Modern szimulációs módszerek
|
|
- Máté Fehér
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Modern szimulációs módszerek Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 1 / 29
2 Vázlat Szimuláció - történet, fejlődés (mintavétel, Monte Carlo módszerek ) Bootstrap - módszerek, alkalmazások Markov lánc Monte Carlo (MCMC, Metropolis-Hastings) Alkalmazások: fizika biológia statisztika (hipotézisvizsgálat, Bayes-i statisztika) pénzügyek (opcióárazás) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 2 / 29
3 Történet Monte Carlo szimuláció lényege: ismeretlen mennyiséget közelít nagy számú véletlen kísérlet eredményével (Ulam, Neumann 1946) Az elnevezés (Monte Carlo) valójában titkos kód volt Alkalmazások: Genetikus algoritmusok (1951) Metropolis algoritmus (1953) Bootstrap (Efron, 1979) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 3 / 29
4 Bootstrap A név eredete: Münchhausen báró története arról, hogy a saját hajánál fogva húzta ki magát a mocsárból. A haj helyett az angol fordításban "bootstrap" szerepelt. Sok helyen használják az elnevezést: Üzleti életben: a cég fejlesztése külső segítség nélkül Műszaki életben: bootstrap áramkörök Számítástechnikában: a bootolás is ebből ered (az operációs rendszer töltődik be először, és ez gondoskodik a további programról) Statisztikában: Újramintavételezési eljárás, a becsléseink szórásának vizsgálatára, modell-illeszkedés ellenőrzésére Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 4 / 29
5 Bootstrap (Efron, 1979) A jackknife módszer módosításaként indult Az eljárás: X m = {X 1,..., X m} visszatevéses mintavétellel az eredeti mintából egyszerű, mint maga a "bootstrap" Általában m = n, de m < n is előfordul Számtalan változatát dolgozták ki azóta, az egyik leggyorsabban fejlődő részterülete a statisztikának Eredeti alkalmazásai: hiba/eloszlás becslés konfidencia-intervallum konstruálás Általánosítások: adatbányászat térbeli modellezés p-érték korrekció stb. Elismert "breakthrough in statistics" Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 5 / 29
6 A legegyszerűbb eset Legyenek X n = (X 1, X 2,..., X n ) független, azonos eloszlású (i.i.d.) valószínűségi változók, F (ismeretlen) közös eloszlással ˆϑ = T n (X n ; F) minket érdeklő valószínűségi változó (statisztika) Cél: ˆϑ eloszlásának becslése Bootstrap módszer: Adott X -re, visszatevéssel m elemű mintát veszünk: Xm = {X1,..., X m} a mintaelemek közös eloszlása: F n = n 1 n δ Xi i=1 ˆϑ m,n = T m (X m; F n ) Ismétlések ˆϑ eloszlása közelítés T n eloszlására Az ötlet: ˆϑ ˆϑ ingadozása hasonló ˆϑ ϑ ingadozásához Nagy mintára, kellően sima függvényekre igazolható Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 6 / 29
7 Torzítás-csökkentés Populációs egyenlet: E( ˆϑ ϑ + t F) = 0 Ehelyett megoldjuk a minta-egyenletet: Ebből ˆt = ˆϑ E( ˆϑ F n ). E( ˆϑ ˆϑ + t F n ) = 0 Visszahelyettesítve: ˆϑ bc := 2 ˆϑ E( ˆϑ F n ). Példa: klasszifikációnál hiba-arány becslés. Ha a tanuló-adatokat használjuk erre is (err n ), jelentős torzítást kapunk (túl optimista a módszer) A bootstrap alkalmazása: azokra a pontokra becsülünk, amik épp nincsenek benne a mintában (err b ). Ez azért torzított, mert ismétlések vannak. A megoldás: 0.368err n err b. Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 7 / 29
8 Az i.i.d. bootstrap korlátai Bizonyos esetekben a becslés nem lesz konzisztens Példa (Singh, 1981) Def: {X n } n 1 m-függő valamely m 0 számra, ha {X 1,..., X k } és { X k+m+1,... } függetlenek minden k 0-ra. Jel. σm 2 = Var(X 1 ) + 2 m 1 i=1 Cov(X 1, X 1+i ) Legyen a becsülendő statisztika: T n = n(x n µ) Ennek bootstrap megfelelője: Tn,n = n(x n X n ) Tétel Legyen {X n } n 1 stacionárius m-függő v.v. sorozat, EX 1 = µ, σ 2 = Var(X 1 ) (0, ), m n=1 Cov(X 1, X 1+i ) 0 és σ 2 m 0. Ekkor lim sup P (T n n,n x) P(T n x) 0 m.m. x Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 8 / 29
9 Alkalmazása az összefüggő esetre Circular blokk bootstrap (CBB) 1 Y t = X tmod(n) azaz periodikusan kiterjesztjük a mintát 2 Legyen i 1, i 2,... i l minta az {1,..., N} halmazon egyenletes eloszlásból 3 Adott b blokkméretre készítsünk N =lb (N N) pszeudo-megfigyelést: Y (k 1)b+j = Y ik +j 1 ahol j = 1,..., b; k = 1,..., l 4 A minket érdeklő statisztika kiszámítása a pszeudo-megfigyelésekből: Y N = (N ) 1 (Y Y N ) 5 Itt már van konzisztencia a fenti példában Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április 26 9 / 29
10 Egy másik "kritikus" eset A konzisztencia bizonyítása a határeloszlástételen alapul Vastag szélű (pl. nem véges szórású) esetre stabilis eloszlás a határérték Ekkor a szokásos bootstrap nem konzisztens Ilyen esetekben általában segít, ha m < n elemű mintákat veszünk Különösen igaz ez az extrém-érték modellekben: kis mintákra tipikusan túl szűk konfidenciaintervallumokat kapunk a maximumra Érdemes m << n elemű bootstrap mintákat venni és a feladatot kevésbé extrém kvantilisek becslésére visszavezetni Ekkor a visszatevés nélküli mintavétel (részminta) is lehetséges, gyakran jobb tulajdonságú Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
11 Az (m, n) bootstrap Bickel és Sakov (2008) cikke algoritmust ad az optimális m megválasztására, az eredmény m n, ha az n elemű minta is jó (az i.i.d. esetre, E(X i ) = 0, tfh. D 2 (X i ) < ) m(x m X n ) N(0, σ) ha n, m Tehát m X m N( m X n, σ) ha m m Xn = m/n n X n N(0, λσ) ahol λ = lim m/n A jó eredményt m/n 0 esetén kapjuk (λ > 0 esetén véletlen mérték a határeloszlás) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
12 Az m kiválasztása Az előzőek szerint a jó tartományban a bootstrap eloszlás nem változik lényegesen Ha m túl nagy, vagy túl kicsi, akkor a bootstrap eloszlások különbözőek Tehát az algoritmus: 1 Legyen m j = [ q j n ] (0 < q < 1) 2 Minden m j -re határozzuk meg a T m j,n eloszlását (szimulációval) 3 Válasszuk azt az m-et, amire ˆm = argminρ(t m j,n, T m j+1,n) (ahol ρ az eloszlásbeli konvergenciával konzisztens metrika - pl. Kolmogorov-Szmirnov távolság) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
13 A súlyozott (vad) bootstrap Itt az egyes mintelemek súlya a véletlen mennyiség (bootstrap súlyok): τ n,i (i = 1, 2,..., n), ahol n a minta elemszáma. A klasszikus esetben τ nemnegatív egész értékű. Az általános τ súlyok a likelihood függvényre alkalmazhatóak (hatványként) Alkalmazások: Először a regressziónál: ŷi = ŷ i + τ i ε i. Heteroszkedasztikus esetben érdemes használni További lehetőség: kopulák illeszkedésvizsgálata (gyorsabb szimulációk statisztikák határeloszlására) Feltételek: 1 A súlyok függetlenek az adatoktól, τ n1,..., τ nn azonos eloszlású 2 P(τ ni 0) = 1 i = 1,..., n; n = 1, 2,... 3 Az első két momentuma a τ ni -nek véges 4 lim Eτ ni = 1 i = 1, 2,... n 5 γ := lim Eτ 2 n ni < Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
14 Gyakorlati alkalmazások Példák a súlyeloszlásra (τ n1,..., τ nn ) Polinomiális ( n; 1 n,..., 1 ), n (τ n1,..., τ nn ) i.i.d. Exp(1). Extrém-érték modell: tipikus feladat a kvantilisbecslés. Ehhez: profil log-likelihood a kvantilisekkel paraméterezett esetre l p (H 1 (q) X n ) = max ξ l(ξ, H 1 (q) X n ) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
15 Eredmények Tétel (Varga L.- Rakonczai P.- ZA, 2015) Ha teljesül az 1-5 feltétel a bootstrap súlyokra, akkor 2 [ ] l (ˆξ, γ H 1 (q) X n ) l p(h 1 n (q) X n ) χ 2 1, ahol γ a második momentumok határértéke az 5. feltételben. Ebből 1 α megbízhatóságú konfidencia intervallum a kvantilisekre: { Iα = H 1 (q) : c 2 l p(h 1 (q) X n ) l (ˆξ, H 1 (q) X n ) γ c } 1 α. 2 ahol c 1 α a χ 2 1 eloszlás (1 α)-kvantilise. Ez a konfidencia intervallum általában szélesebb, mint a hagyományos profil likelihood intervallum. Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
16 Példa Napi csapadék adatokat vizsgáltunk Szint fölötti csúcsok módszerével Általánosított Pareto modellből becsültük a kvantiliseket (visszatérési szint) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
17 Többdimenziós kopulák tesztelése A tesztstatisztikák eloszlása nem ismert, ezért bootstrap szimuláció alapján határozhatók meg a kritikus értékek De: minden bootstrap mintára is illeszteni kell a modellt, ami magas dimenzióban igen lassú - ezért ez gyakorlatilag kivitelezhetetlen Az empirikus kopula és az illesztett paraméteres modell eltérése a természetes statisztika. Ennek határeloszlása ) n (C n C ˆϑ n = ) n (C n C ϑ + C ϑ C ˆϑn C ϑ ΘĊϑ ahol Θ = lim ( ) n ˆϑ n ϑ A súlyozott bootstrap mintára vonatkozó határeloszlás tétel révén ez közelíthető anélkül, hogy mindig becsülni kellene a paramétert. Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
18 A teszt lépései C n kiszámítása és a ϑ megfelelő tulajdonságú becslésének meghatározása A Cramer- von Mises statisztika kiszámítása: ( 2 [0,1] C n (u, v) C ˆϑn(u,v)) dcn (u, v) = ( ) 2 n i=1 C n (U i,n, V i,n ) C ˆϑn (U i,n, V i,n ) A súlyozott boostrap statisztikák kiszámítása Ebből a kritikus érték (ill. a p-érték) becsülhető Az eljárás gyorsabb, mint a paraméteres bootstrap, 3-5 dimenzióban jól alkalmazható Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
19 Adatbányászati alkalmazás: bagging Bootstrap Aggregating A tanuló adatokból vett bootstrap minták előrejelzéseinek átlaga folytonos esetben (vagy a többségi szavazással adódó döntés, pl. dichotóm esetben) Adatbányászati módszerek stabilitásának növelésére alkalmas Matematikailag, ha ˆϑ n = h n (L 1,..., L n ), akkor ˆϑ n = E (h n (L 1,..., L n)) az előrejelző. Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
20 Tulajdonságok Az instabil esetben jelentősen csökkentheti a varianciát A becslés stabil, ha ˆϑ n ϑ sztochasztikusan (ϑ konstans érték) Példa instabil esetre: ˆϑ n = I { Ȳ n x}. Ekkor ha x = x n (c) = µ + cσn 1/2 (E(Y ) = µ, D(Y ) = σ), akkor ˆϑ n I {Z c}, ahol Z std. normális eloszlású. D 2 ( ˆϑ n ) Φ(c)(1 Φ(c)), ami c = 0- ra maximális, 1/4. ˆϑ n Φ(c Z ), aminek c = 0 esetén 1/12 a varianciája - tehát harmada az eredetinek. Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
21 Lineáris modell Y = Xβ + ε Itt az egyik legfontosabb kérdés az, hogy mely együtthatók szignifikánsak: az ortogonalitást feltételezve a feladat egyszerűsíthető: ˆϑ n (x) = j ˆβ j I { ˆβj t n,j } x (j) Ez akkor instabil, ha β n = bσ/ n és az előző példához hasonlóan itt is jelentősen csökkenti a szórást a bagging. A bagging tehát ott tud hatékony lenni, ahol nem folytonos, "hard" küszöböktől függ a döntés Sokkal kisebb a hatása, ha már a döntés-függvény is folytonos Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
22 MCMC Markov lánc Monte Carlo: olyan eloszlásból szimulál, ami nincs explicit módon megadva (pl. nem tudjuk a hegy abszolút magasságát - de a magassággal arányos időt szeretnénk ott tölteni) Klasszikus alkalmazás: d dimenziós test térfogatának kiszámítása Matematikai statisztika: Gibbs-mintavétel (Bayes-i megközelítés: iteratív eljárás a poszteriori eloszlás kiszámítására) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
23 Metropolis-Hastings algoritmus Eredeti verzió: Metropolis-Rosenbluth-Teller(1953): szimmetrikus javaslati eloszlásra Általánosítás: Hastings (1970) A XX.század tíz legfontosabb algoritmusának egyike (többek között a szimplex módszerrel, a gyors Fourier-transzformációval együtt) A nagy előnye, hogy olyan sűrűségfüggvényekből is tudunk segítségével véletlen számot generálni, amelyeket csak konstans szorzó erejéig ismerünk Viszont hátránya, hogy az eloszlást csak aszimptotikusan közelíti meg, és az egymás után kapott mintaelemek összefüggnek Ezekre a burn-in (beégetés) és a ritkítás ad megoldást Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
24 Metropolis-Hastings algoritmus Kezdőpont: x 0, a P eloszlásból szeretnénk szimulálni Átmenetvalószínűség: Q(y x) eloszlás y-ban Ebből mintát véve megkapjuk a javasolt értéket: y Az elfogadás valószínűsége: α = min {1, P(y)/P(x)}. Tehát a valószínűbb pontba biztosan átlépünk Látható, hogy valóban elég a P-t konstans szorzó erejéig ismerni Magas dimenzióban sokkal hatékonyabb, mint a hagyományos véletlenszám generátorok (pl. az elfogadás-elvetés módszere) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
25 Reversible jump MCMC algoritmus A dimenziószám is változhat Példák: Keverék-eloszlások Spline illesztés Idősoros modelleknél a rend becslése Átmenetvalószínűség hasonló a fentihez: Q(y x) eloszlás y-ban, ebből kapjuk adott x-re a javasolt értéket Új lépések: Komponens megszüntetése Új komponens beiktatása Algoritmus (eltekintve technikai feltételektől) Kezdőállapot: x n 1 Lépés-típus kiválasztása Az adott típusnak megfelelő javaslat Elfogadási valószínűség kiszámítása Döntés az elfogadásról Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
26 Példa Tanszéki kutatási projekt keretében árvízi adatokat vizsgáltunk Felső ábra: között az árvizek időpontja és a becsült valószínűsége (naponként) Alsó ábra: Piros: becsült valószínűség Zöld: Első változás helyének becsült sűrűségfüggvénye Kék: Második változás helyének becsült sűrűségfüggvénye Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
27 Adatbányászat: Bayes-i modell gráfokon A csúcsokhoz tartoznak az X V megfigyelések (valószínűségi változók) Markov struktúra: feltételesen függetlenek azok a változók, amik között nincs él Például X V N(0, Σ) esetén ϑ g := Σ Adatbányászati feladat: a minta alapján a legjobb gráf kiválasztása A Bayes-i score: ϑ g L(ϑ g ; X V )π(ϑ g )dϑ g (π az apriori eloszlás) Megfelelő π esetén a RJ-MCMC módszer alkalmazható, nagy gráfok esetén is mert elég lokálisan számolni a csúcsok környezetében Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
28 Bronzkori sírok Az adatok a kupola görbületét mutatják. A kérdés a töréspontok száma Egy ilyen "méhkas"-sír Mükénéből Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
29 Hivatkozások Lahiri, S.N.: Resampling Methods for Dependent Data (Springer, 2003) Bickel, P.J. and Sakov, A.: On the Choice of m in the m Out of n Bootstrap and its Application to Confidence Bounds for Extrema (2008) Kojadinovic,I., Yan,J. and Holmes,M.: Fast large-sample goodness-of-fit tests for copulas (2011) Bühlmann, P. and Yu, B.: Analysing bagging (Ann. Stat., 2000) Varga, L., Rakonczai, P. and Zempléni, A.: Applications of threshold models and the weighted bootstrap for Hungarian precipitation data (2015). Fan, Y. and Sisson, S.A.: Reversible Jump Markov chain Monte Carlo (2010) Guidici, P.: Bayesian data mining, with application to benchmarking and credit scoring (2001) Zempléni András (Val.elm. és Stat.Tsz.) Intézeti szeminárium, április / 29
Pontfolyamatok definíciója. 5. előadás, március 10. Példák pontfolyamatokra. Pontfolyamatok gyenge konvergenciája
Pontfolyamatok definíciója 5. előadás, 2016. március 10. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Hasznos eszköz,
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenBevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika
Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra
RészletesebbenStatisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenKÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
Részletesebben9-10. elıadás április 26. Problémák magas dimenzióban Az idıbeni összefüggıség és a nemstacionaritás szerepe
9-10. elıadás 2013. április 26. Problémák magas dimenzióban Az idıbeni összefüggıség és a nemstacionaritás szerepe Ismétlés Tanultunk Többdimenziós stabilis eloszlásokról Többdimenziós extrém-érték eloszlásokról
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenMatematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenLoss Distribution Approach
Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói
RészletesebbenKÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenHatáreloszlástétel a maximumokra. 3. előadás, március 1. A bizonyítás vázlata. Típusok. Tétel (Fisher és Tippet, 1928)
Határeloszlástétel a maximumokra 3. előadás, 2017. március 1. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Tétel
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
RészletesebbenTovábblépés. Általános, lineáris modell. Példák. Jellemzık. Matematikai statisztika 12. elıadás,
Matematikai statisztika. elıadás, 9.5.. Továbblépés Ha nem fogadható el a reziduálisok korrelálatlansága: Lehetnek fel nem tárt periódusok De más kapcsolat is fennmaradhat az egymáshoz közeli megfigyelések
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenElemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n
Elemi statisztika >> =weiszd=
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenMatematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenStatisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok
Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok vizsgálatára Gyenge Ádám1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenDr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november
Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenNormális eloszlás tesztje
Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
RészletesebbenDiagnosztika és előrejelzés
2018. november 28. A diagnosztika feladata A modelldiagnosztika alapfeladatai: A modellillesztés jóságának vizsgálata (idősoros adatok esetén, a regressziónál már tanultuk), a reziduumok fehérzaj voltának
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenElliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák
Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük
RészletesebbenTöbb valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
RészletesebbenGyakorlati kérdések. 2. előadás, február 22. Szimuláció (Chambers, 1976) Michael-féle szórásstabilizált P-P plot
Gyakorlati kérdések 2. előadás, 2017. február 22. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Paraméterbecslés:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
RészletesebbenStatisztika Elıadások letölthetık a címrıl
Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
RészletesebbenStatisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós
RészletesebbenSTATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenHipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
RészletesebbenHipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás
STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H
RészletesebbenStatisztikai becslés
Kabos: Statisztika II. Becslés 1.1 Statisztikai becslés Freedman, D. - Pisani, R. - Purves, R.: Statisztika. Typotex, 2005. Reimann J. - Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Tankönyvkiadó,
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenKorreláció és lineáris regresszió
Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenSTATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba
Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
Részletesebbenföldtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás
Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok
Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
RészletesebbenIBNR számítási módszerek áttekintése
1/13 IBNR számítási módszerek áttekintése Prokaj Vilmos email: Prokaj.Vilmos@pszaf.hu 1. Kifutási háromszög Év 1 2 3 4 5 2/13 1 X 1,1 X 1,2 X 1,3 X 1,4 X 1,5 2 X 2,1 X 2,2 X 2,3 X 2,4 X 2,5 3 X 3,1 X 3,2
RészletesebbenAnyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek
Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus
RészletesebbenKÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA
ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenTovábbi sajátértékek. 10. előadás, május 3. Megjegyzések. A szűrés hatása a portfólió optimalizálásra
További sajátértékek 10. előadás, 2017. május 3. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Keressük azt az alacsonyabb
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement
RészletesebbenLineáris regressziószámítás 1. - kétváltozós eset
Lineáris regressziószámítás 1. - kétváltozós eset Orlovits Zsanett 2019. február 6. Adatbázis - részlet eredmény- és magyarázó jellegű változók Cél: egy eredményváltozó alakulásának jellemzése a magyarázó
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból
RészletesebbenGyakorlati tapasztalatok magas dimenzióban. 9. előadás, április 26. Becslési módszer magas dimenzióban: páronkénti likelihood
Gyakorlati tapasztalatok magas dimenzióban 9. előadás, 2017. április 26. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás
RészletesebbenEgymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?
Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles
RészletesebbenLOGIT-REGRESSZIÓ a függő változó: névleges vagy sorrendi skála
LOGIT-REGRESSZIÓ a függő változó: névleges vagy sorrendi skála a független változó: névleges vagy sorrendi vagy folytonos skála BIOMETRIA2_NEMPARAMÉTERES_5 1 Y: visszafizeti-e a hitelt x: fizetés (életkor)
RészletesebbenGyak. vez.: Palincza Richárd ( Gyakorlatok ideje/helye: CS , QBF10
Intervallumek Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 1. előadás 2018. szeptember 3. 1/53 - Előadó, hely, idő etc. Intervallumek Előadó: Vizer Máté (email: mmvizer@gmail.com) Előadások ideje/helye:
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenKiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.
Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak
Részletesebben4. előadás. Kiegyenlítő számítások MSc 2018/19 1 / 41
4. előadás Kiegyenlítő számítások MSc 2018/19 1 / 41 Áttekintés Extrém érték elmélet Monte Carlo eljárások 2 / 41 Extrém érték elmélet Bevezetés Alapvető módszerek (GEV és POT) Extrém érték eloszlások
Részletesebben5. előadás - Regressziószámítás
5. előadás - Regressziószámítás 2016. október 3. 5. előadás 1 / 18 Kétváltozós eset A modell: Y i = α + βx i + u i, i = 1,..., T, ahol X i független u i -től minden i esetén, (u i ) pedig i.i.d. sorozat
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenVéletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenAdatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei
Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebbenc adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora
1. MELLÉKLET: Alkalmazott jelölések A mintaterület kiterjedése, területe c adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora C(0) reziduális komponens varianciája C R (h) C R Cov{} d( u, X )
RészletesebbenEsettanulmány. A homoszkedaszticitás megsértésének hatása a regressziós paraméterekre. Tartalomjegyzék. 1. Bevezetés... 2
Esettanulmány A homoszkedaszticitás megsértésének hatása a regressziós paraméterekre Tartalomjegyzék 1. Bevezetés... 2 2. A lineáris modell alkalmazhatóságának feltételei... 2 3. A feltételek teljesülésének
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés
SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenLeast Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenBemenet modellezése (III.), forgalommodellezés
Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés Vidács Attila 2007. október 31. Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 1 Modellválasztás A modellezés kedvez esetben leegyszer södik a megfelel eloszlás
RészletesebbenIntervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.
Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 3.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR
RészletesebbenKét diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi
RészletesebbenDiszkriminancia-analízis
Diszkriminancia-analízis az SPSS-ben Petrovics Petra Doktorandusz Diszkriminancia-analízis folyamata Feladat Megnyitás: Employee_data.sav Milyen tényezőktől függ a dolgozók beosztása? Nem metrikus Független
Részletesebben