vizsgálata Csikja Rudolf 2007. november 14. 1 / 34
Smale-patkó Smale-patkó Smale-patkó Cantor-halmaz A végtelen sorozatok tere 2 / 34
Smale-patkó L S R L R T B 3 / 34
Smale-patkó f(x, y) = A [ ] [ ] x 1 + y 0.1 [ ] 10 0 A = 0 0.1 { 1, ha x L u(x) = 8, ha x R u(x) 0.9 0.8 L T R 0.2 0.1 B 0.1 0.2 0.8 0.9 4 / 34
Smale-patkó Smale-patkó Smale-patkó Smale-patkó Cantor-halmaz A végtelen sorozatok tere Minden (x, y) L R pont felírható a koordinátájával: [ ] x y = [ ] 0.a0 a 1 a 2... 0.b 1 b 2 b 3... Belátható, hogy ekkor [ ] 0.a1 a f(x, y) = 2 a 3... 0.a 0 b 1 b 2... a 0 {1, 8}. f(x, y) B T. Az f(z) leképezés mindkét irányban végtelen sokszor iterálható akkor és csak akkor, ha z koordinátás alakjában a i, b i {1, 8}. Milyen halmazba tartoznak ezek a pontok? 5 / 34
Cantor-halmaz Smale-patkó Smale-patkó Smale-patkó Cantor-halmaz A végtelen sorozatok tere x = + k=1 a k 1 10 k, y = + Diadikus Cantor-halmaz: { + C := k=1 k=1 b k 10 k (a k, b k {1, 8}). c k 10 k : c k {1, 8} így a z k+1 = f(z k ) diszkrét dinamikai rendszer trajektóriái a Λ := C C halmazban haladnak. f(λ) = Λ. }. 6 / 34
A végtelen sorozatok tere Smale-patkó Smale-patkó Smale-patkó Cantor-halmaz A végtelen sorozatok tere Definiáljuk a σ leképezést: σ: Λ Σ 2, ahol Σ 2 := {{... b 3, b 2, b 1 a 0, a 1, a 2... } : a i, b i {1, 8}}. Lássuk el Σ 2 -t a d F (s, s) = k Z 1 s k s k 2 k 1 + s k s k, Fréchet-távolsággal, ekkor σ homeomorfizmus. Így igazak az f S R f 1 S L izomorfizmusok, ahol S R és S L a jobbra-, illetve balra-tolás operátorok. Sikeresen átfogalmaztuk a problémát! 7 / 34
Kombinatorikus bonyolultság Kezdeti értéktől való érzékeny függés Sűrű pályák 8 / 34
Kombinatorikus bonyolultság Kombinatorikus bonyolultság Kezdeti értéktől való érzékeny függés Sűrű pályák A továbbiakban 1 L és 8 R. Tetszőleges, mindkét irányban végtelen L-R sorozathoz egyértelműen létezik olyan z Λ, hogy f k (z) L, vagy R a megadott sorrendben. Azaz z pályája az L és R halmazt a megadott sorrendben látogatja végig. Például:... LLLRLRLL RRRLLRRL... z = (0.88811881...,0.11818111...) 9 / 34
Kezdeti értéktől való érzékeny függés Kombinatorikus bonyolultság Kezdeti értéktől való érzékeny függés Sűrű pályák A kezdeti értéktől való érzékeny függés azt fejezi ki, hogy akármilyen z és z z pontból indított pályák egy idő után, adott távolságtól messzebb kerülnek egymástól. Létezik olyan η > 0 állandó, hogy tetszőleges két z, z Λ, z z pontra van olyan N Z, amire f N (z) f N ( z) > η. 10 / 34
Sűrű pályák Kombinatorikus bonyolultság Kezdeti értéktől való érzékeny függés Sűrű pályák Van olyan pálya, amely az összes többi pályát tetszőlegesen kis távolságra megközelíti. Például: {...;R, L; L, L; R; L L; R; L, L; L, R; R, L; R, R; L, L, L;... }. A periodikus pályák is sűrűek, olyan értelemben, hogy minden ponthoz tetszőlegesen közel van periodikus pálya, például: {...L,R,R,L,L,R,L,R L,L,L,R,R,L,R... } {...L, R, L, R, L, R, L,R L, R, L, R, L, R, L...} {... L, L, L, R, L, L,L,R L,L, L, R, L, L, L...} {...L, R, L, L, L,R,L,R L,L,L, R, L, R, L...} 11 / 34
Leképezési gráf A káosz elégséges feltétele 12 / 34
Leképezési gráf Leképezési gráf A káosz elégséges feltétele Legyen I := [0, 1] intervallum és f : I I folytonos függvény, ekkor f N tetszőleges N Z esetén értelmes. Legyen I 0,...,I M I diszjunkt, zárt intervallum, és definiáljuk a G f leképezési gráfot: V (G f ) := {0, 1,...,M}, E(G f ) := {(i, j) V (G f ) V (G f ) : f(i i ) I j }. i 0 i 1 i 2 i N 1 Ha a fenti gráf részgráfja G f gráfnak, akkor létezik x i I i minden i = 0,...,N 1 esetén, hogy x k+1 = f(x k ) k = 0,...,N N-periodusú pálya, azaz f N (x 0 ) = x 0. 13 / 34
A káosz elégséges feltétele Leképezési gráf A káosz elégséges feltétele Ha a G f leképezésgráfban van két egymást metsző irányított kör, akkor minden G f gráfbeli mindkét irányban végtelen irányított úthoz létezik őt követő trajektória. Például az alábbi gráfhoz tartozó dinamika pontosan úgy kaotikus, mint a Smale-patkó. L R 14 / 34
A vizsgált modell Hiszterézis Trajektória I. Trajektória II. 15 / 34
A vizsgált modell A vizsgált modell Hiszterézis Trajektória I. Trajektória II. A következő állapotvisszacsatolással rendelkező oszcillátort vizsgáljuk: ẋ = σx + ωy ẏ = ωx + σy + H x, ahol az instabilitás biztosításához legyen σ > 0, továbbá σ 2 + ω 2 = 1, illetve H hiszterézissel rendelkező szakaszonkét lineáris leképezés: H(p, η) = 1, ha p > 1 1, ha p < 1 η, ha 1 p 1, ahol η {1, 1}. 16 / 34
Hiszterézis H(x(t)) 1-1 x(t) 1-1 17 / 34
Trajektória I. 2 1-3 -2-1 1 2 3-1 -2 18 / 34
Trajektória II. 19 / 34
A koordináta-remdszer elforgatása Az új leképezés Poincaréleképezés I. Poincaréleképezés II. Poincaréleképezés Az eredeti és a diszkrét trajektóriák 20 / 34
A koordináta-remdszer elforgatása σ φ ω σ 2 +ω 2 =1 21 / 34
Az új leképezés A transzformált rendszer egyensúlyi pontjai (1, 0) ( 1, 0) A koordináta-remdszer elforgatása Az új leképezés Poincaréleképezés I. Poincaréleképezés II. Poincaréleképezés Az eredeti és a diszkrét trajektóriák A trajektóriák ezen pontok körül forognak: [ ] [ ][ ] x(t) a(t) b(t) x0 1 = y(t) b(t) a(t) ahol a(t) = e σt cos(ωt), b(t) = e σt sin(ωt). y 0 + [ ] ±1, 0 22 / 34
Poincaré-leképezés I. x k+1-1 x k 1 x k x k+1 23 / 34
Poincaré-leképezés II. -H(x k ) x k+1-1 1 x k y * 24 / 34
Poincaré-leképezés A koordináta-remdszer elforgatása Az új leképezés Poincaréleképezés I. Poincaréleképezés II. Poincaréleképezés Az eredeti és a diszkrét trajektóriák f(x k ) = m := exp(πσ/ω) 1 + m m 2 (x k + 1) 2 4 ha x k < 2 m 1 m(x k + 1) 1 ha 2 m 1 x k 1 m(x k 1) + 1 ha 1 x k 2 m + 1 1 m m 2 (x k 1) 2 4 ha x k > 2 m + 1 25 / 34
Az eredeti és a diszkrét trajektóriák 3 2 2 1 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 1 2 2 3 26 / 34
keresése Kereső kód Leképezési gráf Empirikus sűrűségfüggvény Köszönet Vége 27 / 34
keresése keresése Kereső kód Leképezési gráf Empirikus sűrűségfüggvény Köszönet Vége A Mathematica beépített függvényei: Interval[{min, max}] IntervalIntersection[...] IntervalUnion[...] IntervalMemberQ[...] Példa: Sin[Interval[π]] = Interval[{0, 0}] Sin[Interval[N[π]]] = Interval[{ 3.21625 10 16, 5.66554 10 16 }] 28 / 34
Kereső kód keresése Kereső kód Leképezési gráf Empirikus sűrűségfüggvény Köszönet Vége XX = Table[ NestList[ T, {Interval[{i, i + 0.01}], 1}, 20 ]/.{x_, y_}->x, {i, 0., 1.0, 0.01} ]/ Interval[]->0 /. T[_]->0; Table[ IntervalIntersection[XX[[j, 1]], XX[[j, i]]], {j, 1, Length[XX]}, {i, 1, 20} ]//TableForm Outer[IntervalIntersection, P1, P2]/.Interval[]->0 29 / 34
keresése Kereső kód Leképezési gráf Empirikus sűrűségfüggvény Köszönet Vége k I k H(x 1 k) J k H(x 2 k) 0 [0.28, 0.29] 1 [0.38, 0.39] 1 1 [1.83093, 1.84263] 1 [1.71389, 1.7256] 1 2 [0.0138545, 0.027551] 1 [0.150819, 0.164516] 1 3 [2.13808, 2.1541] 1 [1.97778, 1.99381] 1 4 [ 0.350671, 0.331911] 1 [ 0.163078, 0.144318] 1 5 [2.55876, 2.58072] 1 [2.33922, 2.36117] 1 6 [ 0.849942, 0.824248] 1 [ 0.593005, 0.567312] 1 7 [3.13495, 3.16502] 1 [2.83425, 2.86432] 1 8 [ 2.82058, 2.7527] -1 [ 2.02059, 1.91267] -1 9 [1.53308, 1.85977] 1 [0.0681149, 0.194413] -1 10 [ 0.00619975, 0.376123] 1 [ 2.39784, 2.25004] -1 11 [0.46294, 0.635923] -1 12 [ 2.91455, 2.71211] -1 13 [1.14264, 2.18223] 1 14 [ 0.383582, 0.833061] 1 30 / 34
Leképezési gráf I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 8 I 9 J 0 J 1 J 2 J 3 J 11 J 12 J 13 31 / 34
Empirikus sűrűségfüggvény 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 3 2 1 1 2 3 32 / 34
Köszönet Garay Barnabás, Differenciálegyenletek Tanszék. Tóth János, Analízis Tanszék. OTKA: T047132, NK63066 keresése Kereső kód Leképezési gráf Empirikus sűrűségfüggvény Köszönet Vége 33 / 34
Vége keresése Kereső kód Leképezési gráf Empirikus sűrűségfüggvény Köszönet Vége [1] Csendes, T.; Bánhelyi. B.; Garay, B.: A verified optimization technique to locate chaotic regions of Hénon systems J. Global Optim., 35 (2006) 145 160. [2] Guckenheimer, J.; Holmes, P.: Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo (1983). [3] Saito, T.; Mitsubori, K.: Control of chaos from a piecewise linear hysteresis circuit, Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, IEEE Transactions on, 42 (1995) 168 172. [4] Smale, S.: Finding a Horseshoe on the Beaches of Rio, Mathematical Intelligencer, 20 (1998) 39 44. 34 / 34