Példák numerikus módszerekre.

Átírás

1 Példák num erikus módserekr e.

2 A alaj radioakiviása egy radioakív sennyeés uán. környeevédelem a alaj és a légkör radioakiviásának visgálaa balese, háború, aomkísérleek uóhaásai Környeefiika FONTOS TUDNI: hogyan váloik egy sennyeődés uán a radioakív anyagok konenráiója a alaj különböő réegeiben

3 Modell kidolgoása a sennyeődés pillanaserű, a felüleen a =0 pillanaban kövekeik be ( ) = δ ( ) δ ( ), 0 0, = 0, = 0 0 KÉT HATÁS: (,). a sapadék haására a radioakív anyagok bemosódnak a alaj mélyebb réegeibe a felüleen a konenráió sökken, a mélyebb réegekben nő D diffúiós állandó. a radioakív anyagok folyamaosan bomlanak a össes réegben sökken a konenráió α bomlási állandó

4 Differeniális egyenleek felírása ( ) ( ) d d (, ) d S d = D d d(, ) = α d (, ) = α (, ) Sámíógépes simuláió: D D (, ) (, ) + ( d, ) d d N sámú d vasag alajréege ekinünk, a i. Réegben a radioakív anyag konenráiója [i] d d (, ) S + D ( d, ) D = α [ i] [ i] + [ i ] d példa paraméerek: N=0; α=0.00, D/d = 0.003, d=0.00 S D d

5 Diskreiálás időbeli derivál érbeli derivál diskreiál egyenle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d + = = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d + = = + = ( ) ( ) ( ) D D + = +,,, α

6 Differeniálegyenleek inegrálási módserei dkk x& k = fk k, d ( x, ) ; k,k =,,... M FELADAT: meghaároni x k n x k, n egyenlees időlépés??? n 0 n JELÖLÉS: f k x i, n, n f k,n erő ényeő DISZKRETIZÁLÁS: a inervallum melyik ponjában sámoljuk a erő ago?

7 A Euler módser előre irányú diskreiálás: O f, n f, n O lokális hiba globális hiba: N T O!!!! sérülnek a megmaradási örvények!!! ponosság, sabiliás sámíási haékonyság Sámíási semponból a legegyserűbb módser, de nem alkalmas fiikai problémák anulmányoására. Önmagában SOSEM hasnáljuk!!!! Kélépéses módser másodrendű sorfejés: hárafele irányú diskreiálás 3 ismerni kell x 0 és x -e a módser nem önindíós, más módserrel kell beindíani

8 Taylor sorok módsere f f ha a és pariális deriválak analiikusan kisámolhaók x df f, d x x f n a deriválak a n pillanaban vannak f x x, f f n n n, n álalában a pariális deriválak sámíása nem prakikus!!!

9 Négylépéses Adams-Bashforh módser negyedrendű sorfejésből indulunk ki: deriválak kisámíása: polinomiális inerpoláió -3, -, -, ponokon keresül f O f 6 3 n f 3 n 3 f 3 n f 6 n 3 O 4 f-e sorbafejjük n körül ~δ kis érékekre f beaonosíjuk a megfelelő rendű agok együhaói d n 6 3 O O 5

10 Runge-Kua módserek enrális diskreiálása ẋ -nak a inervallum köepén nem ismerjük f, n -e, hogyan sámoljuk ki a f-e??? Euler módserrel: f, n f, n RK k ; k f k, n k ; RK4 k k ; k f, k ; k n 3 f, n k 4 f k 3, ; 6 k 3 k 3 k 3 6 k 4 O 5 ;

11 Implii módserek eredendően sabil módserek, de sokkal nehékesebbek sámíási semponból explii módserek: a + kisámíásáho a össes informáió explii módon a rekurióban alálhaó; implii módserek: a informáiók egy rése implii módon a erő agban van elrejve. PÉLDÁK: f, n f, n f, n a rekurió nemlineáris!!! ieraív módsereke hasnálunk: megbesüljük valahogy a + -e, eel sámolunk egy jobb beslés és isméeljük a ieráió

12 Predikor-korrekor módserek explii módserrel megbesüljük a + -e javíjuk a éréke egy hasonló rendű implii módserrel inervallum séle inervallum belseje PREDIKTOR: KORREKTOR: negyedrendű Adams-Bashforh módser négylépéses Adams-Molon módser BECSLÉS O 5 KORREKCIÓ O 5

13 Verle algorimusok p x p f x x f x eredei Verle: f sebesség Verle: p n f p n p n f f

14 Sinkroniáió a erméseben Nagyon gyakori jelenség... ingaórák sinkroniálódása (Huygens, 667) senjánosbogarak dél-kele Ásiában (J. Buk, Si. Am., May 976) paemaker sejek a síviomban (C. Peskin, Mahemaial Aspes of Hear Physiology, New York, 975) üskök siriplése (E. Sismondo; Siene 49, 55,990) osilláló kémiai reakiók (J. Neu, SIAM J. Appl. Mah. 38, 305,980) kapsol Josephson ámeneek hálóaa (P. Hadley e al. Phys. Rev. B, 38, 87, 988) neuron sejek a agyban (J. Hopfield, Naure 376, 33,995) egymás melle járó emberek lépei aps / vasaps együ élő nők mensruáiós iklusának a sinkroniáiója

15 Senjánosbogarak sinkroniáiója Délkele Ásiában öbb eer hím senjánosbogár ül a fákon és villog sinkroniál villogás mi okoa e? egymás befolyásolják: ha a egyik lája a másik felvillanásá, gyorsul vagy lassul úgy, hogy a kövekeő villanásuk sinkronban legyen Hanson (978) kísérlee: mű senjánosbogár mellei valódi senjánosbogár villanása a senjánosbogár a sajá periódusáho köeli arományban (~0,9s) alkalmakodo ha a auomaa úl gyors vagy úl lassú vol, nem örén sinkroniáió modell: Ermenrou & Rinel (984) θ θ = 0 a bogarak felvillanásának fáisa: villanás -ban külső haás hiányában: & θ = ω simulálás fáisa: villanás Θ = 0 -ban simuláns egyenlee: Θ & = Ω () Θ ha a simulálás hamarabb kövekeik be, a senjánosbogár felgyorsul, különben lelassul & θ = ω + Asin ( Θ θ ) ( )

16 Több senjánosbogár sinkroniáiója Hasonló elven működő elekronikus bogarak Néda Zolán és soporja

17 A Kuramoo modell ekinünk N darab osilláor saol osilláor-rendser egyenlee: numerikusan inegráljuk i + rendparaméer: r = ( osθ i sinθ ) N i i Sinkroniál és nem sinkroniál fáisok jelenlée (fáisáalakulás) K kriikus saolás K<K : K>K : K-> : r=0 (a sinkroniáió eljes hiánya) r>0 (pariális sinkroniáió) r= (eljes sinkroniáió) másodfajú fáisáalakulás hp:// hp://