. Htároztln és htározott integrál Tnulási cél: Megismerni htároztln és htározott integrál foglmát. Elsjátítni z lpintegrálokt, és z egyszerű integrálási tételeket, vlmint Newton-Leiniz-formulát. Ezen ismereteket lklmzni területszámítási feldtokn. Motivációs péld: Egy termék gyártásánál htárköltség megmuttj, hogy z összköltség hogyn változik, h termelés egy egységgel növekszik. Azz htárköltség költségfüggvény deriváltj. H htárköltséget ismerjük, kkor hogyn lehetne előállítni költségfüggvényt? Egy termék előállításánál htárevétel zt muttj meg, hogy miként változik evétel, h z eldásokt egy egységgel emeljük. Azz htárevétel evételfüggvény deriváltj. H ismerjük htárevételt, fel tudnánk írni evételfüggvényt? Amint láthtó, tö olyn prolémávl tláljuk mgunkt szeme, melyen ismerünk egy függvényt, és olyn függvényt keresünk, minek ez z ismert függvény deriváltj. Az láikn mtemtik zon témkörét ismerhetjük meg, mely ezzel prolémávl fogllkozunk. Elméleti összefoglló: Definíció: A F f. F függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük, h f cos függvényt. Ennek nyilván primitív függvénye F sin Egy f sin függvénynek nem csk egy primitív függvénye vn. Tekintsük például cos. De primitív függvény lesz sin sin cos 0 cos. Sőt, h ezt így meggondoltuk, kkor zt mondhtjuk, F sin függvény is, mert f függvény, hiszen -nek végtelenül sok primitív függvénye vn, mert ármilyen konstnst hozzádhtunk sin -hez, mindenképpen olyn függvényt kpunk, minek deriváltj cos, hiszen konstns deriváltj 0 lesz. Ezek lpján z lái tételt foglmzhtjuk meg. Tétel: H z F f függvénynek primitív függvénye F függvény, kkor ármely c függvény is primitív függvénye, hol c. Felvetődik zonn kérdés, hogy ilyen módon megkphtunk-e minden olyn függvényt, mi primitív függvénye f -nek? A válsz erre igen, ezt is megfoglmzhtjuk egy tételen. Tétel: H függvény. F és F is primitív függvénye f -nek, kkor F F konstns
Amint láthtjuk, egy f függvény primitív függvényei egy hlmzt lkotnk, s ezen hlmz ármely két eleme csk egy konstnsn tér el egymástól. Elég tehát egy elemet ismernünk eől hlmzól, mert kkor z összes elemet megkphtjuk ezen elemől különöző konstnsok hozzádásávl. Mivel primitív függvények hlmzát ilyen egyszerűen megkphtjuk, ezért egy foglmt definiálunk. Definíció: Az f függvény primitív függvényeinek hlmzát z f f d -szel jelöljük. htároztln integráljánk nevezzük, és függvény H F egy primitív függvénye konstns. f -nek, kkor f d F c, hol c tetszőleges Amint fentiekől láthtó, htároztln integrálás vgy másképp primitív függvény keresés deriválás megfordításánk tekinthető. Ezért továikn úgy hldhtunk, hogy tekintjük z lpderiváltkt, és zokt megfordítv z úgynevezett lpintegrálokt kpjuk. Például zt z lpderiváltt, hogy sin cos z cos d sin c formán fordítjuk meg, és írjuk lpintegrálként. Néhány eseten megfordításon egy kicsit lkítunk. Például h cos sin lpderiváltól indulunk ki, kkor z egyszerű megfordítás sin d cos c lenne, de ezt inká sin d cos c formán írjuk, hiszen nyilván cos sin is igz. Hsonlón ctg lpderiváltól z sin d ctg c lpintegrált kpjuk. sin Az így kpott lpintegrálokt egy táláztn foglljuk össze. Ez lényegéen z lpderiváltk táláztánk megfordítás, olyn pró változttásokkl, mikről fente írtunk. Az lpintegrálok tálázt: k d k c, k e d e c d c, d c ln sin d cos c cos d sin c sin cos d ctg c d ln c d tg c
Néhány lpintegrálll kpcsoltn szeretnénk megjegyzést tenni. Az egyik htványok integrálásr vontkozó d c, lpintegrál. Itt rr hívjuk fel nyomtékosn figyelmet, hogy -edik htvány kivétel. Bár htványokt áltlán úgy integráljuk, hogy kitevőt eggyel megnöveljük, és osztunk z új kitevővel, -edik htvány esetén nem ez történik. Mivel természetes lpú logritmus, zz ln deriváltj, ezért z d ln c lpintegrált kpjuk. Ez csk pozitív -ekre igz, hiszen logritmus csk ekkor értelmezhető. Beláthtó zonn, hogy negtív -ek esetén d ln c igz, s ezt együttesen d ln c formán fogllhtjuk össze. Ez így már pozitív és negtív -ekre is igz. Az lpintegrálok megismerése után jó lenne, h hhoz hsonló szályokt is megfoglmzhtnánk, mint milyenek deriválásnál szerepeltek, mert kkor z lpintegrálokól műveletekkel képezett függvényeket is tudnánk integrálni. Nézzük milyen szályok igzk primitív függvényekre. Tétel: H z f függvénynek létezik primitív függvénye, kkor k f, k k f d k f d. függvénynek is létezik primitív függvénye, és Bizonyítás: Legyen F egy primitív függvénye f -nek, zz F f másképp f d F c. Ekkor nyilván k F k f k F egy primitív függvénye k f -nek, zz k f d k F c k f d., vgy, mi zt jelenti, hogy A tétel másképp úgy foglmzhtó, hogy integrálás során konstns szorzó kiemelhető z integrálól. f és g függvényeknek létezik primitív függvénye, kkor z függvénynek is létezik primitív függvénye, és f g d f d g d Tétel: H z f g. F z f és G g egy-egy primitív függvénye, tehát és G g, vgy f d F c és g d G c Bizonyítás: Legyen F f nyilván F G F G f g, zz F G függvénye f g -nek, tehát f g d F G c f d g d. primitív. Ekkor Ezt tételt foglmzhtjuk meg úgy is, hogy függvények összegét tgonként integrálhtjuk.
A fenti két tételől nyilván z is következik, hogy függvények különsége esetén f g d f d g d. A deriválásnál ezután z következett, hogy függvények szorztár, hánydosár és z összetett függvényekre is sikerült deriválási szályt tlálnunk. Ezek deriválási szályok ármilyen szorzt, tört vgy összetett függvény esetén lklmzhtók voltk. Sjnos z integrálásnál ilyen szályok nincsenek. Nem lehet kimondni olyn összefüggést, melynek segítségével ármilyen függvények szorzt, vgy hánydos, vgy kompozíciój integrálhtó lenne. A későieken megismerünk mjd szályokt, melyek segítségével függvények szorztát integrálhtjuk, de ezek szályok nem lklmzhtók ármilyen függvények szorzt esetéen, csk izonyos speciális eseteken. Megismerünk mjd olyn szályt is, mit függvények hánydosánk integrálásár hsználhtunk, de csk izonyos speciális törtekre lklmzhtó. Speciális összetett függvényekre is lesz mjd integrálási szály, de zt sem lehet áltlánosn lklmzni minden összetett függvényre. Éppen ezért z integrálás tö tlálékonyságot igényel mjd, mint mire deriválásnál szükség volt. Kidolgozott feldtok:. feldt: Htározzuk meg z zz e d -et! sin 8 f sin 8e függvény htároztln integrálját, Megoldás: Mivel függvények összegét illetve különségét kell integrálnunk, ezért tgonként végezhetjük el z integrálást. Így három integrált kpunk. sin 8e d d sin d 8e d Az egyes integrálokól konstns szorzókt kiemelhetjük. d sin d 8e d d sin d 8 e d Már csk lpintegrálok szerepelnek, melyeket egyszerűen ehelyettesítünk. Az első részen egy htványfüggvényt kell integrálnunk, így itt z d c, lpintegrálr hivtkozv eggyel megnöveljük kitevőt, s osztunk z új kitevővel. A második részen z sin d cos c, hrmdikn pedig z e d e c lpintegrálr hivtkozunk. 5 5 d sin d 8 e d cos 8e c cos 8e c 5 5 Nem írjuk ki mindegyik rész integrálásánál külön-külön c integrációs konstnst, mert c ármilyen vlós értéket felvehet. H töször szerepelne, kkor konstnsok összege is egy konstns lenne, mi ármilyen vlós értéket felvehetne. Ezért elég mindig csk egyetlen konstnst írnunk primitív függvény után.. feldt: 7 d Megoldás: Első lépésként konstns szorzót emeljük ki z integrálól. 7 d 7 d
Az lpintegrálok között különöző gyökök htványokn szerepelnek. A deriválásnál is z történt, hogy gyököket törtkitevős htványként írtuk, és htványként felírt lkot deriváltuk. Most ugynígy járunk el z integrálás során is. 7 d 7 d Ezután már hivtkozhtunk z d c, 5 5 8 8 5 d c c c c 5 5 5 lpintegrálr. 7 7 7. Az eredményt írhtjuk törtkitevős htványként, vgy gyökös formán is. 6. feldt: 5 d Megoldás: Kezdjük most is konstns szorzó kiemelésével. 6 d 6 d 5 5 Az integrálndó függvényen, mit integrndusnk is szoktk hívni, most egy htvány reciprokát látjuk. Ezt felírhtjuk negtív kitevős htvány formáján, s így ismét csk egy htványt kell mjd integrálnunk. Ugynígy járhttunk el z ilyen függvények deriváláskor is. 5 6 d 6 d 5 A htvány integráláskor most is növeljük eggyel kitevőt, és osztunk z új kitevővel. 5 5 6 6 d 6 c 6 c c c 5 Az eredményt most írhtjuk negtív kitevős htvány, vgy tört formáján is.. feldt: 5 d Megoldás: Az integrálást eől z lkól nyilván nem tudjuk végrehjtni, ezért először átlkítjuk z integrálndó függvényt. A gyököket írjuk át törtkitevős htvánnyá, mint zt egy korái feldtn tettük. 5 5 d d Végezzük el zárójelen elül szorzást. Azonos lpú htványok szorzás esetén egyetlen htványt kpunk, melyen kitevők összedódnk. 5 5 5 d d d Most egy htványt tová htványozunk. H ezt egyetlen htványként írjuk, kkor kitevők szorzódnk. 5 5 0 d d d
Az integrndust sikerült egyetlen htvánnyá lkítunk, így végre tudjuk hjtni z integrálást. 0 0 0 0 0 0 0 d c c c c 0 0 Az eredmény most is tö lkn írhtó. Hgyhtjuk törtkitevős htványként, de írhtjuk gyökös formán is. A feldtól láthtó, hogy z integrndus megdott lkjáól nem lehet elvégezni z integrálást. De z átlkítások után már olyn formán kpjuk meg függvényt, mi egyetlen lpintegrál. Az integrálási feldtokn ngyon sokszor nem z okozz fejtörést, hogy mgát z integrálási lépést hogyn hjtsuk végre, hnem hogyn készítsük elő z integrálást, zz milyen módon lkítsuk át z integrndust z integrálás előtt. Az átlkítások során ngyon gykrn olyn zonosságokr hivtkozunk, melyek középiskoláól ismertek. Különösen szeretnénk kiemelni htványozás zonosságit, mert htványok gykrn fordulnk elő, s átlkításukr tö zonosságot is ismerünk. 5 d 5. feldt: Megoldás: Az integrndusunk most egy szorzt. Amint z korán szerepelt, ilyen eseten nincs áltlánosn lklmzhtó integrálási szály. Át kellene ezért lkítnunk úgy függvényt, hogy már ne szerepeljen szorzás. Végezzük el szorzást, zz ontsuk fel zárójeleket. 5 d 5 5 d Egyszerű polinomot kptunk. Ekkor tgonként integrálhtunk. Az egyes tgokól konstns szorzókt kiemelhetjük. 5 5 d 5 d d 5 d d Alklmzzuk htványfüggvényekre vontkozó integrálási szályt. 5 5 c 5 5 c 6. feldt: d Megoldás: Az integrálndó függvény most egy tört. Sjnos törtekre sincsen minden eseten hsználhtó integrálási szály. Mivel tört számlálóján összeg illetve különség áll, törtet tö törtre onthtjuk úgy, hogy z egyes tgokt külön-külön osztjuk nevezővel. d d d d Ahol tudunk egyszerűsítsünk és konstns szorzókt emeljük ki z egyes integrálokól. d d d d d d Az első két tg egyszerű lpintegrál, nem kell már tová lkítni. A hrmdik tgn egy htvány reciprok szerepel, mit negtív kitevős htványként írhtunk fel. d d d d d d Már csk egy-egy htványt kell integrálnunk.
d d d ln c ln c 7. feldt: Egy termék gyártás során mennyiség esetén htárköltség C( ) 6. Htározzuk meg költségfüggvényt, h tudjuk, hogy fi költség éppen 0? Megoldás: A htárköltség megmuttj z összköltség változását, h egy egységnyivel növeljük termelést. Tehát keresett C költségfüggvény deriváltj éppen C( ) 6. Azt már tudjuk, hogy végtelen sok olyn függvény dhtó, minek deriváltfüggvénye éppen 6. Most zt kellene megkeresni sok függvény között, melyiknek 0 esetén (mikor nincs termelés) éppen 0-t vesz fel helyettesítési értékként, zz C 0 0. Kezdjük most is feldt megoldását primitívfüggvények előállításávl. Az integrációs konstnst félreértések elkerülése végett jelöljük most k -vl. 6 d k A 0 ehelyettesítésével kpjuk, hogy C(0) k 0. Tehát keresett költségfüggvény C 0 Ellenőrző kérdések:. kérdés: 5 9 7 d Válsz: 6 7 c ln 7. kérdés: 5 d Válsz: 5 5 8 c. kérdés: d Válsz: c. kérdés: d Válsz: 5 5 c 5. kérdés: d
6 5 Válsz: c 5 6. kérdés: 6 d Válsz: ln c 7. kérdés: Egy termék gyártás során mennyiség esetén htárköltség C( ) 9. Htározzuk meg költségfüggvényt, h tudjuk, hogy fi költség éppen 00? Válsz: 0,5 00 Motivációs péld: Az euró árfolym (forintn) z elmúlt hónpn z f ( t) 08 0,8sin t 5 függvény szerint lkult. Mennyi volt z euró átlgárfolym z elmúlt hónpn? Korái ismereteinkől tudjuk, hogy átlgot úgy számolunk, hogy z összmennyiséget osztjuk z dtok számávl. Een z eseten ez zt jelenti, hogy npi árfolymok összegét el kell osztnunk npok számávl. Ez szemléletesen z árfolymváltozást leíró függvény göréje és z tengely áltl közezárt terület osztv z intervllum hosszávl. A gykorlti életen számos olyn péld dhtó, hol keresett mennyiség egy dott intervllumon függvénygöre és z tengely áltl közezárt területtel hozhtó kpcsolt.
Ezek kiszámításár szolgáló mtemtiki módszerekkel fogunk fogllkozunk következő fejezeten. Elméleti összefoglló: Induljunk ki tehát ól, hogy dott egy, -n értelmezett folytonos melyre f >0 teljesül z, -n, és szeretnénk meghtározni z f y f függvény,, z y 0, z és z görék áltl htárolt lkzt területét. Ez z lkzt láthtó z lái árán. Osszuk fel z, intervllumot n részre vlmilyen Fn 0,,,, n F hlmzt z, hlmzzl, melyre 0 n teljesül. Ezt z n intervllum egy felosztásánk nevezzük. Egy-egy részintervllum hosszát szomszédos osztópontok különségeként kphtjuk meg. Az i -edik részintervllum hossz például i i, melyet -vel is jelölünk. (A részintervllumok nem feltétlenül egyform hosszúk.) A felosztás i finomságánk nevezzük leghossz részintervllum hosszát, zz m i -t. Válsszunk ki mindegyik, i i részintervllumól egy i számot. Emeljünk mindegyik részintervllum fölé f i mgsságú tégllpot.
Ezen tégllpok területének összegével közelítjük meghtározndó területet. Ezt z összeget z dott felosztáshoz trtozó közelítő összegnek nevezzük, és -nel jelöljük. Írjuk fel ezt z összeget. Az első tégllp területe: T f 0 f területe T f f, z i -edik tégllp területe Ti f i i i f i i. Ezek lpján közelítő összeg következő: n T T Tn f 0 f f n n n f f f n n., második tégllp Ugynezt rövideen is írhtjuk: n n n T f f. n i i i i i i i i i Növeljük felosztásn részintervllumok számát, így új és új felosztásokt kpunk. H z osztópontok számát minden htáron túl növeljük kkor így felosztásoknk egy soroztát kpjuk. Várhtón z egyre tö osztóponttl rendelkező felosztások egyre pontosn fogják közelíteni z lkztot, melynek területét meghtározni szeretnénk. Ez zonn csk kkor lesz igz, h felosztás z osztópontok számánk növelésével egyre finomodik is, zz nem mrd enne sehol túl hosszú részintervllum. Ezt fejezzük ki zzl, hogy olyn felosztássoroztot készítünk, mien felosztás finomság nullához trt, zz m 0. Nem történhet meg olyn felosztássoroztn, hogy z, i n intervllum egyik részén egyre sűrűsödik felosztás, de vlhol máshol enne mrd egy hossz
részintervllum. Az ilyen felosztássoroztokt végtelenül finomodó felosztássoroztoknk nevezzük. Az lái árákon ilyen egyre finomodó felosztások láthtók. Definíció: Azt mondjuk, hogy z, -n értelmezett f függvény Riemnn-integrálhtó z, -n, h n közelítő összegek sorozt minden végtelenül finomodó felosztássorozt estén konvergens, és ugynhhoz számhoz trt. Ekkor ezt számot z, -n vett Riemnn-integráljánk, vgy htározott integráljánk nevezzük és szel jelöljük. Ez rövideen z lái jelölésekkel írhtó: n n lim lim f d f f. n i i i n i i i i m 0 m 0 i i f függvény f d - Itt kell megjegyeznünk, hogy z egyszerűség kedvéért z elején olyn függvényről eszéltünk, mi z, -n pozitív értékeket vesz fel. Ekkor fenti definíció vlón függvény grfikonj és z -tengely között elhelyezkedő lkzt területét dj meg z, - n. H zonn függvény negtív értékeket is felvehet, kkor tégllpokkl történő f szorzt z i -edik tégllp területét közelítésen i f is lehet negtív, így z előjelesen dj meg. H f i 0, közelítésen tégllp z -tengely felett helyezkedik el. Ekkor f i i pozitív, tehát vlón tégllp területét kpjuk. De h f i 0, tégllp z -tengely ltt helyezkedik el. Ekkor f negtív, s tégllp területének -szeresével egyenlő. Eől következően, z integrál függvény grfikonj és z -tengely között elhelyezkedő lkzt területét előjelesen dj meg. H függvény pozitív, zz grfikonj z -tengely felett hld, kkor vlón területet kpunk, de h függvény negtív, kkor terület -szeresét kpjuk. Ezért kpjuk zt, hogy h egy függvény előjele megváltozik z, elsejéen, és pozitív illetve negtív részen egyenlő ngyságú i i i i
terület függvény grfikonj és z -tengely között, kkor null függvény integrálj z, intervllumon. Erre péld mondjuk z f cos 0, -n. függvény Amint z árán láthtó, pirossl illetve kékkel jelölt lkztok szimmetri mitt egyenlő területűek, de míg piros z -tengely felett, kék z -tengely ltt helyezkedik el. Az integrálás így piros lkzt területét, kék lkzt területének pedig -szeresét dj. Így függvény integrálj teljes 0, intervllumon ezek összeg, zz null lesz. A Riemnn-integrál hosszdlms definíciój után felvetődik z kérdés, hogy milyen függvények integrálhtók. Ezzel kpcsoltn két tételt mondunk ki izonyítás nélkül. Tétel: H z f függvény integrálhtó z [, ] intervllumon, kkor f ezen z intervllumon korlátos. A korlátosság tehát szükséges feltétele z integrálhtóságnk. (Nem minden, -n korlátos függvény integrálhtó, -n.) Tétel: H z f függvény folytonos z, intervllumon, kkor integrálhtó is, -n. A folytonosság tehát elégséges feltétele z integrálhtóságnk. (Nem minden, -n integrálhtó függvény folytonos, -n.) A htározott integrálr vontkozón sok tétel izonyíthtó. Ezeket szokták htározott integrál tuljdonságink nevezni. Vnnk köztük olynok, melyek hsonlók, mint htároztln integrál tuljdonsági. f és g integrálhtók z,, és f g függvények is integrálhtók, Tétel: H k f f g k f d k f d f g d f d g d f g d f d g d. -n, k pedig tetszőleges vlós szám, kkor -n, és Tehát mint htároztln integrálnál, úgy htározott integrálnál is konstns szorzó kiemelhető z integrálól, vlmint összeget és különséget tgonként integrálhtunk. A különségre vontkozó állítás másik kettőől már egyszerűen következik.
A htározott integrálnk vnnk olyn tuljdonsági is, melyeken z integrálási intervllumnk fontos szerepe vn. A htároztln integrálnál ilyen tuljdonságok nyilván nem voltk. Tétel: H f integrálhtó -tól -ig, kkor integrálhtó -től -ig is, és f d f d. Azz h felcseréljük z integrálási htárokt, z integrál -szeresét kpjuk. Tétel: H is. f integrálhtó z, -n, kkor integrálhtó [, ] ármely részintervllumán Tétel: H f integrálhtó z, c f d f d f d. c -n, és c, kkor Ezt foglmzhtjuk úgy is, hogy z integrálás z, -n részleteken is végrehjthtó. Pozitív értékű függvény esetén szemléletesen rról vn szó, hogy függvény grfikonj és z -tengely közti terület z, -n úgy is meghtározhtó, hogy vesszük területet z c, - n, és hozzádjuk területet c, -n. (Az, intervllumon terület piros és kék lkzt területének összege.) Tétel: H intervllumon is, és f integrálhtó z, c f d f d f d. c Tétel: H d 0 f. c és c, intervllumokon, kkor integrálhtó z, f integrálhtó z, -n, és f 0 minden, H nem negtív függvényt integrálunk, kkor z integrál sem negtív. esetén, kkor
Tétel: H esetén, kkor f és f d g d. g integrálhtók z, -n, vlmint f g minden, Más megfoglmzásn zt mondhtjuk, hogy nem kise értékű függvény integrálj sem kise. Tétel: (Az integrálszámítás középértéktétele) H leglá egy, f d f., melyre igz, hogy f folytonos z, -n, kkor létezik Pozitív értékű függvény esetén szemléletes rról vn szó, hogy z f függvény grfikonját tudjuk metszeni olyn vízszintes egyenessel, mi ltt z, -n pontosn kkor területű tégllp vn, mint függvény és z -tengely közti lkzt területe z, -n. Az árán kékkel jelölt tégllp területe f, mely megegyezik függvény grfikonj és z - tengely közti területtel. Tétel: (Newton-Leiniz-formul) H primitív függvénye f f d F F. -nek, kkor f integrálhtó z, -n, és Az F F különség rövide írásár gykrn hsználtos z F F egy tetszőleges jelölés. Ezt tételt gykrn nevezik z integrálszámítás lptételének is, mert htározott integrál és primitív függvény közötti kpcsoltot mondj ki. Ezzel lehetővé teszi számunkr htározott integrál pontos kiszámolását olyn eseteken, mikor definíció lpján ezt nem tudnánk elvégezni. Márpedig definíció lpján csk ngyon kevés eseten számolhtó ki pontosn htározott integrál, s áltlán kkor is ngyon nehézkes. Kidolgozott feldtok:
. feldt: Htározzuk meg z f függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét 0, intervllumon. Megoldás: Készítsünk egy árát z lkztról. Amint láthtó, egy olyn háromszöghöz hsonló lkzt területe kérdés, mit felülről z f 0, függvény grfikonj, zz egy prol htárol. Mivel függvény intervllumon nem vesz fel negtív értéket, így területet megkpjuk, h függvényt integráljuk ezen z intervllumon. T d 0 Meg kell htároznunk f egy primitív függvényét, így először htároztlnul integrálunk. Htványt integrálunk, tehát eggyel növeljük kitevőt, és osztunk z új kitevővel. d c Mivel csk egy primitív függvényre vn szükségünk, így c -t tetszőlegesen megválszthtjuk. Legegyszerű c 0 válsztás. Így kpjuk, hogy f egy primitív függvénye F. Ezután helyettesítünk Newton-Leiniz-formulá. 0 8 T d 0 0 A kérdezett terület tehát 8 egységnyi. A későieken z ehhez hsonló feldtok megoldását rövideen írjuk mjd. A primitív függvényt nem htározzuk meg külön, hnem htározott integrál után egyől írjuk primitív függvényt -en, feltüntetve zárójel után z integrálási htárokt. Így megoldás lényegéen csk z utolsó soról áll mjd. H primitív függvény meghtározás nem ilyen egyszerű mint most, kkor célszerű lehet külön elvégezni htároztln integrálást, és után vissztérni htározott integrálhoz.. feldt: Htározzuk meg z d htározott integrált!
Megoldás: A megoldás során először primitív függvényt kell keresnünk, mihez lkítsuk át z integrndust úgy, hogy egyetlen htványt kpjunk. d d d d Adjuk meg primitív függvényt, hivtkozv htványok lpintegráljár, zz növeljük eggyel kitevőt, és osztunk z új kitevővel. A primitív függvényt tegyük -e, és tüntessük fel mögötte z integrálási htárokt. A primitív függvényt írjuk minél egyszerű lkn. 5 5 d d 5 5 Helyettesítsük e primitív függvénye felső integrálási htárt, mjd vonjuk ki előle z lsó htár helyettesítési értékét, és végezzük el műveleteket. 5 5 5 6 d. 5 5 5 5 5 5. feldt: 8 d Megoldás: Járjunk el úgy mint z előző feldtn, zz írjuk htványként z integrálndó függvényt. 8 8 d d Htározzuk meg primitív függvényt, s hozzuk minél egyszerű lkr. 8 8 8 8 d d Helyettesítsük e z integrálási htárokt, és vegyük két helyettesítési érték különségét. A felső htár helyettesítési értékéől vonjuk z lsó htár helyettesítési értékét. A műveleteket ezután végezzük el. 8 8 9 d 8.5 H primitív függvényen szerepel vlmilyen konstns szorzó, mint jelen eseten, kkor zt htárok ehelyettesítésekor rögtön kiemelhetjük, így nem kell kétszer leírnunk.. feldt: Htározzuk meg z f cos függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét, intervllumon. Megoldás: Készítsünk árát függvényről és kérdéses lkztról.
Amint láthtó, függvény megdott intervllumon negtív értékeket és 0-t veszi fel, így z lkzt területe függvény integráljánk -szerese lesz. Persze ezt úgy is mondhtnánk, hogy z integrál szolút értéke lesz terület. T cos d cos d Htározzuk meg primitív függvényt. T cos d sin Helyettesítsük felső integrálási htárt, mjd vonjuk ki előle z lsó htár helyettesítési értékét, és végezzük el műveleteket. T sin sin sin 0 A kérdezett terület tehát pontosn egységnyi. 5. feldt: Htározzuk meg z f függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét, intervllumon. Megoldás: Most is egy árávl célszerű kezdenünk megoldást. Amint láthtó, függvénynek z 0,0 intervllumon negtív, 0, pedig pozitív. A területet így két részleten kell számolnunk. Integráljuk egyrészt -nál zérushelye vn, s
függvényt,0 intervllumon, és ennek z integrálnk vesszük z szolút értékét, mert itt függvény negtív vgy 0. Ezzel megkpjuk függvény és z -tengely közti területet,0 0, intervllumon, mi intervllumon. Vlmint vesszük függvény integrálját megegyezik itt függvény és z -tengely közti területtel, mert függvény itt pozitív vgy 0. A teljes területet pedig két terület összegeként kpjuk. 0 0 T d d d d 0 0 Htározzuk meg primitív függvényt. 0 0 T d d 0 0 Mindkét eseten helyettesítsük z integrálási htárokt, és felső htár helyettesítési értékéől vonjuk ki z lsó htár helyettesítési értékét. A számolásokt ezután végezzük el. 0 0 0 7 T 0 0.5 0 A kérdezett terület tehát.5 egység. 6. feldt: Htározzuk meg z f függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét, intervllumon. Megoldás: Most is célszerű árázolni függvény dott intervllum eső részét. Mivel másodfokú függvényt kell árázolnunk, célszerű meghtározni zérushelyeket. Emeljünk ki -et, mert így zt kell vizsgálnunk, hogy egy szorzt mikor egyenlő nullávl. 0 0 0 vgy 0 A zérushelyek tehát 0 és. Ezek ismeretéen már könnyen árázolhtó prol. Mivel együtthtój negtív, ezért konkáv prolát kell rjzolnunk. A kérdéses lkzt most három részől áll, mivel függvény két helyen is metszi z - tengelyt z dott intervllumon elül. Az első rész,0 intervllumhoz trtozó rész, második 0, intervllumhoz trtozó rész, s hrmdik, intervllumhoz trtozó
rész. Mivel z első és hrmdik részen függvény nem pozitív, így terület meghtározásához ezeken részeken függvény integráljánk szolút értékét kell venni. 0 0 T d d d d d d 0 0 Htározzuk meg primitív függvényt. 0 0 T d d d 0 0 Helyettesítsük mindhárom esten z integrálási htárokt Newton-Leiniz-formulánk megfelelően, mjd hjtsuk végre műveleteket. 0 T 0 0 0 0 0 8 6 8 6 8 0 0 6 Amint láthtó, minél tö helyen metszi függvény grfikonj z dott intervllumon elül -tengelyt, nnál tö részen kell számolnunk területet. Mindig figyeljünk od rr, hogy mely részintervllumokon hld függvény grfikonj -tengely ltt. Ezeken részeken z integrál szolút értékét kell vennünk, zz szorozni kell z integrált -gyel. 7. feldt: Az euró árfolym (forintn) z elmúlt hónpn z f ( t) 0,000t 0,06t 0,06t 08,7 függvény szerint lkult. Mennyi volt z euró átlgárfolym z elmúlt hónpn? Megoldás: Az árfolym ingdozását ismerjük z idő függvényéen. Az átlgot megkpjuk, h f-nek vesszük htározott integrálját z dott időintervllumon, mjd kpott értéket osztjuk z intervllum hosszávl. Számoljuk ki először htározott integrált. 0 0,000 0,06 0,06 08,7 0 t t t dt 0 0,000075t 0,005t 0,008t 08,7t 907,5 0 A kpott értéket osszuk el z intervllum hosszávl: 0 0,000t 0,06t 0,06t 08,7dt 06,98Ft 0 0 Ellenőrző kérdések:. kérdés: Htározzuk meg z f függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét 0,8 intervllumon.
Válsz:. kérdés: 6 d Válsz: 0 9. kérdés: Válsz: 9 d. kérdés: Htározzuk meg z f sin függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét, intervllumon. Válsz: 5. kérdés: Htározzuk meg z f függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét 0, intervllumon. Válsz: 6. kérdés: Htározzuk meg z f függvény grfikonj és z -tengely közötti lkzt területét 5, intervllumon. Válsz: 8 Elméleti összefoglló: A htározott integrál nem csk olyn lkztok területének meghtározását teszi lehetővé, melyek egy függvény grfikonj és z -tengely között helyezkednek el, hnem más görékkel htárolt lkztokét is. H például folytonos f és g függvények grfikonji nem metszik egymást z, intervllum elsejéen, kkor függvények grfikonji, vlmint z és egyenesek áltl htárolt síkrész területe, vgy máképp foglmzv függvények grfikonji közti terület z, intervllumon következő: T f g d., -n f g nem negtív értékű függvény z, H tudjuk, hogy z f g, kkor z szolút érték elhgyhtó, hiszen -n. Az állítás helyességét z egyszerűség
kedvéért láthtjuk e. f és g, -n pozitív függvények esetén z lái ár segítségével Ezen láthtó, hogy z összegét, z f d megdj pirossl és kékkel jelölt lkztok területének g d pedig csk piros lkzt területét. A kékkel jelölt síkrész területe így kettő különsége, tehát: T f d g d. A htározott integrál tuljdonsági között szerepelt, hogy zonos intervllumon vett integrálok különsége megegyezik függvények különségének integráljávl, zz:. T f d g d f g d Két függvény grfikonj közti területet tehát úgy kpjuk, hogy nem kise függvényől kivonjuk nem ngyot, s különséget integráljuk. Lényegéen ugynígy járhtunk el, h két függvény grfikonj áltl közrezárt síkrész területe kérdés. Az ilyen lkzt grfikonok metszéspontji között helyezkedik el, mint z lái árán láthtó. Ilyenkor először meg kell oldnunk z f g egyenletet. Ezzel kpjuk meg metszéspontok helyét, zz -t és -t. Ezek után z, kivonjuk nem ngyot, s különséget integráljuk, -n. Kidolgozott feldtok: -n nem kise függvényől
5. feldt: Mekkor z f és g terület z, intervllumon. függvények grfikonji közötti Megoldás: Készítsünk egy árát két függvényről megdott intervllumon. H kiszámoljuk két függvény értékét z intervllum végpontjin, kkor görék jelleg lpján könnyű elkészíteni z árát. f f g g Az f grfikonj egy konkáv prol, göréket meghtározott pontokr. g grfikonj pedig hiperol. Illesszünk ilyen Amint láthtó, megdott intervllumon elül nem metszi egymást két függvény. Így egyszerűen vennünk kell két függvény különségét, s zt kell integrálnunk megdott f g, így h z intervllumon. Mivel tudjuk, hogy z dott intervllumn f g különséget vesszük, kkor nincs szükség szolút értékre. T d Htározzuk meg primitív függvényt. T d ln Helyettesítsük e z integrálási htárokt, és vegyük helyettesítési értékek különségét, és végezzük el műveleteket. T ln ln ln 6 ln 0 ln 0.6 A kérdéses terület tehát közelítőleg 0.6 egység.
7. feldt: Mekkor területű síkrészt zárnk közre z f és g függvények grfikonji? Megoldás: Mivel két göre áltl közrezárt síkrész területe kérdés, ezért meg kell f g egyenletet. htároznunk metszéspontjikt. Oldjuk meg tehát z 0, A kérdezett területet ezután úgy kphtjuk, hogy két függvény különségét integráljuk két metszéspont között, zz, intervllumon, s vesszük z integrál szolút értékét. H zonn el tudjuk dönteni, melyik függvény ngyo z intervllum elsejéen, és ngyo értékű függvényől vonjuk ki kise értékűt, kkor nincs szükség z szolút értékre. H készítünk egy árát, kkor rról ezt le tudjuk mjd olvsni. Az intervllum végpontjin két függvény most ugynzon értékeket veszi fel. Mivel g z egyszerű, így ee célszerű helyettesíteni. f g f Az g 0 f másodfokú függvény, grfikonj konve prol, egyenes. Ezek után már könnyű egy jó árát készíteni. g elsőfokú, grfikonj A, g f integráljuk, s így nem lesz szükség szolút értékre. intervllum elsejéen láthtón, ezért g f T d d Htározzuk meg primitív függvényt. függvényt T d Helyettesítsük htárokt, és vegyük helyettesítési értékek különségét, és végezzük el műveleteket. T 8.5
A két grfikon áltl közrezárt terület tehát.5 egység. Ellenőrző kérdések:. kérdés: Mekkor z f és g 5 területe, intervllumon? Válsz: 6 ln függvények grfikonji közti lkzt. kérdés: Mekkor területű síkrészt zárnk közre z f és g grfikonji? függvények Válsz: 9. kérdés: Mekkor területű síkrészt zárnk közre z f és g grfikonji? Válsz:.5 függvények Továi kidolgozott feldtok:. feldt: 8 5 d Megoldás: Az integrndusunk most egy szorzt. Amint z korán szerepelt, ilyen eseten nincs áltlánosn lklmzhtó integrálási szály. Át kellene ezért lkítnunk úgy függvényt, hogy már ne szerepeljen szorzás. Amint koráikn, írjuk át most is gyököket törtkitevős htvánnyá, mjd végezzük el szorzást, zz ontsuk fel zárójelet. 8 5 d 8 5 d 8 5 d Az integrndus mindkét tgján zonos lpú htványok szorzt áll, melyeket egyetlen htványként is írhtunk. A kitevők ekkor összedódnk. 5 6 8 5 d 8 5 d 8 5 d Sikerült elérnünk, hogy már nincs függvények szorzás, hnem csk különsége. Ekkor tgonként integrálhtunk. Az egyes tgokól konstns szorzókt kiemelhetjük. 5 5 5 6 6 6 8 5 d 8 d 5 d 8 d 5 d A két htványt immár külön-külön integráljuk. 5 5 6 5 6 0 6 6 6 5 0 6 d d c c c 8 5 8 5 5 5 5 6
Mivel törtkitevős htványokt integráltunk, z eredmény most is írhtó htványként és gyökös lkn is. 9 6. feldt: d Megoldás: Az integrálndó függvény most egy tört. Sjnos törtekre sincsen minden eseten hsználhtó integrálási szály. A függvényt ezért ismét átlkítjuk z integrálás előtt. Első lépésen gyököt írjuk htványként. 9 6 9 6 d d Mivel tört számlálóján összeg illetve különség áll, törtet tö törtre onthtjuk úgy, hogy z egyes tgokt külön-külön osztjuk nevezővel. 9 6 9 6 d d d d A konstns szorzókt ezután kiemelhetjük z egyes integrálokól. 9 6 d d d d 9 d 6 d Az első két tgn zonos lpú htványok hánydos áll, miket egyetlen htvánnyá lkíthtunk. Ekkor kitevők különségét kell vennünk. A hrmdik tgn egy htvány reciprok szerepel, mit negtív kitevős htványként írhtunk. d 9 d 6 d d 9 d 6 d d 9 d 6 d Már csk egy-egy htványt kell integrálnunk. Vigyázzunk zonn, mert z első tgn éppen áll, minek integrálás különözik töi htvány integrálásától. Éppen ezért, ez ne is írjuk htványként, hnem inká lkn. d 9 d 6 d Most hjtsuk végre z integrálásokt. d 9 d 6 d ln 9 6 c ln 9 6 ln 8 6 ln 8 6 c c c Mint áltlán z ilyen feldtoknál, z eredmény most is tö lkn dhtó meg.
. feldt: Htározzuk meg zon véges síkrész területét, melyet koordinátrendszer két tengelye és z f 8 függvény grfikonj htárol. Megoldás: Készítsünk egy árát függvényről, hogy láthssuk, hogyn is helyezkedik el kérdéses lkzt koordinátrendszeren. Az árázolás könnyű, hiszen z grfikonját kell 8 -cl lefelé eltolnunk z y -tengely mentén. Amint láthtó, negyedik síknegyeden vn olyn síkrész, mi feldt feltételeinek megfelel. Nyilván szükségünk vn rr, hogy meghtározzuk, hol metszi függvény grfikonj z -tengelyt. Az áráról sejthető, hogy zérushely, s ez függvénye helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető is. Természetesen z 8 0 egyenletet is megoldhtjuk, s ezzel is igzolhtjuk, hogy -nél vn metszéspont. Így egyértelmű, hogy z lkzt 0, intervllumon tlálhtó. Mivel itt függvény negtív értékeket vesz fel, így területet függvény ezen intervllumon vett integráljánk -szerese dj. T 8d 0 Htározzuk meg primitív függvényt. T 8 0 Helyettesítsünk Newton-Leiniz-szály, és hjtsuk végre műveleteket. 0 T 8 80 6 0. feldt: Mekkor területű véges síkrészt zárnk közre z f és g 5 függvények grfikonji? Megoldás: Mivel két függvénygrfikonj áltl közrezárt síkrész terülte kérdés, így először f g meg kell htároznunk, hol metszik egymást grfikonok. Oldjuk meg z egyenletet. 5 0 0
H z első tényező null, kkor z 0 megoldást kpjuk. H második tényező null, kkor, miől vgy vgy. A két függvény grfikonj tehát helyen is metsz egymást. Ez zt jelenti, hogy két grfikon áltl közrezárt lkzt két részől áll, mert vn közrezárt lkzt z első két metszéspont és második két metszéspont között is. Ezt jól láthtjuk, h árázoljuk két függvényt. Az árázoláshoz célszerű meghtározni függvények értékét metszéspontokn. Ezeken helyeken két függvény zonos értéket vesz fel. Mivel g z egyszerű függvény, így célszerű helyettesítve számolni. f g 5 0 f f 0 g0 50 0 g 5 0 A kérdéses területe két integrálll htározhtjuk meg. Mivel,0 intervllum elsejéen f g, ezért ezen z intervllumon integráljuk z f g függvényt, s mert 0, intervllumon g f, ezért ezen z intervllumon integráljuk z g f függvényt. A terület két integrál összege lesz. 0 0 T 5 d 5 d d d 0 0 Htározzuk meg primitív függvényeket. 0 0 T d d 0 0 Helyettesítsük z integrálási htárokt megszokott módon, és végezzük el műveleteket. 0 0 T 0 0 0 8 8 0 8 A közrezárt lkzt területe tehát 8 egység. A feldtot egy integrál kiszámolásávl is megoldhtjuk, h kihsználjuk zt, hogy közrezárt lkzt két része szimmetrikus z origór. Ekkor elég z egyik integrált kiszámolnunk, és nnk dupláját venni. Szimmetrikus lkztok esetén így csökkenthetjük számolás mennyiségét.
Ellenőrző kérdések:. kérdés: ( ) ( )d Válsz: 6 5 6 9 6 c 6 5. kérdés: ()(5 ) d Válsz: 57 5 c 5 8 5. kérdés: Mekkor nnk véges síkrésznek területe, melyet koordinátrendszer két tengelye és z f függvény grfikonj htárol? Válsz:. kérdés: Mekkor területű véges síkrészt zárnk közre z f és g függvények grfikonji? Válsz: