét óhajtjuk? Itt már megáll a tudomáy. Seki sem tudja potosa meghatározi a szükséges vedégszámot. Erdős Pál szerit a válasz valahol 42 és 55 között va. Állítólag 40 apig tartó számítás vezetett ehhez a becsléshez, de potos eredméy ics. Na és ha 6 kölcsöös barátot vagy ideget akaruk meghívi? A probléma szite már komikus: a helyes vedégszám 100 körül va. A kérdés közvetle megközelítésére icse mód. Staar Gyula: A megélt matematika Godolat, 1990) c. kötetbe írja a következőket az Erdős Pállal készített beszélgetésbe A világegyetemi taár): Erdős hátat fordít a tábláak. Legye és k pozitív egész szám modja. Legye az a miimális vedégszám, amely biztosítja k számú kölcsöös ismerős vagy ismeretle jelelétét. Ha megjelee egy goosz szellem, s így szóla:,,modd meg az értékét, ha k értéke 5, máskülöbe elpusztítom az emberiséget! akkor taácsos lee mukába állítai a világ
mide számítógépét, hogy megoldják a feladatot. Ha azoba a goosz szellem k = 6-hoz tudakolja az értékét, akkor jobb, ha ikább a goosz szellemet próbáljuk meg eltei láb alól. Ha pedig, majd egyszer, pusztá godolkodással megleljük a helyes választ, em kell többé félük tőle, mert olya okosak lettük, hogy már em árthat ekük. Ugyaerről más kötösbe a Népszabadság 1985. szeptember 13-i péteki) számába is olvashatuk: Egyszer, az azóta elhuyt Szalai Sádor akadémikus, a eves szociológus izgatotta telefoált egyik matematikusuk, T. Sós Vera lakására. Igaz, mikor em volt izgatott Szalai Sádor?) Elmodta, hogy százszámra végeztek felméréseket középiskolások között, és mide osztályba találtak legalább égy egymással barátkozó vagy éppe legalább égy egymástól elzárkózó diákot. Ha más szociológus foglalkozik ezzel a kérdéssel, bizoyára szép elmélet születik belőle a,,klikkekről. Szalai azoba matematikuskét kezdte pályáját, és megvolt bee a matematikai itelligecia: ez tétette föl vele a kérdést, hogy vajo szociológiai vagy logikai, illetve matematikai törvéyszerűség va-e a háttérbe. Az utóbbiról va szó. Szalai ezt em ismerhette, amithogy em mide matematikus ismeri: ez a Ramsey-tétel, illetve mára már a Ramsey-elmélet egyik tétele, amellyel T. Sós Vera még iskoláskorába, egy Kürschák-matematikaverseye találkozott. Ez az oka az említett,,klikkekk, illetve,,atiklikkekk szükségszerű létrejöttéek. Érezhető a Ramsey-tételbe az, amit a filozófus Hegel fogalmazott meg:,,meyiségi változás miőségi változást eredméyez. Ha jobba megézzük, akkor észrevesszük a hasolóságot az 1. Feladat és az 1993-ba a Kalmár László Matematikaversey országos dötőjé 8. osztályosokak kitűzött következő feladat között: 2. Feladat. Adott a síko 6 pot, ezek közül semelyik 3 sem esik egy egyeesbe. Kette, A és B felváltva meghúzak egy-egy adott potpárt összekötő, még be em rajzolt szakaszt, A pirossal, B kékkel. Az veszít, aki először kéytele olya szakaszt meghúzi, hogy így saját szíével háromszög keletkezik. Lehet-e dötetle ebbe a játékba? És 5 pot eseté? Ramsey-tétel: Mide 6 potú gráfba va 3 olya pot, hogy bármely kettő között fut él, vagy va 3 olya pot, hogy köztük em fut él. Mide, k) természetes számpárhoz létezik olya R, k) természetes szám, hogy bármely R, k) potú gráfba vagy va potú teljes részgráf, vagy va k potú üres részgráf, azaz k izolált pot k olya pot, melyek közül semelyik kettő sics összekötve). R3; 3) = 6, R3; 4) = 9, R3; 5) = 14, R3; 6) = 18, R3; 7) = 23, R3; 8) = 28, R3; 9) = 36, R4; 4) = 18, R4; 5) = 25, 43 R5; 5) 52, 102 R6; 6) 169. A házassági probléma A házasság-problémát Kőig Dées vetette fel. Arthur király udvarába él lovag és udvarhölgy. A király szereté összeházasítai őket oly módo, hogy mide házasság kölcsöös szimpátiára épüljö, ezért megbízza Merlit, a varázslót, modja meg, lehetséges-e ez. A bizottsági elökök problémája. Tekitsük éháy bizottságot és azok tagjait. Egy ember szerepelhet több bizottságba is. Mide bizottság élére elököt kell választai a tagjai közül úgy, hogy egy ember legfeljebb egy bizottságak legye az elöke. Ez a hozzáredelési feladat, melyek megoldására maximális élszámú párosítás) hatékoy algoritmust ismerük, ezt evezik magyar módszerek. Kőig Hall-tétel házassági tétel): Egy ő és férfi alkotta gráfba, ha mide k számú ő legalább k férfit ismer, akkor va lehetőség a párosításra házaspárok kijelölésére). Páros gráf: ha a csúcsok két közös elem élküli halmazba oszthatók úgy, hogy élek csak külöböző halmazba tartozó csúcsokat kötek össze. Párosítás: az élekek egy olya P halmaza, ha semelyik két élek sics közös végpotja Függetle élredszer: párokét közös pot élküli élek. Lefogó pothalmaz: mide él legalább egyik végpotja a lefogó pothalmazba va. Kőig Dées tétele: Mide páros gráfba a függetle élek maximális száma egyelő a lefogó potok miimális számával.