Horvat Anna. Konvergencia-sebesség az extrémérték modellekben

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Horvat Anna Konvergencia-sebesség az extrémérték modellekben BSc Elemz Matematikus Szakdolgozat Témavezet : Dr. Zempléni András Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest, 2016

2 Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. Elméleti háttér Motiváció Az n elem minta maximumának határeloszlása Maximum vonzási tartományok Konvergencia-sebesség Egyenletes konvergencia-sebesség A becslés pontosítása Fordított eredmények Konvergencia Ψ α -hoz Kitekintés Küszöbmeghaladás Becslés GPD-vel Szimulációk n elem, exponenciális eloszlású minta maximumának eloszlása n elem, egyenletes eloszlású minta maximumának eloszlása n elem, standard normális eloszlású minta maximumának eloszlása Összegzés 34 2

3 Köszönetnyilvánítás Köszönöm témavezet mnek, Zempléni Andrásnak, hogy szakdolgozatom elkészítéséhez hasznos tanácsokat adott és iránymutatásul szolgált. Hálás vagyok türelméért és megértéséért. Valamint köszönöm családomnak az egyetemi éveim alatt nyújtott kitartó támogatást. 3

4 Bevezetés Extrém események az élet minden területén el fordulhatnak. Ezen események közös jellemz je, hogy nagyon ritkán következnek be, viszont hatásuk annál jelent sebb. Ilyen eseménynek tekinthet k a nagy árvizek, földrengések; a pénzügyi világban extrém esemény például egy t zsdekrach, vagy egy nagy katasztrófa esetén a biztosítók legnagyobb kizetései. Az extrémérték elmélet f feladata, hogy a kevés ismert meggyelés, adatok alapján olyan modelleket készítsen, amelyekkel elég jó el rejelzések adhatók ezen események bekövetkezésére. Dolgozatom célja az egyes valószín ségi változó sorozatok maximumainak konvergenciájának vizsgálata a megfelel extrémérték eloszlásokhoz, illetve a velük kapcsolatos elméleti eredmények összefoglalása. Ezzel összhangban bevezetem az ún. g-sv függvények fogalmát, amely segítségünkre szolgál a konvergencia rendjének megállapításában. Az els fejezetben röviden ismertetem a klasszikus extrémérték elméleti eredményeket, köztük a Fisher-Tipett-Gnedenko tételt, amely az extrémérték elmélet alapját képezi: egy minta maximumának vagy minimumának háromféle határeloszlása lehet; valamint a GEV eloszláscsaládot, amellyel a három extrémérték eloszlás egy formulába írható (Jenkinson, 1955). Ezt követ en a második fejezetben Richard L. Smith: Uniform Rates of Convergence in Extreme Value Theory [7] c. cikke alapján részletesebben kitérek a mintamaximumok közelítésére az extrémérték eloszlásokhoz: ismertetem a korábban említett g-sv függvényeket, melyeket alkalmazok is a konvergencia vizsgálatánál. A három határeloszlás közül Fréchet eloszláshoz vizsgálom részletesen a mintamaximumok konvergenciáját, röviden pedig a Weibull határeloszláshoz. A harmadik fejezetben egy kis kitér következik: mintamaximumok helyett egy minta u küszöb feletti, "elég nagy" értékeit vizsgálom, és bemutatom, miként alkalmazhatóak a második fejezetben bemutatott g-sv függvények a küszöbmeghaladáson alapuló modellezésben. Végül a negyedik fejezetben szimulációkon keresztül szemléltetem az egyes extrémérték eloszlásokhoz a konvergenciát. 4

5 1. fejezet Elméleti háttér 1.1. Motiváció A független valószín ségi változók maximumának határeloszlásáról szóló elmélet a centrális határeloszlás tétellel (CHT) számos hasonlóságot mutat. Legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószín ségi változók. Míg a CHT az X X n összeg határeloszlását adja meg n esetén, addig az extrém érték elmélet a minta extrémumainak (max (X 1, X 2,..., X n ) vagy min (X 1, X 2,..., X n )) határeloszlását vizsgálja, ha n. Tehát a CHT az extrém érték elmélet motivációjaként is tekinthet. Legyen X 1 +X X n = S n. A CHT kimondja, hogy X 1, X 2,... független, azonos eloszlású, véges szórású valószín ségi változók összege alkalmas konstansokkal normalizálva a standard normális eloszlásfüggvényhez konvergál eloszlásban, ha n tart a végtelenbe. A konstansok: a n = n EX 1 és b n = n DX 1. A tétel formalizálva: ( ) Sn a n P x Φ(x), n. (1.1) b n 1.1. Deníció. Legyen X 1, X 2,... független, azonos F eloszlású valószín ségi változók. Ekkor az F a G vonzási tartományába tartozik, ha megadható a n, b n normáló sorozat, hogy X X n a n b n G. Tehát (1.1) esetén az F eloszlásfüggvény a normális eloszlás vonzási tartományába tartozik, azaz F DA(Φ). Ám ha a szórásnégyzet végtelen, a független, azonos eloszlású valószín ségi változók normalizált összege α-stabilis eloszláshoz tart Deníció. Egy X valószín ségi változó stabilis, ha X 1 és X 2 függetlenek és azonos eloszlásúak X-szel, és bármely a > 0-ra és b > 0-ra teljesül, hogy ax 1 + bx 2 d = cx + d, ahol c > 0 és d valós. 5

6 1.2. Az n elem minta maximumának határeloszlása Legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószín ségi változók sorozata F közös eloszlásfüggvénnyel, és M n = max (X 1,..., X n ). Az M n maximum eloszlásfüggvénye: P (M n x) = P (X 1 x,..., X n x) = F n (x). Ekkor az M n x F, ha n 1 valószín séggel, ahol x F az F jobboldali végpontja, vagyis x F = sup{x R: F (x) < 1}. Ez nem igazán hordoz magában információt, így felmerül a kérdés, hogy van-e nem elfajult határeloszlása a lineárisan transzformált M n maximumnak. A CHT-hez hasonlóan próbáljuk a határeloszlást meghatározni, keressük, mely eloszlás vonzási tartományába fog tartozni Tétel. (Fisher-Tippett-Gnedenko tétel) Legyen X 1, X 2... független, azonos eloszlású valószín ségi változók sorozata F közös eloszlásfüggvénnyel. Ekkor, hogyha léteznek olyan valós a n > 0, b n normalizáló sorozatok, és ( ) Mn b n P x = F n (a n x + b n ) G(x), n, (1.2) a n ahol G nem elfajult eloszlásfüggvény, akkor G az alábbi három eloszlásfüggvény-típus valamelyikébe tartozik: { 0, x 0 Φ α (x) = exp{ x α }, x > 0, α > 0 { exp{ ( x) α }, x < 0, α > 0 Ψ α (x) = 1, x 0 Λ α (x) = exp { exp{ x}}, < x < Deníció. A Φ α (x) Fréchet, a Ψ α (x) Weibull és Λ α (x) Gumbel eloszlásfüggvényeket standard extrémérték eloszlásfüggvényeknek hívjuk Deníció. Ha X 1,..., X n független, az X változóval azonos eloszlású valószín ségi változók, valamint a n > 0 és b n alkalmas konstansok úgy, hogy akkor az X valószín ségi változót max-stabilisnak nevezzük. M n d = a n X + b n, (1.3) Legyen X 1, X 2... független, azonos eloszlású valószín ségi változók. Ekkor az (1.3) átírható az alábbi alakba: M n b n a n d = X. (1.4) Megállapíthatjuk, hogy minden max-stabilis eloszlás határeloszlása a lineárisan transzformált független, azonos eloszlású valószín ségi változók maximumának. S t a max-stabilis eloszlások az egyedüli határeloszlásai a normalizált maximumoknak. 6

7 1.6. Tétel. Max-stabilis eloszlások halmaza egybeesik az alkalmasan normált maximumok határeloszlásával. Ennélfogva, hogyha az X olyan extrém valószín ségi változó, amely eleget tesz (1.4)-nek, a Fisher-Tipett-Gnedenko tétel 3 esete megegyezik a következ kkel: Fréchet: M n d = n 1 α X, ugyanis ha X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószín - ségi változók Φ α (x) eloszlásfüggvénnyel, akkor P (M n < n 1 α x) = Φ n α (n 1 α x) = exp{ n(n 1 α x) α } = Φ α (x) Weibull: M n d = n 1 α X, ugyanis ha X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószín ségi változók Ψ α (x) eloszlásfüggvénnyel, akkor P (M n < n 1 α x) = Ψ n α (n 1 α x) = exp{ n( n 1 α x) α } = Ψ α (x) Gumbel: M n d = X + ln n, ugyanis ha X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószín ségi változók Λ α (x) eloszlásfüggvénnyel, akkor P (M n < x + ln n) = Λ n α(x + ln n) = exp{ n exp{ x ln n}} = Λ α (x). Az el z három eloszláscsaládot magába foglalja a következ nagy eloszláscsalád, a GEV (Generalized Extreme Value) eloszlás: [ ( )] 1 x µ G(x) = exp ξ 1 + ξ σ, (1.5) ( ) x µ ahol 1 + ξ > 0. A képletben a µ a hely-, a σ a skálaparaméter. A ξ az alakparaméter, amely megadja az eloszlás szélének lecsengésének sebességét. σ Ha ξ > 0: lassan lecseng eloszlás (Fréchet) ξ = 0: gyorsan lecseng eloszlás (Gumbel) ξ < 0: rövid szél eloszlás (negatív Weibull). 7

8 Eloszlásfüggvények Sűrűségfüggvények F(x) Weibull Gumbel Frechet f(x) Weibull Gumbel Frechet x x 1.1. ábra. Standard extrém érték eloszlások eloszlásfüggvénye és s r ségfüggvénye 1.3. Maximum vonzási tartományok A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogy milyen feltételeknek kell érvényesülniük F -re, hogy az F eloszlású független valószín ségi változók standardizált maximuma a megfelel maxstabilis eloszláshoz konvergáljanak eloszlásban. De el bb, ahogy a valószín ségi változók összegénél is tettük, vezessük be az extrém érték eloszlások vonzási tartományát is Deníció. Abban az esetben, ha (1.2) teljesül valamilyen nem elfajult G eloszlásfüggvénnyel, akkor F a G max-vonzási tartományában (maximum domain of attraction, röviden MDA) van. Jelölése: F MDA(G). Láthatjuk, hogy mivel az extrém érték eloszlások folytonosak, így az M n b n G kifejezés felírható a következ képpen is: a n lim P (M n < a n x + b n ) = lim F n (a n x + b n ) = G(x) ahol x R. n n Ezt ismerve könnyen belátható a következ állítás Állítás. Az F eloszlás a G extrém érték eloszlás max-vonzási tartományába tartozik az a n > 0, b n konstansokkal akkor és csak akkor, ha nf (a n x + b n ) ln G(x), n, x R Ha G(x) = 0, a határérték -nek vehet. 8

9 A konvergencia vizsgálathoz szükséges még ismertetnünk a reguláris- és lassú változású függvények fogalmát Deníció. (Reguláris változású függvény) A h: (0, ) (0, ) függvény reguláris változású a végtelenben p R indexszel, ha x > 0 esetén h(tx) lim t h(t) = xp Deníció. (Lassú változású függvény) Legyen h: (0, ) (0, ) regurális változású függvény. Ha p = 0, vagyis h(tx) lim t h(t) = 1, akkor a h függvényt lassú változásúnak mondjuk. Ha egy h(x) függvény reguláris változású p indexszel, akkor mindig felírható h(x) = x p L(x) alakban, ahol L egy lassú változású függvény. A továbbiakban vizsgáljuk meg az egyes extrémérték eloszlások maximum vonzási tartományainak karakterizációját. Els ként tekintsük a Fréchet-eloszlás esetét Tétel. (Fréchet-eloszlás max-vonzási tartománya) Az F eloszlásfüggvény a Φ α (x) vonzási tartományába tartozik akkor és csak akkor, ha ahol L egy lassú változású függvény, és F = 1 F. F (x) = x α L(x), (1.6) Az MDA(Φ α ) összes eloszlásának jobboldali végpontja végtelen, vagyis x F =. A Weibull-eloszlásból egyszer transzformációval megkaphatjuk a Fréchet eloszlást, a kapcsolatuk a következ képpen írható le: Ψ α ( 1 x) = Φα (x), x > 0. Ennek ismeretében várható, hogy a vonzási tartományaik is szoros kapcsolatban vannak. Továbbá ismert, hogy a Weibull max-vonzási tartományába tartozó eloszlásoknak van x F véges jobboldali végpontjuk Tétel. (Weibull-eloszlás max-vonzási tartománya) Az F eloszlásfüggvény a Ψ α (x) vonzási tartományába tartozik akkor és csak akkor, ha x F véges és ahol L egy lassú változású függvény. F ( x F 1 x) = x α L(x), (1.7) A Gumbel eloszlás max-vonzási tartománya tartalmaz számos véges- és végtelen jobb végponttal rendelkez eloszlást. Ezen eloszlás vonzási tartományának jellemzése jóval bonyolultabb az el z kett nél, összességben az exponenciális lecsengés eloszlások tartoznak ide. Karakterizáció helyett nézzünk egy példát. 9

10 1.13. Példa. Legyen F λ paraméter exponenciális eloszlás. Ekkor ( ) Mn b n P < x = F n (a n x + b n ) = (1 exp{ λ(a n x + b n )}) n a n Válasszuk a konstansokat úgy, hogy a n = 1 λ és b n = log n λ. Így ( 1 exp{ x} n) 1 n exp { exp{ x}}, tehát F M DA(Λ). Az 1.2 ábrán látható, hogy véletlenszer en generált exponenciális eloszlású n elem minta maximumai λ = 2 paraméter mellett, a példában alkalmazott konstansokkal valóban a Gumbel eloszláshoz tartanak. Tapasztalati és határeloszlások F(x) n=2 n=10 n=100 n=1000 Határeloszlás x 1.2. ábra. λ = 2 paraméter exponenciális eloszlású n elem minta maximumának konvergenciája a Gumbel határeloszláshoz. A konvergencia viszonylag gyors. 10

11 2. fejezet Konvergencia-sebesség Ebben a fejezetben a Fisher-Tipett-Gnedenko tételben megfogalmazott ( ) Mn b n P x = F n (a n x + b n ) G(x), n a n konvergencia sebességét fogjuk vizsgálni. A témát Richard L. Smith [7] cikke alapján közelítjük meg. A konvergencia-sebesség fontos a határeloszlás tételek esetében, mert segítségével megadható egy n küszöb, úgy, hogy a legalább n elem mintákra már elegend en jól simul a tapasztalati eloszlás a határeloszlás görbéjére. A fejezetben megnézzük ennek tulajdonságait, vele kapcsolatos tételeket, példát. Az extrémérték eloszlások konvergenciasebességére nem születtek olyan eredmények, mint a CHT esetében a Berry-Esséen tétel, amely fels becslést ad a normális közelítés hibájára általános feltételek esetén Tétel. (Berry-Esséen) Legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószín ségi változók, továbbá E X 1 3 véges és T n := ( n k=1 X k n m) / (σ n). Ekkor sup x F Tn (x) Φ(x) C E X 1 m 3 σ n, ahol C egy olyan konstans, amelyet id r l id re pontosítanak (2010-ben C = 0, 4785). Az extrémérték eloszlások konvergencia-sebességének vizsgálatánál az adott F eloszlás szélének viselkedését kell vizsgálnunk, hiszen a legkisebb és legnagyobb értékek az eloszlások szélén helyezkednek el. Tekintsük a G = Φ α esetet. Az 1.11 tételben láttuk, hogy az a n, b n normalizáló konstansok létezésének szükséges és elégséges feltétele az F szélének reguláris viselkedése α indexszel. Ezzel ekvivalens felírás log F (tx) lim t log F (t) = x α, x > 0. (2.1) Rendezzük át (1.6)-ot, amelyb l az L lassú változású függvény a következ képpen felírható: L(t) = t α log F (t), t > 0. (2.2) A következ fogalom rendkívül fontos lesz a továbbiakban. 11

12 2.2. Deníció. Azt mondjuk, hogy az L lassú változású függvény a g maradékfüggvénnyel, ha L(tx) 1 = O(g(t)), x > 0, t, (2.3) L(t) ahol g olyan függvény, hogy g(t) 0 t esetén. A továbbiakban jelöljük a fentebb deniált fogalmat g-sv-vel, mely az angol megfelel jének rövidítéséb l származik (slowly varying with remainder function g). A konvergencia rendjér l viszonylag pontos eredményeket kapunk általa. A tételeinkben rendre megjelenik az elmélet, eredményeinkkel szoros párhuzamban fog állni. A következ rövid példán keresztül láthatjuk, hogyha L g-sv függvény, akkor hogyan kapjuk meg a konvergencia-sebességet. Legyen b n = 0 és a n olyan sorozat, hogy Továbbá legyen log F (a n ) 1 n log F (a n ). (2.4) n log F (a n ) = 1 + O(r(n)), (2.5) ahol r n = g(a n ). Legyen x > 0. Ekkor felhasználva, hogy F reguláris változású: Ebb l következik, hogy n log F (a n x) = log F (a nx) log F (a n ) (1 + O(r n)) = x α L(a nx) L(a n ) (1 + O(r n)) = x α (1 + O(r n )). F n (a n x) Φ α (x) = O(r n ). (2.6) Ez az összefüggés felvet több érdekes kérdést is, a továbbiakban ezekkel foglalkozunk Egyenletes konvergencia-sebesség A kérdések közül els ként azt vizsgáljuk meg, hogy a (2.6) hogyan viselkedik 0 < x < esetén, ehhez el ször tekintsük a következ lemmát Lemma. Legyen L g-sv függvény valamely pozitív g függvénnyel, amelyre g(tx) g(t) < C, x > 1, t t 0, (2.7) C és t 0 pozitív konstansokkal. Ekkor (2.3) egyenletesen konvergál (0, )-n és léteznek olyan K, t 0 konstansok, amelyekre log L(tx) log L(t) Kg(t)(1 + log x), x 1, t t 0. (2.8) 12

13 Látni fogjuk, hogy ha az L g-sv függvény, és teljesíti a (2.7)-et, valamint g(tx) g(t) Bx θ minden t t 0 és x 1 esetén, ahol θ > 0, B > 0, (2.9) akkor az F egyenletesen tart az extrémérték határeloszláshoz 0 < x < esetén. A g-re vonatkozó (2.7) és (2.9) feltételek enyhék, hiszen az els feltétel automatikusan teljesül g-re, ha az csökken függvény, a második kikötés pedig csupán annyit jelent, hogy g nem csökkenhet túl gyorsan. A következ konvergencia-sebességre vonatkozó tétel az egyenletességre vonatkozó feltételeket összefoglalja, amit be is bizonyítunk Tétel. Tegyük fel, hogy F (x) < 1 minden véges x-re, és log F reguláris változású függvény α indexszel, ahol α > 0. Továbbá a (2.2) szerint deniált L függvény legyen g-sv függvény valamely g pozitív függvénnyel, amely megfelel a (2.7) és (2.9) feltételeknek. Legyen b n = 0 és a n (2.4) szerint deniálva, valamint r n = g(a n ). Ekkor sup F n (a n x) Φ α (x) = O(r n ), n. (2.10) x Vagyis a hiba nagyságrendjét úgy határozzuk meg, hogy vesszük az eloszlásgörbék különbségének supremumát. Bizonyítás. Ha F folytonos, n log F (a n ) = 1 minden n-re. Különben legyen ε n pozitív számokból álló sorozat úgy, hogy ε n = O(r n ) n esetén. Ekkor n log F (a n ) 1 n log F (a n (1 ε n )) = [ n log F (a n )](1 ε n ) α L(a n(1 ε n )) L(a n ) = [ n log F (a n )](1 + O(r n )). Tehát n log F (a n ) = 1 + O(r n ). (2.11) Bizonyításunkhoz felhasználjuk (2.8)-t, valamint megfelel jét 0 < x < 1 esetén, ami a következ : log L(tx) log L(t) Kg(tx)(1 + log x ), tx t 0. (2.12) Adott δ 0-hoz létezik t δ > t 0, úgy, hogy ha x > 0 és t > t δ, tx > t δ, akkor log L(tx) log L(t) δ(1 + log x ). (2.13) A 0 < x < 1 esetben (2.9)-b l kifejeztük g(tx)-et és behelyettesítettük (2.12)-be, és tx t 0 feltétel mellett teljesül. log L(tx) log L(t) K B g(t)x θ (1 + log x ) (2.14) 13

14 Ebb l újradeniáljuk K-t, ami legyen K : log L(tx) log L(t) K g(t)x 2θ. (2.15) A bizonyítás további részében tegyük fel, hogy δ < α 4. Külön fogjuk igazolni az x > 1 és 0 < x < 1 eseteket. Kezdjük az el bbivel, tehát legyen x > 1. A (2.8) és (2.13) log ( log F (a n x)) + log ( log F (a n )) α log x = log L(a n x) + log L(a n ) < (1 + log x) min (Kr n, δ) feltéve, hogy a n > t δ. Felhasználva (2.11)-t és K -t, megkapjuk, hogy minden elég nagy n-re: log ( log F (a n x)) log n α log x (1 + log x) min (Kr n, 2δ). (2.16) Vezessük be a H függvényt, amelyet a következ képpen deniálunk: H(y) = exp{ e y }. Ha y 1 = log ( n log F (a n x)) és y 2 = α log x, akkor ezeket H-ba helyettesítve: H(y 1 ) = F n (a n x), H(y 2 ) = Φ α (x), H(y 1 ) H(y 2 ) = (y 1 y 2 )H (ξ), ahol y 1 < ξ < y 2 és H = exp{ y exp{ y}} H els deriváltja. Legyen x > e. Ekkor (2.16) révén ξ > α log x 2δ(2 log x) = (α 4δ) log x, H (ξ) < H ((α 4δ) log x) x (α 4δ), x. Így visszahelyettesítve H(y 1 ) H(y 2 ) = (y 1 y 2 )H (ξ)-be, x és n esetén F n (a n x) Φ α (x) < y 1 y 2 x (α 4δ) < Kr n (1 + log x)x (α 4δ). Így a jobb oldal O(r n ), hiszen az x-t l függ tényez korlátos, aminek következtében F n (a n x) Φ α (x) konvergenciájának sebessége egyenletesen O(r n ) minden x > 1 esetén. Folytassuk a bizonyítást 0 < x < 1-re. A (2.16)-hez hasonlóan log ( log F (a n x)) log n α log x < min ( 2δ(1 + log x ), Kr n x 2θ), (2.17) ahol a n x t δ. Legyen ismét y 1, y 2 és ξ az x > 1 esethez hasonlóan deniálva. Ha x < 1 e, akkor ξ < (α 4δ) log x, és H (ξ) < H ( (α 4δ)) = x (α 4δ) exp { x (α 4δ)}, 14

15 és így x és n esetén, a n x t δ mellett F n (a n x) Φ α (x) Kr n x 2θ α+4δ exp{ x (α 4δ) }. (2.18) Ez, ha x 0 valójában O(r n ), tehát az állítást beláttuk x > t δ a n -ra. Elegend igazolnunk, hogy F n (t δ ) és Φ α ( t δ a n ) is o(r n ). A fentebbi feltételek F -re és g-re biztosítják, hogy r n legfeljebb olyan gyorsan csökkenhet, mint n valahányadik hatványa. Mivel F (t δ ) < 1, F n (t δ ) = o(r n ) nyilvánvaló (hiszen feltettük, hogy r n nem csökkenhet túl gyorsan). Másrészt, a n n 1 2 α, így ( ) ( ) { } tδ tδ Φ α Φ α = exp n 1 2, a n n 1 2 α t α δ ami szintén o(r n ), tehát beláttuk az állítást. Érdekes kérdés lehet még, hogy az a n, melyet (2.4) szerint deniáltunk, milyen széles intervallumon válaszható, hogy a tétel érvényes maradjon, vagyis teljesüljön az egyenletes konvergencia 0 < x < intervallumon. Ahhoz, hogy a konvergencia-sebesség O(r n ) legyen, a n -re a (2.5) szükséges és elégséges feltétel A becslés pontosítása Ebben a részben megvizsgáljuk, hogy meg tudunk-e határozni egy f hibatagot a közelítésben. A 2.4 tételben a hiba nagyságának rendjér l kaptunk információt, ami O(r n ), a gyakorlatban viszont sokszor van szükség annak függvényes formájára. Legyen az L és g függvény a (0, ) intervallumon értelmezve, és g legyen olyan függvény, hogy g(t) 0, ha t. Ekkor L(tx) 1 v(x)g(t), x > 0, t. (2.19) L(t) A cikk szerint, hogy ha (2.19) fennáll, és v teljesíti a feltételt, hogy létezik olyan x, hogy v(x) 0, és minden y-ra teljesül, hogy v(xy) v(y) 0, akkor g reguláris változású függvény p indexszel, ahol p 0 és v(x) = ch p (x) valamely c konstansra és h p -re, ahol h p (x) = x 1 up 1 du Tétel. Legyen L, F, a n és b n a (2.4) tételben látottakhoz hasonlóan deniálva. Tegyük fel, hogy L (2.19) szerinti g-sv függvény, ahol g reguláris változású függvény p indexszel, és v(x) = ch p (x) p 0 esetén. Ekkor 0 < x < esetén 2.6. Következmény. Ha p < 0, akkor egyenletesen x > 1, ahogy n. F n (a n x) Φ α (x) = cr n h p (x)x α Φ α (x) + o(r n ). (2.20) F n (a n x) Φ α (x) = cr n x α Φ α (x)(h p (x) + o(1)) 15

16 Ez az eredmény jelent s a gyakorlatban, tipikusan a legfontosabb kérdés a konvergencia az eloszlások fels szélén Következmény. Tegyük fel, hogy létezik f(x) = F (x) és legyen f(x) k(x) = F (x) log F (x). Tegyül fel még, hogy lim xk(x) = α, x amely ekvivalens von Mises szükséges, de nem elégséges feltételével az F n (a n (x)) Φ α (x)- ra vonatkozólag. Továbbá teljesüljön, hogy xyk(xy) α lim y yk(y) α = xp, x > 0. Legyen a n olyan, hogy F (a n ) = exp{ 1 }. Ekkor n F n (a n x) = Φ α (x) + 1 α (a nk(a n ) α)xh p (x)φ α (x) + o(a n k(a n ) α) konvergencia 0 < x < esetén egyenletes lesz, ahol φ α (x) = Φ α(x) Példa. Most nézzünk meg egy példát. Tekintsük az F eloszlásfüggvényt olyannak, hogy F (x) = 1 cx α dx α β + o(x α β ), x, ahol c > 0 és d 0 konstansok, és 0 < β < α. Legyen L(x) a (2.2)-nél látottakhoz hasonlóan deniált lassú változású függvény. Tudjuk, hogy az 1 F (x) = F (x) jó közelítése a log F (x), tehát 1 F (x) log F (x). Ezt felhasználva ( ( L(tx) L(t) = (tx)α 1 1 c(tx) α d(tx) α β + o((tx) α β ) ) (t) α( 1 (1 c(t) α d(t) α β + o((t) α β )) ) = 1 + d(tx) β /c + o((tx) β ) 1 + dt β /c + o(t β ) = 1 + dt β /c d(tx) β /c (1 + dt β /c) + o((tx) α β ) 1 + dt β /c + o(t β ) = 1 dt β (1 x β ) + o(t β ), c és ez éppen a (2.19)-ben fennálló eset, ahol g(t) = t β és v(x) = d(1 x β )/c. Az a n sorozat pontos értékét ugyan nehéz megadni, de láttuk, hogy Φ α (x) esetén a n = n 1 α és b n = 0. Tehát legyen a n (nc) 1 α, és így g(a n ) (nc) β α n esetén. Alkalmazzuk a 2.5 tételt, és megkapjuk, hogy F n (a n (x)) = Φ α (x) + n ( β α c 1 β α dx α 1 x β) ( ) Φ α (x) + o n β α, 0 < x <. A példa, illetve az ott látott módszer alkalmazható a Pareto- és a stabilis eloszlások maximuma konvergencia-sebességének becslésére (a Paretonál d = 0). 16

17 2.3. Fordított eredmények Korábban már láttuk, hogy az a n konstansoknak milyen intervallumba kell esniük, hogy az egyenletes sebesség érvényes maradjon az extrémérték eloszlásokhoz, most pedig ennél er sebb feltételeket keresünk. Feltehetjük a kérdést, hogy vajon az a n és b n konstansok optimálisak-e, azaz ezen normalizáló sorozatok mellett a leggyorsabb-e a konvergencia sebessége az extrém érték eloszlásokhoz. Amint látni fogjuk, ez nem mindig igaz. Másik kérdés is feltehet, méghozzá az, hogy mi történik akkor, ha a 2.4 tételünkben módosított normalizáló sorozatokat vizsgálunk, vajon akkor is érvényes-e az egyenletes sebesség, szükséges-e a g-sv tulajdonság. Mivel ez a két kérdés szorosan összefügg, így ezeket a részeket együtt vizsgáljuk meg. Legyenek a n > 0, b n és r n > 0 olyan módosított sorozatok, hogy r n 0 és F n (a nx + b n) = Φ α (x)(1 + O(r n)) (2.21) egyenletesen x (0, ) valamely véges halmazán. L legyen továbbra is (2.2) szerinti lassú változású függvény, és ahol a n (2.4) szerint van deniálva. a n a n 1 és b n a n 0, (2.22) 2.9. Tétel. L (2.3) szerinti g-sv függvény olyan g függvénnyel, hogy g(a n) = r n, ha r n = max (r n, b n/a n ). Bizonyítás. F reguláris változású tulajdonsága miatt (2.21) átírható ( ) α n a n + b n L(a x nx + b n) = 1 + O(r n). (2.23) Ekkor a konvergencia-sebesség az extrém érték eloszlásokhoz egyenletes véges x intervallumokon. Rögzítsük x 0 > 1-et, ekkor a konvergencia-sebesség egyenletes lesz a 1 x 2x 2x esetén. Adott t > 0-hoz legyen n(t) a legkisebb olyan egész szám, amelyre a n(t) t. Az n(t) jól deniált, mert tudjuk, hogy az a n, ami következik (2.22)-ból, és a n+1 Továbbá igaz n(t)-re, hogy teljesíti az a n 1. a n(t) < x 0 t, minden elég nagy t esetén. (2.24) Ehhez hasonlóan (2.22)-ból és (2.24)-ból b n(t) 0 t esetén is teljesül. t Rögzítsük t-t, és teljesüljön rá a (2.24) és b n(t) < 1 t 2x 0. Adott y legyen olyan, hogy 1 x 0 < y < x 0, és legyen x(y) olyan, hogy a n(t) x(y) + b 1 n(t) = ty. Hogyha az x(y) <, 2x 2 0 akkor behelyettesítve az el z ket azt az ellentmondást kapjuk, hogy y < x = 1, 2x 2 0 2x 0 x 0 17

18 hiszen 1 1 x 0 < y < x 0 nem teljesül. Így innent l fogva az x 2x 2x 2 0 feltétel mellett 0 folytatjuk az igazolást. Alkalmazzuk a (2.23)-t x(y)-ra és x(1)-re: ( L(ty) L(t) = a n(t) + b n(t) x(y) ( yx(1) = x(y) ( ty b n(t) y = ty b n(t) ( b n(t) = 1 α t ) α ( ) α ( 1 + O(r ) α a n(t) + b n(t) (1 + O(r x(1) n(t)) ) n(t)) ) ) α (1 + O(r n(t)) ) ) ( 1 1 ) + o y ( b n(t) t ) + O ( r n(t)). 1 Látható, hogy a konvergencia-sebesség egyenletes x 0 < y < x 0 esetén, és mivel x 0 tetsz legesen választható, így gyakorlatilag bármely véges y intervallumon egyenletes a sebesség. Írjuk át a kapott összefüggést egy vele ekvivalens alakba g 1 (t) = α b n(t) és t g 2 (t) = r n(t) deniálásával: L(ty) L(t) 1 = g 1(t)(1 1 y ) + o(g 1(t)) + O(g 2 (t)). (2.25) Legyen g(t) = r n (t); az r n = max (r n, b n/a n) deníciójából és (2.24)-b l következik, hogy g 1 (t) és g 2 (t) nagyságrendje O(g(t)), t esetén, így innent l L teljesíti (2.3)-t g-vel. Hogyha b n korlátos, akkor a 2.9 tételb l következik, hogy L g-sv függvény olyan g-vel, a nr n hogy g(a n) = r n. Ha g-re teljesülnek a 2.4 tétel feltételei, vagyis hogy g csökken függvény, de nem gyorsan csökken, akkor láthatjuk, hogy ha a n és b n helyébe a n -t és b n = 0-át helyettesítünk, akkor a konvergencia sebessége O(g(a n )). Az el bb említett g-re vonatkozó (2.7), (2.9) és (2.22) feltételek mellett ez megegyezik az O(r n )-nel vagy O(r n)-vel, vagyis a konvergencia sebessége nem javul az új, módosított sorozatok használatával. Ám felmerül a kérdés, mi történik, ha b n nem korlátos. Akkor látni fogjuk, hogy az a nr n új sorozatok javítani fognak a n és b n konstansokon, csak speciálisabb feltételek mellett. Tegyük fel, hogy r n rn 0. Ekkor b n, így g 2(t) a n r n g 1 0 ha t, és így (2.25) (t) ekvivalens L(ty) L(t) 1 = g 1(t)(1 1) + o(g y 1(t)), y > 0, (2.26) ami gyakorlatilag a (2.19), vagyis a g 1 reguláris változású függvény 1 indexszel Tétel. Az olyan a n és b n konstansok létezésének, amelyekkel a 2.9 tétel teljesül az r n r n 0 feltétel mellett, szükséges és elégséges feltétele, hogy L g-sv függvény (2.19) szerinti alakban, ahol g valamilyen reguláris változású függvény 1 indexszel. Továbbá v(y) = c(1 1 ), y > 0, c 0. y 18

19 Hogyha ez teljesül, az a n és b n konstansokat választhatjuk a következ képpen: a n + b n = a n, b n = 1 α ca ng(a n ). Azaz ezen feltételek mellett a konvergenciánk sebessége javulni fog. Bizonyítás. El ször lássuk be a szükségességet. Ha g = g 1 és c = 1, akkor éppen (2.26)-t kapjuk, tehát az állítást beláttuk. Most pedig nézzük az elégségességet. Használjuk a g- sv függvények második, (2.19)-ben deniált felírását, és legyen r n = g(a n ). Felhasználva (2.11)-et, a következ t kapjuk: Így n log F (a nx + b n) = log F (a nx + b n) log F (a n + b n) (1 + o(r n)) ( ) a = n x + b α n L(a nx + b n) a n + b n L(a n + b n) (1 + o(r n)) ( ) ) αb = x (1 α + n + r a n c (1 1/x) + o(r n ) n ( = x α 1 + r n c(1 1/x)(1 a ) n ) + o(r n ) = x α (1 + o(r n )). a n n(a nx + b n) α L(a nx + b n) = 1 + o(r n), amely pontosan (2.23) O(r n ) helyett o(r n)-nel, amib l látható, hogy javult a konvergencia. Anderson (1971) némileg er sebb feltételek mellett szintén belátta a szükségességet. ( ( ) a F n (a nx b n) Φ α (x) = α n 1 a ( n + o max a n ) a n x cr nh p x x α Φ α (x) ), b n, r n. + α b n a n 1 Ez levezethet a 2.5 tételb l, és egyenletes x-ben, ha x n = a nx n + b n és a 2.5 tételt alkalmazzuk x n -re. Az egyenlet jobb oldala akkor és csak akkor o(r n ), ha p = 1, ekkor ha a tételben kimondott módon választjuk az a n és b n konstansokat, a f tag elt nik. Azonban ezen konstansok alkalmazásával a f tag bámely p esetén lokálisan minimalizálva van x = 1 környékén. Így, ha (2.19) fentáll, lehetséges az a n és b n sorozatok helyett ezek módosításait használni még akkor is, ha p 1. a n 19

20 2.4. Konvergencia Ψ α -hoz Az 1.12 tételben láttuk, hogy milyen feltételek mellett tart egy eloszlásfüggvény a Weibullhatáreloszláshoz. Egyik feltétele az volt, hogy az F eloszlásfüggvénynek egy véges x F végponttal kell rendelkeznie, a másik pedig az, hogy az F 1 (x) = F (x F 1 ) szerint deniált F 1 (x)-nek a Φ α (x) vonzási tartományában kell lennie (lsd. (1.7)). Ebben a részben x vizsgáljuk meg röviden egy F eloszlásfüggvény konvergenciájának sebességét a Ψ α -hoz, hasonlóan az el z részekhez. Legyenek a n és b n konstansok olyanok, amely mellett lim F n (a n x + b n ) = Ψ α (x). n Legyen c n = 1 a n és ε n = c n (x F b n ). A vonzási tartományok karakterizációjánál szintén láttuk, hogy a Weibull és Fréchet határeloszlások között szoros kapcsolat van: legyen x és y olyan, hogy y = 1. Ekkor x ( ) cn y F (a n x + b n ) = F 1, 1 + ε n y s t Ψ α (x) = Φ α (y). Ha b n = x F, azaz ε n = 0, akkor a Fréchetnél látott 2.4 és 2.5 tételt közvetlenül alkalmazhatjuk mostani esetünkben is Tétel. Tegyül fel, hogy F 1 teljesíti a 2.4 tétel hipotézisét. Legyen b n = x F és a n olyan, amelyre teljesül, hogy log F (x F a n ) 1 n log F (x F a n ). Legyen r n = g( 1 a n ). Ekkor sup F n (a n x + b n ) Ψ α (x) = O(r n ). x Tétel. Tegyük fel, hogy F 1 teljesíti a 2.5 tétel hipotézisét. Ekkor F n (a n x + b n ) Ψ α (x) = cr n h p ( x)( x) α Ψ α (x) + o(r n ) egyenletesen < x < 0 esetén. A 2.12 tételb l látható a h p ( 1) = h y p(y) összefüggés Példa. Az egyenletes eloszlás a Weibull eloszlás vonzási tartományába tartozik, így tekintsük az F (x) = x a eloszlásfüggvényt. Értelmezzük F -et a (0, 1) intervallumon, b a tehát a = 0, b = x F = 1. Az (1.7)-b l L(t) = x α F (x F 1 ). Így x L(tx) L(t) = (tx)α (1 F (x F 1 )) + tx o((tx) 1 ) t α (1 F (x F 1)) + t o(t 1 ) = x α (tx) 1 + o((tx) 1 ) t 1 + o(t 1 ) = x α t 1 + (tx) 1 t 1 + o((tx) 1 ) t 1 + o(t 1 ) = 1 t 1 (1 x 1 ) + o(t 1 ). 20

21 Így legyen g(t) = t 1, v(x) = (1 x 1 ). Az r n = g( 1 a n ). Válasszuk a n = n 1, így g( 1 a n ) = n 1 és b n = 1. Így F n (a n x + b n ) = Ψ α (x) + n 1 ( x) α (1 x 1 )Ψ α (x) + o(n 1 ). A Weibull határeloszlás esetén az a n és b n módosító sorozatok esetén nem lesz gyorsabb a konvergencia, így azokat most nem ismertetjük. 21

22 3. fejezet Kitekintés 3.1. Küszöbmeghaladás A konvergencia-sebességr l szóló elméleti összefoglalónkban nagy hasznát láttuk a lassú változású függvények g-sv tulajdonságának, tételeinkben és azok bizonyításában rendre fontos szerepet kaptak. Most vizsgáljuk meg, miként alkalmazható mindez a gyakorlatban, jelen esetben az eloszlások szélének vizsgálatában. Ezen fejezet alapjául [6] cikk szolgál, amely az eloszlásfüggvények szélének becslésével, azok aszimptotikus tulajdonságával foglalkozik, egy küszöb meghaladásán alapulva. Amiért számunkra érdekes, hogy több eredményt is a g-sv tulajdonság alkalmazásával kapott meg. Másrészt az eredmények lefedik az extrém érték elmélet mindhárom határeloszlás típusát is, amelyek közül a Fréchet esetet nézzük meg. El ször tekintsük a vizsgált rész elméleti hátterét röviden. El z fejezetünk határeloszlás tételét a gyakorlatban úgy lehet használni, hogy az egyes blokkokból (ilyen blokkok lehetnek jellemz en fél éves vagy éves blokkok) kiválasztjuk a maximumot, és azt már extrém-érték eloszlásúnak tételezzük fel. Ezt a módszert blokk-maximum módszernek hívjuk. Azonban ebben a részben már nem a blokk-maximum módszert alkalmazzuk, az F eloszlásfüggvény szélének vizsgálata egy küszöb túllépésén fog alapulni. A blokk-maximum módszer egyik hátránya, hogy az - amúgy is kevés rendelkezésre álló - extrém adatok közül csak a maximumot használja fel, így viszont sok adat elvész. A küszöbmeghaladáson alapuló modellek során el re megadunk egy magas küszöböt, és amely események ezt túllépik, azokat fogjuk extrém értékeknek hívni. Ez formálisan a következ : legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószín ségi változók közös F eloszlásfüggvénnyel. Tekintsük extrém eseményeknek azokat, amelyek egy magas, tetsz legesen megválasztott u küszöbértéket túllépnek, és legyen x F < F fels végpontja. Ekkor Pickands (1975) eredményei alapján F u (y) = F (u + y) F (u), u < x F, 0 < y < x F u (3.1) 1 F (u) a feltételes eloszlásfüggvénye az X u-nak, ha X > u. Deniáljuk az általánosított Pareto 22

23 eloszlást (Generalized Pareto Distribution, GPD): { 1 (1 ky σ G(y; σ, k) = ) 1 k, k 0, σ > 0, 1 exp{ y }, k = 0, σ > 0, (3.2) σ ahol 0 < y <, ha k 0, 0 < y < σ, ha k > 0. k Ha az u küszöbszint tart az eloszlásfüggvény jobb oldali végpontjához, akkor a GPD jó közelítése lesz az u szint feletti maximumok eloszlásának, vagyis lim u x F sup F u (y) G(y; σ, k) = 0 (3.3) 0<y<x F u rögzített k-ra és σ(u)-ra akkor és csak akkor, ha az F valamely H extrémérték eloszlás maximum vonzási tartományában van. Hogyha H = Φ α, akkor k = 1 α, ha H = Ψ α, akkor k = 1 α, és H = Λ α esetén a k = 0. Így megkaphatunk egy becslést az F eloszlás fels szélér l, ami konzisztens mindhárom maximum vonzási tartománnyal. Általánosított Pareto eloszlás G(x) k= 1 k=0 k= x 3.1. ábra. Általánosított Pareto eloszlás különböz alakparaméterekkel 23

24 3.2. Becslés GPD-vel Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlású valószín ségi változók közös F eloszlásfüggvénnyel. Rögzítsünk egy magas u küszöböt. Legyen Y 1,..., Y N az extrém értékek, vagyis azok a változók, amelyek túlléptek u-n, és N jelzi a küszöbmeghaladások számát. Ekkor Y i = X j u, ahol az i. túllépés indexe j. Ekkor a küszöbmeghaladások független, azonos eloszlású valószín ségi változók közös F u eloszlásfüggvénnyel. Az F u -t szeretnénk becsülni a GPD-vel. Egy u küszöb esetén maximum likelihood paraméterbecslést végzünk G(y; σ, k)-ra, és ezekkel a ˆσ és ˆk becsült paraméterekkel közelítjük F u -t. Legyen g(y; σ, k) = G(y; σ, k) y a GPD s r ségfüggvénye. Tekintsünk Y 1,..., Y N független, azonos eloszlású valószín ségi változókat a pontos GPD s r séggel. Jelölje L N (σ, k) = N log g(y i, σ, k) i=1 [ σ LN a log-likelihood függvényt. Legyen (σ, k)-ra U N (σ, k) =, L ] N negatív gradiens vektor és legyen I N (σ, k) 2 2 információs mátrix olyan, hogy diagonális elemei: σ k σ 2 L N, 2 L N, és az o-diagonális elemei: σ L N σ 2 k 2 σ k. Ekkor k < 1 esetén EU 2 N = 0, és ahol M = 1 (1 2k)(1 k) EU N U T N N = EI N N = M, [ ] [ ] 1 k 1 2 1, M 1 = (1 k) k Ekkor a (ˆσ N, ˆk N ) lokális maximumokra teljesül, hogy [ ] ˆσNσ [[ ] ] 1 0 N ˆk Nk N, M 1, 1 0 k < 1 2. (3.4) Az N a kétváltozós normális eloszlást jelöli. Az Y 1,..., Y N legyen most az F u -ból meghatározva. Ha (3.3) tétel teljesül, akkor meglehet határozni egy olyan φ maradékfüggvényt, amelyre lim u x F sup F u (y) G(y; σ, k) = O(φ(u)), (3.5) 0<y<x F u ahol φ(u) 0 u x F esetén. Precízebb eredményekért tegyük fel, hogy N, u = u N x F és σ = σ N = σ(u N ). Ekkor [ ˆσN ] N σn 1 N [ M ˆk 1 b, M 1 ], N k 24

25 ahol 1 N EU N (σ N, k) b, ahol b véges vektor, NI 1 N (σ, k ) p M 1, egyenletesen(σ, k )-n. Nézzük meg a Fréchet-határeloszlásra vonatkozó eredményeket részletesebben. Legyen F eloszlásfüggvény a Φ α vonzási tartományában. Ekkor az (1.6)-ból L(t) = t α F (t) Állítás. Legyen L lassú változású függvény φ maradékfüggvénnyel. Tegyük fel, hogy L teljesíti a (2.3) vagy a (2.19) feltételt, g helyett most φ-re. Legyen w egy valós érték függvény (1, )-n. Tegyük fel valamely p 0-val, hogy vagy (2.19) teljesül φ reguláris változású függvénnyel, melynek indexe p, vagy (2.3) teljesül nem növekv φ-vel, és φ(tx) φ(t) Cxp, t t 0 0, x > 1, C <. Ha p = 0 és w(x) x ε dx véges valamely ε > 0 esetén, vagy p < 0 és w integrálható, 1 akkor w(x) L(tx) L(t) dx = w(x)dx + O(φ(t)). Ha 2.19 teljesül, akkor 1 1 w(x) L(tx) L(t) dx = 1 1 w(x)dx + φ(t) 1 w(x)v(x)dx + o(φ(t)), ahol v a 2.19-ben meghatározott függvény. Most már megfogalmazhatjuk f eredményünket a Φ α (x) esetén Tétel. Legyen L (2.19) szerint meghatározott lassú változású függvény φ maradékfüggvénnyel. Legyen Y 1,..., Y N független, azonos eloszlású valószín ségi változók közös F un eloszlásfüggvénnyel, ahol N, u N olyan, hogy Ncφ(uN ) µ, < µ <. α p Legyen k = 1, σ α N = u N α. Ekkor a GPD paramétereire felírt likelihood függvénynek létezik egy (ˆσ N, ˆk N ) lokális maximuma, amelyre 1 valószín séggel [ ˆσN ] µ(1 k)(1 + 2kp) N σn 1 N 1 k + kp ˆk N k µ(1 k)k(1 + p), M 1. 1 k + kp Ha L (2.3) szerint meghatározott lassú változású függvény φ nem növ maradékfüggvénnyel, és Nφ(u N ) 0, akkor az eredmény ugyanaz marad, de µ = 0 lesz, azaz teljesül az aszimptotikus torzítatlanság. 25

26 4. fejezet Szimulációk Érdekes lehet szimulációkon keresztül megvizsgálni a mintamaximumok konvergenciáját a határeloszlásokhoz. A szimulációkat az R statisztikai programcsomaggal készítettem, 3 különböz eloszlásra: normális, exponenciális illetve egyenletes eloszlásokra. A szimulációk készítésének menete a következ képpen zajlott: el ször generáltam egy adott eloszlású, n elem véletlen mintát, melyb l az elemek sorbarendezése után kiválasztottam a legnagyobb elemet, a maximumot. Ezt a lépést kell en sokszor megismételtem, és a kiválasztott legnagyobb elemek adták az n elem minta maximumainak eloszlását, M n -t. Ezt az M n -t a megfelel a n és b n sorozatokkal normalizáltam, és különböz módszerekkel szemléltettem a konvergencia sebességét. El ször ábrázoltam a megfelel en normalizált, adott eloszlású minta maximumainak tapasztalati eloszlásfüggvényeit az adott n mintanagyságokra a határeloszlásukkal. Ez rendkívül szemléletes, hiszen látható, hogy a görbék a különböz n-ek esetén milyen szépen simulnak a határeloszlás görbéjére. Második lépésként megvizsgáltam a határeloszlás és a normalizált maximumok QQplotját, valamint Michael-féle szórás stabilizált PP-plotját [4]. A QQ- és PP-plotot a modellek diagnosztizálására szokták alkalmazni, képet ad arról, hogy az általunk használt modell mennyire jó úgy, hogy összehasonlítja a tapasztalati- és illesztett eloszlásfüggvényt. A pontok minél inkább illeszkednek az x = y egyenesre, annál jobb a modellünk. Amellett, hogy a QQ- és PP-plottal a modell milyenségét vizsgáljuk, a konvergencia gyorsaságáról is képet ad úgy, hogy a mintanagyságokra hogyan javul az illeszkedés. Végül Kolmogorov-Szmirnov próbával vizsgáltam a tapasztalati- és határeloszlás görbék eltérésének supremumát, amely által számszer eredményt kaptam a konvergencia sebességére. A Kolmogorov-Szmirnov próbát illeszkedés ellen rzésére alkalmazzák, egymintás esetben megadja, hogy egy n elem minta eloszlása csakugyan az az eloszlás-e, amit feltettünk, két mintás esetben pedig, hogy a két minta azonos eloszlásból való-e. Lényege (az egymintás esetre), hogy a döntést a tapasztalati és az elméleti eloszlásfüggvény abszolút eltérésének supremuma alapján hozzuk meg. Glivenko tétele szerint a tapasztalati eloszlásfüggvény egyenletesen tart a valódi eloszlásfüggvényhez, azaz: d n = sup ˆF n (x) F (x) 0. x Így a nullhipotézisünk az, hogy a minta a feltételezett elméleti eloszlásból származik, az 26

27 ellenhipotézisünk pedig az, hogy nem. A minta minden elemére kiszámoljuk a különbséget, és ha a d max, azaz a legnagyobb különbség nagyobb, mint egy el re meghatározott α-ra d α, akkor a nullhipotézisünk nem teljesül. A supremumot a sorbarendezett mintaértékeken számoljuk. Számunkra a d n -ek változása lesz érdekes a különböz n-ekre, mely megmutatja, milyen gyorsan csökken a két eloszlásgörbe eltérése. A szimulációk során az exponenciális- és egyenletes minta maximumának esetében k-t nek, normális eloszlású minta esetén nak választottam technikai okokból. Mégis, ezen ismétlésszámok mellett is a minták maximumainak eloszlása elegend en hasonlítottak a különböz extrémérték eloszlásokhoz. Végül a szimulációk bemutatása el tt megjegyzem, hogy ugyan a részletesen bemutatott elmélet nem alkalmazható a Gumbel esetre, de gyakorlati fontosságuk miatt fontos ket megvizsgálni. Ismert, hogy az exponenciális- és normális eloszlású minta maximumeloszlása is a Gumbel határeloszláshoz tart n elem, exponenciális eloszlású minta maximumának eloszlása Az 1.13 példában bevezettük, hogy az exponenciális eloszlású minta maximumának eloszlása a Gumbel eloszláshoz tart. A normáló konstansok maradjanak az 1.13-ban látottakhoz hasonlóak. Az 1.2 ábrán szemmel látható, hogy már n = 10 esetén is csak kis eltérés van az empirikus- és a Gumbel eloszlásgörbék között. A görbéket n szerint növekv sorrendben illesztettem az ábrára, így az, hogy csak a piros görbe látható azt jelenti, hogy teljesen lefedi az n = 100-as esetet és a Gumbel eloszlás görbéjét. Tehát az exponenciális eloszlású minta maximumának eloszlása gyorsan konvergál a határeloszláshoz. Tekintsük a PP-plot ábrát az n elem minta maximumával és Gumbel eloszlással. A konvergencia gyorsaságát támasztja alá a 4.1 ábra is. A képen látható, hogy gyakorlatilag már n = 100-tól illeszkednek a pontpárok az egyenesre. PP plot n=10 re PP plot n=100 ra Feltett eloszlás Feltett eloszlás Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás 4.1. ábra. A standard Gumbel eloszlás összehasonlítva a normalizált exponenciális maximumeloszlással 27

28 A QQ-plot ábrán is jól illeszkednek a pontok az x = y egyenesre. A nagyobb eltérést adó pontok a véletlennek az eredményei: nagyobb ismétlésszám esetében szinte tökéletes az illeszkedés. QQ plot n=10 re QQ plot n=100 ra Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás Feltett eloszlás Feltett eloszlás 4.2. ábra. A standard Gumbel eloszlás összehasonlítva a normalizált exponenciális maximumeloszlással A Kolmogorov-Szmirnov próba eredményei a 4.1 táblázatban vannak összefoglalva. A két eloszlás különbségének maximuma sebesen csökken, a p-érték eredményei pedig gyorsan n nek. Ugrásszer növekedést látunk n = 1000 és n = 5000 p-értékei között. mintanagyság (n) d max p-érték n = < n = < n = n = n = táblázat. Kolmogorov-Szmirnov próba exponenciális eloszlású minta maximumára a Gumbel eloszlással A következtetésünk tehát, hogy egy exponenciális eloszlású minta maximumának eloszlása hamar felveszi a Gumbel-eloszlás görbe alakját n elem, egyenletes eloszlású minta maximumának eloszlása Az egyenletes eloszlású mintamaximumok eloszlása a Weibull maximum vonzási tartományába tartozik. Mi most tekintsük az U(0, 1) standard egyenletes eloszlású minta maximumát. Az M n normalizálásához válasszuk az a n = 1 n és b n = 1 konstansokat. 28

29 Tapasztalati és határeloszlások F(x) n=10 n=100 n=1000 n=5000 Határeloszlás x 4.3. ábra. Az a n, b n konstansokkal normált standard egyenletes eloszlású minta maximumának közelítése a Weibull eloszláshoz Az exponenciális mintamaximumhoz hasonló helyzet áll fent, ugyanis olyan gyorsan konvergál az egyenletes mintamaximum eloszlása a Weibull eloszláshoz, hogy már 100 mintaelem esetén is illeszkedik az empirikus görbe az elméleti görbére. Ezt mutatja, hogy csak világoskék, n = 5000 mintához tartozó görbe látszik, amely letakarja az n = 100 és n = 1000 eseteket is. A PP-plotok az egyenletes mintamaximumoknál is gyors illeszkedést mutatnak. PP plot n=10 re PP plot n=100 ra Feltett eloszlás Feltett eloszlás Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás 4.4. ábra. A Weibull eloszlás összehasonlítva a normalizált egyenletes maximumeloszlással A 4.5 ábrán n = 10 esetén ugyan a kvantilis pontpárok nem illeszkednek az egyenesre, n = 100-tól már az eloszlásgörbék alapján várt értékeket látunk. 29

30 QQ plot n=10 re QQ plot n=100 ra Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás Feltett eloszlás Feltett eloszlás QQ plot n=1000 re QQ plot n=5000 re Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás Feltett eloszlás Feltett eloszlás 4.5. ábra. A Weibull eloszlás összehasonlítva a normalizált egyenletes maximumeloszlással A Kolmogorov-Szmirnov próba is a várt eredményeinket igazolja. A görbék eltérése már n = 10 esetén is alacsony volt, n növekedtével közel 0 a különbség. mintanagyság (n) d max p-érték n = n = n = n = táblázat. Kolmogorov-Szmirnov próba n elem egyenletes eloszlású minta maximumára Weibull eloszlással 4.3. n elem, standard normális eloszlású minta maximumának eloszlása A különböz határeloszlások maximum vonzási tartományainál már láttuk, hogy az exponenciális lecsengés eloszlások, tehát a normális eloszlású minták maximuma is a Gumbel eloszláshoz konvergál. 30

31 Keressük a megfelel a n és b n normalizáló sorozatokat a kvantilisek segítségével. Legyen 0 < q < 1. Ekkor F n q-kvantilise az az x q, amelyre teljesül, hogy F n (x q ) = q. Azonos valószín ségi változók maximumának eloszlásfüggvénye F n (x) = F n (x), ezért x q,n = F 1 (q 1 n ). Választhatjuk b n -nek a mediánt, vagyis b n = x 1 2 ;n és a n -t pedig a két kvartilis különbségének, azaz a n = x 3 4 ;n x 1 4 ;n. Mivel a becslésünk mediánja 0, szórása 1, így a határeloszlásunknak is hasonlóan kell viselkednie. Legyen β a skálaparaméter és α a helyparaméter. A medián α + β log log 2, ami tehát egyenl 0-val, és a szórás β(log log 4 log log 4 ), ami egyenl 1-gyel. A két 3 egyenletb l megkapjuk a paramétereket: β = 1 log log 4 log log( 4), α = log log 2 log log 4 log log A Gumbel eloszlást ezekkel standardizáljuk. Tapasztalati és határeloszlások F(x) n=1000 n= n= n= Határeloszlás x 4.6. ábra. Kvantilisekkel normált standard normális eloszlású minta maximumának közelítése az α, β paraméter Gumbel eloszláshoz. A legnagyobb mintanagysághoz tartozó görbe majdnem lefedi a határeloszlást. A normalizáló konstansoknak természetesen nem muszáj pontosan ezeket az értékekek felvenniük, az is elegend, ha csupán közelítik ezeket. Nézzünk egy konkrét példát, ahol a normalizáló konstansok [9] alapján a következ k: ( ) 4 log log 2 2 a log n = 2 4/3 2 2 log n, b n = 2 log n log (log n) + log (4π log2 2) 2. 2 log n 31

32 Tapasztalati és határeloszlások F(x) n=1000 n= n= n= Határeloszlás x 4.7. ábra. Az a n, b n konstansokkal normált standard normális eloszlású minta maximumának közelítése az α, β paraméter Gumbel eloszláshoz Most nézzük meg, mennyire illeszkednek a pontpárok az x = y egyenesre. QQ plot n=1000 re QQ plot n= re Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás Feltett eloszlás Feltett eloszlás 4.8. ábra. A Gumbel eloszlás összehasonlítva a standard normális eloszlású minta normalizált maximumeloszlásával 32

33 QQ plot n= ra QQ plot n= ra Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás Feltett eloszlás Feltett eloszlás 4.9. ábra. A Gumbel eloszlás összehasonlítva a standard normális eloszlású minta normalizált maximumeloszlásával A 4.8 és 4.9 ábrákon látható, hogy van konvergencia, ám a lassú közelítést igazolja az is, hogy os mintanagyságra sincs tökéletes illeszkedés. Nézzük meg, milyen tendenciát mutat az eloszlásgörbék távolságának supremuma. mintanagyság (n) d max p-érték n = < 10 9 n = < 10 7 n = < 10 5 n = táblázat. Kolmogorov-Szmirnov próba normális eloszlású minta maximumára Gumbel eloszlással A 4.3 táblázat d max elemei noha lassan, de csökkenek, vagyis valóban közelíti az a n, b n konstansok által normalizált maximumok eloszlása a Gumbel eloszlást. 33

34 Összegzés Szakdolgozatomban a független, azonos eloszlású valószín ségi változók maximumának konvergenciáját vizsgáltam a Fisher-Tipett-Gnedenko tételben megfogalmazott határeloszlásokhoz. Az elméleti eredményeket összefoglaló részben a Fréchet-eloszlásra tértem ki részletesen. Láthattuk, hogy milyen fontos a normalizáló konstansok megválasztása a konvergencia sebességének szempontjából, és azt is, hogyan javíthatunk rajtuk. A Weibull eloszlással lév szoros kapcsolata miatt ezek a Fréchet határeloszlásra vonatkozó eredmények - egy kis transzformációval - alkalmazhatóak voltak a Ψ α esetre is, melyet rövidebben ismertettem. A Gumbel határeloszlás esete jóval bonyolultabb az el z kett nél, és meghaladja eme dolgozat kereteit, így arra nem tértem ki, jóllehet ennek vizsgálata érdekes lehet. A dolgozatban bemutattam a g-sv függvények jelent ségét, a konvergencia rendjér l kaphatunk információt általuk. Mind a tételekben és bizonyításokban alkalmaztuk ket. Az extrém-érték elmélet egy másik megközelítése a küszöb feletti értékek vizsgálata. Megnéztem, miképpen alkalmazhatók a g-sv függvények a küszöbmeghaladáson alapuló modellek esetén. Láthattuk, hogy az Általánosított Pareto eloszlás (GPD) jó közelítése az u szint feletti maximumok eloszlásának. Ezen GPD paramétereinek becslésére kaptunk eredményeket. Végül szimulációk segítségével vizsgáltam és szemléltettem a mintamaximumok konvergenciáját a határeloszlásokhoz. Láthattunk két gyors, és egy rendkívül lassú konvergencia-sebességet. Ugyan a Gumbel eloszlás elméleti összefoglalónkban nem jelent meg, mégis érdekes volt a mintamaximumok ezen eloszláshoz tartó közelítését szemlélni. Az egyenletes eloszlású mintamaximumok Ψ α -hoz és exponenciális eloszlású mintamaximumok Λ α -hoz tartó konvergenciája gyors, n = 100 esetén is felvették a határeloszlásuk görbéjének alakját. A normális eloszlású mintamaximumoknál láthattuk, ha kvantilisekkel normáltuk az M n -t, lényegesen gyorsabban közelített a Gumbel eloszláshoz, mint amikor konstansokkal normalizáltunk. Utóbbi esetben még n = 10 7 mintanagyságra sem simult a határeloszlásgörbére. A szimulációk során az R program evd csomagját használtam, a GPD ábra készítéséhez pedig az fextremes csomagot alkalmaztam. 34