ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható. 1

1. Definiálja a metrikus teret! Legyen M. Az (M, ϱ) párt metrikus térnek nevezzük, ha ϱ: M M R és 1. ϱ(x, y) 0 ( x, y M), 2. ϱ(x, y) = 0 x = y, 3. ϱ(x, y) = ϱ(y, x) ( x, y M), 4. ϱ(x, y) ϱ(x, z) + ϱ(z, y) ( x, y, z M). Ahol ϱ a metrika, ϱ(x, y) az x és y távolsága. 2. Hogyan értelmeztük az (R n, ϱ 2 ) metrikus teret? (R n n, ϱ 2 ) metrikus tér, ahol ϱ 2 (x, y) := (x i y i ) 2. i=1 3. Fogalmazza meg a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenséget! a i, b i R i = 1,... n. Ekkor n a i b i n a 2 i n b 2 i. i=1 i=1 i=1 Egyenlőség b i = 0 i = 1,... n vagy λ R : a i = λb i i = 1,... n. 4. Irja le a normált tér definícióját! (X, ) normált tér, ha 1. X lineáris vektortér R felett, 2. : X R és i, x 0 ( x X), ii, x = 0 x = 0, iii, λx = λ x ( x X, λ R), iv, x + y x + y ( x, y X). 5. Definiálja R n -en a 2 (1 p + ) normát! 6. Hogyan értelmezzük az (R n, 2 ) normált térben egy pont környezetét? (R n, 2 ) normált tér, a R n, r > 0. K r (a) := {x R n : x a 2 < r} az a r-sugarú környezete vagy az a közepű r-sugarú nyílt gömb. 2

7. Mit jelent az, hogy egy (R n, 2 )-beli sorozat konvergens? (R n, 2 ) normált tér, (a k ): N R n vektorsorozat konvergens, ha α R n, ε > 0 k 0 N, k k 0 : a k α 2 < ε. Jelölés: α = lim a k. 8. Milyen ekvivalens állításokat ismer normált térbeli sorozat konvergenciájára? (R n, 2 ) normált tér, (a k ): N R n. Ekkor a következő tulajdonságok ekvivalensek: 1. (a k ) konvergens, 2. α R n, ε > 0 k 0 N, k k 0 : a k K ε (α), 3. α R n lim a k α 2 = 0. 9. Fogalmazza meg normált térbeli konvergens sorozatok alaptulajdonságait! (R n, 2 ) norrmált tér, (a k ): N R n. Ekkor 1. Ha (a k ) konvergens és lim a k = α, akkor i,! α, ii, (a k ) korlátos, iii, ν : N N indexsorozatra lim a ν(k) = α 2. ν 1, ν 2 : N N indexsorozat. Ha lim a ν1 (k) lim a ν2 (k), akkor (a k ) divergens. 10. Milyen műveleti tételeket ismer normált térbeli konvergens sorozatokra? (R n, 2 ) normált tér, (a k ), (b k ): N R n sorozatok konvergensek, α = lim a k, β = lim b k. Ekkor 1. (a k + b k ) is konvergens, és lim(a k + b k ) = α + β, 2. (λa k ) is konvergens, és lim(λa k ) = λα (λ R). 11. Hogyan jellemezhető R n -beli sorozat konvergenciája a koordinátasorozatokkal? Ekkor (a k ): N R n, a k = (a (1) k, a(2) k,..., a(n) k ) Rn. lim a k = α, k α = (α (1),..., α (n) ) R n lim a (i) k = α (i) ( i = 1,... n). k 12. Mit jelent az, hogy egy normált térbeli sorozat Cauchy-sorozat? (a k ): N R n Cauchy sorozat, ha ε > 0, k 0, k, l k 0 : a k a l < ε. 3

13. Milyen kapcsolat van normált térben a Cauchy-sorozatok és a konvergens sorozatok között? (a k ): N R n konvergens Cauchy sorozat. 14. Definiálja a torlódási pont fogalmát! A R n, a R n az A torlódási pontja, ha K(a) : K(a) \ {a} A. Jelölés: A a torlódási pontok halmaza. 15. Milyen ekvivalens állításokat ismer a torlódási pontról? a A K(a) : K(a) A végtelen halmaz a A (a k ): N A injektív sorozat: lim a k = a. 16. Definiálja a belső pont fogalmát! a R n belső pontja A R n -nek, ha K(a) A. 17. Mi a nyílt halmaz definíciója? A R n halmaz nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. 18. Milyen állításokat ismer zárt halmaz jellemzésére? A R n zárt A A, A R n zárt (a k ): N A konvergens sorozatra lim a k = α A. 19. Fogalmazza meg a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt! Ha az (a k ): N R n korlátos sorozat, akkor kiválasztható egy (a k ) ν = (a νk ) konvergens részsorozat. 20. Definiálja a normált terek közötti leképezések határértékét! f R n R m (n, m 1), a D f. f-nek határértéke a-ban, ha A R m, ε > 0 δ > 0, x K δ (a) \ {a} D f : f(x) K ε (A) A R m, ε > 0, δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε. 21. Definiálja a normált terek közötti leképezések pontbeli folytonosságát! f R n R m folytonos az a D f pontban, ha ε > 0 δ > 0, x K δ (a) D f : f(x) K ε (f(a)) ε > 0 δ > 0, x D f, x a < δ : f(x) f(a) < ε. Jelölés: lim f = A, f C(a). a 22. Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv? f R n R m, a D f. Ekkor f C(a) (x k ): N D f, lim x k = a : lim f(x k ) = f(a). 4

23. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről? Ha f R n R m folytonos függvény és D f korlátos és zárt, akkor R f is korlátos és zárt. 24. Mondja ki a Weierstrass tételt! Ha f R n R folytonos függvény, D f korlátos és zárt, akkor max f és min f. 25. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény inverzéről? Ha f R n R m folytonos függvény, D f korlátos és zárt, f injektív, akkor f 1 folytonos. 26. Definiálja az egyenletes folytonosságot! f R n R m függvény egyenletesen folytonos, ha ε > 0 δ > 0, x, y D f, x y < δ : f(x) f(y) < ε. 27. Mondja ki a Heine-tételt! Ha f R n R m függvény folytonos, D f korlátos és zárt, akkkor f egyenletesen folytonos. 28. Mi a kontrakció definíciója? X R n, f : X X kontrakció, ha 0 q < 1 : f(x) f(y) q x y ( x, y X). 29. Fogalmazza meg a Banach-féle fixpont-tételt! X R n, f : X X kontrakció, X zárt. Ekkor i, f-nek! fixpontja, azaz! x X : f(x ) = x, ii, Ha x 0 X tetszőleges, x n+1 := f(x n ), akkor (x n ): N X konvergens és lim x n = x, iii, x n x qn 1 q x 1 x 0 (n N). 30. Mit jelent az, hogy egy L: R n R m leképezés lineáris? L: R n R m lineáris leképezés, ha Jelölés: α(r n, R m ). L(αx + βy) = αl(x) + βl(y) ( x, y R n α, β R). 31. Milyen normát értelmeztünk lineáris leképezésekre? L α(r n, R m ) operátornormája L := sup{ L(h) : h 1}. 5

32. Milyen egyenlőtlenséget ismer lineáris leképezések normájára? L(h) L h (h R n ). 33. Írja le az f R n R m függvény pontbeli (totális) deriválhatóságának a definícióját! f R n R m deriválható az a int D f pontban, ha Ekkor L = f (a). L α(r n, R m ) : lim h 0 f(a + h) f(a) L(h) h = 0. 34. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra a lineáris közelítéssel? f R n R m, a int D f. f D(a) L α(r n, R m ), ε: R n R m, lim 0 ε = 0 : f(a+h) f(a) = L(h)+ε(h) h 35. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra mátrixokkal? f R n R m, a int D f. f D(a) A R m n f(a + h) f(a) Ah : lim = 0 h 0 h A R m n, ε: R n R m, lim ε = 0 : f(a + h) f(a) = Ah + ε(h) h. 0 Ekkor f (a) = A. 36. Milyen kapcsolat van a pontbeli deriválhatóság és folytonosság között? f (R n, R m ), a int D f. Ekkor i, f D(a) f C(a), ii, f D(a) f C(a). 37. A deriválhatóság és a koordináta függvények deriválhatósága közötti kapcsolat. f R n R m, a int D f, f = f 1. f m koordináta függvény. Ekkor f 1(a) f D(a) f i D(a) (i = 1,..., m) és f (a) =.. f m(a) 6

38. Adja meg a kompozíció függvény deriváltját! g R n R m, a int D g, g D(a), f R m R k, f D(g(a)), R g D f. Ekkor f g D(a) és (f g) (a) = f (g(a)) g (a). 39. Adja meg az R n R típusú függvény parciális deriváltjainak a fogalmát! f R n R, a int D f. Legyen F (t) := f(a + t e i ), t K(a) R, (e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0)). Ekkor f-nek parciális deriváltja az i-edik változó szerint az a pontban, ha F D(a) (F R R). A parciális derivált = F (a). Jelölés: δ i f(a) = F (a). 40. Milyen tételt ismer a deriváltmátrix előállítására? f 1 f R n R m, a int D f, f D(a), f =., ahol f i R n R koordináta függvények. Ekkor f m δ 1 f 1 (a), δ 2 f 1 (a),..., δ n f 1 (a) f δ 1 f 2 (a), δ 2 f 2 (a),..., δ n f 2 (a) (a) =. Rm n δ 1 f m (a), δ 2 f m (a),..., δ n f m (a) 41. Milyen elégséges feltételt ismer a totális deriválhatóságra a parciális deriváltakkal? f R n R, a int D f. Ha K(a) D f, hogy i, δ i f(x) x K(a) (i = 1,..., n), ii, δ i f C(a) akkor f D(a). ( i = 1,..., n), 42. Definiálja az iránymenti deriváltat! f R n R, a int D f, e R n egységvektor, azaz e = 1. Legyen F (t) := f(a + t e), ahol t K(a) R. Az f e iránymenti deriváltja létezik az a pontban, ha F D(0) (F R R). F (0) az iránymenti derivált. Jelölés: δ e f(a). 43. Milyen képletet ismer az iránymenti derivált kiszámolására? f R n R, a int D f. Ekkor f D(a) δ e f(a) e egységvektor esetén, és δ e f(a) = f (a) e, 7

44. Mit jelent az, hogy egy függvény kétszer deriválható egy pontban? f R n R, a int D f. Ekkor f kétszer deriválható (f D 2 (a)), ha i, K(a) D f : f D(K(a)), ii, δ i f D(a) i = 1,..., n. 45. Mit jelent az, hogy egy függvény s + 1-szer deriválható egy pontban? f R n R, a int D f. Ekkor f (s + 1)-szer deriválható a-ban ha i, K(a), hogy f D (s) (K(a)), ii, Minden s-edrendű parciális derivált δ i1 δ i2... δ is f D(a). Jelölés: f D (s+1) (a). 46. Fogalmazza meg a Young-tételt! f R n R, f D 2 (a). Ekkor δ i δ j f(a) = δ j δ i f(a) (i, j = 1,..., n). 47. Adja meg a Taylor-polinom definícióját! f R n R, f D m (a). Az f m-edik Taylor-polinomja: m T m f(x) = T m f(a + h) = f(a) + k=1 i =k δ i f(a) h i. i! 48. Milyen képletet ismer az elsősfokú n változós Taylor-polinomra? T 1,a f(h) = f(a) + n δ j f(a) h j. j=1 49. Milyen képletet ismer a másodfokú n változós Taylor-polinomra? T 2,a f(h) = f(a) + n ( n δ j f(a) h j + δ kl f(a) h k h l + n ) δ ssf(a) h 2 2 s. j=1 k=1 l=1 k l s=1 50. Fogalmazza meg a Taylor-formulát a Lagrange-féle maradéktaggal f R n R, f D m+1 (K(a)). Ekkor h R n, a + h K(a), ν (0, 1) : m δ i f(a) f(a + h) = f(a) + h i + δ i f(a + νh) h i. k=1 i! i! i =k i =m+1 }{{} T mf(a+h) 51. Fogalmazza meg a Taylor-formulát a Peano-féle maradéktaggal! f R n R, f C m (a). Ekkor ε: R n R, lim 0 ε = 0 : f(a + h) = f(a) + m k=1 i =k δ i f(a) i! h i + ε(h) h m ( h K(a)). 8

52. Adja meg a kvadratikus alak definícóját! Legyen A R n n szimmetrikus. Ekkor Q(h) = A h, h = kvadratikus alaknak nevezzük. n n i=1 j=1 a i,j h j h i függvényt 53. Mit jelent az, hogy egy kvadratikus alak pozitív(negatív definit)? A R n n. Az A Q kvadratikus alakja pozitív (negatív) definit, ha Q(h) > 0 (Q(h) < 0) h R n \ {0}. 54. Mit jelent az, hogy egy kvadratikus alak pozitív (negatív) szemidefinit? A R n n. Az A Q kvadratikus alakja pozitív (negatív) szemidefinit, ha Q(h) 0 (Q(h) 0) h R n. 55. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer arra vonatkozóan, hogy egy kvadratikus alak pozitív definit legyen? (Sylvester-kritérium) Legyen a 1,1,..., a 1,n A =.. Rn n a n,1,..., a n,n a 1,1,..., a 1,i szimmetrikus, és legyen i := det... a i,1,..., a i,i Ekkor A pozitív definit i > 0 i = 1,..., n. 56. Milyen szükséges és elégseges feltételt ismer arra vonatkozóan, hogy egy kvadratikus alak negatív definit legyen? (Sylvester-kritérium) Legyen a 1,1,..., a 1,n A =.. Rn n a n,1,..., a n,n a 1,1,..., a 1,i szimmetrikus, és legyen i = det... a i,1,..., a i,i Ekkor A negatiív definit 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,.... 57. Milyen egyenlőtlenség biztosítja, hogy egy kvadratikus alak pozitív legyen? Q pozitív definit m > 0 : Q(h) m h 2 (h R n ). 58. Milyen egyenlőtlenség biztosítja, hogy egy kvadratikus alak negatív legyen? Q negatív definit M < 0 : Q(h) M h 2 (h R n ). 9

59. Fogalmazza meg az R n R típusú függvény lokális szélsőértékére vonatkozó elsőrendű szükséges feltételt! f R n R, a int D f, f D(a), f-nek lokális szélsőértéke van a-ban. Ekkor f (a) = 0. 60. Fogalmazza meg az R n R típusú függvény lokális szélsőértékére vonatkozó másodrendű elégséges feltételt! f R n R, f C 2 (a). Ha f (a) = 0 és f (a) pozitív (negatív) definit, akkor f-nek lokális minimuma (maximuma) a-ban. 61. Fogalmazza meg az R n R típusú függvény lokális szélsőértékére vonatkozó másodrendű szükséges feltételt! f R n R, f C 2 (a). Ha f-nek lokális minimuma (maximuma) van a-ban, akkor f (a) = 0 és f (a) pozitív (negatív) szemidefinit. 62. Fogalmazza meg a paraméteres integrál tételét! Legyen U R n nyílt, I = [a, b] R zárt, és f : U I R (f R n+1 R) folytonos. Ekkor i, ϕ folytonos U-n. ii, Ha δ i f, és folytonos U-n, akkor δ i ϕ és folytonos U-n a és δ i ϕ(x) = (x U). 63. Mi az alsó közelítő összeg definíciója? f : I R korlátos, I korlátos és zárt intervallum. Ekkor s(f, τ) := J τ inf J f µ(j) az alsó közelítő összeg, ahol τ F(I) és µ(i) = (b 1 a 1 )... (b n a n ). b a δ i f(x, t)dt 64. Mi a felső közelítő összeg definíciója? f : I R korlátos, I korlátos és zárt intervallum. Ekkor S(f, τ) := J τ sup f µ(j) J a felső közelítő összeg, ahol τ F(I) és µ(i) = (b 1 a 1 )... (b n a n ). 65. Milyen viszony van az alsó és felső közelítő összegek között? τ, σ F(I), akkor s(f, τ) S(f, σ). 66. Mi a Darboux-féle alsó integrál definíciója? I f := sup s(f, τ) az alsó Darboux-féle integrál. τ F(I) 10

67. Mi a Darboux-féle felső integrál definíciója? I f := inf S(f, τ) az felső Darboux-féle integrál. τ F(I) 68. Mikor nevez egy függvényt (Riemann)-integrálhatónak? f : I R korlátos függvény integrálható (f R(I)), ha I f = I f. Jele: I f = f. I 69. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények összegével kapcsolatban tanult tétel? f, g : I R korlátos, f, g R(I). Ekkor f + g R(I) és f + g = f + g. I I I 70. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények szorzatával kapcsolatban tanult tétel? f, g : I R korlátos, f, g R(I). Ekkor fg R(I). 71. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények hányadosával kapcsolatban tanult tétel? f, g : I R korlátos, f, g R(I). Ekkor ha g(x) m > 0 x I-re, akkor f g R(I). 72. Mi a kapcsolat a folytonosság és a Riemann-integrálhatóság között? 73. Mit ért azon, hogy a Riemann-integrál az integrandusban monoton? 74. Mi az integrálszámítás középértéktétele? 75. Fogalmazza meg a szukcesszív integrálásról szóló tételt! 76. Mi a normáltartomány definíciója? [a, b] R korlátos és zárt, ϕ, ψ : [a, b] R folytonos, ϕ(x) ψ(x) x [a, b]-re. A H = {(x, y): a x b, ϕ(x) y ψ(x)} halmazt normáltartománynak nevezzük. 77. A normáltartományon való integrálás szabálya.) H R 2 normáltartomány, f : H R folytonos. Ekkor H b ( ψ(x) ) f = f(x, y)dy dx. a ϕ(x) 11

78. Mondja ki az integráltranszformációról tanult tételt! U, V R n korlátos halmazok, U nyílt, ϕ: U V folytonosan differenciálható bijekció, és det ϕ 0 U-n. f : V R folytonos. Ekkor V f = (f ϕ) det ϕ. U 12