θ & új típusú differenciálegyenlet: vektormező egy körön lehetségesek PERIODIKUS MEGOLDÁSOK példa: legalapvetőbb modell az oszcillátorokra fixpont:

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "θ & új típusú differenciálegyenlet: vektormező egy körön lehetségesek PERIODIKUS MEGOLDÁSOK példa: legalapvetőbb modell az oszcillátorokra fixpont:"

Benedek Dudás
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 3. előadás

2 & θ új típusú differenciálegyenlet: vektormező egy körön f ( θ ) lehetségesek PERIODIKUS MEGOLDÁSOK legalapvetőbb modell az oszcillátorokra példa: & θ sinθ θ & fixpont: θ & 0 θ θ & > 0 nyilak: ha az óramutatóval ellentétes

3 egyenlet: megoldás: egyenletes körmozgás oszcilláció periódusa: példa: két sportoló körözése a pályán ω ct. θ & ( ) 0 ω ω θ + t t ω π T Δ T T T T T T T π φ π ω ω θ θ φ π ω θ π ω θ & & & & &

4 & θ ω a sinθ előkerül különböző tudományágakban: elektrónika (fázisblokkolt áramkörök) biológia (oszcilláló neuronok, szentjánosbogarak villanása) szilárdtestfizika (Josephson átmenetek) mechanika lassú áthaladás nyeregpont bifurkáció

5 körön ábrázolva: oszcilláció periódusa: T π 0 T π π dt dt dθ d d θ θ ω a sinθ ω 0 a

6 Nagyon gyakori jelenség... ingaórák szinkronizálódása (Huygens, 667) szentjánosbogarak dél-kelet Ázsiában (J. Buck, Sci. Am., May 976) pacemaker sejtek a szívizomban (C. Peskin, Mathematical Aspects of Heart Physiology, New York, 975) tücskök csiriplése (E. Sismondo; Science 49, 55,990) oszcilláló kémiai reakciók (J. Neu, SIAM J. Appl. Math. 38, 305,980) kapcsolt Josephson átmenetek hálózata (P. Hadley et al. Phys. Rev. B, 38, 87, 988) neuron sejtek az agyban (J. Hopfield, Nature 376, 33,995) egymás mellett járó emberek léptei együtt élő nők menstruációs ciklusának a szinkronizációja

7 Délkelet Ázsiában több ezer hím szentjánosbogár ül a fákon és villog szinkronizált villogás mi okozza ezt? egymást befolyásolják: ha az egyik látja a másik felvillanását, gyorsul vagy lassul úgy, hogy a következő villanásuk szinkronban legyen Hanson (978) kísérlete: mű szentjánosbogár melletti valódi szentjánosbogár villanása a szentjánosbogár a saját periódusához közeli tartományban (~0,9s) alkalmazkodott ha az automata túl gyors vagy túl lassú volt, nem történt szinkronizáció modell: Ermentrout & Rinzel (984) a bogarak felvillanásának fázisa: θ ( t) villanás θ 0-ban külső hatás hiányában: & ( t) θ ω Θ Θ 0 Θ & Ω stimulálás fázisa: villanás -ban stimuláns egyenlete: () ha a stimulálás hamarabb következik be, a szentjánosbogár felgyorsul, különben lelassul & () θ ω + Asin ( Θ θ )

8 Délkelet Ázsiában több ezer hím szentjánosbogár ül a fákon és villog szinkronizált villogás mi okozza ezt? egymást befolyásolják: ha az egyik látja a másik felvillanását, gyorsul vagy lassul úgy, hogy a következő villanásuk szinkronban legyen Hanson (978) kísérlete: mű szentjánosbogár melletti valódi szentjánosbogár villanása a szentjánosbogár a saját periódusához közeli tartományban (~0,9s) alkalmazkodott ha az automata túl gyors vagy túl lassú volt, nem történt szinkronizáció modell: Ermentrout & Rinzel (984) a bogarak felvillanásának fázisa: θ ( t) villanás θ 0-ban külső hatás hiányában: & ( t) θ ω Θ Θ 0 Θ & Ω stimulálás fázisa: villanás -ban stimuláns egyenlete: () ha a stimulálás hamarabb következik be, a szentjánosbogár felgyorsul, különben lelassul & () θ ω + Asin ( Θ θ )

9 kapott egyenlet: dimenzió nélküli alak: τ & φ Θ& & θ Ω ω Asinφ Ω ω dφ At; μ μ sinφ A dτ egyszerre villannak van egy stabil fixpont konstans fáziskülönbség: phase locking nincs stabil fáziskülönbség szinkronizálódó tartomány: ω A Ω ω + A

11 tekintünk N darab oszcillátort csatolt oszcillátor-rendszer egyenlete: numerikusan integráljuk i + rendparaméter: r ( cosθ i sinθ ) Szinkronizált és nem szinkronizált fázisok jelenléte (fázisátalakulás) K c kritikus csatolás K<K c : r0 (a szinkronizáció teljes hiánya) K>K c : r>0 (parciális szinkronizáció) K-> : r (teljes szinkronizáció) N másodfajú fázisátalakulás i i

12 Mi a vastaps? A tapsnak egy különleges megnyilvánulási formája Szinkronizált (egyszerre való) tapsolás Jól ismert Európában, kevésbé ismert más kontinenseken Jól ismert a kommunista időkből... Egy karakterisztikus jól követhető dinamikája van viharos nem szinkronizált tapssal kezdődik a taps erőssége csökken, szinkronizált taps alakul ki a szinkronizáció elvesztlődik, majd többször vissza-alakul szinkronizált és nem szinkronizált időperiódusok sorozatos váltakozása

13 Két aránylag stabil tapsolási mód I. tapsolási mód: magasabb frekvencia, ezen frekvenciák szórása nagy mind egy csoportra, mind pedig egy egyénre nézve (jellemző a viharos nem-szinkronizált tapsra) II. tapsolási mód: kisebb frekvencia, ezen frekvenciák szórása is kisebb mind egy csoportra, mind pedig egy egyénre nézve (jellemző a szinkronizált vastapsra) A vastaps ideje alatt az átlagos hangerősség a teremben kicsi (kevesebb taps van egységnyi idő alatt) Viharos taps esetén az átlagos hangerősség a teremben nagy (több taps van egységnyi idő alatt) Az átlagos hangerősség és a szinkronizációs rendparaméternek egymással ellentett trendje (viselkedése) van: mikor az egyik nagy a másik kicsi...mikor az egyik növekszik a másik csökken

14 Mit akar a közönség egy jó előadás után? nagy hangerejű tapsot, hogy tetszését kifejezze (A) szinkronizációt (ami egy általános tendencia biologiai rendszerekben + kulturális tradició) (B) Az ideális állapot (A+B) nem elérhető --> frusztráció A nézők viharos tapssal kezdik, I. módusú taps (A bekövetkezik) a hangerő nagy a tapsolási frekvenciák és ezeknek a szórása nagy a Kuramoto modell alapján a szinkronizáláshoz szükséges K c nagy a szinkronizálás nem lehetséges mert általában K<K c A B szinkronizáció elérésének a feltétele -->II. módusú taps a tapsolási frekvencia + a frekvenciák szórása lecsökken K c lecsökken --> K>K c --> szinkrónizáció az átlagos hangerősség a teremben lecsökken Az A új kialakulása érdekében a közönség megnöveli a tapsoláasi frekvenciát --> I. módusú taps A+B helyett: A B A B...

15 stochasztikus oszcillátorok: a frekvencia időbeli változása véletlenszerű egy ciklus dinamikája : A--> B --> C --> A A: a dinamika stochasztikus része, hossza τ A - reakció idő; B: várakozási rész, vagy a ritmust megszabó része a dinamikának (a ciklus leghosszabb része); hossza τ B : az a periódus amit az egyéni oszcillátorok akarnak Az oszcillátor csendes az A+B részek alatt C: az oszcillátorok tüzelése (pulzus kibocsájtás) az oszcillátorok τ C időhosszúságú, konstans intenzitású jelet bocsájtanak ki az átlagos periódus: T τ A + τ B + τ C τ * + τ B + τ C Egy külső feltétel függvényében az oszcillátorok két különböző ciklust (modust) követnek, ezek a B állapot időbeli hosszában különböznek: I módus --> τ BI II módus--> τ BII τ BII τ BI

16 kapcsolás: megadja a két modus közötti váltások törvényét realisztikus kapcsolás N oszcillátor között a kibocsájtott össz-pulzus erőssége alapján az oszcillátorok dinamikája: oszcillátorok véletlenszerű módusokkal és fázisokkal kezdenek (a ciklus valamely pontján vannak véletlenszerűen) az adott módusokban a módusra jellemző ciklust követik a rendszert egy kritikus globális pulzuserősség jellemzi: f* a ciklus A részének a befejezte után, minden oszcillátor vagy az I vagy a II módust választja, az adott pillanatra jellemző f/f* függvényében ha f<f* -> I módus ellenkező esetben II módus a javasolt dinamika az f globális pulzuserőt f* közelében tartja

17 I. Fázis: nem szinkronizált állapot (a) minden oszcillátor a II. módusban unalmas taps II. Fázis: parciálisan szinkronizált állapot kvázi-periodikus kollektív pulzus (b) hosszu periódusú kollektív pulzus vastaps III. Fázis: parciálisan szinkronizált állapot kvázi-periodikus kollektív pulzus (c) rövid periodusú kollektív pulzus gyors vastaps IV. Fázis: nem szinkronizált állapot (d) minden oszcillátor az I. módusban viharos taps

18 Néda Zoltán és csoportja

Hasonló dokumentumok

Numerikus módszerek. 9. előadás

Numerikus módszerek. 9. előadás Numerikus módszerek 9. előadás Differenciálegyenletek integrálási módszerei x k dx k dt = f x,t; k k ' k, k '=1,2,... M FELADAT: meghatározni x k t n x k, n egyenletes időlépés??? t n =t 0 n JELÖLÉS: f