Operátorszeletelési módszerek hibaanalízise és alkalmazásuk reakciódiffúzió-problémákra

Átírás

1 Operátorszeletelési módszerek hibaanalízise és alkalmazásuk reakciódiffúzió-problémákra Ladics Tamás 05, április 3. Bevezetés A disszertáció négy fő részből áll, amelyekben az operátorszeletelés módszerét alkalmazom absztrakt nemlineáris feladatokra. A fő motivációt a reakciódiffúzió-problémák adják. Főbb eredményeim a következők.. Új eredmények.. Operátorszeletelés konvergenciája nemlineáris problémákra Az operátorszeletelés konvergenciáját a szakirodalomban sok helyen vizsgálták. Az egyik megközelítés a Lie-algebrák és a Lie-operátorok fogalmán alapszik, amely a részoperátorok végtelen sokszor való differenciálhatóságát követeli meg. Vannak olyan tanulmányok, amelyekben csak a részoperátorok néhányszori differenciálását igénylik, noha minden esetben a globális hiba oly módon van kifejezve, hogy annak kiértékelése gyakorlatban meglehetősen bonyolult és magát a megoldást is felhasználja. A [] munkában bebizonyítom, hogy a lokálisan Lipschitz-folytonos részoperátorokkal felírt problémára a szekvenciális szeletelés és az additív szeletelés elsőrendben konvergens. Ezen állítások a lineáris, illetve sima operátorokkal rendelkező problémákra vonatkozó eredmények kiterjesztése a szekvenciális szeletelés esetében, illetve az additív szeletelés esetére eddig csak a lokális rendet vizsgálták korlátos lineáris részoperátorokkal.. Definíció. Legyen X, egy Banach tér, D f,dg X, tegyük fel, hogy D := D f Dg egy összefüggő nyílt halmaz. Legyen f : D f X és g : Dg X folytonos operátor. Tekintsük a következő kezdetiérték problémát ahol u 0 D, t 0 I és I R egy nyílt intervallum. A [] tanulmány a következő két feltételezésre epül. u t = f + gut, ut 0 = u 0,. Tegyük fel, hogy -nek t 0 = 0-val létezik egyetlen megoldása [0,T ] t ut, valamely T > 0 mellett.. Tekintsük a megoldás r sugarú környezetét S r := S r t, ahol S r t := {η : η ut r}, t [0,T ]. t [0,T ] Tegyük fel, hogy létezik egy olyan L szám, hogy bármely t [0,T ] éy bármely w, z S r t esetén f w f z L w z és gw gz L w z teljesül.

2 Gyakorlatban az L állandó függ r-től, itt L-t az r rögzített értékéhez választjuk. L még f -től és g-től is függ, ám a következő eredményekben ezt nem használjuk ki, L tekinthető úgy, mint max{l f,l g }.. Definíció. Legyen t 0,T ] és tekintsük a G seq t := e Lt e 3Lt Lt e Lt e Lt gu 0 + Lt 4 Lt Lt +e e Lt f + gu 0 + gu 0 +t t e Lt t elt e Lt f + gu 0 e Lt f + gu 0 + f u 0 + gu 0 függvényt t > 0-ra. Megmutatható, hogy szigorúan monoton növekvő, így bevezethető a τ := G seqr, nyilvánvalóan G seq t r minden t [0,τ ]-re.. Tétel. A szekvenciális szeletelés elsőrendben konvergens minden t [0,T ]-ben. Továbbá minden 0 < τ τ esetén, ahol t /τ =: n N a globális hiba E seq iτ Lτ elτ τ eliτ 4 e Lτ gu 0 + iτe Liτ τ eliτ e Lτ f + gu 0, minden i {0,,...,n}-re. 3. Definíció. Legyen t 0,T ] és tekintsük a szigorúan monoton G as t := t elt e 3Lt Lt elt e Lt + elt + f u 0 + gu 0 függvényt t > 0-ra. Legyen τ := G as r.. Tétel. A additív szeletelés elsőrendben konvergens minden t [0,T ]-ben. Továbbá minden 0 < τ τ esetén, ahol t /τ =: n N a globális hiba 3Lτ Lτ e Liτ E as iτ e e Lτ f u 0 + gu 0, minden i {0,,...,n}-re. A globális hiba az L, gu 0, f u 0, f + gu 0 és a τ függvényében van kifejezve. gyakorlatban a posteriori hibabecsléseket tesznek lehetővé, így megfelelő lépésköz választható... Kombinált módszerek lokális rendje + Ezen eredmények a Gyakorlatban a részproblémákat numerikusan oldjuk meg, így fontos az úgynevezett kombinált módszerek vizsgálata, amelyeket szeleteléssel és valamilyen numerikus módszer alkalmazásával nyerünk. 4. Definíció. Tekintsük a u t = Aut + Rut, u0 = u 0, t [0,T ], T R + kezdetiérték problémát, ahol u 0 R d, A R d d egy korlátos lineáris operátor és R : R d R d egy legalább kétszer differenciálható nemlineáris leképezés.

3 Az által leírható problémák egy fontos osztálya a reakció diffúzió és a reakció advekció egyenletek. Az A lineáris operátor a diffúziót vagy advekciót reprezentáló operátor térben diszkretizált megfelelője; R a kémiai reakciókat leíró operátor, sok gyakorlati esetben egy polinom. A [] munkában bebizonyítom, hogy a klasszikus szeletelések szekvenciális, Marcsuk-Strang, szimmetrikusan súlyozott négy különböző rendű,, 3, 4 numerikus módszerrel való kombinációjával kapott módszer a feladatra alkalmazva első-, illetve másodrendű. A közös rend a szeletelés és az alkalmazott numerikus séma rendjének minimuma. Ez a lineáris részoperátorokra vonatkozó eredmények kiterjesztése. 5. Definíció. Tekintsük a [0,T ] egy felosztását {0,τ,τ,...,nτ = T } és legyen u n comb a feladat u megoldásának egy kombinált módszerrel kapott közelítése. A kombinált módszer lokális hibája uτ u n comb τ, ahol u a megoldása. A kombinált módszer lokális rendje az a legnagyobb q N, amelyre léteznek olyan pozitív állandók c és τ 0,T ], hogy teljesül minden τ 0,τ ] esetén. uτ u n comb τ τ cτq 3. Tétel. A szekvenciális szeletelés és az elsőrendű explicit Euler módszer kombinációjának rendje. 4. Tétel. A szimmetrikusan súlyozott szeletelés és az elsőrendű explicit Euler módszer kombinációjának rendje. 5. Tétel. A szekvenciális szeletelés és a másodrendű javított Euler módszer kombinációjának rendje. A fenti tételek bizonyítása alkalmazható magasabb rendű numerikus módszerekkel bíró kombinált módszerek rendjének meghatározására. Habár a számítások nagyon bonyolulttá válnak a rend növekedésével. Egy Mathematica kódot írtam a bizonyításokban szereplő szimbolikus számítások elvégzésére. Meghatároztam klasszikus szeletelések négy különböző numerikus sémával explicit Euler, másodrendű javított Euler, harmadrendű Heun-, negyedrendű Runge-Kutta való kombinálásával kapott módszerek rendjét. Az. Táblázat tartalmazza a kombinált módszerek rendjét. A szeletelések és a numerikus módszerek rendje található a zárójelbe írva. A kombinált módszer rendje p k exp. Euler jav. Euler Heun 3 Runge-Kutta 4 szekv M-S szs. táblázat. A kombinált módszerek lokális rendje az feladatra. p k = min{p sz, p num }, ha p sz a szeletelés és p num jelöli a numerikus módszer rendjét.. Példa. A Fisher-egyenletre t ut,x = x ut,x + ut,x ut,x x [0,4π], t 0, u0,x = + 0.9sinx ut, 0 = ut, 4π = 3 vonatkozó numerikus eredményeket tartalmazza a. Táblázat. 3

4 p c exp. Euler javított Euler Heun 3 Runge-Kutta 4 szekv M S szs táblázat. A lokális rend Fisher-egyenletre vonatkozó becslései..3. Az iteratív szeletelés Az [4] munkában bebizonyítjuk, hogy amikor az operátor tetszőleges számú részoperátor összegként írható fel, az iteratív szeletelés lokális rendje az eljárás során megoldott részfeladatok számával egyezik meg a két-szintű módszer esetén. Ez a két részoperátor esetére vonatkozó eredmények kiterjesztése. Definiáljuk több-szintű módszerek egy nagy családját, és a lokális rend szempontjából jellemezük ezen módszereket. 6. Definíció. Legyen k N és tekintsük a u t = k j= A j ut, u0 = u 0, t [0,T ], T R +, 4 kezdeti érték problémát, ahol DA j = X és A j korlátos lineáris operátor minden j =,...,k-ra. Tekintsük a [0,T ] egy felosztását {0,τ,τ,...,Nτ = T } valamely N N mellett és legyen N 0 := {0,,...,N }. 7. Definíció. A két-szintű iteratív szeletelés a következő részfeladatok egymás utáni megoldását jelenti { v i+ j t = A j v i+l t + A A j v i+ j t, t [nτ,n + τ], j =,...,k v i+ j nτ = u it, nτ, i = 0,k,k,...,m k és n N 0 -ra, ahol u it, 0 := u 0 és v 0 t := u it, nτ minden t [nτ,n + τ]-re. A 4 megoldásának közelítése az u it, n + τ = v mk n + τ. 6. Tétel. Tekintsük a 4 kezdeti érték problémát és legyenek A j L X, j =,...,k korlátos lineáris operátorok. A két-szintű módszer lokális rendje mk. 8. Definíció. A k-szintű iteratív szeletelés a következő részfeladatok egymás utáni megoldásaként definiálható i = 0,k,k,...,m k és n N 0 mellett: v i+t = A v i+ t + v i+l t = l j= A j v i+ j t + k j= k j=l+ A j v i+ j k t, v i+ nτ = u it,k nτ, t [nτ,n + τ], 5a. A j v i+ j k t, v i+l nτ = u it,k nτ, t [nτ,n + τ], 5b v i+k t = k j=. A j v i+ j t, v i+k nτ = u it,k nτ, t [nτ,n + τ], 5c 4

5 ahol u it,k 0 := u 0 és v k t = v 3 k t =... = v 0 t = u it,k nτ minden t [nτ,n + τ]-ra. A 4 megoldásának közelítése az u it,k n + τ = v mk n + τ. mk 7. Tétel. A k-szintű iteratív szeletelés 5 lokális rendje, ahol a felső egész részt jelenti. k Definiálhatjuk iteratív szeletelések egy családját amely tartalmazza a fent bemutatott módszereket a következő módon. 9. Definíció. Legyenek I := {,,,...,k } és n l j I, ahol j,l =,,...,k. Tekintsük a következő iteratív szeletelési eljárást i = 0,k,k,...,m k mellett: v i+l t = A lv i+l t + k j= j =l ahol v k t =... = v 0 t = u it nτ és n N 0. A j v i+l n l j t, v i+l nτ = u it,k nτ, l =,...,k 6 Az indexek definíciója lehetővé teszi egy részoperátor k korábbi szintű iterálófüggvénnyel sok különböző módon való társítását, így az iteratív szeletelések egy nagy osztálya határozható meg. mk 8. Tétel. Az 6 módszer likális rendje p, amelyre p mk teljesül. k. Példa. Tekintsük a következő állandó együttható közönséges differenciál-egyenlet rendszert: u t = ut, u0 = u 3 0, 7 ahol ut = u t,u t, t R +. Bontsuk fel az együttható-mátrixot a következő módon A = A + A + A 3, ahol A =, A 3 =, A 0 3 =, A =. 0 Ezzel a választással a mátrixok exponenciálisa szimbolikusan számítható, e ta e t 0 = 0 e 3t, e ta t = 0, e ta 3 = 0 t A 7 egyenletet megoldottuk két-szintű és k-szintű iteratív szeletelésekkel szimbolikusan a Mathematica program segítségével. A hibák főrésze található a 3. Táblázatban, az iterációk m számával és a módszer p rendjével. Az 5 definíció alapján kicsi t-re ut u it t ct p+ teljesül, ahol a rend p. Az eredmények összhangban vannak az elméletiekkel: p = mk a két-szintű és p = mk k a k-szintű módszer esetén. 3. Példa. Tekintsül a háromdimenziós diffúziós egyenletet u : R + 0 Ω R-val, ahol Ω = [ π,π] [ π,π] [ π,π] egy R 3 -beli gömb. t ut,x = ut,x u0,x = sinxsinysinz ut,x b = 0, x b Ω,. 8 5

6 3. táblázat. A hiba főrésze a két-szintű és a k-szintű módszer esetén, k = 3-ra. m ut u it, t p = 3m ut u it,k t p = t4 u t7 u t0 u Ot 3 5 Ot t3 u 0 t4 u t6 u t7 u t9 u 0 8 3m 6

7 4. táblázat. A kombinált módszerek lokális hibájának becslése a két-szintű és a 3-szintű módszer 8 feladatra való alkalmazásakor. két-szintű módszer 3-szintű módszer p num m = m = m = m = ahol x = x,y,z R 3 és u = x u + y u + z u. Az iteratív szeleteléseket a A u := x u, A u := y u, A 3 u := z u felbontás alapján definiáljuk. Lokális hiba becslései találhatók a 4. Táblázatban. A részfeladatokat négy különböző rendű p num =,,3,4 numerikus módszerrel oldottuk meg. Az utolsó sor kivéve a második oszlopbeli tagot és a harmadik oszlop harmadik tagja -t várjuk magasabb rendű pontosságot jelez az elméleti eredmények alapján elvártnál, ami 3,4,,3 lenne. Erre a magyarázat a következő: a részfeledatok egy lépésben lettek megoldva, másszóval a numerikus séma és az iteratív szeletelés időlépcsője ugyanakkora volt. Akkor várható, hogy az elmélet eredményt kapjuk vissza, ha a numerikus időlépcső sokkal kisebb, mit a szeletelésé. Ilyen interferencia megfigyelhető, ha különböző módzsereket kombinálunk egy feladat megoldásakor..4. Hullám-alakú iteráció módzsere szemi-lineáris problémákra A [3] munkában explicit hibabecslést adok a hullámalakú iteráció módszerének közvetlenül az absztrakt, folytonos szemi-lineáris problémára való alkalmazásakor. Ez a hibabecslés jobb, mint a szakirodalomban találhatók, amelyek magát a megoldást is tartalmazzák, így nem alkalmasak a hiba mennyiségi becslésére Az eredményeket az iteráció időablakokon való alkalmazása esetére is kiterjesztem, amely korábban nem volt mennyiségileg tanulmányozva. Továbbá a kombinált módszer hibáját is becsülöm, azaz amikor az iterációs részfeladatokat numerikusan oldjuk meg. 0. Definíció. Legyen X, egy Banach tér, DA,DF X, tegyük fel, hogy Ω := DA DF egy nyílt halmaz. Tekintsük a u t = Aut + Fut, u0 = u 0, t [0,T ], T R +, 9 kezdeti érték problémát, ahol u 0 Ω. Legyen A : DA X lineáris, F : DF X egy nemlineáris operátor. A [3] elemzés a következő két feltételezésen alapul. Tegyük fel, hogy. Az A operátor egy erősen folytonos félcsopotrot generál St t 0, amelyre Stx Me ωt x, minden x X-re és t [0, T ]-re, ahol M és ω nemnegatív állandók.. Létezik egy zárt gömb B δ u 0, δ R + és egy olyan L állandó hogy Fv Fw L v w minden v,w B δ u 0 párra. 7

8 . Definíció. A hullámalakú iterációt definiáljuk a 9 feladatra a v it = Av i t + Fv i t, v i 0 = u 0, t [0,T ], 0 feladatok megoldásáként, ahol i I := {,,...,m}, valamely m N-re az iterációk száma és a v 0 t = u 0 kezdőfüggvénnyel t [0,T ]-re.. Definíció. Tegyük fel, hogy 9 megoldását egy függvénysorozattal közelítjük, melyet a 0 megoldásai szolgáltatnak. Ekkor az iterációs hiba e i t := ut v i t. Definiáljuk a továbbá legyen t δ := ρ δ. ρt := α M eω+mlt ω + ML, with α := A + Fu 0, 9. Tétel. Tekintsük a feltételezéseket, ekkor a 9 egyértelmű u megoldására teljesül, minden t [0,t δ ]-re. ut u 0 ρt Az 9 Tétel egy erős alapot ad az iterációs hiba becslésére. 0. Tétel. A 9. Tétel feltételei és jelölései mellett és ω > 0 esetén, minden t [0,T ]-re T t δ mellett az iterációs hiba e i t MLti ρt. i!. Tétel. A 9. Tétel feltételei és jelölései mellett és M =,ω = 0 esetén minden t [0,T ]-re e i t e Lt i Lt k α k! L. k=0 Az a tény, hogy az iterációs hiba nagyobb ütemben csökken kis időintervallumok esetén annak a kédésnek a tanulmányozását ösztönzi, hogy vajon jobb közelítéséket kapunk-e, ha felosztjuk az időintervallumot kis részintervallumokra, majd ezeken ismételve alkalmazzuk a hullámalakú iterációt. Ezt az eljárást nevezik az időablakok alkalmazásának. 3. Definíció. Legyen. N N + rögzített, N := {,,...,N},. v n m az m-dik iterálófüggvény az n-dik időablakban, v n m 0 = v m n τ, n N és 3. u n az u n = A + Fu n megoldása, amelyre u n 0 = v n m τ, n N, ahol v 0 m := u 0. 8

9 . Tétel. A 7. oldalon lévő feltételezések mellett tekintsük a [0, T ] intervallum N darab τ hosszúságú részintervallumra való felbontását: [n τ,nτ], n N. Ekkor a hullámalakú iteráció részintervallumokon való alkalmazásával kapott módszer konvergens, azaz közelíti a 9 megoldását tetszőlegesen kicsi hibával, ha az iterációk száma tart a végtelenhez. Továbbá unτ v m n τ MLτm M eω+mlnτ α N m! ω + ML bármely n N -re egy alkalmas α N számmal, amely független az iterációk számától. A összefüggés lehetővé teszi az időablakok alkalmazásával és anélkül kapott iterációs hibák összehasonlítását. Mivel csak felső hibabecsléseink vannak, így ezek az eredmények heurisztikus jellegűek, ámbár a numerikus kísérletek alátámasztják következtetéseinket. Ahhoz, hogy időablakokkal jobb eredményt kapjunk szükséges. Ez heurisztikusan MLτ m m! ut v N m T ut v m T M eω+mlt ω + ML α N MLNτm m! M α N α N m M eω+mlt α, ω + ML összefüggést adja, ami azt jelenti, hogy ha az iterációk száma meghalad egy bizonyos értéket, akkor időablakok alkalmazásával kisebb hiba keletkezik. Ha feltesszük továbbá, hogy a hibabecslések közel vannak a valódi értékekhez, akkor az ut v m T ut v N m T α Nm α N M az ln ut v m T ln ut v N α m T mlnn + ln. 3 α N M összefüggést eredményezi. Gyakorlatban a 0 részfeladatait numerikusan oldjuk meg, ezért lényeges megmutatni, hogy a kombinált módszer a hullámalakú iteráció és egy numerikus séma kombinációja konvergens. Rögzítsük T -t úgy, hogy 0 < T < t δ és tekintsük a φ : C [0,T ],B δ u 0 C [0,T ],B δ u 0 leképezést, amelyre v i t = φv i t. Ekkor a 0 iterálófüggvénye felírható v i t = φ i v 0 t alakban. Legyen ˆφv a φv egy konvergens numerikus módszerrel előállított közelítése. Tegyük fel, hogy van egy alkalmas interpoláció P és az alkalmazott numerikus módszer paraméterei megválaszhatók oly módon, hogy a φ := P ˆφ leképezés φvt B δ u 0 -t ad minden t [0,T ] esetén. Ezen definíciókkal a kombinált módszer leírható a numerikus iteráló függvénnyel ṽ i := φ i v 0. Ekkor az i-dik iterációban ébredő numerikus hiba φ φ i v 0 φ φ i v 0. A numerikus módszer megválasztásán túl a numerikus hiba függ a diszkretizációs paraméterektől. Így formálisan φ φ i v 0 φ φ i v 0 cp írandó, ahol p a diszkretizációs paraméterek vektora, helyes megválasztásával a numerikus hiba tetszőlegesen kicsi lehet. 4. Definíció. Tekintsük a fenti jelöléseket. Ekkor a kombinált módszer kumulatív numerikus hibája CNE i t := v i t ṽ i t = φ i v 0 t φ i v 0 t. 9

10 3. Tétel. Tegyük fel, hogy minden i I-hez létezik egy c i p oly módon, hogy φ φ i v 0 φ φ i v 0 c i p, ekkor cp := max{c i p, i I} mellett i ML j CNE i t e ωt j e ωt j ωt ω k cp k! minden i I-re, ahol k=0 j=0 -t nullának tekintendő.. Állítás. Tegyük fel, hogy minden i I-hez létezik egy c i p oly módon, hogy φ φ i v 0 φ φ i v 0 c i p, ekkor cp := max{c i p, i I} mellett minden i I-re t [0,T ]-re. k=0 CNE i t MLeω+MLt + ω cp ω + ML 4. Tétel. A 7. oldalon lévő feltételezések mellett tegyük még fel, hogy minden iterálófüggvényt egy konvergens numerikus módszerrel közelítünk. Ekkor a hullámalakú iteráció és a numerikus módszer kombinációja egy konvergens módszert ad a 9 feladat u megoldásának közelítésére. Továbbá a fenti jelölésekkel minden i I és t [0,T ] mellett. ut ṽ i t MLti i! ρt + MLeω+MLt + ω cp ω + ML 5. Tétel. Tegyük fel, hogy ω = 0, M = és létezik t-től független olyan cp állandó, hogy minden i I-re φ φ i v 0 φ φ i v 0 cp teljesül. Ekkor minden i I és t [0,T ] esetén. CNE i t = φ i v 0 t φ i v 0 t i k=0 Lt k cp k!. Megjegyzés. A kumulált numerikus hiba e Lt cp-hez tart i esetén, így az. állítás érvényben marad ω = 0 és M = esetén. 6. Tétel. Tekintsük a 7. oldalon található feltételezéseket ω = 0, M = értékekkel és tegyük fel, hogy minden iteráló függvényt egy konvergens numerikus módszerrel közelítünk. Ekkor a kombinált módszer konvergens. Továbbá ut ṽ i t e Lt i Lt k i α k=0 k! L + Lt k cp 4 k=0 k! minden i I és t [0,T ] esetén. 4. Példa. A kezdeti érték probléma { t ut,x,y = x ut,x,y y ut,x,y + u t,x,y x,y R, t 0 u0,x,y = π e x y, 5 0

11 egy másodrendű autokatalízist ír le advekció mellett. Megoldása u a t,x,y = πe x t +y t t. A 5 probléma 9 típusú az Au = x u y u, Fu = u és X = C b R,[0,] definíciókkal. A megoldás t = π és x, y = π, π-ben felrobban. A megoldást t [0, ]-re közelítettem. A megoldás megfelelően kicsi környezetében L = érvényes. 0 t 0 t ábra. A közelítések hibája, ut ṽ m t ahol a hullámalakú iterációt konvergens numerikus módszerrel kombináltam van ábrázolva időben, logaritmikus skálán, m =,..., 0 iterációval a bal oldalon. Az elméleti becsléssel együtt szaggatott a jobb oldalon m m ábra. Bal oldal: A 5 közelítésének hibája, hullámalakú iteráció negyedrendű Runge-Kutta módszerrel kombinálva logaritmikus skálán az iterációk számának függvényében. A diszkretizációs paraméter x = /5 piros, /6 narancs, /7 zöld, /8 kék. Jobb oldal: az eredmények /8 kék mellett t = T -vel, az 4 elméleti becslés piros és a szakirodalom klasszikus becslése fekete.

12 m N ábra. A hiba u ṽ N m logaritmikus skálán az iterációk számának függvényében, m =,...,0 és N W := {,,4,0,0,00} a bal oldalon; a jobb oldalon ugyanez az időablakok számának 00 osztói függvényében, m =,..., m m 4. ábra. A 3-ben található ln u ṽ m ln u ṽ m N kifejezés az iterációk számának függvényében, a bal oldalon; a jobb oldalon az mlnn + lnα /α N elméleti becsléssel szaggatott együtt, N W. Hivatkozások [] Ladics T. Application of operator splitting to solve reaction-diffusion equations. E. J. Qualitative Theory of Differential Equations, 9: 0, 0. [] Ladics T. Convergence of operator splittings for locally Lipschitz-continuous operators in Banach-spaces. submitted, 05. [3] Ladics T. Error analysis of waveform relaxation method for semi-linear reactio-diffusion problems. J. Comput. Appl. Math., DOi.: 0.06/j.cam , 05. [4] Ladics T. és Faragó I. Generalizations and error analysis of the iterative operator splitting method. Centr. Eur. J. Math., :46 48, 03.

13 Konferencia kiadványokban közölt írások [5] T. Ladics. Application of operator splitting in the solution of reaction-diffusion equations, Proc. Appl. Math. Mech., 7: doi: 0.00/pamm Poszterek és előadások [6] T. Ladics. Application of the splitting method to the numerical solution of reaction-diffusion equations. NATO Advanced Research Workshop, Advances in Air Pollution Modeling For Environmental Security, Borovetz, Bulgaria, May 8-4, 004. [7] T. Ladics. Application of operator splitting in the solution of reaction-diffusion equations. 6th International Congress of Industrial and Applied Mathematics ICIAM07, Zürich, July 6 0, 007. [8] T. Ladics. On the order of operator splitting methods in reaction diffusion equations. 9th Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged, June 8 July, 0. [9] T. Ladics. Generalizations and error analysis of the iterative operator splitting method. T 4 Conference, Splitting methods: theory and applications workshop, Budapest, May 4 5, 0. [0] T. Ladics. Error analysis of waveform relaxation method for semi-linear partial differential equations. Szeged Dynamics Days, Szeged, Feb. 8 March, 04. 3