Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8 4. Eredméyek...1 5. További célok...1 6. Irodalomjegyzék...13 1
1. Bevezető 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó Fiboacci, hivatalos evé Leoardo Pisao (1. ábra), a Liber Abaci című köyvébe egy olya feladatot vetett fel, amelyek megoldása egy rekurzív számsorozat. Ezt a sorozatot Fiboacci-sorozatak evezzük és mide eleme az első kettő kivételével egyelő az előző két elem összegével. A sorozat gyakra megjeleik a tudomáy külöböző területei, mit a geometria, biológia, művészet és építészet [1]. Például, azt, hogy egy övéy esetébe a száro felfelé haladva háy csavarulat meté háy levelet éritve jutuk el egy olyahoz, amely egy alsóbb levéllel függőleges iráyba fedőhelyzetbe va, a Fiboacci-sorozat mutatja meg [5]. A madulafa ágá 1. ábra: Fiboacci valamelyik levélből kiidulva és az ág vége felé haladva, egyetle levelet sem kihagyva, éppe ötször kell megkerüli az ágat, míg olya levélhez érkezük, amely a kiidulási levéllel azoos állású, és közbe éppe 13 levelet számlálhatuk meg. A körtefa ágai három-meetes e csavar és eközbe 8 levél helyezkedik el. Az égerfa ágai kétmeetes a csavar és közbe 5 levél található. A számok éppe a Fiboacci-sorozat olya elempárjai, amelyek második szomszédok. Említésre méltó a apraforgó táyérjá spirális alakba elhelyezkedő magok száma is. Az egyes spirálok pozitív, mások egatív forgásiráyba helyezkedek el a apraforgó táyérjába, és ha összeszámláljuk az egyes spirális karoko levő szemeket, a apraforgó táyérjáak agyságától függőe, újra csak Fiboacci-számokkal találkozuk: 1 és 34, 34 és 55 vagy 55 és 89 [6]. A matematikusok agyo sok érdekes összefüggést fedeztek fel a számsorozatot taulmáyozva.
1.1. Értelmezés. A Fiboacci-sorozat a következő képpe értelmezhető: F 0 =0, F 1 =1, F =F 1 F 1. A Fiboacci-sorozat éháy tagja: 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377, 610, Fiboacci, a Liber Abaci című köyvébe, a következő feladattal vezette be a Fiboacciszámokat: Egy mező él egy pár kisyúl. Ha a kisyulak egy hóap múlva válak felőtté, és mide felőtt yúlpárak havota születik egy pár kisyula, akkor háy yúl lesz a mező hóap múlva? Megoldás. Az első hóap végé csak egy pár yúl va. Két hóap múlva két pár yúl lesz, az egyik ezek közül újszülött. A harmadik hóap végé az eredeti párak megszületik a második pár kisyula, így most már három pár va a mező (. ábra). A egyedik hóap végé a legidősebb párak újabb kicsiyei leszek, és a második hóapba született yúlpárak is megszületek az első kisyulai,. ábra: Fiboacci yulai így összese már 5 pár yuszi va. Így folytatva a godolatsort, megfigyelhető, hogy a megoldást éppe a Fiboacci-sorozat -edik tagja adja meg. Hóap Nyúlak száma 1 1 1 3 4 3 5 5 6 8... F A Fiboacci-sorozat szoros kapcsolatba va az araymetszéssel. Az araymetszési álladó potosa megegyezik a sorozat egymást követő elemei háyadosáak a határértékével. Ezt az álladót a görög phi betűvel jelöljük és értéke = 1 5 =1,61803398874989. 3
1.. Biet-formula Jacques Philippe Marie Biet (1786 1856) fracia matematikus volt, aki jeletős eredméyeket ért el a számelméletbe Az ő evéhez fűződik a Biet-formula, amely egy explicit előállítása a Fiboacci-számokak az araymetszés segítségével. 1.1. Tétel. N természetes számra F = 5[ 1 1 5 1 5 ]. Ez a formula a Fiboacci-sorozat zárt alakja és Biet-formuláak evezzük. Bizoyítás. Adott a Fiboacci-sorozat: F =F 1 F, F 0 =0, F 1 =1. Határozzuk meg a sorozat r r 0 alakú megoldásait. Legye F =r, F 1 =r 1,,F =r, r 0. Ekkor, behelyettesítve az egyeletbe, a következőt kapjuk: r -el egyszerűsítve az r r 1=0 karakterisztikus egyeletet kapjuk, amelyek a megoldásai: r r 1 r =0. Az r 1 = 1 5 r 1 = 1 5 és r = 1 5 egyeletek, vagyis: F = Ar 1 B r., r = 1 5. megoldások lieáris kombiációja is megoldása az A kezdeti feltételekből F 0 =0, F 1 =1 meghatározhatjuk A-t és B-t: A B=0 A 1 5 B 1 5 =1 A= 5 5 B= 5 5 4
Ebből következik a Biet-formula: F = 5 1 1 5 5 1 1 5 = 5[ 1 1 5 1 5 ]. 1.. Tétel. Igazolható, hogy lim F 1 F = 1 5 =, ami potosa az araymetszési álladó. Bizoyítás: lim F 1 = lim F 1 5 [ 1 5 1 1 5[ 1 5 1 5 1 5 1 ] ] 1 5 0 = 1 0 = 1 5. 1.1. Következméy. A Biet-formulából következik, hogy az F elég agy természetes szám eseté közel va a 5 irracioális számhoz. Példa: F 10 =55 eseté 10 5 55.00364. 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába Az araymetszések ige agy jeletősége va a geometriába. Euklédeszi úto megszerkeszthetjük az araymetszés aráyát. Az érték megjeleik az egyelőszárú háromszög és a szabályos ötszög szerkesztéséél, és a Fiboacci-spirállal is kapcsolatos. Geometriába araymetszések evezzük egy meyiség (pl. egy szakasz) két olya részre botását, melyek közül a kisebbik úgy aráylik a agyobbhoz, mit a agyobbik az egészhez. 5
3. ábra: Araymetszés aráya Vegyük egy egységyi hosszúságú AB szakaszt és jelöljük P-vel az araymetszés szeriti osztópotot, x-szel pedig a rövidebb szakasz hosszát (3. ábra). Ekkor felírhatjuk: ahoa x 1 x = 1 x 1 1 x =x, azaz x 3 x 1=0., A gyökök: x 1, = 3± 5. De x 1, tehát: x= 3 5. Ie az araymetszés aráyszáma: 1 x 1 =1 x=1 3 5 = 5 1. Ez az aráyszám potosa megegyezik a Fiboacci-sorozat szomszédos elemei háyadosáak határértékével. Most vizsgáljuk meg, hogya lehet megszerkesztei euklédeszi úto az araymetszés aráyát. A 4. ábrá látható AB=a hosszúságú szakaszak azt a belső C potját szereték megszerkesztei, amely a szakaszt az araymetszés szerit osztja két részre. 4. ábra: Araymetszés szerkesztése 6
Első lépéskét vegyük fel egy, az A poto átmeő, az AB egyeesre merőleges egyeest, és mérjük fel erre az A potból kiidulva OA= a távolságot. Eek O végpotja, mit középpot körül rajzoljuk egy a sugarú kört. E körek az A pothoz tartozó éritője az AB egyees. Rajzoljuk meg az OB egyeest. Eek a körrel való metszéspotjai E és F. Az A potot az E és F potokkal összekötve a BAE és BAF háromszögeket kapjuk. A két háromszög hasoló, mivel a B csúcsál levő szög közös, továbbá BAE =BFA (kerületi szögek). Jelöljük a BE szakasz hosszát x-szel és rajzoljuk meg a B középpotú, x sugarú kört. Az AB szakasz és a kör metszéspotját jelöljük C-vel. A BF szakaszra érvéyes a következő összefüggés: BF=x a =x a. Felírhatjuk a következő aráypárt: x a = a x a, ahoa a = x a x, vagy másképpe a x x = x a. A kapott egyelőség éppe azt fejezi ki, hogy az AB szakaszak a C pot az araymetszés szeriti osztópotja, úgy, hogy AC az araymetszés szeriti kisebbik, BC pedig a agyobbik szakasz. 7
. Probléma megfogalmazása Egy olya alkalmazás, amely magába foglalja az említett geometriai szerkesztéseket yereség lee azok számára, akiket érdekel a Fiboacci-sorozat és a rejtélyes araymetszési álladó. Ebből az ötletből kiidulva sikerült elkészítei egy olya Flash-alkalmazást, amely rövide ismerteti a felhaszálóval Fiboacci életét és mukásságát, továbbá meglehet tekitei a Fiboacci-számok bevezető feladatát. Az alkalmazás egyik legértékesebb része az araymetszés aráyáak megszerkesztése és a Fiboacci-spirál létrehozása. Ezek látváyos, diamikus módo törtéek, lépésről-lépésre követhetőe. A cél egy miél több geometriai szerkesztést tartalmazó oktatóprogram, amelyet sikerrel lehesse haszáli a taításba. 3. Iformatikai módszer Az Adobe Flash multimédia techológiák halmaza. Az Adobe Systems termékcsaládba tartozik és egyre többe haszálják az alkalmazást weboldalak fejlesztésére. A Flash alkalmas aimáció és iteraktív adatok beszúrására, ezáltal érdekessé és látváyossá téve a weboldalakat, illetve újabb fejlesztések segítségével programokat is lehet bee íri. A grafikák, az aimáció, a hag és az iteraktivitás segítségével a Flash képes oktati, szórakoztati és általáos iformációkkal elláti beüket. Az Adobe Flash CS3 verziót haszálva, amit 007-be adtak ki, elkészült egy olya alkalmazás, amely a Fiboacci-számokat és az araymetszési álladót mutatja be a felhaszálóak. Az alkalmazás tartalmaz geometriai szerkesztéseket is, amelyek rámutatak az araymetszés jeletőségére és érdekességére. Az alkalmazás felépítése lehetővé teszi, hogy a felhaszáló gombyomással iráyítsa a szerkesztések folyamatát, ez a tulajdoság köyebbe követhetővé és átláthatóvá teszi a programot. 3.1. Alkalmazás bemutatása Az alkalmazást elidítva, a bevezető oldalo látható Fiboacci arcképe és, aimációt haszálva, 8
folyamatosa megjeleik az olasz matematikus életéről és mukásságáról szóló rövid ismertető szöveg (5. ábra). 5. ábra: Első oldal A Fiboacci evű oldalt követőe, a felhaszáló megtekitheti a Fiboacci yulairól szóló bevezető feladatot. A Bevezető feladat című oldal tartalmazza a feladat szövegét, megoldását és egy aimált ábrát is (6. ábra). A Tovább gombra kattitva, az ábra agyobb méretbe is megtekithető és köye követhető rajta a párhuzam a yulak szaporodása és a Fiboacci-sorozat elemei között. 6. ábra: Második oldal 9
Ezek utá következik az araymetszési álladó bemutatása. Az araymetszés aráyai felfedezhetők az ókori építészetbe, reeszász művészeti alkotásokba, zeeművekbe, festméyekbe, sőt, még a természetbe is előfordulak egyes csigafajták görbületeiek egymáshoz való viszoyába, bizoyos fák, övéyek leveleiek méreteibe, egyes virágfajták sziromleveleiek számába [6]. Ugyaakkor tudjuk, hogy az érték szoros kapcsolatba áll a Fiboacci-sorozattal, hisze a sorozat egymást követő elemei háyadosáak a határértéke potosa az araymetszési álladó: lim F 1 F = 1 5 =. Midez megtalálható az Araymetszési álladó evű oldalo. Az Araymetszési álladó szerkesztése evű oldal bemutatja lépésről-lépésre, hogya kell egy téglalapot az araymetszés aráyai szerit felosztai (7. ábra). A szerkesztés a Vissza és Tovább gombokkal iráyítható. 7. ábra: Negyedik oldal A szerkesztés végére érve, az ábra szemlélteti, hogy a kisebbik téglalap úgy aráylik a agyhoz, mit a agyobbik az egészhez, aimáció segítségével. Az alkalmazás egyik legérdekesebb szerkesztése a Fiboacci spirál. Eze az oldalo követhető a Fiboacci-számokak megfelelő oldalhosszúságú égyzetek egymás mellé helyezése, és azokak a körívekek a megrajzolása, amelyek alkotják a Fiboacci spirált (8. ábra). A felhaszáló itt is befolyásolhatja a szerkesztés lépéseit a Vissza és Tovább gombokkal. 10
8. ábra: Ötödik oldal A.fla kiterjesztés Flash aimáció. Tartalmaz fő-kulcsképeket, al-kulcsképeket, gombokat és Actioscript-et. A fő-kulcsképek filmkockakét működek, míg az al-kulcsképek az aimáció átmeeti kockái. A gombok egyszerű két fázisos gombaimációk: ha ráhelyezzük az egér mutatóját, beugraak a saját al-kulcsképjeikbe, amelybe ugyaaz a gomb található, csak aracssárga szíű felirattal. Mide gombra Actioscript va téve, segítségével avigálhatuk bizoyos témákra. A Flash lieáris, olya mit a Program Couter, midig valahol található, ezért iráyítai kell. A fő témák meglettek rajzolva, fő-kulcsképekre lettek téve, és ha aimációról volt szó, akkor az aimáció al-kulcsképek segítségével lett megvalósítva. Például, az Araymetszési álladó szerkesztése evű oldalo megrajzoljuk a szerkesztés első képét (a égyzetet), ez a főkulcsképre kerül, majd a Tovább gomb elvisz a következő kulcsképre, ahol a szerkesztés elmozdult fázisa található. 11
4. Eredméyek Az eredméy egy olya oktatóprogram, amely látváyos, diamikus és hatásos. Az alkalmazást haszálhatják taárok, diákok és mide olya felhaszáló, akit érdekel a Fiboaccisorozat, az araymetszési álladó, és a külöböző geometriai szerkesztések. 5. További célok További cél az alkalmazás kibővítése olya geometriai szerkesztésekkel, amelyek érdekesek, és számos felhaszálót érdekelek. Mivel az alkalmazás tartalmaz úgy az iformatika, mid pedig a matematika területé taított ayagrészt, ezért, megfelelő módosításokkal, oktatóprogramkét is kezelhető. 1
6. Irodalomjegyzék [1] Bege Atal, Differeciaegyeletek, Egyetemi Kiadó, Kolozsvár, 005. [] Bui Mih Phog, Perfect Numbers Cocerig Fiboacci Sequece, Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Budapest, 1999. [3] Fiboacci Numbers, http://mathworld.wolfram.com/fiboaccinumber.html [4] Fiboacci Spirals, http://goldeumber.et/spirals.htm [5] Fodorpataki László, Szigyártó Lídia, Bartha Csaba, Növéytai ismeretek, Scietia Kiadó, Kolozsvár, 004, 138 14. [6] Gerőcs László, A Fiboacci-sorozat általáosítása, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [7] Jea Berstel, A Exercise o Fiboacci Represetatio, Gaspard Moge Itézet, Mare -la-vallée, 00. [8] Peter Fewick, Zeckedorf Iteger Arithmetic, The Uiversity of Aucklad, Aucklad. [9] Sai Márto, A Fiboacci-sorozattól láctörtekkel az araymetszésig, Taköyvkiadó, Budapest, 1975, 77 106. 13
Köszöetyilváítás Ezúto is szereték köszöetet modai témavezetőmek: Bege Atalak, segítsége és biztatása élkül em jöhetett vola létre e dolgozat. Köszööm Fodorpataki Lászlóak a haszos segédayagot. Köszööm Keresztes Zsoltak és Negulescu Mátyásak türelmét és haszos taácsait. 14