Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló

Átírás

1

2 láttuk, hogy a Lorenz egyenletek megoldásai egy nagyon bonyolult halmazt alkottak a fázistérben végtelenül komplex felület fraktál: komplex geometriai alakzatok, melyeknek elemi kis skálán is van finomszerkezete általában önhasonlóak: ha egy fraktál kis részét kinagyítjuk, megtaláljuk az egész nagyra hasonlító elemeket: egzakt, megközelítő vagy statisztikai természetben: hegyek, felhők, partvonalak, brokkoli tudományos alkalmazások: számítógép grafika, képtömörítés, törések szerkezeti mechanikája, folyadékmechanika stb.

3 Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló

4 mi egy ponthalmaz dimenziója? vonalak és sima görbék egydimenziósak síkok és sima felületek kétdimenziósak szilárdtestek háromdimenziósak dimenzió: az a minimális koordinátaszám, amellyel minden pont leírható az adott halmazban

5 1 dimenziós??? 2 dimenziós??? ismert halmazok dimenziói N = l D D = ln N ln l alkotóelemek száma kicsinyítési faktor Koch görbe esetén: ln4 D = 1.26 ln3

6 négyzetes Koch-görbe Sierpinski háromszögek Sierpinski szőnyeg

7

8 az 1970-es években Mandelbrot és társai fejlesztették ki a az elágazó testek jellemzőinek a leírására az egyik bevezetett jellemző mennyiség a összefüggés a tömör testek sugara és tömege között ha a tárgy dimenziója (D) megegyezik az euklideszi tér dimenziójával (d) ha egy testre definiálható a dimenziója, de az kisebb, mint d d fraktáldimenzió a valóságban a skálázási egyenlet nem érvényes a teljes tartományra, van egy alsó és egy felső levágási határ mikrostruktúra <-> végesméret

9 meghatározzuk a tömeg sugár összefüggést a fraktál különböző pontjaiból kiindulva fokozatosan növelve a sugarat ennek átlagértékét ábrázoljuk log log skálán a kapott egyenes meredekségéből fraktáldimenziót számolunk

10 tekintünk egy négyzetrácsot egy elfoglalt rácspont egy fertőzött személyt jelent kezdetben egy fertőzött pontot teszünk a rács közepébe meglátogatjuk a négy legközelebbi szomszédját és mindeniket p valószínűséggel megfertőzzük, (1 p) valószínűséggel immunissá tesszük az újonan megfertőződött emberekre megismételjük a fertőzés terjedését (de csak a nem immunis szomszédokra)

11 hópelyhek villámlás baktérium kolóniák tekintünk egy négyzetrácsot, a közepén elhelyezünk egy részecskét a centrumtól számított R sugarú kör valamely pontjáról elindítunk egy részecskét, ami véletlen bolyongást végez ha a bolyongás során hozzáér a már kialakult klaszterhez, hozzáragasztjuk új részecskét indítunk stb... >> demo <<

12

13 Szigeten élő rovarfaj: az egyedek nyáron felnőnek és tojásokat raknak, ezek következő tavasszal kelnek ki diszkrét időlépésenként következik be a populáció növekedése sűrűségfüggő növekedés figyelembe veszünk korlátozó tényezőket (pl. a terület eltartóképességét) korlátozatlan populáció, végtelen növekedés nemlineáris!!! újraskálázott egyenlet: helyettesítéssel kontroll paraméter f ( x) :[0,1] [0,1] logisztikai leképezés

14 Tanulmányozzuk a rendszer viselkedését r = 0.24 paraméterre különböző x 0 ra. Igazoljuk, hogy az x=0 egy stabil fixpont. Tanulmányozzuk a rendszer viselkedését r = 0.26, 0.5, 0.74 és ra. Egy fix pont instabil, ha az összes hozzá közeli x 0 bol kiindulva a rendszer divergál. Igazoljuk, hogy az x=0 instabil, ha r> Igazoljuk, hogy egy kezdeti tranziens időszak után a rendszer viselkedése állandósul (a hosszútávú dinamikai viselkedése 1 periódusú). Igazoljuk, hogy r< ¾ esetén bármilyen kezdőállapot az x = 1 1/4r hez konvergál. stabil attraktor Tanulmányozzuk a rendszer dinamikáját r = 0.752, 0.76, 0.8 és re. (kb 1000 tranziens lépés után) Igazoljuk, hogy kicsivel 0.75 fölött a rendszer két stabil érték között oszcillál (2 periódusú). az r érték, ahol a viselkedés átvált 2 periódusúba a bifurkációs pont Keressük meg a stabil attarktorokat r = 0.863, 0.88, 0.89, 0.891, re. Melyek a megfelelő periódusok?

15 A tranziens időszak után ábrázoljuk az x értékeket az r függvényében. Kvalitatív tulajdonságok Azonosítsuk a 2, 4, 8 periódusú tartományokat. Hány periódus duplázódás észlelhető? r = Változtassuk meg az ábrázolás skáláját, hogy megállapítsuk a 4 16 periódusú tartományokat. Hogy néz ki a diagram az új skálán az eredetihez képest? A bifurkációs pont közelében a pálya alakja miatt vasvilla bifurkációnak nevezik. Kaotikus viselkedés r> r esetén két nagyon közeli kezdőálapot nagyon különböző pályákoz vezet. pl. r = 0.91, x 0 = 0.5, Hány iterációra van szükség, hogy a pályák több mint 10% ban különbözzenek? Mi történik r = 0.88 esetén? A számítógép pontosságának hatása. Végezzük el az előbbi iterációt azzal a módosítással, hogy minden lépésben elvégezzük az x = x/10 és az x= x*10 műveleteket (ezzel levágjuk az utolsó számjegyet). Hasonlítsuk össze a pályákat! Mik a rendszer tulajdonságai r = ra?