Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések várhatók a 2. ZH-n (azaz definíciókra, tételekre és állításokra, ill. definíciók speciális eseteire, tételek és állítások speciális eseteire, egyszerű alkalmazásaira történő rákérdezések várhatók az elméleti részben). A kérdések felkészülési anyagként szolgálhatnak a tantárgy hallgatói számára. Mivel a Cauchy-féle definíciók nem mindegyike szerepelt az előadásokon, ezért az elméleti részben a Heine-féle és Cauchy-féle definíciók bármelyikét elfogadjuk majd válasznak, mivel nem lesz nevesítve, hogy melyik féle definícióra kérdezünk rá, amikor mindkettő létezik - de ettől függetlenül javasolt mindkét féle definíció megismerése, megértése és megtanulása. Tételek speciális esetei vagy alkalmazásai esetén indokolni kell a választ, megadva, hogy melyik tétel vagy állítás következménye az, és miért. 3. Függvények folytonossága, határértéke 3.1. Definíciók Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény folytonos az x 0 pontban? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény folytonos az x 0 pontban? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény balról folytonos az x 0 pontban? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény balról folytonos az x 0 pontban? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény jobbról folytonos az x 0 pontban? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény jobbról folytonos az x 0 pontban? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvénynek létezik az inverz függvénye, és ekkor hogyan definiáljuk azt? Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a határértéke az x 0 pontban az A szám? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a határértéke az x 0 pontban az A szám? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a bal oldali határértéke az x 0 pontban az A szám? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a bal oldali határértéke az x 0 pontban az A szám? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek létezik a jobb oldali határértéke az x 0 pontban az A szám? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek létezik a jobb oldali határértéke az x 0 pontban az A szám? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 pontban plusz végtelen? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 pontban plusz végtelen? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 pontban mínusz végtelen? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 pontban mínusz végtelen? (Cauchyféle
Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) az A szám? (Heineféle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) az A szám? (Cauchyféle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) egyenlő + -nel (ill. -nel)? (Heine-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) egyenlő + -nel (ill. -nel)? (Cauchy-féle Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény folytonos egy nyílt (ill. zárt) intervallumon? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény egy folytonos függvény? 3.2. Tételek, állítások Mit mondhatunk, ha egy függvény balról és jobbról is folytonos az x 0 pontban? Mit mondhatunk, ha egy függvénynek létezik a bal oldali és jobb oldali határértéke is az x 0 pontban, és ezek egyenlőek? Mi a folytonos függvények Bolzano-tulajdonsága? Lehet-e egy zárt intervallumon folytonos függvény nem korlátos? Mi a folytonos függvényekről szóló Weierstrass-tétel? Mi az inverz függvény folytonosságának elégséges feltétele? 3.3. Definíciók speciális esetei Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény folytonos az x 0 = 2 pontban? (Heine-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény folytonos az x 0 = 2 pontban? (Cauchy-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény balról folytonos az x 0 = 1 pontban? (Heine-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény balról folytonos az x 0 = 1 pontban? (Cauchy-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény jobbról folytonos az x 0 = 3 pontban? (Heine-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy függvény jobbról folytonos az x 0 = 3 pontban? (Cauchy-féle definíción Miért mondható azt, hogy az f(x) = x 3 függvénynek létezik az inverz függvénye, és ekkor hogyan definiáljuk azt? Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a határértéke az x 0 = 2 pontban 1? (Heine-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a határértéke az x 0 =2 pontban 1? (Cauchy-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a bal oldali határértéke az x 0 = 1 pontban 2? (Heineféle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a bal oldali határértéke az x 0 = 1 pontban 2? (Cauchy-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a jobb oldali határértéke az x 0 = 3 pontban 2? (Heine-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvénynek a jobb oldali határértéke az x 0 = 3 pontban 2? (Cauchy-féle definíción
Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 = 0 pontban plusz végtelen? (Heineféle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 = 0 pontban plusz végtelen? (Cauchyféle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 = 1 pontban mínusz végtelen? (Heine-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke az x 0 = 1 pontban mínusz végtelen? (Cauchy-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) 5? (Heine-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) 5? (Cauchy-féle Miért mondható, hogy az f(x) = x 3 függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) egyenlő + -nel (ill. -nel)? (Heine-féle definíción Miért mondható, hogy az f(x) = x 3 függvény határértéke a + -ben (ill. -ben) egyenlő + -nel (ill. -nel)? (Cauchy-féle definíción Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény folytonos az (1,3) nyílt (ill. [1,3] zárt) intervallumon? Miért mondható, hogy az f(x) = sin (x) függvény egy folytonos függvény? 3.4. Tételek speciális esetei vagy alkalmazásai Mit mondhatunk, ha egy függvény balról és jobbról is folytonos az x 0 = 6 pontban? Mit mondhatunk, ha egy függvénynek a bal oldali és jobb oldali határértéke is 4 az x 0 = 2 pontban? Mit mondhatunk, ha egy függvénynek létezik a bal oldali és jobb oldali határértéke is az x 0 pontban, és ez a két határérték nem egyezik meg? Mit mondhatunk, ha egy függvénynek a bal oldali határártéke 1 és a jobb oldali határértéke 3 az x 0 = 2 pontban? Mi az f(x) = x 3 függvény Bolzano-tulajdonsága? Lehet-e egy [0,1] intervallumon folytonos függvény nem korlátos? Mit mond ki a Weierstrass-tétel az f(x) = x 2 függvény esetére? 4. Deriválás 4.1. Definíciók Mi az f függvény x 0 ponthoz tartozó differenciahányados-függvénye? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 pontban differenciálható? Miképp definiáljuk az f függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosát (deriváltját)? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 helyen differenciálható? (Heine-féle definíció) Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 helyen differenciálható? (Cauchy-féle definíció) Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 helyen jobbról differenciálható? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 helyen balról differenciálható? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény differenciálható az (a, b) nyílt (ill. [a, b] zárt) intervallumon? Mi egy f függvény differenciálhányados-függvénye (más néven deriváltfüggvénye)? Mi egy f függvénynek az x 0 helyen vett differenciálja? Mi egy f függvénynek az x 0 helyen vett másodrendű differenciálhányadosa? Mi egy f függvény n-edrendű deriváltfüggvénye?
4.2. Tételek, állítások Mi mondható akkor, ha az f függvénynek az x 0 helyen létezik a jobb és bal oldali deriváltja is, és ezek egyenlők? Mi a differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata? Mi az inverz függvény differenciálási szabálya? Mi a paraméteres alakban adott függvény differenciálási szabálya? Mit mond ki a Rolle-tétel? Mi a Lagrange-féle középértéktétel? Mi a Cauchy-féle középértéktétel? Mi a L Hospital-szabály? Milyen összefüggés van egy nyílt intervallumon növekedő (ill. csökkenő) függvény, valamint a deriváltfüggvényének az Milyen összefüggés van egy nyílt intervallumon szigorúan növekedő (ill. csökkenő) függvény, valamint a deriváltfüggvényének az Mi a kapcsolat egy függvény lokális szélsőértékei és a deriváltfüggvényének Mi a kapcsolat egy függvény lokális szélsőértékei és a függvény első, valamint második deriváltjának Milyen összefüggés van egy zárt intervallumon konvex (ill. konkáv) függvény, valamint a deriváltfüggvénye között? Milyen összefüggés van egy zárt intervallumon konvex (ill. konkáv) függvény, valamint második deriváltfüggvényének az Milyen összefüggés van egy zárt intervallumon szigorúan konvex (ill. szigorúan konkáv) függvény, valamint második deriváltfüggvényének az Mi a kapcsolat egy függvény inflexiós pontja és a második deriváltfüggvényének Mi a kapcsolat egy függvény inflexiós pontja és a második, valamint harmadik deriváltjának értékei között? 4.3. Definíciók speciális esetei Mi egy f függvény x 0 = 1 ponthoz tartozó differenciahányados-függvénye? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 = 2 pontban differenciálható? Miképp definiálhatjuk egy f függvény x 0 = 1 pontbeli differenciálhányadosát (deriváltját)? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 = 3 helyen differenciálható? (Heine-féle definíció) Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 = 3 helyen differenciálható? (Cauchy-féle definíció) Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 = 2 helyen jobbról differenciálható? Hogyan definiáljuk azt, hogy az f függvény az x 0 = 2 helyen balról differenciálható? Hogyan definiáljuk azt, hogy egy f függvény differenciálható az (1,3) nyílt (ill. [1,3] zárt) intervallumon? Miért mondjuk azt, hogy az f(x) = x 2 függvény differenciálhányados-függvénye (más néven deriváltfüggvénye) a g(x) = 2x függvény? Mi egy f függvénynek az x 0 = 1 helyen vett differenciálja? Mi egy f függvénynek az x 0 = 3 helyen vett másodrendű differenciálhányadosa? Mi egy f függvény 4-edrendű deriváltfüggvénye? 4.4. Tételek speciális esetei vagy alkalmazásai Mi mondható akkor, ha az f függvénynek az x 0 = 2 helyen létezik a jobb és bal oldali deriváltja is, és ezek egyenlők? Lehet-e egy függvény differenciálható, de nem folytonos az x 0 = 2 helyen?
Az inverz függvény differenciálási szabálya alapján hogyan kajuk meg az f(x) = sin (x) függvény [ π 2, π 2 ] intervallumra vett leszűkítésének a deriváltfüggvényét? Mi a paraméteres alakban adott függvény differenciálási szabálya? Mit mond ki a Rolle-tétel az f(x) = 1 x 2 függvény esetében, azt a [ 1,1] intervallumra alkalmazva? Mit mond ki a Lagrange-féle középértéktétel az f(x) = x 2 függvény esetében, azt az [1,3] intervallumra alkalmazva? Mit mond ki a Cauchy-féle középértéktétel az f(x) = x 2 és g(x) = x 3 függvények esetében, azt a [2,4] intervallumra alkalmazva? Mit mond ki a L Hospital-szabály, ha az f és g függvények esetében, ha f(x) = x 2, g tetszőleges függvény és x? Milyen összefüggés van az f(x) = (x 1) 2 + 2 függvény valamely nyílt intervallumokon növekedő (ill. csökkenő) volta, valamint a deriváltfüggvényének ezeken az intervallumokon felvett értékei között? Milyen összefüggés van az f(x) = (x 1) 2 + 2 függvény valamely nyílt intervallumokon szigorúan növekedő (ill. szigorúan csökkenő) volta, valamint a deriváltfüggvényének ezeken az intervallumokon felvett Mi a kapcsolat az f(x) = x 3 3x 2 + 2x függvény lokális szélsőértékei és a deriváltfüggvényének Mi a kapcsolat az f(x) = x 3 3x 2 + 2x függvény lokális szélsőértékei és a függvény első, valamint második deriváltjának Milyen összefüggés van az f(x) = x 4 3x 3 + 2x 2 függvény valamely zárt intervallumokon konvex (ill. konkáv) volta, valamint a deriváltfüggvényének ezeken az intervallumokon felvett Milyen összefüggés van az f(x) = x 4 3x 3 + 2x 2 függvény valamely zárt intervallumokon konvex (ill. konkáv) volta, valamint a második deriváltfüggvényének ezeken az intervallumokon felvett Milyen összefüggés van az f(x) = x 4 3x 3 + 2x 2 függvény valamely zárt intervallumokon szigorúan konvex (ill. szigorúan konkáv) volta, valamint a második deriváltfüggvényének ezeken az intervallumokon felvett Mi a kapcsolat az f(x) = x 4 3x 3 + 2x 2 függvény inflexiós pontjai és a második deriváltfüggvényének Mi a kapcsolat az f(x) = x 4 3x 3 + 2x 2 függvény inflexiós pontjai és a második, valamint harmadik deriváltjának