Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november
Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei.................. 7.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek................................. 7... Alapintegrálok.......................... 7... Alapintegrálokra vezető típusok................. 8... Integrálás ügyesen.........................4. Parciális integrálás..........................5. Integrálás helyettesítéssel.......................6. Racionális függvények integrálása..................7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések........................... 7. A határozott integrál........................... 9.. A határozott integrál tulajdonságai és kiszámítása........... 9.. A határozott integrál alkalmazásai.................... 9 II. Megoldások. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 5.. A definíciók egyszerű következményei.................. 5.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek...... 6... Alapintegrálok.......................... 6... Alapintegrálokra vezető típusok................. 7... Integrálás ügyesen....................... 0..4. Parciális integrálás..........................5. Integrálás helyettesítéssel..................... 4..6. Racionális függvények integrálása................ 5..7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések........................... 9
Tartalomjegyzék. A határozott integrál........................... 44.. A határozott integrál tulajdonságai és kiszámítása........... 44
4 Tartalomjegyzék
I. rész Feladatok 5
. A határozatlan integrál(primitív függvények 7. A határozatlan integrál (primitív függvények.. A definíciók egyszerű következményei F. Határozza meg az alábbi függvények összes primitív függvényét: (a f( : ( (0, + ; (b f( : ( (, 0 ; (c f( : ( (0, π ; (d f( : sin + ( R. F. Határozza meg az f : I R függvény 0 I pontban eltűnő primitív függvényét, ha (a f( : cos ( R, 0 : π 4 ; (b f( : ( R +, 0 : 8. F. Keresse meg azt a f függvényt, amelyre (a f ( ( R+, f(4 ; (b f ( ( >, f(0 ; + (c f ( ( R, f(0, f (0 ; (d f ( ( R +, f( 0, f ( 0; (e f ( e + 5 sin ( R, f(0, f (0 ; (f f ( sin, ( R, f(0, f (0, f (0... Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek... Alapintegrálok F4. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon:
8. A határozatlan integrál(primitív függvények (6 (a 8 + d, I : R; (c d, I : R + ; ( (b + d, I : R + ; (d ( + d, I : R + ; (e ( + 5 d, I : (,. f f... Alapintegrálokra vezető típusok alakú integrálok F5. Mutassa meg, hogy ha f : I R pozitív és differenciálható az I intervallumon, akkor f ( f( d ln f( + c ( I. F6. Az előző feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a d, I : R; + (b d, I : R; 6 + 7 (c tg d, I : ( π, π ; (d d (e, I : (0, ; ln (f f α f alakú integrálok e d, I : R; e + 5 d, I : (, + ; ln F7. Tegyük fel, hogy az f : I R függvény pozitív és differenciálható az I intervallumon és α valós szám. Mutassa meg, hogy f α (f ( d f α+ ( α + + c ( I.
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozómódszerek 9 F8. Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a ( +4 004 d, I : R; (b 6 + 4 d, I : R + ; (c e ( e d, I : R; (d sin cos d, I : R; ln 5 arsh (e d, I : R+ ; (f + d, I : R+ ; 4 + 7 (g ( + 7 + 5 d, I : ( 5, + ; 5 (h 4 cos (tg d, I : ( 0, π ; f(a + b d alakú integrálok F9. Legyen I R egy intervallum és F : I R a f : I R függvénynek egy primitív függvénye. Mutassa meg, hogy ekkor bármely a R \ {0}, b R esetén F (a + b f(a + b d + c ( I. a F0. Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: (a ( 0 d ( > ; (b d ( < ; (c d ( R; (d + d ( > ; (e d ( < ; (f d ( >. F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: d d (a ( R; (b + + + 6 d (c ( R; + + 0 ( R;
0. A határozatlan integrál(primitív függvények (d d ( 5 < < + 5. 4 + f ( g( g ( d alakú integrálok F. Az első helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i a g : I R függvény deriválható az I intervallumon, (ii J R egy intervallum és R g J, (iii az f : J R függvénynek létezik primitív függvénye. Ekkor az f g g függvénynek is létezik primitív függvénye és f ( g( g ( d F ( g( + c ( J, ahol F a f egy primitív függvénye. (Gondolja meg, hogy ez az állítás speciális esetként tartalmazza az F5., F7. és F9. feladatok eredményeit! F. Az előző feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: sh (a sin d, I : R; (b d, I : R + ; (c (6 + sin( + d, I : R; (d (e (f ( + ln d, I : R+ ; cos + tg d, I : ( π, π ; e tg cos d, I : ( π, π.
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozómódszerek... Integrálás ügyesen F4. Az integrandus alkalmas átalakítása után számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott I intervallumokon: + (a d, I : R; (b d, I : (, + ; + (c d, I : R; (d + 4 + d, I : R; 4 (e tg d, I : ( π, π ; (f tg d, I : ( π, π ; (g sin d, I : R; (h cos d, I : R; (i sin cos 7 d, I : R; (j cos cos d, I : R; (k d, I : (0, π; (l sin cos d, I : ( π, π...4. Parciális integrálás F5. Parciális integrálás: Tegyük fel, hogy az f és a g függvények deriválhatók az I intervallumon és f g-nek van primitív függvénye. Ekkor az fg függvénynek is van primitív függvénye az I intervallumon és f(g ( d f(g( f (g( d ( I. F6. A parciális integrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott I intervallumokon: (a e d, I : R; (b sin d, I : R; (c e sin d, I : R; (d e ch d, I : R; (e cos( + e + d, I : R;
. A határozatlan integrál(primitív függvények (f ln d, I : R + ; (g arctg d, I : R; (h ln d, I : R + ; (i 5 e d, I : R; (j ln d, I : R + ; (k arcsin d, I : (, ; (l cos ln(sin d, I : (0, π...5. Integrálás helyettesítéssel F7. A második helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i I és J R-beli intervallumok, (ii g : I J egy bijekció (tehát g-nek van inverze és g D(I, (iii f : J R és az (f g g függvénynek létezik primitív függvénye az I intervallumon. Ekkor az f függvénynek is létezik primitív függvénye a J intervallumon és f( d f ( g(t g (t dt tg ( ( J. (Ilyenkor azt mondjuk, hogy az g(t helyettesítést alkalmazzuk. F8. Állítsa elő helyettesítéses integrálással a következő határozatlan integrálokat: (a d ( (, ; (b + d ( R; (c d ( > ; (d + d ( R...6. Racionális függvények integrálása Racionális függvénynek nevezzük két polinom hányadosát, azaz az R( : P ( Q( alakú függvényeket, ahol P és Q polinomok.
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozómódszerek A három alaptípus integrálása Először azt jegyezzék meg, hogy az alábbi három típusú racionális függvény primitív függvényét hogyan lehet meghatározni.. alaptípus: ( α n d ( (α, +, ahol α R és n N adott számok. Ez egy alapintegrál: ( α n d { ln( α + c, ha n ( α n+ + c, n+ ha n,,.... alaptípus: a + b a + b + c d ( I, ahol I egy olyan intervallum, amelyen a + b + c > 0, azaz a számlálóban a nevező deriváltja szerepel; az integrandus tehát f f Ennek is tudjuk már a primitív függvényét: a + b a + b + c d ln(a + b + c + C ( I. alakú.. alaptípus: A + B a + b + c d, ahol b 4ac < 0 és R. (A nevezőben levő másodfokú polinomnak nincs valós gyöke, ezért az integrandus az egész R-en értelmezve van. A számláló tehát egy tetszőleges elsőfokú polinom, a nevező pedig olyan másodfokú polinom, aminek nincs valós gyöke. Ez már nehezebb (!!!. A mindig alkalmazható eljárást a (d feladatban mutatjuk be. F9. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: (a d, > ; (b d, < ;
4. A határozatlan integrál(primitív függvények + + (c d, I : R; (d d, I : R; + + + + + 5 (e d, I : R; (f d, I : R; + + + 5 6 (g d, I : R. + 7 F0. Igazolja, hogy tetszőleges n,,... esetén d ( + n+ n ( + + n n n ( + d. n Határozza meg az f( : Parciális törtekre bontás módszere ( R függvény primitív függvényét. ( + Tetszőleges R( P ( racionális függvény primitív függvényének meghatározását az a fontos észrevétel teszi lehetővé, hogy minden ilyen tört egyszerű alakú Q( törtek (az ún. parciális törtek összegére bontható. Ennek az eljárásnak az egyes lépései a következők:. lépés: A P ( törtet egy polinomnak és egy olyan racionális törtnek az összegeként Q( írjuk fel, amelyben a számláló fokszáma már kisebb, mint a nevező fokszáma: P ( Q( T ( + P ( Q(, ahol T ( és P ( polinomok, de P ( fokszáma kisebb, mint Q( fokszáma. Ezt sok esetben egyszerű átalakításokkal, az általános esetben pedig polinomosztással végezhetjük el. Például: 4 + + + + + + + ; + 5 + 6 + 7 (az + 5 + 6 + 7 ( + 5( + 7 + alapján 7 + + 5 +
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozómódszerek 5. lépés: Itt már feltesszük, hogy a P ( törtben a P ( fokszáma kisebb, mint Q( Q( fokszáma. A nevezőben levő polinomot (ameddig csak tudjuk szorzatra alakítjuk. (Emlékezzenek a korábban megismert technikákra!!! Például: Q( 5 + 4 ( ( 4; Q( ( ( + + ; Q( + 6 + + 8 ( + ; Q( 7 + + 0 ( ( + ( 5; Q( 4 ( ( + ( +. Figyeljük meg, hogy a felbontásban elsőfokú tényezők, illetve olyan másodfokú tényezők szerepelnek, amelyeknek nincsenek valós gyökei. Általában is bizonyítható, hogy minden Q( valós együtthatós polinomot fel lehet írni valós együtthatós első- és másodfokú tényezők szorzataként, ahol a másodfokú tényezőknek már nincsenek valós gyökeik. (Adott Q( polinom esetén egy ilyen felbontás meghatározása nem mindig egyszerű feladat!!!. lépés: a parciális törtekre bontás. A nevezőtől függően keressük az egyszerű alakú törteket mégpedig határozatlan együtthatókkal. Például: ( ( 4 A + A 4 ; + ( ( + + A + B + C + + ; 4 8 ( ( + A + A ( + B + C + B + C + ( +. Itt vegyék észre, hogy az elsőfokú tényezők esetén a számlálóban egy állandót, a másodfokú tényezők esetén pedig a számlálóban egy elsőfokú polinomot kell venni. Általában: Ha a nevezőben szereplő Q( polinomban az ( r elsőfokú tényező az m-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz A r + A ( r + + A m ( r m
6. A határozatlan integrál(primitív függvények alakú törtek tartoznak. Ha a nevezőben szereplő Q( polinomban a ( + p + q másodfokú tényező (ez tehát már egy olyan polinom, aminek nincs valós gyöke, mert a p 4q diszkriminánsa negatív az n-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz B + C + p + q + B + C ( + p + q + + B n + C n ( + p + q n alakú törtek tartoznak. Az R( P ( racionális tört az ilyen parciális törtek összege. Q( Az A i, B i, C i együtthatók meghatározására egy természetes módszer kínálkozik: a jobb oldalon hozzunk közös nevezőre, majd a számlálót hatványai szerint rendezzük. Az így adódó tört számlálója egyenlő a bal oldalon levő tört számlálójával. Tudjuk már azt, hogy két polinom akkor és csak akkor egyenlő, ha a megfelelő együtthatói megegyeznek. A két oldal számlálójában az együtthatók egyenlőségéből a határozatlan együtthatókra egy egyenletrenszert kapunk. Ennek megoldásai a keresett A i, B i, C i együtthatók. F. Parciális törtekre bontással számítsa ki a következő határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: (a d, I : (, 4; ( ( 4 (b d, I : (, ; (c d, I : (, + ; (d (e (f (g 6 + d, 5 + + d, ( + 4 d, I : R+ ; + d, I : (, + ; I : (, + ; I : (, +.
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozómódszerek 7 R (, n..7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések a+b c+d d alakú integrálok, ahol R(u, v kétváltozós polinomok hányadosa. Ezekben a gyökös kifejezést egy új változóval helyettesítve racionális törtfüggvény integrálására jutunk. Pontosabban: legyen t : n a + b c + d. A g(t helyettesítő függvényt úgy kapjuk meg, hogy ebből az -et kifejezzük, majd a második helyettesítési szabályt alkalmazzuk. F. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi integrálokat racionális függvények integráljára: (a + d ( > 0; (b + d ( > 0; (c d ( > ; (d d ( < 0. R (sin, cos d alakú integrálok, ahol R(u, v kétváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t tg helyettesítést, azaz az arctg t : g(t helyettesítő függvényt alkalmazzuk, és felhasználjuk az alábbi azonosságokat: Mivel sin sin cos sin + cos cos cos sin sin + cos tg + tg tg + tg g (t + t (t R, t + t, t + t.
8. A határozatlan integrál(primitív függvények ezért a g függvény szigorúan monoton növekedő, ezért van inverze és az a t g ( tg ( ( π, π függvény. F. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: (a d (0 < < π; sin (b cos d ( π < < π; (c + sin + cos d ( π < < π; cos (d d ( π < < π; + cos + sin (e d (0 < < π. cos S (e d alakú integrálok, ahol S(u egyváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t e helyettesítést, azaz az ln t : g(t helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g (t > 0, ha t > 0, ezért g szigorúan növekedő, ezért van inverze, és az a t t e g ( ( > 0 függvény. F4. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: 4 (a d ( > ln ; e 4 (b e d ( R; e + e + 4 (c d ( R; e + 4e +
. A határozott integrál 9. A határozott integrál.. A határozott integrál tulajdonságai és kiszámítása F5. A Newton Leibniz-tétel felhasználásával számítsa ki az alábbi határozott integrálokat: (a (c (e (g 5 4 π 0 5 Síkidom terülte 0 d 5 + 4 ; d + ; e sin d; d + + ; e (b sin(ln d; (d d + 4 + 5 ; (f (h e ln 0 ln d; e d... A határozott integrál alkalmazásai Ha a korlátos f : [a, b] R függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon és f( 0 ( [a, b], akkor az f grafikonja alatti síkidom területét így értelmezzük: A : {(, y R a b, 0 y f(} t(a : Ha f 0 az [a, b] intervallumon, akkor a b a f( d. B : {(, y R a b, f( y 0} síkidom területe: t(b : b a f( d.
0. A határozott integrál F6. Határozza meg az R sugarú kör területét. F7. Számolja ki az y egyenletű egyenes és a az y + 6 egyenletű parabola által közrezárt síkidom területét. F8. Határozza meg az y 4 és az y 4 görbék által meghatározott síkidom területét. F9. Határozza meg az y 4 és az y görbék által meghatározott síkidom területét. F0. Számítsa ki az alábbi síkbeli halmazok területét: (a {(, y R 0 4, 0 y 4 }; (b {(, y R e, 0 y ln }. Síkbeli görbe ívhossza Legyen Γ az f : [a, b] R folytonosan differenciálható függvény grafikonja. Ekkor a Γ görbe rektifikálható, és ívhossza: l(γ b F. Számítsa ki az R sugarú kör kerületét. a + [ f (t ] dt. F. Határozza meg az alábbi függvények grafikonjának a hosszát: (a f( (0 4; (b f( ln ( cos (0 π. Forgástest térfogata Legyen f : [a, b] R folytonos függvény és tegyük fel, hogy f 0 az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az -tengely körüli forgatásával adódó H : {(, y, z R a b, y + z f(} forgástest térfogata: V (H : π b a f ( d.
.. A határozott integrál alkalmazásai F. Számítsa ki az R sugarú gömb térfogatát. F4. Határozza meg az f : [a, b] R függvény grafikonjának az -tengely körüli megforgatásával adódó forgástest térfogatát: (a f( : ( [, ]; 4 Forgástest felszíne (b f( : sin ( [0, π]; (c f( : e ( [0, ]. Legyen f : [a, b] R egy folytonosan differenciálható függvény és tegyük fel, hogy f 0 az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az -tengely körüli forgatásával adódó H : {(, y, z R a b, y + z f(} forgásfelület felszíne: F (H : π b a f( + [ f ( ] d. F5. Számítsa ki az R sugarú gömb felszínét. F6. Határozza meg az f : [a, b] R függvény grafikonjának az -tengely körüli megforgatásával adódó forgástest felszínét: (a f( : ( [, 4]; (b f( : ( [0, ].
. A határozott integrál
II. rész Megoldások
. A határozatlan integrál(primitív függvények 5. A határozatlan integrál (primitív függvények.. A definíciók egyszerű következményei M. (a d ln( + c ( (0, + ; (b d ln( + c ( (, 0 ; (c sin d ctg + c; (d d arctg + c. + M. (a cos d sin + c és sin π + c 0 c 4 cos d sin. 4 π (b d + c és 8 + c 0 c 6; d 6. 8 M. (a f ( d f( + c és f(4 4 + c + c c, azaz f(. (b f ( + d f( ln ( + + c és f(0 + ln (0 + + c 0 + c c, azaz f( ln ( + +. (c f ( d f ( + c és f (0 0 + c c és f ( + ( + d f( ;
6. A határozatlan integrál(primitív függvények + + c és f(0 0 6 + 0 + c c és f( +. 6 (d f ( d f ( + c és f ( 0 + c 0 c és f ( + ( + d f( ln + + c és f( 0 ln + + c 0 c és f( ln +. (e f ( e + 5 sin (e + 5 sin d f ( e 5 cos + c és f (0 e 0 5 cos 0 + c c 4 és f ( e 5 cos + 4 (e 5 cos + 4 d f( e 5 sin + 4 + c és f(0 e 0 5 sin 0 + 4 0 + c c és f( e 5 sin + 4. (f f ( sin sin d f ( cos + c és f (0 cos 0 + c 0 c és f ( cos + ( cos d f ( sin + c és f (0 0 sin 0 + c c és f ( sin + ( sin + d f( + cos + + c és f(0 0 + cos 0 + 0 + c c 0 és f( + cos +... Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek... Alapintegrálok (6 M4. (a 8 + d 4 + + c,
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 7 ( (b + d + 4 + c, 4 (c d 7 8 d 5 8 5 + c, 8 ( + (d d + + d 5 + 4 + + c, 5 f f (e (+ 5 d d+5 d +5 arcsin +c.... Alapintegrálokra vezető típusok alakú integrálok M5. Az f függvény egy primitív függvénye ln f, mert ( ln f f. Mivel f f f f intervallumon értelmezett, ezért minden primitív függvénye ln f-től egy konstansban különbözik. M6. (a + d + d ln ( + + c, (b 6 + 7 d 6 6 + 7 d ln( 6 + 7 + c, sin sin (c tg d cos d d ln(cos + c, cos e (d e + 5 d e e + 5 d ln(e + 5 + c, d (e ln d ln( ln + c, ln d (f ln d ln ln( + c. ln f α f alakú integrálok M7. M5-höz hasonlóan. M8. (a ( + 4 004 d 6 6 ( + 4 004 ( + 4 005 + c, 6 005
8. A határozatlan integrál(primitív függvények (b 6 + 4 d 8 (6 + 4 d (6 + 4 + c, 8 8 (c e ( e d, ( e ( e d ( e 4 + c, 4 (d sin cos d sin (cos d sin4 + c, 4 ln 5 (e d ln5 d ln6 + c, 6 arsh (f + d, arsh arsh d + + c arsh + c, 4 + 7 (g ( + 7 + 5 d (4 + 7 ( + 7 + 5 5 5 4 d (h 4 4 4 + 7 + 5 + c, cos (tg d f(a + b d alakú integrálok M9. M5-höz hasonlóan. M0. (a ( 0 d (b d (c + d arctg + c, (d d ( (0+ (0 + cos (tg d + c ( ( ( 4 d 4 + d d tg + c. + c, ( +c 4 ( 4 +c, + ( d d (
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 9 (e arth + c, d ( (f d ( d d M. (a + 6 + d 5 ( 5 + d 5 5 5 arctg ( ( + c, 5 d (b + + 6 ( + 4 + 6 d 4 (c (d [ ( + 4 ] + d + + 0 8 [ ( + 8 ] + d 4 + 5 [ 5 ( ] d arcsin ( +c, [ ( 5 ] + arch ( + c. ( + 5 d d arctg ( + + c, ( + + 8 d d ( + + 4 d d arsh ( 8 ( + + c, ( + 5 d d arcsin ( 5 ( + c.
0. A határozatlan integrál(primitív függvények f ( g( g ( d alakú integrálok M. M5-höz hasonlóan. M. (a sin d sh (b d sin cos d + c, sh d ch + c, (c (6 + sin( + d cos( + + c, (d ( + ln d d arctg(ln + c, + (ln (e (f d arsh(tg + c, cos + tg e tg cos d cos etg d e tg + c.... Integrálás ügyesen M4. (a + d + ( d d arctg(+c, + + + 4 + 7 ( (b d d + 7 d d + 7 d + 7 ln( + c, (c 4 + d 4 4 + ( 4 + 4 ( 4 arctg + c, (d + d [( + ] + d ( + + d + d ( + 4 d + d ( + 7 7 ( + 4 4 + c, sin sin (e tg d cos d d ln cos + c, cos
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek sin (f tg cos d cos d ( d cos cos d tg + c, cos cos (g sin d d d d sin +c, 4 (h cos d cos (cos d cos ( sin d cos d cos sin d sin sin + c, sin(α + β + sin(α β (i a sin α cos β azonosság alapján sin 0 + sin( 4 sin cos 7 d d sin 0 sin(4 d sin 0 d sin 4 d cos 0 cos 4 + c, 0 4 cos(α + β + cos(α β (j most a cos α cos β azonosságot alkalmazzuk: cos cos d [cos( + + cos( ] d (k 5 sin 5 6 + sin 6 + c, sin d cos tg sin cos d ln(tg + c. d sin cos cos d M5.... (l alkalmazza a cos sin ( + π ( R azonosságot, valamint az előző feladatot...4. Parciális integrálás
. A határozatlan integrál(primitív függvények M6. (a e d (f( f (, g ( e g( e e e e d 4 e + c. (b sin d ( f( f (, g ( sin g( cos + cos d ( f( f (, g ( cos g( cos + [ sin ] sin d cos + 9 sin + cos + c. 9 (c e sin d ( cos sin f( e f ( e, g ( sin g( cos e cos + e cos d ( f( e f ( e, g ( cos g( sin e cos + e sin e sin d; rendezés után kapjuk, hogy e sin d e cos + e sin + c. (d e ch d parciális integrálással is meghatározható, de egyszerűbb (e a következő: e ch d e5 e e + e 0 e + c; cos( + e + d ( e 5 d + e d
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek ( f( e +, f ( e + ; g sin( + ( cos( +, g( e+ sin( + e + sin( + d ( f( e +, f ( e + ; g cos( + ( sin( +, g( + sin( + e [ e + cos( + e + cos( + d ] + sin( + e + 4 e+ cos( + 9 e + cos( + d, 4 rendezés után azt kapjuk, hogy cos( + e + d e+ sin( + + e + cos( + + c; (f ln d ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln d ln + c; (g arctg d arctg d ( g (, g(, f( arctg, f ( + ( arctg + ( d arctg 8 6 + 9 d arctg ln( + 6 9 + c; (h ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln d ln 9 + c; (i 5 e d e d (g ( e, g( e ; f(, f ( e d (e e d e ( + c.
4. A határozatlan integrál(primitív függvények (j ln d ( ; ln ln d ln ln d ( g (, g( f( ln, f ( ln g (, g( ( ln ( ln d ln ln + 4 + c. (k arcsin d arcsin d ( g (, g( ; f( arcsin, f ( arcsin d arcsin + ( ( d (l arcsin + ( + c; cos(ln d cos(ln d ( g ( cos(ln, g( sin(ln ; f(, f ( sin(ln sin(ln d sin(ln + sin(ln d ( g ( sin(ln, g( cos(ln ; f(, f ( sin(ln + cos(ln cos(ln d cos(ln d ( sin(ln + cos(ln + c;..5. Integrálás helyettesítéssel M7. M8. Az elkövetkező feladatok megoldásához az alábbi összefüggés nyújt segítséget: f( d f(g(tg (t dt tg (
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 5 Itt f egy I intervallumon adott (pl. folytonos függvény, g : J I pedig egy szigorúan monoton (növekedő vagy csökkenő differenciálható függvény a J intervallumon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az g(t helyettesítést alkalmazzuk. (Figyeljünk majd a g helyettesítő függvény szigorú monotonitásának az ellenőrzésére! (a Most az sin t : g(t helyettesítést alkalmazzuk. Mivel, ezért, ha g-t a ( π, π intervallumon tekintjük, akkor itt g szigorúan monoton növekedő, ezért a fenti képlet alkalmazható: d sin t cos t dt cos t tarcsin tarcsin ( t sin t 4 + c arcin sin(arcsin cos(arcsin + c tarcsin arcsin + c (b Itt az sh t : g(t (t R; g, g (t ch t (t R helyetesítést alkalmazzuk: ch + d + sh t ch t dt t ch t dt tarsh tarsh M9. (a (b (c ch t + dt sh t ( tarsh 4 + t ch t sh t +c ( + t tarsh +c tarsh ch (arsh + arsh + c + + arsh + c; (c Az d ( > integrál kiszámításához alkalmazza az ch t : g(t (t > 0 helyettesítést...6. Racionális függvények integrálása d ln( + c, ha (, +, d ln( + c, ha (,, + + + d + + + d ln( + + + c,
6. A határozatlan integrál(primitív függvények ( + + (d + + d + + + d + + ln( + + + ( + + d ln( + + + + [ ( + ] + d ln( + + + arctg( + + c, (e + + d ( + + d 4 [ ] d 4 4 ( + + [ arctg ( + ] + c, + 5 (f + 5 d + 0 + 5 d [ d + + 5 + 5 d] [ln ( + 5 + + ( + 9 d] [ln ( + 5 + 4 + 4 9 [ 9 ( ] + d] ln ( + 5 + 9 + arctg [ 9 9 ( ] + c, 6 + (g + 7 d + 7 d [ + 7 d + + ( + 6 d] [ln( +7 + 6 [ 6 ( ] + d] ln( + 7 + 6 arctg [ 6 ( ] + c. M0. A feladatban megadott rekurzív formula az egyenlőség mindkét oldalának deriválásával igazolható. Az f primitív függvényének kiszámításához először azt jegyezzük meg, hogy az ( R függvény határozatlan integrálja arctg ( R. A rekurzív + formulát n -re alkalmazva kapjuk az ( R primitív függvényét. (+ Ennek ismeretében ismét a rekurzív formulát felhasználva n -re adódik az ( R primitív függvénye. (+
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 7 M. (a Az integrandust parciális törtek összegére bontjuk: ( ( 4 A + B A( 4 + B( 4 ( ( 4 (A + B (4A + B ( ( 4 alapján A + B 0, (4A + B adódik, amiből A, B következik. Ezért ( ( 4 d d + 4 d ln( + ln(4 + c, ha < < 4. (b d ( A ( ( + d + B + ( + d ( + d + ln( + ln( + + c + ln + c, ha (,. d + d (c Az ln függvény értelmezési tartományára kell figyelni! A számolások az előző feladathoz hasonlók; a változások: d ( d + + d ( d + + d ln( + ln( + + c ln + + c, ha (, +.
8. A határozatlan integrál(primitív függvények (d 6 + d ( ( + ( d ( 5 + + d A + + B d 5 ln( + + ln( + c ha (, +. (e 5 5 + + d (f Az integrandus így bontható fel: ( ( + d A ( + + 8 d ( + + + A ( + d ln( + + 8 + c ha (, +. + ( + 4 A + B + C + 4 A( + 4 + (B + C ( + 4 (A + B + C + 4A ( + 4 alapján A + B 0, C 0, 4A, azaz A, B. Ezért 4 4 ( + 4 d 4 d 8 + 4 d (g + d 4 ln 8 ln( + 4 + c, ha > 0. ( ( + ( + d ( ln( + + + + + d A + + d ( + B + C d +
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 9 Az + a. alaptípusnak megfelelő törtfüggvény. A primitív függvénye: + d + d + d ln( + 4 ( + 4 d + [ ] d ( ln( + arctg + c ln( + arctg + c ha (, +. Ezért + d ln( + arctg + c ha (, +...7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések M. (a Legyen t. A helyettesítő függvény t : g(t (t > 0. Mivel g (t t > 0, ha t > 0, ezért g szigorúan monoton növekedő, következésképpen a második helyettesítési szabály alkalmazható: + d + t + t t dt dt t + t t ( dt + t t (t ln( + t + c t ln( + + c,
40. A határozatlan integrál(primitív függvények ha > 0. (b t, > 0; t : g(t (t > 0 és g (t t (t > 0 miatt g szigorúan monoton növekedő. Így t + d t (t t + t t dt (t + + dt t t + t (c Tudjuk, hogy a [ (t + t + ] dt t [ t ] t + ln(t + + c t 4 + 4 ln( + + c, ( > 0 t helyettesítés racionális törtfüggvény integrálására vezet. Ha >, akkor nyilván 0 < t <, ami azt jelenti, hogy az t : g(t (t (0, helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g (t 6t ( t > 0 ( t (0,, ezért g szigorúan monoton növekedő, így a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályunk valóban alkalmazható: t 6t d t ( t dt t. Mivel t 6t t ( t dt t + 4 t ( t dt + ( + dt t + ln t + t 4 ( t( dt + t + t + c, t
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 4 ezért d + + ln + c ( >. M. (a sin d t +t + t dt ttg t dt ttg (ln t + c ttg ln tg + c, ha 0 < < π. (b... (c + sin + cos d dt + t + t +t +t ttg + t + t + t dt ttg + t dt ttg (ln(t + + c ttg ln ( tg + + c, ha ( π, π. (d... (e + sin + cos d t +t +t t t ttg + + t dt ttg t( + t dt ttg t + + t t ( + t dt ttg (
4. A határozatlan integrál(primitív függvények Most az t(+t törtet parciális törtekre bontjuk: t( + t A t + Bt + C + t alapján C 0, A, B, tehát t( + t t t + t. (A + Bt + Ct + A t( + t Ezért ( ( t + ( t t ttg + t ( t + ln t ln( + t + c ttg ctg ( + ln tg ( ln + tg + M4. (a 4 e 4 d 4 t 4 t dt te (A 4 t + B t + 4 C dt t + te t(t (t + dt te ( 4 8 4 + t t + 8 dt t + te ( ln t + ln(t + ln(t + + c te + ln( e 4 + c, ha > ln.
.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 4 (b e e + d e + e + 4 ln(e + + c ( R (c e + 4 e + 4e + d t + 4 t + 4t + t dt te (t + 4 t(t + (t + dt te 4 t + t + + 6 t + dt te 4 ln( e + 6 ln( e + + c ( R
44. A határozott integrál. A határozott integrál.. A határozott integrál tulajdonságai és kiszámítása M5. (a (b d 5 + 4 5 d arcsin + c, 9 ( d [ arcsin ] 5 5 + 4 arcsin arcsin 0 π. sin(ln d cos(ln + c, (c Mivel + d ezért 4 (d Mivel + 4 + 5 d ezért e sin(ln d cos. ( ( ( d d ln + c, ha >, [ + d ln (e Parciális integrálással e sin d ] 4 ln ln ln 4. d arctg ( + + c, ha R, ( + + [ ] + 4 + 5 d arctg ( + arctg arctg 0 π. sin cos e + c ( R
.. A határozott integrál tulajdonságai és kiszámítása 45 adódik, ezért π 0 [ sin cos ] π e sin d e 0 eπ +. sin π cos π e π sin 0 cos 0 e 0 (f Parciális integrálással ln d ln + c ( > 0 adódik, ezért e ln d [ ] e ln ( e ln e e ( ln. (g Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Alkalmazzuk a t +, 0 5, t 4 helyettesítést, azaz tekintsük az t : g(t ( t 4 helyettesítő függvényt. A g függvény szigorúan monoton növekedő az [, 4] intervallumon, deriválható és g (t t (t [, 4], ezért a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályt alkalmazhatjuk: d + + (t + t t dt. t + Mivel (t + t t dt t t + t dt [ A t + B t + t dt + 4 5 5 ] dt t (t (t + dt t + dt 5 ln(t + 4 ln(t + + C, 5
46. A határozott integrál ezért d + + d 5 ln( + + 4 5 ln( + + + C. A Newton Leibniz-tétel alapján tehát 5 0 d + + d [ln ( + + 4 ln ( + + ] 5 5 0 ln. 5 (h Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Most a t e, 0 ln, 0 t helyettesítéssel próbálkozunk, azaz vesszük az ln( + t : g(t (0 t helyettesítő függvényt. A g függvény deriválható és g (t t (t [0, ], g +t tehát szigorúan monoton növekedő. A határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabály tehát alkalmazható: e t ( d t + t dt dt t e + t t e ( t arctg t t e arctg e + C. e A Newton Leibniz-tétel alapján tehát ln 0 e d [ e arctg ] ln e π 0.