Határeloszlástétel a maximumokra. 3. előadás, március 1. A bizonyítás vázlata. Típusok. Tétel (Fisher és Tippet, 1928)
|
|
- Ilona Gulyásné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Határeloszlástétel a maximumokra 3. előadás, március 1. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Tétel (Fisher és Tippet, 1928) Legyen X 1, X 2,..., X n,... független, azonos eloszlású, M n = max(x 1, X 2,..., X n ). Ha vannak {a n } és {b n } > 0 sorozatok, hogy ( Mn a n P b n ) z G(z) ha n valamilyen nem-elfajuló G eloszlással, akkor ez a G szükségképpen max-stabilis (vagy más néven extrém-érték eloszlás) { } ( G(x) = exp 1 + ξ x µ ) 1 ξ, σ ahol 1 + ξ x µ σ > 0 ha ξ 0. ξ = 0 esetén G(x) = exp( exp( x)). A max-stabilitás: minden n-hez létezik a n, b n, hogy F (n) (x) = F(a n x + b n ). Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 1 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 2 / 30 Típusok A bizonyítás vázlata A normalizált maximumok lehetséges határeloszlásainak az eloszlásfüggvényei: Frechet: Φ α (x) = exp( x α ) (x>0) α pozitív paraméter. Weibull: Ψ α (x) = exp( ( x) α ) (x<0) Gumbel: Λ(x) = exp( exp( x)) Kapcsolat az eloszlások között: X Φ α ln X α Λ X 1 Ψ α [max(x 1, X 2,..., X n ) a n ]/b n eloszlásfve: F n (b n x + a n ) F n (b n x + a n ) G(x) pontosan akkor, ha n log(f(b n x + a n )) log(g(x)) Ebből differenciálegyenlet Megoldás visszahelyettesítése A normáló tényezők (legyen X max-stabilis): Frechet: M n n 1/α X Weibull: M n n 1/α X Gumbel: M n X + ln n. Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 3 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 4 / 30
2 Egy kis történelem Megjegyzések Eredeti tétel a max-stabilis eloszlásokról: Fisher-Tippet (1928) Általánosított extrém-érték eloszlás: Jenkinson (1953): { ( G(x) = exp 1 + γ x a ) } 1/γ, b ha ( 1 + γ x a ) b > 0. Frechet(α) (Φ α ) megfelelője: GEV(1/γ) Vonzási tartományok karakterizációja: Gnedenko (1943) 1 F(x) x γ L(x) a GEV(1/γ) vonzási tartományába tartozik Megjegyzés: ha a minimumok eloszlására vagyunk kiváncsiak, akkor tekintsük az ellentettek maximumát Az eredmények hasonlóak a stabilis eloszlások karakterisztikus függvényeihez. Érdekes kérdés: adott F eloszlásfügvény esetén melyik határeloszláshoz konvergál az F eloszlású minta normalizált maximuma? Nem minden esetben lehet normálni: Diszkrét eloszlásokra oszcillálhat a maximum eloszlása. Folytonos eloszlásra ellenpélda: F(x) = exp{ x sin(x)} Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 5 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 6 / 30 Néhány példa A normálhatóság feltétele Folytonos eloszlásokra az eloszlásfüggvény reguláris viselkedése szükséges a felső végpont közelében (teljesül minden fontos eloszlásra): F az α paraméterű Fréchet eloszlás max-vonzási tartományához tartozik (F MDA(F α )), akkor és csak akkor, ha 1 F( x) x α L(x) (L lassú változású függvény: L(cx)/L(x) 1 ha x ) F MDA(W α ), akkor és csak akkor, ha x F < és 1 F(x F 1/x) x α L(x). A Gumbel MDA jellemzése bonyolultabb, lényegében az exponenciális lecsengésű eloszlások tartoznak ide (példa: exponenciális, normális). ábra: GEV eloszlások sűrűségfüggvénye Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 7 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 8 / 30
3 Bizonyítás vázlat VaR, visszatérési szint Az egyszerűbb irány: a túlélésfüggvény reguláris változásából kövekezik, hogy F MDA(F α ). Legyen a n = F (1 1 n ). nf(a n x) nf(a nx) nf(a n ) x α (n ), mert a n és így x > 0-ra P(M n < a n x) = F n (a n x) = exp{n ln(1 F(a n x)} exp{ x α } ha n. Ha pedig x < 0, akkor F(x) < 1 és így F n (a n x) 0. GEV p-kvantilise: z p = { µ σ γ γ (1 yp ), γ 0 µ σ log(y p ), γ = 0 ahol y p = log(1 p), G(z p ) = 1 p az az érték, amelyet átlagosan 1/p megfigyelésenként egyszer halad meg az adatsor. Annak valószínűsége, hogy 1/p -nél előbb megjelenik, nagyobb 1/2-nél! Ha γ < 0, akkor az eloszlás becsült felső végpontja µ σ/γ. Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 9 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 10 / 30 Visszatérési szint ábra ML becslés z p vs log(1 p), logaritmikus skálán. Lineáris, ha γ = 0, Konkáv, a határértéke µ σ γ ha γ < 0 Konvex, ha γ > 0 ábra: Continuous: γ = 0.2, Broken: γ = 0.2 GEV eloszlás sűrűségfüggvénye: g(x) = 1 ( 1 + γ x a ) 1 { γ 1 exp b b ( 1 + γ x a ) 1 } γ, b ha ( 1 + γ x a ) b > 0. Ebből a loglikelihood függvény (ha 1 + γ(x i b)/a > 0 minden i-re) n log(b) ( 1 n ( γ + 1) log 1 + γ x ) i a + b i=1 { n i=1 ( 1 + γ x i a b ) 1 γ Numerikus módszerekkel található meg a maximumhely (figyelni kell a kezdőértékre és arra, hogy a feltétel mindig teljesüljön) }. Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 11 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 12 / 30
4 Tulajdonságok Illusztráció: árvíz-idősorok Maximum likelihood: Nincs explicit megoldása A szokásos aszimptotikus tulajdonságokkal (optimalitás, normalitás) rendelkezik, ha γ > 0, 5. γ < 1 esetén nincs lokális maximuma a sűrűségfüggvénynek, a maximális mintaelem a globális maximum - ez konzisztens. Alternatív módszerek: probability-weighted-moments Rendezett mintán alapuló eljárások (később visszatérünk rá) Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 13 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 14 / 30 Konfidencia tartomány Profil likelihood A (számunkra érdekes) reguláris esetekben aszimptotikusan jó a normális határeloszlás alkalmazása De: a konvergencia általában nem túl gyors, különösen a VaR esetén általában nem pontosak a kapott eredmények Ezért célszerű alternatív módszerek alkalmazása Kis mintákra sokkal jobb tulajdonságú lehet a klasszikus, normalitáson alapuló módszernél A háttér itt is aszimptotikus eredmény: a reguláris esetben {ϑ : 2(l( ˆϑ) l(ϑ)) h 1 α,k } aszimptotikusan 1 α megbízhatóságú konfidencia intervallum. h 1 α,k a k szabadságfokú chi-négyzet eloszlás 1 α kvantilise, k pedig a vizsgált paraméterek száma (tipikusan k = 1). Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 15 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 16 / 30
5 Alkalmazás: árvíz-idősorok Az időfüggés vizsgálata mozgó ablakokkal ábra: 10 éves visszatérési szintek, 50 éves ablakok alapján Minden évben csak a megelőző 50 évet használtuk Fekete: becsült 90%-os kvantilis (10 éves visszatérési szint) Kék/piros: 95% felső/alsó profil likelihood konfidencia intervallum Fekete körök: azok az árvizek 10 éven belül, amik nagyobbak a becsült kvantilisnél (több van, mint a várt, felfelé mutató trend látszik) Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 17 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 18 / 30 Illeszkedésvizsgálat Klasszikus tesztek: Chi-négyzet Kolmogorov-Szmirnov nem túl erősek Cramér-von Mises típusú tesztek: a tapasztalati és az elméleti eloszlás eltérésének (esetleg súlyozott) integrálját használják C n = (F n (x) F(x)) 2 df(x) De a becsléses eset miatt a K-S, a CvM (AD) teszteknél szimulált kritikus értékeket kell használni! Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 19 / 30 Alternatívák Anderson-Darling teszt: Kiszámítása: A 2 = A 2 = n n i=1 (F n (x) F(x)) 2 F (x)(1 F(x)) df(x) (2i 1)(log(z i ) + log(1 z n+1 i )) n ahol z i = F(X i ). Az eloszlás mindkét szélén érzékeny. Módosítás: B 2 (F n (x) F(x)) 2 = df(x) (1 F(x)) (a maximumra; az eloszlás felső szélére súlyoz). Ennek kiszámítása: B 2 = n n 2 (2i 1) log(1 z n+1 i ) z n i=1. Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 20 / 30
6 További lehetőségek Kritikus értékek Egy másik teszt pedig a GEV eloszlások stabilitási tulajdonságát használja: minden m N re megadható a m, b m hogy F(x) = F m (a m x + b m ) (x R) A tesztstatisztika: h(a, b) = sup x n F(x) F 2 (ax + b). Becslési alternatívák: Találjuk meg azt az az a, b párt, ami minimalizálja h(a, b) értékét (számításigényes algoritmus kell hozzá). Becsüljük meg a GEV paramétereit maximum likelihood módszerrel és ezeket helyettesítsük be a stabilitási tulajdonságba. A határeloszlás eloszlásmentes az ismert paraméterek esetére. Például: F(x) sup n F 2 (a 2 x + b 2 ) sup B(x) xb( x) x x ahol B a Brown híd a [0,1]-en. Mivel a határeloszlások a normális eloszlás függvényei, a maximum likelihood becslés hatását be lehet építeni a kovariancia struktúra transzformációjával. Gyakorlatban: szimulált kritikus értékeket célszerű használni (különösen előnyös kis mintáknál). Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 21 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 22 / 30 A teszt erejének vizsgálata Alkalmazások A helyes döntés valószínűsége (p=0,05): n teszt eloszlás Neg.bin. exp. norm. K-S 0,27 0,49 0,88 0,36 0,61 0,19 0,23 B 0,02 0,27 0,49 0,17 0,58 0,05 0,08 A-D 0,31 0,62 0,96 0,72 0,97 0,21 0,34 h 0,67 0,87 0,99 0,75 0,91 0,10 0,14 A tipikus alternatívák esetére az A-D teszt tűnik a legerősebbnek. A h teszt ereje erősen függ az aktuális eloszlás alakjától. Speciális esetekben, ahol az eloszlás felső széle a legfontosabb, (pl. árvízi adatoknál), a B-teszt a legérzékenyebb. Ha a fenti teszteket árvízi adatokra alkalmaztuk (éves maximumok; 50 évnyi ablakok), akkor jónéhány esetben el kellett utasítani a GEV hipotézist a 95%-os szinten. Lehetséges okok: Nemstacionaritás A folyó medrének változása miatt (alak, vegetáció stb). Klímaváltozás? Periodikusság? Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 23 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 24 / 30
7 Többdimenziós extrém-érték eloszlások Többdimenziós extrém-érték eloszlások/2 Tipikusan a koordinátánkénti maximum definiálja Megj.: ez nem biztos, hogy egyidejőleg fordul elő! A peremeloszlást tetszőlegesen megválaszthatjuk, a hagyományos a Frechet(1) - elérhető tetszőleges (ismert) F j perem esetén: Y j = 1/ log(f j (X j )) Legyenek X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású d-dimenziós valószínűségi változók. Ha vannak a n, b n normáló vektorok, hogy [max(x 1, X 2,..., X n ) a n ]/b n nemelfajuló határeloszláshoz közelít, akkor ez a határeloszlás szükségképpen d-dimenziós max-stabilis vagy úgynevezett extrém-érték eloszlás (MGEV). Max-stabilitás: minden n-hez van a, b, hogy F n (x) = F(ax + b). Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 25 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 26 / 30 Reprezentáció (de Haan, 1984) Tulajdonságok Legyen x = x x d S d a d-dimenziós egységszimplex: {x 0 : x = 1} Létezik egy véges H mérték S d -n, amire minden j = 1,..., d-re H elnevezése: spektrálmérték Ezzel G(x) = exp{ V (x)}, ahol ω j V (x) = max dh(ω) 1 j d x j S d Az MGEV eloszlások pozitív kvandránsösszefüggiek: Függetlenség esete: G(x) G 1 (x 1 )G 2 (x 2 )... G d (x d ). G(x) = G 1 (x 1 )G 2 (x 2 )... G d (x d ). Ennek a G-nek a vonzási tartományába eső F eloszlásokat aszimptotikusan függetlennek nevezzük G spektrálmértéke a szimplex csúcsaiba helyez egységnyi mértékeket Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 27 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 28 / 30
8 Aszimptotikusan független eloszlások Hivatkozások Tétel (Sibuya) Az F kétdimenziós vektor pontosan akkor aszimptotikusan független, ha P(X 1 > q 1 (u) X 2 > q 2 (u)) 0, ha u 1 (q i (u) az i-edik marginális eloszlás u-kvantilise) Következmény: a többdimenziós normális eloszlás aszimptotikusan független, ha a páronkénti korrelációkra ρ < 1. Rachev, S.T.(ed): Handbook of Heavy Tailed Distributions (2003) Embrechts, P., Klüppelberg, K., Mikosch, T.: Modelling Extremal Events. for Insurance and Finance (2000) Smith. R.L.: Maximum likelihood in a class of nonregular cases. Biometrika, Profil likelihood: 001/docs/lectures/lecture11.htm#marginal de Haan, L.: A spectral representation for max-stable processes (1984). Zempléni, A.: Goodness of fit for generalized extreme value distributions (1991). Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 29 / 30 Zempléni András (ELTE) 3. előadás, március 1. Áringadozások előadás 30 / 30
Gyakorlati kérdések. 2. előadás, február 22. Szimuláció (Chambers, 1976) Michael-féle szórásstabilizált P-P plot
Gyakorlati kérdések 2. előadás, 2017. február 22. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Paraméterbecslés:
RészletesebbenTovábblépés. Általános, lineáris modell. Példák. Jellemzık. Matematikai statisztika 12. elıadás,
Matematikai statisztika. elıadás, 9.5.. Továbblépés Ha nem fogadható el a reziduálisok korrelálatlansága: Lehetnek fel nem tárt periódusok De más kapcsolat is fennmaradhat az egymáshoz közeli megfigyelések
RészletesebbenBevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika
Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra
RészletesebbenPontfolyamatok definíciója. 5. előadás, március 10. Példák pontfolyamatokra. Pontfolyamatok gyenge konvergenciája
Pontfolyamatok definíciója 5. előadás, 2016. március 10. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Hasznos eszköz,
Részletesebben4. előadás. Kiegyenlítő számítások MSc 2018/19 1 / 41
4. előadás Kiegyenlítő számítások MSc 2018/19 1 / 41 Áttekintés Extrém érték elmélet Monte Carlo eljárások 2 / 41 Extrém érték elmélet Bevezetés Alapvető módszerek (GEV és POT) Extrém érték eloszlások
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenMatematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
RészletesebbenHorvat Anna. Konvergencia-sebesség az extrémérték modellekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Horvat Anna Konvergencia-sebesség az extrémérték modellekben BSc Elemz Matematikus Szakdolgozat Témavezet : Dr. Zempléni András Valószín ségelméleti
RészletesebbenElliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák
Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenNemparaméteres próbák
Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
Részletesebben9-10. elıadás április 26. Problémák magas dimenzióban Az idıbeni összefüggıség és a nemstacionaritás szerepe
9-10. elıadás 2013. április 26. Problémák magas dimenzióban Az idıbeni összefüggıség és a nemstacionaritás szerepe Ismétlés Tanultunk Többdimenziós stabilis eloszlásokról Többdimenziós extrém-érték eloszlásokról
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenDr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november
Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony
RészletesebbenMatematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenHipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT
Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenExtrémumokra vonatkozó határeloszlások
Extrémumokra vonatkozó határeloszlások Szakdolgozat Írta: Németh László Alkalmazott matematikus BSc Témavezet : Dr. Zempléni András, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd
RészletesebbenStatisztika Elıadások letölthetık a címrıl
Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenHipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás
STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H
RészletesebbenIlleszkedésvizsgálati módszerek összehasonlítása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Illeszkedésvizsgálati módszerek összehasonlítása Szakdolgozat Készítette: Tóth Alexandra Matematika BSc. Matematikai Elemző szakirány Témavezető: Zempléni
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenLoss Distribution Approach
Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
RészletesebbenÁRVIZEK A TISZÁN ÉS NÉHÁNY MELLÉKFOLYÓJÁN EXTRÉMÉRTÉK-MODELLEZÉS A GYAKORLATBAN BOZSÓ DÁVID RAKONCZAI PÁL ZEMPLÉNI ANDRÁS
ÁRVIZEK A TISZÁN ÉS NÉHÁNY MELLÉKFOLYÓJÁN EXTRÉMÉRTÉK-MODELLEZÉS A GYAKORLATBAN BOZSÓ DÁVID RAKONCZAI PÁL ZEMPLÉNI ANDRÁS A tanulmányban bemutatjuk az extrémérték-elemzés módszereit, így különösen a blokkmaximumok
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
RészletesebbenModern szimulációs módszerek
Modern szimulációs módszerek Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.)
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben0,1 P(X=1) = p p p(1-p) Egy p vszgő esemény bekövetkezik-e.
Egy kis emlékeztetı X val.változó értékek F(x) eloszlásfv. valségek P(a X
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenA Matematikai Statisztika Alapjai
A Matematikai Statisztika Alapjai Dr. Márkus László 2017. március 1. Dr. Márkus László A Matematikai Statisztika Alapjai 2017. március 1. 1 / 80 Valszám alapfogalmak ismétlés Valszám alapfogalmak Véletlen
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenEgymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?
Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenEloszlások jellemzése. Momentumok. Medián és kvantilis. Karakterisztikus függvény
Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonos okra? Karakterisztikus
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenVéletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenSTATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba
Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum
RészletesebbenGyak. vez.: Palincza Richárd ( Gyakorlatok ideje/helye: CS , QBF10
Intervallumek Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 1. előadás 2018. szeptember 3. 1/53 - Előadó, hely, idő etc. Intervallumek Előadó: Vizer Máté (email: mmvizer@gmail.com) Előadások ideje/helye:
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenLINEÁRIS MODELLBEN május. 1. Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve
BECSLÉS ÉS HIPOTÉZISVIZSGÁLAT LINEÁRIS MODELLBEN Móri Tamás ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék 2008 május Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve Tegyük fel, hogy egy bizonyos pl fizikai)
RészletesebbenValószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze. Célja: - a sokaságot
RészletesebbenDiverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,
RészletesebbenAz extremális index. 11. előadás, május 10. Blokkmódszer. Becslés
Az extremális index 11. előadás, 2017. május 10. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Ha az eredeti X 1,
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben3. Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye melyik képlettel van definiálva?
. z és események függetlensége melyik összefüggéssel van definiálva? P () + P () = P ( ) = P ()P () = P ( ) = P () P () 2. z alábbi összefüggések közül melyek igazak, melyek nem igazak tetszőleges és eseményeke?
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel
RészletesebbenTovábbi sajátértékek. 10. előadás, május 3. Megjegyzések. A szűrés hatása a portfólió optimalizálásra
További sajátértékek 10. előadás, 2017. május 3. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Keressük azt az alacsonyabb
RészletesebbenBevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)
Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Részletesebben