Szili László Aalízis feladatokba I. Egyel tleségek, függvéyek, számsorozatok, számsorok A köyvet a szerz ajálotta fel a mideki számára igyees letölthet ség feltételével.
Írta: Szili László egyetemi doces Lektorálta: Dr. Fridli Sádor egyetemi doces Második, javított kiadás c Szili László, 005, 008 ISBN 978 963 463 740 0 www.eotvoskiado.hu Felel s kiadó: Huyadi Adrás, ügyvezet igazgató Nyomdai mukák: Multiszolg Bt.
Tartalomjegyzék El szó 6 Jelölések 7 I. Feladatok 9. Egyeletek és egyel tleségek.................. Egyeletek és egyel tleségek megoldása............. A teljes idukció..........................3. Nevezetes azoosságok...................... 4.4. Nevezetes egyel tleségek.................... 4.5. Egyel tleségek igazolása.................... 6. Halmazok, relációk és függvéyek.............. 9.. Matematikai logikai alapok................... 9.. Halmazok............................. 5.3. Relációk és függvéyek...................... 9 3. A valós és a komplex számok struktúrája.......... 40 3.. A valós számok Dedekid-féle axiómaredszere........ 40 3.. A teljességi axióma következméyei............... 48 3.3. A komplex számtest....................... 55 4. Számsorozatok........................... 60 4.. A valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok......... 60 4.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke.. 65 4.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata. 7 4.4. Rekurzív sorozatok határértéke................. 85
4 Tartalomjegyzék 4.5. Sorozat limesz szuperiorja és limesz iferiorja......... 88 4.6. Komplex tagú sorozatok kovergeciája............ 9 5. Számsorok............................. 96 5.. Valós számsor kovergeciája és összege............ 96 5.. Nemegatív tagú sorok. Leibiz-típusú sorok......... 0 5.3. M veletek számsorokkal..................... 5.4. Komplex tagú sorok....................... 6 II. Megoldások 9. Egyeletek és egyel tleségek.................. Egyeletek és egyel tleségek megoldása............. A teljes idukció......................... 5.3. Nevezetes azoosságok...................... 30.4. Nevezetes egyel tleségek.................... 3.5. Egyel tleségek igazolása.................... 37. Halmazok, relációk és függvéyek.............. 4.. Matematikai logikai alapok................... 4.. Halmazok............................. 44.3. Relációk és függvéyek...................... 50 3. A valós és a komplex számok struktúrája.......... 68 3.. A valós számok Dedekid-féle axiómaredszere........ 68 3.. A teljességi axióma következméyei............... 69 3.3. A komplex számtest....................... 83 4. Számsorozatok........................... 85 4.. A valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok......... 85 4.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke.. 9 4.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata. 00 4.4. Rekurzív sorozatok határértéke................. 4.5. Sorozat limesz szuperiorja és limesz iferiorja......... 7 4.6. Komplex tagú sorozatok kovergeciája............ 8 5. Számsorok............................. 3 5.. Valós számsor kovergeciája és összege............ 3 5.. Nemegatív tagú sorok. Leibiz-típusú sorok......... 4
Tartalomjegyzék 5 5.3. M veletek számsorokkal..................... 5 5.4. Komplex tagú sorok....................... 58 Irodalomjegyzék 60
El szó A jegyzet els sorba a programozó (iformatikus) szakos hallgatók számára készült, de reméyeik szerit haszos lehet midazokak, akik az aalízis bevezet fejezeteivel ismerkedek. A. fejezett l kezdve a témakörök el tt felsoroltuk a legalapvet bb deíciókat és tételeket. Itt az értelemszer rövidítéseket haszáltuk: A. (axióma), D. (deíció), K. (következéy), M. (megjegyzés), T. (tétel). A legtöbb témakörél a feladatokat az alábbi szempotok szerit csoportosítottuk: az A-feladatok-hoz soroltuk a deíciók és tételek mélyebb megértését segít feladatokat. Ezek jelet s részéek a megoldása a deíciók és/vagy tételek egyszer alkalmazását igéyli. A B-feladatok az adott témakörrel kapcsolatos további fotos ismeretayagot, illetve techikákat tartalmazak. A C-feladatok-at gyakorló feladatokak szájuk. 6
Jelölések mide egyes (uiverzális kvator) létezik (egziszteciális kvator) := deíció szerit egyel := a + a + + a a k k= a k k= := a a... a N := {,, 3,...} a természetes számok halmaza N 0 := {0,,,...} a emegatív egész számok halmaza Z az egész számok halmaza Q a racioális számok halmaza Q az irracioális számok halmaza R a valós számok halmaza R + a pozitív valós számok halmaza R + 0 a emegatív valós számok halmaza R a egatív valós számok halmaza R 0 a empozitív valós számok halmaza Legye a, b R és a < b. Ekkor (a, b) := {x R a < x < b} az a, b yílt itervallum [a, b] := {x R a x b} az a, b zárt itervallum (a, b] := {x R a < x b} az a, b alulról yílt és felülr l zárt itervallum [a, b) := {x R a x < b} az a, b alulról zárt és felülr l yílt itervallum (, + ) := R [a, + ) := {x R a x} (a, + ) := {x R a < x} (, a] := {x R x a} (, a) := {x R x < a} 7
8 Jelölések f : A B az A halmazt a B halmazba képez függvéy { a, ha a R + 0 a := a, ha a R, az a abszolút értéke abs : R R, x x, az abszolútérték-függvéy, ha x R + sig : R R, x 0, ha x = 0, ha x R, az el jel- vagy szigumfüggvéy A görög ábécé A α alfa I ι ióta P ρ ró B β béta K κ kappa Σ σ szigma Γ γ gamma Λ λ lambda T τ tau δ delta M µ m Υ υ üpszilo E ε epszilo N ν Φ ϕ fí Z ζ zéta Ξ ξ kszí X χ khí H η éta O o omikro Ψ ψ pszí Θ ϑ v. θ théta Π π pí Ω ω ómega
I. rész Feladatok
. Egyeletek és egyel tleségek.. Egyeletek és egyel tleségek megoldása. Oldja meg R-e a következ egyeleteket: (a) x + 3 + x = 3x 5; (b) x 3 + x + 3 = 6; (c) x 3 + x + 3 = 4; (d) 3x x = ; (e) x + = x + ; (f) 3 x x = ; (g) x + 3x = x 6 ; (h) x 3 =.. Oldja meg R-e a következ egyel tleségeket, és a megoldáshalmazokat adja meg itervallumokkal: (a) (5 x)(x + 3) < 0; (b) x 5x + 6 > 0; (c) 3x + 7x 4 x < ; + x 3 3x + 4 (d) x < x x + ; (e) x + < 0, 0; (f) x > 5; (g) x(x )(x 3) > 0; (h) x( x) < 3; (i) x + x ; (j) x + x <. 3. A p valós paraméter mely értékei mellett lesz a x + p = + x egyelet megoldása -él agyobb valós szám?
. Egyeletek és egyel tleségek 4. Oldja meg R-e a x(x p) 0x + x p = 0 x + p x + p egyeletet, ahol p valós paraméter. 5. Oldja meg R-e az x(x + 3) + p(p 3) = (px ) egyeletet, ahol p valós paraméter. 6. Határozza meg a p R paramétert úgy, hogy a (p )x + (p )x + > 0 egyel tleség mide x R eseté feálljo. 7. Milye p R \ {0} paraméter eseté áll fe mide valós x számra az egyel tleség? x px > p 8. A p valós paraméter mely értékeire lesz a (p )x px + p + 3 = 0 egyeletek két külöböz pozitív gyöke? 9. Határozza meg a p valós paramétert úgy, hogy az x px + x < 3 + x + egyel tleség mide x valós számra igaz legye... A teljes idukció T. A teljes idukció elve. Tegyük fel, hogy mide természetes számra adott egy A() állítás, és azt tudjuk, hogy (i) (ii) A() igaz, ha A() igaz, akkor A( + ) is igaz. Ekkor az A() állítás mide természetes számra igaz.
.3. A teljes idukció 3 M. o Teljes idukcióval tehát mide természetes számra feálló állításokat bizoyíthatuk. A feti tétel azt modja ki, hogy ha mide N számra adott egy A() állítás (például egy egyel tleség), akkor aak bizoyításához, hogy A(), A(),..., A(),... midegyike igaz, elég beláti a következ két dolgot: (i) az A() állítás igaz, (ii) ha valamilye természetes számra az A() állítás igaz (ezt szoktuk idukciós feltételek evezi), akkor az A( + ) állítás is igaz. 0 Ha a teljes idukció elvébe az számot egy másik m-mel jelölt természetes számmal helyettesítjük, akkor az elv alkalmas aak bizoyítására, hogy a szóba forgó állítások m-t l kezdve mide természetes számra igazak. 0. Mutassa meg, hogy (a) (b) (c) + 3 + 3 4 + + ( + ) = k(3k + ) = ( + ) ( N); k= ( ) k k ( + ) = ( ) k=. Bizoyítsa be, hogy (a) + < (b) k= + ( N). k < ( =, 3,...); ( N); < 3 4 < ( =, 3,...); 3 + (c) 3 + 5 6 (d) 6 7 k= k= k 6 6 7 k 7 6 6 7. Teljes idukcióval lássa be, hogy ( N). (a) > + ( =, 3,...); (b) > ( = 5, 6,...); (c) 3 > 3 ( = 4, 5,...). ( =, 3,...);
4. Egyeletek és egyel tleségek.3. Nevezetes azoosságok 3. Lássa be, hogy mide a, b valós számra és mide természetes számra a b = (a b)(a + a b + a 3 b + + ab + b ). 4. Mutassa meg, hogy ha egy tetsz leges természetes szám, akkor q + q + q + q 3 + + q, ha q R \ {} = q, ha q =. 5. Igazolja, hogy mide N eseté ( + ) (a) + + + = ; (b) + + + ( + )( + ) =. 6 6. Bizoyítsa be a biomiális ( két tagra voatkozó) tételt: Mide a, b R és N számra ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) = a + a b + + a b + b, 0 ( ) ahol k, N és k esetébe az biomiális együtthatókat így k értelmezzük: ( )! :=, 0! := és! := 3. k k!( k)!.4. Nevezetes egyel tleségek 7. Lássa be az alábbi R-beli háromszög-egyel tleségeket: Mide a és b valós számra (a) a + b a + b ; (b) a b a b.
.4. Nevezetes egyel tleségek 5 8. Igazolja a Beroulli-egyel tleséget: Mide h valós számra és mide N természetes számra ( + h) + h. Ezekre a h és értékekre egyel ség akkor és csak akkor teljesül, ha h = 0 vagy =. 9. Bizoyítsa be a számtai és a mértai közép közötti egyel tleséget: Legye tetsz leges természetes szám és a, a,..., a tetszés szeriti emegatív valós szám. Ekkor a a a a + a + + a. Egyel ség akkor és csak akkor áll fe, ha a = a = = a. M. Az S := a + a + + a, ill. az M := a a a számot az a, a,..., a számok számtai közepéek, ill. mértai közepéek evezzük. Az el z feladat tehát azt állítja, hogy emegatív számok mértai közepe kisebb vagy egyel (em agyobb) a számtai közepükél, és a kett potosa akkor egyel, ha a számok mid egyel k egymással. Ez az állítás a középiskolai taulmáyaik sorá megismert egyel tleség általáosítása. ab a + b (a, b R + 0 ) 0. Legye tetsz leges természetes szám és a, a,..., a tetszés szeriti pozitív valós szám. Mutassa meg, hogy a + a + + a a a a a + a + + a. Egyel ség akkor és csak akkor áll fe, ha a = a = = a. M. A H := számot a a + a + +, a,..., a harmoikus közepéek a evezzük. Az el z feladat szerit a harmoikus, a mértai és a számtai közepek között az alábbi egyel tleség teljesül: H M S, és egyel ség akkor és csak akkor áll fe, ha a számok egyel k egymással.
6. Egyeletek és egyel tleségek. Bizoyítsa be a CauchyBuyakovszkij-egyel tleséget: Legye egy természetes szám. Ekkor mide a, a,..., a és b, b,..., b valós számra a k b k k= k= a k b k. Egyel ség akkor és csak akkor áll fe, ha létezik olya λ R, hogy a = λb, a = λb,..., a = λb vagy b = λa, b = λa,..., b = λa.. Igazolja a Mikowski-egyel tleséget: Legye N és a k, b k k= R (k =,,..., ). Ekkor ( ) ak + b k a k + b k. k= Egyel ség akkor és csak akkor áll fe, ha létezik olya λ 0 valós szám, hogy a = λb,..., a = λb vagy b = λa,..., b = λa. M. Az el z két állítás geometriai tartalma = eseté a következ : tekitsük az a = (a, a ) és b = (b, b ) síkbeli vektorokat. Ezek hossza a = a + a, b = = b + b, skaláris szorzata pedig a b = a b cos γ (γ az a és b vektorok által bezárt szög), amit koordiátákkal így fejezhetük ki: a b = a b + a b. k= k= Mivel cos γ, ezért ebb l a b a b, azaz a b + a b a + a b + b következik. A CauchyBuyakovszkij-egyel tleség tehát eek általáosítása. A Mikowski-egyel tleség ebbe az esetbe azt állítja, hogy a+b a + b. Ha a és b em egy egyeesbe es vektorok, akkor az általuk meghatározott háromszög oldalaiak a hossza a, b és a + b. Az egyel tleség tehát azt a geometriából ismert téyt fejezi ki, hogy egy háromszög bármelyik oldaláak a hossza kisebb, mit a másik két oldal hosszáak az összege..5. Egyel tleségek igazolása 3. Bizoyítsa be, hogy mide a > 0 valós számra a + a. Mikor áll fe egyel ség? Mit tud modai az a + a esetbe, amikor az a egatív valós szám? összegr l abba az
.5. Egyel tleségek igazolása 7 4. Igazolja az alábbi egyel tleségeket (a, b és c tetsz leges valós számot jelöl): (a) a + a + ; (b) a + b + c ab + ac + bc; (c) a 4 a 3 a + 0; (d) a + b ab a b + 0. Mikor va egyel ség a feti egyel tleségekbe? 5. Mutassa meg, hogy ha az a és b valós számokra (a) a < és b <, akkor a + b < + ab ; (b) 0 < a < és 0 < b <, akkor 0 < a + b ab <. 6. Igazolja meg, hogy mide a, a, b, b valós számra a + a b + b a b + a b. 7. Mutassa meg, hogy mide pozitív a, b és c valós számra feáll az (a + b)(b + c)(a + c) 8abc egyel tleség, és az egyel ség akkor és csak akkor teljesül, ha a = = b = c. 8. Igazolja, hogy ha az a, a,..., a pozitív valós számok szorzata, akkor Mikor va itt egyel ség? ( + a )( + a )... ( + a ). 9. Bizoyítsa be, hogy mide a / valós számra feáll az egyel tleség. ( a) 5 ( + a)( + a)
8. Egyeletek és egyel tleségek 30. A számtai és a mértai közép közötti egyel tleség felhaszálásával bizoyítsa be, hogy (a) ( + ) < 4 ( N); (b) ( + ) < ( + +) + ( N); (c) > + ( =, 3, 4,...). 3. Lássa be a Beroulli-egyel tleség alábbi általáosítását: Ha N és a h, h,..., h valós számok el jele megegyezik, továbbá h k > (k =,,..., ), akkor ( + h )( + h ) ( + h ) + h + h + + h. 3. Igazolja az alábbi egyel tleségeket: (a) ( + ) < + (N 3); ( + ) (b)! < (N ); (c) + k ( + ) k + k + k (, k N; k ); (d) (!) ( N); ( a + b ) a (e) + b (a, b R, a + b 0, N); ( + )! ( (f) + k + ) ( ) + + ( N). k=0 33. Bizoyítsa be, hogy ha N és a, a,..., a tetsz leges pozitív valós számok, akkor (a) a + a + + a + a ; a a 3 a a (b) a a a a + a + + a. Mikor va egyel ség a feti egyel tleségekbe? 34. Lássa be, hogy tetsz leges a, b, c és d valós számok eseté feáll az (a + b + c + d )(a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ) (a 3 + b 3 + c 3 + d 3 ) egyel tleség.
. Halmazok, relációk és függvéyek.. Matematikai logikai alapok Deíciók, tételek és megjegyzések M. A matematikai logika matematikai módszereket haszál a godolkodás formális törvéyeiek a taulmáyozására. Hagsúlyozzuk, hogy itt em kíváuk szisztematikus áttekitést yújtai err l a témakörr l. Az ismerteted fogalmak és eljárások csupá mit a kés bbiek szempotjából haszos segédeszközök jeleek meg számukra. Haszálatuk agymértékbe leegyszer síti és megköyíti az egyes matematikai godolatok kifejtését, illetve leírását. A matematikai logika alapvet fogalmai a matematikai ítéletek (más éve kijeletések vagy állítások), és az ítéletek igaz vagy hamis volta, azaz az ítélet logikai értéke. A kijeletéseket általába egy-egy szimbólummal (például a p, q, r... bet k valamelyikével), a logikai értékeket pedig az i, illetve a h bet vel jelöljük. Megállapoduk abba, hogy bármelyik kijeletést l amelyeket csupá abból a szempotból vizsgáluk, hogy mi a logikai értéke megköveteljük azt, hogy vagy igaz, vagy hamis legye. Egy adott képre voatkozóa tehát em tekitjük ítéletek például az ez a kép szép kijeletést. D. A p és q ítéletek közötti logikai alapm veleteket: a kojukciót ( ), a diszjukciót ( ), az implikációt ( ) és az ekvivaleciát ( ) így értelmezzük: p q p p q p q p q p q i i h i i i i i h h h i h h h i i h i i h h h i h h i i 9
0. Halmazok, relációk és függvéyek D. Két logikai kifejezést akkor tekitük azoosa egyel ek (egyeérték ek vagy ekvivalesek), ha logikai értékük a beük szerepl logikai változók bármely értékére azoos. Az azoosság jele. M. Az implikációval kapcsolatba a továbbiakba ige sokszor alkalmazott szóhaszálatra hívjuk most fel az Olvasó gyelmét. Matematikai eredméyek (tételek, állítások) ige jelet s része ha p, akkor q (p q) típusú, vagyis implikáció. Például: Ha két háromszög egybevágó, akkor a szögeik egyel ek. Azt, hogy egy ilye típusú eredméy igaz, úgy szoktuk beláti, hogy feltesszük, hogy p igaz, és ebb l levezetjük, hogy q is igaz. Figyelje meg, hogy ezzel a gyakorlatukkal összhagba va a táblázatba p q-ra tett megállapodásuk, amely szerit ez a következtetés igaz, ha p is és q is igaz. A változatosabb kifejezésmód érdekébe a feti, példakét említett eredméyt így is meg szoktuk fogalmazi: Két háromszög egybevágóságáak szükséges feltétele az, hogy a szögeik egyel ek legyeek. (A szögek egyel sége szükséges ahhoz, hogy a két háromszög egybevágó legye.) Ezt így is modhatjuk: Két háromszög egybevágósága elégséges feltétele aak, hogy a szögeik egyel ek legyeek. Általáosa: azt, hogy a p q implikáció igaz, a következ módok valamelyikével is kifejezhetjük: p-b l következik q ; p csak akkor teljesül, ha q is teljesül ; ahhoz, hogy q teljesüljö, elégséges, hogy p feálljo ; p elégséges feltétele aak, hogy q teljesüljö ; ahhoz, hogy p teljesüljö, szükséges, hogy q feálljo ; q szükséges feltétele p-ek. (Figyelje majd ezekek a kifejezésekek a potos haszálatára.) A matematikai tételek másik jelet s része p q típusú ekvivalecia. Azt, hogy p q igaz, a következ módok valamelyikével is kifejezhetjük: p ekvivales q-val ; p szükséges és elégséges feltétele aak, hogy q teljesüljö ; q akkor és csak akkor teljesül, ha p ; q potosa akkor teljesül, amikor p. Ekvivales állítást (tehát azt, hogy p q igaz) úgy bizoyítuk, hogy külö-külö belátjuk a p q és a q p implikációkat. M. Bizoyítási módszerek. A matematikai tételek, állítások jelet s része ha p, akkor q vagy p q típusú, vagyis implikáció. Itt p a tétel feltételeit jelöli, amelyeket premisszákak is szokás evezi ( az, amit eleve tuduk), q pedig a tétel állítását jelöli, amelyet koklúzióak is moduk ( az, amit tudi szereték). A lehet legtermészetesebbek t dolog egy ( ) alakú állítást úgy bebizoyítai, hogy a p premisszákból kiidulva logikailag helyes következtetések lácolatá keresztül lépésr l lépésre eljussuk a q koklúzióig. A bizoyításak ezt a módját direkt bizoyításak evezzük. Néha viszot kéyelmesebb a p q implikációt az ú. iverz módo bebizoyítai. Ez esetbe abból iduluk ki, hogy q em igaz, és eek alapjá (direkt módo) megmutatjuk, hogy akkor p sem lehet igaz. Ez teljese megegedett ( )
.. Matematikai logikai alapok dolog, ui. érvéyes a következ azoosság: p q q p. (Igazságtáblázat segítségével igazolja ezt az állítást.) Va egy harmadik bizoyítási mód is, amely szité sokszor bizoyul hatékoyak. Ez az ú. idirekt bizoyítás. Ez a módszer a következ logikai elve alapszik: igaz állításból helyes következtetések lácolatá keresztül lehetetle hamis állításhoz juti. Ha a p állítást akarjuk bebizoyítai, akkor a következ képpe járhatuk el. Feltételezzük p tagadását, vagyis azt, hogy p igaz; ha p implikál egy q állítást és q tagadását is, akkor p em lehet igaz, tehát p igaz. Ez a módszer azért alkalmazható, mert a ( p q) ( p q) p állítás azoosa igaz. (Igazságtáblázat segítségével bizoyítsa be.) Az iverz bizoyítási mód ez utóbbiak agyo leegyszer sített változata, ezért soka teljes joggal em is tekitik külö bizoyítási módszerek. M. Logikai függvéyek. A matematikai állítások általába valamilye halmaz elemeire modaak ki bizoyos tulajdoságokat. Ezek az állítások a következ alakúak: Az X halmaz x elemére p(x) teljesül. (Vagy az X halmaz x, y elemeire p(x, y) teljesül.) Az ilye típusú kijeletésformulákat logikai függvéyekek evezzük. Logikai függvéyekbe tehát egy vagy több úgyevezett változó szerepel, amelyek meghatározott objektumok lehetek; ha a logikai függvéy változóját specikáljuk (rögzítjük egy lehetséges módo), kijeletést kapuk; ezeket a kijeletéseket a logikai függvéy értékeiek evezzük. Más szóval a logikai függvéy bizoyos (matematikai) objektumokhoz redel hozzá kifejezéseket. Ige fotos, hogy logikai függvéyekkel az eddigiekt l eltér módo is gyárthatuk kijeletést úgy, hogy a változót lekötjük az uiverzális kvator (mide vagy mide egyes) ( ) vagy az egziszteciális kvator (létezik vagy va olya) ( ) egyikével. Absztrakt jelölésekkel: ha p egy logikai függvéy, akkor kvatorokkal megalkothatjuk bel le a x X : p(x) vagy x X eseté p(x) vagy x : p(x) x X : p(x) vagy x X, hogy p(x) vagy x : p(x) kijeletéseket. Például: mide egész szám osztható 3-mal ( x Z eseté 3 x), va olya egész szám, amely osztható 3-mal ( x Z, hogy 3 x). Matematikai állításokba sokszor több halmaz elemei (vagy egy halmaz elemei többször) is felléphetek kvatikálta, vagyis kvatorokkal ellátott elemek egész sorozatát zárhatja le egy állítás. M. Matematikai állítások tagadása. Matematikai tételek bizoyításáak ige gyakori módja az idirekt bizoyítási módszer (l. a szám irracioalitásáak a bizoyítását). Ige fotos tehát az, hogy helyese tudjuk tagadi matematikai állításokat. Megállapoduk abba, hogy ha p logikai függvéy, akkor ( x : p(x) ) x : p(x), ( x : p(x) ) x : p(x).
. Halmazok, relációk és függvéyek Figyelje meg, hogy ez a megállapodás összhagba va a hétközapi logikával: ( ablak yitva va) ablak, amely zárva va. Felhívjuk az Olvasó gyelmét arra, hogy a mide ablak yitva va kijeletés tagadását egatív ítélet formájába is kifejezhetjük: em mide ablak va yitva. Az els két említett alakot pozitív állítás formájába megfogalmazott alakak evezheték. Matematikai állítások tagadását igyekezzük midig ebbe a formába megfogalmazi. Összetett kijeletések több kvatort és többváltozós logikai függvéyt is tartalmazhatak. Szerecsére az ilye állítások tagadását formális törvéyek egymás utái alkalmazásával is megfogalmazhatjuk. Godoljuk meg például a következ ket: ( emelete ablak, amely yitva va) emelet, ahol ablak zárva va, ( x és y valós számra x +y < ) x és y valós szám, hogy x +y. Hasoló példák taulmáyozása utá vojuk le az alábbi következtetést: Olya állítást, amely uiverzális ( ) és egziszteciális ( ) kvatorokat és végül egy lezáró állítást tartalmaz, úgy tagaduk, hogy mide, illetve helyébe -t, illetve -t íruk, és a lezáró állítást a egációjával helyettesítjük. M. Axiomatikus módszer a matematikába. Matematikai ismeretek axiomatikus tárgyalásáak szükségességét már az i. e. IV. századba az ókori görög matematikusok felismerték, és a geometriába mitát is mutattak erre a módszerre (l. Eukleidész Elemek cím köyvét). Ebbe az id be az ókori görög tudósok geometriai ismeretek elég széles körével redelkeztek. Vélt godolatmeetüket ma is felidézhetjük. Godoljuk például a következ geometriai állításra, valamit a bizoyítására: egy háromszög magasságvoalai egy potba metszik egymást. Világos, hogy maga az állítás és a bizoyítása is tartalmaz korábbról már ismert fogalmakat. A bizoyítás sorá pedig felhaszáluk olya állításokat, amelyeket korábba már bebizoyítottuk. Ez a folyamat visszafele a végteleségig yilvá em folytatható. Ez azt jeleti: kell, hogy legyeek olya fogalmak, amelyeket em vezetük vissza korábba már deiált fogalmakra. Ezeket a em deiált fogalmakat alapfogalmakak szokás evezi. Az állításokkal is hasoló a helyzet. Kell, hogy legyeek olya állítások, amelyeket eleve igazak tételezük fel. Az ilye állításokat szokás axiómákak evezi. A geometria alapfogalmai például a pot, az egyees, a sík; egy axióma például a következ : két poto át húzható egyees. Elképzelhet, hogy em egyszer feladat sok kokrét ismeretayagból kiválasztai alapfogalmakat és axiómákat úgy, hogy azokból a logika szabályait követve levezethet k legyeek az adott témakörbe megismert összefüggések. Másrészt az is hihet ek t ik, hogy egy adott témakörhöz több külöböz axiómaredszer (alapfogalmak és axiómák együttese) is megalkotható (ilyere példát a valós számokkal kapcsolatba mi is foguk modai). Az axiomatikus módszer léyegét így szemléltetjük: sok kokrét ismeret absztrakció alapfogalmak, axiómák logikai következtetések régi és új ismeretek, összefüggések
.. Matematikai logikai alapok 3 A-feladatok 35. Jelöljö x tetsz leges égyszöget. Tekitsük a következ kijeletéseket: p(x): az x égyszög húrégyszög, q(x): az x égyszög téglalap, r(x): az x égyszög szemközti szögeiek összege 80 o, s(x): az x égyszög átlói felezik egymást. Fogalmazza meg az alábbi összetett kijeletéseket, és határozza meg azok logikai értékét: (a) x : ( p(x) q(x) ) ; (b) x : ( q(x) p(x) ) ; (c) x : ( p(x) q(x) ) ; (d) x : ( p(x) r(x) ) ; (e) x : ( q(x) s(x) ) ; (f) x : ( s(x) q(x) ) ; (g) x : [( p(x) q(x) ) s(x) ]. 36. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg a következ kijeletések tagadását. Egy adott épületet tekitve: ablak yitva va ; ablak, ami yitva va ; emelet, hogy ablak yitva va ; emelete ablak yitva va. Egy adott egyetemet tekitve: szak évfolyamá leáy hallgató ; szak, amelyikek évfolyama, amelybe hallgató leáy. B-feladatok 37. Igazolja direkt, iverz és idirekt módo azt, hogy x +5x 4 > 0 x > 0, ahol x R. 38. Tekitsük a x + 5 3 állítást, ahol x valós szám. (a) Az állítás teljesüléséek az x 0 feltétel szükséges, elégséges vagy szükséges és elégséges feltétele? (b) Válaszolja meg ugyaezt a kérdést x 0 helyett x 50-el. (c) Válaszolja meg ugyaezt a kérdést x 0 helyett x 4-gyel.
4. Halmazok, relációk és függvéyek 39. Tekitse az alábbi hat implikációt. Midegyik esetbe dötse el, hogy (i) igaz-e az implikáció, és (ii) igaz-e a megfordított implikáció (x, y és z valós számok). (a) x = és y = 5 = x + y = 7; (b) (x )(x )(x 3) = 0 = x = ; (c) x + y = 0 = x = 0 vagy y = 0; (d) x = 0 és y = 0 = x + y = 0; (e) xy = xz = y = z; (f) x > y = x > 0. 40. Egy adott épületre voatkozóa tekitsük a mide ajtó va kilics kijeletést. Írja ezt fel jelek és kvatorok segítségével, majd pozitív állítás formájába fogalmazza meg a tagadását. C-feladatok 4. Jelöljö x pozitív egész számot, és tekitsük a következ állításokat: p(x): az x szám osztható -vel, q(x): az x szám osztható 5-tel, s(x): az x szám osztható 0-zel. Melyik melyikek szükséges, és melyik melyikek elégséges feltétele? 4. Írja fel az alábbi állítások megfordítását, és dötse el az állításról és a tagadásáról is, hogy igaz-e vagy em: (a) Ha egy természetes szám osztható a b-vel, akkor osztható a-val és b-vel egyarát. (b) Derékszög háromszögbe a befogók égyzetösszege egyel az átfogó égyzetével. 43. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg a következ kijeletések tagadását, és dötse el, hogy az állítások és tagadásuk közül melyek igazak. (a) y R, hogy x R eseté x < y ; (b) y R, hogy x R eseté x < y ; (c) x R és y R, hogy x + y =.
.. Halmazok 5.. Halmazok Deíciók, tételek és megjegyzések M. A halmaz fogalmát em deiáljuk, azt alapfogalomak tekitjük; ugyaúgy alapfogalom a halmazhoz való tartozás (vagy a halmaz eleméek lei). Azt, hogy a az A halmazhoz tartozik (más szóval a eleme A-ak vagy a bee va A-ba), így jelöljük: a A. Az a / A szimbólum pedig azt jeleti, hogy a em eleme A-ak. Halmazokkal kapcsolatba megköveteljük a következ t: bármely A halmaz és bármely (potosa meghatározott) a (elem, dolog) eseté a A és a / A közül potosa az egyik igaz. (Eek megfelel e ics értelme beszéli például a jó köyvek halmazá-ról.) D. Az A és a B halmazt potosa akkor tekitjük egyel ek, ha ugyaazok az elemeik. Az A és a B halmaz egyel ségét az A = B szimbólummal jelöljük. Ha A és B em egyel, akkor azt írjuk, hogy A B. T. Tetsz leges A és B halmazra o A = B ( a A a B) és ( b B b A), o A B ( a A : a B) vagy ( b B : b A). D. Azt a halmazt, amelyikek egyetle eleme sicse, üres halmazak evezzük és a szimbólummal jelöljük. D. Azt modjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmazak (más szóval: A bee va B-be vagy B tartalmazza A-t), jelbe A B vagy B A, ha A mide eleme hozzátartozik B-hez is. Formálisa tehát: a A eseté a B. Ha A em részhalmaza B-ek, akkor azt írjuk, hogy A B. Ha A B és A B, akkor azt modjuk, hogy A valódi részhalmaza B-ek. T. Tetsz leges A és B halmazra A B a A, hogy a B. T. Mide A, B és C halmazra o A, A A;
6. Halmazok, relációk és függvéyek o ha A B és B C, akkor A C; 3 o A = B A B és B A. M.. Redszerit 3 o alapjá bizoyítjuk két halmaz egyel ségét.. Egy halmaz akkor va meghatározva, ha potosa tudjuk, mik az elemei. Halmaz megadásáak két szokásos módja a következ. Az els : felsoroljuk a halmaz elemeit. Például az a, b és c elemekb l álló halmaz {a, b, c}. A másik mód az, hogy egy már ismert halmaz bizoyos tulajdoságú elemeit elkülöítjük a többit l egy részhalmazba foglalva ket. Ha A egy adott halmaz, és A mide elemére P(a) egy kijeletés (amire az teljesül, hogy P(a) igaz vagy hamis), akkor {a A P(a) igaz} jeleti A azo a elemeiek a halmazát, amelyekre P(a) igaz. Például: {a N a 7 és a páratla}. D. Az A halmaz hatváyhalmazáak evezzük és a P(A) szimbólummal jelöljük azt a halmazt, amelyek elemei potosa az A halmaz részhalmazai. Jelekkel: a P(A) a A. D. Azt modjuk, hogy A egy halmazredszer, ha A és A mide eleme halmaz. Az A halmazredszer uióhalmazáak evezzük és az A szimbólummal jelöljük azt a halmazt, amely potosa azokat az elemeket tartalmazza, amelyek a halmazredszer legalább egyik halmazához hozzátartozak. Formálisa tehát a A A A, hogy a A. Azt is modjuk, hogy A az A halmazredszerhez tartozó halmazok uiója vagy egyesítése. Ha A := {A, B}, akkor a A B := A a A vagy a B. Az A halmazredszer metszethalmazáak evezzük és az A szimbólummal jelöljük azt a halmazt, amely potosa azokat az elemeket tartalmazza, amelyek a halmazredszer midegyik halmazához hozzátartozak. Formálisa tehát a A A A halmazra a A. Azt is modjuk, hogy A az A halmazredszerhez tartozó halmazok metszete vagy közös része. Ha A := {A, B}, akkor a A B := A a A és a B.
.. Halmazok 7 D. Az A és B halmazt diszjuktak evezzük, ha A B =. Egy A halmazredszer diszjukt, ha bee bármely két külöböz halmaz diszjukt. D. Az A és B halmaz külöbségét így értelmezzük: A \ B := {x A x B}. Ha B A, akkor az A \ B halmazt a B halmaz A-ra voatkozó komplemeteréek evezzük. D. Bármely a és b eseté az (a, b) := { {a}, {a, b} } halmazt redezett párak evezzük. Eek els kompoese a, a második kompoese pedig b. T. Két redezett pár akkor és csak akkor egyel, ha kompoeseik redre megegyezek, azaz (a, b) = (c, d) a = c és b = d. (L. az 55. feladatot.) T. Legye A és B tetsz leges halmaz. Ekkor mide a A és mide b B eseté (a, b) P ( P(A B) ). (L. az 57. feladatot.) D. Az A B := { (a, b) P ( P(A B) ) a A és b B } halmazt az A és a B halmaz Descartes-szozatáak evezzük. Az A = B speciális esetbe az A := A A jelölést (is) haszáljuk. Az A Descartesszorzat elemei tehát az A halmaz elemeib l alkotott redezett párok. A-feladatok 44. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg a következ kijeletéseket: (a) Az A halmaz em egyel a B halmazzal. (b) Az A halmaz em részhalmaza a B halmazak. 45. Legye A := {,, 0}, B := {x R x > } és C := {x R x }. Bizoyítsa be, hogy A C, A C, B C, B C, A B és B A. 46. Írja fel az A := {,, 3} halmaz hatváyhalmazát. 47. Legye A := {a, b} (a b). Írja fel a P ( P(A) ) halmazt, és válassza ki e halmaz elemei közül a redezett párokat.
8. Halmazok, relációk és függvéyek B-feladatok 48. Bizoyítsa be direkt és idirekt úto: Ha az A, B és C halmazokra A B C teljesül, akkor (A \ B) (B \ C) =. 49. Mutassa meg, hogy ics olya halmaz, amelyek mide dolog eleme, azaz em létezik az összes halmazok halmaza. 50. Mutassa meg, hogy az A és B halmazokra a P(A B) = P(A) P(B) egyel ség akkor és csak akkor teljesül, ha A B vagy B A. 5. Legye X halmaz, A és B az X halmaz részhalmazai. Y X eseté pedig Y := X \ Y jelölje Y-ak az X halmazra voatkozó komplemeterét. Bizoyítsa be, hogy az A B A B = X egyel ség akkor és csak akkor igaz, ha A = B. C-feladatok 5. Bizoyítsa be, hogy em igaz a következ állítás: Mide A és B halmazra A \ B = B \ A. Va-e olya A és B halmaz, amelyre A \ B = = B \ A? Mi eek a szükséges és elégséges feltétele? 53. Adja meg a P(P(P( ))) halmaz elemeit. 54. Bizoyítsa be, hogy tetsz leges A és B halmaz eseté (a) A B P(A) P(B); (b) A = B P(A) = P(B); (c) P(A B) = P(A) P(B); (d) P(A) P(B) P(A B). Az utolsó feladatba igaz-e a fordított iráyú tartalmazás? 55. Igazolja, hogy két redezett pár potosa akkor egyel, ha kompoeseik redre megegyezek, azaz (a, b) = (c, d) a = c és b = d. 56. Példá keresztül mutassa meg, hogy az (a, b, c) redezett hármas deiálására a szokásos (a, b, c) := ( (a, b), c ) helyett em lee megfelel a kézefekv ek t { {a}, {a, b}, {a, b, c} } halmazredszer.
.3. Relációk és függvéyek 9 57. Legyeek A és B tetsz leges halmazok. Mutassa meg, hogy mide a A és mide b B eseté (a, b) P ( P(A B) ). 58. Mikor igaz az A, B halmazokra, hogy A B = B A?.3. Relációk és függvéyek Deíciók, tételek és megjegyzések M. A középiskolai taulmáyaik sorá találkoztuk a függvéy fogalmával, és érzékelhettük aak a matematikába betöltött alapvet szerepét. Emlékeztetük erre a fogalomra. Legye A és B emüres halmaz. Ha A mide eleméhez hozzáredeljük B valamelyik elemét, akkor azt modjuk, hogy megadtuk egy A halmazo értelmezett, B-beli értékeket felvev függvéyt. Figyelje meg, hogy ez a deíció em tesz mást, mit a függvéy szót helyettesíti a hétközapi ember számára érthet bb szioímájával, a hozzáredeléssel. Következésképpe a feti szöveg a függvéyfogalom körülírásáak tekithet, ebbe a hozzáredelést (tehát magát a függvéy fogalmát is) alapfogalomak kell tekiteük. A továbbiakba megmutatjuk, hogy a matematikáak ezt az alapvet fogalmát hogya lehet deiáli a halmazelmélet jóval egyszer bb fogalmai segítségével. Ehhez szükségük lesz a más szempotból is fotos fogalomak, a relációak az ismeretére. A reláció (kapcsolat, viszoy) fogalmát a hétközapi életbe is sokat haszáljuk, a matematikába pedig redkívüli fotosságú. Tekitsük például egy meghatározott évfolyamot, és tegyük fel, hogy a hallgatók közötti rokoszevet mit kapcsolatot akarjuk leíri. Ezt matematikailag a redezett párok segítségével meg is tehetjük. Vegyük a hallgatókból képezhet összes redezett párok halmazát (ha A-val jelöljük a szóba forgó hallgatók halmazát, akkor vegyük tehát a A A halmazt), és válogassuk szét ket: tartsuk meg azo (a, b) párokat, amelyekre igaz, hogy a-ak rokoszeves b, azaz képezzük az {(a, b) A A a-ak rokoszeves b} halmazt. Nyilvá ezzel potosa le is írtuk a vizsgált viszoyt. Léyegébe megadtuk a reláció absztrakt fogalmát. D. Legye A és B emüres halmaz. Az A B Descartes-szorzat emüres r részhalmazait az A és a B halmaz elemei közötti relációak hívjuk. Ha (a, b) r A B, akkor azt modjuk, hogy az a elem az r relációba va b-vel. A D r := {a A b B úgy, hogy (a, b) r}
30. Halmazok, relációk és függvéyek halmazt az r reláció értelmezési tartomáyáak, az R r := {b B a A úgy, hogy (a, b) r} halmazt az r reláció értékkészletéek evezzük. D. Az r A A reláció homogé reláció (vagy r reláció az A halmazo), ha D r = A. Azt modjuk, hogy az r A A homogé reláció (i) reexív, ha mide a A eseté (a, a) r, (ii) szimmetrikus, ha mide (a, b) r eseté (b, a) r, (iii) atiszimmetrikus, ha mide (a, b) r, (b, a) r eseté a = b, (iv) trazitív, ha mide (a, b) r és (b, c) r eseté (a, c) r. D. Az r A A homogé reláció (i) ekvivaleciareláció, ha reexív, szimmetrikus és trazitív, (ii) redezési reláció (vagy parciális redezés), ha reflexív, atiszimmetrikus és trazitív, (iii) lieáris (vagy teljes) redezés, ha redezési reláció és mide a, b A eseté vagy (a, b) r vagy (b, a) r teljesül. D. Az A és a B halmaz elemei közötti r A B reláció iverze az reláció. r := {(b, a) B A (a, b) r} T. Tetsz leges r A B reláció eseté D r = R r és R r = D r. D. Tegyük fel, hogy az r A B és az s C D relációra R s D r. Ekkor az r és az s reláció kompozícióját az r s (olv. r kör s) szimbólummal jelöljük, és így értelmezzük: r s := {(c, b) C B a R s D r : (c, a) s és (a, b) r}.
.3. Relációk és függvéyek 3 D. A emüres A és B halmaz elemei közötti f A B (emüres) relációt függvéyek evezzük, ha mide x D f elemhez potosa egy olya y B létezik, amelyre (x, y) f teljesül, azaz x D f -hez egyértelm e y B, hogy (x, y) f. Az y elemet az f függvéy x helye felvett helyettesítési értékéek (vagy az f által x-hez hozzáredelt függvéyértékek) evezzük, és az f(x) szimbólummal is jelöljük. T. Az f A B reláció akkor és csak akkor függvéy, ha x D f eseté (x, y ) f és (x, y ) f = y = y. T. Az a téy, hogy az f A B reláció em függvéy, azzal egyeérték, hogy az f halmazak va olya (x, y ) és (x, y ) eleme, amelyekre y y teljesül. T. Az f A B és a g C D függvéy potosa akkor egyel, ha (a) D f = D g és (b) mide x D f = D g elemre f(x) = g(x). M. Függvéyt többféleképpe is megadhatuk. Az iméti állításból következik, hogy egy függvéyt az értelmezési tartomáya és az ezekbe a potokba felvett helyettesítési értékei egyértelm e meghatározzák. Függvéyeket gyakra az értelmezési tartomáyukkal és a hozzáredelési szabály (ez legtöbbször egy képlet vagy valamilye utasítás lesz) leírásával foguk megadi. Például az alábbi formulák midegyike ugyaazt a függvéyt írja le: (a) f(x) := x (x R), (b) f : R R, x x, (c) f : R R, f(x) := x, (d) f : R x x R, (e) f := {(x, y) R y = x }. D. Az f : A B jelölés azt jeleti, hogy f olya függvéy, amelyek az értelmezési tartomáya egyel az A halmazzal, értékkészlete pedig a B halmazak egy részhalmaza. Ilyekor azt modjuk, hogy f az A halmazt a B halmazba képez függvéy. Az f A B jelölés azt jeleti, hogy f olya függvéy, amelyek az értelmezési tartomáya az A halmaz egy részhalmaza, értékkészlete pedig a B halmaz részhalmaza. Ilyekor azt modjuk, hogy f az A halmazból a B halmazba képez függvéy.
3. Halmazok, relációk és függvéyek D. Legye f : A B egy tetsz leges függvéy és C az A halmaz emüres részhalmaza. Ekkor a g : C B, g(x) := f(x) függvéyt az f függvéy C halmazra voatkozó lesz kítéséek evezzük, és az f C szimbólummal is jelöljük. Ilyekor azt is modjuk, hogy f a g függvéy egy kiterjesztése. D. Legye f : A B egy adott függvéy. C A eseté az f[c] := {f(x) B x C} = {y B x C, hogy f(x) = y} halmazt a C halmaz f által létesített képéek evezzük. Ha D B, akkor az f [D] := {x A f(x) D} A halmazt a D halmaz f által létesített sképéek evezzük. T. Mide f : A B függvéy eseté o f[d f ] = R f és f [R f ] = D f ; o f[ ] = és f [ ] = ; 3 o ha D R f =, akkor f [D] =. D. Az f : A B függvéyt ivertálhatóak (vagy ijektívek) evezzük, ha külöböz értelmezési tartomáybeli elemekhez külöböz helyettesítési értékeket redel, azaz x, t D f, x t f(x) f(t). T. Az a téy, hogy az f : A B függvéy em ivertálható, azzal egyeérték, hogy x, t D f, x t, hogy f(x) = f(t). T. Tetsz leges f : A B függvéy eseté a következ állítások ekvivalesek: o az f függvéy ivertálható; o mide y R f -hez létezik egyetle olya x D f elem, amelyre f(x) = y teljesül; 3 o x, t D f eseté f(x) = f(t) x = t; 4 o az f = {(y, x) B A (x, y) f} iverz reláció is függvéy.
.3. Relációk és függvéyek 33 M. Egy f : A B függvéy ivertálhatóságát sokszor a következ módszerrel döthetjük el: megvizsgáljuk, hogy az f(x) = f(t) egyel ség milye értelmezési tartomáybeli x és t elemekre érvéyes. Ha azt kapjuk, hogy ez csak az x = t esetbe áll fe, akkor f ivertálható. Ha viszot az f(x) = f(t) legalább egy egymástól külöböz értelmezési tartomáybeli x, t párra feáll, akkor f em ivertálható. D. Legye f : A B ivertálható függvéy. Ekkor mide y R f elemhez létezik egyetle olya x D f, amelyre f(x) = y. Értelmezhetjük tehát azt a függvéyt, amelyik mide y R f elemhez azt az egyértelm e meghatározott x D f elemet redeli, amelyre f(x) = y. Ezt a függvéyt f iverz függvéyéek (vagy rövide iverzéek) evezzük, és az f szimbólummal jelöljük. Formálisa tehát: f : R f y x, amelyre f(x) = y. T. Tegyük fel, hogy az f : A B függvéy ivertálható. Ekkor o D f = R f és R f = D f ; o az f iverz függvéy is ivertálható és ( f ) = f. (L. a 75. feladatot.) D. Az f : A B függvéyt az A és a B halmaz közötti bijekcióak (vagy az A és B halmaz elemi közötti kölcsööse egyértelm megfeleltetések) evezzük, ha f ivertálható, és R f = B. M. Itt hívjuk fel a gyelmet egy, a jelölésekkel kapcsolatos látszólagos következetleségre. Az f [D] szimbólum tetsz leges f függvéy eseté a D halmaz f által létesített sképét jelölte. Azoba ha f ivertálható függvéy, akkor ugyaezzel jelöltük a fogalmilag igecsak külöböz dolgot, evezetese a D halmaz f iverz függvéy által létesített képét. Ez azért em vezet félreértéshez s t émiképp egyszer síti a bevezetett jelelöléseket, mert mide ivertálható f függvéy és mide D R f eseté a D halmaz f által létesített sképe azaz az {x D f f(x) D} halmaz megegyezik a D halmaz f iverz függvéy által létesített képével azaz az {f (y) R f y D} halmazzal. (L. a 7. feladatot.) M. Ha f R R, akkor azt fogjuk modai, hogy f valós-valós függvéy. Ebbe az esetbe az {(x, f(x)) R x D f } halmazt (amit az f függvéy grakojáak is evezük) a Descartes-féle derékszög koordiáta-redszerbe ábrázolhatjuk. Ha f ivertálható, akkor ugyaebbe a koordiáta-redszerbe az f -et szemléltet halmazt f grakojáak az y = x egyelet egyeesre való tükrözésével kapjuk. D. Tegyük fel, hogy f : A B és g : C D olya függvéyek, amelyekre R g D f (azaz létezik olya x D g elem, amelyre g(x) D f ).
34. Halmazok, relációk és függvéyek Ebbe az esetbe az f (küls ) és a g (bels ) függvéy összetett függvéyét (vagy más szóval f és g kompozícióját) az f g (olv. f kör g) szimbólummal jelöljük, és így értelmezzük: f g : {x D g g(x) D f } B, ( f g ) (x) := f ( g(x) ). M. o Ha R g D f =, akkor f és g kompozícióját em értelmezzük. o A deíciókból szite közvetleül adódik, hogy D f g = g [R g D f ]. Ha R g D f, akkor D f g = D g. A-feladatok 59. Legye A := {a, b} kételem halmaz, azaz a b. Írja fel az összes r A A relációt. Ezek közül melyek reexívek, szimmetrikusak, atiszimmetrikusak, trazitívak? Válassza ki közülük a redezési és az ekvivaleciarelációkat. 60. Írja fel az r s relációt, ha r := { (k, ) N osztható k-val } és s := { (k, ) N = k + 6 }. 6. Határozza meg az r s kompozíciót, ha s := { (x, y) R y = x + } és r := { (y, z) R z = y }. 6. Legye A := {0, }, B := {, }. Válassza ki P(A B)-b l (a) a függvéyeket, (b) az ivertálható függvéyeket. 63. Milye A és B emüres halmazok eseté lesz A B függvéy? Mikor lesz A B ivertálható függvéy? 64. Igaz-e, hogy egy C D f halmaz valamely f függvéy által létesített képéek az f szeriti sképe megegyezik C-vel? B-feladatok 65. Határozza meg a C := [0, ] halmazak az f(x) := 3x (x R) függvéy által létesített képét és sképét.
.3. Relációk és függvéyek 35 66. Legye f : A B tetsz leges függvéy. Bizoyítsa be, hogy mide C A eseté C f [ f[c] ]. Mutassa meg, hogy egyel ség akkor és csak akkor áll fe mide C A-ra, ha f ivertálható. 67. Legye f : A B tetsz leges függvéy. Bizoyítsa be, hogy bármely D, D B eseté (a) f [ ] =, f [R f ] = D f ; (b) f [D D ] = f [D ] f [D ]; (c) f [D D ] = f [D ] f [D ]; (d) f [D \ D ] = f [D ] \ f [D ]. 68. Legye f : A B tetsz leges függvéy. Bizoyítsa be, hogy bármely C, C A eseté (a) f[ ] =, f[d f ] = R f ; (b) f[c C ] = f[c ] f[c ]; (c) f[c C ] f[c ] f[c ]; (d) f[c \ C ] f[c ] \ f[c ]. A két utolsó formulába a jelet kicserélhetjük-e az egyel ség jelével? 69. Mutassa meg, hogy az (, 0] x x x+3 függvéy ivertálható, és állítsa el az iverzét. 70. Legye f : A B tetsz leges függvéy. Tegyük fel, hogy a emüres A és A halmazokra A A = A és A A = teljesül, továbbá az f A és az f A függvéyek midegyike ivertálható. Bizoyítsa be, hogy f akkor és csak akkor ivertálható, ha f[a ] f[a ] =. 7. Mutassa meg, hogy az f(x) := { x, ha < x 0 x +, ha 0 < x < + függvéy ivertálható, és állítsa el az iverzét. 7. Legye f : A B ivertálható függvéy. Mutassa meg, hogy mide D R f eseté a D halmaz f által létesített sképe azaz az {x D f f(x) D} halmaz megegyezik a D halmaz f iverz függvéy által létesített képével azaz az {f (y) R f y D} halmazzal.
36. Halmazok, relációk és függvéyek 73. Írja fel az f g és a g f kompozíciót, ha f(x) := x (x (, ]) és g(u) := u (u R). 74. Tegyük fel, hogy f, g és h olya függvéyek, amelyekre az R h D g és az R g D f relációk teljesülek. Mutassa meg, hogy ekkor (A kompozícióképzés asszociatív.) (f g) h = f (g h). 75. Igazolja, hogy ha f : A B ivertálható függvéy, akkor (a) ivertálható aak iverze is és (f ) = f, (b) f f = id Df, (c) f f = id Rf. (Tetsz leges A halmaz eseté id A jelöli az A x x A idetitásfüggvéyt.) 76. Bizoyítsa be, hogy ha az f és a g függvéy ivertálható, továbbá R g D f, akkor f g is ivertálható függvéy, és (f g) = g f. C-feladatok 77. Igaz-e, hogy ha az f, g A B relációk függvéyek, akkor az f g, f g, f \ g és f g reláció is függvéy? 78. Legye r egy redezési reláció a emüres B halmazo. Legye továbbá A és f : A B egy függvéy. Értelmezzük az s relációt a következ képpe: s := { (x, y) A A ( f(x), f(y) ) r }. Mikor lesz s redezési, illetve teljes redezési reláció?
.3. Relációk és függvéyek 37 79. Legye f : R R, f(x) := x x, és C := {0}. Írja fel f[c]-t és f [C]-t. Milye A R halmazokra lesz f[a], illetve f [A] egyelem halmaz? 80. Írja fel itervallumokkal az abs [ [, ) ], abs [ (, 4) ], abs [ [, ] ] halmazokat. 8. Legye f(x) := 3x 7 (x R) és D := [, ]. Határozza meg az f [D] halmazt. 8. Legye f(x) := 3x + (x R). Az a b feltételt kielégít a és b valós paraméterek eseté határozza meg az f [ [a, b] ] és az f [ [a, b] ] halmazt. 83. Igazolja, hogy az f : A B függvéyre az f[c C ] = f[c ] f[c ] egyel ség akkor és csak akkor teljesül mide C, C A halmazra, ha f ivertálható. 84. Igazolja, hogy az f : A B függvéyre az f[c \ C ] = f[c ] \ f[c ] egyel ség akkor és csak akkor teljesül mide C, C A halmazra, ha f ivertálható. 85. Legye f : A B tetsz leges függvéy. Bizoyítsa be, hogy mide D B halmazra f[f [D]] D. Igazolja azt is, hogy az f[f [D]] = D egyel ség akkor és csak akkor teljesül mide D B halmazra, ha R f = B. 86. Legye f(x) := α(α + )x + (α + 3)x + (x R), ahol α valós paraméter. Határozza meg azokat az α paramétereket, amelyekre f [R + 0 ] = R teljesül. 87. Írja fel az összes f : {,, 3} {,, 3} bijekciót. Ha f, g ilye bijekciók, akkor határozza meg f g-t.
38. Halmazok, relációk és függvéyek 88. Mutassa meg azt, hogy a (, ) R, x x x függvéy ijektív. 89. Bizoyítsa be, hogy az alábbi függvéyek em ivertálhatók: (a) R x x 7x + ; (b) [, 8] x x 5; (c) [ 3, 3] x 9 x ; (d) R x x [x]. 90. Mutassa meg, hogy az alábbi függvéyek ivertálhatók, és állítsa el az iverzüket: (a) R x 3 x + ; (b) R x ( x 3 ) /5 + ; (c) R \ {} x x + x ; ( ) x (d) f(x) := ( x (, ) ) ; + x 7x 5, ha x < 3 (e) f(x) :=, ha x ; + x x, ha < x < (f) f(x) := x, ha x 4 3x + 4, ha 4 < x < +. 9. Igazolja, hogy az alábbi függvéyekek va iverzük, és adja meg az iverz függvéyeket: (a) f(x) := x 3 + 6x + x (x R); (b) f(x) := x 3 3x + 3x + 4 (x R). 9. Milye α, β R eseté ivertálható az f(x) := αx + β (x R) függvéy? Határozza meg ekkor f -et. Mikor igaz az, hogy f megegyezik f-fel? 93. Az α R paraméter mely értékéél leszek az { αx +, ha 0 x (a) f(x) := α x, ha < x,
.3. Relációk és függvéyek 39 (b) f(x) := { αx, ha x 0 α x, ha 0 < x függvéyek ivertálhatók? Mi lesz akkor D f és R f, illetve mi lesz f (x) (x D f )? 94. Írja fel az f g és a g f kompozíciót a következ függvéyek esetébe: 95. Legye (a) f(x) := x (x R), g(u) := u (u R + 0 ); (b) f(x) := x (x R), g(u) := u (u R); (c) f(x) := sig x (x R), g(u) := { u 0, ha x (, 0] (d) f(x) := x, ha x (0, + ), { 0, ha u (, 0] g(u) := u, ha u (0, + ). f(x) := { x, ha x (, ], ha < x 5, 6 x ha x (, 6) 7 x g(x) := ( + x) 6 ha x [6, + ). Határozza meg az f g függvéyt. (u R \ {0}); 96. Legye f(x) := x (x R + ) és g(x) := x + (x R + ). Mutassa meg, hogy az f g függvéy ivertálható, és határozza meg az iverzét. 97. Legye f : (0, ) R egy tetsz leges függvéy és g(x) := [x] (x R \ {0}). x Határozza meg az R g és a D f g halmazt. 98. Legyeek A, B, C emüres halmazok és f : B C, g : A B függvéyek. Tegyük fel, hogy f g ivertálható. Következik-e ebb l az, hogy az f függvéy és g egyarát ivertálható?
3. A valós és a komplex számok struktúrája 3.. A valós számok Dedekid-féle axiómaredszere M. A valós számok matematikai fogalma a tudomáy el rehaladása sorá több lépcs s absztrakció útjá, ige hosszú fejl dési folyamat eredméyekét a XIX. század végére alakult ki. Az els matematikai fogalmak és ismeretek éppe a valós számokra és m veleteikre voatkoztak. Ahogy az elemi iskolába elidultuk, és jutottuk el re a számolás tudomáyába, léyegébe ugyaúgy haladt az emberiség is. El ször az azoos dolgok például almák, szarvasmarhák vagy kardok meyiségéek megállapításával kialakultak a természetes számok és ezek között az összeadás és a szorzás m velete, valamit a agyság szeriti redezésük. Azutá a részekre osztás például terméy, zsákmáy felezése, tizedelése eredméyezte a pozitív törtszámokat (a pozitív racioális számokat). Hosszú évszázadok utá az adósság, a hiáy leírására vezették be a egatív racioális számokat is. Végül az irracioális számokat már em ayira a mideapi élet, haem ikább a matematikai vizsgálatokból származó szükségszer ség hívta életre. Az i. e. V. század köryéké a görög tudósok fedezték fel az irracioális számokat. A matematikai elméletek felállításáak ez volt az els ösztöz je. A matematika fejl désébe olya jelet sége va e lépések, amelyet ehéz lee túlbecsüli. A matematikába olya fogalom jelet meg, amelyet közvetle emberi tapasztalat em támasztott alá, haem csak boyolult matematikai absztrakció. A számfogalom fokozatos b vítéséek léyeges része az összeadás, a szorzás és a redezés kiterjesztése az új és még újabb számokra. A számfogalom matematikailag egzakt módo a halmazelmélet alapjá is felépíthet. Ige érdekes matematikatörtéeti érdekesség az, hogy 87-be egyetle év leforgása alatt több ilye mai szemmel is szigorú felépítés (axiómaredszer) látott apvilágot. A Mathematische Aale folyóirat ekkor közölte Cator (845 98) els m vét az aritmetika megalapozásáról. Megjelet Dedekid (83 96) Stetigkeit ud Irratioalzahle cím köyve, továbbá Meray (8359) és Heie (888) hasoló témájú mukája. Ezek a m vek mid egy célt t ztek maguk elé: a valós számok szigorú elméletéek megadását. Néháy év elteltével ugyaezt a kérdést az aalitikus függvéyekr l tartott híres el adásaiba Weierstrass (85897) is megoldotta. Az említett vizsgálatokba a valós számokak a agyfokú szigorúság követelméyeit kielégít elmélete külöböz formába jelet meg. 40
3.. A valós számok Dedekid-féle axiómaredszere 4 A valós számok struktúrájáak a halmazelmélet alapjá törté meglehet se hosszú, matematikailag egzakt felépítéséek az ismertetését l eltekitük. (Az érdekl d kek P. R. Halmos: Elemi halmazalmélet cím köyvét ajáljuk.) A továbbiakba csupá felsoroljuk a valós számhalmazak azokat a meghatározó tulajdoságait (axiómákak fogjuk ezeket evezi), amelyekb l az összes tulajdoság levezethet. A. A valós számok Dedekid-féle axiómaredszere. Elfogadjuk, hogy létezik a valós számok R szimbólummal jelölt halmaza, amelyet a következ tulajdoságok jellemezek. I. Testaxiómák. R-e értelmezve va az összeadás és a szorzás m velete, és ezekre ézve R testet alkot, ami a következ ket jeleti: I.. Értelmezve va egy + : R R R, +(x, y) =: x + y függvéy (az összeadás m velete), amelyre a következ k teljesülek: (i) x + y = y + x (x, y R) (kommutativitás); (ii) (x + y) + z = x + (y + z) (x, y, z R) (asszociativitás); (iii) létezik olya 0 R elem, hogy mide x R eseté 0 + x = x (ullelem létezése, 0 az R ulleleme); (iv) mide x valós számhoz létezik olya x szimbólummal jelölt valós szám úgy, hogy x + ( x) = 0 (elletett létezése, x az x R elletettje). I.. Értelmezve va továbbá egy : R R R, (x, y) =: x y =: xy függvéy (a szorzás m velete), amelyre a következ k teljesülek: (i) x y = y x (x, y R) (kommutativitás); (ii) (x y) z = x (y z) (x, y, z R) (asszociativitás); (iii) létezik olya R, 0 elem, hogy x = x mide x R eseté (egység létezése, az R egységeleme); (iv) mide ullától külöböz x valós számhoz létezik olya az x szimbólummal jelölt valós szám, hogy x x = (reciprok létezése, x az x reciproka). I.3. Mide x, y, z R eseté (x + y) z = x z + y z (disztributivitás).