Extrémumokra vonatkozó határeloszlások

Extrémumokra vonatkozó határeloszlások Szakdolgozat Írta: Németh László Alkalmazott matematikus BSc Témavezet : Dr. Zempléni András, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2014

Tartalomjegyzék 1. Matematikai alapok 6 1.1. Deníciók................................. 6 1.2. Motiváció................................. 7 2. A normált maximumok határeloszlása 8 2.1. Egyértelm ség............................... 8 2.2. Lehetséges határeloszlások........................ 9 3. Vonzási tartomány 14 3.1. Általánosított extrém érték eloszlás................... 14 3.2. Extrém érték eloszlások vonzási tartománya.............. 18 4. Küszöb feletti értékek 24 5. Szimulációk 27 5.1. Egyenletes eloszlás (0,1) intervallumon................. 27 5.2. Poisson eloszlás.............................. 28 5.3. Néhány további eloszlás maximumaihoz tartozó szimulációk...... 30 5.4. Normális eloszlás küszöb feletti módszerrel............... 32 5.5. Pareto eloszlás u küszöb felett...................... 33 6. Összefoglalás 36 2

Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Zempléni Andrásnak, akihez mindig fordulhattam kérdéseimmel. Hasznos tanácsokkal látott el a szakdolgozattal kapcsolatban és nagyon sokat segített az R program megismerésében. Továbbá köszönöm a családomnak és a barátaimnak a támogatást, és a dolgozat formai tökéletesítésében nyújtott segítséget. 3

Bevezetés A valószín ségszámítás és a statisztika rendkívül fontos a mai világban. Rengeteg adat áll rendelkezésünkre, melyek segítségével meg lehet becsülni az életünket befolyásoló tényez k alakulását. Könnyen számolunk várható értékeket, szórást és azt is meg tudjuk határozni, hogy mennyire megbízható az el rejelzésünk. Azonban vannak olyan extrém esetek, amikr l még mindig nincs elég adatunk, mert rendkívül ritkán fordulnak el. Ilyenek például a nagy árvizek, vagy a nagy anyagi kárral járó balesetek. Azonban ezek eloszlását is meg kell valahogy becsülni, hiszen az embereknek fel kell készülniük az árvizekre és a biztosítótársaságok legnagyobb kizetései a nagy anyagi károkból keletkeznek. Dolgozatom célja, hogy az ilyen speciális esetekkel foglalkozó extrém érték elmélet valószín ségszámítási alapjait ismertessem. Megbecsüljem valószín ségi változók sorozatának maximumát, adjak rá egy megfelel eloszlást és megvizsgáljak más, különösen magas értékekkel foglalkozó modellt is. A dolgozatot Filip Lindskog - The mathematics and fundamental ideas of extreme value theory [1] cím cikke alapján írom, kiegészítve más szerz k m veib l kiemelt részekkel és saját tesztelésekkel, szimulációkkal valamint példákkal. A dolgozatban azt tárgyalom, hogy hogyan lehet megbecsülni egy adott eloszlásból generált mintában a ténylegesen legnagyobb el forduló elemet, illetve, hogy a különösen magas értékek el fordulása milyen eloszlást követ. A maximumok vizsgálatát az egyértelm séggel kezdem, majd a Fisher-Tippet tétel bemutatásával folytatom, amely szerint, ha létezik a maximumoknak határeloszlása, akkor az a Fréchet, Weibull vagy Gumbel eloszláscsaládok egyikébe tartozik. E három eloszláscsaládot összefoglalja az általánosított extrém érték eloszlás, melynek a három paramétere az eloszlástípust, a várható értéket és a skálaparamétert határozza meg. Ennek a segítségével tudom jellemezni az egyes típusok max-vonzási tartományát, azaz, hogy egy adott eloszlásból vett minta maximuma vajon melyik típus szerint keresend. A küszöb feletti értékek módszerével nem csak a legmagasabb értéket szeretném megvizsgálni, hanem kicsit általánosabban az "elég magas" értékek eloszlását. A küszöb feletti értékek eloszlását az általánosított Pareto eloszlás írja le megfelel en. Ezt követ en több szimulációt is végzek az R program segítségével, hogy ábrázoljam a különféle eloszlásokból vett értékek maximumának alakulását. Nem célom mélyebb statisztikai vizsgálatokba kezdeni így a hibahatárt vagy a határeloszláshoz tartás sebességét nem is tüntettem fel. A szimulációk célja az, hogy adjon egy szemléletet a minták maximumának eloszlásáról és megmutassa az olvasó számára, 4

hogy rendkívül hasonlít egy extrém érték eloszláshoz. Hasonló szimulációkat végzek a küszöb feletti módszerrel kapcsolatban is, külön kitérve a helyesen választott küszöbérték fontosságára. 5

1. Matematikai alapok 1.1. Deníciók A dolgozatban feltételezem olyan alapvet deníciók ismeretét a valószín ségszámítás témaköréb l, mint valószín ségi változó, eloszlás, eloszlásfüggvény. A nem feltétlenül közismert, de felhasznált fogalmakat itt szeretném el re deniálni. 1.1. Deníció (Gyenge konvergencia). Legyenek az X 1,..., X n, X valószín ségi változók, a hozzájuk tartozó eloszlásfüggvények pedig F 1,..., F n és F. Azt mondjuk, hogy az X n X gyengén (vagy eloszlásban), ha n esetén F n F az utóbbi minden folytonossági pontjában. A kés bbiekben ha konvergenciáról beszélünk, mindig gyenge konvergenciát értünk alatta. 1.2. Deníció. Legyen az X 1 és az X 2 valószín ségi változók. Azt mondjuk, hogy X 1 és X 2 azonos eloszlású, ha eloszlásfüggvényeik megegyeznek. Jelölésben X 1 X 2 vagy X d 1 = X 2. 1.3. Deníció. Az X valószín ségi változót elfajult eloszlásúnak mondjuk, ha létezik olyan c R, hogy P(X = c) = 1. 1.4. Deníció. Legyen az X egy valószín ségi változó, melynek eloszlásfüggvénye F. Az F függvény jobb oldali végpontjának nevezzük azt az x F R számot, melyre x F = inf{x R : F (x) = 1}. 1.5. Deníció (Túlélésfüggvény). Legyen az X valószín ségi változó. Ekkor az F (x) = P(X > x) függvényt az X túlélési függvényének nevezzük. Megjegyezzük, hogy folytonos eloszlású X esetén P(X = x) = 0, tehát F (x) = P(X > x) = P(X x) egyenl ség is érvényes. Ebb l az észrevételb l ekkor következik, hogy 1 F (x) = F (x), ahol F az eloszlásfüggvényt jelöli. Az angolszász szakirodalommal összhangban az eloszlásfüggvényt F (x) = P(X x) alakban deniáljuk, így 1 F (x) = F (x) minden esetben teljesül. A továbbiakban ezt a tulajdonságot többször fel fogom használni. Ahol diszkrét eloszlásokkal kapcsolatban használok túlélési függvényt, ott erre külön ki fogok térni. 1.6. Deníció (Általánosított inverz). Legyen h egy R-en értelmezett monoton növ függvény. Ekkor h (u) = inf{x R : h(x) u} 6

függvényt h általánosított inverzének nevezzük. Üres halmaz inmumát -ként de- niáljuk. Amennyiben az F egy eloszlásfüggvény, az F (u) általánosított inverzet az F függvény u-kvantilisének nevezzük. 1.2. Motiváció Vegyük az X k, (k = 1,...n) független, azonos eloszlású valószín ségi változók sorozatát. Legyen F ezeknek a közös eloszlásfüggvénye. Minden n 1-re készítsük el az S n = X 1 + + X n összeget. Mi lehet az S n eloszlása, elég nagy n-ek esetén? Ez a várható értékt l és a szórástól függ. Ha a valószín ségi változó nem azonosan 0, akkor tudjuk, hogy S n, ha n. Ezért érdekesebb az, hogy mi lehet a határeloszlása a normált és centralizált összegnek. Ahhoz, hogy ezt megvizsgálhassuk, be kell vezetnünk a n és b n számsorozatokat, úgy, hogy a n > 0 valamint b n R. Ekkor keressük azokat a nemelfajult W valószín ségi változókat, melyekhez létezik a fenti módon megadott a n és b n, valamint (S n b n )/a n W. 1.7. Deníció. Egy adott X valószín ségi változót stabilisnak mondunk, ha bármely c 1, c 2 R + számra és X 1, X 2 X független valószín ségi változókra léteznek olyan a(c 1, c 2 ) > 0 és b(c 1, c 2 ) R konstansok, melyekre c 1 X 1 + c 2 X 2 d = a(c 1, c 2 )X + b(c 1, c 2 ). (1) Ha az X k, (k = 1,...n) egy független, stabilis, azonos eloszlású valószín ségi változókból álló sorozat, akkor az (1) egyenlet szerint létezik olyan a n > 0, b n R, hogy minden n 1-re teljesüljön az S n = X 1 + + X n d = a n X + b n egyenl ség. Azaz stabilis változók esetén létezik az összegnek határeloszlása. Az egyenlet átírható (S n b n )/a d n = X alakba is. A kés bbiekben ezt az alakot fogom használni. Megmutatható tehát, hogy a stabilis eloszlások lehetséges nemelfajuló határeloszlások a megfelel en normált és centralizált összegek esetén. Véges szórású ilyen eloszlás csak a standard normális eloszlás, azaz ebben az esetben az összeg ehhez fog tartani, ami a centrális határeloszlás tétele miatt ismert. Ehhez hasonló módon próbáljuk a kés bbiekben megközelíteni az n valószín ségi változó maximumának eloszlására vonatkozó kérdést. 7

2. A normált maximumok határeloszlása 2.1. Egyértelm ség Legyen az X k, (k = 1,...n) független azonos eloszlású valószín ségi változók sorozata, melyeknek az eloszlásfüggvénye F. Vizsgáljuk ezek M n = max{x 1,..., X n } maximumát. Adott n esetén könnyen meg tudjuk határozni az M n eloszlását, hiszen F Mn (x) = F (x) n. Legyenek a n > 0, b n R számsorozatok. Keressük azt az eloszlást, amihez az a n, b n sorozatokkal normált M n tart, ha n. Ez P((M n b n )/a n x), vagy másképp P(M n u n ) ahol u n = a n x + b n. El ször is fontos tudni, hogy milyen feltételek mellett létezik egyáltalán nemtriviális határeloszlása a P(M n u n ), n sorozatnak. Erre a kérdésre a következ tétel ad választ. 2.1. Tétel (Poisson approximáció). Legyen adott τ [0, ] és egy u n R sorozat, továbbá X k, (k = 1,...n) független azonos eloszlású valószín ségi változók sorozata, melyek részsorozatainak maximuma M n. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek: i) nf (u n ) τ, (2) ii) P(M n u n ) e τ. (3) Bizonyítás. i) ii) El ször legyen a τ <. Ha a (2) állítás teljesül, akkor P(M n u n ) = F n (u n ) = (1 F (u n )) n = (1 nf (u n )/n) n e τ, mivel nf (u n ) τ. Most tegyük fel, hogy (3) teljesül. El ször belátjuk, hogy F (u n ) 0. Indirekt tegyük fel, hogy nem 0 a határértéke, ekkor létezik egy olyan (n k ) sorozat, melyre F (u nk ) eltávolodik 0-tól elég nagy k esetén. Ekkor P(M n u nk ) = (1 F (u nk )) n k = (1 n k F (u nk )/n k ) n k 0, ami ellentmond a (3) összefüggésnek. Tehát F (un ) 0. Vegyük a (3) összefüggés logaritmusát. Ekkor azt kapjuk, hogy ln P(M n u n ) = ln(1 F (u n )) n = n ln(1 F (u n )) τ. Mivel ln(1 x) x ha x 0, következik, hogy nf (u n ) τ azaz (2) teljesül. Most lássuk a τ = esetet. Tegyük fel, hogy (2) fennáll, de (3) nem. Ekkor létezik olyan (n k ) részsorozat, melyre P (M nk u nk ) e τ, ha k valamely τ < esetén. De a fenti megfontolások alapján n k F (u n ) τ < ami ellentmondás, tehát (3) teljesül. A ii) i) irány belátásához feltesszük, hogy P(M n u n ) 0. Ezt átírva kapjuk, hogy (1 F (u n )) n 0, ami akkor lehetséges, ha F (u n ) 1, azaz nf (u n ). 8

2.2. Deníció (max-stabilitás). Egy X nemelfajult valószín ségi változót max-stabilisnak mondunk, ha minden 2 n esetén léteznek a n > 0 és b n R konstansok, hogy max{x 1,..., X n } = d a n X + b n, ahol X 1,..., X n függetlenek, azonos eloszlású valószín ségi változók és X i X. Ha egy adott X k, (k = 1,...n) valószín ségi változók független sorozata maxstabilis, akkor léteznek hozzá megfelel a n és b n konstansok, hogy minden n esetén M n d = a n X 1 + b n. Tehát ha egy eloszlás max-stabilis, akkor lehet határeloszlás. Más lehetséges határeloszlás nem létezik, ezért csak a max-stabilis esettel foglalkozunk. 2.3. Tétel (Típusokhoz konvergálás). Legyenek az X n, U és V valószín ségi változók, melyek közül sem U, sem V nem elfajuló. Legyenek továbbá a n, α n > 0, valamint b n, β n R konstansok. Ha X n b n a n U és X n β n α n V, (4) akkor léteznek olyan A > 0 és B R számok, melyekre α n a n A és β n b n a n B, (5) valamint V = U B A is teljesül. Továbbá, ha (5) fennáll, akkor (4) bármelyikéb l következik a másik, valamint (6) is igaz lesz. A tétel bizonyítása megtalálható Resnick [2] könyvében. Ez a tétel azt állítja, hogy adott, független, azonos eloszlású valószín ségi változók egy sorozata esetén, ha a maximumokhoz két határeloszlást is találtunk, csak más-más konstansokkal, akkor ez a két határeloszlás lényegében megegyezik, lineáris transzformációval egymásba vihet. (6) 2.2. Lehetséges határeloszlások Már látjuk, hogy ha létezik határeloszlás, az egy eloszláscsalád erejéig egyértelm. A következ tétel választ ad arra a kérdésre, hogy milyen típusúak lehetnek az eloszláscsaládok. 9

2.4. Tétel (Fisher-Tippet). Legyen az X k, (k = 1,...n) független azonos eloszlású valószín ségi változók sorozata. Ha létezik olyan a n és b n konstans, melyekre a n > 0, b n R valamint létezik egy olyan H úgy, hogy M n b n a n H, (7) akkor H az alábbi három eloszlásfüggvény egyikének típusába tartozik: 0, x 0, Fréchet : Φ α (x) = α > 0. e x α, x > 0, e ( x)α, x 0, W eibull : Ψ α (x) = α > 0. 1, x > 0, Gumbel : Λ(x) = e e x, x R. Bizonyítás. (7)-b l adódik, hogy minden t > 0-ra F [nt] (a [nt] x + b [nt] ) H(x), hiszen [nt] egész számok sorozata, és [nt]. Továbbá F [nt] (a n x + b n ) = (F n (a n x + b n )) [nt]/n (H(x)) [nt]/n H t (x) A típushoz konvergálás tétele szerint, ha t > 0, akkor léteznek olyan f(t) > 0 és g(t) R függvények, melyekre és teljesül, hogy lim n a n a [nt] = f(t), (b n b [nt] ) lim n a [nt] = g(t) H t (x) = H(f(t)x + g(t)). (8) Mivel f és g mérhet függvények határfüggvényei, k maguk is mérhet k. A (8) egyenl ségb l következik, hogy t > 0-ra és s > 0-ra melyet tovább alakítva azt kapjuk, hogy H ts = H (f(ts)x + g(ts)), H ts = (H s ) t = H (f(s)x + g(s)) t = H (f(t)[f(s)x + g(s)] + g(t)) = H(f(t)f(s)x + f(t)g(s) + g(t)). Ha összevetjük az eredményeket, azt kapjuk, hogy f(ts) = f(t)f(s), (9) 10

g(ts) = f(t)g(s) + g(t) = f(s)g(t) + g(s). (10) Mivel s, t > 0, a (9) egyenl ségbe helyettesítsünk be a t = e x, s = e y értékeket. Ekkor kapjuk: f(e x e y ) = f(e x )f(e y ) f(e x+y ) = f(e x )f(e y ) log(f(exp(x + y))) = log(f(exp(x))f(exp(y))) log(f(exp(x + y))) = log(f(exp(x))) + log(f(exp(y))) Ez éppen a Cauchy-féle függvényegyenlet log f exp függvényre. Ismert, hogy x változó esetén ennek a megoldásai cx alakúak, ha c R. Írjuk át a konstansot c = κ módon. log(f(exp(x))) = κx, t = exp(x) log(f(t)) = κ log(t) f(t) = e κ log t = t κ Azaz a (9) egyenletnek minden lehetséges megoldása f(t) = t κ alakú lesz. A továbbiakban három eset lehetséges, κ = 0, κ > 0, vagy κ < 0. Vizsgáljuk el ször a κ = 0 esetet. Ekkor f(t) = 1 és a (10) egyenletb l g(ts) = g(t)+g(s) összefüggés adódik. Vegyük az egyenlet exponenciálisát. Ekkor e g(ts) = e g(t) e g(s) alakban szintén visszavezethet a Cauchy-egyenl ségre, melynek megoldását e g(t) = t d alakban adjuk meg, másképpen g(t) = d ln(t), ahol t > 0, d R. Ezek alapján a (8) egyenlet felírható a következ alakban: H t (x) = (x d ln t). (11) Látható, hogy d nem lehet 0, hiszen feltettük, hogy H nemelfajuló. Rögzített x-re H t (x) nem növekv függvény t-ben, tehát d > 0. Tegyük fel, hogy valamely x 0 -ra H(x 0 ) = 1, ekkor H(x 0 d ln t) = 1 egyenletet kapjuk minden t-re. Ebb l következik, hogy H(u) = 1 minden u-ra, ami ellentmondás. Tehát H(x) < 1 minden x-re. Hasonlóan megmutatható, hogy H(x) > 0 minden x-re. A (11) egyenletb l így következik, hogy H t (0) = H( d ln t), t > 0. Válasszunk egy p-t úgy, hogy e e p = H(0) (0, 1) teljesüljön, valamint legyen u = d ln t. Ekkor a fenti egyenlet a következ képpen alakul H(u) = e e pt = e e (u/d+p) = Λ(u/d + p), 11

ami a Gumbel eloszlás típusába tartozik. Most vizsgáljuk a κ > 0 esetet. A (10) egyenlet átalakításával az kapjuk, hogy g(s) 1 f(s) = g(t) 1 f(t). Tehát g(s)/(1 f(s)) = c bármely f(s) 1, azaz s 1 esetén, amib l kapjuk, hogy Ebb l következik, hogy g(t) = g(s) 1 f(t) 1 f(s) = c(1 t κ ). H t (x) = H(t κ x + c(1 t κ )) = H(t κ (x c) + c). Legyen J(x) = H(x + c) függvény. Az így deniált függvény szintén nemelfajuló, ugyanolyan típusú, mint H és teljesül rá a következ egyenl ség: J t (x) = J(t κ x). Legyen x = 0 és vegyük az egyenl ség logaritmusát. Ekkor t log J(0) = J(0) egyenletben log J(0) csak 0 vagy lehet, azaz J(0) a 0 és 1 értékek egyikét veszi fel. Nem lehet 1 a J(0) értéke, mert x < 0 esetén a bal oldal csökken, a jobb oldal pedig növekv, ha a t változót növeljük. Tehát J(0) = 0. Most vizsgáljuk az x = 1 esetet, amely szerint J t (1) = J(t κ ). Ha J(1) a 0 vagy 1 értéket veszi fel, akkor J konstans, ami ellentmond annak, hogy nemelfajuló. Vagyis J(1) (0, 1). Legyen κ 1 u = t κ. Átalakítva u α = t. Ekkor azt kapjuk, hogy = α. J(1) = exp( p α ), ahol p paraméter, továbbá J(u) = J t (1) = (exp( p α )) t = exp( p α t) = exp( (pu) α ) = Φ α (pu). Ez éppen a Fréchet eloszlás. A Weibull eloszlást hasonló módon kaphatjuk meg. Az összes esetet megvizsgáltuk, tehát valóban nem lehet más a határeloszlás. Ez a tétel lesz kíti a lehetséges határeloszlásokat három esetre. E három lehetséges határeloszlás s r ségfüggvénye között a legnagyobb különbséget az jelenti, hogy milyen számokon vesz fel pozitív értéket. A Fréchet eloszlás tartója ugyanis a pozitív számok, a Weibull típusúé a negatív számok, a Gumbel eloszlás tartója pedig az egész R. A továbbiakban a jelölések megkönnyítése végett, következzen egy deníció. 2.5. Deníció. A Φ α, Ψ α és Λ eloszlásfüggvényeket standard extrém érték eloszlásfüggvényeknek hívjuk. 12

Érdekesség, hogy habár ez a három eloszlás eléggé eltér, matematikailag mégis szoros kapcsolat van köztük. Legyen X egy Φ α típusú eloszlás. Ekkor teljesül, hogy X 1 Ψ α, valamint ln X α Λ. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Weibull( 2,1) Gumbel(0,2) Fréchet(2,1) 10 5 0 5 10 1. ábra. Az extrém érték eloszlások s r ségfüggvényei, balról jobbra, egyre nagyobb mediánokkal 13

3. Vonzási tartomány 3.1. Általánosított extrém érték eloszlás Az el z fejezetben beláttuk, hogy ha létezik a maximumoknak határeloszlása, akkor az milyen típusú lehet. Most tegyük fel egy tetsz leges eloszlásról, hogy bel le képzett valószín ségi változók sorozatának a maximumához létezik nemelfajuló határeloszlás. A következ kben azt fogjuk vizsgálni, hogy hogyan dönthet el a határeloszlás típusa. A következ tétel egy szükséges és elégséges feltételt ad a határeloszlás létezésére. 3.1. Tétel. Legyen F eloszlásfüggvény és ennek jobb oldali végpontja x F és legyen τ (0, ). Akkor, és csak akkor létezik olyan (u n ) sorozat, amely kielégíti nf (u n ) τ összefüggést, ha lim x x F és F (x F ) = 1. Ez ekvivalens azzal, hogy ahol p(x) = F (x) F (x 0). lim x x F F (x) F (x 0) = 1 p(x) F (x 0) = 0, Bizonyítás. A bizonyítás az [5] cikkben található. Legyen 0 < τ <. Az els irányt indirekt bizonyítjuk, azaz tegyük fel, hogy létezik olyan ɛ > 0, hogy bármely x n sorozat esetén, ha x n x F, akkor p(x n ) 2ɛ(1 F (x n 0)). Vegyünk egy olyan n j sorozatot, amelyre F (x j ) = 1 τ/n j nagyságrend, azaz: 1 τ n j F (x j 0) + F (x j ) 2 1 τ n j + 1. Két eset lehetséges: u nj < x j teljesül végtelen sok j esetén, vagy u nj x j. Most el ször az els esetet vizsgáljuk meg. n j (1 F (u nj )) n j (1 F (x j 0)). Erre fel tudunk írni egy alsó becslést is ( n j (1 F (x j 0)) = τ + n j 1 τ F (x j 0) + F (x j ) n j 2 ) τ + n jp(x j ) 2 n j ( τ n j τ n j 1 τ + ɛn j (1 F (x j 0)) + p(x ) j) 2 τ n j + 1. 14

Ebb l átrendezve az következik, hogy (1 ɛ)n j (1 F (x j 0)) τ τ n j + 1. Ha az 1 ɛ szorzót elhagyjuk, az egy fels becslést ad. Most nézzük a határértékét, ha n j. lim sup n j (1 F (x j 0)) > τ. Mivel x nj < x j az alábbi egyenl tlenség is fennáll: lim sup n j (1 F (x uj )) > τ. Ellentmondást kaptunk, hiszen feltettük, hogy nf (u n ) τ. A x nj x j esetet hasonlóan lehet bizonyítani. Most jöjjön a másik irány. F (u n 0) 1 τ/n F (u n ) ahol u n = F 1 (1 τ/n). Ebb l kapjuk, hogy F (x) F (x 0) τ n(1 F (u n)) τ, mivel u n x F, ha n. 3.2. Deníció (Max-vonzási tartomány). Legyen az X valószín ségi változó. Azt mondjuk, hogy X a H extrém érték eloszlás vonzási tartományába tartozik, ha léteznek a n > 0, b n R konstansok úgy, hogy M n b n a n H teljesüljön. Ez a továbbiakban X MDA(H) módon jelöljük (MDA Maximum Domain of Attraction). Gyakran mondjuk egy F eloszlásfüggvényre is, hogy a H vonzási tartományába tartozik. Ekkor a fenti deníció érvényes arra a valószín ségi változóra, melynek F az eloszlásfüggvénye. A max-vonzási tartomány tehát azon eloszlásokat foglalja magába, melyeknek az alkalmasan standardizált maximuma egy adott eloszláshoz fog tartani. Ezt a kicsit nehezen megfogható tulajdonságot a következ tétel segítségével könnyebb meghatározni. 3.3. Tétel (Max-vonzási tartomány jellemzése). Legyen az X egy valószín ségi változó F eloszlásfüggvénnyel. Ez egy H extrém érték eloszlás vonzási tartományába tartozik akkor és csak akkor, ha léteznek olyan a n > 0 és b n R normáló konstansok, hogy lim n nf (a nx + b n ) = ln H(x), x R. H(x) = 0 esetén a határértéket -ként értelmezzük. 15

Bizonyítás. El ször legyen lim nf (a n x + b n ) = ln H(x), ha n és x R. A Poisson approximációs tétel (2.1.) miatt P(M n a n x + b n ) H(x) minden x R, azaz megkaptuk, hogy F MDA(H). Most legyen F MDA(H). Ez azt jelenti, hogy P(M n a n x + b n ) H(x) a H függvény minden folytonossági pontjában. Viszont mivel H extrém érték eloszlás, minden x R pontban folytonos. Rögzített x esetén vizsgáljuk F (a n x+b n ) n H(x) összefüggést. Ha H(x) 0, akkor logaritmust véve azt kapjuk, hogy n ln(1 F (a n x+b n )) ln H(x), ahol H(x) (0, ).Ebb l következik, hogy F (a n x + b n ) 0. Mivel ln(1 y) y, ha y 0 összefüggés teljesül, nf (a n x + b n ) n ln(1 F (a n x + b n )) ln H(x). Azaz az állítás fennáll. Ha H(x) = 0, akkor az F (a n x + b n ) n = (1 (nf (a n x + b n ))/n) n 0, valamint az (1 L/n) n e L összefüggésekb l következik, hogy minden L > 0 esetén létezik olyan n 0 szám, hogy bármely n > n 0 esetén nf (a n x + b n ) > L. Ekkor a sorozat bármely valós számnál nagyobb lehet, tehát nf (a n x + b n ), ami ln H(x) határértéke. Ha ismerjük a normáló konstansokat, akkor már el tudjuk dönteni egy eloszlásról, hogy melyik extrém érték eloszlás vonzási tartományába esik. Az extrém érték eloszlásokat általánosan is lehet kezelni. Ez az általánosabb fogalom segíthet a kés bbiekben, hogy a megfelel normáló konstansok ismerete nélkül is meg lehessen határozni egy határeloszlás típusát. 3.4. Deníció (Általánosított extrém érték eloszlás). A Gumbel, Fréchet és Weibull eloszlásokat általánosítja a következ, három paramétert tartalmazó eloszlásfüggvény: exp{ {1 + γ( x µ σ F µ,σ,γ (x) = )} 1/γ }, ha γ 0, exp{ exp{ x µ }} ha γ = 0. Az ilyen eloszlásfüggvénnyel rendelkez eloszlásokat nevezzük általánosított extrém érték eloszlásnak (GEV Generalized Extreme Value distribution). 3.5. Deníció (Standard általánosított extrém érték eloszlás). Standardizált esetben a GEV függvény paramétereire igaz, hogy µ = 0 és σ = 1. Ekkor a H γ (x) eloszlásfüggvény a következ módon alakul: e (1+γx) 1/γ, ha γ 0, H γ (x) = e e x, ha γ = 0, σ 16

ahol 1 + γx 0. A H γ s r ségfüggvényének tartója határozza meg, hogy milyen családba tartozik az eloszlás. Ez a tartó γ függvényében az alábbi módon alakul x > 1/γ, ha γ > 0, ekkor Fréchet, x < 1/γ, ha γ < 0, ekkor Weibull, x R, ha γ = 0 esetben pedig Gumbel. Az így deniált eloszlást standard általánosított extrém érték eloszlásnak hívjuk. Az így deniált eloszlás valóban alkalmas az extrém érték eloszlások általános leírására. Megfelel paramétereket választva a Weibull, Fréchet és Gumbel eloszlások egyikét kapjuk. Ezt bizonyítja a következ tétel. 3.6. Tétel (MDA(H γ ) jellemzése). i.) X MDA(H γ ), ahol γ > 0, akkor és csak akkor, ha X MDA(Φ α ), ahol α = 1/γ > 0. ii.) X MDA(H γ ), ahol γ = 0, akkor és csak akkor, ha X MDA(Λ). iii.) X MDA(H γ ), ahol γ < 0, akkor és csak akkor, ha X MDA(Ψ α ), ahol α = 1/γ > 0. Bizonyítás. El ször legyen γ = 0. Ekkor H 0 = e e x γ = 0 esetén a Gumbel eloszlást kapjuk. azaz = Λ a deníció alapján, tehát Igazoljuk az els állítást. Tegyük fel, hogy γ > 0 rögzített és X MDA(H γ ), lim P(M n a n x + b n ) = n 0, ha x 1, γ e (1+γx) 1/γ, ha x > 1. γ A bizonyítás során úgy választunk új konstansokat, hogy a 2.3. tétel értelmében a határeloszlás ugyanolyan típusú maradjon. Alakítsuk át tehát a konstansokat az alábbi módon: lim P(M n (a n /γ)x + b n (a n /γ)) = lim P(M n (a n /γ)(x 1) + b n ) = n n 0, ha x 0, = e (1+γ(x 1)/γ) 1/γ = e x 1/γ, ha x > 0. Megkaptuk a Fréchet eloszlást 1/γ paraméterrel, azaz X MDA(Φ 1/γ ) = MDA(Φ α ). A másik irány belátásához tegyük fel, hogy α > 0 és X MDA(Φ α ). Ekkor lim P(M 0, ha x 0, n a n x + b n ) = n e x α, ha x > 0. 17

Ismét válasszunk új konstansokat, melyek legyenek a n γ és a n + b n. Ekkor lim P(M 0, ha x γ 1, n a n (1 + γx) + b n ) = n e (1+γx) 1/γ, ha x > γ 1. Tehát F MDA(H γ ). A harmadik állítás igazolása hasonlóan történik. Legyen γ < 0 rögzített és tegyük fel, hogy X MDA(H γ ). lim P(M n a n x + b n ) = n e (1+γx) 1/γ, ha x 1, γ 1, ha x > 1, γ egyenl ségb l kiindulva, vegyünk új konstansokat, a n helyett ( a n )/γ valamint b n helyett (b n a n )/γ szerepeljen. Ekkor lim P(M n ( a n /γ)x + b n (a n /γ)) = lim P(M n (a n /γ)( x 1) + b n ) n n e (1+γ( x 1)/γ) 1/γ = e ( x) 1/γ, ha x 0, = 1, ha x > 0, ami a Weibull eloszlás 1/γ paraméterrel, tehát X MDA(Ψ 1/γ ) = MDA(Ψ α ). A fordított irány belátásához tegyük fel, hogy α < 0 és X MDA(Ψ α ). Ekkor lim P(M e ( x)α, ha x 0 n a n x + b n ) = n 1, ha x > 0. Most is válasszunk új konstansokat a következ módon. Az a n helyett legyen a n γ és b n helyett b n a n. Ekkor lim P(M n a n ( 1 γx) + b n ) = n Tehát F MDA(H γ ). e (1+γx) 1/γ, ha x γ 1 1, ha x > γ 1. 3.2. Extrém érték eloszlások vonzási tartománya Az eloszlásfüggvény viselkedése a jobb oldali végpont közelében meghatározza a maximumok viselkedését, ezért érdemes ezek vizsgálatával folytatni. Vezessünk be három deníciót. 18

3.7. Deníció (Reguláris változású függvény). Legyen h : (0, ) (0, ) mérhet függvény. Ezt reguláris változásúnak nevezzük -ben az η R index-szel, ha h(tx) lim t h(t) = xη minden x > 0 számra. Továbbiakban h RV η módon jelöljük. 1. Példa. Legyen F (x) = 1 x α, ahol x 1 és α > 0. Ekkor azaz F RV α. F (tx) F (t) = (tx) α t α = x α 3.8. Deníció (Lassú változású függvény). Legyen h : (0, ) (0, ) reguláris változású függvény. Ha η = 0, azaz h(tx) lim t h(t) = 1, akkor a h függvényt lassú változásúnak mondjuk. Továbbiakban h RV 0 jelöljük. módon 2. Példa. Legyen adott b R, ekkor L(x) = log b (x) függvény lassú változású, hiszen L(tx) lim t L(t) = lim log b (tx) ( log(t) + log(x) ) b ( t log b (t) = lim = lim 1 + log(x) ) b = 1. t log(t) t log(t) Lassú változású még minden olyan függvény is, amelynek létezik c (0, ) határértéke a -ben. 3.9. Deníció (Gyors változású függvény). Legyen h : (0, ) (0, ) mérhet függvény. Ha minden x R + esetén 0, ha x > 1, h(tx) lim t h(t) = 1, ha x = 1,, ha 0 < x < 1, akkor h függvényt gyors változásúnak mondjuk. 3. Példa. Gyors változású függvényre egy példa az f(x) = e x, ahol x (0, ). Leellen rizve a határértéket f(tx) lim t f(t) = lim e tx t e t = lim t e t(1 x) = 0, ha x > 1, 1, ha x = 1,, ha 0 < x < 1. 19

Megjegyezzük, hogy ha h RV η, akkor h(x)/x η RV 0, x > 0 esetén. Ha L(x)- nek nevezzük az így kapott lassú változású függvényt, átalakítva h(x) = x η L(x) egyenl séget kapjuk. Mivel h és x tetsz leges volt, bármely reguláris változású függvény el áll egy lassú változású függvény, valamint egy hatvány szorzataként. 3.10. Tétel (Lassú változású függvények reprezentációja). Egy L függvény esetén L RV 0 akkor és csak akkor teljesül, ha léteznek c, δ : (0, ) (0, ), lim x c(x) = c, lim x δ(x) = 0 függvények, melyekre teljesül, hogy ( x ) δ(t) L(x) = c(x) exp dt, x > 0. t 1 Bizonyítás. Az els irány megtalálható Soulier [6] cikkének 4-6. oldalán. A másik irányt bizonyítom. Vizsgáljuk meg a lim s (L(sx)/L(s)) határértéket, legyen x 1. ( ) ( sx δ(t) sx L(sx) c(sx) exp dt c(sx) exp 1 t s lim = lim ( s L(s) s ) s = lim δ(t) c(s) exp dt s c(s) 1 t Ha x < 1, akkor, L(sx) c(sx) exp lim s L(s) = lim s Azaz h(x) RV 0. = lim s c(sx) c(s) = lim s c(sx) lim s c(s) = 1. ( s sx c(s) ) δ(t) dt t δ(t) dt t = lim s c(sx) c(s) = lim s c(sx) lim s c(s) = 1. ) 3.11. Tétel (Reguláris változású függvények reprezentációja). Egy h függvény esetén h RV η akkor és csak akkor, ha léteznek c, Ω : (0, ) (0, ), lim x c(x) = c, lim x Ω(x) = η függvények, melyekre teljesül, hogy ( x ) Ω(t) h(x) = c(x) exp dt, x > 0. t Bizonyítás. Mivel h(x) = L(x)x η egyenlet átírható 1 valamely L lassú változású függvényre, a fenti ( x L(x)x η = c(x) exp 1 ) Ω(t) dt t 20

alakba. Ha leosztunk az x η 0 tényez vel, akkor ( x ) ( L(x) = c(x)x η Ω(t) x Ω(t) exp dt = c(x) exp( η ln x) exp 1 t 1 t ( x ) Ω(t) = c(x) exp η ln x + dt 1 t ( x η x = c(x) exp 1 t dt + Ω(t) 1 t ( x ) Ω(t) η = c(x) exp dt t egyenl séget kapjuk, ahol lim x (Ω(t) η) = 0, azaz éppen visszakaptuk a lassú változású esetre vonatkozó tételt. 3.12. Deníció. Egy nemnegatív valószín ségi változót reguláris változásúnak hívunk, ha a túlélésfüggvényére teljesül, hogy F RV α valamely α > 0 számra. Ha α = 0, akkor lassú változású. 3.13. Tétel (Φ α max-vonzási tartománya). Egy X valószín ségi változó Φ α (α > 0) vonzási tartományába tartozik, akkor és csak akkor, ha a hozzá tartozó eloszlásfüggvényre F RV α. Ha F MDA(Φ α ), és a n = F (1 1/n), akkor az Bizonyítás. Az F RV α M n a n Φ α. 1 ) dt ) dt F MDA(Φ α ) irányt bizonyítom, a másik irány megtalálható Resnick [2] könyvében az 55-57. oldalakon. Legyen F RV α és a n = F (1 1/n). Ekkor F (a n ) 1/n, ha n és x > 0, valamint ha n és a n. Mivel x > 0, Tehát x > 0 esetben nf (a n x) F (a nx) F (a n ) x α, n ln(1 F (a n x)) nf (a n x) x α. P(M n a n x) = F (a n x) n = exp{n ln(1 F (a n x))} e x α = Φ α (x). Ha pedig x 0, akkor az F RV α F (0) < 1 összefüggést kihasználva F (a n x) n F (0) n 0 = Φ α (x). Megkaptuk a Fréchet eloszlást. 21

3.14. Tétel (Ψ α max-vonzási tartománya). Egy X valószín ségi változó Ψ α (α > 0) vonzási tartományába tartozik, akkor és csak akkor, ha x F < és a hozzá tartozó eloszlásfüggvényre F (x F 1/x) RV α. Továbbá, ha F MDA(Ψ α ), és a n = x F F (1 1/n), akkor M n x F a n Ψ α. Bizonyítás. Az F (x F 1/x) RV α F MDA(Ψ α ) irányt bizonyítom, a másik irány megtalálható Resnick [2] könyvében a 60-62. oldalon. Legyen F a következ függvény: 0, ha x < 0, F (x) = F (x F 1/x), ha x 0. Ekkor F RV α és a 3.13. tétel miatt a n = F (1 1/n) konstansokkal teljesül F (a n x) n Φ α (x), ha x > 0. Átalakítva ezt a függvénysorozatot kapjuk, hogy F (x F 1/(a n x)) n exp{ x α }, ha x >0. Használjuk az x = 1/y jelölést. Ekkor F (x F + 1/a n x) n exp{ ( y) α }, ha y < 0 összefüggést kapjuk. Tudjuk, hogy a n = F (1 1/n) = inf{u : F (u) 1 1/n} = inf{u : F (x F 1/u) 1 1/n} = (sup{s : F (x F s) 1 1/n}) 1 = (x F inf{u : F (u) 1 1/n}) 1 = (x F F (1 1/n)) 1 Ebb l adódik, hogy a n = 1/a n = x F F (1 1/n), valamint F n (x F + a n y) Ψ α (y), y < 0, vagy másképp ( Mn x F P a n ami éppen a bizonyítandó állítás. ) y Ψ α (y), y < 0, Most már el tudjuk dönteni egy eloszlásról, hogy egy bel le vett minta maximumainak van-e határeloszlása. Ha tudjuk, hogy létezik, az el bbi tételek segítségével megvizsgálható, hogy a Weibull vagy a Fréchet-féle eloszláshoz tart, s t, a normáló konstans sorozatokat is megkaphatjuk. A Gumbel típushoz tartó eloszlásokat nem lehet egy reguláris változású függvény segítségével jellemezni, mert sokszor egy gyors változású függvényr l van szó. Nagyon sokféle függvény lehet, és a jobb végpont felvehet valós értéket, vagy tarthat a végtelenhez. Zárt forma helyett vizsgáljuk a szükséges és elégséges feltételeket. 22

3.15. Tétel (M DA(Λ) jellemzése I.). Egy X valószín ségi változó Λ max-vonzási tartományába esik, akkor és csak akkor, ha létezik olyan pozitív, mérhet a(.) függvény, melyre F (x + ta(x)) lim n F (x) = e t, t R. 3.16. Tétel (M DA(Λ) jellemzése II.). Legyen az X valószín ségi változó és F a hozzá tartozó eloszlásfüggvény tetsz leges jobb végponttal. Ekkor az F függvény a Λ max-vonzási tartományába tartozik akkor és csak akkor, ha létezik egy w < x F szám, melyre a túlélésfüggvény felírható F (x) = c(x) exp ( xf w ) g(t) a(t) dt alakban, ahol c és g olyan mérhet függvények, melyekre lim c(x) = c > 0, c R valamint lim g(x) = 1, ha x x F, továbbá a egy olyan pozitív, abszolút folytonos függvény, melyre igaz, hogy lim x xf a (x) = 0. Egy ilyen lehetséges a függvény a feltételes várhatóérték, azaz a(x) = E(X x X > x) = xf x F (x) F (t) dt, x < x F. A [4] cikk a 23. oldalon b vebben tárgyalja M DA(Λ) lehetséges jellemzéseit és több példát is említ az egyes vonzási tartományokba tartozó eloszlásokra. 23

4. Küszöb feletti értékek Ebben a fejezetben kicsit más oldalról próbáljuk megközelíteni a problémát. Az éves vízállások maximuma csak a legnagyobb árvizeket tartalmazza. Lehet, hogy egy évben több árvíz is volt, lehet, hogy valamikor egy sem. Másik közelítése a magas értékek vizsgálatának, ha egy küszöb felett vizsgáljuk a vízállások értékeit. Azt, hogy mi a jó küszöb, matematikailag nem lehet jól megfogalmazni, de ett l függetlenül fel lehet rá állítani egy m köd képes modellt. El bb azonban be kell vezetünk az általánosított Pareto-eloszlást, mint a modell egyik technikai hátterét. 4.1. Deníció (Általánosított Pareto-eloszlás). Deniáljuk a G ξ,µ,σ, ξ R, µ R, σ > 0, függvényt az alábbiak szerint: 1 (1 + ξ(x µ) ) 1/ξ, ha ξ 0, σ G ξ,µ,σ (x) = 1 e (x µ) σ, ha ξ = 0, ahol az értelmezési tartomány µ x <, ha ξ 0, D(G) : µ x (µ σ)/ξ, ha ξ < 0. Az így deniált függvényhez tartozó eloszlást általánosított Pareto-eloszlásnak hívjuk. 4.2. Deníció (Standard általánosított Pareto-eloszlás). Legyen az általánosított Pareto-eloszlásban szerepl paraméterek közül µ = 0 és σ = 1. Az így kapott G ξ függvény tehát 1 (1 + ξx) 1/ξ, ha ξ 0, G ξ = 1 e x, ha ξ = 0, alakú, ahol 0 x <, ha ξ 0, D(G) : 0 x 1/ξ, ha ξ < 0. Az így deniált függvényt standard általánosított Pareto-eloszlásnak hívjuk. 4.3. Tétel (MDA(H γ ) jellemzése Pareto-eloszlás segítségével). Legyen γ R, ekkor az alábbi állítások ekvivalensek. i) F MDA(H γ ) ii) Létezik egy olyan a pozitív, mérhet függvény, melyre lim u x F F (u + xa(u)) F (u) = G γ (x), 24

ha x a G γ standard általánosított Pareto eloszlásfüggvény értelmezési tartományából való. Bizonyítás. Csak a γ > 0 esetet vizsgáljuk, mert γ < 0 hasonlóan bizonyítható, γ = 0 pedig triviális. (i) (ii). Ha x > γ vezessük be a α = 1/γ jelölést, ekkor azt kapjuk, hogy H γ (x) = exp{ (1 + γx) 1/γ } = exp{ (1 + x/α) α } = Φ α (1 x/α). Ha x γ, akkor H γ (x) = 0 = Φ α (x). Ezekb l a 3.14 tétel alapján következik, hogy F RV α. A 3.11 tétel ekvivalens átfogalmazást ad a reguláris változásra. Legyen a(t) = t/ω(t), ahol ahol lim x Ω(x) = α. Ekkor ( x ) Ω(t) F (x) = h(x) = c(x) exp dt = c(x) exp t Alakítsuk át (ii) feltétel bal oldalát az alábbi módon: 1 ( x 1 ) 1 a(t) dt, x > 0. lim u x F F (u + xa(u)) F (u) = lim u xf F ((1 + xa(u)/u)u). F (u) Mivel F reguláris változású, F ((1 + xa(u)/u)u) lim u F (u) = (1 + xa(u)/u) α. Az a(.) függvény deníciója miatt a(u)/u = 1/Ω(u) és lim u 1/Ω(u) = (1/ α) = 1/α, tehát lim u a(u)/u = 1/α. Mivel γ > 0, a határeloszlás Fréchet típusú, tehát F jobb oldali végpontja lesz. Azaz fennáll F (u + xa(u)) lim u F (u) = (1 + x/α) α = G 1/α = G γ. és (ii) (i). Válasszuk u n = F (1 1/n) konstans sorozatot. Ekkor F (u n ) 1/n (1 + x/α) α = lim n F (u n + xa(u n )) F (u n ) = lim n nf (u n + xa(u n )) egyenl ségeket kapjuk. A 3.3 tételb l következik, hogy F MDA(H γ ), ahol a H γ eloszlásfüggvénye H γ (x) = exp( (1 + γx) 1/γ ). A tétel jelent sége, hogy X MDA(H γ ), akkor és csak akkor lehetséges, ha létezik egy szigorúan pozitív mérhet a(.) függvény, melyre lim P((X u)/a(u) > x X > u) = G γ (x). u x F A statisztikai alkalmazásoknál ezt nem mindig könny kimutatni, hiszen u x F esetén egyre kevesebb mintaelem áll a rendelkezésünkre. 25

4.4. Deníció (Meghaladási eloszlásfüggvény). Legyen az X valószín ségi változó, melynek eloszlásfüggvénye F, jobb végpontja x F. Egy u < x F számra F u (x) = P(X u x X > u), x 0, feltételes eloszlásfüggvényt nevezzük az X eloszlás u szint feletti meghaladási eloszlásfüggvényének. 4.5. Tétel. Adott γ R esetén az alábbi állítások ekvivalensek. i) F MDA(H γ ) ii) Létezik egy olyan b : R R pozitív, mérhet függvény, melyre lim u x F sup F u (x) G γ,0,b(u) (x) = 0. x (0,x F u) (Azaz, ha egy eloszlásból vett minta maximumaihoz létezik határeloszlás, akkor a szint feletti értékek eloszlását vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy egy általánosított Paretoeloszláshoz tart, ha a szint közelít az eloszlás fels végpontjához, és fordítva.) Bizonyítás. A 4.3. tétel ii) állítása átírható lim F u (a(u)x) G γ,0,0 (x) = 0, u x F x D(G) alakba. Mivel G γ,0,0 folytonos, az el bbi kifejezés egyenletesen konvergens a D(G) tartományon, azaz lim u x F sup F u (a(u)x) G γ,0,0 (x) = 0. x (0,x F u) Ebb l következik y = a(u)x helyettesítéssel, hogy 0 = lim u xf sup F u (y) G γ,0,0 (y/a(u)) = lim x (0,x F u) u xf sup F u (y) G γ,0,a(u) (y), x (0,x F u) ami éppen az ii) állítás. Vagyis a 4.3 tétel átalakításából kapjuk a bizonyítást. 26

5. Szimulációk A szimulációkat az R program segítségével készítettem. Minden esetben vettem egy adott elemszámú - jelöljük n-nel - véletlen mintát a meggyelt eloszlásból, és megkerestem a maximumát és megjegyeztettem. Ezt megismételtem elég sokszor és a kapott maximumok eloszlását kirajzoltattam egy hisztogramként a 'hist' paranccsal. Elég nagy ismétlésszám esetén ez már jól közelíti a maximumok eloszlását. Ez azonban csak az n elemre vonatkozó maximumok határeloszlását közelítette, a dolgozatban pedig n esetére adtunk képleteket. Ilyen eseteket sajnos nehéz lett volna vizsgálni és bonyolultabb statisztikai összefüggéseket igényelt volna, ezért én az n számot igyekeztem úgy megválasztani, hogy a kapott eloszlás már kell en hasonlítson egy extrém érték eloszláshoz. Az adatsorhoz tartozó extrém érték eloszlás meghatározása volt a következ lépés. Az {ismev} csomagban található 'gev.t' parancs megadta az adatokhoz leginkább illeszked extrém érték eloszlás paramétereit. El ször a hely, majd a skála, végül az alakparamétert. Mivel statisztikai adatokról van szó, a Gumbel típushoz tartozó 0 érték alakparamétert ténylegesen soha nem kaptam, ám ha az alak elég közel volt 0-hoz, akkor az eloszlást Gumbel típusúnak tekintettem. A kapott paramétereket felhasználva az {evir} csomagban található 'dgev' parancs segítségével az ábrákra rajzoltam (kék vonallal) az illesztett extrém érték eloszlást. Hasonló módon jártam el a küszöb feletti szimulációk esetén is, csak ott Pareto eloszlást illesztettem az adatsorhoz a 'gpd.t' és 'dgpd' parancsok segítségével. Most pedig nézzünk néhány konkrét szimulációt. 5.1. Egyenletes eloszlás (0,1) intervallumon Legyen az X E(0, 1) valószín ségi változó. X 1,..., X 50 független, X változóval azonos eloszlásúak. Vegyük max{x 1,..., X 50 } értékét. A szimulációban 50 darab mintaelem maximumát vettem. Ahhoz, hogy megkapjam az eloszlásukat, 10 5 alkalommal ismételtem ezt meg és ezeket az adatokat ábrázoltam az alábbi hisztogramon. A mintaelemek generálása körülbelül egy percet vett igénybe. A Fisher-Tippet tétel szerint a minta eloszlása egy extrém érték eloszláshoz fog tartani. A s r ségfüggvényhez egy Weibull típusú eloszlás s r ségfüggvénye illeszthet. A 'runif' parancs segítségével generáltam véletlen mintát a megadott intervallumon. Az illesztett extrém érték eloszlás a paraméterek alapján egy Weibull típusú eloszlás volt, melyet kék vonallal ábrázoltam is a hisztogramon. 27

0 10 20 30 40 50 mintaelem Weibull paraméterei: 0.99, 0.98, 0.019 Az elméleti paraméterek: 1,1,0.02 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 2. ábra. Egyenletes eloszlásból vett 50 mintaelem maximumához tartozó s r ségfüggvény és az illesztett Weibull eloszlás 5.2. Poisson eloszlás A Poisson eloszlás vizsgálata során néhány ötletet a [3] cikkb l merítettem. Vegyünk X 1,..., X n valószín ségi változókat λ paraméter Poisson-eloszlással és vizsgáljuk ezek maximumát. Els lépésben ellen rizzük a szükséges és elégséges feltétel teljesülését. Tudjuk, hogy P(X = k) = e λ λ k /k!, k R 0, λ > 0. Ebb l kapjuk, hogy F (k + 0) F (k) = F (k) P(X = k) P(X = k) F (k + 1) F (k) = 1 = 1 F (k) F (k) F (k) ( ) 1 ( ) 1 = 1 λk λ r k! = 1 1 + k! r! r! λr k. r=k r=k+1 28

Elég nagy k esetén (k > λ) r=k+1 k! r! λr k = s=1 λ s (k + 1) (k + s) ( ) s λ = λ/k k 1 λ/k s=1 0, ha k. Ebb l következik, hogy F (k+0)/f (k) 0, ha k 0, azaz nincs olyan (u n ) sorozat, melyre nf (k) τ. A Poisson-approximációs tétel alapján tehát nincs határeloszlása a maximumoknak. Viszont ha nincs határeloszlás, akkor mégis hogyan viselkedik a maximum? Erre az alábbi szimulációkkal kerestem a választ: 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 (a) 100 mintaelem maximuma (b) 1000 mintaelem maximuma 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 (c) 10 4 mintaelem maximuma (d) 10 5 mintaelem maximuma 3. ábra. Poisson eloszlásból vett minták maximumainak eloszlása. 10 4 vizsgált elem alapján nem konvergálnak, a két leggyakoribb érték aránya egymáshoz képest folyamatosan változik A szimulációkkal 1 paraméter Poisson eloszlást vizsgáltam, egyre több kísérletnek véve a maximumát. Kell en sok maximum már elég jól közelíti ezek eloszlását. Az ábrákon látszik, hogy a maximumok a legtöbb esetben két érték valamelyikét 29

veszik fel. Ezt a két értéket modális értéknek hívják. Azonban ha növelem a vizsgált elemek számát, a valószín ségek nem közelednek egy konkrét értékhez, egyszer egyik, egyszer másik valószín sége nagyobb. Érdekesség, hogy a modális értékek együttes valószín sége ugyan nem mutat szigorú növekedést, de oszcillálva mégis tart 1-hez. A [3] cikk részletesebben tárgyalja ennek az okait. 5.3. Néhány további eloszlás maximumaihoz tartozó szimulációk A normális eloszlásból generált, adott számú mintaelemnek vettem a maximumát. Ezekre általánosított extrém érték eloszlást illesztve azt kaptam, hogy az alakparaméter közel 0, azaz Gumbel típusú eloszlásról beszélhetünk. A hely és skálaparaméterek a következ képpen alakultak: 100 mintaelem esetén 2.325 és 0.382, valamint 10 4 mintaelem esetén 3.718 és 0.252 voltak. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 (a) 100 mintaelem maximuma (b) 10 4 mintaelem maximuma 4. ábra. Két ábra a standard normális eloszlású minta maximumáról 10 4 szimuláció alapján és a hozzájuk illesztett Gumbel eloszlás Geometriai, 0.95 paraméter eloszlásból vettem mintákat. Azért választottam ilyen magasra a paramétert, hogy csak nagyon ritkán vehessen fel a valószín ségi változó magas értékeket és könnyebb legyen ábrázolni. A geometriai eloszlásnál is a Poissonhoz hasonlóan azt kell tapasztalnunk, hogy ha a vizsgált elemek számával tartunk végtelenhez a maximumok eloszlása nem konvergál. 30

0.0 0.2 0.4 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 (a) 100 mintaelem (b) 10 3 mintaelem (c) 10 4 mintaelem 5. ábra. Három ábra a 0.95 paraméter geometriai eloszlású minta maximumáról, melyek nem mutatnak konvergens viselkedést 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0 20 40 60 80 6. ábra. Lognormális eloszlásból vett minta maximumához tartozó eloszlás 30000 szimuláció alapján láthatóan jól közelít egy Fréchet típusú eloszlást 31

5.4. Normális eloszlás küszöb feletti módszerrel Vegyünk egy standard normális eloszlásokból álló független mintát. Válasszunk ki egy u küszöbszámot és vizsgáljuk az ennél nagyobb mintaelemek eloszlását. El ször vizsgáljunk egy standard normális eloszlást. A minta 10 5 elemb l áll, nézzük meg a 0, 2 és 3 küszöbök feletti elemek viselkedését. A megfelel mintaelemek eloszlása és a 4.5. tétel értelmében hozzájuk leginkább illeszked általánosított Pareto-eloszlás az alábbi ábrákon látható. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 4 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 (a) A küszöb u = 0 (b) A küszöb u = 2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 3.5 4.0 4.5 (c) A küszöb u = 3 7. ábra. 10 5 mintaelemb l kapott normális eloszlás u küszöb feletti s r ségfüggvénye és a hozzá legjobban illeszked Pareto eloszlás Meggyelhet, hogy a 0 és a 3 küszöb esetén komolyabb eltérések vannak a minta eloszlása és a Pareto eloszlás között. Ez amiatt fordulhatott el, mert ezek nem megfelel küszöbszámok. A 0 esetén túl sok mintaelemet vizsgáltunk, ezért 32

az eloszlást nem csak az extrém értékek befolyásolják, a 3 esetén pedig túl kevés mintaelem esett a vizsgált területbe és ez torzította a kapott eloszlást. A 2 esetén a modell megfelel en m ködik. Az állítások igazolása végett vizsgáljuk meg, hogy 10 7 pont esetén megfelel küszöb lesz-e a 3. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 8. ábra. A küszöb itt is u=3, de a normális eloszlást 10 7 pontból állítottuk el. Itt már látszik a Pareto-eloszláshoz való illeszkedés Az ábra alátámasztja, hogy több mintaelem esetén már illeszkedik az általánosított Pareto eloszlás a magasabb küszöbszám feletti értékekre is. A küszöbszintet gyakran szokták egy fels kvantilishez tartozó értéknek választani. Ez egyrészr l garantálja, hogy csak magas értékeik legyenek, másrészr l ad egy arányt a minta elemszáma és a szint feletti adatok száma között. Így meghatározható, hogy mekkora minta esetén marad elég adtunk a megfelel Pareto eloszlás illesztéséhez. 5.5. Pareto eloszlás u küszöb felett Mint már tudjuk, ha egy tetsz leges eloszlás u küszöb feletti értékeit vizsgáljuk, azok Pareto eloszlásba fognak tartozni. Ha egy Pateto eloszlás esetén végezzük el, szintén Pareto eloszlást kapunk. Érdekes megvizsgálni, hogy hogyan hat a választott u küszöb az eloszlás paramétereire. Ehhez el ször írjuk fel a meghaladási eloszlásfüggvényt X valószín ségi változó és u D(F (x)) esetén. A teljes valószín ség tétele 33

miatt kapjuk, hogy F u (x) = P(X u x X > u) = = P(X u x) P(X u x X u)p(x u) P(X > u) F (x + u) 1F (u). 1 F (u) Az általánosított Pareto eloszlás 1 (1 + ξ(x µ) ) 1/ξ, ha ξ 0, σ G ξ,µ,σ (x) = 1 e (x µ) σ, ha ξ = 0, alakú. Vizsgáljuk el ször ξ 0 esetben a feltételes valószín séget. ξ(x+u µ) 1 (1 + ) 1/ξ (1 (1 + ξ(u µ) ) 1/ξ ) σ σ F u (x) = 1 + ξ(u µ) ) σ 1/ξ ( ) 1/ξ σ + ξ(x + u µ) = 1 = 1 σ + ξ(u µ) ( ) 1/ξ ξ(x) 1 + = P ξ,0,σ+ξ(u µ)(x). σ + ξ(u µ) Azt kaptuk, hogy a feltétel szerinti eloszlásban a Pareto eloszlás paraméterei részben megváltoztak az eredetihez képest. Az alakparaméter ugyanúgy ξ maradt, de a helyparaméter 0 lett. A skálaparaméter változott a legtöbbet, méghozzá hozzáadódott ξ(u µ), a paraméterekt l és u küszöbt l függ érték. Nézzük meg a ξ = 0 esetet is. F u (x) = = 1 (x+u µ) 1 exp( ) (1 exp( (u µ) )) σ σ exp(( (u µ) exp( (x+u µ) σ ) exp( (x µ) σ ) σ ) = 1 exp( x u + µ + u µ ) = 1 e x σ σ = P0,0,σ (x). P ξ,0,σ+ξ(u µ) (x) esetén ξ = 0 behelyettesítéssel éppen visszakapjuk a fenti paraméterezést. Tehát egy Pareto eloszlás esetén, tetsz leges értelmezési tartománybeli u küszöbhöz a kapott eloszlás P ξ,0,σ+ξ(u µ) (x) lesz. Nézzünk erre egy példát ξ = 0.1, µ = 0, σ = 5 paraméterekkel. A minta legyen 10 7 elem és vizsgáljuk meg 0, 10, 20, 30 küszöbökhöz tartozó eloszlásokat. A képlet szerint 5, 4, 3, 2 kell, hogy legyen a skálaparaméter, ehhez képest az illesztett eloszlások 5, 4, 2.99, valamint 1.91 értékeket adtak eredményül. Ez közelít leg megfelel az elvárásainknak. 34

0.00 0.05 0.10 0.15 0 10 20 30 40 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 5 10 15 20 25 30 (a) A küszöb 0, azaz nincs megkötés (b) A küszöb: u = 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 (c) A küszöb: u = 20 (d) A küszöb: u = 30 9. ábra. 10 7 mintaelemb l el állított Pareto eloszlások u küszöb felett valamint a hozzá illesztett Pareto eloszlás 35

6. Összefoglalás A dolgozatban bemutattam az extrém érték elmélet alapjait, a Fisher-Tippet tételt, a vonzási tartományok meghatározását, valamint a szint feletti értékek módszerét. Az extrém értékek témaköre azonban itt még nem ér véget. Két fontos kérdés merülhet fel ezek után, amelyekkel kapcsolatban még általánosabb állításokat tudunk megfogalmazni. Hogyan alakulnak a maximumok többváltozós esetben? Mi lehet a határeloszlás, ha a mintaelemek nem függetlenek? A többváltozós esettel foglalkozik b vebben a [7] cikk. Legyen G egy többváltozós valószín ségi változó. Ha G minden peremeloszlása Fréchet eloszlást követ és az összefügg séget egy megfelel mérték írja le, akkor az ilyen típusú eloszlást többváltozós extrém érték eloszlásnak hívjuk. Az ilyen eloszlásokat nem lehet néhány paraméterrel megadni, szükséges egy mérték deniálása hozzá. Emiatt nincs is megfelel karakterizációja. Egy F eloszlás akkor és csak akkor tartozik a Fréchet típusú többváltozós extrém érték eloszlás vonzási tartományába, ha log F (tx) lim t log F (t1) = log G(x) log G(1). A vonzási tartományhoz további ekvivalens átalakítások is léteznek. Amennyiben a vektorváltozó minden dimenziója azonos eloszlású, a független vektorok maximuma a hagyományos extrém érték eloszlással jellemezhet. Az összefügg mintaelemek esetén nem tudunk minden esetben a Fisher-Tippet tételhez hasonló állítást megfogalmazni. Azonban ha a mintaelemek csak gyengén összefügg ek, akkor a dolgozatban kifejtett tételek fennállnak. Ezzel a témakörrel a [8] cikk foglalkozik. 36

Ábrák jegyzéke 1. Az extrém érték eloszlások s r ségfüggvényei, balról jobbra, egyre nagyobb mediánokkal........................... 13 2. Egyenletes eloszlásból vett 50 mintaelem maximumához tartozó s - r ségfüggvény és az illesztett Weibull eloszlás............. 28 3. Poisson eloszlásból vett minták maximumainak eloszlása. 10 4 vizsgált elem alapján nem konvergálnak, a két leggyakoribb érték aránya egymáshoz képest folyamatosan változik................ 29 4. Két ábra a standard normális eloszlású minta maximumáról 10 4 szimuláció alapján és a hozzájuk illesztett Gumbel eloszlás........ 30 5. Három ábra a 0.95 paraméter geometriai eloszlású minta maximumáról, melyek nem mutatnak konvergens viselkedést.......... 31 6. Lognormális eloszlásból vett minta maximumához tartozó eloszlás 30000 szimuláció alapján láthatóan jól közelít egy Fréchet típusú eloszlást................................... 31 7. 10 5 mintaelemb l kapott normális eloszlás u küszöb feletti s r ségfüggvénye és a hozzá legjobban illeszked Pareto eloszlás....... 32 8. A küszöb itt is u=3, de a normális eloszlást 10 7 pontból állítottuk el. Itt már látszik a Pareto-eloszláshoz való illeszkedés........ 33 9. 10 7 mintaelemb l el állított Pareto eloszlások u küszöb felett valamint a hozzá illesztett Pareto eloszlás..................... 35 37

Hivatkozások [1] Filip Lindskog, The mathematics and fundamental ideas of extreme value theory, 2004. [2] Sidney Ira Resnick, Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes, Springer, New York, 1987. [3] Keith Briggs, Linlin Song, Thomas Prellberg, A note on the distribution of the maximum of a set of Poisson random variables, 2009. [4] T. Mikosch, Regular Variation Subexponentiality and Their Applications in Probability Theory, 1999. [5] M.R. Leadbetter, G. Lindgren, H. Rootzén Extremes and Related Properties of Random Sequences and Process, Springer, Berlin, 1983. [6] Philippe Soulier, Some applications of regular variation in probability and statistics, Caracas, 2009. [7] Anne-Laure Fougéres, Multivariate extremes, Extreme Values in Finance, 2004. [8] M.R.Leadbetter, On extreme values in stationary sequences, Springer, 1974. 38