Kolozsvár,. május 9. V. osztály a5b. Határozd meg 7cd legagyobb törtet! alaú ( a ), 8-cal egyszerűsíthető legisebb és. Az,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5 és 6 számoat oszd ét csoportba úgy, hogy ha az egyi csoportba iszámítju az összes lehetséges ülöböző számoból álló számpárba a számo összegét, aor ugyaazoat a számoat apju, mitha a mási csoportba végeztü vola ugyaezt! (Az ismétlődő összegee midét esetbe ugyaayiszor ell szerepeliü.). A bagdadi alifa megjutalmazott három bölcset tíz péztárcával, amelyebe redre,,,, 4, 5, 6, 7, 8 és 9 díár volt. Az első bölcs, Husszei, ét péztárcát választott i. Abdurrahmá és bátyja Omár úgy osztottá el a többit, hogy Omár több pézt apjo, mit Abdurrahmá. Az osztozodás utá Abdurrahmától ellopta égy péztárcát, és így csa díárja maradt. Háy díár va Husszei péztárcáiba? 4. Egy 44-es házicsoi-táblát fel szereté egyees vágáso segítségével daraboli -es darabora. Legalább háy vágásra va szüség, ha a vágáso utá a daraboat újraredezhetjü (egymás mellé, vagy egymásra tehetjü)?
Kolozsvár,. május 9. VI. osztály. Határozd meg az a, b és c racioális számoat, ha egyeese aráyosa a, 4 és 5 számoal és a c b. 5. Egy dobóoca oldalai az,,, 4, 5 és 6 számoal vaa megjelölve. A dobóocát étszer feldobju, és a ét eredméyt összeadju. Ha ezt agyo soszor elvégezzü, melyi összeg fog a leggyarabba megjelei?. Az {,,,,} halmaza iválasztottu egy részhalmazát úgy, hogy a iválasztott részhalmazba egyi elem se legye valamely más elem 5-szöröse. Legfeljebb háy eleme lehet a iválasztott részhalmaza? 4. Bizoyítsu be, hogy egy ove hatszög belsejébe el lehet helyezi 4 potot úgy, hogy a hatszög bármely három csúcsa által meghatározott háromszög belsejébe potosa egy pot erüljö! El lehet-e helyezi 5 potot ugyaígy?
Kolozsvár,. május 9. VII. osztály. Bizoyítsd be, hogy a { 4 N } * agyobb prímszámot! + halmaz tartalmazza az összes háromál. Egy dobóoca oldalai az,,, 4, 5 és 6 számoal vaa megjelölve. A dobóocát háromszor feldobju, és a három eredméyt összeadju. Ha ezt agyo soszor elvégezzü, melyi összeg fog a leggyarabba megjelei?. Bizoyítsd be, hogy ha a és b pozitív valós számo, aor a + b + +. ab a b 4. a) Az a oldalhosszúságú égyzet oldalai az a szélességű sáv határegyeeseit három potba metszi úgy, hogy a égyzet egyi csúcsa a sáv egyi határegyeesé legye (lásd a melléelt. ábrát). Meora szöget zár be a metszéspotoat összeötő ét szaasz? b) Meora a metszéspotoat összeötő szaaszo által bezárt szög, ha a égyzet oldalai a sáv határegyeeseit égy potba metszi? (lásd a. ábrát). ábra. ábra 5. Valamely bizottság 4-szer ülésezett. Midegyi alalommal -e volta jele az ülése, özülü semelyi ét bizottsági tag em volt együtt egyél többször gyűlése. Igazolju, hogy a bizottságba legalább 6 tag va!
Kolozsvár,. május 9. VIII. osztály *. a) Bizoyítsd be, hogy ha m, N és osztható m-mel, aor osztható m-mel! b) Bizoyítsd be, hogy végtele so olya természetes szám létezi, amelye egyetle számjegye sem ulla, és a szám osztható számjegyeie összegével!. Bizoyítsd be, hogy ha az a és b pozitív valós számo összege 4, aor a + b +. ab ab. Az ABD téglalap AB oldalát felosztju (em feltétleül egyelő) részre, és a szaaszoat megszámozzu -től -ig. Az osztópotoo át a párhuzamosoat húzu a B oldallal és meghúzzu a BD átlót. Bizoyítsu be, hogy ha a páros sorszámú szaaszo hosszáa összege egyelő a páratla sorszámú szaaszo hosszáa összegével, aor az átló feletti páratla sorszámú darabo területée összege egyelő az átló alatti páros sorszámú darabo területée összegével. B A 4. Az ABD A B D ocáa az AB, B és D D élé egy-egy pot mozog ugyaazzal a sebességgel (A-tól B, B -től illetve D -től D-felé). a) Szereszd meg a poto által meghatározott símetszetet! b) Bizoyítsd be, hogy a símetszet szembefevő oldalaia felezőpotjait összeötő szaaszo összefutóa! 5. Egy -as ocát 7 darab azoos méretű isocából ragasztottu össze. Mide egységocát iszíezü pirosra, fehérre, vagy ére úgy, hogy tetszőleges három egymásmelletti oca özt e legye ét azoos szíű (egymásmellettie modu három ocát, ha a özéppotjai egy olya egyeese vaa, amely párhuzamos a oca valamelyi oldalélével). a) Adjál meg egy ilye szíezést! b) Háy ülöböző szíezés létezi? c) Az összes lehetséges szíezéseet osszu csoportoba úgy, hogy ét szíezés potosa aor erüljö egy csoportba, ha a oca mozgatásával (forgatásával) a ét szíezés egymásba vihető. Háy csoportu lesz? D
Kolozsvár,. május 9. IX. osztály. Bizoyítsd be, hogy az a a + a + a + a + a4 + a4 + a5 a. a + a + a + a + a a egyelete özül legalább az egyie va valós gyöe, ha a R, bármely, eseté! Adjál példát olya a, a,, a számora, amelyere az előbbi egyelete özül potosa egye va valós gyöe!. Bizoyítsd be, hogy darab, -el em osztható természetes szám özül iválasztható éháy, amelye összege osztható -el!. Az AB háromszög öré írt örö felvesszü az A ( B ), B ( A ) és ( BA ) potoat úgy, hogy az AB és A B háromszöge ogruese legyee. Bizoyítsd be, hogy az A, B és potoo át B-vel, A-val illetve AB-vel húzott párhuzamosoa ugyaeze potoo át egy tetszőleges d egyeessel húzott párhuzamosora voatozó szimmetriusai összefutó egyeese és az összefutási pot a háromszög öré írt örö va. ( ) 4. A O, R és ( O, R örö özös belső éritői merőlegese és az O O O ) ( ) potba metszi egymást. Határozd meg az OM + OM ötött vetor végpotjáa a mértai helyét, ha M O, R és M O, R változó poto. ( ) ( ) 5. Legalább háy lépés szüséges ahhoz, hogy egy -es tábla bal alsó sarából a jobb felső sarába jussu lólépésbe?
Kolozsvár,. május 9. X. osztály. a) Bizoyítsd be, hogy si tg, ha, π! si tg + b) Oldd meg a + egyeletet, ha, π!. a) Számítsd i a összeget! b) Bizoyítsd be, hogy ( ) + ( ) 4, ha.. Bizoyítsd be, hogy az f :[,] [,] csöeő függvéy grafius épe lefedhető darab téglalappal, amelye területée összege em agyobb mit. 4. Egy örö felveszü hat potot. Válasszu i hármat és vegyü fel a iválasztotta által meghatározott háromszög H i ortocetrumát, és a megmaradt csúcso által meghatározott háromszög E i Euler potját (a súlypot és az ortocetrum által meghatározott szaasz felezőpotja). Bizoyítsd be, hogy az összes lehetséges választása megfelelő H i E i egyeese va egy özös potja. 5. m p darab egységocából összerau egy m p méretű téglatestet. A téglatest egyi saroocájáa özéppotjából egy rágcsáló a testátlósa elletétes saroocáig utat váj magáa úgy, hogy mide egységocából csa vele özös oldallappal redelező egységocába mehet (özéppottól özéppotig) és a legrövidebb uta valamelyié ell haladia. a) Háy lehetséges útvoal létezi? b) Ha a lehetséges útvoala száma U ( m,, p), aor számítsd i az összes U ( m,, p) szám összegét, amior m + + p álladó!
Kolozsvár,. május 9. XI. osztály ( ) *. Az sorozat tagjai teljesíti a 4 ( ) N + összefüggést mide -re és valamit 4. a) Határozd meg a sorozat általáos tagjáa épletét! b) Számítsd i a lim határértéet!. Teitsü a d sorozatot. a) Vezessü le egy reurziót d -re és bizoyítsu be, hogy d N, b) Milye értéere lesz d osztható -mal?. Az A A A ove égyszög csúcsaia oordiátái A, y ), ahol A4 i {,,, 4}. Mi a geometriai jeletése a i ( i i y determiása? y 4. Adott az f R R, f ( ) a a a függvéy, ahol a, a,, a pároét ülöböző valós számo. a) Bizoyítsu be, hogy mide [ a, a + ] alaú itervallumba az f ( ) + mf ( ) egyelete va legalább egy valós gyöe, tetszőleges m eseté! a a : ( ) ( ) ( ) b) Ha rögzített eseté az előbbi egyelet legagyobb [, + ] itervallumba eső gyöét -mel jelöljü, taulmáyozd a ( ) sorozat c m overgeciáját és számítsd i a határértéét! * 5. Határozd meg azoat az N \ {, } számoat, amelyere egy tetszőleges oldalú ove soszöget fel lehet botai, egymást em metsző átló segítségével, háromszögere úgy, hogy mide csúcsból páros számú átló iduljo i! 4 y y 4 c m m
Kolozsvár,. május 9. XII. osztály. Határozd meg azoat az f : R R függvéyeet, amelyee létezi olya : R R primitívje, hogy teljesüljö a ( ) ( f ( ) ) összefüggés bármely R eseté. + +. A ( G, ) csoportba ( y ) y, ( ) + y y, y G eseté. Bizoyítsd be, hogy a ( G, ) csoport ommutatív! y és ( ) y bármely. Az f :[,] [,] függvéy szigorúa övevő és folytoos -be. Bizoyítsd be, hogy a) lim f ( ) d ; b) lim f ( ) d f (). 4. Egy háromszög mide oldalát osszu fel p egyelő részre és az osztópotoat össü össze a szembefevő csúccsal. Ha p prímszám, határozd meg a háromszög belsejébe eletező diszjut sírésze maimális számát! 5. a) Bizoyítsd be, hogy a P R[X ] poliomhoz redelt poliomfüggvéy potosa aor páros, ha P-be a páratla itevőjű tago együtthatója. b) Képezzü az összes ε + alaú számot, ahol ε {,} mide {,,, } eseté. Bizoyítsd be, hogy az így apott szám! szám szorzata természetes
Kolozsvár,. május 9. MEGOLDÁSOK V. osztály. Határozd meg a5b alaú ( a ), 8-cal egyszerűsíthető legisebb és 7cd legagyobb törtet! Megoldás. Aor apju a legagyobb törtet, ha a számláló a lehető legagyobb és a evező a lehető legisebb. Egy szám aor osztható 8-cal, ha osztható -vel és 9-cel, tehát, ha utolsó számjegye páros és a számjegyeie összege osztható 9-cel. Az a legagyobb lehetséges értée 9 és erre az értére b 4 eseté az a5 b szám osztható 8-cal. A evezőbe a c legisebb lehetséges értée és a 7 szám 954 5 osztható 8-cal, tehát a vizsgált törte özül a legagyobb. 7 9 A legisebb törtet aor apju, ha a számláló a lehető legisebb és a evező a lehető legagyobb és ez aor teljesül, ha a, b, c 9 és d. (Az a esetbe a b csa lehet és így az a 5b szám em osztható 8-cal.) Tehát a legisebb 5 4 tört. 79 44. Az,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5 és 6 számoat oszd ét csoportba úgy, hogy ha az egyi csoportba iszámítju az összes lehetséges ülöböző számoból álló számpárba a számo összegét, aor ugyaazoat a számoat apju, mitha a mási csoportba végeztü vola ugyaezt! (Az ismétlődő összegee midét esetbe ugyaayiszor ell szerepeliü.) Megoldás. A 6 és a 5 em lehet ugyaabba a csoportba, mert a 6 + 5 összeget em aphatju meg máséppe. Jelöljü -gyes csoporttal azt, amelyibe a 6 va és -essel azt, amelyibe a 5-ös va. Az -gyes csoportba em lehet a 4-es sem, mert a 6 + 4 összeget em lehet felíri ét ülöböző -es csoportbeli szám összegeét. Tehát 4 a ettes csoportba va. Így viszot csa az -gyes csoportba lehet, mert a 4 + 5 9 összeget az -gyes csoportba csa a + 6 9 összegből aphatju. Hasolóa oosodva az -gyes csoportba a és a, míg a -es csoportba a és 9 erül. Az elejéről idulva az a 4-gyel, a 6-tal és a 7-tel, míg a a -mal, az 5-tel és a 8-cal erül egy csoportba. Az alábbi táblázatba megvastagítottu az -gyes csoport elemeit.
Kolozsvár,. május 9. 4 5 6 7 8 9 4 5 6. A bagdadi alifa megjutalmazott három bölcset tíz péztárcával, amelyebe redre,,,, 4, 5, 6, 7, 8 és 9 díár volt. Az első bölcs, Husszei, ét péztárcát választott i. Abdurrahmá és bátyja Omár úgy osztottá el a többit, hogy Omár több pézt apjo, mit Abdurrahmá. Az osztozodás utá Abdurrahmától ellopta égy péztárcát, és így csa díárja maradt. Háy díár va Husszei péztárcáiba? Megoldás. díár em lehet egy péztárcába, tehát Abdurrahmáa legalább 6 péztárcája volt. Így Omára legtöbb péztárcája lehetett, ami legtöbb 7 díárt jelet. Ha Abdurrahmáa legalább hét péztárcája lett vola, aor Omára csa egy jutott vola és így em lehetett vola több péze, mit Abdurrahmáa. Eszerit Abdurrahmáa hat péztárcája és Omára ét péztárcája volt. A feltétele szerit az Abdurrahmá hat péztárcáiba em lehet 6 díárál több és va ét olya péztárcája, amelyebe összese díár va. Másrészt mivel + + + + 4 + 5 5, Abdurrahmá péztárcáiba legalább 5 diár va. De 5 díár csa aor lehete, ha az előbbi összege leée a péztárcáiba, és ez em felel meg, mert ics ettő, amelybe díár vola. Így Abdurrahmá péztárcáiba,,,, 4 és 6 díár va, Omár péztárcáiba 8 és 9 díár, tehát Husszei tárcáiba 5 + 7 díár va. 4. Egy 44-es házicsoi-táblát fel szereté egyees vágáso segítségével daraboli -es darabora. Legalább háy vágásra va szüség, ha a vágáso utá a daraboat újraredezhetjü (egymás mellé, vagy egymásra tehetjü)? Megoldás. Előbb belátju, hogy égy vágás elégséges. Mide vágásál ét egyelő darabra vágju a csoit és a daraboat egymásra helyezzü. Így égy vágás utá 6 darab -es darabot apu. Másrészt 4-él evesebb vágással em lehet felvági, mert a belső 4 daraba valamelyiée a égy oldaláál égy ülöböző vágásra va szüség. (Más godolatmeet is lehetséges. Például egy vágással a darabo száma legfeljebb étszeresére öveedhet, tehát vágás utá legfeljebb 8 darabá lesz)
Kolozsvár,. május 9. VI. osztály. Határozd meg az a, b és c racioális számoat, ha egyeese aráyosa a, 4 és 5 számoal és a c b. 5 a b c Megoldás. A feltétele alapjá, tehát, ha -val jelöljü az aráyo özös 4 5 értéét, aor a, b 4 és c 5. Így az a c b egyelőségből övetezi, 5 hogy, azaz 5 5 5. Ebből övetezi, hogy 8 a, b és 5 5 c.. Egy dobóoca oldalai az,,, 4, 5 és 6 számoal vaa megjelölve. A dobóocát étszer feldobju, és a ét eredméyt összeadju. Ha ezt agyo soszor elvégezzü, melyi összeg fog a leggyarabba megjelei? Megoldás. A legisebb lehetséges összeg és a legagyobb. Egy tetszőleges s összeg potosa ayiféleéppe állhat elő, mit a 4 s összeg, mert ha az s összeget adó a és b eredméye helyett 7 a és 7 b jelei meg, aor az összeg 4 s. Eszerit elégséges megvizsgáli, hogy a,, 4, 5, 6, és 7 összege háy lehetséges módo állhata elő. A lehetséges előállításoat az alábbi táblázatba foglaltu: + + + 4 + + + 5 +4 + + 4+ 6 +5 +4 + 4+ 5+ 7 +6 +5 +4 4+ 5+ 6+ A táblázat alapjá a leggyarabba a 7-es összeg jelei meg. Megjegyzés. Ha a dobáso sorredjét em ülöböztetjü meg, aor a 6, a7 és a 8 ugyaolya gyara ellee megjeleje.. Az {,,,,} halmaza iválasztottu egy részhalmazát úgy, hogy a iválasztott részhalmazba egyi elem se legye valamely más elem 5-szöröse. Legfeljebb háy eleme lehet a iválasztott részhalmaza? Megoldás. Ha egy ilye H részhalmazba va 5-tel osztható, de 5-tel em osztható szám, aor ezt ivehetjü és helyette betehetjü az egy ötödét és esetleg az ötszörösét (ha ez em haladja meg a -at). Így az új halmaz teljesíti a megadott feltételt és vagy ugyaayi eleme va mit H-a, vagy eggyel több elem va bee. Tehát feltételezhetjü, hogy az
Kolozsvár,. május 9. { 5,,5,,,5, 4, 45, 55, 6, 65, 7,8,85, 9, 95} számo a legtöbb elemet tartalmazó halmazba icsee bee. Másrészt, ha éppe ezeet a számoat hagyju el az adott halmazból, aor a megmaradt számo özt biztos ics ettő olya, hogy az egyi ötszöröse legye a másodia. Így a iválasztott halmaza legtöbb 84 eleme lehet. 4. Bizoyítsu be, hogy egy ove hatszög belsejébe el lehet helyezi 4 potot úgy, hogy a hatszög bármely három csúcsa által meghatározott háromszög belsejébe potosa egy pot erüljö és egyetle átlóra se erüljö pot! El lehet-e helyezi 5 potot ugyaígy? Megoldás. A hatszög egyi átlójából iiduló átló a hatszöget 4 háromszögre botja. Ha 5 potot helyezü el a hatszög belsejébe, aor az így apott 4 háromszög valamelyiébe ettő lesz, tehát 5 pot már em helyezhető el. Négy pot elhelyezését a melléelt ábra mutatja. VII. osztály. Bizoyítsd be, hogy a { 4 N } * + halmaz tartalmazza az összes háromál agyobb prímszámot! Megoldás. Azt ell bizoyítai, hogy bármely háromál agyobb prímszám eseté p osztható 4-gyel. Mide természetes szám 6 + r alaú, ahol r {,,,, 4,5}. Ha r {,,, 4}, aor 6 + r em prímszám, tehát mide háromál agyobb prímszám 6 + vagy 6 + 5 alaú. Ha p 6 +, aor p 6 (6 + ) ( + ) és ez osztható 4-gyel, mert a elletétes paritású téyezőt tartalmaz. ( + ) szorzat ét
Kolozsvár,. május 9. Ha p 6 + 5, aor p 6( + )(6 + 4) ( + )( + ) és ez is osztható 4- gyel, mert a ( + )( + ) ( + ) szorzat is ét elletétes paritású téyezőt tartalmaz.. Egy dobóoca oldalai az,,, 4, 5 és 6 számoal vaa megjelölve. A dobóocát háromszor feldobju, és a három eredméyt összeadju. Ha ezt agyo soszor elvégezzü, melyi összeg fog a leggyarabba megjelei? Megoldás. A legisebb lehetséges összeg és a legagyobb 8. Egy tetszőleges s összeg potosa ayiféleéppe állhat elő, mit a s összeg, mert ha az s összeget adó a, b és c eredméye helyett 7 a, 7 b és 7 c jelei meg, aor az összeg s. Eszerit elégséges megvizsgáli, hogy a, 4, 5, 6, 7, 8, 9 és összege háy lehetséges módo állhata elő. A lehetséges előállításoat az alábbi táblázatba foglaltu: ++ 4 ++ ++ ++ 5 ++ ++ ++ ++ ++ ++ 6 ++4 +4+ 4++ 7 ++5 +5+ 5++ 8 ++6 +6+ 6++ 9 +4+4 4++4 4+4+ +4+4 4++4 4+4+ ++++ ++++ ++++ ++4+4+ +4+++4 4++4++ ++5+5+ ++5+5+ 5++5++ ++6+6+ ++6+6+ 6++6++ ++6+6+ ++6+6+ 6++6++ ++ ++ ++ ++ ++4+4+ ++4+4+ 4++4++ ++5+5+ ++5+5+ 5++5++ +4+5+5+4 4+5+4++5 5++45+4+ ++4 +4+ 4++ ++5 +5+ 5++ ++6 +6+ 6++ ++ ++ ++ ++4 +4+ +4+ ++4 4++ 4++ ++5 +5+ ++5 +5+ 5++ 5++ ++4 +4+ 4++ A táblázat alapjá a leggyarabba a -es összeg jelei meg és ee a társa a.
Kolozsvár,. május 9. Megjegyzés. Ha a dobáso sorredjét em ülöböztetjü meg, aor is a és a lesz a leggyaoribb összeg.. Bizoyítsd be, hogy ha a és b pozitív valós számo, aor a + b + +. ab a b Megoldás. A számtai-mértai özepe özti egyelőtleséget alalmazzu a övetezőéppe: a + a és ab ab b + b ab ab Ha az előbbi ét egyelőséget összeadju a bizoyítadó egyelőtleséghez jutu. Megjegyzés. Az egyelőtleség a + b alaba is ab ab írható. 4. a) Az a oldalhosszúságú égyzet oldalai az a szélességű sáv határegyeeseit három potba metszi úgy, hogy a égyzet egyi csúcsa a sáv egyi határegyeesé legye (lásd a melléelt. ábrát). Meora szöget zár be a metszéspotoat összeötő ét szaasz? D E G. ábra. ábra b) Meora a metszéspotoat összeötő szaaszo által bezárt szög, ha a égyzet oldalai a sáv határegyeeseit égy potba metszi? (lásd a. ábrát) A B Megoldás. a) Jelöljü a égyzet csúcsait A- val, B-vel, -vel és D-vel és legye G az A vetülete a sáv mási határegyeesére (lásd a melléelt ábrát). A feltétele alapjá az AEG és AED háromszöge ogruese és az AG
Kolozsvár,. május 9. és AB (derészögű háromszöge és va ét-ét ogrues oldalu). Így a AE és A a DAG és BAG szöge szögfelezői, tehát az általu bezárt szög mértée 45. b) Visszavezetjü az általáos esetet az a) potra. Jelöljü A -gyel az A pot vetületét a özelebbi határegyeesre és a égyzetet eltolju az AA szaasszal, tehát BB AA, AA és DD AA. Ha E,, E és az AB D égyzete a E E sáv határvoalaival való metszéspotjai (lásd a melléelt ábrát), aor az E EE D E háromszög ogrues az AA D háromszöggel, mert AA EE és a ét B háromszög megfelelő szögei ogruese. B Így az EE és A szaaszo ogruese, E A tehát az EE A égyszög paralelogramma, A és EA E. Hasolóa belátható, hogy A E, tehát az E és E szaaszo is 45 -os szöget zára be. 5. Valamely bizottság 4-szer ülésezett. Midegyi alalommal -e volta jele az ülése, özülü semelyi ét bizottsági tag em volt együtt egyél többször gyűlése. Igazolju, hogy a bizottságba legalább 6 tag va! 9 Megoldás. Egy gyűlése résztvevő va, tehát 45 pár épezhető. Mivel egyetle pár sem vesz részt ét gyűlése, a 4 ülés alatt 4 45 8 pár számolható össze. Ha a bizottságba legfeljebb 6 tag vola, aor a lehetséges páro száma 6 59 77 vola és ez elletmodás. Tehát a bizottságba legalább 6 tag va. VIII. osztály *. a) Bizoyítsd be, hogy ha m, N és osztható m-mel, aor osztható m-mel! b) Bizoyítsd be, hogy végtele so olya természetes szám létezi, amelye egyetle számjegye sem ulla, és a szám osztható számjegyeie összegével! y ( y) + y + y azoosság alapjá Megoldás. a) Az ( ) ( ) ( + + )
Kolozsvár,. május 9. De a + + szám számjegyeie összege, tehát ez a szám osztható -mal. Tehát ha osztható m-mel, aor osztható m-mel. b) Teitsü az a 999 számot. Ez a szám osztható 7-tel, tehát osztható a számjegyeie összegével. Az első pot alapjá az a 9 999999999 szám osztható 7 9 9 8-gyel, tehát a számjegyeie összegével. A godolatmeet 7 megismételhető, az a 999999999 szám osztható 8 9 7 4-mal, 7 vagyis a számjegye összegével. Látható, hogy a godolatmeet a végteleségig folytatható, tehát az a 999999999 szám osztható + -el, vagyis számjegyeie összegével.. Bizoyítsd be, hogy ha az a és b pozitív valós számo összege 4, aor a + b +. ab ab Megoldás. A számtai-mértai özepe özti egyelőtleséget alalmazzu a övetezőéppe: 6 a + 6 a és ab ab 6 b + 6 b ab ab Ha az előbbi ét egyelőséget összeadju a bizoyítadó egyelőtleséghez jutu. 4 4 Megjegyzés. Az egyelőtleség a + b alaba is írható. ab ab. Az ABD téglalap AB oldalát felosztju (em feltétleül egyelő) részre, és a szaaszoat megszámozzu -től -ig. Az osztópotoo át a párhuzamosoat húzu a B oldallal és meghúzzu a BD átlót. Bizoyítsu be, hogy ha a páros sorszámú szaaszo hosszáa összege egyelő a páratla sorszámú szaaszo hosszáa összegével, aor az átló feletti páratla sorszámú darabo területée összege egyelő az átló alatti páros sorszámú darabo területée összegével. Megoldás. Jelöljü az átló feletti páros sorszámú szaaszohoz tartozó területe összegét t -gyel, a páratla sorszámú szaaszohoz tartozó területe összegét T -vel, míg az átló alatti páros illetve páratla sorszámú szaaszohoz tartozó területe összegét T -vel és t -vel. Az átló ét ogrues háromszögre botja a téglalapot, tehát T + t T. A feltétel alapjá T + t T, tehát T T.
Kolozsvár,. május 9. B A D 4. Az ABD A B D ocáa az AB, B és D D élé egy-egy pot mozog ugyaazzal a sebességgel (A-tól B, B -től illetve D -től D-felé). c) Szereszd meg a poto által meghatározott símetszetet! d) Bizoyítsd be, hogy a símetszet szembefevő oldalia felezőpotjait összeötő szaaszo összefutóa! Megoldás. a) A feltétele alapjá AM B N D P. Az ábráa megfelelőe a R övetező szeresztéseet végezzü: Q BN {R}, MN d {Q}, ahol d az R- e át az AB-hez húzott párhuzamos egyees, QP D {S}, QP D { N }, SM B { T}, SM AD { P }, TN BB { M }, N. D, A eresett símetszet az MM NN PP N, P hatszög, amelybe a szembefevő oldala A B, párhuzamosa (mert az (MNP) sía ét M párhuzamos síal való metszéséből S D származa). Az is igazolható, hogy a P szembefevő oldala aráya álladó. A M B b) Ha az MM NNPP hatszög MM, NN és T PP oldalait meghosszabbítju egy XYZ háromszöghöz jutu. A hatszög szembefevő oldalaia felezőpotjait összeötő szaaszo tartóegyeesei az XYZ háromszögbe oldalfelező, tehát összefutó. 5. Egy -as ocát 7 darab azoos méretű isocából ragasztottu össze. Mide egységocát iszíezü pirosra, fehérre, vagy ére úgy, hogy tetszőleges három egymásmelletti oca özt e legye ét azoos szíű (egymásmellettie modu három ocát, ha a özéppotjai egy olya egyeese vaa, amely párhuzamos a oca valamelyi oldalélével). d) Adjál meg egy ilye szíezést!
Kolozsvár,. május 9. e) Háy ülöböző szíezés létezi? f) Az összes lehetséges szíezéseet osszu csoportoba úgy, hogy ét szíezés potosa aor erüljö egy csoportba, ha a oca mozgatásával (forgatásával) a ét szíezés egymásba vihető. Háy csoportu lesz? Megoldás. a) Egy lehetséges szíezést láthatu a melléelt ábrá. (a oca mellé irajzoltu ét metszetet, a özépső és a hátsó réteg szíezését) K P P K P P K K P K K K P P P K K P K P K P P K P K K P K P b) Észrevehető, hogy egy égyzet szíezését egyértelműe meghatározza az ábrá megjelölt három mező szíezése. E három mező szíezésére lehetőség va (a saromezőt szí X Y bármelyiével szíezhetjü, míg a mási ét mező szíezésére csa ét-ét lehetőség va, mivel ezee a szíe em egyezhet a saromező szíével). Továbbá Z valamelyi mási lapo még egy oca szíét megválaszthatju, a többi már egyértelműe meg va határozva a szíezési feltétele alapjá, tehát összese 4 lehetséges szíezés létezi. c) Az előbbi godolatmeet alapjá látható, hogy egy oldallap szíezésére lehetőség va és midegyi szíezés eseté valamelyi átló meté ugyaolya szíű ocá lesze. A megadott szíezésbe a szíeet egymás özt megcserélve adhatu olya szíezést, amelybe a özépső oca piros, illetve fehér. Mivel mide mozgás sorá a özépső oca özépső marad és a mide oldallapo a özépső oca szíétől ülöböző szíű átló va, ezért összese három olya szíezés va, amelye em apható meg egymásból a oca elforgatásával.
Kolozsvár,. május 9. IX. osztály. Bizoyítsd be, hogy az a a + a + a + a + a4 + a4 + a5 a a + a + a + a + a a egyelete özül legalább az egyie va valós gyöe, ha a R, bármely, eseté! Adjál példát olya a, a,, a számora, amelyere az előbbi egyelete özül potosa egye va valós gyöe! Megoldás eltételezzü, hogy egyi egyelete sics valós gyöe. Követezi, hogy a + a a + <, bármely {,,, } eseté, ahol a + a és a + a. 4 Összeadju a diszrimiásora apott egyelőtleségeet: a + a + + a aa aa4 a a a a aa < / ( a a a + a ) + ( a a a + a ) + + ( a a a + a ) + ( a a a + a ) 4 4 < ( a a ) + ( a a ) + + ( a a ) + ( a a ) 4 <. Az utóbbi egyelőtleség elletmodás, tehát va olya egyelet amelye a diszrimiása pozitív, és így ee az egyelete va valós gyöe. A továbbiaba megadu egy szeresztést, amellyel elérhető, hogy potosa egy egyelete legye valós gyöe. Legye a a és a. Belátható, hogy így az első egyelete ics a valós gyöe. A másodi egyeletbe legye a 4 N, és a 4 >. Ezzel a a választással a másodi egyelete sics valós gyöe. Általába -t úgy választju meg, hogy teljesüljö az a a a > egyelőtleség, ha,. Így a > a > > a > a a, és csa az a + a + a egyelet a
Kolozsvár,. május 9. diszrimiása lesz pozitív, tehát az -edi egyelete va valós gyöe. Az utolsó egyelet diszrimiása egatív, mert a aa a <. Tehát csa az -edi egyelete va valós gyöe.. Bizoyítsd be, hogy darab -el em osztható természetes szám özül iválasztható éháy, amelye összege osztható -el! Megoldás Legyee a számo a, a,, a. Képezzü az s a, s a + a, s a + a + a,. s a + a + + összegeet. Ha az si, i, összege özül az egyi osztható -el, aor észe vagyu. Elleező esetbe az -el való osztási maradéai az {,,, } halmazba ell legyee. Mivel potosa összeg va, és a halmazba elem va, övetezi, hogy az összege özött szerepel ettő, s és sl, < l, amelyee az -el való osztási maradéa megegyezi. Ie övetezi, hogy sl s osztható -el. s l s a + + a + + + a l és a feltétele alapjá l, tehát az,,, számo összege osztható -el. a + a + a l a. Az AB háromszög öré írt örö felvesszü az A ( B ), B ( A ) és ( BA ) potoat úgy, hogy az AB és A B háromszöge ogruese legyee. Bizoyítsd be, hogy az A, B és potoo át B-vel, A-val illetve AB-vel húzott párhuzamosoa ugyaeze potoo át egy tetszőleges d egyeessel húzott párhuzamosora voatozó szimmetriusai összefutó egyeese és az összefutási pot a háromszög öré írt örö va. Megoldás. Legye M az A és potoból iduló egyeese metszéspotja. A M aor és csa aor va rajta a örö, ha az M A B égyszög örbeírható. Ez potosa aor teljesül, ha m ( MA ˆ B ) m( M B ˆ ). m( MAˆ B ) m( B Aˆ A ) m( MAˆ A ) m( B A ˆ A ) m( A Aˆ G) m( B Bˆ A ) m( A Aˆ G) ( m( Bˆ A ) m( B Bˆ ) m( A Aˆ G) ( m( Bˆ A ) m( B ˆ )) m( A Aˆ G) ( m ( B ˆ A ) m ( A Â G )) m( B ˆ ) ) ( ). elhaszálju, hogy m ( A Bˆ ) m( ABˆ m EG ˆ (párhuzamos szárú szöge), és m( Eˆ ) m( A Aˆ G) m( EG ˆ + ). Az eddigi összefüggése alapjá
Kolozsvár,. május 9. m( Eˆ ) m( EG ˆ ) m( A Aˆ G) m( Bˆ A ) m( A Aˆ G). Tehát m( MAˆ B ) m( Eˆ ) m( B ˆ ) m( ˆ M ) m( B ˆ ) m( Mˆ B ). Követezi, hogy M a örö va. Hasolóéppe, ha N a B és potoból iduló egyeese metszéspotja, igazolható, hogy N rajta va a örülírt örö. Viszot a B -ből iduló egyees az M, N, B potoba metszeé a ört, és M B, valamit N B, tehát csa az M N eset lehetséges, ami azt jeleti, hogy a három egyees összefut és a metszéspot a örülírt örö va. E A B M A B B A G ( ) 4. A O, R és ( O, R örö özös belső éritői merőlegese és az O O O ) ( ) potba metszi egymást. Határozd meg az OM + OM ötött vetor végpotjáa a mértai helyét, ha M ( O, R) és M (O, R) változó poto. Megoldás Legye OM OM + OM.
Kolozsvár,. május 9. OM OO + OM + OO + OM ( OO + OO ) + OM + OM OM + OM OM O M + O M O M + O M R, tehát az M pot a ( O, R) örlapo helyezedi el. O M O M O O O M O A M M M Igazolju, hogy a eresett mértai hely a ( O, R) örlap. Legye M egy tetszőleges pot a örlapról. Mivel OM R, létezi egy A pot úgy, hogy OA AM R. Szeresszü meg az OO A és a MAO M paralelogrammáat! Eor M ( O, R). O M OA, O M R M ( O, R) OM OA + AM O OM + M + OM OM M és AM O M,, tehát létezi és M úgy, hogy OM OM + OM. Ezzel igazoltu, hogy mide ilye M pot a örlapo va (beleértve a határát is), és mide pot a örlapról a mértai helyhez tartozi. 5. Legalább háy lépés szüséges ahhoz, hogy egy -es tábla bal alsó sarából a jobb felső sarába jussu lólépésbe? Megoldás. Megvizsgálju, hogy melyi mezőre juthatu el,, lépésbe. M
Kolozsvár,. május 9. 5 6 5 6 5 6 5 6 7 6 4 5 4 5 4 5 6 5 6 7 5 4 5 4 5 4 5 6 5 6 4 4 4 5 4 5 6 5 4 4 4 5 4 5 6 4 4 5 4 5 4 4 5 6 4 4 5 4 5 4 4 4 5 6 4 5 4 5 X. osztály. a) Bizoyítsd be, hogy si tg, ha, π! si tg + c) Oldd meg a + egyeletet, ha, π! Megoldás a) Mivel si és tg pozitíva mide, π eseté, a mértai és harmoius özépértée özti egyelőtleségeből övetezi, hogy si tg (). + si tg si si si Viszot cos tg. Továbbá tg si cos + + si + si tg cos, π (). () és () alapjá si tg, π, tehát si tg, π. b) Észrevehető, hogy megoldás. Igazolju, hogy több megoldás ics. si tg Mivel és pozitíva, alalmazhatju a számtai-mértai özepe özti egyelőtleséget.
Kolozsvár,. május 9. tg si tg si tg si + +, π. Az a) pot alapjá tg si, π, tehát az epoeciális függvéy mootoitása szerit tg si tg si tg si + +, π. tg si + +, π. Egyelőség a számtai-mértai özepe özti egyelőtleségbe csa aor állhat fe, ha a számo egyelőe, tehát tg si.. a) Számítsd i a összeget! b) Bizoyítsd be, hogy ( ) ( ) + 4, ha. Megoldás a) A Vadermode azoosságba + b a b a a és b eseté. b) A auchy - Buiaovsi egyelőtleség alapjá ( ) ( ) ( ) ( ) + 4.. Bizoyítsd be, hogy az csöeő függvéy grafius épe lefedhető darab téglalappal, amelye területée összege em agyobb mit [,] [,] : f. Megoldás Teitjü azoat a téglalapoat, amelye ét szemözti csúcsáa oordiátái i f i, és i f i, ( ) < i, valamit oldalai párhuzamosa a tegelyeel. Az i-edi ilye téglalap területe i f i f i f i f i i T i (mert f csöeő). A téglalapo összterülete:
Kolozsvár,. május 9. T i Ti f i i f i ( f ( ) f ( ) ) ( ). 4. Egy örö felveszü hat potot. Válasszu i hármat és vegyü fel a iválasztotta által meghatározott háromszög H i ortocetrumát, és a megmaradt csúcso által meghatározott háromszög E i Euler potját (a súlypot és az ortocetrum által meghatározott szaasz felezőpotja). Bizoyítsd be, hogy az összes lehetséges választása megfelelő H i E i egyeese va egy özös potja. Megoldás Teitsü egy O ezdőpotú derészögű oordiátaredszert, ahol O a ör özéppotja. Legyee a poto affiumai a, b, c d, e, f. Az AB háromszög a + b + c ortocetrumáa affiuma h a + b + c, a súlypotjáa affiuma g és az Euler potjáa ( ) az affiuma e a + b + c. A DE háromszög E ( ) ortocetruma ( H ) h d + e + f. Ebbe az esetbe az E H egyees egyelete ( λ)( a + b + c) + λ( d + e + f ), ahol λ R. Az egyeese aor lesze összefutóa, ha va egy olya pot amely az E i H i+ egyeese midegyié rajta va. Ee affiuma függetle ell legye a pothármaso megválasztásától, ami csa aor lehetséges, ha az a, b, c, d, e, f együtthatói megegyeze, vagyis ( λ ) λ λ. 5 Tehát az m ( a + b + c + d + e + f ) pot rajta va midegyi egyeese. 5 5. ( m + ) ( + ) ( p + ) ( m + ) ( + ) ( p + ) darab egységocából összerau egy méretű téglatestet. A téglatest egyi saroocájáa özéppotjából egy rágcsáló a testátlósa elletétes saroocáig utat váj magáa úgy, hogy mide egységocából csa vele özös oldallappal redelező egységocába mehet (özéppottól özéppotig) és a legrövidebb uta valamelyié ell haladia. c) Háy lehetséges útvoal létezi? d) Ha a lehetséges útvoala száma U ( m,, p), aor számítsd i az összes U ( m,, p) szám összegét, amior m + + p álladó! Megoldás a) A három lehetséges iráyt jelöljü e-vel, f-fel és j-vel. Mide lehetséges útvoal m darab e iráyú, darab f iráyú és p darab j iráyú lépést jelet. Másrészt
Kolozsvár,. május 9. az összes olya út, amely m darab e iráyú, darab f iráyú és p darab j iráyú lépésből áll megfelel. Mide ilye út m + + p lépésből áll, és így az m + + p lépésből i ell választai m darabot (eze lesze az e iráyú lépése), és a maradé + p lépésből m m ( m + + p)! pedig darabot (eze lesze az f iráyú lépése). Ez m + + p + p m!! p! módo tehető meg. b) Jelöljü A -val az összeget. Ez a övetezőéppe írható: A A m m d A A m m m + + p értéét. Ki ell számítau a A A m m A A A ( + ). m d m+ + p A m A A m ( ) * XI. osztály. Az sorozat tagjai teljesíti a 4 ( ) N + összefüggést mide -re és valamit 4. c) Határozd meg a sorozat általáos tagjáa épletét! d) Számítsd i a lim határértéet! Megoldás a) 8 5,,, 4, 4 6 8 4 5. Matematiai iducióval igazolható, hogy. b) A D Alembert ritérium alapjá + lim lim lim, + ( + ) ha ez utóbbi határérté létezi. Viszot + + ( + ) lim lim lim + ( + ) + ( + ) ( + )( + ) +. e
Kolozsvár,. május 9.. Teitsü a d sorozatot. c) Vezessü le egy reurziót d -re és bizoyítsu be, hogy d N, d) Milye értéere lesz d osztható -mal? Megoldás a) Kifejtve a determiást az utolsó sora szerit, apju, hogy d A másodi determiást ifejtve az utolsó oszlopa szerit d Tehát a reurzió: d d - d ( 4). b) Az egyszerűbb írásmód edvéért a övetező jelölést haszálju: y( mod ) ( y). d d d. d (mod ) d - (mod ) d 4 (mod ) d 5 (mod ) d 6 - (mod ) d 7 - (mod ) d 8 - (mod ) d 9 (mod ) d - (mod ) d (mod ) d (mod ) d (mod ) d 4 (mod ) d 5 - (mod ) d 6 (mod ) d 7 (mod ) -t apu.
Kolozsvár,. május 9. Mivel d d 5, d 4 d 6 és 7 (mod ), a sorozat periodius lesz, periódusa. d + l d (mod ) ( ) d5+ l d 5 (mod ) ( mod ) d mod l + d (mod) ( ) Összefoglalva d 5+ 6l (mod).. Az A A ove égyszög csúcsaia oordiátái A ( y ) A4 Mi a geometriai jeletése a y determiása? y 4 y y 4 A,, ahol i {,,, 4}. Megoldás. Kifejtve a determiást az utolsó oszlop szerit, apju, hogy y y y y. 4 y4 4 y4 y A4 Viszot a és a potosa megegyezi az A A A4 és A A A4 háromszöge területée A étszeresével (vagy azo elletettjével A egyszerre), mert a örüljárási iráy megegyezi midét háromszögre a determiásba szereplő oordiátá sorredjével. O Tehát a területe additivitása alapjá ± T A A A. A 4 A 4. Adott az f : R R, f ( ) ( a ) ( a ) ( a ) függvéy, ahol a, a,, a pároét ülöböző valós számo. c) Bizoyítsu be, hogy mide [ a, a + ] alaú itervallumba az f ( ) + mf ( ) egyelete va legalább egy valós gyöe, tetszőleges m eseté! d) Ha rögzített eseté az előbbi egyelet legagyobb [ a, a + ] itervallumba eső gyöét cm -mel jelöljü, taulmáyozd a ( c m ) m sorozat overgeciáját és számítsd i a határértéét! Megoldás m a) A g m ( ) e f ( ) függvéy teljesíti a Rolle tétel feltételeit az [ a, a + ] itervallumo, tehát létezi m [ a, a + ], úgy, hogy g m ( m ). De m g m ( ) e ( f ( ) + mf ( ) ), tehát a eresett megoldás. m i i i
Kolozsvár,. május 9. b) f( cm) ( cm a) ( cm a ) ( cm a + ) ( cm a) >. g m ( ) a ( c m, a + ] itervallumo előjeltartó, mivel ics zérushelye. g m ( a ) ( ) ( ) + f a + + m f a + f ( a + ) <, övetezi, hogy g m ( ) < ( c m, a + ]. eltételezü, hogy cm cm+ g m+ ( cm ), de g m+ ( cm ) g m ( cm ) + f ( cm ) f ( cm ) >, elletmodás. Tehát cm < cm+ m. A ( c m ) m sorozat szigorúa övevő és orlátos ( cm < c + ), övetezi, hogy overges. f ( ) orlátos a [ a, a + ] f ( cm ) itervallumo, tehát lim f ( cm ) lim. m + m + m f ( ) folytoosságából övetezi, hogy lim f ( c ) f ( lim c ). Továbbá lim c m + m + [ c, ], m a + lim c a m +. m + m m + f-e ics zérushelye a ( c, a + ) itervallumo * 5. Határozd meg azoat az N \ {, } számoat, amelyere egy tetszőleges oldalú ove soszöget fel lehet botai, egymást em metsző átló segítségével, háromszögere úgy, hogy mide csúcsból páros számú átló iduljo i! * Megoldás. Igazolju, hogy -ra, N elvégezhető a felbotás: -ra a megoldás triviális, összese ulla átlóra va szüségü mide csúcsból. 6-ra az. ábrá látható egy megoldás.. ábra.ábra m Általába, -ra a. ábra alapjá a probléma visszavezetődi egy oldalú soszög felbotására a ért módo. Tehát ezzel a feladatot megoldottu. ( ) Igazolju, hogy ± eseté a feladat em oldható meg. Ha léteze megoldás, aor a soszögbe biztosa lee az ábrá látható MNP háromszög (elleező esetbe, ha csa olya háromszög léteze, amely mide oldaláa végpotjai özt legalább ét csúcs helyezedi el, és az így elhatárolt sírészeet még tovább ellee botsu háromszögere. Véges so lépésbe eléré egy olya háromszöghöz, amelye egyi oldala egy csúcsot határol el).
Kolozsvár,. május 9. N Mivel az -es és a -es sírészeet már em lehet 4 tovább botai, őet ivághatju. A megmaradt, -mas és 4-es sírésze felbotását ell elvégezü. Ez étféleéppe lehetséges:. Ha a -mas sírészbe az M csúcsból páratla so M átló idul i, aor a 4-es részbe is páratla so átló ell P iiduljo az M csúcsból, a többi csúcsoból pedig feltétleül páros. Így M-ből legalább egy átló el ell iduljo (például a 4-es tartomáyba). Ee az M-től ülöböző végpotjából ismét iidul legalább egy átló, mert páros so átló idul az eredeti soszög mide csúcsából. Így végtele so átló léteze, ez pedig lehetetle.. Ha a -mas sírészbe az M csúcsból páros so átló idul i, aor a 4-es sírész M csúcsából is páros so átló ell iduljo, tehát a feladat visszavezetődi ét isebb soszög felbotására az eredeti feltételeel. Legye az egyi soszög csúcsaia a száma v. Eor a mási soszöge u ( ) v + v csúcsa va. Tehát ha ±, aor biztosa az u vagy a v em lesz osztható hárommal, tehát az egyi isebb soszög biztosa l ± csúcsú lesz, l <. Ezzel a godolatmeettel a feladat visszavezetődi egy 4 vagy egy 5 oldalú soszög felbotására a ért módo, ami lehetetle. XII. osztály. Határozd meg azoat az f : R R függvéyeet, amelyee létezi olya : R R primitívje, hogy teljesüljö a ( ) ( f ( ) ) összefüggés bármely R eseté. ( ) Megoldás. Az egyeletből ifejezve f ( ) +. Követezi, hogy f() deriválható a (, ) és (, + ) itervallumo. Átredezve az egyeletet, apju, hogy f ( ) ( ). Elosztva az egyelőséget -tel és bővítve a törtet -szel f ( ) ( ) adódi,hogy 4 ( ) (l ). A Lagrage tétel övetezméyéből ( ) l + c ( ) l + c. Ha (,), aor deriválva az egyelet midét oldalát apju, hogy f ( ) l + + c l + c. ( ) ( )
Kolozsvár,. május 9. Ha (, + ), aor deriválva az egyelet midét oldalát apju, hogy f ( ) l + + c l + c. Vizsgálva f folytoosságát észrevesszü, hogy lim f ( ) lim f ( ) lim l + c lim l + c < > < >, mert. Mivel f Darbou tulajdoságú, és léteze a bal- és joboldali határértée, övetezi, hogy f-e em lehet szaadási potja a - ba, tehát f folytoos -ba és f(). l( ) + c, ha (,) Összefoglalva, f ( ), ha. l( ) + c, ha (, + ) + +. A ( G, ) csoportba () ( y ) y, () ( ) + y y és () y bármely, y G eseté. Bizoyítsd be, hogy a ( G, ) csoport ommutatív! + + ( ) y + Megoldás. ()-ből és ()-ből övetezi, hogy y ( y) ( y) y y y, y G. Egyszerűsítve balról y -el, apju, hogy y y, y G ommutál mide elemmel). Továbbá ()-ből és ()-ból övetezi, hogy y y y y y y, y G. Egyszerűsítve, apju, hogy beszorozva az -szel, apju, hogy alapjá övetezi, hogy azt jeleti, hogy pedig y ( ) ( ) ( ) y y y, y G y y + + y + (*) (. Ez utóbbi egyelőséget balról, y G. A (*) egyelőség, y G. Ie y y, y G. Ez is ommutál mide elemmel, ezt felhaszálva a (*) egyelőségbe + + y y y yy y y, y G.. Az f :[,] [,] függvéy szigorúa övevő és folytoos -be. Bizoyítsd be, hogy Megoldás a) lim f ( ) d b) lim ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) f d f d + f d ε f ε + ε. Tehát lim f ( ) d ε bármely > b) Legye ε (, ). Eor ε f ( ) d f () ( ) ε -ra, övetezi, hogy lim f d.
Kolozsvár,. május 9. f ) ε ( ) d f ( ) d + f ( ) d + f ( ) d εf () c ε ahol c ( ε, (felhaszáltu a özépértétételt). ε, Legye ε. Eor f ( ) d f () c, ahol c,. elhaszálva az f folytoosságát az -be, és határértére térve szerit, apju, hogy lim f ( ) d lim f () c f () (). Viszot, mivel f övevő, igaz a lim f ( ) d f () () egyelőtleség is. () és () alapjá lim f ( ) d f (). 4. Egy háromszög mide oldalát osszu fel p egyelő részre és az osztópotoat össü össze a szembefevő csúccsal. Ha p prímszám, határozd meg a háromszög belsejébe eletező diszjut sírésze maimális számát! Megoldás eltételezzü, hogy létezi három egyees, amelye összefuta: AE B G. Legyee AG GB p ; BE l E p l ; m. eva tételét felírva a háromszögre, A p m AG BE l m GB E A p p l ml(p-)(p-l)(p-m) p m m(l+(p-)(p-l))p(p-)(p-l) m(l+p(p--l))p(p-)(p-l). Az utolsó egyelőségbe a jobb oldal osztható p-vel, tehát a bal is. Követezi, hogy ml p, m,,l, {,,,p-} p, p prím p. Tehát csa p-re fut össze három egyees.eor a tartomáyo száma 6. Tovább feltételezzü, hogy p >. Ha először meghúzu az A-ból iduló osztóegyeeseet, azo a háromszöget p részre osztjá. A B-ből iduló osztóegyeese a meglévő tartomáyo midegyiét p részre osztjá, ez összese p rész. A -ből iduló egyeese ayival öveli tartomáyo számát aháy egyeest metszee. Midegyi (p-)+ egyeest metsz, így a tartomáyo száma p + ( p ) ( p ) p p+. 5. a) Bizoyítsd be, hogy a ] R[X P poliomhoz redelt poliomfüggvéy potosa aor páros, ha P-be a páratla itevőjű tago együtthatója.
Kolozsvár,. május 9. b) Képezzü az összes ε + alaú számot, ahol ε {,} mide {,,, } eseté. Bizoyítsd be, hogy az így apott szám szorzata természetes szám! Megoldás a) Legye P ( X ) a X + a X + a X + a. A P-hez redelt poliomfüggvéy aor és csa aor páros, ha P P R. Viszot a ( ) P ( ) a ( ) ( ) ( ) + a( ) + a ( ) + a ( ( ) ) ( ) P + a egyelőség aor és csa aor teljesülhet mide -re, ha a, a,, a + mide -ra. b) Jelöljü a szorzatot Π -vel. Π ( ε + + ε + + + ε + ) ( ε + + ε + + + ). ε + Teitjü a P( X, X,, X ) ( ε X + ε X + + ε X )( ε X + ε X + + ε X ) változós poliomot. A poliomhoz redelt függvéy, ha a változó és a többi i rögzitett, páros mide -ra, mert P,,,, P,,,,, bármely {,,, } és R. Tehát az (, ) ( ) a) pot alapjá mide -ra, ha -t teitjü változóa, a páratla foú tago együtthatói ullával egyelőe. Tehát csa páros foú tago marada a poliomba, mide változóra. Behelyettesítve -ba + -et, állításuat igazoltu.