I ALGEBRA Rffello Szio: Athéi isol (09) ELSŐFOKÚ PARAMÉTERES EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfoú préteres egyelete, egyelőtlesége A prétert trtlzó egyelete, egyelőtlesége egoldás léyegese eheze, it prétert e trtlzóé Az lái átteitjü leggyori feldttípusot és egoldási ódszereet H z egyelet e trtlz prétert, or egoldás érlegelv segítségével törtéhet Teitsü például z x x + egyeletet Ezt zoos átlításol x 6 lr hozhtju, jd z egyelet idét oldlát l osztv, egpju z eredéyt: x H z egyelet prétert trtlz, or egoldás áltlá oyolult Legye például ár átlított préteres egyelet lj Ax B Itt ost z Avl vló osztást özvetleül e végezhetjü el, hisze lehetséges, hogy A 0 Esetszétválsztást ell végezü I eset: H A! 0 Eor hgyoáyos ódo Avl oszthtu, egoldás x B A II eset: H A 0 Eor z egyelet l oldl 0 Két lehetőség v: II ) eset: H B 0, or z egyelet, xtől függetleül, 0 0 lú Az egyelete ide x vlós szá egoldás II ) eset: H B! 0, or z egyelet elletodó: l oldl zérus, jo oldl pedig e Ee z esete is egoldás 8 6_Mteti _Booid 8 006 ::
ELSŐFOKÚ PARAMÉTERES EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Az eddigieet összefogllhtju: A és B értéei: A! 0 A 0 és B 0 A 0 és B! 0 Megoldás: x B ide x vlós szá is egoldás A A préteres (etűegyütthtós) egyeleteet prétere ide lehetséges értéére eg ell vizsgáli Meg ell tehát állpíti, hogy etű értéétől függőe ior létezi egoldás z egyelete; i egoldás; és áltlá zt is, hogy háy egoldás v péld Oldju eg és vizsgálju + (x ) x egyeletet! Megoldás Evivles átlításo utá z egyelet + x x ( )x lr hozhtó Itt értéétől függőe háro esetet ülööztethetü eg I eset: H 0 Elletodásr jutu ( 0 x), eor z egyelete is egoldás II eset: H A 0 0 x egyelete ide x vlós szá egoldás III eset: H! 0 és!, or z egyelet egyetle egoldás x ^ h péld Htározzu eg p préter értéét úgy, hogy px () egyelete p px ) pozitív gyöei legyee; ) legyee pozitív gyöei! Megoldás Az ) és ) érdés ülöözi: ) esete egtív gyöö is egegedette, h léteze pozitív gyöö Először eghtározzu z egyelet gyöeit (eze függhete ptől), jd vizsgálju ezee z előjelét A evező e lehet zérus, ezért iötés, hogy p! 0 és x! Az egyelet idét oldlát (p px)szel szorozzu, jd pxet ieelü, és szorzttá lítju z elsőfoú ifejezést: () p x p px () px(p + ) (p + ) Esetszétválsztást végzü I eset: H p + 0, zz p Eor () egyelet 0 0 x lú, ee ide egegedett x vlós szá egoldás II eset: H p 0, or () egyelete e lee egoldás (0 x ), de iötés itt ez z eset e lehetséges (p 0r e létezi z () egyelet) III eset: H p! 0 és p!, or p(p + )l osztu, z egyetle egoldás x Az xre votozó p iötés itt!, zz p! feltétel dódi p ) Az egyelete z I esete es pozitív gyöei v, így p e lehetséges A III esete x 0, h p 0, de p! Eredéy: z egyelete (s) pozitív gyöei v, h p 0 és p! ) Az I eset egfelelő (v pozitív gyöö), ezért p 0 vgy p, de p! egoldás Megjegyzés Az eredéyt érdees tálázt is egdi, így jo átteithető p értéei p 0, p! p x értéei x p végtele so egoldás v: x! R, x! p 0 e lehetséges 0 p, p! p e lehetséges x p x előjele x 0 x 0, x 0 vgy x 0 x 0 9
I ALGEBRA péld Egyegy edéye ezdete, illetve liter víz v (, 0) Az első edéye pereét liter, ásodi pereét liter víz folyi e ) Háy per úlv lesz ásodi edéye étszer yi víz, it z elsőe? ) Háy per úlv lesz ét edéye ugyyi víz? Megoldás ) Tegyü fel, hogy t per úlv lesz ásodi edéye étszer yi víz, it z elsőe Eor $ + t + t (! 0) Az egyeletet átlítju: $ + t + t t t ^ h ^ h I H, or ásodi edéye idig étszer yi víz v, it z elsőe II H!, or t (per) ) H eresett idő t (per), or + t + t Ie t t ^ h ^ h I H, or 0 t elletodást pu; eor is egoldás ^ h II H!, or t Ez s t $ 0 esete egoldás Mivel 0, ( ) és ( ) téyezőe zoos előjelűee ell leiü Ez or teljesül, h, illetve h ^ h Eredéy: H vgy, or t idő úlv lesz ét edéye ugyyi víz (Az ) és ) egoldás sorá feltételeztü, hogy z edéyee elefér efolyt víz) FELADATOK E E Oldju eg, és vizsgálju z lái egyeleteet! ) x + x + ; ) x+ x x x + x Hogy függ z,, préteretől z lái egyelete gyöeie előjele? ) x x + ; ) + x x ; ) x E Az préter ilye egész értée eseté gyo ál z + x x egyelet egoldás? E H t tyú p ltt d dr tojást toji, or: ) Háy tojást toji x tyú 0 p ltt? ) Háy p ltt toji y tyú z tojást? ) Háy tyú toji z tojást u p ltt? (Feltételezzü, hogy tyúo tojáshoz álldó) E Oldju eg z ( )x $ + préteres egyelőtleséget! Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I 08 08 0
ELSŐFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK ELSŐFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK Elsőfoú egyeletredszere Ee leée átteitjü töváltozós és préteres lieáris egyeletredszere egoldási ódjit A töváltozós lieáris egyeletredszere egoldásár áltlá ehelyettesítő ódszert, illetve z egyelő együtthtó ódszerét llzhtju péld ( ) ( ) ( ) x+ y z x+ y+ z 8 x y+ z Oldju eg z lái hárováltozós egyeletredszert! Megoldás Első egoldás (ehelyettesítő ódszer): Legegyszerűe () egyelet tűi, ezért eől ifejezzü xet: () x y z + Az így pott ifejezést z első ét egyelete helyettesítve, z eredetiél egyszerű étváltozós egyeletredszert pu () (y z + ) + y z y 8z, () (y z + ) + y + z 8 y z 7 Ezutá () ől ifejezzü például yt, és ezt () e helyettesítjü: y z 7, és így z $ z 7 8 z egyiseretlees egyeletet pju Ee egoldás z ; ezt visszhelyettesítve y $ 7, és x + dódi Az egyeletredszer egoldás tehát (x, y, z) (,, ) Elleőrzés: () + ; () + + 8; () + vló Másodi egoldás (egyelő együtthtó ódszere): H () egyeletet vel szorozzu, és ()ől ivoju, or x iesi: () (): y 8z A ási egyeletet or pju, h ()t l szorozzu, és ()ől voju i: () (): y z 7 Most szdulju eg például z y változótól Az újo pott egyelete özül z elsőt gyel, ásodit pedig ()tel szorozzu: 0y z 6, 0y + z A ét egyelet összedás utá 7z, zz z Ezt z értéet visszhelyettesítve redre egpju z y, x egoldásot Soh e felejtsü el z elleőrzést! A gyööe z eredeti egyeletee törtéő visszhelyettesítése hozzátrtozi orret egoldáshoz Helyhiáy itt i ésőiee ár áltlá s utlu z elleőrzésre Az elleőrzés s or hgyhtó el, h tudtos zoos átlításot (vgy áséppe evivles átlításot) végzü, elye sorá eletezett egyelete gyöei idvégig egegyeze z eredeti egyelet gyöeivel Eor gyöö visszhelyettesítése helyett elegedő z evivles átlításor vló hivtozás péld ^ hx+ y x+ ^+ hy Oldju eg z lái egyeletredszert ( vlós préter)! Megoldás A ásodi egyeletől ifejezzü xet, és ezt z első egyelete helyettesítjü: x ( + )y ^h_ ^+ hyi + y ( + )( )y ( ) I eset: H, or z egyelet 0 y 0 lú, tehát ide y vlós szá egoldás Az eredeti egyeletredszer idét egyelete x + y lú; vlójá tehát egy egyeletü v, ét iseretleel
I ALGEBRA A végtele so egoldást egdhtju egy préter segítségével: legye y t, s eor x t, hol t tetszőleges vlós szá II eset: H, or 0 y 0 egyelet elletodásr vezet; is egoldás III eset: H!!, or y Visszhelyettesítés utá x ^+ h $ + + dódi; + eor tehát z egyeletredszere egy (egyértelű) egoldás v Összefogllv: értéei!! (x; y) egoldás (x; y) ( t, t), t! R is egoldás (x; y) ; + + Grfius szeléltetés Az x + y étiseretlees egyelet egoldási szápáro Az (x; y) gyöö derészögű oordiátredszere egy egyees potji feleltethető eg A ét egyeletől álló egyeletredszereet áltlá grfius is egoldhtju Midét egyelet grfioját ugy oordiátredszere árázolju, és ét göre özös potji oordiátái lesze egoldáso Az ^ hx+ y x+ ^+ hy egyeletredszer első egyelete z A(0; ), ásodi pedig B(; 0) potoo áthldó egyeeseet jelöli i Az árá feltütettü z 0 préterértéhez trtozó e: x + y és f: x + y egyeeseet Eze M ; ` j etszéspotj it töi egoldás is rjt v g: y x egyeletű egyeese A h: x + y egyees z értéhez trtozi Eor z A és B poto áteő ét egyees egyeesi, végtele so egoldás v, és eze éppe h egyees potji Végül jelöltü z értéhez trtozó i: x + y és j: x y egyeletű egyeeseet Eze párhuzos, is etszéspotju; z egyeletredszere eor is egoldás f h e i y A M 0 j B g x Megjegyzés Az (x; y) ; + + györedszer (0; 0) ivételével g: y x egyees összes potját előállítj Ee z z o, hogy z A poto áteő egyeese özül hiáyzi z x 0, B poto áteő özül pedig z y 0 egyeletű Eze seilye préterre se áll elő z eredeti egyeletredszere péld Oldju eg z lái egyeletredszert! + 7 + + + Megoldás Néh speiális egoldási ódszereet is llzhtu Most észrevehetjü, hogy z egyeletredszer ilius szietrius, ert idig ásás változó együtthtój Ezért h összedju z egyeleteet, szietrius egyeletet pu: 9 Ie + + 9, és ezt z összefüggést redre összevetve z eredeti egyeleteel,, 8 és dódi Elleőrzéssel eggyőződhetü z (,, ) (, 8, ) egoldás helyességéről
HATVÁNYOZÁS FELADATOK E E E E E Négy terészetes száról övetezőet tudju iii) Az első háro szá összege 0 iii) A ásodi szá, hrdi étszerese és egyedi égyszeresée z összege 6 iii) Az első szá gyel gyo egyedi szá hároszorosáál ) Mi lehete száo? ) Mi lehete száo, h ég zt is tudju, hogy z első és egyedi szá összege príszá? Oldju eg és vizsgálju z lái egyeletredszereet (x, y, z változó,, vlós prétere)! ) x y x y x+ y + x + y ) x y ) 0, x y 6 x + y x+ yz Htározzu eg p préter értéét úgy, hogy z lái egyeletredszer (x; y) egoldásár x 0 és y teljesüljö! ^p hx+ y x y Oldju eg z lái egyeletredszert! 6 y u x + _ x u $ y x ` z x Sir Is Newto (6 77), gy gol fizius és tetius lger töyvet is írt Egyi szórozttó feldt z lái Háro legelő egyforá gzdgo és gyors ő fű Az egyi ező területe, ásié 0, hrdié pedig hetár Az elsőt tehé lelegeli hét ltt, ásodit tehé 9 hét ltt Háy tehé legeli le hrdi legelőt 8 hét ltt? Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I 09 080, 08 0 HATVÁNYOZÁS Htváyozás A szorzás űveletée töszöri llzásávl jutu el pozitív egész itevőjű htváyozás foglához Az isételt szorzást árilye szál el tudju végezi, így (! N + ) defiíiójá z lp tetszőleges vlós szá lehet H ég előírju z összefüggést is, or felírhtó pozitív egész itevőjű htváyozás zoossági (! R,,! N + ): + ; () ; (,! 0); ` j (! 0) ^ h ; $ (Az zoosságo defiíió segítségével özvetleül igzolhtó)
I ALGEBRA A htváyozást pereielv figyeleevételével iterjeszthetjü egész itevőre is A pereielv lpjá egy űvelet iterjesztéseor elvárju, hogy orá egisert zoosságo iterjesztés utá is érvéye rdj 0 defiiálásához egyszerűe eljuthtu z zoosság segítségével Helyettesítsü helyée 0t, eor z zoosságól 0 0 +, tehát 0 (! 0) Ez lpjá s z 0 lehetőség fogdhtó el Megutthtó, hogy ez defiíió érteles, zz töi zoosság, vlit függvéy ootoi tás is érvéye rd A egtív egész itevőjű htváyozás defiiálás érdeée helyettesítsü helyée ()et z zoosság Eor + 0, tehát lehetséges defiíió (! 0) lú Most is igzolhtó, hogy feti defiíiójávl továr is érvéye rd z zoosságo Az egész itevőjű htváyozássl psolt ég ét észrevételt teszü Az egyi, hogy zoosság feltételére is szüség (ez eredetileg zért ellett, hogy ( )! N + teljesüljö) A ási észrevétel z lppl psoltos: hgsúlyozzu, hogy h itevő 0 vgy egtív egész szá, or s! 0 eseté érvéyese z zoosságo Eelt szitű érettségi vizsgöveteléy z egész itevőjű htváyozás zoossági izoyítás Ezeet áltlá úgy végezzü el, hogy egtív egész itevőről áttérü pozitív egész itevőre, és z igzoldó zoosságot visszvezetjü ee száöre lévő állításr, zoosságr A izoyításo e eheze, de eléggé uigéyese, ert töféle lehetséges esetet ell egvizsgáli Például z zoosság igzolásor és özül lehet z egyi vgy idettő egtív egész; vgy zoosságál ülö izoyítdó z lehetőség, ior és pozitív egésze, de és így tová Két példát uttu egtív egész itevő eseté péld Igzolju zoosságot egtív egész itevőre: x y x y, h x, y! Z, és! 0! Megoldás Allzzu z x és y helyettesítést; eor,! Z + x y $ y+ x x y H ost $, or észe vgyu: H viszot, or ( ) egtív: x y x y + Ezzel z zoosságot eláttu Felhszáltu egtív egész itevős htváy defiíióját, vlit pozitív egész itevőre votozó zoosságot péld x y xy Igzolju egtív egész itevőre zoosságot: ^ h, h x, y! Z, és! 0! $ Megoldás Az x és y helyettesítéssel x y $ x$ ^yh xy $ ^ h ^ h ; z zoosságot eláttu $ A töi zoosság is hsoló tehiávl igzolhtó A továi htváyozás llzásár uttu példát péld Teitsü K 0 szorztot ) Elvégezve űveleteet, háy jegyű szá lesz K? ) Mi K utolsó szájegye? Megoldás Az zoosság itt 0 + + + 0 Az egész száo összegét től 0ig Guss ódszerével, száo párosításávl htározhtju eg: + + f + 0 + 0 $ 0 0 078 Tehát K 0 078 ) Eor száot özvetleül e írhtu e száológépe, ügyese ódszert ell tláli Vegyü K 0es lpú logritusát!
HATVÁNYOZÁS lgk lg 0 078 0 078 lg 966 07,76 Ez zt jeleti, hogy 0 966 07 K 0 966 08 ; és eől övetezi, hogy K éppe 966 08 jegyű ) Készítsü táláztot htváyo végződéséről! 6 7 8 9 0 végződése 9 7 9 7 9 Észrevehetjü, hogy z utolsó szájegye periodius isétlőde Ee z z o, hogy sorozt árely tgj s z őt egelőző tgtól függ ( szoros); tehát h egyszer isétlődés lép fel, or z örölődi A periódus hossz Mivel 0 078 rdé gyel osztv, így K végződése egegyezi utolsó szájegyével, zz 9 péld Mivel egyelő : d + +, h, 0,7,, és d 0,7? + d 8 Megoldás Az zoli helyettesítés oyolult, és esetleg pottl száolásohoz vezete, ezért elő egyszerű lr hozzu ifejezést Az osztdó egyszerűsítéseor llzhtju defiíiót, de zt is észrevehetjü, hogy száláló evezetes zoosság szerepel: ^ + h^ h Ezutá defiíióól + + övetezi, de helyettesíthetü is: 8 Az osztdó tehát ` j ` j Az osztót is átlítju: + + d d d d 07, ^, h d Helyettesítés utá pju, hogy $ 07, Eredéy: háydos értée : ` j 6 J N K O K O K O L d P J N K O K K d O O L d P d d A evezetes szorzto és szorzttá lításo leggyr hszált zoossági: ( + ) + + ; ( ) + ; ( + )( ); ( + + ) + + + ( + + ) Felírhtju htváyor votozó zoosságot is: ( + ) + + + ; ( ) + ; ( )( + + ); + ( + )( + ) (Gyr hszos z ( + ) + ( + ) +, illetve ( ) ( ) lo iserete is) Az zoosságo űvelete elvégzésével egyszerűe igzolhtó Továi, hsoló szerezetű evezetes zoosságot is egfoglzhtu h, i péld Bizoyítsu e, hogy ^ h^ + + + f + + de, vlós szár (! N + ) Megoldás Az és () tgoól egpju ( )t Meg ell uttu, hogy szorzt továi tgji iese A szorzás elvégzése utá, z összevoáso előtt oly összeget pu, elye ide tgj edfoú lesz Vizsgálju eg tetszőleges tg előállítását ( # # )
I ALGEBRA Az tgot étféleéppe phtju eg: z szorztól, illetve () szorztól De eze előjele elletétes, összegü zérus Ez éppe zt jeleti, hogy z tg iesi; és ivel ez tetszőleges # # eseté elodhtó, vló s z tgo rd eg Most tegyü fel, hogy pártl, és helyettesítsü helyére ()t: ^ h _ ^ hi_ + $ ^ h+ $ ^ h + f + $ ^ h + ^ h i, zz ^ + h ^ + h^ $ + $ " f $ + h dódi A özülső tgo ( # # ) ost is iese, és egpju z és tgot is Vgyis új zoosságot ptu, pártl eseté z + összeg is szorzttá líthtó Páros eseté viszot z + összeget feti godolteettel e sierül szorzttá líti Összefogllv: Két új zoosságot foglzhtu eg edi htváyo ülöségére, vlit pártl itevőjű összegére Eze övetező (, tetszőleges vlós száo): ^ h^ + + + f + + h, h! N + ; + ^ + h^ $ + $ f $ + h, h! N +, pártl Terészetese, z helyettesítéssel orá felírt zoosságot pju vissz 6 péld Oszthtósági llzáso ) Mutssu eg, hogy 0 + 0 oszthtó 9gyel! ) Adju eg 0 0 vlely étjegyű osztóját! ) Bizoyítsu e, hogy h pártl terészetes szá, or 9 + 7! Megoldás ) 0 + 0 ^ h + ^ h 6 + 7, és feti ásodi zoosság értelée 6 + 7 ^6 + 7h^6 6 $ 7 + 6 $ 7 f 6 $ 7 + 7 h Ez szorzt vló oszthtó 6 + 7 9gyel ) 0 0 ^ h ^ h 6 7, és feti első zoosság értelée 6 7 ^6 7h^6 + 6 $ 7 + 6 $ 7 + f + 6 $ 7 + 7 h 6 7 7; ez szorzt oszthtó étjegyű 7 szál Áltlá is egfoglzhtju, hogy h, egész száo, pozitív egész szá, or osztj z ülöséget H pedig pártl, or + osztj z + összeget ) H pártl, or + 7 + 7 ; h pedig 8 + 7, or 9 + 7 is igz FELADATOK E E E Száológép hszált élül dötsü el, elyi szá gyo, A vgy B, h: 0 0 ) A + 0, B + 0 ; ) A 99 0, B 9999 ; ) A 7, B 8! + + Bizoyítsu e, hogy 888 89 lú szá égyzetszá! (A szá dr est és ( ) dr 8st trtlz,! N + ) A htváyozás egyi llzási területe is és gy száol vló űveletvégzés Az lái feldt egoldásor igyeezzü száo orállját hszáli Arthur C Clre rit író Az iste ileilliárd eve ovellájá tieti szerzetese elhtározzá, hogy iyottjá iste ide szó jöhető elevezését Egy Aes ppírlpr potos etűérettel 0 sor fér i Tegyü fel, hogy szerzetese gyo etűérettel, esztétius yott, s így egy Aes oldlr 0 év erülhet ) Háy Aes ppírlpr vol szüségü ileilliárd év iyottásához? ) Besüljü eg, háy hetár felületet fede e eyi egyás ellé helyezett ppírlp! 6
GYÖKVONÁS, TÖRTKITEVŐJŰ HATVÁNYOZÁS ) Besüljü eg, háy térfogtú eyi ppírlp! d) Besüljü eg, háy to töegű eyi ppírlp! (Egy sog írólp éppe vstg, 00 dr ppírt trtlz, íéjé lévő 80 g/ felirtól pedig öveteztethetü töegére) E Alítsu szorzttá z lái ifejezéseet! ) ; d) + ; g) x 8 + x + ; ) + ; e) x x 8 + x ; h) y ) + ; f) x 8 x ; Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I 86 8 GYÖKVONÁS, TÖRTKITEVŐJŰ HATVÁNYOZÁS Gyövoás, törtitevőjű htváyozás Az edi gyövoás defiíióját htváyozás segítségével foglzhtju eg Proléát jelet, hogy defiíió ülöözi páros és pártl gyöitevőre, ezért esetszétválsztást ell végezü H z páros, zz lú (! N + ): $ 0, és $ 0, és (Kiolvsv: egy eegtív szá ()di gyöe z eegtív szá, elye ()di htváy egyelő vl) H z pártl, zz + lú (! N + ): + + Pártl gyööt tetszőleges vlós száól (egtívól is) vohtu H tehát egyszerűe s z edi gyövoásról eszélü, or ez idig feti feltétele figyeleevételével törtéi A gyövoás jól isert zoossági övetező: $ ; ; ^ h ; (Az lphlzr és itevőre votozó egötéseet idig sze előtt ell trti: és él gyo terészetes száo; h vgy páros, és eegtív vlós száo; zoosság itt e ull; egész szá; végül h 0, or pozitív egész szá) péld Bizoyítsu e gyövoás zoosságit! Megoldás Az zoosságo izoyítását htváyozás segítségével végezhetjü Midét oldlt edi htváyr eeljü, és felhszálju htváyozás isert zoosságit A l oldl ^ $ h ^ h $ ^ h $ A jo oldl szité eyi: ^ h $ A ét oldl edi htváyi egyelő, de eől ég e övetezi, hogy z lpo is egyelő, előjele ég ülöözhete (Például x ől e övetezi, hogy x ; x is lehetséges) H zo páros, or z zoosság idét oldl eegtív; íg h pártl, or idét oldl zoos előjelű Így ost ár igzoltu z zoosságot A zoosság hsoló izoyíthtó Esetszétválsztást végzü szerit H pozitív egész szá, or $ $ f$ $ $ f$ ^ h ( gyövoást téyezőét végezhetjü) d d H 0 (és! 0), or idét oldl egyelő gyel 7
I ALGEBRA H egtív egész szá, or helyettesítsü (z)vel! Eor z pozitív egész szá, és így z z z z z ^ h ^ h, tehát igz z zoosság ^ h A izoyítás sorá felhszáltu pozitív egész ere iét elátott összefüggést, ely szerit htváyozás és gyövoás sorredje felserélhető Midét oldlt edi, jd di (zz ( )di) htváyr eelve z zoossághoz jutu Isét eggodolhtju, hogy ét oldl előjele egegyezi; így eláttu zoosságot is A továi gyövoáso llzásár uttu éháy példát péld Igze, hogy z 0 6 0 + 6 egész szá? Megoldás Első egoldás: Elegedő egutti, hogy z egy egész szá égyzete z ^ 0 6 0 + 6 h 0 6 + 0 + 6 0 6 0 + 6 0 0 6 $ 0 $ 6 Mivel z 0 ( ivodó gyo, it iseítedő), ezért z 6 Másodi egoldás: Észrevehetjü, hogy 0 6 és 0 + 6 teljes égyzete: 0 6 ^ h és 0 + 6 ^+ h Ezért z ^ h ^+ h + ^ + h 6 Megjegyzés Az irrioális teljes égyzeteet ehéz feliseri, ezért élszerű őet lls helyettesítéssel rioális ifejezéssé líti Például y helyettesítéssel 0 6 y + 9 6y, és eor z (y ) teljes égyzet ár öye feliserhető péld Htározzu eg,, reiproát ) égyjegyű függvéytálázt segítségével égy értées jegy potossággl! ) zseszáológép segítségével háro tizedes jegy potossággl! Megoldás ) A égyjegyű függvéytálázt szerit,,70 és,,70 Négy értées jegy potossággl,,,70,70 0, ee szá egyáltlá is reipro ) H száológéppel száolv evezőe tizedes jegyet őrzü eg, or se tudju végrehjti z osztást H egy trtléjeggyel dolgozu, or,,,70,70 0,0009, ee reipro 0 000, H gyút fogu, és öt tizedes jegyet őrizü eg, or 9,,, i 9, Ez izoy jeletős eltérés; láthtó, hogy h egyre tö, 708, 70 0, 00087 tizedes jegyet hgyu eg evező iszáításor, or reipro értée egyre potos lesz H száológép 9 tizedesjegyét egőrizzü, or eredéyül,,, 70879, 700769 0, 00087686 0,7898 dódi; íg h gávl géppel végeztetjü el űveletet, or,, 0,78998 (Ez utói ét érté zért ülöözi, ert gép áltl ijelzett 9 tizedes jegy ereített, és ő eóriájá ereítés élüli, potos értéel dolgozi) Sjos, gépi 0,789 eredéy ögá ég e grtálj egoldást; e lehetü iztos, hogy z érté potos tizedes jegyre Mit tehetü? Gyöteleítsü evezőt!,, $ +, +, 00 $ ^, +, h,,, +, 00, Most, +,,078997 összege s legfelje z utolsó tizedes jegy ereített, ezért 00 $ ^, +, h 0,789 ár iztos tudhtó, hogy tizedes jegyre potos érté 8
GYÖKVONÁS, TÖRTKITEVŐJŰ HATVÁNYOZÁS péld Írju fel egyetle gyöjel segítségével $ $ ifejezést! Megoldás Első egoldás: Belülről ifelé hldu, gyöjel lá evitel ódszerét llzzu 0 0 00 60 00 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Másodi egoldás: Először ívülről efelé hldv llzzu gyövoás zoosságit $ $ $ $ $ $ $ $ 60 $ $ Ezutá özös gyöitevő lá viszü: 60 60 00 60 60 00 $ $ $ $ 60 $ $ A törtitevőjű htváyozás z egész itevőjű htváyozás áltláosítás A pereielv itt értéét (! R;,! Z + ) úgy ell értelezü, hogy htváyozás z egész itevőre votozó zoossági, vlit ootoitási tuljdoságo is érvéye rdj Például zoosság eseté (htváy htváy) teljesülie ell, hogy ` j, s ie szüségéppe 6 Tehát defiíiój pereielv itt h egyáltlá lehetséges, or s feti lú lehet Terészetes godolt, hogy törtitevőjű htváyozás eredéye s itevő értéétől függjö, z ljától e (Például eg ell övetelü, hogy teljesüljö; idege ifejezéssel ezt reprezetáiófüggetlesége evezi) Ez esete viszot e egedhetjü eg egtív lpot: ^h! ^h, ugyis 6 ^ h ^ h érteletle, íg 6 ^ h ^ h 8 A gyövoás zoosság szerit gyövoás és htváyozás sorredje felserélhető Negtív lp eseté ez se idig teljesüle: ^ h ^ h, íg ^ h e lee értelezhető Áltlá 0 lpot se egedhetjü eg, hisze itevő egtívo is lehete Végül elítsü eg, hogy ide egész szá egyúttl rioális szá is, teljesülie ell tehát z st egyelőségee Megállpodás lpjá z gyöitevőt e szüséges értelezü, ert egész itevőjű htváy, ezelése e ooz proléát Megutthtó, hogy z defiíió z 0;,! Z +, egötéseel ár egfelelő Vgyis érvéyesül pereielv, teljesüle gyövoás zoossági, defiíió itevő tört ljától függetle Beizoyítju z egyi zoosságot ( töi hsoló utthtó eg), s igzolju reprezetáiófüggetleséget is péld ) Bizoyítsu e reprezetáiófüggetleséget! ) Bizoyítsu e, hogy z + zoosság érvéye rd törtitevőjű htváyo eseté is! Megoldás ) Meg ell uttu, hogy h, or, hol 0, és, l,, egész l száo A feltételől l övetezi Tudju, hogy _ l i l ; idét oldlt edi htváyr eelve l _ l i l dódi Hsoló pju z _ i egyelőség ledi htváyáól, hogy _ i l l l l l l l Mivel, eől ^ h ^ h, illetve gyövoás utá övetezi Késze vgyu: l vló l ) Bizoyítdó, hogy $ l l l l l + + l l l l l l + $ $ $ l pot igzolt reprezetáiófüggetleséget is) l, hol 0, és, l,, egész száo + l l ; z állítást eláttu (Köze felhszáltu z ) 6 9
I ALGEBRA 6 péld Árázolju [,;,] itervlluo, zoos oordiátredszere övetező függvéyeet! ) (x) x; (x) x ; (x) x ; d(x) x ; e(x) x ) (x) x; (x) x ; (x) x ; d(x) x ; e(x) x Megoldás ) A lehető legőve lphlzo árázolu, d(x) függvéy esetée 0 # x #, z értelezési trtoáy Az áráról leolvshtó z egyes függvéye özötti gyságredi viszoy ) A (x), (x) és d(x) függvéye esetée x 0 z értelezési trtoáy A defiíióól övetezi, hogy gyságredi reláió x és x eseté egfordul Az is láthtó, hogy s pozitív szá ) y or teljesül z x ezzü) / x zoosság (egyéét (x)et e értel d ) y d, e, 0, e x, 0, x e FELADATOK E E E 0 Melyi gyo, A vgy B, h ) A 0 9 és B ; ) A 0 + 9 és B + 8 ; ) A 0 9 és B ; d) A x 8 x x e + o $ és B x x + + x+ + x 9+ ; e) A + + f + + + 6 + 6 és B + + + +? Gyöteleítsü z lái törte evezőit: ) x + ; E ) ; d) d 7+ + 6 + 7 x + e x 6 Árázolju trszforáiós lépése segítségével z lái függvéyeet, és htározzu eg z x és y tegelyetszeteet! x ^ h $ x + ; x ^ h $ ^xh ; x ^ h $ ^ xh + Milye geoetrii trszforáiót hjtottu végre z egyes lépése sorá?
RACIONÁLIS ÉS IRRACIONÁLIS SZÁMOK E Mi hi z lái átlításo? ) + 0 8 7 6 8 ^ 8 + h ^ 8 h 8 + ^ 8 h 8 ) 8x $ x 8x $ x 6x x ) Beizoyítju, hogy A iidulási egyelettel zoos átlításot végzü, jd teljes égyzetté lítu: 6 6 6 6 + 0 + 0 9 9 $ $ + $ $ 9 9 ` + j ` j 9 9 ` j ` j Ezutá idét oldlól gyööt vov észe is vgyu: 9 9 Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I 8 9 RACIONÁLIS ÉS IRRACIONÁLIS SZÁMOK Rioális és irrioális száo Korái tuláyiól tudju, hogy rioális száo hlz zárt égy lpűveletre: törte összege, ülösége, szorzt és háydos is tört (persze 0vl e osztu) Azt is egtultu, hogy rioális száo tizedestörtlj vgy véges, vgy végtele, de szszos tizedes tört (Ez utói állítás z rioális szá osztási lgoritusáól övetezi Az osztási eljárás vgy véget ér (eor tizedes tört véges), vgy ivel és egész száo z osztási rdé előutó egisétlődi (H és reltív príe, or legéső edi lépése) A rdé isétlődése itt pedig háydos szájegyei is periodius lesze) Kérdés, hogy tudue hsoló állításot egfoglzi z irrioális száoról? Tétel H egy x vlós szá tizedestörtlj végtele, e szszos tizedes tört, or x irrioális szá Bizoyítás Idiret izoyítu: tegyü fel, hogy x rioális Eor zo tizedestörtlj vgy véges, vgy végtele, de szszos tizedes tört lee Elletodásr jutottu, x tehát e lehet rioális szá Mivel véges, vgy végtele, de szszos tizedes törteet fel tudju íri özöséges tört l, ét egész szá háydosét, ezért egfoglzhtju z lái tételt Tétel Egy x vlós szá or és s or irrioális, h tizedestörtlj végtele, e szszos tizedes tört Eze észrevétel lpjá öye egdhtu irrioális száot Például 0,66666 tizedes tört (elye 6oso utá idig eggyel tö ös szerepel) iztos irrioális, hisze e lehet periodius (Bárilye hosszú periódust tételezé fel, szoszédos ösö szá előutó eél gyo lesz, és ez elrotj periodiitást) Más úto is ostruálhtu irrioális száot Tétel irrioális szá
I ALGEBRA Bizoyítás Idiret izoyítu Tegyü fel, hogy rioális szá Eor l írhtó, hol, pozitív egész száo, és zt is feltehetjü, hogy reltív príe (Azz tört e egyszerűsíthető) Az utolsó egyelet l oldlá páros szá áll, így és is páros szá H páros, or oszthtó gyel is Az egyelet jo oldlá tehát gyel oszthtó szá áll, így szüségéppe l oldl is oszthtó ell leie gyel H oszthtó gyel, or és is páros szá Elletodásr jutottu, hisze eor és e reltív príe Ez zt jeleti, hogy feltevésü his volt, tehát vló irrioális szá Más izoyítási lehetősége: A izoyítást töféleéppe is efejezhetjü Egyi ási lehetőség, h legutói egyelet ét oldlát l vló oszthtóság szepotjáól vizsgálju eg H l osztv 0 rdéot d, or l oldl rdé 0, és így jo oldl tehát is oszthtó ell leie l Elletodást pu, ert eor és e reltív príe, idettő töszöröse H pedig l osztv vgy rdéot d, or rdé, l oldl rdé, tehát jo oldl rdéá is e ell lei Ez lehetetle: égyzetszá l osztv e dht rdéot Végül egy hrdi ódszer, h észrevesszü, hogy egyelet l oldlá e pártl, íg jo oldlo páros itevőjű htváy áll Eor száelélet lptételével erülü elletodás Hsoló ódo igzolhtó, hogy ide oly lú szá is irrioális, hol z pozitív egész szá e égyzetszá péld Rioális és irrioális száo özötti űvelete Jelöljö rioális és x irrioális száot Dötsü el, hogy z lái száo özül elyi rioális, elyi irrioális! ) + x; ) x; ) x; d) ; e) x x Megoldás ) + x irrioális H ugyis + x rioális szá lee, or z x elletodásr jutá ) x irrioális, hsoló z ) része odotthoz ) H 0, or szorzt ull, tehát rioális H! 0, or x irrioális H ugyis x rioális szá lee, or z x elletodást pá d) H 0, or háydos ull, tehát rioális H! 0, or x irrioális H ugyis x! 0 rioális szá lee, or z x elletodásr jutá e) x irrioális, hsoló d) rész ásodi felée odotthoz Megállpíthtju: Egy irrioális és egy e zérus rioális szá összege, ülösége, szorzt és háydos idig irrioális szá péld Irrioális száo özötti űvelete Mutssu eg, hogy ét irrioális szá összege, ülösége, szorzt és háydos rioális és irrioális szá is lehet! Megoldás Elegedő egyegy példát du lehetséges esetere Két irrioális szá összege lehet rioális és lehet irrioális is (például x és y válsztássl x + (x)! Q és x + y! Q * ) Kivoásor helyzet hsoló: x x! Q és x y! Q * Szorzás és osztás eseté xy! Q és x! Q rioális száo, íg például z y 6 válsztássl, it öyye egutthtó, zx! Q * és x z! Q * irrioális