Az extremális index. 11. előadás, május 10. Blokkmódszer. Becslés

Átírás

1 Az extremális index 11. előadás, május 10. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Ha az eredeti X 1, X 2,..., X n sorozathoz képezzük az X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású sorozatot és feltesszük, hogy [max(x 1, X 2,..., X n ) a n ]/b n [max(x 1, X 2,..., X n ) a n ]/b n G 1 és [max(x 1, X 2,..., X n ) a n ]/b n G 2 akkor a D(u n ) feltétel esetén G θ 1 = G 2 Tulajdonságok: 0 < θ 1 Az alakparaméter ugyanaz a két esetben Független sorozatra θ = 1, de a megfordítás nem igaz Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 1 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 2 / 32 Becslés Blokkmódszer θ becsülhető például abból a tulajdonságból, hogy θ az átlagos (küszöb feletti) klaszterméret reciproka Másik lehetőség: futam-módszer De nem könnyű a becslés: különböző küszöbökre és becslési módszerekre igencsak eltérő értékek adódhatnak Legyen n megfigyelésünk Osszuk fel k n csoportra, mindegyik r n nagyságú N n a küszöböt meghaladó megfigyelések száma Z n azon blokkok száma, amelyekben van küszöb fölötti megfigyelés Becslések: Innen: F(u n ) N n n, F r n (u n ) Z n k n F r (u) F θr (u) és így ˆθ = log( 1 Zn k n ) r n log ( 1 Nn n ) Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 3 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 4 / 32

2 További gyakorlati tapasztalatok GARCH modell: definíció (X t ) t Z GARCH(p,q) folyamat, ha Hosszabb időintervallum (pl. T > 200) általában nem vezet pontosabb korreláció-becsléshez (mérhető a portfólió-kockázat tapasztalt növekedésével) Legfontosabb stilizált tények a hozam-idősorokról: A hozamok nem korreláltak De a négyzetük (és az abszolút értékük) erősebben korrelált A volatilis periódusok klaszterekben jelennek meg A napi hozamok eloszlása távol van a normálistól (még a havi aggregáltak sem normális eloszlásúak) X t = h t ε t (1) q p h t = ω 0 + α 0i Xt i 2 + β 0j h t j (2) ahol ε t (t Z) i.i.d. szimmetrikus, egységnyi szórású val. változók, ω 0 > 0, α 0i 0, β 0j 0 ha i = 1,..., q és j = 1,..., p. Általában κ εt = E(ε 4 t ) < feltételt is megköveteljük. j=1 A paraméter vektor: θ = (θ 1,..., θ p+q+1 ) T = (ω, α 1,..., α q, β 1,..., β p ) T A paramétertér: Θ = (0, ) [0, ) p+q. A paraméterek igazi értéke: θ 0 = (ω 0, α 01,..., α 0q, β 01,..., β 0p ) T ismeretlen Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 5 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 6 / 32 GARCH modell: tulajdonságok QML a GARCH modellben Megvalósítja a stilizált tényeket Az (X t ) t Z GARCH(p,q) folyamat másodrendben stacionárius, ha ω > 0 és q p α i + β j < 1. j=1 A GARCH(1,1) a leggyakrabban használt Becslés: QML (normális eloszlást feltételez az innovációkra) konzisztens, aszimptotikusan normális (ha teljesül sok-sok feltétel, elsősorban a stacionaritás) Gyakorlatban kérdéses a stabilitása {x 1,..., x n } megfigyelések GARCH(p,q) folyamatból (erősen stacionárius megoldás). A normális kvázi-likelihood függvény, feltéve a x 1 q,..., x 0, σ 1 p 2,..., σ2 0 kezdeti értékeket: ahol ( σ 2 t ) t 1 rekurziója: L n (θ) = L n (θ; x 1,..., x n ) = n 1 e x 2 t 2 σ t 2. 2π σ t 2 q p σ t 2 = σ t 2 (θ) = ω + α i xt i 2 + β j σ t j 2 (θ) j=1 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 7 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 8 / 32

3 Tulajdonságok GARCH folyamatok autokorrelációi Tétel Ha (ˆθ n ) n 1 QMLE teljesít regularitási feltételeket, a kezdőértékek akkor Tétel x 2 1 q =... = x 2 0 = x 1 σ 2 0 =... = σ2 1 p = x 2 1. További regularitási feltételek esetén ˆθ n a.s. n θ 0. d n(ˆθ n θ 0 ) N(0, (κ ε 1)J 1 ), n ( 2 ) ( l t (θ 0 ) 1 σt 2 J := E θ0 θ θ T = E (θ 0) σt 2(θ ) 0) θ0 σt 4(θ 0) θ θ T. Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 9 / 32 Ha κ 4, akkor a szokásos CLT érvényes, 1/ n-nel arányos konvergencia-sebességgel 2 < κ < 4 esetén sokkal lassabb a konvergencia A határeloszlás függ a paraméterektől, tehát például konfidencia intervallumok nem adhatók meg a szokásos módon Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 10 / 32 GARCH folyamatok extrémumai Extrémumok Reguláris változású, ha a zaj folyamatra enyhe feltételek teljesülnek (például akkor is, ha a zaj normális eloszlású) A kitevő itt is a h(κ) = 1 egyenlet megoldása Példa: a standard normáls eloszlással generált ARCH(1) folyamatra κ = 1 GARCH(1,1) standard normális zajra (α 1 = 0.1): β ˆκ GARCH(1,1) t 4 eloszlású zajra (α 1 = 0.1) β ˆκ A becslések igen bizonytalanok: 10 6 elemű szimulált mintákból számolva is marad bizonytalanság IGARCH(1,1) folyamatra (itt α 1 + β 1 = 1) κ = 2 A GARCH(1,1) erősen keverő Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 11 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 12 / 32

4 A pénzügyi válság okai Modellek szerepe Átláthatatlan, ellenőrizhetetlen árazású termékek, például collateralized debt obligations (CDOs) - nincsenek benne a mérlegben sem Buborékok Hitelminősítők? Matematika? Pénzügyi modellek: nemcsak a jelenségek leírását adják, hanem befolyásolják is őket Salmon (2009) újságíróként írt először a Gauss kopula szerepéről a válságban Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 13 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 14 / 32 Gauss kopula pénzügyi alkalmazása Az új megközelítés Eredet: Vasicek modellje a homogén hitelportfolió csődjéről Ha a korreláció alacsony, a veszteség a várható értékhez közeli Magas korreláció esetén bimodális: 0 vagy 1 (azaz a portfolió úgy viselkedik, mint egyetlen eleme) CreditMetrics: szimulációk, többdimenziós normális eloszlások alapján David X. Li (1999): kopulák, élettartam-adatokkal való analógia alkalmazása: Peremeloszlások (túlélésfüggvények) modellezése Gauss kopula az összefüggőségekre David X. Li (1999) alkalmazta a kopulákat, a túlélési adatokhoz való analógiák alapján: A peremeloszlások (túlélésfüggvények) modellezése Gauss kopula az összefüggőségekre Először a két-életes biztosításoknál alkalmazták ("törött szív szindróma": a házaspár egyik tagjának halála növeli a másik tagja halálának valószínűségét) Következő lépés: alkalmazás vállalatok csődvalószínűségére (fontos a CDO-k árazásánál) Szerepe volt az úgynevezett "szintetikus" CDO-knál is, ahol a részvényeket csak imitálták Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 15 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 16 / 32

5 Kétdimenziós modellezés CDO-k árazása A normális eloszlás kopulaként is rossz A ferde t-kopula a ferde t-eloszlásból származik Collateralized debt obligations Igen jelentős piaca alakult ki Különböző tranche-okra osztva árulták (a kockázatosabb nagyobb hozamot igért) Equity Mezzanine (BBB) Senior (AAA) A döntő kérdés itt is az összefüggőségek modellezése Egy időegységre modelleztek Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 17 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 18 / 32 Hedge További lehetőségek A szokásos a delta-módszer, ehhez időbeni változás kell - számításigényes! Korrelációk becsléséhez kevés az adat Próbálkozások: visszamenőleges adatokból történő becslés Egyszerűsítés: faktor-modellek, feltételes függetlenség (V std.norm eloszlású faktor, F i a túlélésfv, ρ a korreláció) ( ) p i V ρv + Φ 1 (F i (t)) t = Φ 1 ρ 2 Általában konstansnak tekintették a csőd esetén a megtérülési részarányt, de a válság óta ez is módosult "Correlation skewness" - reprodukálja a sztochasztikus korrelációs modell (Gauss kopulák keveréke) t-, Clayton-kopula alkalmazása Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 19 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 20 / 32

6 Példa A veszteségek Tfh 10 név van a kosárban, a hitelfeláruk bázispont között egyenletesen oszlik el 5 éves lejárat, Csőd esetén 40%-os megtérülés Az összefüggőségek kalibrációja, hogy az első csődbemenetelre ugyanannyi legyen a díj Rang Gauss Clayton t(6) t(12) Nincs lényeges különbség A krízis során bankonként Md USd nagyságrendű veszteségek a CDO-kon Több 10 Md nagyságrendű veszteségek az ABS CDO-kon (ingatlanfedezetű kötvények), mert az ingatlanár-buborék kipukkant és hirtelen nem maradt fedezet - ezek árazása nem az arbitrázsmentességen alapult, hanem cashflow alapú volt Kivétel: Goldman, aki máshogy árazott és még 2006-ban kiszállt Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 21 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 22 / 32 Buborékok: példák Buborékok: módszerek Tulipán-mánia (XVII. század, Hollandia): egy hagyma akár két hintó árát is érhette Arany-bányászati jogok (XVIII. század, Anglia, Franciaország) Építések (XIX. század, USA) Florida ingatlanspekuláció (1920-as évek) Dot kom buborék ( ) Subprime krízis (2007) Mi is egy értékpapír fair ára? Meg lehet határozni, feltéve, hogy nincs arbitrázs Fundamentális árnak fogjuk nevezni - teljes piacon definiáljuk, mert itt a kockázatsemleges martingál mérték egyértelmű Csak a legegyszerűbb esetet tekintjük, amikor a buborék egyetlen részvény ára Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 23 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 24 / 32

7 Buborékok: matematika Tulajdonságok Árfolyam modellezés: ds t = σ(s t )dw t + µ(s t )dt Sztochasztikus a volatilitás. Arbitrázsmentes piacokon a kockázatsemleges mérték segítségével átírható: S t = S 0 + t 0 σ(s u )dw u Pontosan akkor alakul ki buborék, ha S szigorú lokális martingál (azaz lokális martingál, de nem martingál). Ennek karakterizációja: x σ 2 (x) dx < teljesül minden α > 0-ra. α Buborék esetén nem érvényes a klasszikus tétel az amerikai és az európai opciók egyenértékűségéről A volatilitás növekedése esetén érdemes tesztelni A pozitív szigorú lokális martingál szupermartingál Tipikus realizációja: Gyors felfutás, majd gyors lezuhanás és alacsony értékeken ragadás Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 25 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 26 / 32 Lokális időn alapuló becslés Magfüggvényes becslés h n az ablakszélesség Legyen L n T (x) = T 2nh n l n T (x) = T 2nh n n I{ S ti x < h n }, n I{ S ti x < h n }n(s ti+1 S ti ) 2 Ha nh n és nh 4 n 0, akkor l T (x)/l T (x) σ 2 (x) A h n -re vonatkozó feltétel túl szigorú (általában nincs elég adat) Általános probléma: a volatilitást csak a már megfigyelt értékekre tudjuk becsülni Magfüggvényes modell: Vn x = 1 n 1 φ nh n i=0 ( Si/n x i=0 h n ) ( n S i+1 n L x n = 1 n 1 ( ) Si/n x φ nh n h n S i n ) 2, ahol h n az "ablakszélesség", Φ kellően sima magfüggvény. nh 2 n esetén V x n /L x n σ 2 (x) Ha nh 3 n, akkor normális a határeloszlás Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 27 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 28 / 32

8 Tesztelés Példa (dotkom lufi) Paraméteres és nemparaméteres modellek együttesen alkalmazhatóak Egyszerű paraméteres modell: σ(x) = σx α, ahol σ és α ismeretlen paraméterek. Tulajdonságok: 1/2 < α < 1 esetén martingál α > 1 esetén szigorú lokális martingál α = 1 esetén geometriai Brown mozgás Ha σ becsléseire tudjuk ellenőrizni a feltételt, akkor σ is az adott osztályba tartozik Kék, piros: nemparaméteres (magfüggvényes) becslések Zöld: paraméteres modell A paraméteres modell lokális martingál tulajdonságú, a többi becslés pedig e fölött halad, tehát a teszt bizonyítja a buborék jelenlétét Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 29 / 32 Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 30 / 32 Példa (dotkom lufi) Hivatkozások ábra: Nemparaméteres becslés: nem egyértelmű Távlati célok: Termékek egyszerűsítése A buborékok real-time történő detektálása Felügyeletek szerepének növelése? ábra: RKHS extrapoláció: mutatja a buborékot Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 31 / 32 M.R. Leadbetter and H. Rootzén (1988): Extremal theory for stochastic processes C. Francq and J-M. Zakoian (2010) GARCH models, Wiley. D. MacKenzie and T. Spears (2012): The Formula That Killed Wall Street? The Gaussian Copula and the Material Cultures of Modelling X. Burtschell, J. Gregory and J.P. Laurent (2009): A comparative analysis of CDO pricing models R. Jarrow, Y. Kchia, and P. Protter (2011): How to Detect an Asset Bubble. SIAM J. Finan. Math., 2(1), Zempléni András (ELTE) 11. előadás, május 10. Áringadozások előadás 32 / 32