Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08
Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................ Valós számsorozatok korlátossága és mootoitása................................. 3.. Valós számsorozatok kovergeciája......................................... 5. Valós sorok Elméleti áttekités........................................................ Alapfogalmak..................................................... 3.. Kovergeciakritériumok............................................... 5 3. Valós függvéyek Elméleti áttekités...................................................... 3.. Valós függvéyek korlátossága és mootoitása................................... 3 3.. Valós függvéyek folytoossága........................................... 4 3.3. Valós függvéyek határértéke............................................. 30 4. Valós függvéyek differeciálszámítása 38 Elméleti áttekités...................................................... 38 4.. Valós függvéyek differeciálszámítása....................................... 40 4.. Teljes függvéyvizsgálat............................................... 47 5. Határozatla itegrál 57 Elméleti áttekités...................................................... 57 Alapitegrálok........................................................ 58 Feladatok.......................................................... 60 6. Riema-itegrál 70 Elméleti áttekités...................................................... 70 Feladatok.......................................................... 74 7. Többváltozós függvéyek 83 Elméleti áttekités...................................................... 83 Többváltozós függvéyek folytoossága....................................... 83 Többváltozós függvéyek határértéke........................................ 83 Feladatok.......................................................... 84 8. Többváltozós függvéyek differeciálszámítása 86 Elméleti áttekités...................................................... 86 Fréchet-differeciálhatóság.............................................. 86 Iráymeti és parciális differeciálhatóság...................................... 86 Lokális szélsőértékszámítás.............................................. 87 Feladatok.......................................................... 89
. fejezet Valós számsorozatok Elméleti áttekités Alapfogalmak és kapcsolatuk.. Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós számsorozatak evezük... Defiíció. Azt modjuk, hogy az ( ) N valós számsorozat (alulról/felülről) korlátos, ha az { N} számhalmaz (alulról/felülről) korlátos..3. Defiíció. Azt modjuk, hogy az ( ) N sorozat mooto övekedő/csökkeő, ha mide N eseté + illetve + teljesül. Továbbá, ha a feti egyelőtleségek mide N eseté szigorúak, úgy szigorú mooto övekedésről, illetve csökkeésről beszélük..4. Defiíció. Az ( ) N sorozatot kovergesek evezzük, ha létezik olya R, hogy tetszőleges ε > 0 eseté va olya (ε) N, hogy mide (ε) eseté ε teljesül, erre a továbbiakba a = jelölést fogjuk haszáli..5. Defiíció. Az ( ) N sorozatot divergesek evezzük, ha em koverges, azaz, ha tetszőleges R eseté létezik olya ε > 0, hogy tetszőleges (ε) N eseté létezik olya (ε), hogy > ε..6. Defiíció. Azt modjuk, hogy az ( ) N sorozat + -hez divergál, hogy tetszőleges K R eseté létezik olya (K) N, hogy mide (K) eseté K teljesül. Azt modjuk, hogy az ( ) N sorozat -hez divergál, hogy tetszőleges k R eseté létezik olya N, hogy mide (K) eseté k teljesül... Tétel (Koverges sorozat határértéke egyértelmű). Legyeek, y R {, + }, ha ( ) N egy olya számsorozat, mely egyarát tart az és y bővített valós számokhoz, akkor = y... Tétel (kovergecia korlátosság). Mide koverges sorozat korlátos..3. Tétel. Egy mooto övekedő sorozat alulról, míg egy mooto csökkeő sorozat felülről korlátos..4. Tétel (mootoitás+korlátosság kovergecia). Egy mooto sorozat potosa akkor koverges, ha korlátos..7. Defiíció. Legye ( ) N egy valós számsorozat ϕ : N N egy szigorúa mooto függvéy, ekkor ay y = ϕ() ( N) sorozatot az ( ) N sorozat részsorozatáak evezzük..5. Tétel. Koverges sorozat bármely részsorozata is koverges, és a két sorozat határértéke megegyezik..8. Defiíció. Az ( ) N sorozatot Cauchy sorozatak evezzük, ha tetszőleges ε > 0 eseté létezik olya (ε) N, hogy mide, m (ε) eseté m ε teljesül..6. Tétel (koverges sorozat Cauchy sorozat). Egy valós számsorozat potosa akkor koverges, ha Cauchy sorozat.
Kovergecia és műveletek.7. Tétel. Legye ( ) N és (y ) N két koverges sorozat, tegyük fel továbbá, hogy = és y = y. Ekkor az ( + y ) N és az ( y ) N sorozatok is kovergesek és ( + y ) = + y és ( y ) = y. Továbbá, ha λ R és k N tetszőlegesek, akkor a (λ ) N és az ( k ) N sorozatok is kovergesek és (λ ) = λ és ( k ) = k. Valamit, ha tetszőleges N eseté 0 és 0, akkor az (y / ) N sorozat is koverges és y = y... Következméy. Ha =, akkor tetszőleges P : R R poliom eseté a (P( )) N sorozat is koverges és Kovergecia és redezés P( ) = P()..8. Tétel. Legyeek ( ) N és (y ) N olya valós számsorozatok, amelyekek létezik, illetve y bővített valós szám határértéke. Ha mide N eseté y teljesül, akkor y..9. Tétel (A jeltartás tétele). Ha az ( ) N olya koverges sorozat, melyre 0, akkor véges sok N ide kivételével sg( ) = sg() teljesül..0. Tétel (Redőr elv). Ha az ( ) N és (y ) N sorozatokak közös a határértéke és a (z ) N sorozat olya, hogy mide N eseté z y teljesül, akkor a (z ) N sorozat is koverges és Nevezetes sorozatok és határértékeik. Legye r Q, r > 0. Ekkor = z = y. = 0 és r r = +.. Legye k N és a 0, a,..., a k R és a k R \ {0}. Tekitsük az = a k k + a k k +... + a + a 0 sorozatot. Ekkor { +, ha a > 0 =, ha a < 0. 3. =.
4.! = +. 5. Legye ( ) N olya sorozat, mely eseté létezek olya a, b > 0 és N > 0 számok, hogy mide > N eseté a < < b. Ekkor =. Speciálisa, tetszőleges a > 0 eseté 6. Tetszőleges a R eseté 7. 8. Tetszőleges k N eseté 9. a =. a! = 0.! = 0. k! = 0. ( + = e. ) 0. Legye (p ) N egy olya sorozat, mely vagy + hez, vagy hez divergál, ekkor ( + ) p = e. p. Tekitsük az = q, N úgyevezett geometriai sorozatot. ha q <, akkor az ( ) N sorozat koverges és = 0; ha q =, akkor az ( ) N sorozat koverges és határértéke ; ha q >, akkor az ( ) N sorozat + hez divergál; ha q =, akkor az ( ) N sorozat korlátos és diverges; ha q <, akkor az ( ) N sorozat em korlátos és diverges.. Legye ( ) N olya koverges sorozat, melyre ], [. Ekkor = 0. 3. Legye k N és q R, q >. Ekkor { q k = 0, ha q ], [ +, ha q >. 4. Legye ( ) N olya koverges sorozat, melyek határértéke R. Legye továbbá, σ = +... + ( N) az ( ) N sorozat úgyevezett számtai-közép sorozata. Ekkor a (σ ) N sorozat is koverges és σ =... Valós számsorozatok korlátossága és mootoitása. Írjuk fel az alább ( ) N valós számsorozatok első öt elemét. 3
( ) N = ( ) N ( ) ( ) N = N ( ) N = ( ( ) ) N ( ) N = ( ) N ( ) N = ( ( ) ) N ( ) N = ( ) ( ) N = N ( ) N ( ) ( ) N = ( ) ( ) N = + N N ( ) + ( ) ( ) N = N ( ) ( ) N = N. Vizsgáljuk meg korlátosság, mootoitás és kovergecia szempotjából az alábbi sorozatokat. ( ) N ( ) + N ( ) ( ) + ( ) N ( ( ) ) N + N (!) N ( + ) N () N (( ) ) N 3. Mutassuk meg, hogy ha ( ) N és (y ) N (szigorúa) mooto övekedő/ csökkeő sorozatok, akkor ( + y ) N is (szigorúa) mooto övekedő/ csökkeő. 4. Mutassuk meg, hogy ha ( ) N (szigorúa) mooto övekedő/csökkeő sorozat, akkor ( ) N (szigorúa) mooto csökkeő/övekedő. 5. Írjuk fel zárt alakba az alábbi rekurzíva megadott valós számsorozatokat. = + = + ( N) = + = + = = + = ( ) + + = + ( N) ( N) ( N) = = + = + + ( N) 4
=, = + = + ( N).. Valós számsorozatok kovergeciája. Ha = 0, akkor igazoljuk, hogy az ( ) sorozat 0 -hoz kovergál.. Adjuk meg olya korlátos valós sorozatot, mely diverges. 3. Adjuk meg olya ( ) N valós diverges sorozatot, melyre az ( ) N sorozat koverges. 4. Legyeek ( ) N és (y ) N diverges sorozatok. Igaz e, hogy az ( + y ) N sorozat is diverges? Igaz e, hogy az ( + y ) N sorozat koverges? Igaz e, hogy az ( y ) N sorozat diverges? Igaz e, hogy az ( y ) N sorozat koverges? 5. Adjuk példát olya ( ) N és (y ) N sorozatokra, melyekre úgy, hogy ( + y ) = + ; ( + y ) = ; = + és y = ( + y ) = c, ahol c egy előre rögzített valós szám. az előző esetek egyike sem teljesül. 6. Adjuk példát olya ( ) N és (y ) N sorozatokra, melyekre úgy, hogy ( y ) = + ; ( y ) = ; = 0 és y = ( y ) = c, ahol c egy előre rögzített valós szám; az ( y ) N sorozat korlátos és diverges; az ( y ) N sorozat em korlátos és diverges. 7. Adjuk példát olya ( ) N és (y ) N sorozatokra, melyekre úgy, hogy ( y ) = + ; ( y ) = ; ( y ) = c, ahol c egy előre rögzített valós szám; a fetiek egyike sem teljesül. = 0 és y = 0 5
8. Tegyük fel, hogy az ( ) N és az (y ) N sorozatokra y = 0 teljesül. Következik-e ebből, hogy legalább az egyik sorozat ullsorozat? 9. Legye ( ) N egy valós számsorozat, és Mutassuk meg, hogy ha az ( ) N sorozat korlátos, akkor α = + + ( N). if if α sup α sup ; ha az ( ) N sorozat koverges, akkor az (α ) N sorozat is koverges és α =. következik-e az (α ) N sorozat kovergeciájából az ( ) N sorozat kovergeciája? 0. Legye ( ) N egy pozitív valós számokból álló, koverges sorozat és β = ( N). Mutassuk meg, hogy ekkor a (β ) N sorozat is koverges és. Legyeek α, β R rögzítettek és β =. = α, = β, és = + ( 3). Mutassuk meg, hogy az így megadott ( ) N sorozat koverges, és határozzuk meg a határértékét.. Legye R \ {0} tetszőleges és + = ( + ) ( N). Igazoljuk, hogy az ( ) N sorozat koverges és =. 3. Bizoyítsuk be, hogy a ( ( ) ) N sorozat diverges! 4. Dötsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak. A hamis állításokat ellepéldával támasszuk alá. Va legalább egy olya valós számsorozat, ami koverges. Va legalább egy olya valós számsorozat, ami diverges. Mide valós számsorozat vagy mooto övekedő vagy mooto csökkeő. Va olya Cauchy-sorozat, ami em korlátos. Mide mooto sorozatak va korlátos részsorozata. Mide valós számsorozatak va korlátos részsorozata. Ha egy valós számsorozat mide részsorozata korlátos, akkor ez a sorozat koverges. 6
Ha az ( ) N sorozat koverges, akkor az ( +0 ) N sorozat is az, de a két sorozat határértéke em feltétleül egyezik meg. Ha az ( ) N és (y ) N sorozatokra az teljesül, hogy ( y ) N ullsorozat, akkor ezek a sorozatok Cauchysorozatok. Ha egy valós számsorozatak va két külöböző szigorúa mooto csökkeő részsorozata, akkor ez a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Ha egy valós számsorozatak mide részsorozata Cauchy-sorozat, akkor ez a sorozat koverges. 5. Vizsgáljuk meg, hogy kovergesek-e az alábbi sorozatok. ( ) N ( ) 3 N ( ) + 999 ( ) 5 + N 8 N ( ) 3 + N ( π ) + 5 N ( 3 ) + 5 ( 3 ) + 3 N ( 5 5 3 ) 7 9 7 N ( ( + 4) 3 ( + 6) ) + 8 N ( + ) 3 3 N 3 N (l) (( ) ( + )) N 6. Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét. ( + N ) + N + + N 4 3 + + N N + N + N + + N 8 N 7
7. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét. ( + ) ( + ) ( + π ) N N N ( ) + N ( ( + )) ( + 3 ) N ( ) + 3 N + ( + ) N N N ( + ) N ( ) + + N 8. A redőr-elv felhaszálásával határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét. ( ) 3 + 3 N ( ) 6 N ( 3 + ) N ( ) + si() 3 + cos(3) N ( ) si() N 3 si() + 7 cos ( ( si ) () + N ( ) + cos() + ) + 6 N ( ) cos() + si() N ( ( + ) ( ) + N ) cos() N ( ) + cos() + N (l) ( ) + cos() si() (m) ( si( ) + ) () (o) (p) + 3 N N ( ) 3 + + + N ( ) + + N (q) ( 3 ) (r) (s) (t) N N ( 3 + 0 5 + 9 π ) N ( ) 0 + 55 N + 0 + 7 N 8
9. Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét. (( + ) ) + N ( ) +5 + N (( + 4 ) ) N (( ) ) + 4 + N (( 5 ) ) N (( + a ) ) a N (( 0, 9999 + ) ) N ((, + ) ) N (( + ) ) (( ) ) N N (( ) ) 3 3 + 5 N (l) (m) () (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) ( ) 5 3 5 + 3 N ( ) 5 3+ N ( + 3 ) + N ( ) 3+8 N ( ) 4+ + N (( ) ) + N ( ) + + N ( + 5 ) + N ( ) 3 N ( + 3 0 ) N (v) (( + e ) e ) N 0. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét. ( + + 3 ) ( ) 4 + 3 + N 7 + N ( + 3 + ) + + 3 N ( 5 ) 3 3 N 9
( 7 + + ( ) ) (l) ( 3 3 ) N 7 7 ( 6 7 + 7 ) 9 7 7 N N ( 5 3 4 6 +0 ) +4 + 7 + ( 3 +5 4 5 + ) ( ) +3 + 9 + ( ( ) + ) 3 + + 5 N ( ( ) + 0 ) ( 0) + + ( 3 ) 3 + N N N N (m) () (o) (p) (q) ( π + e ) π + 5e +5 ( e e ) e + e N ( e + ) + si() e ( 3 6 ) ( 9 0! ( ) 0 ) + ( N N N ) N. Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét. 3 si(!) + N ( + a + a +... + a ) + b + b +... + b N ( + +... + ) N ( + 3 ) +... + ( ) N ( ) 3 + ( ) +... + 3 3 ( ) ( ) +... + 3 3 N N ( +... + ) N ( ) +... + ( + ) N ( ( ( ))) cos N (l) ( si ( (l()) 00 ) ( 5 ) l() ( )) N N N. Vizsgáljuk meg, hogy kovergesek-e az alábbi sorozatok. 0
( (( ) + 3 )) ; N + ( ) (( ) + ) ; N ( + ( π )) + cos ; N ( + ( ) + + 3( ) ( )) N ; ( ( ) + ) 3 + + 5 N ( ( ) + 0 ) ( 0) + + ( 3 ) 3 + N ( 3 3 ) N N ( ( π + cos 3 ( ( ) ) N ; )) ; N ( ( π )) + si N (l) ( π + e ) π + 5e +5 (m) () ( e e ) e + e N ( e + ) + si() e N N
. fejezet Valós sorok Elméleti áttekités.. Defiíció. Legye ( ) N egy valós számsorozat, akkor az a R {, + } bővített valós számot az ( ) N sorozat torlódási potjáak evezzük, ha az ( ) N sorozatak létezik olya ( k ) részsorozata, melyre k a... Tétel. Az ( ) N sorozatak az a R {, + } bővített valós szám potosa akkor torlódási potja, ha az a tetszőleges köryezetébe végtele sok sorozatelem va... Megjegyzés. Mivel mide valós számsorozatak va mooto részsorozata, ezért va torlódási potja is a bővített valós számok halmazába... Defiíció. Az ( ) N sorozat torlódási potjai halmazáak a potos alsó, korlátját az ( ) N sorozat es iferioráak, míg az ( ) N sorozat torlódási potjai halmazáak potos felső korlátját az ( ) N sorozat es superioráak evezzük, és if -el illetve sup -el jelöljük... Megjegyzés. Tetszőleges ( ) N valós számsorozat eseté teljesül. if sup.. Tétel. Egy ( ) N valós számsorozat potosa akkor koverges, ha teljesül. if = sup.3. Defiíció. Legye ( ) N egy valós számsorozat, és képezzük az alábbi sorozatot σ = σ = +... +, ( N) ekkor a (σ ) N sorozatot az ( ) N sorozatból képzett sorak evezzük, és a továbbiakba = -el jelöljük. Ha létezik a σ határérték, akkor azt modjuk, hogy a = sor koverges. A = sort abszolút kovergesek evezzük, ha a = sor koverges. Ha a = sor koverges, de em abszolút koverges, akkor feltételese kovergesek evezzük..3. Tétel. Ha egy valós sor abszolút koverges, akkor koverges is..4. Tétel. Ha a = sor koverges, akkor = 0..5. Tétel (Összehasolító kritérium). Legyeek = és = y olya emegatív tagú sorok, hogy y teljesül mide N eseté. Ekkor,
ha = y koverges, akkor = is koverges; (ii) ha = diverges, akkor = y is diverges..6. Tétel. Legyeek = és = y olya pozitív tagú sorok, melyekre létezik és pozitív a y = és a = y sorok egyszerre kovergesek, illetve egyszerre divergesek. határérték. Ekkor a.7. Tétel (Cauchy féle gyökkritérium). Legye = egy valós sor. Ha sup <, akkor az = sor abszolút koverges. (ii) Ha if >, akkor az = sor diverges..8. Tétel (D Alembert féle háyadoskritérium). Legye = egy olya valós sor, melyek mide tagja ullától külöböző. Ha sup + <, akkor az = sor abszolút koverges. (ii) Ha if + >, akkor az = sor diverges..9. Tétel (A harmoikus sor). Legye α R ++, ekkor a.0. Tétel (A geometriai sor). Legye q R olya, hogy q <, ekkor a = q = = sor abszolút koverges, ha α > és diverges, ha α. α q q. q sor koverges, és.. Tétel (Leibiz-féle kritérium alteráló sorokra). Legye ( ) N egy mooto ullsorozat, ekkor a = ( ) sor koverges... Tétel (Cauchy-féle ritkítási kritérium). Legye ( ) N egy emegatív tagú, mooto csökkeő valós számsorozat. Ekkor a = valós sor potosa akkor koverges, ha a = sor koverges. =.. Alapfogalmak. Igazoljuk, hogy if( ) =, és sup( ) =.. Igazoljuk, hogy if = sup, és sup = if. 3. Tegyük fel, hogy a = és = y emegatív tagú sorok divergesek. Mit állíthatuk a sorok kovergeciájáról? 4. Bizoyítsuk be, hogy a =0 mi {, y } = és a ma {, y } = sor koverges, és összege em agyobb, mit 3.! 5. Legye ( ) N egy olya valós számsorozat, melyre mide k N eseté teljesül. Igaz-e, hogy ekkor a = sor koverges? 6. Határozzuk meg az alábbi sorok összegét ( + + + + + +k ) = 0 3
= ( + ) = 4 (4 3)(4 + ) = + ( + ) = 40 ( ) ( + ) 00 (0, 9) = = + ( ) 3 = = + ( + ) = (3 )(3 + ) = l( + ) l( + ) = 6 ( + )( ) (l) = + 7. Igazoljuk, hogy a következő sorok divergesek + = = + = 0, 8. A sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritérium segítségével igazoljuk, hogy az alábbi sorok kovergesek. ahol R adott; ahol R adott. = = si(), cos() cos(( + )) ; = cos( ) 9. A sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritérium segítségével igazoljuk, hogy az alábbi sorok divergesek. = ; 4
0. Mit állíthatuk két sor összegéről, ha + 3 + 4 + 5 6 + = ( + ) az egyik koverges, a másik diverges; midkettő diverges?.. Kovergeciakritériumok. Határozzuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek, abszolút kovergesek és melyek divergesek. = = ; 0 + 3 ; ( ) ; = = =! 5 ; 3 ; = = = ; 00! ; 3! ; ( ) + 3 ; = (l) (m) () (o) (p) (q) (r) (s) = =3 ( ) = + ; + = α a ; = (a + b) α ; = = l() ; l() ; l() l(l()) ; = = = + ; + a ; + a ; 5
(t) ( ) a ; = (w) = 0 + ( + )( + ) ; (u) ( = ) a ; () = ; (v) = 3 3 ; (y) = + ;. Dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek. = = = = = ( + ) ; 7 (6 + ) 3 ; ( + ) ; ; = 3 + 4 ; = = = 3 ; π 3 ; 000 (, ) ; + ; = 3 + 3 ; (l) (m) () (o) (p) (q) (r) (s) (t) = = = ( ) 0 = 0! ; ( + ) ; 3 ( + ( ) ) 3 ; = = = = = = 7 (6 + ) 3 ; ( + ) ; ; l() + ; 3 + 3 ; + ( ) (, 0000) ; 6
(u) ( ) + 0 ; = () = π 3 ; (v) = 3 + 4 ; (y) = 000 (, ) ; (w) = 3 ; (z) = + ; 3. Dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek. a ; = cos(π); = = 5 + 3 ; (l) = cos(π) 5 ; = 0! ; (m) ( ) l ; = ( ( ) l + ) ; = () = ( l + ) ; = ( ) si 3 ; (o) = ( ) ; = = l() l() ;!e +000 ; e ; = = = ;! 3 ; (p) (q) (r) (s) (t) = ( e π) = + 3 ; = = = 3 + ; si () ; + cos() ; 7
(u) = + ; () = + l() ; (v) ( ) ; 3 + = (y) = + l () ; (w) = 3 + ; (z) = 4. Vizsgáljuk meg az alábbi két sort kovergecia szempotjából. = + + + = + + + 5. Mely R számok eseté leszek a következő sorok kovergesek? = 3 ; ( 4) ; = = 4 ; = ( + 3) + ; = = = 3 + ( ) = (l) (m) () (o) (p) = α + β =, (α > 0 adott) α = = = (4 3) ( ) = = ( + ) 5 ( + ) ( ) ( + ) = (α, β > 0 adottak) 8
(q) =! (v)! = (r) = ()! (w) = (s) = + ( + )! () ( ) + = (t) ( ) ()! = (y) 3 = (u) = ( ) + ( + )! (z) = ( + ) 6. Vizsgáljuk meg, hogy mely R számok eseté leszek a következő sorok kovergesek? = =! 3 l() =!!! = ( ) = = = ( 3) 5 ( ) 9 (l) (m) = ( + 3) = = ( ) ( ) ( 3) ( + ) l( + ) (si()) = (l()) = ( ) = ( 3 + si() ) 7. Igazold, hogy ha a = pozitív tagú sor koverges, akkor a = sor is koverges. Igaz e a megfordítás? 8. Bizoyítsd be, hogy ha a = és = y sorok kovergesek, akkor 9
a y y sor is koverges; a ( + y ) sor is koverges. = = 9. Igazoljuk, hogy ha a = pozitív tagú sor koverges, akkor az alábbi sorok midegyike koverges. = + = ( + ) = és ( + ) =. = Igaz-e a feti állítások valamelyikéek a megfordítása? 0. Adjuk meg olya = koverges és olya = y diverges sorokat, melyekre mide N eseté mide N eseté sup sup sup + + = sup és sup és sup y ; y + y y + y... Írjuk fel az alábbi végtele szakaszos tizedes törteket két egész szám háyadosakét. 0, 3, 4 0, 03 0, 9 4, 63 0, 34 0, 5 0, 984, 44 0
3. fejezet Valós függvéyek Elméleti áttekités 3.. Defiíció. Legye D R egy emüres halmaz, ekkor az f : D R függvéyt valós függvéyek evezzük. 3.. Defiíció. Azt modjuk, hogy az f : D R függvéy alulról/felülről korlátos, ha létezik olya K R kostas, hogy f () K, illetve f () K teljesül mide D eseté. Azt modjuk továbbá, hogy az f : D R függvéy korlátos, ha mid alulról, mid felülről korlátos. 3.. Megjegyzés. Az f : D R függvéy potosa akkor korlátos (alulról/felülről), ha az f (D) R halmaz korlátos (alulról/felülről). 3.3. Defiíció. Azt modjuk, hogy az f : D R valós függvéy mooto övekedő/csökkeő, ha mide olya, y D eseté, melyre y, f () f (y), illetve f () f (y) teljesül. Ha a feti egyelőtleségek mide y eseté szigorúak, akkor szigorú mooto övekedésről, illetve szigorú mooto csökkeésről beszélük. 3.4. Defiíció. Az f : D R függvéy folytoos az 0 D potba, ha bármely ε 0 eseté va olya δ 0, hogy ha D és 0 δ, akkor f () f ( 0 ) ε teljesül. 3.. Tétel (Átviteli elv). Az f : D R függvéy potosa akkor folytoos az 0 D potba, ha tetszőleges ( ) D beli elemekből álló, 0 hoz kovergáló sorozat eseté f ( ) = f ( 0 ). 3.. Megjegyzés. Az f : D R függvéy potosa akkor em folytoos az 0 D potba, ha va olya ( ) D beli elemekből álló, 0 hoz kovergáló sorozat, melyre f ( ) f ( 0 ). 3.5. Defiíció. Azt modjuk, hogy az f : D R függvéy az A D halmazo egyeletese folytoos, ha bármely ε 0 eseté létezik olya δ 0, hogy ha, y A és y δ, akkor f () f (y) ε teljesül. 3.3. Megjegyzés (Egyeletes folytoosság folytoosság). Ha az f : D R függvéy az A D halmazo egyeletese folytoos, akkor az A halmaz mide potjába folytoos. 3.. Tétel (Folytoosság és műveletek). Ha az f, g : D R függvéyek folytoosak az 0 D potba, akkor az f + g függvéy is folytoos az 0 potba; (ii) tetszőleges λ R eseté a λ f függvéy is folytoos az 0 potba;
(iii) az f g függvéy is folytoos az 0 potba; (iv) ha tetszőleges D eseté g() 0, akkor az f g függvéy is folytoos az 0 potba. 3.3. Tétel (Az összetett függvéy folytoossága). Legyeek f : D R és g : f (D) R adott függvéyek. Ha az f függvéy folytoos az 0 D potba, a g pedig az f ( 0 ) f (D) potba, akkor a g f függvéy folytoos az 0 potba. 3.4. Tétel. Legye f : D R folytoos függvéy, K D kompakt halmaz. Ekkor az f (K) halmaz is kompakt. 3.5. Tétel. Legye K R kompakt halmaz, f : K R folytoos függvéy. Ekkor f felveszi K a miimumát és a maimumát. 3.6. Tétel (Heie). Legye K R kompakt halmaz, f : K R folytoos függvéy, ekkor f egyeletese folytoos K. 3.6. Defiíció. Legye D R, f : D R, 0 D. Azt modjuk, hogy az f függvéyek az 0 potba a határértéke α, ha tetszőleges ε > 0 eseté létezik olya δ > 0, hogy ha D és 0 < δ, akkor f () α < ε. Erre a 0 f () = α jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek az 0 potba a határértéke +, ha tetszőleges K R eseté létezik olya δ > 0, hogy ha D és 0 < δ, akkor f () > K. Erre a 0 f () = + jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek az 0 potba a határértéke, ha tetszőleges k R eseté létezik olya δ > 0, hogy ha D és 0 < δ, akkor f () < k. Erre a 0 f () = jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek a + be a határértéke α, ha tetszőleges ε > 0 eseté létezik olya K R, hogy ha D és K, akkor f () α < ε. Erre a + f () = α jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek a be a határértéke α, ha tetszőleges ε > 0 eseté létezik olya k R, hogy ha D és k, akkor f () α < ε. Erre a f () = α jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek a + be a határértéke +, ha tetszőleges K R eseté létezik olya K R, hogy ha D és K, akkor f () K. Erre a + f () = + jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek a + be a határértéke, ha tetszőleges k R eseté létezik olya K R, hogy ha D és K, akkor f () k. Erre a + f () = jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek a be a határértéke +, ha tetszőleges K R eseté létezik olya k R, hogy ha D és k, akkor f () K. Erre a f () = + jelölést alkalmazzuk. az f függvéyek a be a határértéke, ha tetszőleges k R eseté létezik olya k R, hogy ha D és k, akkor f () k. Erre a f () = jelölést alkalmazzuk. 3.7. Tétel (Átviteli elv). Legye D R, f : D R, illetve 0 D és α R {, + }. Ekkor 0 f () = α potosa akkor teljesül, ha tetszőleges ( ) N D beli, 0 hoz kovergáló sorozat eseté f ( ) = α teljesül. 3.8. Tétel (Folytoosság és függvéyhatárérték kapcsolata). Legye D R, f : D R és 0 D. Ekkor az f függvéy potosa akkor folytoos az 0 potba, ha létezik a 0 f () határérték, és f () = f ( 0 ). 0
Nevezetes függvéyhatárértékek. Legye N, a 0, a,..., a R, a 0 és P() = a + a + + a + a 0. Ekkor és { +, ha P() = a > 0 +, ha a < 0 P() = +, ha a > 0 és páros, ha a < 0 és páros, ha a > 0 és páratla +, ha a < 0 és páratla. Legye a > 0, ekkor { +, ha a > + a = 0, ha a < és { a = 0, ha a > +, ha a < 3. 4. 5. si() =. 0 = és + 0+ =. ( + ( = + + ) = e és ) ( + ) = e. 0+ 6. Legye α > 0, ekkor 7. Legyeek α > 0 és a R, ekkor α = l(α). 0 α α a a a = αa l(α). 3.. Valós függvéyek korlátossága és mootoitása. Legyeek a, b R, a 0 rögzítettek. Vizsgáljuk meg korlátosság és mootoitás szempotjából az f () = a + b ( R) módo értelmezett függvéyt.. Korlátos-e az f () = 5 ( R) módo megadott függvéy? 3. Legyeek a, b, c R, a 0. Vizsgáljuk meg az függvéyt korlátosság szempotjából. f () = a + b + c ( R) 4. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket korlátosság szempotjából. 3
f () = ( ]0, + [) f () = 4 + 6 ( R) f () = + 3 f () = ( ], + [) + ( R) 5. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket mootoitás szempotjából. f () = ( ]0, + [) f () = sig() ( R) f () = π ( R) f () = + ( R) f () = ( R, N rögzített ) f () = + + ( R) 3.. Valós függvéyek folytoossága. Adjuk példát olya f, g : D R függvéyekre, melyekre az alábbiak egyidejűleg teljesülek. f, g em folytoos az 0 D potba és f + g folytoos 0 ba. f, g em folytoos az 0 D potba és f g folytoos 0 ba. f a D halmaz egyetle potjába sem folytoos, és az f függvéy a D mide potjába folytoos. f a D halmaz egyetle potjába sem folytoos, és az f függvéy a D mide potjába folytoos.. Legye D R és f, g: D R függvéyek, 0 D. Igaz-e, hogy az f + g függvéyek az 0 szakadási helye, ha f folytoos az 0 potba, g azoba em? Igaz-e, hogy az f + g függvéyek az 0 szakadási helye, ha az 0 pot szakadási helye mid az f, mid a g függvéyek? 3. Legye D R és f, g: D R függvéyek, 0 D. Igaz-e, hogy az f g függvéyek az 0 szakadási helye, ha f folytoos az 0 potba, g azoba em? Igaz-e, hogy az f g függvéyek az 0 szakadási helye, ha az 0 pot szakadási helye mid az f, mid a g függvéyek? 4. Legye D R, f : D R és 0 D. Válasszuk ki az alábbi állítások közül azokat, melyek ekvivalesek az f függvéy 0 potbeli folytoosságával. Mide ε > 0 eseté létezik olya δ > 0 és olya D, hogy 0 < δ(ε) és f () f ( 0 ) < ε. Va olya δ > 0, melyhez létezik olya ε > 0, hogy mide olya D eseté, melyre f () f ( 0 ) < ε, az teljesül, hogy 0 < δ. Mide δ > 0 eseté va olya ε > 0, hogy mide olya D eseté, melyre 0 < ε, az teljesül, hogy f () f ( 0 ) < δ. Mide ε > 0 és mide δ > 0 eseté va olya olya D eseté, melyre 0 < δ és f () f ( 0 ) < ε. Mide δ > 0 eseté va olya ε > 0, hogy mide olya D eseté, melyre 0 < δ, az teljesül, hogy f () f ( 0 ) < ε. Mide N eseté va olya δ > 0 szám, hogy ha D olya, hogy 0 < δ, akkor f () f ( 0 ) <. Mide olya ( ) N, D-beli sorozat eseté, melyre f ( ) f ( 0 ), az teljesül, hogy 0. 4
Mide olya ( ) N, D-beli sorozat eseté, melyre 0, az teljesül, hogy f ( ) f ( 0 ). Va legalább két külöböző olya ( ) N, D-beli sorozat, melyre 0, úgy, hogy f ( ) f ( 0 ). 5. Legye [a, b] R és f : [a, b] R egy folytoos függvéy. Igazoljuk, hogy ekkor az m() = if { f (ξ) a ξ } M() = sup { f (ξ) a ξ } ( [a, b]) ( [a, b]) módo megadott m, M : [a, b] R függvéyek is folytoosak. 6. Legye [a, b] R és f, g: [a, b] R folytoos függvéyek. Igazoljuk, hogy ekkor az φ() = mi { f (), g()} ψ() = ma { f (), g()} ( [a, b]) ( [a, b]) módo megadott φ, ψ: [a, b] R függvéyek is folytoosak. 7. Legye f : [a, b] R egy folytoos függvéy és,..., [a, b]. Mutassuk meg, hogy ekkor va olya ξ ]a, b[, melyre f (ξ) = f ( ) + + f ( ) teljesül. 8. Adjuk példát olya f : R R függvéyre, melyre f em folytoos az {,, 3} halmaz potjaiba, mide más potba azoba folytoos. f em folytoos a [0, ] halmaz potjaiba, mide más potba azoba folytoos. f csak az 0 = 0 potba folytoos. f folytoos a {, 0, } halmaz potjaiba, mide más potba azoba em folytoos. f az 0 = 0 potot kivéve midehol folytoos és az 0 = 0 potba megszütethető szakadása va. f az 0 = π potot kivéve mide potba folytoos és az 0 = 0 potba elsőfajú, em megszütethető szakadása va. f az, = π, π potokat kivéve mide potba folytoos és az = π potba másodfajú, míg az = potba elsőfajú szakadása va. 9. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket folytoosság szempotjából. f () = ( R) f () = a + b f () = a + b + c ( R, a, b R rögzítettek ) ( R, a, b, c R rögzítettek ) f () = 4 ( R) f () = r ( ]0, + [, r Q rögzített ) 0. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket folytoosság szempotjából. 5
4 ha f () = + 0 ha = 4 f () = + 4 ha ha =. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket folytoosság szempotjából. f () = {, ha 0, ha > 0 ha f () = 5 ha > ha < 4 f () = ha = 4 + 39 ha > 4. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket folytoosság szempotjából. si (π) ha < f () = ha = ha < si(), ha π π f () = π, egyébkét f () =, ha 3 3 +, egyébkét, ha > f () = 5 3, ha 6 4, ha < 3. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket folytoosság szempotjából. ha Q f () = 0 ha R \ Q ha R \ Q f () = 0 ha Q 6
{ f () =, ha Q, ha R \ Q { f () =, ha Q +, ha R \ Q 4. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket folytoosság szempotjából. f () = sg() ( R) f () = {} ( R), f () = [] ( R) f () = sg( 3 + ) ( R) ahol [] az valós szám egészrészét, míg {} az valós szám törtrészét jelöli. 5. Vizsgájuk meg az alábbi függvéyeket folytoosság szempotjából. f () = sg(3 ) ( R) f () = sg(( )) ( R), ha [0, ] f () =, egyébkét, ha [, ] f () =, egyébkét, ha [, ] f () = 3, egyébkét +, ha [0, ] f () = + 3, egyébkét 6. Vizsgáljuk meg, hogy a következő függvéyeket folytoosság szempotjából. f () = ( R) f () = ( [0, + [) f () = ( R), ha f () = ( + ) 0, ha =, ha f () = ( + ), ha = f () = sg( + ) ( R) f () = sg(3 ) ( R) f () = sg(( )) ( R) 7
, ha [0, ] f () =, egyébkét, ha [, ] f () =, egyébkét, ha [, ] f () = 3, egyébkét () (o) +, ha f () = 3 6, ha > 6 6, ha < 0 f () =, ha = 0 4 +, ha > 0 (l) (m) +, ha [0, ] f () =, egyébkét 3 5, ha f () =, ha = (p) 3 +, ha < f () = 5, ha = + 5, ha > 7. Hogya válasszuk meg az α és β számokat, hogy az alábbi függvéyek folytoosak legyeek? f () = f () = 6 + 4, ha < α + β, ha 3 + 3, ha > 3 α + 4, ha < 6, ha = + β, ha > α α, ha > 3 f () = 4, ha 3 α β, ha f () = + 3α + β, ha < < 4, ha >, ha < f () = α 4, ha α, ha < 3 f () = 5, egyébkét α, ha 0 < f () = 3, egyébkét 8
5 3 0, ha f () = α, ha =, ha < 3 f () = α, egyébkét, ha < f () = α, egyébkét 8. Az alábbi függvéyek icseek értelmezve mide R potba. Hogya válasszuk meg ezeket a függvéyértéket, hogy az f : R R függvéy mide potba folytoos legye? f () = f () = 9 3 f () = + 3 0 f () = 3 f () = 6 3 4 f () = + 3 + f () = 7 + 3 4 ( π ) f () = si (l) (m) () (o) (p) (q) (r) f () = cos() f () = 0 f () = si() f () = 5 cos() 4 π f () = 0 f () = 4 f () = ( + ) f () = ( + ) ( π ) f () = si f () = si() (s) (t) f () = f () = l( + ) l( ) 9. Legyeek b, c R adottak. Határozzuk meg az összes olya a valós számot, melyre az f függvéy folytoos, ha 9
si(), f () = a + b, ha c ha > c cos(), ha c f () = a + b, ha > c 0. Igazoljuk, hogy az 3 + = 0 egyeletek va gyöke a [0, ] itervallumba.. Mutassuk meg, hogy az 3 + 5 = 0 egyeleteek va három gyöke a [ 4, 4] itervallumba.. Igazoljuk, hogy az alábbi egyeletek midegyikéek va legalább egy megoldása a valós számok körébe. cos() = + si() = π 3. Mutassuk meg, hogy mide páratla fokszámú valós poliomak va legalább egy valós gyöke. 4. Legye N és a 0, a,..., a R olyaok, hogy a 0 a < 0. Mutassuk meg, hogy ekkor a poliomak va legalább egy valós gyöke. P() = a + a + + a + a 0 ( R) 5. Legyeek a, b R tetszőlegesek, de rögzítettek és defiiáljuk az f : R R függvéyt az f () = ( a) ( b) + ( R) módo. Mutassuk meg, hogy ekkor va olya ξ R, melyre f (ξ) = a + b 6. Legye f () = 4 0 + ( R). Mutassuk meg, hogy létezik olya ξ R, melyre f (ξ) = η teljesül, ha teljesül. η = π η = 3 η = 5000000 7. Legye f () = tg(). Tudjuk, hogy ( ( ) π 3π tg = és tg =. 4) 4 Eek elleére em létezik olya [ π 4, ] 3π 4, melyre f () = 0 teljesüle. Miért em mod ez ellet a Bolzao-tételek? 8. Legye f : [0, ] [0, ] egy folytoos függvéy. Mutassuk meg, hogy va olya ξ [0, ], melyre f (ξ) = ξ teljesül. Igaz-e az állítás, ha az f függvéyről em tesszük fel, hogy folytoos? Mit tuduk modai akkor, ha f : [0, ] R, azaz, ha em tudjuk, hogy az f függvéy a [0, ] itervallumba képez? Érvéybe marad-e az állítás, ha f : ]0, + [ ]0, + [? 30
3.3. Valós függvéyek határértéke. Legye D R, f, g : D R, 0 R a D halmaz torlódási potja. Igazoljuk, hogy ha az f függvéyek létezik az 0 potba a határértéke, a g függvéyek pedig em, akkor az ( f + g) függvéyek sem létezik a határértéke az 0 potba; ha 0 f () = 0, és az 0 potak va olya köryezete, melye a g függvéy korlátos, akkor az f g függvéyek létezik 0 -ba a határértéke és 0 f ()g() = 0; ha az f függvéyek létezik az 0 potba a határértéke és 0 f () 0, a g függvéyek pedig em létezik 0 -ba a határértéke, akkor az f g függvéyek em létezik az 0 potba a határértéke.. Az f függvéy gráfja a következő ábrá látható. 00 00 00 3 Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e az alábbi határértékek. f () f () f () 3 3. Az f függvéy gráfja a következő ábrá látható. 00 00 00 0 Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e az alábbi határértékek. f () f () f () 0 4. Az f függvéy gráfja a következő ábrá látható. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igazakat. f () létezik 0 f () = 0 0 3
0 00 00 0 00 00 00 00 0 00 00 0 f () = 0 f () = f () = 0 0 f () létezik mide 0 ], [ eseté 5. Az f függvéy gráfja a következő ábrá látható. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igazakat. 00 00 0 00 0 0 00 0 00 000 00 00 00 00 00 00 00 0 00 00 00 00 00 00 3 f () létezik f () = 0 0 f () = 0 3 f () = 0 f () = 0 0 f () létezik mide 0 ], [ eseté 0 f ()létezik mide 0 ], 3[ eseté 6. Legye 0 R és f, g: R R olya függvéyek, melyekre Számítsuk ki az alábbi határértékeket. f () = 5 és g() =. 0 0 f () g() 0 ( f () + 3g()) 0 3
f () g() 0 0 f () f () g(). 7. Legyeek f, g: R R olya függvéyek, melyekre Számítsuk ki az alábbi határértékeket. 4 f () = 0 és g() = 3. 4 (g() + 3) 4 f () 4 4 g () 4 g() f (). 8. Legyeek f, g: R R olya függvéyek, melyekre Számítsuk ki az alábbi határértékeket. 0 f () = és g() =. 0 g() 0 ( f () + g()) 0 f () g() 0 0 f () + f () 0 0 f () cos(). 9. Legye 0 R és f, g: R R olya függvéyek, melyekre Számítsuk ki az alábbi határértékeket. f () = 7 és g() = 3. 0 0 ( f () + g()) 0 4g() 0 f () g() 0 0 f () g(). 0. A határérték defiíciójáak felhaszálásával igazoljuk az alábbiakat. 3 = 3 (3 5) = 7 4 33
9 3 3 + = 4 [ ] = 0. Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e az alábbi határértékek. α 0 (α > 0 adott) ( α) ( ) si 0 0. Mutassuk meg, hogy a χ Q () = {, ha Q 0, ha Q módo értelmezett χ Q : R R ú. Dirichlet-függvéyek egyetle potba sem létezik a határértéke. 3. Számítsuk ki az alábbi függvéyhatárértékeket. + + 3 + 77 5 4 3 + 3 + 8 0 + 9 + 30 48 3 5 + 0 4 3 + 8 7 + 6 + 4 + 78 3 43 + 45 + 7 + 0 + 3 5 + 8 3 + 96 4 + 7 3 + + 6 5 49 + 3 + 7 8 38 7 + 4 5 6 3 + 5 0 + 3 9 8 8 + 56 ( )( )( 3)( 4)( 5) + (5 ) 5 34
4. Határozzuk meg a következő határértékeket. ( 3) 0 (3 + ) 30 + ( + ) 50 ( + )( + ) ( + ) + (() + ) (+) ( N adott) 3 + + + 8 + 7 + 0 + 6 8 + 5 5 6 + 5 4 + 3 3 + 3 0 0 4 + 4 3 + 5 4 4 + 4 3 + 5 4 + 5 + 4 + 3 5. Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e az alábbi határértékek. + 0 + + + + 0 + + 3 + 0 + 3 + 3 + 6 + 3 + 0 + + 0 + + + + + + + 3 + 4 + 6. Számítsuk ki az alábbi függvéyhatárértékeket. ( + ) 3+0 + ( + ) +5 + ( ) +5 + ( + ) 5 + 35
( + + ) + + ( ) +3 + + + ( ) + + ( + ) +4 + + 3 7. Legyeek α, β R, β > 0, igazoljuk, hogy α α α = α β β β = β 8. Számítsuk ki az alábbi határértékeket. 0 α α 4 α 4 ( + h) h 0 h ( + h) 0 h 0 + ( + ) 3 8 0 9. Számítsuk ki a következő határértékeket. 0 + 0. Határozzuk meg a következő függvéyhatárértékeket. si() 0 si() si() + si(α) 0 β si(α) 0 si(β) 0 π ( ) si 0 ( ) si + cos() 0 + ( N adott) tg() + + tg() si() 36
(l) (m) () (o) tg() si() 0 si 3 () si( + ) + si( ) si ( cos()) 0 si(si()) 0 (p) (q) (r) (s) si( 4) 0 si() si( ) si( + ) 0 si ( ) 3 9 9. Legyeek α, β > 0 adott valós számok, határozzuk meg a következő függvéyhatárértékeket. α β 0 α + β 0 α α α α. Határozzuk meg az f : R R függvéy 0 R potbeli határértékét, ha tudjuk, hogy 0+ 3 4 f () = 0 = 0+ 3 + = + 0 = f () 5 = 0 0 = 0 f () 4 f () = 0 0 = 0 0 ( ) t f () = 0 = 0 t 4 0 3. Legye f : [, ] R egy olya függvéy, melyre mide [, ] eseté 5 f () 5 teljesül. Mutassuk meg, hogy ekkor létezik a 0 f () határérték és számítsuk ki az értékét. 4. Legye f : [, ] R egy olya függvéy, melyre mide [, ] eseté f () 4 teljesül. Melyek azok az 0 [, ] potok, melyekbe a fetiek alapjá a 0 f () határérték létezhet? Számítsuk ki ezeket a határértékeket. 37
5. Legyeek a, b, c R, a 0. Vizsgáljuk meg, hogy mi törtéik az a + b + c = 0 másodfokú egyelet gyökeivel, ha rögzített b és c paraméterek eseté a-val ullához tartuk. 6. Határozzuk meg az α, β valós számokat, ha tudjuk, hogy ( ) α + β 3 + + = 0 + teljesül. 7. Az f függvéy gráfja az alábbi ábrá látható. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igazakat. 0 000 000 00 0 00 00 0 00 00 0 00 00 00 3 + f () = f () em létezik f () = f () = f () = 0 f () = 0+ f () f () em létezik 0 f () létezik mide 0 ], [ eseté 0 f () létezik mide 0 ], 3[ eseté 3+ f () em létezik f () = (l) f () em létezik. 38
4. fejezet Valós függvéyek differeciálszámítása Elméleti áttekités 4.. Defiíció. Legye ]a, b[ R valódi itervallum, és f :]a, b[ R egy valós függvéy, akkor a ϕ (, 0 ) = f () f ( 0) 0 ( 0,, 0 ]a, b[) módo defiiált függvéyt az f függvéy, 0 potokhoz tartozó differeciaháyados függvéyéek evezzük. 4.. Megjegyzés (A differeciaháyados függvéy geometriai iterpretációja). Az f függvéy, 0 potokhoz tartozó ϕ (, 0 ) differeciaháyados függvéye éppe az f függvéy görbéjéek (, f ()) és ( 0, f ( 0 ))) potjaihoz tartozó szelő meredeksége. 4.. Defiíció. Legye D R emüres, yílt halmaz, 0 D Azt modjuk, hogy az f : D R függvéy az 0 D potba differeciálható, ha létezik és véges az alábbi határérték f ( 0 ) = 0 f () f ( 0 ) 0. 4.. Megjegyzés (A differeciálháyados geometriai iterpretációja). f ( 0 ) éppe az f függvéy görbéjéhez az ( 0, f ( 0 )) potba húzott éritő meredeksége. 4.3. Defiíció. Legye ]a, b[ R valódi itervallum, ha az f :]a, b[ R függvéy differeciálható az 0 ]a, b[ potba, akkor az y = f ( 0 ) ( 0 ) + f ( 0 ) egyeletű egyeest az f függvéy görbéje ( 0, f ( 0 ))-beli éritőjéek evezzük. 4.. Példa. Legye c R egy rögzített kostas és f : R R, f () = c. Ekkor mide 0 R eseté Tehát f () = 0 ( R). f () f ( 0 ) = 0 0 0 c c 0 = 0 0 = 0. 4.. Példa. Tekitsük az f : R R, f () = függvéyt, ekkor tetszőleges 0 R eseté azaz f () = ( R). f () f ( 0 ) 0 = = =, 0 0 0 0 0 4.. Tétel (Differeciálhatóság folytoosság). Legye D R emüres, yílt halmaz, 0 D Ha a f : R függvéy differeciálható az 0 D potba, akkor f folytoos is az 0 potba. 39
4.3. Megjegyzés (Folytoosság differeciálhatóság). Az előző tétel megfordítása em igaz, ugyais az f () = függvéy folytoos a 0 potba, de ott em differeciálható, hisze em létezik a határérték. 0 0 0 = 0 4.. Tétel (Differeciálhatóság és műveletek). Legye D R emüres, yílt halmaz és 0 D. Ha az f, g: D R függvéyek differeciálhatóak az 0 D potba, akkor az f + g, λ f (λ R tetszőleges kostas), f g, és ha g() 0 teljesül az 0 pot valamely köryezetébe, akkor az f /g függvéy is differeciálható az 0 potba, továbbá (ii) (iii) (iv) ( f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ) ; (λ f ) ( 0 ) = λ f ( 0 ) ; ( f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 0 ) + f ( 0 ) g ( 0 ) ; ( ) f ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) g g ; ( 0 ) 4.3. Tétel (Az összetett függvéy differeciálhatósága). Legye D R emüres, yílt halmaz, 0 D és g: D R és f : g (D) R olya függvéyek, hogy g differeciálható az 0 potba, f pedig differeciálható a g( 0 ) potba. Ekkor az f g függvéy differeciálható az 0 potba, továbbá ( f g) ( 0 ) = f (g ( 0 )) g ( 0 ). 4.4. Tétel (Az iverz függvéy differeciálhatósága). Legye ]a, b[ R valódi itervallum, ha az f :]a, b[ R függvéy szigorúa mooto, folytoos ]a, b[-, és létezik f ( 0 ) és az em ulla, akkor az f függvéy differeciálható az f ( 0 ) potba és ( ) f ( f (0 )) = f ( 0 ), azaz ( f ) (y0 ) = Néháy elemi függvéy differeciálháyadosfüggvéye f ( f (y 0 ) ). [c] = 0 si () = cos() µ = µ µ (µ R rögzített) cos () = si() [ a ] = a l (a > 0 rögzített) tg () = cos () l () = ctg () = si () 40
sih () = cosh() (m) arcsi () = cosh () = sih() () arccos () = (l) tah () = cosh () coth () = sih () (o) (p) arctg () = + arcctg () = + 4.. Valós függvéyek differeciálszámítása. A differeciálháyados defiíciójából kiidulva határozzuk meg az alábbi függvéyek differeciálháyadosfüggvéyeit. 3 3. Számítsuk ki az f (), f () és f (3) értékeket, ha f () = ( )( ) ( 3) 3 ( R). 3. Számítsuk ki az f (0) értéket, ha f () = ( )( ) ( 000) ( R) 4. Legye milye 0 R értékekre teljesül, hogy f () = 3 3 + ( R), f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = f ( 0 ) = 0. 5. Legye f () = 3 3 + ( R). Határozzuk meg az f függvéy gráfjá azokat a potokat, melyekhez húzott éritő meredeksége 0 5 6. Határozzuk meg az f () = + si() ( R) módo megadott f függvéy gráfjá azokat a potokat, melyekhez húzott éritő meredeksége ulla. 4
7. Legye c R adott. Határozzuk meg az a, b R kostasokat úgy, hogy az f függvéy differeciálható legye a c potba, határozzuk meg az f értéket is, ha si(), f () = a + b,, f () = a + b, f () =, a + b, ha c ha > c ha c ha > c ha c ha > c 8. Határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. 4 3 6 4 3 + + + 3 3 7 5 + 8 4 3 4 6 4 9 + 4 4 + 0, 96 9. Határozzuk meg az alábbi függvéyek differeciálháyados függvéyeit. 3 3 34 + 35 6 + 47 5 4 3 7 3 3 4 4 + 9 3 6 + 4 4 7 7 3 + 3 + 3 + m m 5 7 3 8 3 p p q + + + 3 5 5 + 30 5 + 6 3 6 5 8 6 5 7 + 33 3 0 0. A szorzat differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. 4
( ) ( )( )( 3) (4 + )( + 3 + 5) (a )( + 5 + 6) ( ) ( 3 + 4 + 5 ) ( + 0)( + + 3) (l) (m) () ( ) ( + + ) + 00 00 (a + b)(c + d) 3 ( 7 3 6 + 6 ) 3 e ( + + ) l() ( 4 ) (si() + sih() ) (o) (p) 3 3 5 + 8 + 7 6 5 7 e ( 3 3 + 6 6 ) l()(e ) 0 (q) (r) e a (a si() cos()) e a (a cos() + si()). A háyados differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. + + 3 + 5 + a a + (l) (m) () a a + 5 + 3 + 5 3 + e + l() e e e l() (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) e l() + l() e 4 e + e a e + a 4 4 + + si() sih() si() + sih() cos() + cosh() 43
(v) + 3 + 3 (w) 0 + e + π l() + + 00 () a b + c. Az összetett függvéy differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. ( + ) (3 3 + 7) 7 (s) 3 +000 ( + ) 5 ( + 5) 8 ( 9 3) 6 0( 3 5) 3 ( + ) 3 ( ) 8 ( 4 + ) 6 3 3 + 3 (l) e 4 (m) () (o) (p) (q) e e e e + e 4 l() e a (t) (u) (v) (w) () (y) 3 e l( 3 + ) l(4) l(4 + ) l( 3 ) l( 6 + 3 4 + ) + (r) (e e ) (z) (l()) 3. Az összetett függvéy differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. l(5 7) si ( 6 3 + ) l( e ) cos ( 4 + ) l(3 + ) l(3 ) sih(5) si ( 3 + 0 9 ) 4 sih ( 3 + e ) + 5 cosh ( ) cosh( + + 00) ( ) + tg + + (l) (m) cosh ( 6 + ) tah (5 ) tg (si(5)) () sih( 3 3 4) 44
(o) (p) (q) (r) sih (cos()) si()sih() + coth()tg() + + 4 (s) (t) (u) si () cos() ( ( tg ctg ) ) ( ) 3 3 + 3 4. Az összetett függvéy differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. ) 4 (6 5 5 3 (3 ) (m) () (a + ) a a 4 + a 4a 4 a 4 ( 3 ) 3 3(4 3) 4 4 3 3 3 4 + 3 + 3 4 (3 + 4 3 ) 3 ( 4 5 (a + ) 4 + 3 ) 3 3 (a + ) (o) ( ) + + + (p) ( 3 7 + ) 5 (3 5 ) 5 (q) (r) (s) (t) a 3 + 8 5 + 3 7 5 + (a + a + )(a ) (5 + 3) 6 5 (u) (7 6 ) ( 7 3 + 6 ) 6 (l) (3 + 5a a 3 ) a + 3 7 6 5 (v) ( 3 3 + 8 ) 7 7 9 (w) 8 4 7 9 45
5. Az összetett függvéy differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. 6(5 ) (5 3 + ) + + + a + + + + + (4 3 5) 3 3 (5 + ) 0 ( ) 9 3 4 7 (3 4 + 5 6 ) 5 6. Az összetett függvéy differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. ( ) l ( ) l + + l + + + l ( ) + ( ) l + + l (6 3 ) ( 3 4) 3( l() ) 7. Az összetett függvéy differeciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következő függvéyek differeciálháyados függvéyeit. tg() tg(3 ) 3 ( cos( 3 ) + ) si ( 3) 3 tg 4 () 4 tg () l (cos()) si () cos 6 () (3 cos(4) 7) ctg() si 3 () si () a + b cos () 8. Határozzuk meg az alábbi függvéyek tizedik deriváltját. 46
a + b (m) a 3 3 3 a b a b ( a + b ) 0 () (o) (p) e 0 l(a + b) l(a + b ) (a + b) 0 a ± b (l) e a+b e a +b (q) (r) si(a) cos 0 () 9. A következőekbe jelöljö f egy differeciálható valós függvéyt. Határozzuk meg a ϕ függvéy differeciaháyados függvéyét, ha 0. Határozzuk meg az f f függvéyt, ha ϕ() = f ( ) ( R) ϕ() = f (si ()) + f (cos ()) ( R) ϕ() = f (e ) + e f () ( R) ϕ() = f ( f ()) ( R) f () = f () = + ( ) + + f () = ( ) α ( ) α ( ) α. Legye N és tekitsük az ( ) si, ha 0 f () = 0, ha = 0 módo megadott f : R R függvéyt. Mely esetbe lesz az f függvéy folytoos az = 0 potba? differeciálható az = 0 potba? folytoosa differeciálható az = 0 potba? 47
. Vizsgáljuk meg, hogy mely potokba differeciálhatóak az alábbi függvéyek. f () = [] si(π) ( R) ( π ) f () = cos, ha 0 0, ha = 0 f () = si( ) f () = + e f () = ( R) ( [ π, π] ) ( R) e ( R) f () = l ( ) ( R \ {0}) 3. Legyeek c, m R adottak. Hogya határozzuk meg az α, β valós számokat úgy, hogy az m f () =, ha > c α + β, ha c módo értelmezett f : R R függvéy differeciálható legye? 4. Milye összefüggések kell ahhoz feália az a, b, c együtthatók között, hogy az egyeletű parabola éritse az -tegelyt. f () = a + b + c ( R) 5. Defiiáljuk az f : [0, ] R függvéyt az módo. Mutassuk meg, hogy, ha 0 < f () = 0, ha = f (0) = f () = 0 f differeciálható a ]0, [ itervallumo mide ]0, [ eseté f () 0 miért em mod ellet a Rolle-féle középértéktételek? 6. Határozzuk meg az α, β, γ valós kostasokat úgy, hogy az 3, ha = 0 f () = + 3 + α, ha ]0, [ β + γ, ha [, ] módo megadott f : [0, ] R függvéyre teljesüljeek a Lagrage-féle középértéktétel feltételei. 7. Az alábbiakba megadtuk éháy [a, b] R itervallumot, ezeke értelmezett f, g: [a, b] R függvéyeket. Határozzuk meg azokat a ξ ]a, b[ potokat, melyekkel feáll a Cauchy-féle középértéktétel. 48
f () = g() = [a, b] = [, 0] f () = g() = 3 [a, b] R tetszőleges f () = 3 3 4 g() = [a, b] = [0, 3] f () = cos() g() = si() [a, b] = [0, π] 4.. Teljes függvéyvizsgálat 8. Vizsgáljuk meg mootoitás szempotjából az alábbi függvéyeket. + + si() l( ) 3 3 + + α e 9. Legyeek f () = + a g() = d b (d ) ( R) illetve h() = ahol a, b, d R, c, c > 0 adottak. Mutassuk meg, hogy f szigorúa mooto övekedő g szigorúa mooto csökkeő h szigorúa mooto övekedő. c + a d ( R), c b (d ) 30. Legye f () = 3 + 4 cos() + cos() ( R). Melyek azok az R potok, melyekre f () < 0 teljesül? Az részbe miért elegedő a [0, π] itervallumra szorítkozi? 3. Vizsgáljuk meg a következő függvéyeket koveitás szempotjából. 3 3 4 4 3 + 60 + 7 + + e l( + ) 3. Alább éháy függvéy gráfja látható. Midegyik esetébe dötsük el az alábbiakat. 49
00 00 00 0 00 00 00 00 00 0 0 0 0 00 00 0 00 00 0 00 00 0 00 00 00 00 00 00 00 00 Felveszi-e az f függvéy a miimumát az [a, b] itevallumo? Felveszi-e az f függvéy a maimumát az [a, b] itevallumo? Létezik-e az f függvéyek lokális miimumhelye az ]a, b[ itervallumo? Létezik-e az f függvéyek lokális maimumhelye az ]a, b[ itervallumo? a b a b a b a b a b a b 33. Az alább megadott f függvéyek midegyike felveszi a maimumát és a miimumát is a megadott itervallumoko. Határozzuk meg, hogy az f függvéyek hol vaak szélsőértékhelyei és határozzuk meg a szélsőértékeket is. f () = 3 5 ( [, 3]) f () = 4 ( [ 4, ]) f () = 4 ( [ 3, ]) f () = ( [, ]) f () = ( [, 3]) f () = 5 ( [4, 7]) f () = + + 3 ( [ 5, 5]) f () = ( [/, ]) f () = 5 ( [, 7]) f () = 3 ( [, 8]) (l) f () = + 3 ( R) f () = 4 ( [, ]) (m) f () = + + + 3 ( R) 34. Az alábbi esetekbe meg va adva az f függvéy differeciálháyados függvéye. Ez alapjá határozzuk meg az f függvéy stacioárius potjait, majd osztályozzuk azokat. f () = ( ) f () = ( )( + )( 3) f () = ( ) ( + ) f () = ( 7)( + )( + 5) 50
f () = + 3 f () = ( )( + ) f () = ( ) ( + ) f () = 3 35. Határozzuk meg, hogy a következő függvéyekek mely potokba va szélsőértékhelyük. + ( ) ( ) 3 ( + 0) 0 e ( ) 3 + (l) e 3 9 + + (m) e ( ) α 3 ( ) () l() 4 α ( ) β (o) e si() 36. Vizsgáljuk meg, hogy a következő függvéyekek mely potokba va szélsőértékhelyük. 3 6 + 9 4 + 3 + + + (l) (m) () 3 + 4 + ( + 3) 3 ( + ) a( b) 4 ( )( ) 3 (o) 3 + + l () cos() + cos() 0 + si () arctg() l( + ) e (p) (q) (r) (s) (t) (u) ( a) 4 ( b) 5 l() si () si m (a ) si () cos m (a ) e si( a) cos() + cos() + cos(3) 5
37. Vizsgáljuk meg az alábbi függvéyeket mootoitás szempotjából és határozzuk meg a stacioárius potjaikat is, illetve osztályozzuk azokat. f () = 3 + 3 f () = 8 f () = 3 + f () = 3 4 3 f () = 3 3 + 6 f () = 3 + 9 + 5 f () = 3 8 f () = 6 3 f () = ( + 7) 3 f () = 4 8 + 6 f () = 34 6 (l) (m) () (o) (p) (q) (r) (s) f () = + 8 3 f () = 4 3 f () = 4 4 3 + 4 f () = 5 3 5 f () = 5 f () = 3 3 + f () = 3 ( + 5) f () = 3 ( 4) 38. Legye f () = 3 + α + β + γ ( R). Hogya válasszuk meg az α, β, γ valós kostasokat úgy, hogy az f függvéyek az = pot ifleiós potja legye? 39. Az alábbi feladatokba meg va adva az f függvéy differeciálháyados függvéye. Ez alapjá határozzuk meg f -at és vizsgáljuk meg az f függvéyt koveitás szempotjából. f () = + f () = ( )( 5) f () = ( 3) f () = ( ) f () = (8 5 )(4 ) f () = 6 f () = ( ) f () = ( ) ( + 3) 5 (l) f () = cos() f () = si() f () = 3 ( + ) f () = 3
40. Végezzük teljes függvéyvizsgálatot a következő függvéyeke. 8 4 + 4 30 800 + 9000 3 + 5 3 + 5 + 6 (l) 4 + 3 3 + 6 + 9 (m) + 3 + 3 + 6 8 () (o) + 6 + 4 4 + 9 + + (p) 3 3 + 3 + 4. Végezzük teljes függvéyvizsgálatot a következő függvéyeke. + + + + e e + e + + e (l) (m) () (o) (p) ( + )e l() 3 + si () si( ) si ( ) si() si ( ) 4. Hajtsuk végre egy teljes függvéyvizsgálatot az alábbi függvéyeke. 53
+ arctg() + e ( 3) si() + si(3) 3 tg() 4 + 3 ( ) ( + ) e si() si(3) 43. Egy felül yitott, égyzet alapú doboz készítéséhez m területű lemezt haszálhatuk fel. Hogya válasszuk meg a doboz méreteit, hogy a térfogata a legagyobb legye és mekkora ez a legagyobb térfogat? 44. Egy felül yitott, heger alakú, 0, 5 literes mérőedéyt szereték készítei. Hogya válasszuk meg az edéy alapjáak a sugarát és a magasságát, hogy miél kevesebb lemezt haszáljuk fel és meyi lesz a feljhaszált lemezmeyiség? 45. Egy tűzfal mellett 600m -es téglalap alakú területet akaruk elkerítei. Csak három oldalo kell kerítést készíteük, mert a egyedik oldal a tűzfal. Hogya válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a kerítés hossza a lehető legkisebb legye és meyi ez a miimális hossz? 46. A ferde hajítás távolságát megadó képlet s = v 0 si (α), g ahol v 0 az elhajított test kezdősebessége, α a kezdősebesség iráyáak a vízszitessel bezárt szöge (0 < α < π ), g pedig a ehézség gyorsulás (lásd a 4.. ábrát). Milye α érték mellet lesz legagyobb a hajítás távolsága és mekkora ez a maimális távolság? v 0 α 4.. ábra. Ferde hajítás 47. Egy csaroa keresztmetszete a 4.. ábrá látható. A keresztmetszet m kell, hogy legye. Hogya válasszuk meg a csatora r és h méretét, hogy a kerület a lehető legkisebb legye? Mekkora lesz a miimális kerület? 48. Valamely meyiséget -szer megmérük. Legyeek a mérési eredméyek,...,. A meyiség valósi értéke legjobb becsléséek azt az számot tekitjük, amelytől a mérési eredméyek eltéréséek a égyzetösszege a legkisebb. Más szóval, bevezetve az A = ( ) + + ( ) jelölést, keressük azt az értéket, amelyre A miimális. 54