A Banach-fixponttétel és alkalmazásai

Hasonló dokumentumok
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Differenciálszámítás normált terekben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Parciális dierenciálegyenletek

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Boros Zoltán február

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

3. Lineáris differenciálegyenletek

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1 Lebegőpontos számábrázolás

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

Metrikus terek, többváltozós függvények

Numerikus módszerek beugró kérdések

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Dierenciálhányados, derivált

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

Közönséges differenciálegyenletek

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

Debreceni Egyetem Természettudományi Kar. Losonczi László. Funkcionálanalízis

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

Numerikus módszerek 1.

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ 2005.

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

Matematika (mesterképzés)

A fontosabb definíciók

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Numerikus matematika vizsga

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

Numerikus módszerek 1.

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

Analízis I. Vizsgatételsor

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

3. előadás Stabilitás

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

Gauss-Seidel iteráció

Konvex optimalizálás feladatok

Nemlineáris programozás 2.

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Lagrange és Hamilton mechanika

Egyváltozós függvények 1.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Operátorkiterjesztések Hilbert-téren

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Opkut deníciók és tételek

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Normák, kondíciószám

Differenciálegyenlet rendszerek

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Diplomamunka. Nemlineáris elliptikus vegyes peremértékfeladatok prekondicionálása. Írta: Perjés Balázs Alkalmazott matematikus szak

A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

A derivált alkalmazásai

Mátrix-exponens, Laplace transzformáció

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Konjugált gradiens módszer

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ

Átírás:

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A Banach-fixponttétel és alkalmazásai Szakdolgozat Juhász Gergely Matematika B.Sc., matematikai elemz szakirány Témavezet : Karátson János, egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A Banach-xponttétel 4 2.1. Metrikus terek és tulajdonságaik..................... 4 2.2. Banach-xponttétel............................ 6 3. Egyenletrendszerek 8 3.1. Lineáris egyenletrendszerek........................ 8 3.2. Nemlineáris egyenletrendszerek..................... 12 4. Integrálegyenletek 15 4.1. Fredholm-integrálegyenlet........................ 15 4.2. Feladat: Love-integrálegyenlet...................... 16 5. Közönséges dierenciálegyenletek 18 5.1. A kezdetiérték-feladat.......................... 18 5.2. Alkalmazás: visszavezetés nemlineáris rendszerre............ 23 6. Parciális dierenciálegyenletek 25 6.1. Poisson-egyenlet és Green-féle függvény................. 25 6.2. Nemlineáris elliptikus feladat...................... 28 6.3. Egy további alkalmazás: visszavezetés lineáris egyenletrendszerre... 31 7. Összefoglalás 34

Köszönetnyilvánítás Köszönettel tartozom témavezet mnek, Karátson János egyetemi docensnek, aki végig segítette a munkámat, hasznos tanácsaival, precíz magyarázataival és a megfelel irodalmak ajánlásával nagyban hozzájárult a dolgozatom elkészüléséhez. 2

1. Bevezetés A matematika területén jelent s eredménynek számít a Banach-xponttétel, amely fontos megállapítást tesz a metrikus terek elméletében. A tétel bebizonyítja, hogy metrikus terekben minden kontrakciónak létezik xpontja, és ez a xpont egyértelm. A tétel alkalmazásaival és következményeivel az alkalmazott analízis területén akkor találkozhatunk, amikor egy adott problémára matematikai modellt állítunk fel. Ilyen problémák els sorban a zika területén fordulnak el. A modell megoldására készíthetünk egy iterációs eljárást, amelyre a megfelel feltételek mellett alkalmazható a xponttétel eredménye. A dolgozatom célja, hogy bemutassam a metrikus terek tulajdonságait, valamint betekintést nyújtsak a xponttételen alapuló egyes alkalmazásokba. A dolgozat terjedelmére való tekintettel csak néhány fontosabb témakörr l lesz szó, amelyek a következ k: lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek, integrálegyenletek, közönséges és parciális dierenciálegyenletek. További cél az el bb említett területekr l iterációs eljárás készítése egy általánosított modellre. A témaköröket érint speciális esetekr l csak abban az esetben lesz szó, amennyiben azok külön bizonyításra szorulnak. A témák tárgyalásánál egy-egy konkrét probléma felvetése segít majd megérteni, mire is jó az adott modell. Ezenkívül némelyik fejezethez kapcsolódik majd feladatmegoldás, illetve speciális alkalmazás. 3

2. A Banach-xponttétel A fejezet els része az alapvet fogalmak bevezetésére szolgál, amelyek szükségesek ahhoz, hogy megértsük a metrikus terek felépítését, valamint a rajtuk értelmezett sorozatok és leképezések tulajdonságait. A második részben pedig kimondjuk és bebizonyítjuk a dolgozat alapját képz Banach-xponttételt. 2.1. Metrikus terek és tulajdonságaik A metrikus terek bevezetéséhez szükségünk lesz egy tetsz leges halmazra, amin értelmezni tudunk egy távolságfüggvényt: 2.1.1. Deníció. Legyen X tetsz leges halmaz és d : X R 0 + nemnegatív érték valós függvény. A d-t az X feletti metrikának (távolságfüggvénynek) nevezzük, ha bármely x, y, z X esetén igazak az alábbi tulajdonságok. d(x, y) = 0 x = y; d(x, y) = d(y, x) (szimmetria); d(x, z) + d(z, y) d(x, y) (háromszög-egyenl tlenség). 2.1.2. Deníció. Legyen X tetsz leges halmaz és d metrika X felett. Ekkor az (X, d) párt metrikus térnek nevezzük. Szükségünk lesz továbbá a metrikus tereken értelmezett sorozatok tulajdonságaira is, hiszen ebben az esetben nem mindig viselkednek úgy, ahogy a valós számoknál megszoktuk. 2.1.3. Deníció. Legyen x 0 X és ε > 0 tetsz leges rögzített valós szám. Az x 0 pont ε sugarú környezete: K ε (x 0 ) = {x X : d(x 0, x) < ε}. 4

2.1.4. Deníció. Azt mondjuk, hogy az (x n ) X sorozat konvergens, ha a X amelyre d(x n, a) 0, azaz ε > 0 N N : n > N x n K ε (a). 2.1.5. Deníció. Egy (x n ) X sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha ε > 0 N N : m, n > N d(x n, x m ) < ε. 2.1.6. Deníció. Azokat a metrikus tereket, amelyekben minden Cauchy-sorozat konvergens, teljes metrikus térnek nevezzük. A leképezések tulajdonságainak deniálásához legyenek adottak az (X, d X ) és az (Y, d Y ) metrikus terek, valamint az f : X Y leképezés. 2.1.7. Deníció. Azt mondjuk, hogy f folytonos az x 0 X pontban, ha (x n ) X sorozatra igaz, hogy x n x 0 f(x n ) f(x 0 ). 2.1.8. Deníció. Az f leképezés kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt L > 0 mellett, ha igaz a következ : d Y (f(x 1 ), f(x 2 )) Ld X (x 1, x 2 ) minden x 1, x 2 X esetén. 2.1.9. Deníció. Azt mondjuk, hogy f kontrakció, ha q [0, 1), amelyre igaz a következ : d Y (f(x 1 ), f(x 2 )) qd X (x 1, x 2 ) minden x 1, x 2 X esetén. 2.1.10. Következmény. Minden kontrakció folytonos. 2.1.11. Deníció. Legyen f : X X, azt mondjuk, hogy az x X az f leképezés xpontja, ha f(x ) = x. 5

2.2. Banach-xponttétel 2.2.1. Tétel. (Banach-xponttétel) Legyenek X teljes metrikus tér és f : X X kontrakció. Ekkor 1. f-nek létezik egyetlen xpontja. 2. Tetsz leges x 0 X kezd pont esetén az x n := f(x n 1 ) iteráció konvergens, és lim n x n = x. S t, érvényes a d(x, x m ) A d(x 1, x 0 ) q m becslés, ahol A 0 konstans. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > m. Ekkor d(x n, x m ) d(x n, x n 1 ) + d(x n 1, x n 2 ) + + d(x m+1, x m ) q n 1 d(x 1, x 0 ) + q n 2 d(x 1, x 0 ) + + q m d(x 1, x 0 ) = = (q n 1 + q n 2 + + q m )d(x 1, x 0 ) = = (q n m 1 + q n m 2 + + q + 1)d(x 1, x 0 )q m 1 1 q d(x 1, x 0 )q m. (2.1) Ekkor m esetén a jobboldal 0-hoz tart, így ε > 0 N N : m, n > Nd(x n, x m ) < ε, tehát x n Cauchy-sorozat. Mivel X teljes metrikus tér, így x n konvergens is: Tekintsük az n-edik iteráltat: Térjünk át határértékre: lim n x n = x X. (2.2) x n = f(x n 1 ). lim x n = lim f(x n 1 ) = f( lim x n 1 ) n n n 6

Innen (2.2)-b l következik, hogy x = f(x ). Az egyértelm séghez indirekt tegyük fel, hogy x és y is xpontja f-nek és x y. Ekkor d(x, y ) > 0, így d(x, y ) = d(f(x ), f(y )) qd(x, y ) 0 (q 1) (d(x, y )). }{{}}{{} <0 >0 Ellentmondásra jutottunk, tehát a xpont egyértelm. A becslésünket is könnyen igazolhatjuk, hiszen (2.1) igaz d(x n, x m )-re n, m esetén, így d(x, x m )-re is: d(x, x m ) 1 d(x 1, x 0 )q m. 1 q }{{} A 2.2.2. Következmény. Ha X Banach-tér, B : X X folytonos lineáris leképezés és B < 1, akkor x = Bx + c-nek létezik egyértelm megoldása. Bizonyítás. Legyen f(x) := Bx + c, ekkor x = Bx + c x = f(x). Megmutatjuk, hogy f kontrakció: f(x) f(y) = B(x y) B x y A B < 1 feltétel következtében f kontrakció, így a 2.2.1 tétel értelmében létezik egyetlen megoldás. 7

3. Egyenletrendszerek A gyártási folyamatok modellezését gyakran oldják meg egyenletrendszerekkel. Jelöljük x-szel az alapanyagot, és a mennyiség x-b l gyártunk egy b terméket: a x = b. Bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Legyenek x 1, x 2,..., x n az alapanyagok és ezek kombinációjából állítjuk el b-t: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b. Most tegyük fel, hogy a teljes üzemben nem csak b-t, hanem b 1, b 2,..., b m termékeket gyártanak az alapanyagokból: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 +... + a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 +... + a 2,n x n = b 2. a m,1 x 1 + a m,2 x 2 +... + a m,n x n = b m. Cél: adott b 1,..., b m -hez x 1,..., x n -et keresünk. Jelölések: A R n m az a i,j együtthatókból álló mátrix; x R n a x i koordinátákból álló vektor; b R m a b i koordinátákból álló vektor. A fenti egyenletrendszert lineárisnak nevezzük, mivel minden változójában lineáris. 3.1. Lineáris egyenletrendszerek Az olyan Ax = b alakú lineáris egyenletrendszerek xponttételre alapuló iterációs megoldását vizsgáljuk, ahol adott A R m m és b R m. Feltesszük, hogy létezik A 1, tehát A reguláris, és deta 0. 8

3.1.1. Deníció. Az X lineáris teret lineáris normált térnek nevezzük, ha bármely x, y X és α R esetén igazak a következ k: 1. x 0, és x = 0 x = 0; 2. αx = α x ; 3. x + y x + y. Ez a x az x vektor normája. 3.1.2. Deníció. Legyen 1 p. Ekkor x R n esetén ( n ) 1/p x p := x i p, ha p < és x = max x i, ha p =. 1 i n i=1 A leggyakrabban használt normák elnevezése: ha p = 1: oktaéder-norma; ha p = 2: euklideszi-norma; ha p = : maximum-norma. A maximum-norma mint határérték értend, mivel lim p x p = x. 3.1.3. Deníció. A vektornorma segítségével megkapható a mátrixnorma: p = 1: Ax A := sup x 0 x. A 1 = max j ( n i=1 a ij ) (oszlopösszeg norma); p = : p = 2: A = max i ( n i=1 a ij ) (sorösszeg norma); A 2 = ( λ max ( A T A )) 1/2 (euklideszi norma). Az egyszer iteráció, ahogy a neve is mutatja, a legegyszer bb iterációs módszer lineáris egyenletek megoldására. Itt az Ax = b egyenletrendszer x = Bx + c alakra hozható. Ekkor a megfelel feltételek mellett az egyenletrendszer megoldása az alábbi sorozat határértéke: x n+1 = Bx n + c. 3.1.4. Tétel. Ha B < 1, akkor az x = Bx+c egyenletrendszernek létezik egyetlen megoldása. 9

Bizonyítás. A 2.2.2 egyszer következménye. Nyilvánvaló, hogy minden x = x D(Ax b) egyenletrendszer is x = Bx + c alakú, továbbá ha det D 0, akkor az Ax = b rendszerrel ekvivalens. Megfordítva, x = Bx + c is felírható ilyen alakban, ahol D = (I B)A 1. 3.1.5. Lemma. [3] A B mátrix összes λ i sajátértéke legyen a λ q körben. Ekkor létezik olyan D invertálható mátrix, hogy a Λ = D 1 BD mátrix normája Λ 1 q. 3.1.6. Tétel. Az x = Bx+c rendszernek pontosan akkor létezik egyetlen megoldása, ha a B mátrix összes sajátértékének abszolút értéke kisebb, mint 1. Bizonyítás. Elégségesség: legyen q olyan, amelyre max i λ i < q < 1. A 3.1.5 lemma feltételei teljesülnek, ezért létezik olyan D mátrix, hogy Λ 1 < q. Ekkor Λ = D 1 BD B = DΛD 1 B n = DΛD 1 D D 1 DΛD 1 = DΛ n D 1. Ezért n esetén B n 1 D 1 D 1 1 q n 0, így x n x 1 D 1 D 1 1 q n x 0 x 1 0. Szükségesség: Legyen λ l 1 és e l a megfelel sajátvektor. Ekkor a kezdeti közelítés x 0 = x + ce l, amellyel az r 0 = ce l adódik, ahol c 0, így r 1 = x 1 x = Bx 0 x + c = }{{} Bx +cbe l x + c = cbe l = cλ l e l. x c Tegyük fel, hogy r n = x n x = λ n l ce l. Ekkor r n+1 = x n+1 x = B n+1 x 0 x +c = } B n+1 {{ x} +cb n+1 e l x +c = cb n+1 e l = cλ n+1 l e l. x c Mivel lim n r n = lim n λ n l ce l 0, ezért a feltevés szükséges. Tekintsük az egyszer iterációt az alábbi formában: x n+1 x n ω + Ax n = b, n = 0, 1,..., 10

továbbá tegyük fel, hogy az A mátrix szimmetrikus és szigorúan pozitív denit: A = A T > 0, 0 < m λ (A) M. Ekkor az Ax = b egyenletrendszernek létezik egyértelm megoldása. eredeti formája: x n+1 = Bx n + c, n = 0, 1,..., Az iteráció ahol B := I ωa, c := ωb. Ekkor az (n + 1)-edik hiba normája: r n+1 q (ω) r n q n+1 (ω) r 0 ahol q (ω) := B = I ωa. 3.1.7. Deníció. Legyen A R n n, a sajátértékei λ i, i = 1,..., n. Spektrálsugárnak nevezzük az abszolútértékben legnagyobb sajátértéket. ϱ (A) := max 1 i n λ i. 3.1.8. Tétel. Tegyük fel hogy A szimmetrikus, szigorúan pozitív denit mátrix. Ekkor az egyszer iterációnak létezik egyértelm en meghatározott optimális iterációs paramétere: és teljesül Bizonyítás. ω 0 = 2 M + m q (ω 0 ) M m M + m. A konvergenciához elegend belátni, hogy q < 1, az állítás bizonyításához pedig ki kell számolnunk azt az ω 0 értéket, amelyre: q (ω 0 ) = min ω q (ω). Tudjuk, hogy A és I ωa szimmetrikusak, így q (ω) = ϱ (I ωa) = max 1 ωλ. λ 11

A pozitív denitség következtében minden sajátérték pozitív. Így minden ω 0 esetén g ω (λ) := 1 ωλ 1. A továbbiakban legyen ω > 0. Ekkor m λ M következtében: ha ω < 2/M. Ekkor 1 > g ω (m) g ω (λ) g ω (M) = 1 ωm > 1, max 1 ωλ max ( g ω (m), g ω (M) ) = max ( 1 ωm, 1 ωm ). λ Ez akkor minimális, ha ω-t úgy választjuk, hogy 1 ωm = (1 ωm). Átrendezve ω = adódik. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. 2 M + m 3.2. Nemlineáris egyenletrendszerek Amennyiben a folyamatra pontosabb modellt szeretnénk felállítani, akkor már nem lesz lineáris az egyenletrendszer. Legyen továbbra is x = (x 1, x 2,... x n ) T R n, valamint F : R n R n, és megoldandó az F (x) = b egyenletrendszer. Mivel F (x) = (f 1 (x), f 2 (x),... f n (x)) T, a nemlineáris egyenletrendszer a következ alakban írható: f 1 (x 1, x 2,... x n ) = b 1 f 2 (x 1, x 2,... x n ) = b 2. f n (x 1, x 2,... x n ) = b n. 3.2.1. Tétel. Legyen F : R n R n, amely eleget tesz a következ feltételeknek: (i) F C 1 (R n ); (ii) u R n esetén F (u) szimmetrikus; 12

(iii) léteznek olyan M m > 0 konstansok, amelyekre u, h R n esetén igaz a következ : m h 2 F (u)h, h M h 2. Ekkor 1. minden g R n esetén az F (u) = g egyenletnek létezik egyértelm megoldása, u R n ; 2. minden u 0 R n esetén az u k+1 := u k iteráció konvergál az u -hoz, éspedig Bizonyítás. 1. Feltéve, hogy (iii) fennáll 2 M + m (F (u k) g) u k u 1 m F (u 0) g ( ) k M m. M + m F (u) F (v), u v m u v 2 (u, v R n ), azaz F egyenletesen monoton függvény R n -n. Ezért (i) (ii) fennállása alapján az egyértelm megoldhatóság igaz az egyenletre. 2. Legyen r k := F (u k ) g. Így r k+1 r k = F (u k+1 ) F (u k ) = A tételben szerepl sorozatra átírva r k+1 = Ar k := r k 1 0 2 M + m F (u k + t(u k+1 u k ))(u k+1 u k )dt. 1 0 F (u k + t(u k+1 u k ))r k dt. Megmutatjuk, hogy A kontrakció, és a konstans M m M+m. Ugyanis az F -ra vonatkozó feltevés alapján az A : R n R n lineáris leképezés szimmetrikus, továbbá minden r R n esetén M m M + m r 2 Ar, r M m M + m r 2. 13

Innen A M m, tehát A kontrakció. Ebb l M+m r k ( ) k M m r 0. M + m Végül, ezért r k u k u r k, u k u m u k u 2, u k u 1 m r k 1 m r 0 ( ) k M m. M + m 14

4. Integrálegyenletek Tekintsük a következ modellt, az úgynevezett Love-integrálegyenletet: ((I K)u)(t) u(t) d π +1 1 u(s) ds = 1 g(t), 1 t 1, d 2 + (t s) 2 amely leírja az elektromos mez t két párhuzamos koaxiális pozitív töltés lemez között, melyek egymástól vett távolsága d > 0. Az els szakaszban meghatározzuk az általános alakban felírt integrálegyenletre vonatkozó iterációt, és annak feltételét, hogy mikor lesz kontrakció. A második szakaszban pedig megoldjuk a fenti modellt. 4.1. Fredholm-integrálegyenlet Tekintsük a lineáris Fredholm-integrálegyenletet: x(t) = µ b a K(t, s)x(s)ds + f(t), t [a, b], ahol K : [a, b] [a, b] K ún. magfüggvény, és f : [a, b] K folytonosak. Az iterációs eljárás pedig legyen: x n+1 (t) = µ b a K(t, s)x n (s)ds + f(t), n = 1, 2,.... Legyen X = C([a, b], K), ahol K = R vagy C, vagyis az x : [a, b] K folytonos függvények tere az x = max a t b x(t) maximum-normával. 4.1.1. Tétel. Legyenek adottak az a < b pontok, valamint K és f a fentiek szerint, továbbá legyen c = max a t,s b K(t, s). Ekkor a fenti integrálegyenletnek létezik egyértelm megoldása minden olyan µ K esetén, amelyre: (b a) µ c < 1, és x n ehhez konvergál minden x 0 X kezd érték mellett. A norma denicíójából következik, hogy ez a konvergencia egyenletes [a, b]-n. 15

Bizonyítás. Tekintsük az egyenletet x = Ax + f formában, ahol (Ax)(t) = µ b a K(t, s)x(s)ds, t [a, b]. Mivel K folytonos, ezért Ax is folytonos, így A lineáris leképezés X-r l önmagára. Továbbá és A = sup Ax x 1 b Ax = max µ K(t, s)x(s)ds µ (b a)c x. a t b a Ax < µ (b a)c x x X { } Ax A = sup x : x 0 µ (b a)c < 1. Mivel az A < 1 feltétel teljesül, ezért 2.2.2 következmény értelmében létezik egyértelm megoldás. Mivel F (x) := Ax + f kontrakció, így x n x maximumnormában. 4.2. Feladat: Love-integrálegyenlet Határozzuk meg a d paraméter azon lehetséges értékeit, amelyek elégséges feltételt adnak a Love-integrálegyenlet megoldhatóságához. ((I K)u)(t) u(t) d π +1 1 u(s) ds = 1 g(t), 1 t 1 d 2 + (t s) 2 Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy leolvashassuk az általános képlet szerinti K és f függvényeket: u(t) = d π +1 1 1 d 2 + (t s) 2 } {{ } K(t,s) u(s)ds + g(t) }{{} 1 A 4.1.1 tétel értelmében akkor létezik egyértelm megoldás, ha (b a) µ c < 1, ahol c = max K(t, s). a t,s b 16

A feladat értékeinek a beírásával azt kapjuk, hogy 2 d π max 1 1 t,s 1 d 2 + (t s) < 1. 2 Számoljuk ki ezt a maximumot. Úgy tudunk maximalizálni, ha a nevez t minimalizáljuk: max 1 t,s 1 1 ( min d 2 + (t s) 2). d 2 + (t s) 2 1 t,s 1 Ez akkor lesz minimális, ha (t s) 2 = 0. Innen c = 1 d 2, 2d πd 2 < 1 d > 2 π. Azt kaptuk, hogy a fenti d értékek esetén létezik egyértelm megoldása a feladatnak. 17

5. Közönséges dierenciálegyenletek A dierenciálegyenletek elmélete igen érdekes és fontos terület a matematikában. Segítségével modellezhetjük például a természet-, a m szaki és a társadalomtudományok azon területeit, ahol folytonos idej, folytonos állapotter, determinisztikus folyamatok vizsgálata a cél. Ezek közül a térben homogén folyamatok vizsgálatára szolgálnak a közönséges dierenciálegyenletek. Ilyen modellre példa a radioaktív bomlás egyik modellje. Legyen a radioaktív anyag mennyisége a t R + id pontban x(t) R. Azt vizsgáljuk, hogy hogyan változik ez a mennyiség a [t, t + δ] intervallumban, ahol δ rövid id tartam. Az anyag mennyisége δ id elteltével olyan mértékben csökken, amely mindent l lineárisan függ, vagyis egyenesen arányos az anyag aktuális mennyiségével és az eltelt id vel: x(t + δ) = x(t) kx(t)δ + ε(δ)δ, ahol k R + az arányossági tényez, valamint a lineáris csökkenésen túlmen en az intervallum hosszához képes csak kicsi a változás: lim 0 ε = 0. Az egyenletet átrendezve x(t + δ) x(t) = kx(t) + ε(δ). δ Ha δ 0, akkor a jobboldalnak létezik határértéke, vagyis az értelmezési tartomány minden pontjában dierenciálható. Tehát azt kaptuk, hogy ẋ(t) = kx(t) (t R + ). 5.1. A kezdetiérték-feladat 5.1.1. Deníció. Azt mondjuk, hogy a sík valamely tartományán iránymez van megadva, ha minden pontjában ki van választva egy, a ponton átmen egyenes. 5.1.2. Deníció. Azt a vonalat, amely minden pontjában érinti az iránymez t, az iránymez integrálgörbéjének nevezzük. 18

Az integrálgörbék megkeresésének analitikus oldalról a dierenciálegyenletek megoldásainak megkeresése felel meg. Amennyiben feltesszük, hogy a (t, x) síkon értelmezett mez nem tartalmaz függ leges irányokat, akkor a (t, x) pontban húzott egyenes v(t, x) iránytangense véges, és az integrálgörbék az x = ϕ(t) függvény grakonjai. A továbbiakban tegyük fel, hogy a ϕ értelmezési tartománya a t tengely I intervalluma. Ekkor triviális a következ : 5.1.3. Tétel. A ϕ dierenciálható függvény grakonja akkor és csak akkor integrálgörbe, ha minden t I-re teljesül az alábbi összefüggés: ϕ(t) = v(t, ϕ(t)). 5.1.4. Deníció. Legyen v : R R n R n, ahol v C 1 (U), ekkor a ẋ = v(t, x) egyenletet a v iránymez által meghatározott dierenciálegyenletnek nevezzük. 5.1.5. Deníció. A ϕ függvényt az ẋ(t) = v(t, x(t)) dierenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha létezik olyan I R intervallum, amelyen ϕ C 1 (I), és kielégíti a 5.1.3 tételben meghatározott összefüggést. A ϕ megoldás kielégíti a (t 0, x 0 ) U kezdeti feltételt, ha ϕ(t 0 ) = x 0. Tekintsük a ẋ = v(t, x) dierenciálegyenletet, amelyet a b vített fázistér (R n+1 ) valamely I tartományán értelmezett v iránymez ad meg. Fogalmazzuk át integrálegyenletté. 5.1.6. Állítás. Legyen x : I R, t 0 I. Ekkor x C 1 (I), ẋ(t) = v(t, x(t)) t x C(I), x(t) = x 0 + v(τ, x(τ))dτ. x(t 0 ) = x 0 t 0 19

Bizonyítás. Ha a dierenciálegyenletre alkalmazzuk a Newton-Leibniz-tételt t 0 és t között, akkor az integrálegyenlet adódik. Ha az integrálegyenlet mindkét oldalát deriváljuk, akkor a dierenciálegyenletet kapjuk vissza. 5.1.7. Deníció. Azt a P leképezést, amely a ϕ : t x függvényt az P ϕ : t x függvénybe viszi át, ahol (P ϕ)(t) = x 0 + Picard-leképezésnek nevezzük. t t 0 v(τ, ϕ(τ))dτ, Célunk szerkeszteni egy olyan M teljes metrikus teret, amin P kontrakció, és xpontja az adott integrálegyenlet megoldását határozza meg. A szerkesztést egy pont kis környezetében végzünk. Ezt a környezetet a következ négy mennyiség segítségével írhatjuk le: C, L, a, b. Ezeket menet közben deniáljuk. Tekintsünk egy tetsz leges (t 0, x 0 ) U pontot. A H = {t, x : t t 0 a, x x 0 b} henger az U tartományhoz tartozik, ha a és b megfelel en kicsi. Jelölje x v a v x szerinti deriváltját rögzített t mellett. Mivel H kompakt, v és x v is eléri fels határát a hengeren. Jelölje ezeket C és L, ekkor v C, x v L. Legyen K 0 az a kúp, amelynek csúcsa a (t 0, x 0 ) pont, a félnyílásszög tangense C, és a magassága a : K 0 = {t, x : t t 0 a, x x 0 C t t 0 }. Ha a elég kicsi, akkor K 0 H. Jelölje K x azt a kúpot, amely a K 0 -ból a csúcs (t 0, x) pontba történ párhuzamos eltolásával keletkezik. Ha a és b elég kicsi, akkor K x H minden olyan x-re, ahol x x 0 b. 20

Feltesszük, hogy a és b megfelel en kicsi, így K x H. Az ẋ = v(t, x) egyenletnek ϕ(t 0 ) = x 0 kezdeti feltétel melletti ϕ : (t 0 a, t 0 + a ) R megoldását keressük. 5.1.8. Megjegyzés. A keresett integrálgörbe a K x kúp belsejében fekszik. Jelölje M az a által meghatározott intervallum azon ϕ folytonos leképezéseit, amelyek kielégítik a következ feltételt is: ϕ(t) C t t 0 Vezessük be M-en a következ metrikát: ϱ(ϕ 1, ϕ 2 ) = ϕ 1 ϕ 2 = max ϕ 1(t) ϕ 2 (t). t t 0 a 5.1.9. Tétel. A ϱ metrikájú M halmaz teljes metrikus tér. Bizonyítás. Folytonos függvények egyenletesen konvergens sorozatának határértéke is folytonos függvény. Amennyiben a függvénysorozat elemei kielégítik a fenti feltételt, akkor a határértékfüggvény is kielégíti ugyanazzal a C állandóval. Legyen f : U R n az R m euklideszi tér U tartományának folytonosan dierenciálható leképezése az R n euklideszi térbe. Ekkor f-nek az x U pontban vett deriváltja az egyik euklideszi térb l egy másikba ható lineáris operátor. 5.1.10. Tétel. Az U tartomány bármely konvex és kompakt V részhalmazán folytonosan dierenciálható f függvény kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt, ahol L egyenl az f derivált normájának V -n vett fels határával: L = sup f. x V Bizonyítás. Legyen x, y V. Kössük össze az x és y pontokat a z(t) = x + t(x y), 0 t 1 21

szakasszal. A Newton-Leibniz-képlet szerint: f(y) f(x) = 1 0 d dt (f(z(τ)))dτ = 1 0 f (z(τ))ż(τ)dτ. Figyelembe véve, hogy ż = y x: 1 1 f (z(τ))ż(τ)dτ L y x dτ = L y x. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. 0 5.1.11. Tétel. Ha a megfelel en kicsi, akkor a P leképezés kontrakció M-en. 0 Bizonyítás. 1. Megmutatjuk, hogy a P leképezés M-et önmagára képzi. Felhasználva, hogy v C, a következ t kapjuk: t t (P ϕ)(t) x 0 = v(τ, ϕ(τ))dτ t 0 t 0 C Tehát P M M. 2. Megmutatjuk, hogy a P leképezés kontrakció: P ϕ 1 P ϕ 2 λ ϕ 1 ϕ 2, 0 < λ < 1. dt C t t 0. Becsüljük meg az P ϕ 1 P ϕ 2 értékét az t pontban. Tudjuk, hogy (P ϕ 1 P ϕ 2 )(t) = ahol v i (τ) = v(τ, ϕ i (τ)), i = 1, 2. t t 0 (v 1 (τ) v 2 (τ))dτ, A 5.1.10 tétel értelmében, rögzített τ-ra a v(τ, x) függvény második változója szerint kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt. Ezért v 1 (τ) v 2 (τ) L ϕ 1 (τ) ϕ 2 (τ) L ϕ 1 ϕ 2. Ezt az eredményt felhasználva: t (P ϕ 1 P ϕ 2 )(t) L ϕ 1 ϕ 2 dτ La ϕ 1 ϕ 2. t 0 Azt kaptuk, hogy ha La < 1, akkor a leképezés kontrakció. 22

5.1.12. Tétel. A P leképezésnek létezik egyetlen xpontja, és ez a xpont az ẋ(t) = v(t, x(t)) x(t 0 ) = x 0 kezdetiérték-feladat egyértelm megoldása. Bizonyítás. Beláttuk, hogy P kontrakció, így 2.2.1 tétel szerint létezik xpontja, vagyis olyan ϕ(t) függvény, hogy ϕ(t) = x 0 + t t 0 v(τ, ϕ(τ))dτ. Innen a 5.1.6 állításból már következik a tétel állítása. 5.2. Alkalmazás: visszavezetés nemlineáris rendszerre Tekintsük a ẋ(t) = f(x(t)) dierenciálegyenlet esetén az x i x i 1 τ + f(x i ) = 0 ún. implicit Euler-módszert. Legyen f C 1 (R n, R n ) és f(x) = v (x), x R n. Ekkor f (x) szimmetrikus minden x esetén. Ekkor az iteráció a következ alakban írható fel: F (x i ) := x i + τf(x i ) = x i 1. (5.1) Célunk az i-edik lépésben (5.1) megoldása. 5.2.1. Állítás. Legyen f korlátos és τ kell en kicsi. Ekkor F C 1, F szimmetrikus, és igaz a m h 2 F (x)h, h M h 2 (5.2) becslés, ahol m = 1 τ f (x) és M = 1 + τ f (x). 23

Bizonyítás. Tekintsük a deriváltat: F (x)h = h + τf (x)h. Ekkor F (x)h, h = h 2 + τ f (x)h, h (1 τ f (x) ) h 2. Legyen 0 < m := 1 τ f (x), ha τ < 1 f (x). A fels korlát megtalálásához is hasonlóan járhatunk el: F (x)h, h = h 2 + τ f (x)h, h (1 + τ f (x) ) h 2. Legyen 0 < M := 1 + τ f (x). 5.2.2. Következmény. Ha F C 1. F szimmetrikus, és eleget tesz (5.2)-nek, akkor (5.1)-nek létezik egyértelm megoldása, és minden x esetén a 3.2 szakaszbeli iteráció konvergál a megoldáshoz. Bizonyítás. Az állítás következik a 3.2.1 tételb l. 24

6. Parciális dierenciálegyenletek A dolgozat terjedelmére való tekintettel csak az eliptikus tipusú parciális differenciálegyenletekkel foglalkozunk. Ilyen egyenletek leggyakrabban zikai jelenségek matematikai modelljeiben fordulnak el, ha eltekintünk az id t l. Például a h vezetési egyenlet: cϱ u = div(k gradu) + f(x), t ahol c a fajh, ϱ a h vezet közeg s r sége, k a h vezetési tényez, f pedig a h forrás s r sége. Ha u nem függ az id t l, akkor az egyenlet a következ alakra egyszer södik: 0 = div(k gradu) + f(x). Az iteráció kidolgozásához szükségünk lesz az úgynevezett Green-féle függvényre. 6.1. Poisson-egyenlet és Green-féle függvény A h vezetési egyenleteknek azt a speciális esetét, amikor a közeg homogenitása miatt k konstans, Poisson-egyenletnek nevezzük. Ebben az esetben a képletünk is tovább egyszer södik: u + f(x) = 0. 6.1.1. Deníció. Tekintsük az Ω R n tartományt. Legyen u : R n R, és u C 1 (Ω), ekkor az u függvény gradiense: grad(u) = u = ( 1 u,..., n u). Legyen u : R n R n, u C 1 (Ω, R n ), ekkor az u függvény divergenciája: div(u) = u = n i u i. i=1 Legyen u : R n R, u C 2 (Ω), ekkor az u függvény Laplace-operátora: u = div(grad(u)) = u. 25

Tekintsük az alábbi feladatot: E(x) = 0, x 0 ahol E radiálisan szimmetrikus. A feladat alapmegoldása: { 1 4π x E(x) :=, x R3 1, x 2π ln x R2. 6.1.2. Deníció. Jelölje R(x, y) a fenti feladat megoldását az x y helyen: { 1 4π x y R(x, y) :=, x, y R3, x y 1, x, y 2π ln x y R2, x y. Legyen Ω R n korlátos tartomány Ω peremfelülettel, és tekintsük tetsz leges x Ω esetén az alábbi Dirichlet-féle feladatot a v = v(y) C 2 (Ω) C(Ω) függvényre. v = 0 v Ω = R(x, y). Feltesszük, hogy x Ω pont esetén létezik megoldása a feladatnak. Jelölje ezt v(y) = r(x, y). Eszerint az r(x, y) függvény eleget tesz a következ knek: minden rögzített x Ω pontra, mint y függvénye r(x, y) C 2 (Ω) C(Ω), továbbá y r(x, y) = 0 r(x, y) y Ω = R(x, y). 6.1.3. Deníció. Az Ω tartományhoz tartozó Green-féle függvénynek nevezzük a egyértelm en meghatározott függvényt. G(x, y) = R(x, y) r(x, y) (6.1) 6.1.4. Tétel. Tegyük fel, hogy Ω-nak létezik Green-féle függvénye. Ekkor minden rögzített x Ω esetén igazak az alábbiak: G(x, y) = 0, y Ω \ {x} ; (6.2) G(x, y) = 0, y Ω; (6.3) G(x, y) > 0, x, y Ω. (6.4) 26

Bizonyítás. (6.2) és (6.3) közvetlenül adódik (6.1)-b l. A (6.4) egyenl tlenséget pedig könnyen igazolhatjuk a minimum-elv felhasználásával. Rögzített x C(Ω) esetén r(x, y) korlátos: Legyen a > 0 olyan szám, amelyre r(x, y) < k, y Ω. R(x, y) > k, y B(x; a) Ω, ahol B(x; a) az x középpontú a sugarú gömböt jelöli. Alkalmazzuk a minimumelvet az Ω \ B(x; a) tartományon a G(x, y) függvényre. A tartomány határán, azaz Ω B(x; a)-n G(x, y) y Ω = 0 G(x, y) y B(x;a) = R(x, y) r(x, y) > 0. Ekkor G(x, y) a tartomány belsejében pozitív és nem veheti fel a minimumát, mivel nem állandó. 6.1.5. Állítás. [7] Legyen u C 2 (Ω) C 1 (Ω), Ω u <, továbbá ω C2 (Ω), ω L 1 (Ω), ahol ω mint y függvénye értend minden rögzített x Ω esetén. Ekkor az F (x, y) = R(x, y) ω(x, y) jelölést használva minden x Ω pontra [ u(x) = F u ν u F ] dy [F u u y F ] dy. ν y Ω Ω 6.1.6. Tétel. Legyen Ω szakaszonként folytonosan dierenciálható. Tegyük fel, hogy Ω-nak létezik Green-féle függvénye, amelyre r(x, y) C 1 (Ω) minden rögzített x Ω esetén, továbbá legyen u C 2 (Ω) C 1 (Ω) a u = f u Ω = g Dirichlet-feladat megoldása, ahol f <. Ekkor minden x Ω pont esetén Ω u(x) = G(x, y)f(y)dy Ω Ω 27 G(x, y) g(y)dy. ν y

Bizonyítás. alkalmazva azt kapjuk, hogy u(x) = Az 6.1.5 állításban szerepl összefüggést u-ra és ω(x, y) = r(x, y)-ra Ω [ G u ν u G ν y A feltételek és a 6.1.4 tétel szerint ] dy [G u u y G] dy. Ω u = f, G = 0, G = 0 (y Ω), u = g ( Ω), tehát azt kaptuk, hogy u(x) = Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Ω u(y) G dy Gf(y)dy. ν y Ω Tekintsük a Poisson-egyenletre vonatkozó peremérték-feladatot, ahol u a peremen homogén: u = f u Ω = 0. A 6.1.6 tétel állítása szerint a megoldást a következ integrál határozza meg: u(x) = G(x, y)f(y)dy. Ω Példa. Vékony rudak csavarodása is jellemezhet Poisson-egyenlettel: Φ = 1 Φ Ω = 0, ahol Ω a rúd keresztmetszete. A Φ segédfüggvényb l az (u 1, u 2, u 3 ) eltolódások vektorát kapjuk meg, feltéve, hogy τ, az egységhosszra vonatkozó csavarási szög, a rúd hosszának irányában konstans. 6.2. Nemlineáris elliptikus feladat Tekintsük a Poisson-egyenlet egy általánosítását, ahol f helyett f(u) szerepel: u = f(u) u Ω = 0. 28

Ekkor a megoldás az u(x) = Ω G(x, y)f(u(y))dy integrálegyenletet teljesíti, amib l már felírhatjuk az iterációs eljárásunkat: u n+1 (x) = G(x, y)f(u n (y))dy := (Au n )(x) Ω 6.2.1. Állítás. Tekintsük a C(Ω) normált teret az f := max Ω f normával. Ha f Lipschitzes és L < 1, ahol z(x) a z z = 1 z Ω = 0 feladat megoldása, akkor A kontrakcó a 0 < q < 1 kontrakciós konstanssal. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy létezik ilyen q. (Au)(x) (Av)(x) = G(x, y)f(u(y))dy Ω = G(x, y) (f(u(y)) f(v(y))) dy Ω G(x, y) f(u(y)) f(v(y)) dy Ω Ω Ω G(x, y) L u(y) v(y) dy }{{} >0 G(x, y) L max u(y) v(y) dy y G(x, y)dy L u v. Az állításban szerepl segédfeladat megoldása éppen a z(x) = G(x, y) 1dy. Ebb l azt kapjuk, hogy Ω Ω (Au)(x) (Av)(x) z L u v. 29 Ω G(x, y)f(v(y))dy =

Innen már látható, hogy ha q := L z < 1. akkor az (Au)(x) leképezés kontrakció. 6.2.2. Következmény. Az u(x) = G(x, y)f(u(y))dy egyenletnek létezik egyértel- Ω m megoldása, ha L < 1 z. Bizonyítás. állítás. A fenti egyenlet u = Au alakú, tehát a 2.2.1 tételb l következik az 6.2.3. Deníció. Azt mondjuk, hogy a u = f(u) u Ω = 0. feladatnak létezik klasszikus megoldása, ha van olyan u C 2 (Ω) C(Ω) függvény, ami kielégíti a peremértékfeldatot. 6.2.4. Tétel. Legyen Ω R n Lipschitz-folytonos taromány és f Ω-n deniált. Ha f Lipschitzes és L < 1, ahol z a 6.2.1 állításbeli függvény, akkor a z u = f(u) u Ω = 0. Poisson-egyenletnek létezik klasszikus megoldása. Bizonyítás. Alkalmazzuk -t a u(x) = G(x, y)f(u(y))dy-ra. Ω Ebb l azt kapjuk, hogy u(x) = G(x, y)f(u(y))dy = f(u(x)). Ω Ezzel a tételt beláttuk. 30

6.3. Egy további alkalmazás: visszavezetés lineáris egyenletrendszerre Tekintsük a következ feladatot: Lu := div(a u) = g u Ω = 0, ahol A L (Ω, R n n ) szimmetrikus és szigorúan pozitív denit mátrix. 6.3.1. Deníció. Legyen S lineáris szimmetrikus operátor H-n. Egy L H lineáris operátort S-korlátosnak és S-koercívnek nevezünk, és L BC S (H)-val jelölünk, ha igazak a következ tulajdonságok: (i) D(L) H S és D(L) s r H S -ben az S-normával; (ii) létezik M > 0, amelyre u, v D(L) esetén Lu, v M u S v S ; (iii) létezik m < 0, amelyre u D(L) esetén Lu, u m u 2 S. 6.3.2. Deníció. Bármely L BC S (H)-re legyen L S B(H S ) a következ módon deniálva: L S u, v S = Lu, v (u, v D(L)). A feladatban L S-korlátos és S-koercív a 6.3.1 denícióban foglaltaknak megfelel en, ha S = és g H. Ekkor az Lu = g egyenlet numerikusan megoldható a Galerkin-diszkretizáció segítségével: legyen V h = span {ϕ 1,... ϕ n } H S véges dimenziós altér, ahol a ϕ i -k lineárisan függetlenek és L h := { } n L S ϕ i, ϕ j. S i,j=1 31

Az u h V h diszkrét megoldás u = n i=1 c iϕ i formában való megtalálásához az L h c = b h (6.5) n n-es rendszer megoldása szükséges, ahol b h = { g, ϕ j } n j=1. Mivel L BC S(H), az L h szimmetrikus része pozitív denit, így a rendszernek létezik egyértelm megoldása. Legyen L szimmetrikus operátor. Ebben az esetben az S-korlátos és S-koercív tulajdonság egyszer en átalakul a következ spektrális ekvivalenciarelációvá: m u 2 S L Su, u S M u 2 S (u H S ). (6.6) Ekkor L h is szimmetrikus. Legyen S a operátor, és vezessük be az S merevségi mátrixát: S h := { ϕ i, ϕ j S } n i,j=1, mint a (6.5) rendszer prekondicionálóját. Innen a prekondicionált rendszer: S 1 h L hc = S 1 h b h. Tetsz leges c R n esetén helyettesítsük az u = n i=1 c iϕ i V h függvényt (6.6)-ba: m(s h c c) L h c c M(S h c c). (6.7) 6.3.3. Állítás. Ha (6.7) fennáll, akkor λ i (S 1 h L h) [m, M]. Bizonyítás. λ i akkor sajátértéke a S 1 h L h mátrixnak, ha c i 0 : S 1 h L hc i = λ i c i. Szorozzuk be az egyenletet balról S h -val: L h c i = λ i S h c i. Végül szorozzuk az egyenletet jobbról c i -vel: L h c i c i = λ i S h c i c i. (6.8) 32

Tudjuk, hogy (6.7) igaz tetsz leges c R n esetén, így c i -re is, ezért (6.8)-at behelyettesítve (6.7)-be m(s h c i c i ) λ i (S h c i c i ) M(S h c i c i ) adódik. Innen már jól látszik, hogy m λ i M i. Ezzel beláttuk, hogy λ i (S 1 h L h) [m, M]. 6.3.4. Következmény. A 3.1.8 tétel alkalmazható. 33

7. Összefoglalás Dolgozatomban bemutattam a Banach-xponttételt, és különféle feladattípusokra való alkalmazhatóságát igazoltam a szakirodalom alapján. El ször a metrikus terek felépítését és tulajdonságait vizsgáltam. Beláttam, hogy minden kontrakciónak létezik xpontja, ami egyértelm az ilyen típusú terekben. A lineáris algebrai egyenletrendszereknél azt az esetet vizsgáltam, amikor A négyzetes mátrix. Ekkor az Ax = b egyenletrendszer átírható x = Bx + c alakra. Beláttam, hogy pontosan akkor létezik egyértelm megoldás, ha B minden sajátértéke abszolút értékben kisebb, mint egy. Ezenkívül vizsgáltam egy speciális esetet is, amikor A szimmetrikus. Nemlineáris egyenletrendszereknél bebizonyítottam, hogy ha F : R n R n, F folytonosan dierenciálható, F szimmetrikus és egyenletesen pozitív denit, akkor létezik egyértelm megoldása az egyenletrendszernek, és iterációval meghatározható. Sikerült belátni annak feltételét, hogy az iterációban használt leképezés kontrakció legyen a Fredholm-integrálegyenlet esetében. Ezután az eredményt felhasználva megoldottam a Love-integrálegyenletet. A közönséges dierenciálegyenletek témaköréb l kezdetiérték-feladatok megoldhatóságának Picard-féle alaptételével foglalkoztam. A kezdetiérték-feladat visszavezethet integrálegyenlet megoldására. Ehhez szerkesztünk az x 0 pont egy környezetében egy M metrikus teret, valamint egy M-en értelmezett kontrakciót, és ezek segítségével visszavezetjük a feladatot a xponttételre. Emellett bemutattam egy numerikus megoldási módszert az Euler-módszer és a xponttétel ötvözésével. A Poisson-egyenletetet választottam ki a parciális dierenciálegyenletek közül, melynek megoldására használható a Green-függvény módszere. A xponttétel segítségével készítettem iterációs eljárást, amely az integrálegyenletek témakörére vezethet vissza. Itt is sikerült egy érdekes alkalmazást szemléltetnem, melynek lényege, hogy lineáris rendszerre vezeti vissza a nemlineáris problémát. 34

Hivatkozások [1] Arnold, V.I., Közönséges dierenciálegyenletek, M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. [2] Axelsson, O., Karátson J., Equivalent operator preconditioning for elliptic problems, Numer Algor, 2009, 50:297-380. [3] Bahvalov, N.Sz., A gépi matematika numerikus módszerei, M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1977. [4] Cryer, C. W., Numerical functional analysis, Oxford University Press, New York, 1982. [5] Karátson J., Direct gradient method for nonlinear integral equations, Periodica Mathematica Hungarica Vol. 33 (3), 1996, pp. 163-173. [6] Komornik V., Valós analízis el adások I., Typotex Kiadó, Budapest, 2003. [7] Simon L., Parciális dierenciálegyenletek 2. félév, Tankönykönyvkiadó, Budapest, 1980. [8] Stoyan G., Takó G., Numerikus módszerek 1., Typotex Kiadó, Budapest, 2002. [9] Stoyan G., Takó G., Numerikus módszerek 3., Typotex Kiadó, Budapest, 2005. [10] Tóth J., Simon L. P., Dierenciálegyenletek : Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex Kiadó, Budapest, 2005. [11] Zeidler, E., Nonlinear functional analysis and its applications I., Springer, New York, 1985. 35