Bevezetés a kaotikus rendszerekbe

Átírás

1 Bevezetés a kaotikus rendszerekbe. előadás Könyvészet: Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos

2 Káosz, fraktálok és dinamika ` Fraktálok: szépség matematikai leírás Fraktálzene: Phil Thompson Me Myself Totally Alone ` A káosz és a fraktálok részei a dinamika területének változás, időbeni fejlődés: - egyesnúly felé tart - ciklikusan viselkedik - még bonyolultabb viselkedést mutat

3 A dinamika története Időpont Név Esemény 666 Newton kalkulus felfedezése bolygómozgás magyarázata 700-as évek a kalkulus és a klasszikus mechanika virágkora 800-as évek a bolygómozgások analitikus tárgyalása 890 Poincaré geometriai megközelítés, káosz lázálom nemlineáris oszcillátorok a fizikában és a mérnöki tudományokban: rádió, radar, lézer Birkhoff Kolmogorov Arnol d Moser komplex viselkedések a Hamiltoni mechanikában 963 Lorenz különös attraktor egy egyszerű konvekciós modellben 970-es évek 980-as évek Ruelle & Takens May Feigenbaum Winfree Mandelbrot káosz és tulburencia káosz a logisztikai leképezésekben univerzalitás és renormalizáció, kapcsolat a káosz és a fázisátalakulások között a káosz kísérleti tanulmányozása nemlineáris oszcillátorok a biológiában fraktálok általános érdeklődés a káosz, fraktálok, oszcillátorok es alkalmazásaik iránt

4 A dinamika logiaki struktúrája differenciálegyenletek: időben folytonosak magasabbrendű differenciális egyenletek pl. csillapított harmónikus oszcillátor parciális differenciálegyenletek pl. hővezetés differencia egyenletek: diszkrét egyenletek iterált leképezések a rendszerek tisztán időbeli viselkedésére koncentrálunk, ezért magasabbrendű differenciálegyenleteket fogunk tanulmányozni általánosan: x& = f... x& n = f ( x, x,..., x ) n ( x, x,..., x ) d x dx m + b + kx 2 dt dt 2 u u = 2 t x n n x& i dxi dt = 0 nem autonóm rendszerek: explicit időfüggés pl. m&&+ x bx& + kx = F cost átírható a fenti alakra, csak egyel több egyenlet lesz: eltűnik az időfüggés egy extra dimenzió hozzáadásával

5 Miért olyan nehezek a nemlineáris problémák a legtöbb analitikusan megoldhatatlan a lineáris rendszerek darabokra bonthatók a valós rendszerek egyes részei interferálhatnak, együttműködhetnek vagy versenghetnek nemlineáris kölcsönhatások Nemlineáris példák a hallás: a hallószőrök nemlineáris viselkedése hallószőrök hossza: 0-30 μm minimális érzékenység: ~3 nm kitérés 0 2 -szeres hangerő 0 6 -szoros amplitúdó ~3 mm kitérés Lehetetlen ekkora kitérés!!! A hallószőrök nem viselkedhetnek lineárisan!!! Torzítanak!

6 Oktáv

7 Akusztikai illúziók (hiányzó alapharmonikus)

8 Akusztikai illúziók (harmadik hang) Tartini, XVIII. sz.

9 Akusztikai illúziók (Shepard skála)

10 Dinamikai világkép

11 Áramlások egy egyenesen tekintsük a következő rendszert n= esettel kezdünk dimenziós, elsőrendű egyenletek Geometriai gondolkodásmód x& =... x& n = f f ( x, x,..., x ) n n ( x, x,..., x ) 2 2 n pl. analitikus megoldás: π feladat: x0 = -re írjuk le a rendszer kvalitatív viselkedését 4 x& = sin x mi történik grafikai megközelítés t cosec x0 + ctg x0 = ln cosec x + ctg x t -ben? vektortér egy egyenesen: - megadja a sebességvektort minden pozícióban nyilak: x& x& > < 0 0

12 Fizikai kép a vektormezőkről folyadék (fázisfolyadék) egyensúlyban áramlik az x tengely (fázistér) mentén a grafikon által megadott sebességgel és a nyilak irányában fixpont: nincs áramlás stabil fixpont (attraktor) instabil fixpont (repeller) Válasz a kérdésekre x 0 π = 4 t

13 Fixpontok és stabilitás a grafikus megközelítés használható minden dimenziós rendszer esetén recept: megrajzoljuk az f(x) grafikont és vázoljuk a vektormezőt fázisportré a fázispontot elhelyezzük x 0 -ba és nézzük, hogyan sodorja azt az áramló folyadék a mozgást követve megkapjuk a pályát differenciélegyenlet megoldása ( ) 0 fixpontok: az f x * = pontok álló pontok az áramlásban stabil fixpont instabil fixpont tranziens fixpont

14 Populációnövekedés modell egyszerű modell: van néhány kiinduló egyed minden egyed egyforma minden egyed örökké él a születési ráta állandó végtelen mennyiségű élelem elhalálozás bevezetése N& = b N N& = d N N & = = ( b d ) N rn exponenciális növekedés EZ NEM TARTHAT ÖRÖKKÉ!!! túlnépesedés, véges erőforrások növekedési ráta csökken ha N túl nagy lesz egyszerűsítés: r lineárisan csökken az N növekedésével logisztikus egyenlet: N N& = rn k eltartóképesség

15 Logisztikus egyenlet grafikus megoldása Fixpontok: * * N = 0 N = k instabil fixpont stabil fixpont N=0 kivételével bárhonnan kiindulunk, a populáció mindig eléri a terület eltartóképességét kis populációról indulva, ez kezdetben nagyon gyorsan növekszik k/2-ig, majd a népesség lassan stabilizálódik szigmoid görbe

16 A modell kritikái kezdetben a növekedés univerzális törvényének tekintették (Pearl 927) jó egyezés laboratóriumi körülmények között baktériumok és egyszerű organizmusok esetén konstans környezetben, élelemmel és ragadozók nélkül nem működött komplex életciklusú bogarak, lepkék esetén tojás lárva báb egyed fennmaradó fluktuációk!!!

17 Oszcillációk lehetetlensége a fázispont sosem vált irányt, a stabil fixpont megközelítése mindig monoton módon történik nem létezik túllépés és csillapított oszcilláció nincs periodikus megoldás mechanikai analógia: túlcsillapított rendszerek méz mx && + bx& = bx& = F F ( x) bx& >> mx && b ( x) x& = f ( x) = F( x)