Gyakorlati útmutató a tárgyhoz Fekete Ferenc 5. gyakorlat Széchenyi István Egyetem, 015.
1. ásodrendű hatások közelítő számítása A következőkben egy, a statikai vizsgálatoknál másodrendű hatások közelítő számítására gyakran használt összefüggést mutatunk be. Tekintsünk egy kezdeti görbeséggel rendelkező rudat, melynek feszültségmentes alakját b görbe mutatja. A rudat közös hatásvonalú, de ellentétes irányú erőkkel terheljük. Ez a közös hatásvonal a rúd végpontjait összekötő a-val jelölt) egyenesre illeszkedik. Kérdés, hogy milyen egyensúlyi) alakot vesz fel ekkor a rúd. Vagyis: hogyan változik a rúd alakja az erő nagyságának függvényében? Várakozásainkank megfelelően a rúd természetesen még jobban meggörbül, illetve a két végpont egymáshoz közelebb kerül. Ez utóbbi hatástól most tekintsünk el egyrészt, mert a gyakorlati esetekben a méretezést ez az elmozdulásösszetevő kevéssé befolyásolja, másrészt így lényegesen egyszerűbb lesz a számítás), és jelöljük c-vel az egyenlőre még ismeretlen egyensúlyi alakot. Ha feltételezzük, hogy mind b, mind c görbe fél-szinuszhullám alakú, akkor a és b y irányú távolsága 1), b éc c y irányú távolsága ) egyenlet szerint alakul x függvényében. y l a b c x e a b x) = e 0 sin π l x) 1) x) = EI d u dx 3) u b c x) = u 0 sin π l x) ) 3) azt mutatja, hogy a keresztmetszeti nyomaték a Bernoulli-féle rúdmodellben az elmozdulás vagyis ) rúdhossz szerinti második deriváltjával arányos. Ez a derivált: du dx = π l u 0 cos π l x) d u dx = π l u 0 sin π x) 4) l A keresztmetszeti nyomaték ezen kívül megegyezik az adott keresztmetszet erőhöz képesti külpontossága miatti külső nyomatékkal: x) = ex) + ux)) A baloldalt kifejezve 3) és 4), a jobboldalt pedig 1) és ) segítségével: EI π l }{{} cr Felismerve az Euler-féle kritikus erőt, egyszerűsítés után: u 0 sin π l x) = e 0 sin π l x) + u 0 sin π ) l x) cr u 0 = e 0 + u 0 Ebből kifejezhető a rúdközép elmozdulása b és c görbe y irányú távolsága a középső keresztmetszetnél): u 0 = e 0 cr Az egyenes vonaltól mért teljes eltérés a és c görbe y irányú távolsága a középső keresztmetszetnél): ) e 0 + u 0 = e 0 cr + 1 1
Tehát: e 0 + u 0 = e 0 + cr cr e 0 ) e 0 + u 0 = 1 5) cr 1. Feladat Határozza meg a képen látható tartó középső keresztmetszetének függőleges elmozdulását első-, és másodrendű elmélettel! q=1 k/m 6000 mm IPE10 =50 k Először meghatározzuk a reakciókat és az igénybevételeket a szokásos módon: q=1 k/m 50 k T 3 k IPE10 6000 mm 3 k 3 k -50 k -3 k =50 k e ql = 1 6 = 4,5 km e 0 = 5 34 q l4 = 5 EI 34 1 6000 4 = 13,31 mm 10 000 6 037 95 Az alsó ábrán feltüntettük a tartó lehajlását is, illetve a középső keresztmetszet elmozdulását az ismert járulékképlettel számítva. Ez tehát az elsőrendű elmélet szetrinti megoldás. A másodrendű elmélet szerinti lehajlást úgy kapjuk, hogy az elsőrendű számítás szerinti tartóalakot 13,31 mm amplitúdójú fél-szinusz hullámnak tekinjük, mintha az kezdeti görbeség volna. Így 5) felhasználásával a másodrendű elmozdulás: cr = π EI l = π 10 000 6 037 95 6 000 = 347 63 v = v 0 1 cr = 13,31 = 47,7 mm 50 000 1 347 63
A másodrendű nyomaték: I I 4,5 = 1 = = 16,0 km 50 000 1 cr 347 63 1 3
. Feladat Határozza meg a képen látható közvetlen teherrel terhelt rácsostartó rúdjainak nyomatéki ábráit. 1 F=50 k 1 1 1 1 1 1 1 1 A megoldáshoz felhasználjuk a két végén befogott, középen koncentrált erővel terhelt gerenda nyomatéki ábráját: F Fl F l F Fl Fl = 50 = 1,5 km Fl = 50 = 1,5 km Ezután meghatározzuk a terhelt rúd két végén lévő csomópont egységnyi elfordításakor keletkező igénybevételeket: Θ 1 = 1 1 3 5 6 4 7 1 Az 1 csomópontba befutó rudak másik végét csuklósnak feltételezve a rúrmerevségek: S 1 = 3EI l 1 = 3 1 = 0,75 S = 3EI l = 3 1 1 ) = 1,5 S 3 = 1,5 S 4 = 0,75 A csomópont összmerevsége: S = 0,75 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,5 A nyomatékosztók n i = S i Si ) segítségével a csomóponti nyomatékok: 4
1 = 0,75 4,5 1,5 =,03 km = 1,5 1,5 = 4,167 km 4,5 3 = 4,167 km 4 = 1,5 0,75 4,5 1,5 = 10,416 km } {{ },03 A csomópontot ugyanígy végigszámolva megkapjuk a szerkezet nyomatéki ábráját. 10,4 10,4,0,0 1,5 +,0 = 14,5 km 5