Az analízis alkalmazásai a közgazdaságtanban Virincsik Réka Matematika BSc, elemz szakirány Szakdolgozat Témavezet : Valkó Éva PhD hallgató Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest, 2017.
Tartalomjegyzék 1. Fogalmi áttekintés, felhasznált tételek, deníciók 1 1.1. Egyváltozós függvények.......................... 1 1.2. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata................................. 3 1.3. A dierenciálható függvények vizsgálata................ 4 2. Mikroökonómia 8 2.1. Kereslet.................................. 8 2.1.1. Kereslet árelaszticitása...................... 10 2.2. Kínálat................................... 11 2.2.1. Kínálat árelaszticitása...................... 12 2.3. Derivált a közgazdaságtanban...................... 13 2.3.1. Határköltség, határkereslet, határprot............. 14 2.3.2. Prot maximalizálás....................... 15 2.3.3. Bevételi függvény vizsgálata................... 17 2.4. A piaci egyensúly-marshall kereszt................... 20 2.4.1. Piaci egyensúly.......................... 21 2.4.2. Fogyasztói többlet, összes árbevétel............... 22 3. Többváltozós függvények 24 3.1. Kétváltozós függvények.......................... 24 3.2. Többváltozós függvények......................... 26 3.3. Parciális deriváltak............................ 27 3.3.1. Termelési függvény........................ 29 3.4. Kétváltozós széls érték-keresés...................... 30 3.4.1. Költség minimalizálása...................... 32 3.4.2. Bevétel maximalizálása...................... 33 3.4.3. Feltételes széls érték-keresés................... 35 3.4.4. Feltételes széls érték-keresés egy feltétellel........... 36 3.4.5. Feltételes széls érték-keresés két feltétellel........... 38 3.5. Parciális és helyettesítési elaszticitás................... 40 Irodalomjegyzék 43 I
Bevezetés Szakdolgozatom célja bemutatni az analízis néhány gyakorlati alkalmazását a közgazdaságtanban, azon belül is els sorban a mikroökonómiában. Mivel a téma teljes bemutatására nem lenne elegend egyetlen szakdolgozat, így csak néhány, számomra érdekesebb területet és alkalmazást érintek. Az els fejezetben a felhasznált deníciók és tételek áttekintéséhez Laczkovich Miklós és T. Sós Vera Analízis I. és II. cím könyveit [1] [2], valamint Sikolya Eszter analízis jegyzetét [3] vettem segítségül. A második fejezetben a gyakorlatra helyezem a hangsúlyt. El ször ismertetem a matematikai számításokhoz szükséges gazdasági hátteret, melyeket els sorban Knut Sydsæter, Peter I. Hammond: Matematika közgazsászoknak cím [4] könyvéb l és Farkasné Fekete Mária, Molnár József: Közgazdaságtan I. Mikroökonómia jegyzetéb l [5] sajátítottam el. Majd az alfejezeteken belül több gyakorlati példán keresztül mutatom be ezek alkalmazását, valamint az egyváltozós analízis gyakorlati szerepét. Hozok példát keresleti, kínálati függvényekre, azok elaszticitására. A két függvény együttes ábrázolásából levonható összefüggések segítségével számolok fogyasztói többletet, teljes árbevételt és piaci egyensúlyt. Szemléltetem a deriválás hasznosságát határbevétel, határkereslet, határprot meghatározásával és egy bevétel függvény teljes vizsgálatával, valamint prot és bevétel maximalizálásával. A harmadik fejezetben a többváltozós analízis felhasználásának segítségével újabb példákon szemléltetem az analízis hasznosságát és fontosságát. Széls érték példákon keresztül mutatok gazdasági optimalizálási feladatokat, például költség függvény minimalizálást és keresleti függvény maximalizálást. Lagrange-féle multiplikátor módszerrel egy, valamint két korlátozó feltétel mellett hasznossági függvények széls értékét keresem meg. Számolok határtermelékenységet egy Cobb-Douglas féle termelési függvényen. Végül bevezetem a parciális és a helyettesítési elaszticitást, melyekre keresleti és termelési függvényeken keresztül mutatok példát. II
Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Valkó Évának a sok türelmet és biztatást. Köszönöm, hogy kitartott mellettem és mindvégig támogatott. Hálás vagyok, hogy szakértelmével jelent sen hozzájárult szakdolgozatom elkészüléséhez. Továbbá köszönöm családomnak és barátaimnak, hogy mindig mellettem álltak és segítették tanulmányaimat. III
1. fejezet Fogalmi áttekintés, felhasznált tételek, deníciók Az els fejezetben egy görbe adott pontbeli meredekségét, azaz deriváltját vezetem be és a hozzátartozó tételeket, deníciókat. Megmutatom, hogyan alkalmazható az egyváltozós analízis a függvények széls érték keresésére és teljes függvényvizsgálatára. 1.1. Egyváltozós függvények Ha egy f függvény értelmezve van az a és b pontokban, akkor az f(b) f(a) b a hányadost az f függvény a és b helyekhez tartozó különbségi hányadosnak, vagy latin szóval dierenciahányadosnak nevezzük. Világos, hogy az (f(b) f(a))/(b a) dierenciahányados megegyezik az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokon ámen egyenes meredekségével. Sok esetben a b a = h jelöléssel az a és b = a + h helyekhez tartozó dierenciahányadost f(a + h) f(a) h alakban írjuk. 1.1.1. Deníció. Legyen f értelmezve az a pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban dierenciálható, ha a f(x) f(a) lim x a x a véges határérték létezik. A határérték az f függvény a pontbeli dierenciálhányadosa vagy deriváltja. 1
1.1.2. Deníció. Legyen f dierenciálható az a pontban. A graph f függvénygra- kon (a, f(a)) pontbeli érint jén az y = f (a) (x a) + f(a) egyenlet egyenest értjük. Az f (a) dierenciálhányados szemléletes jelentése tehát a graph f grakon (a, f(a)) pontbeli érint jének meredeksége. 1.1.3. Deníció. Az y = f(x) függvényt értelmezési tartománya egy bels c pontjában folytonosnak nevezzük, ha lim f(x) = f(c). x c Az y = f(x) függvényt értelmezési tartománya bal oldali a, illetve jobb oldali b végpontjában folytonosnak nevezzük, ha lim x a x b f(x) = f(a), illetve ha lim f(x) = f(b). + Az f(x) függvény az x = c helyen pontosan akkor folytonos, ha az alábbi feltételek mindegyik teljesül: (1.) az f(c) létezik, vagyis a c eleme f értelmezési tartományának, (2.) lim x c f(x) létezik, (3.) lim x c f(x) = f(c). 1.1.4. Deníció. Ha a f(x) f(a) lim x a+0 x a véges határérték létezik, ezt az f függvény a-beli jobb oldali dierenciálhányadosának (vagy deriváltjának) nevezzük. Analóg módon értlemezzük a bal oldali dierenciálhányadost. A a pontbeli jobb oldali dierenciálhányadost f +(a)-val, a bal oldali dierenciálhányadost f (a)-val jelöljük. 1.1.5. Megjegyzés. Az f függvény akkor és csak akkor dierenciálható a-ban, ha f jobb- és bal oldali dierenciálhányadosa is létezik a-ban és f +(a) = f (a) = f (a). 1.1.6. Tétel. Ha f dierenciálható c pontban, akkor f folytonos c-ben. Bizonyítás. Az alapján, hogy f dierenciálható, létezik f (c). Belátjuk, hogy lim x c f(x) = f(c). Mivel adódik, hogy f(x) f(c) lim f(x) f(c) = lim (x c) = f (c) 0, x c x c x c lim f(x) = f(c). x c 2
1.1.7. Megjegyzés. A folytonosság a dierenciálhatóságnak szükséges, de nem elégséges feltétele. Van olyan függvény, amely egy c pontban folytonos, de ott nem dierenciálható, tehát a tétel nem fordítható meg. Példa (Folytonos, de nem dierenciálható függvény) Tekintsük az f(x) = x függvényt a c = 0 pontban: { x ha x 0 f(x) = x ha x < 0. Az függvény c = 0 ponthoz tartozó különbséghányadosa: f(x) f(0) x 0 = x 0 x 0 = x x = { 1 ha x > 0 1 ha x < 0. A 0 ponthoz tartozó különbséghányadosnak nincs határértéke 0-ban, ugyanis f(x) f(0) lim x 0+ x 0 f(x) f(0) = 1 és lim x 0 x 0 = 1, azaz a bal- és jobboldali határértékek nem egyenl ek, ezért az f függvény nem dierenciálható 0-ban. 1.2. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata 1.2.1. Deníció. Az f függvény lokálisan növ (fogyó) a-ban ha K(a) D(f), hogy x 1, x 2 K(a), x 1 < a < x 2 esetén f(x 1 ) < f(a) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(a) > f(x 2 )). 1.2.2. Tétel. Ha f dierenciálható a-ban, és f az a pontban lokálisan növ (fogyó), akkor f (a) 0 (f (a) 0). 1.2.3. Tétel. Ha f dierenciálható a-ban és f (a) > 0 (f (a) < 0), akkor f szigorúan lokálisan növ (fogyó) az a pontban. 1.2.4. Deníció. Legyen f : R R, a int D(f). Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban lokális minimuma van (vagy a lokális minimumhelye f- nek), ha K(a), hogy x K(a) esetén f(x) f(a). Szigorú lokális minimum akkor van, ha x K(a), x a esetén f(x) > f(a). Értelemszer változtatással kapjuk a lokális maximum (vagy lokális maximumhely) és a szigorú lokális maximum fogalmát. Ezek közös elnevezése a széls érték. 3
1.2.5. Tétel. Ha f dierenciálható a-ban, és az f függvénynek lokális széls értéke van az a pontban, akkor f (a) = 0. 1.2.6. Deníció. Legyen I R, f : I R. Azt mondjuk, hogy f konvex, ha grakonjának bármely két pontját összeköt szakasz a grakon felett helyezkedik el. konkáv, ha grakonjának bármely két pontját összeköt szakasz a grakon alatt helyezkedik el. 1.2.7. Tétel. Ha f folytonos [a, b]-ben és dierenciálható (a, b)-ben továbbá f'(a)=0 minden x (a, b)-re, akkor az f függvény konstans [a, b]-ben. 1.3. A dierenciálható függvények vizsgálata 1.3.1. Tétel. Legyen f folytonos [a, b]-ben és dierenciálható (a, b)-ben. (i) f akkor és csak akkor monoton növeked (illetve monoton csökken ) [a, b]-ben, ha f (x) 0 (illetve f (x) 0) minden x (a, b)-re. (ii) f akkor és csak akkor szigorúan monoton növ (illetve szigorúan monoton csökken ) [a, b]-ben, ha f (x) 0 (illetve f (x) 0) minden x (a, b)-re és ha [a, b]-nek nincs olyan részintervalluma, amelyen f azonosan 0. 1.3.2. Megjegyzés. A fenti tétel segítségével egy tetsz leges dierenciálható függvény lokális és abszolút széls értékeit kereshetjük akkor is, ha a függvény nem egy korlátos és zárt intervallumon van értelmezve. Ugyanis a derivált el jeléb l megállapíthatjuk, hogy a függvény mely intervallumokon n és mely intervallumokon csökken, és ez általában elegend információt ad a széls érték megkereséséhez. 1.3.3. Tétel. Legyen f dierenciálható az a pont egy környezetében. (i) Ha f (a) = 0 és f lokálisan növeked (illetve lokálisan csökken ) az a helyen, akkor az a pont f-nek lokális minimumhelye (illetve maximumhelye). (ii) Ha f (a) = 0 és f szigorúan lokálisan növeked (illetve szigorúan lokálisan csökken ) az a helyen, akkor az a pont f-nek szigorú lokális minimumhelye (illetve szigorú lokális maximumhelye). 4
1.3.4. Tétel. Legyen f kétszer dierenciálható a-ban. Ha f (a) = 0 és f (a) > 0, akkor f-nek a-ban szigorú lokális minimuma van. Ha f (a) = 0 és f (a) < 0 akkor f-nek a-ban szigorú lokális maximuma van. 1.3.5. Tétel. Legyen f dierenciálható az I intervallumban. (i) Az f függvény akkor és csak akkor konvex (illetve konkáv) I-ben, ha f monoton növeked (illetve csökken ) I-ben. (ii) Az f függvény akkor és csak akkor szigorúan konvex (illetve szigorúan konkáv) I-ben, ha f szigorúan monoton növeked (illetve szigorúan monoton csökken ) I-ben. 1.3.6. Tétel. Legyen f dierenciálható az I intervallumban. Az f függvény akkor és csak akkor konvex I-ben, ha bármely a I-re az f függvény grakonja az a pontban húzott érint felett halad, azaz f(x) f (a) (x a) + f(a) teljesül minden a, x I esetén. 1.3.7. Tétel. Legyen f dierenciálható az I intervallumban. Az f függvény akkor és csak akkor konkáv I-ben, ha bármely a I-re az f függvény grakonja az a pontban húzott érint alatt halad, azaz f(x) f (a) (x a) + f(a) teljesül minden a, x I esetén. 1.3.8. Tétel. Legyen f kétszer dierenciálható I-ben. Az f függvény akkor és csak akkor konvex (illetve konkáv) I-ben, ha f (x) 0 (f (x) 0) minden x I-re. 1.3.9. Deníció. Azt mondjuk, hogy az a pont az f függvénynek inexiós pontja, ha f-nek létezik a (véges vagy végtelen) deriváltja a-ban, és van olyan δ > 0, hogy f konvex (a δ, a]-ban és konkáv [a, a + δ)-ban, vagy fordítva. 1.3.10. Tétel. Ha f kétszer dierenciálható a-ban, és f-nek a-ban inexiós pontja van, akkor f (a) = 0. 5
Bizonyítás. Ha f konvex (a δ, a]-ban, akkor ott f monoton növeked ; ha konkáv [a, a+δ)- ban, akkor ott f monoton csökken. Tehát f -nek a-ban lokális maximumhelye van, így f (a) = 0. Ha f konkáv (a δ, a]-ban, akkor ott f monoton csökken ; ha konvex [a, a+δ)- ban, akkor ott f monoton növekv. Tehát f -nek a-ban lokális minimumhelye van, így f (a) = 0. 1.3.11. Tétel. Legyen f kétszer dierenciálható az a pont egy környezetében. Annak, hogy a-ban f-nek inexiós pontja legyen (i) szükséges feltétele, hogy f (a) = 0 teljesüljön; (ii) elégséges feltétele, hogy f el jelet váltva legyen nulla az a pontban, azaz, hogy f (a) = 0 teljesüljön, továbbá f lokálisan növeked vagy lokálisan csökken legyen a-ban. 1.3.1. Következmény. Legyen f háromszor dierenciálható a-ban. Ha f (a) = 0 és f (a) 0, akkor f-nek inexiós pontja van a-ban. Teljes függvényvizsgálat lépései (1) Alaptulajdonságok megállapítása: Értelmezési tartomány vizsgálata Szimmetria tulajdonságok vizsgálata Folytonosság vizsgálata Dierenciálhatóság vizsgálata Tengelymetszetek meghatározása (2) Vizsgálatok az els derivált alapján: Monotonitási intervallumok meghatározása Széls értékek keresése (3) Vizsgálatok a második derivált alapján: Konvexitási intervallumok meghatározása Inexiós pontok keresése (4) A függvény határértékei Az értelmezési tartomány végpontjaiban (vagy ± ) 6
A függvény szinguláris pontjaiban és szakadási helyeinél (5) A derivált határtértékei Ahol f folytonos, de nem dierenciálható Ahol f nem folytonos, de létezik legalább féloldali véges határtérték (5) Aszimptoták Vízszintes aszimptota van, ha lim f(x) = c, vagy x c R lim f(x) = c, ahol x Függ leges aszimptota, ahol lim x x0 f(x) = ± (elég, ha az egyoldali határtérték végtelen) f(x) Ferde aszimptota, ha lim f(x) = ± és lim = m, m R. Ekkor x ± x x az aszimptota egyenlete: y = mx + lim (f(x) mx) x ± (6) Ábrázolás (7) Értékkészlet leolvasása 7
2. fejezet Mikroökonómia Ez a fejezet a piac alapvet m ködési mechanizmusának a megértésére szolgál. El ször ismertetem a keresleti és kínálati függvényeket és az árrugalmasságukat, majd az általuk modellezett összefüggéseket és az együttes ábrázolásukból levonható következtetéseket. Végül kitérek a piaci egyensúly, egyensúlytalanság, piaci többlet, hiány fogalmára és gazdasági példákkal bemutatom ezek felhasználási lehet ségeit. 2.1. Kereslet 2.1.1. Deníció. Kereslet (D) alatt azt az árumennyiséget értjük, amelyet a vásárlók adott árak mellett megvásárolnak. Egy termék kereslete nagyon sok tényez t l függ, de ebben a fejezetben csak egy tényez változásának a hatását vizsgáljuk, így feltételezzük, hogy más befolyásoló mennyiségek nem változnak (ceteri paribus elve). A keresleti függvény minden lehetséges árhoz hozzárendeli az árhoz tartozó keresett mennyiséget. Matematikai formában: Q = D(P ), ahol P egy termék ára, és Q a keresett mennyiség. A keresleti függvény a legtöbb termék esetében negatív meredekség a keresleti törvény miatt, amely kimondja, hogy egy termék árának csökkentése esetén a kereslet n az adott termék iránt, és fordítva. A keresleti függvény meredeksége: m = Q P. Az inverz keresleti függvény és ennek mereseksége: P = D 1 (Q), m = P Q. 8
Egy-egy termék keresleti függvényének ismerete rendkívül fontos, de nem elég. A probléma onnan ered, hogy a keresletnek az árváltozástól való függését, a termék iránti keresletet és az árat ugyanazzal a mértékkel mérjük. A nehézségek kiküszöbölése érdekében relatív változásokat használunk. Azt vizsgáljuk, hogy hány százalékkal változik a kereslet, ha az ár 1%-kal n. Az így kapott értéket a kereslet árrugalmasságának vagy árelaszticitásának nevezzük, ami független lesz attól, hogy milyen mértékkel mértük a kereslet mennyiségét és a termék árát. A kereslet árrugalmassága(ε) (árelaszticitása) azt fejezi ki, hogy egy százalékos árváltozás esetén hány százalékkal változik a termék iránti keresett mennyiség. A kereslet árrugalmassága többféleképpen számítható ki, ezek közül a leggyakoribb a pontrugalmasság. A kereslet árrugalmassága egy adott P pontban: ε(p ) = Vegyük a termék iránti kereslet függvényét: P dd(p ) D(P ) dp. Q = D(P ), majd változtassuk az árat P -vel, tehát (P + P )-re, ekkor a termék iránti kereslet szintén megváltozik. Q abszolút változása: Q = D(P + P ) D(P ) Q D(P + P ) D(P ) Q relatív változása: = Q D(P ) A pontrugalmasság a keresett mennyiség relatív változásának és az ár relatív változásának a hányadosa, azaz ε(p ) = Q Q P P = P Q Q P = P D(P ) D(P + P ) D(P ). P Az ár egy százelékkal n, ha P = P Q, ekkor az el z képlet bal oldalán 100 100 Q áll, ami a kereslet mennyiségének százalékos megváltozását jelenti. A P D(P + P ) D(P ) D(P ) P hányadost a Q átlagos elaszticitásának nevezzük a [P, P + P ] intervallumon. Az elöbbiekben deniált szám függ a P árváltozástól és a P ártól is, de egységmentes, tehát nem számít, hogy a termék mennyiséget kilógrammban, vagy tonnában mérjük és hogy az ár forintban vagy euróban van-e megadva. A keresleti függvény elaszticitását egy adott pontban úgy szeretnénk deniálni, hogy az független legyen P megváltozásától. Ez akkor lehetséges, ha D dierenciálható függvény. Deniáljuk D-nek a P pontban vett elaszticitását a P D(P + P ) D(P ) D(P ) P 9
hányados határértékeként, ahol P tart 0-hoz. Mivel a [D(P + P ) D(P )] P különbségi hányados D (P )-hez tart, ha P tart 0-hoz, azt kapjuk, hogy a keresleti függvény, D(P ) P -beli elaszticitása ε(p ) = P dd(p ) D(P ) d(p ). Az árrugalmasság általában negatív, hiszen az ár növelése a keresett mennyiség csökkentését idézi el. Az ε értékét l függ en 5 esetet különböztetünk meg. 1. Ha ε = 0, akkor a kereslet tökéletesen rugalmatlan. 2. Ha 0 < ε < 1, akkor a kereslet rugalmatlan. 3. Ha ε = 1, akkor egységnyi rugalmasságú keresetr l beszélunk. 4. Ha ε > 1, akkor rugalmas a kereslet. 5. Ha a derivált nem létezik akkor tökéletesen rugalmas a kereslet. 2.1.1. Kereslet árelaszticitása Példa (Kereslet árelaszticitás) Egy termék keresleti függvénye S(P ) = lnp e 2P 2P 2 P [1, ), ahol P a termék ára. Mi a keresleti függvény árelaszticitása? Állapítsuk meg, hogy ha a termék árát 50 Ft-ról 1%-kal növeljük, hány %-os változást idéz ez el a keresett mennyiségben? Megoldás: A keresleti függvény árrugalmassága adott P pontban: A keresleti függvény deriváltja: ds(p ) dp ε(p ) = P ds(p ) S(P ) dp. = ( 1 P e 2P 2lnP e 2P )2P 2 lnp e 2P 4P 4P 4. Ebb l a fenti összefüggéseket felhasználva az elaszticitás függvénye: ε(p ) = 1 P ( P e 2P 2lnP e 2P )2P 2 lnp e 2P 4P. 4P 4 2P 2 lnp e 2P 10
Összevonások és egyszer sítések után adódik, hogy ε(p ) = 1 P lnp 2 2 P. Mivel a termék árát P = 50 Ft-ról változtatjuk, így ε(50) = 1 50ln50 2 2 50 = 2, 03. Tehát a termék iránti kereslet, ha a termék árát növeljük 1%-kal, akkor 2.03%-kal csökken. A kereslet rugalmas. 2.2. Kínálat 2.2.1. Deníció. Kínálaton (S) azt a meghatározott mennyiség árutömeget értjük, amelyet az árutermel k valamely piacon adott áron eladásra felkínálnak. Egy függvény kínálata több tényez t l függ, akárcsak a keresleté, de szintén csak egy tényez, az ár változásának a hatását vizsgáljuk. A kínálati függvény megmutatja, hogy a termel k a különböz árak mellett milyen árumennyiségeket kínálnak eladásra a piacon. Matematikai formában: Q = S(P ), ahol P egy termék ára, Q a kínált árumennyiség. A kínálati függvény a legtöbb termék esetében monoton növ, vagyis az ár emelkedésével a kínált mennyiség is n. A kínálat árrugalmassága(ε) (árelaszticitása) megmutatja, hogy az adott termék árának 1 százalékos változása mekkora változást idéz el a kínált mennyiségben. A kínálat árrugalmassága egy P pontban a következ képpen értelmezhet : ε(p ) = P ds(p ) S(P ) dp. A kínálat rugalmassága a kereslet rugalmasságához hasonlóan csoportosítható: 1. Ha ε = 0, akkor a kínálat tökéletesen rugalmatlan. 2. Ha 0 < ε < 1, akkor a kínálat rugalmatlan. 3. Ha ε = 1, akkor egységnyi rugalmasságú kínálatról beszélunk. 4. Ha ε > 1, akkor rugalmas a kínálat. 5. Ha a derivált nem létezik akkor tökéletesen rugalmas a kínálat. 11
Példa (Kínálati függvény meghatátozása) Egy lyukas csokoládé kínálatáról annyit tudunk, hogy P = 0 ár esetén Q = 1000 darab lyukas csokoládét állítanak el és visznek piacra a vállalatok, míg P = 500 ár esetén Q = 66000 darabot. Mi a lyukas csokoládé piaci kínálati függvényének (Q S ) egyenlete? Megoldás: A kínálat lineáris függvénnyel jellemezhet egy P (ár)-q(mennyiség) deréksz g koordinátarendszerben. A függvény 1000-nél metszi a Q a tengelyt, meredeksége pedig: m = 66000 1000 500 = 130, azaz a keresett kínálati függvény egyenlete: Q S = 130P + 1000. 2.2.1. Kínálat árelaszticitása Példa (Kínálat árelaszticitás) A fagylalt kínálati függvénye S(P ) = 14 + 0,2P ahol P a termék ára. Mi a kínálati függvény árelaszticitása? Állapítsuk meg, hogy ha a termék árát 150 Ft-ról 1%-kal növeljük, hány %-os változást idéz ez el a kínált mennyiségben? Megoldás: A kínálati függvény árrugalmassága adott P pontban: ε(p ) = P ds(p ) S(P ) dp. A fenti összefüggés alapján az elaszticitás függvénye: ε(p ) = P 14 + 0,2P 0,2. Vizsgáljuk a függvényt P = 150 Ft-os fagylalt ár mellett: ε(150) = 150 0,2 = 1,875. 14 + 0,2 150 Ez azt jelenti, hogy ezen ár egy százalékos növekedésének hatására az eladni kívánt mennyiség 1,875%-os növekedésére számíthatunk. A kínálat rugalmas. 12
2.3. Derivált a közgazdaságtanban Tökéletes verseny alakul ki egy termék piacán, ha sok kis eladó és kis vev van. Ekkor egyik jük sem képes egyedül befolyásolni a piacot. Nagy számuk miatt megegyezni nem tudnak, s ha valamelyikük felemelné az árat, nem vásárolnának t le, ha valamelyikük csökkentené, a piac elnyelné a kínálatát, de annak kis mértéke miatt nem befolyásolná az egész piacot. A tökéletes versenyben tehát a piaci szerepl k számára az ár küls adottság. 2.3.1. Deníció. Költségnek (C) nevezzük a termelés során felmerül kiadásokat. 2.3.2. Deníció. Bevételnek (R) nevezzük az áruk értékesítése során befolyó jövedelmet. 2.3.3. Deníció. Összköltségnek (T C) nevezzük a termelés során felmerül összes kiadást. 2.3.4. Deníció. Teljes bevételnek (T R) nevezzük a termelésb l származó összes bevételt. Tökéletes verseny esetén az eladott mennyiség és a piaci ár szorzata: T R = P Q, ahol P a termék ára, Q az eladott termék mennyisége. 2.3.5. Deníció. Átlagbevételnek (AR) nevezzük az egy termékegységre jutó átlagos bevételt. A bevétel és az eladott mennyiség hányadosa: AR = T R Q. 2.3.6. Deníció. Átlagköltségnek (AC) nevezzük az egy termékmennyiségre jutó átlagos költséget. A kiadás és az el állított mennyiség hányadosa: AC = T C Q. 2.3.7. Megjegyzés. A közgazdászok gyakran használják a derivált elnevezés helyett a határ (margin) kifejezést. 2.3.8. Deníció. A határbevétel (M R) megmutatja, hogy hogyan változik az összbevétel, ha a termelést egy egységgel növeljük: MR(Q) = dt R dq (Q). 13
2.3.9. Deníció. A határköltség (M C) megmutatja hogyan változik az összköltség ha a termelést egy egységgel növeljük: MC(Q) = dt C dq (Q). 2.3.10. Deníció. Protnak (π) nevezzük a vállakozásból származó bevételek és a termelés során felmerül költségek különbségét: π(q) = T R(Q) T C(Q). 2.3.11. Deníció. A határprot (Mπ) megmutatja hogyan változik a prot, ha a termelést egy egységgel növeljük: Mπ(Q) = dπ (Q) = MR(Q) MC(Q). dq 2.3.1. Határköltség, határkereslet, határprot Példa (Határköltség, határkereslet, határprot meghatározása) Határozzuk meg a határköltséget, határbevételt, határprotot megadó függvényeket, ha a teljes bevételt leíró függvény T R(Q) = 100Q 2 e Q, míg az összeköltséget leíró függvény T C(Q) = Q 2 + 2Q + 3, adott Q 0 mennyiség esetén! Megoldás: Határbevétel: A teljes bevétel függvényének deriváltja: MR(Q) = dt R dq (Q) = 100(2Q e Q Q 2 e Q ). Határköltség: Az összköltség függvény deriváltja: MC(Q) = dt C (Q) = 2Q + 2. dq Prot: A bevétel és a költség különbsége: π(q) = T R(Q) T C(Q) = 100Q 2 e Q (Q 2 + 2Q + 3). Határprot: A prot függvényének deriváltja: Mπ(Q) = dπ dq (Q) = 100(2Q e Q Q 2 e Q ) (2Q + 2). 14
2.3.2. Prot maximalizálás Példa (Termékmennyiség, prot maximalizálás) Adott egy cég által gyártott termék C költségfüggvénye és R bevételfüggvénye: C(Q) = Q 3 135Q 2 + 500000, Q 0, R(Q) = 30000Q, Q 0. Határozzuk meg azt a termékmennyiséget, amely értékesítése esetén a cég protja maximális! Megoldás: Q termékmennyiség esetén a protot leíró π prot függvény: π(q) = R(Q) C(Q), Q 0, π(q) = Q 3 + 135Q 2 + 3000Q 500000, melynek az abszolút maximum helyét szeretném meghatározni a prot maximalizálásához. A széls érték létezésének szükséges feltétele, hogy az els derivált az adott pontban 0 legyen. Ezek alapján a lehetséges széls értékhelyek meghatározhatóak a következ egyenlet megoldásával: Mπ(Q) = 3Q 2 + 270Q + 3000 Mπ(Q) = 0, ha Q 1 = 10 vagy Q 2 = 100. A Q 1 = 10 nem eleme a prot függvény értelmezési tartományának, így a Q 2 = 100 pont vizsgálatával foglalkozom. (0, 100) 100 (100, ) Mπ + 0 - π Lokális maximum 2.1. táblázat. A prot függvény vizsgálata Ahogy az els derivált függvény el jelének változásából láthatjuk (2.1 táblázat), a π függvénynek a Q = 100 helyen lokális maximuma van, tehát 100 egységnyi termékmennyiség esetén lesz a vállalat protja maximális. A maximális prot ebben az esetben π(100) = 100 3 + 135 100 2 + 500000 = 150000. 15
Példa (Bevétel maximalizálása) 2.1. ábra. A prot függvény és annak maximuma Egy kollégiumi büfé csokoládét árul. A csokoládé kereslete Q = 11000 50P függvénnyel írható le, ahol 0 P az ár. Milyen csokoládé ár mellett lesz a büfés csokoládé eladásából származó bevétele maximális és mennyi lesz a maximális bevétel? Megoldás: A keresleti függvényb l kifejezzük P -t: A teljes bevétel: T R = P Q, azaz P = 220 Q 50. T R(Q) = 220Q Q2 50. A határbevétel az összbevételi függvény els deriváltja. Ha a bevétel maximális, akkor a határbevétel 0, azaz a lehetséges széls értékhelyek meghatározásához az MR = 0 egyenletet kell megoldani. Mivel a lehetséges széls értékhely: Q = 5500. MR = 220 Q 25, (0, 5500) 5500 (5500, ) MR + 0 - TR Lokális maximum 2.2. táblázat. A bevétel függvény vizsgálata Ahogy a 2.2-es táblázatból leolvasható, az els derivált vizsgálata alapján kapott széls értékhely maximum. A bevételt maximalizáló ár (P ) pedig: P = 220 Q 50 = 110. A büfé árus 110 forintos csokoládé áron tudja maximalizálni a bevételét. Ilyen ár mellett a bevétele 110Ft/db x 5500 db= 605000 Ft lesz. 16
2.2. ábra. A keresleti görbe 2.3. ábra. A teljes bevételi függvény és annak maximuma 2.3.3. Bevételi függvény vizsgálata Példa (Egy bevételi függvény teljes függvényvizsgálata) Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti függvényét pedig D(P ) = 1500 P. Határozzuk meg milyen ár mellett lesz maximális a teljes árbevétel! 10 Megoldás: A teljes árbevétel (T R) tökéletes verseny esetén a kereslet(d(p )) és az ár(p ) szorzata, azaz T R(P ) = P 1) Értelmezései tartomány vizsgálata: 1500 P, ahol P 0. 10 0 1500 P 10 0 P 15000 Tehát D(T R) : {P R : 0 P 15000}. 17
2) Zérushely(ek) keresése: P 1500 P 10 = 0 P 1 = 1500 P 10 = 0 P 1 = 1500 P 10 = 0 P 1 = 15000 P 2 = 0. 3) Széls értékkeresés, monotonitás vizsgálat az els deriváltak segítségével: A függvénynek ott lehet széls értéke, ahol az els deriváltja egyenl nullával, azaz dt R dp dt R dp = = 1500 P 10 + P 1 2 ( 1 10 ) 1 1500 P 10 1500 P 10 P 20 1500 P 10 Megoldva tehát az dt R = 0 egyenletet: dp 0 = 1500 P 10 P 20 1500 P 10 A dt R dp 0 = 20(1500 P 10 ) P 0 = 30000 2P P P = 10000. függvény zérushelye két részintervallumra bontja az értelmezési tartományt. A derivált függvény ezekben felvett étékeinek el jeléb l következtetéseket vonhatunk le T R monotonitásáról és a széls érték típusáról. (0, 10000) 10000 (10000, 150000) TR' + 0 - TR Lokális maximum 2.3. táblázat. A bevétel függvény vizsgálata Ahogy a 2.3. táblázatban összefoglaltam, a T R(P ) függvény a ]0; 10000[ intervallumon szigorúan mondoton n, a ]10000; 15000] intervallumon szigorúan monoton csökken. Ezek alapján tehát a T R függvénynek P = 10000-ben lokális maximuma van. A maximum értéke: T R(10000) = 10000 18 1500 10000 10 = 100000 5.
4) Konvexitás és inexiós pont(ok) keresése a második derivált segítségével: d 2 T R d(p ) = 1 1 1 1500 P + 1 P 10 20 1500 P 10. 2 20 1500 P 20 1500 P 10 10 A T R függvénynek abban a pontban lehet inexiós pontja, ahol a második deriváltja nullával egyenl, azaz 1 1 1 1500 P + 1 P 10 20 1500 P 10 = 0. 20 1500 P 20 1500 P 10 10 Beszorozzuk az egyenletet 20 1500 P -zel, így 10 Egyszer sítés és összevonás után 1 20(1500 P 10 ) + P 20(1500 P 10 ) = 0. 1 1 P 30000 2P = 0 2(30000 2P ) P = 0 P = 20000. P = 20000 nem eleme a teljes bevétel függvény értelmezési tartományának, ezért a függvénynek nincs inexiós pontja, tehát a függvény a teljes értelmezési d tartományon konvex vagy konkáv. Mivel 2 T R < 0 P [0; 15000] esetén, a d(p ) 2 teljes bevételt leíró függvény konkáv. 5) Függvény határtértékének vizsgálata lim P P 0 + lim P P 15000 1500 P 10 = 0 1500 P 10 = 0. 19
6) Függvény ábrázolása 2.4. ábra. A teljes árbevétel függvény és annak maximuma 7) Értékkkészlet leolvasása R(T R) : {y R : 0 y 100000 5} 2.4. A piaci egyensúly-marshall kereszt Piaci egyensúlynak, egyensúlyi helyzetnek azt az állapotot nevezzük, amikor a piacon olyan árak vannak, amelyek mellett az áru keresett és kínált mennyisége egyenl. Egyensúlyi pont: egy termék keresleti és kínálati görbéjének metszéspontja. Egyensúly esetén: Q D = Q S. Az egyensúlyi ár az az ár, amelynél a kereslet és a kínálat egyenl. Túlkínálat (többlet) van, ha a piaci ár az egyensúlyi ár felett van, ilyenkor az eladók többet akarnak eladni, mint amennyit a vev k képesek megvenni. Túlkereslet (hiány) van, ha a piaci ár az egyensúlyi ár alatt van, ilyenkor a termel k kevesebbet kínálnak, mint amennyit a vev k megvennének. Ugyanazon termékre vonatkozó keresleti és kínálati függvény egy koordináta rendszerben történ ábrázolása esetén jól alkamazható a piac állapotának (egyensúlyi ár, túlkínálat, túlkereslet) elemzése. A két függvény az egyensúlyi pontban metszi egymást, mint egy kereszt, innen jön a Marshall kereszt elnevezés. Nem nehéz belátni, hogy a tökéletes piac, szinte csak elméleti lehet ség. A Marshall kereszt keresett és kínált mennyiség növelését vagy csökkentését váltja ki, ezáltal a termelésés fogyasztásszabályzó funckciót lát el. 20
2.4.1. Piaci egyensúly Példa (Piaci egyensúly vizsgálata) 2.5. ábra. Marshall kereszt A piacot jellemz keresleti görbe egyenlete: Q D pedig Q S = 200 + P, ahol P 0 az ár. = 1400 5P, a kínálati görbéjé a) Milyen ár mellett lesz a piac egyensúlyban? b) Mekkora ekkor a piac mérete (egyensúlyi mennyiség)? Megoldás: a) Megoldva a Q D = Q S egyenletet: 1400 5P = 200 + P P = 200. Tehát P = 200 ár mellett lesz a piac egyensúlyban. b) A kínálati, vagy a keresleti függvény egyenletébe visszahelyettesítve P = 200- at adódik, hogy piaci egyensúly esetén az egyensúlyi mennyiség Q = 400. 21
2.6. ábra. A keresleti és a kínálati görbe, valamint a piaci egyensúly 2.4.2. Fogyasztói többlet, összes árbevétel Példa (Fogyasztói többlet, összes árbevétel) Egy keresleti görbe egyenlete Q D = 720 2P, a kínálatot a Q S = P egyenlet írja le, ahol a P 0 az ár. a) Mekkora a piacon létrejöv fogyasztói többlet? b) Mekkora a termel k által elért összes árbevétel? Megoldás: a) A fogyasztói többlet a keresleti függvény alatti terület a piaci ártól a keresleti függvénynek az ártengellyel vett metszetéig. Kiszámításához els nek meg kell határozni az egyensúlyi árat és az egyensúlyi mennyiséget, azaz megvizsgáljuk milyen ár mellett egyenl a keresett és a kínált mennyiség. 720 2P = P P = 240. Tehát a piac egyensúlyi ára P = 240, amit behelyettesítve a keresleti vagy kínálati függvénybe, megkapjuk az egyensúlyi mennyiséget, azaz Q = 240. A fogyasztói többlet számítása a derékszög háromszög területének(t = ab/2) kiszámításából adódik, ahol az egyik befogó a Q = 240, azaz az egyensúlyi mennyiség, a másik a Q D függvény és a P tengely metszetében felvett P értékének és az egyensúlyi árnak a különbsége, azaz A derékszög háromszög területe: Q D = 0 720 2P = 0 P = 360 360 240 = 120. 120 240 T = = 14400. 2 Azaz a fogyasztói többlet 14400-zal egyenl. 22
b) Az összes árbevétel (TR), az egyensúlyi állapotban T R = P Q = 240 240 = 57600. 2.7. ábra. A keresleti és kínálati függvény, fogyasztói többlet és a piaci egyensúlyhoz tartozó pont 23
3. fejezet Többváltozós függvények Az el z fejezetekben egyváltozós függvényekkel foglalkoztam, az ott tárgyalt alapfogalmakat kiterjesztem többváltozós függvényekre is. Vizsgálom a függvények folytonosságát, határértékét és széls értékeiket parciális deriváltjaik segítségével. A közgazdaságtanban gyakoriak az optimalizálási feladatok. Ilyen jelleg problémák például a bevétel maximalizálása, vagy a költségek minimalizálása, melyekre mind egyegy példát mutatok. Többváltozós függvénynek lehet széls értéke bizonyos korlátozó feltételek mellett, azaz az értelmezési tartomány valamely részhalmazán. Ezek megoldásához a Lagrange-féle multiplikátor módszert használom. Végül bevezetem a parciális és a helyettesítési elaszticitás fogalmát és szemléltetem egy-egy gazdasági példán keresztül. 3.1. Kétváltozós függvények 3.1.1. Deníció. Egy f hozzárendelési szabályt kétváltozós függvénynek nevezünk, ha f a D értelmezési tartomány minden (x, y) pontjához egy f(x, y) számot rendel. Ilyenkor azt mondjuk, hogy f változói x és y. Értelmezési tartománya az xy-sík részhalmaza (x és y a változók). A síktartományoknak az intervallumokhoz hasonlóan lehetnek bels pontjai és határpontjai. A zárt [a, b] intervallum tartalmazza határtpontjait, a nyílt (a, b) intervallum nem. Az [a, b) intervallum se nem nyílt se nem zárt. 3.1.2. Deníció. Egy (x, y) pont a T tartomány (halmaz) bels pontja, ha van egy olyan pozitív sugarú (x, y) középpontú körlap, amely teljes egészében a T -ben fekszik. 3.1.3. Deníció. Egy (x, y) pont a T tartomány (halmaz) határtpontja, ha bármely pozitív sugarú (x, y) középpontú körlap tartalmaz a tartományhoz tartozó és a tartományhoz nem tartozó pontokat is. 24
3.1.4. Deníció. A tartomány bels pontjai alkotják a tartomány belsejét, a határpontok a tartomány határát. 3.1.5. Deníció. A tartomány (halmaz) nyílt, ha minden pontja bels pont, zárt, ha tartalmazza minden határpontját. 3.1.6. Deníció. Egy síktartomány vagy a sík egy ponthalmaza korlátos, ha benne fekszik egy kör belsejében. Ha nem, akkor a tartomány, illetve a ponthalmaz nem korlátos. 3.1.7. Deníció. A tér (x, y, f(x, y)) koordinátájú pontjainak összességét az f gra- konjának nevezzük. A grakont a z = f(x, y) felületnek is hívjuk. 3.1.8. Deníció. A függvény grakonját az xy-síkkal párhuzamos síkokkal metszük el a térben majd az így keletkez metszésvonalakat levetítjük az xy-síkra. Ha a metsz sík egyenlete z=c, akkor az xy-síkra vetített metszésvonal az f függvény c értékhez tartozó szintvonala. Ez a szintvonal azokat a pontokat tartalmazza, amelyek kielégítik az f(x, y) = c egyenletet. 3.1.9. Deníció. Az a térgörbe, amiben a z = c sík metszi a z = f(x, y) felületet, azokból a pontokból áll, amelyekben a függvényérték f(x, y) = c. Ezt kontúrvonalnak hívjuk, megkülönböztetend az f(x, y) = c szintvonaltól, ami f értelmezési tartományában fut. 3.1.10. Deníció. Tegyük fel, hogy az (x 0, y 0 ) pont olyan, hogy tetsz leges δ > 0 esetén van olyan (x, y) pont, ami az f kétváltozós függvény értelmezési tartományához tartozik és 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ. Azt mondjuk, hogy az f(x, y) kétváltozós függvénynek az (x 0, y 0 ) pontban van határértéke, és ez L, azaz lim f(x, y) = L, (x,y) (x 0,y 0 ) ha tetsz leges pozitív ε-hoz van olyan pozitív δ, hogy f értelmezési tartományának minden olyan (x, y) pontjára, amire 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ fennáll, igaz, hogy f(x, y) L < ε. 3.1.11. Deníció. Egy kétváltozós f(x, y) függvény folytonos az (x 0, y 0 ) pontban, ha (1) f-nek van (x 0, y 0 )-ban helyettesítési értéke, (2) lim f(x, y) létezik, (x,y) (x 0,y 0 ) 25
(3) lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x, y) = f(x 0, y 0 ). Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha folytonos az értelmezési tartomány minden pontjában. 3.2. Többváltozós függvények 3.2.1. Deníció. Egy f hozzárendelési szabályt n változós függvénynek nevezünk, ha f a D értelmezési tartomány minden (x 1,..., x n ) pontjához egy f(x 1,..., x n ) számot rendel. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f változói x 1,..., x n. 3.2.2. Deníció. Az (x 0, y 0, z 0 ) pont egy taromány bels pontja, ha középpontja egy olyan gömbnek, ami teljes egészében a tartományban van. 3.2.3. Deníció. Az (x 0, y 0, z 0 ) pont határpont, ha minden olyan gömbnek, aminek (x 0, y 0, z 0 ) a középponjta, van a tartományhoz tartozó és a tartományhoz nem tartozó pontja is. 3.2.4. Deníció. Egy tartomány belseje a bels pontok halmaza, határa pedig a határpontok halmaza. 3.2.5. Deníció. Egy tartomány nyílt, ha minden pontja bels pont. Egy tartomány zárt, ha tartalmazza minden határpontját. 3.2.6. Deníció. Azt az (x, y, z) ponthalmazt a térben, ahol a háromváltozós f függvény konstans értéket vesz fel, azaz f(x, y, z) = c, az f függvény szintfelületének nevezzük. 3.2.7. Deníció. A z = f(x 1, x 2..., x n ) n változós függvény grakonja azoknak az R n+1 -beli (x 1, x 2..., x n, f(x 1, x 2..., x n )) pontoknak a halmaza, amelyekre (x 1, x 2..., x n ) az f értelmezési tartományában van. 3.2.8. Deníció. A grakont R n+1 -beli felületnek (hiperfelületnek) hívjuk. 3.2.9. Deníció. Ha z = z 0 (állandó), akkor R n azon pontjainak halmazát, amelyek az f(x 1, x 2..., x n ) = z 0 egyenletet kielégítik f szintfelületének nevezzük. 3.2.10. Deníció. Legyen α jelentése egy valós szám, vagy a, illetve szimbólumok valamelyike. Azt mondjuk, hogy α torlódási pontja az A számhalmaznak, ha α minden környezetében A-nak végtelen sok pontja van. 26
3.2.11. Deníció. Legyen a valós érték f függvény értelmezve az A R n halmazon, és legyen a az A halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a-ban az A halmazra szorítkozva b, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy minden x A, 0 < x a < δ esetén f(x) b < ε, azaz lim x a f(x) = b, ha x A. 3.2.12. Deníció. Legyen a valós érték f függvény értelmezve az A R n halmazon, és legyen a az A halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a-ban az A halmazra szorítkozva végtelen (mínusz végtelen), ha minden K-hoz van olyan δ > 0, hogy minden x A, 0 < x a < δ esetén f(x) > K (f(x) < K), azaz lim x a f(x) = ( ), ha x A. 3.2.13. Megjegyzés. A többváltozós függvények körében a jobb- és baloldali, illetve a -ben és -ben vett határértéknek nincs értelme. Ennek oka nyilvánvaló: ha n > 1, akkor R n -ben nemcsak két, hanem végtelen sok irány van. 3.2.14. Deníció. Legyen az f függvény értelmezve az A R n halmazon, ás legyen a A. Azt mondjuk, hogy az f folytonos a-ban az A halmazra szorítkozva, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy minden x A, 0 < x a < δ esetén f(x) f(a) < ε. 3.2.15. Deníció. Az f függvény egyenletesen folytonos az A R halmazon, ha minden ε > 0-hoz létezik egy δ > 0, amelyre teljesül, hogy ha x 0, x 1 A és x 1 x 0 < δ, akkor f(x 1 ) f(x 0 ) < ε. 3.2.16. Tétel (Heine tétele). Legyen A R n korlátos és zárt, és legyen f: A R folytonos. Ekkor f egyenletesen folytonos A-n. 3.3. Parciális deriváltak 3.3.1. Deníció. Az f(x, y) : R 2 R függvény parciális deriváltja az (x 0, y 0 ) pontban x szerint f f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x = lim, h 0 (x0,y 0 ) h feltéve, hogy ez a határérték létezik. Gyakorlatban, vesszük az f(x, y) x szerinti deriváltját, míg y állandó. A z = f(x, y 0 ) görbe P 0 (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) pontbeli érint je az y = y 0 síkban van, és a meredeksége az f függvény x szerinti parciális deriváltja az (x 0, y 0 ) pontban. 27
3.3.2. Deníció. Az f(x, y) : R 2 R függvény parciális deriváltja az (x 0, y 0 ) pontban y szerint f f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) y = lim, h 0 (x0,y 0 ) h feltéve, hogy ez a határérték létezik. Gyakorlatban, vesszük az f(x, y) y szerinti deriváltját, míg x állandó. A z = f(x 0, y) görbe P 0 (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) pontbeli érint je az x = x 0 függ leges síkban van, és a meredeksége az f függvény y szerinti parciális deriváltja az (x 0, y 0 ) pontban. 3.3.3. Deníció. Tegyük fel, hogy az f : R 2 R parciális deriváltfüggvényei is parciálisan dierenciálhatók mindkét változó szerint. Ekkor f másodrend parciális deriváltfüggvényei: ( f ) x x ( f ) y x ( f ) x y ( f ) y y = 2 f x 2 = f xx = 2 f y x = f xy = 2 f x y = f yx = 2 f y 2 = f yy. 3.3.4. Tétel. Ha az f(x, y) függvény dierenciálható az (x 0, y 0 ) pontban akkor folytonos is az (x 0, y 0 ) pontban. 3.3.5. Tétel (Young tétel). Ha az f : R 2 R függvény f x és f y parciális deriváltfüggvényei értelmezve vannak az (a, b) D(f) pont egy környezetében és dierenciálhatók az (a, b) pontban, akkor f xy(a, b) = f yx(a, b). 3.3.6. Deníció. Az f(x 1, x 2,..., x n ) : R n R függvény parciális deriváltját úgy kapjuk, hogy az f(x 1, x 2,..., x n ) függvényt x i szerint deriváljuk, miközben az összes többi x j (j i) változót rögzítjük. Az így kapott n parciális derivált els rend, melyek mindegyikéhez tartozik n másodrend parciális derivált: x j ( f x i ) = 2 f x j x i = f ij. 28
Itt mind i, mind j az 1, 2,..., n értékeket veheti fel, ezért összesen n 2 másodrend parciális derivált van. A másodrend parciális deriváltakból alkotott n n-es mátrix: f 11(x) f 12(x)... f 21(x) f 22(x)......... Ennek neve Hesse-mátrix az x = (x 1, x 2,..., x n ) pontban. 3.3.7. Tétel (Young tétel). Tegyük fel, hogy az f(x 1, x 2,..., x n ) függvény két m- edrend parciális deriváltjában az azonos változók szerinti deriválások száma megegyezik, és a két parciális derivált valamely S nyílt halmazon folytonos. Ekkor a két parciális derivált S minden pontjában egyenl. 3.3.1. Termelési függvény A ráfordítások és a kibocsátás összefüggését kifejez matematikai formulát a közgazdászok termelési függvénynek nevezik. Tekintsük az Q = F (K, L, T ) mez gazdasági termelési függvényt, ahol Q a megtermelt jószág mennnyisége, K a befektetett t ke, L a felhasznált munkaer, T a term föld mérete. Ekkor a Q = F K K parciális deriváltat a t ke határtermelékenységének hívják. Ez Q kibocsátás változásának üteme K változtatása mellett, mialatt L és T rögzítettek. Ugyanígy Y = F Q L L és = F T T a munka és a term föld határtermelékenységei. (Pédául ha K a t kejavak dollárértéke és Q = 5, akkor a t keállomány egységnyi növelése a kibocsátást körülbelül 5 K egységgel növeli.) Példa (Határtermelékenység) A következ feladatban a Cobb-Douglas termelési függvénnyel szeretnék foglalkozni [4]. A Cobb-Douglas termelési függvényt a következ alakban értelmezzük: F (K, L, T ) = AK a L b T c, ahol A, a, b és c pozitív állandók. Határozzuk meg a határtermelékenységeket és a másodrend parciális deriváltakat. Megoldás: Meghatározom a határtermelékenységeket, azaz a termelési függvény parciális deriváltjait: 29
F K = aak a 1 L b T c F L = bak a L b 1 T c F T = cak a L b T c 1. Ha K,L és T pozitívak, akkor a megfelel határtermelékenységek is pozitívak, így a t ke, a munka, vagy a föld mennyiségének növelése növeli a termékmennyiség kibocsátást. Vegyes parciális deriváltak: F KL = abak a 1 L b 1 T c = F LK F KT = acak a 1 L b T c 1 = F T K F LT = bcak a L b 1 T c 1 = F T L. A termelési függvény megfelel másodrend vegyes parciális deriváltjai megegyeznek. Ezek a parciális deriváltak pozitívak. Az ilyen termelési tényez ket kiegészít knek hívjuk, mert az egyik növelése növeli a másik határmennyiségét. További másodrend paciális deriváltak: F KK = a(a 1)AK a 2 L b T c F LL = b(b 1)AK a L b 2 T c F T T = c(c 1)AK a L b T c 2. Vizsgálom F KK -t, ami a t ke határtermelékenységének K szerinti deriváltja. Ha a < 1, akkor F KK < 0 és a t ke határtermelékenysége csökken (a t keállomány kis növelése csökkenti a határtermelékenységet). Bár a t ke kicsiny növelésével a kibocsátás n (F K > 0), ez a növekedés egyre csökken mérték (F KK < 0). Hasonló következtetéseket vonhatunk le a termelésre vonatkozóan a munkaer (ha b < 1) és a term föld (ha c < 1) kapcsán. 3.4. Kétváltozós széls érték-keresés 3.4.1. Deníció. Az f : R 2 R függvénynek lokális minimuma, illetve maximuma (lokális széls értéke) van az (a, b) int D(f) pontban, ha (a, b)-nek létezik olyan U = B((a, b), r) környezete, hogy f(x, y) f(a, b) ill. f(x, y) f(a, b) (x, y) U. Az f(a, b) R szám az f lokális minimuma, illetve maximuma (a, b)-ben. Ha f(x, y) > f(a, b) ill. f(x, y) < f(a, b) (x, y) U teljesül, akkor f-nek szigorú lokális minimuma, illetve maximuma (szigorú lokális széls értéke) van (a, b)-ben. 30
3.4.2. Tétel. Ha az f : R 2 R függvénynek az (a, b) int D(f) pontban lokális széls értéke van, és léteznek a parciális deriváltjai (a,b)-ben, akkor f x(a, b) = f y(a, b) = 0. 3.4.3. Deníció. Az f függvény értelmezési tartományának azokat a bels pontjait, ahol f x = f y = 0, vagy ahol legalább az egyik nem létezik, az f függvény kritikus pontjainak nevezzük. 3.4.4. Deníció. Egy dierenciálható f(x, y) függvénynek nyeregpontja van az (a, b) kritikus pontban, ha minden (a, b) középpontú körlapon van olyan (x, y) pontja az értelmezési tartománynak, hogy f(x, y) < f(a, b), és van olyan is, hogy f(x, y) > f(a, b). 3.4.5. Tétel. Tegyük fel, hogy f(x, y) els és második parciális deriváltjai folytonosak egy (a, b) középpontú körlapon, és f x(a, b) = f y(a, b) = 0. Ekkor: (i) ha f xx f yy (f xy) 2 > 0 és f xx > 0, akkor f-nek (a, b)-ben lokális minimuma van. (ii) ha f xx f yy (f xy) 2 > 0 és f xx < 0, akkor f-nek (a, b)-ben lokális maximuma van. (iii) ha f xx f yy (f xy) 2 < 0, akkor f-nek (a, b)-ben nyeregpontja van. (iv) ha f xx f yy (f xy) 2 = 0, akkor a második deriváltakkal nem eldönthet, hogy van-e széls értéke f-nek (a, b)-ben. Ekkor más úton kell vizsgálódnunk. 3.4.6. Megjegyzés. Az f xx f yy (f xy) 2 kifejezést a kétváltozós f függvény determinánsának vagy Hesse-determinánsának nevezzük, azaz: f xx f yy (f xy) 2 = f xx f xy f yx f yy 3.4.7. Deníció. Egy f függvénynek a P 0 pontban abszolút maximuma (abszolút minimuma) van, ha f értelmezve van P 0 -ban és az értelmezési tartományának bármely P pontjára teljesül, hogy. f(p 0 ) f(p ) (f(p 0 ) f(p )). 31
3.4.8. Deníció. Egy f függvénynek a P 0 pontban szigorú abszolút maximuma (szigorú abszolút minimuma) van, ha f értelmezve van P 0 -ban és az értelmezési tartományának bármely P pontjára teljesül, hogy f(p 0 ) > f(p ) (f(p 0 ) < f(p )). 3.4.9. Tétel. (Weierstrass-tétel) Legyen f : R P R folytonos függvény és A R P korlátos és zárt halmaz. Ekkor f korlátos az A halmazon és az ott felvett értékei között van legnagyobb és legkisebb függvényérték. 3.4.1. Költség minimalizálása Példa (Költség minimalizálása) Egy üzem kétféle terméket állít el. A két termék havi el állítási költségét a C(Q 1, Q 2 ) = Q 2 1 3Q 1 Q 2 + 5Q 2 2 10Q 1 18Q 2 + 150, 0 Q 1, Q 2 R költségfüggvény adja, ahol Q 1 az egyik, Q 2 a másik termék mennyiségét jelenti tonnában, a költség pedig millió forintban értend. Milyen termékösszetételnél lesz a költség minimális? Megoldás: Lokális széls értéke ott lehet egy kétváltozós függvénynek, ahol az els parciális deriváltjai nullával egyenl ek, azaz f Q 1 (Q 1, Q 2 ) = 2Q 1 3Q 2 10 = 0 és f Q 2 (Q 1, Q 2 ) = 3Q 1 + 10Q 2 18 = 0. A lehetséges széls értékhelyeket, az úgynevezett stacionárius pontokat, az alábbi egyenletrendszer megoldásai adják: Az egyenletrendszer megoldása: f Q 1 (Q 1, Q 2 ) = 2Q 1 3Q 2 10 = 0 f Q 2 (Q 1, Q 2 ) = 3Q 1 + 10Q 2 18 = 0. Q 1 = 14, Q 2 = 6. Tehát a (14, 6) pont az egyetlen, ahol C-nek széls értéke lehet. Annak eldöntése, hogy ebben a pontban van-e lokális széls értéke a függvénynek, a másodrend parciális deriváltak segítségével történik. Képezzük a Hesse-determinánst ( D), majd megnézzük, hogy a stacionáris pontban milyen el jel a D függvény helyettesítési értéke: D(Q 1, Q 2 ) = f Q 1 Q 1 (Q 1, Q 2 )f Q 2 Q 2 (Q 1, Q 2 ) [f Q 1 Q 2 (Q 1, Q 2 )] 2 D(14, 6) = 2 10 ( 3) 2 = 11. 32
Mivel D(14, 6) = 11 > 0, a függvénynek van széls értéke. Továbbá f Q 1 Q 1 (14, 6) = 2 > 0, így a függvénynek lokális minimuma van a (14, 6) pontban. A minimum értéke: D(14, 6) = 26. Tehát a költség minimális, ha az els termékb l 14 tonnát, a másodikból pedig 6 tonnát állítanak el. Ekkor a minimális költség 26 millió forint. 3.1. ábra. A költségfüggvény és annak minimuma 3.4.2. Bevétel maximalizálása Példa (Bevétel maximalizálása) Egy üzemben kétféle terméket gyártanak (A-t és B-t), melyek önköltsége rendre darabonként 3000, illetve 2000 Ft. A piackutatók azt találták, hogy eladási áruk befolyásolja mind a saját, mind a másik termék keresletét (az eladható darabok számát), mégpedig a következ képpen: Az A termék keresleti függvénye: A B termék keresleti függvénye: D 1 (P 1, P 2 ) = 1000(12 + 3P 2 4P 1 ), P 1, P 2 R +. D 2 (P 1, P 2 ) = 1000(3P 1 3P 2 ), P 1, P 2 R +. ahol P 1 és P 2 rendre az A, illetve a B termék darabonkénti eladási ára (ezer forintban). Mekkora legyen az A, illetve B termék egységára ahhoz, hogy a tiszta bevétel maximális legyen? 33
Megoldás: A tiszta bevételt (protot) úgy kapjuk meg, hogy a teljes árbevételb l kivonjuk az összköltséget. Jelölje π(p 1, P 2 ) : [0, ) [0, ) R függvény a tiszta bevételt az eladási árak függvényében. A fentiek alapján a tehát a tiszta bevétel: π(p 1, P 2 ) = D 1 (P 1, P 2 )P 1 + D 2 (P 1, P 2 )P 2 [3D 1 (P 1, P 2 ) + 2D 2 (P 1, P 2 )] π(p 1, P 2 ) = 1000(12 + 3P 2 4P 1 )P 1 + 1000(3P 1 3P 2 )P 2 [1000(12 + 3P 2 4P 1 ) 3 + 1000(3P 1 3P 2 ) 2]. A π(p 1, P 2 ) függvény abszolút maximumát keressük ahhoz, hogy megtudjuk A, illetve B termék egységárát maximális tiszta bevétel mellett. A π(p 1, P 2 ) függvény összevonások után: π(p 1, P 2 ) = 18000P 1 3000P 2 + 6000P 1 P 2 4000P 2 1 3000P 2 2 36000. El ször a kritikus pontokat határozzuk meg az els rend parciális deriváltak segítségével. Széls értéke csak ott lehet egy kétváltozós függvénynek, ahol az els rend parciális deriváltjai nullával egyenl ek. Mivel π P 1 (P 1, P 2 ) = 18000 8000P 1 + 6000P 2, π P 2 (P 1, P 2 ) = 3000 + 6000P 1 6000P 2, ezért a lehetséges széls érték helyeket az alábbi egyenletrendszer megoldásai adják: 18000 8000P 1 + 6000P 2 = 0, 3000 + 6000P 1 6000P 2 = 0. Mindkét egyenletet elosztjuk 1000-rel, összeadjuk ket, így P 2 kiesik, majd P 1 -et kifejezve és visszahelyettesítve megkapjuk a stacionárius pontot: S(7,5; 7). A másodrend parciális deriváltak segítségével eldöntjük az S pontról, hogy széls értéke, ha igen, akkor milyen típusú. Képezzük a Hesse-determinánst (D) és vizsgáljuk S pont helyettesítési értékének el jelét. D(P 1, P 2 ) = π P 1 P 1 (P 1, P 2 )π P 2 P 2 (P 1, P 2 ) [π P 1 P 2 (P 1, P 2 )] 2 π P 1 P 1 = 8000, π P 2 P 2 (P 1, P 2 ) = 6000, π P 1 P 2 (P 1, P 2 ) = 6000. D(7,5; 7) = 12000000 > 0 ezért az S pontban lokális széls értéke van a függvénynek, továbbá π P 1 P 1 (7,5; 7) = 8000 < 0, amib l tehát adódik, hogy az S(7,5; 7) pont a teljes bevétel függvény maximumhelye. Tehát a tiszta bevétel akkor maximális, ha az A termék ára 7500 Ft/db, a B termék ára pedig 7000 Ft/db. Ekkor a maximális prot értéke 21000 Ft (lásd 3.2. ábra). 34
3.2. ábra. A tiszta bevétel függvény és annak maximuma 3.4.3. Feltételes széls érték-keresés Többváltozós függvény lokális széls értékét eddig nyílt halmazon kerestem. Az alkalmazások során gyakran van szükség egy függvény széls értékére olyan esetben is, amikor a változók között bizonyos összefüggéseket írhatunk fel. Ezek lesznek a feltételes széls érték problémák, melyeket Lagrange-féle multiplikátor módszerrel fogok megoldani. 3.4.10. Deníció. Tegyük fel, hogy az f : R p R függvény értelmezve van az a R P pont egy környezetében. Legyen g : R p R q olyan függvény, melyre a D(g) esetén g(a) = 0, valamint legyen H = {x D(f) : g(x) = 0}. Ha az f H függvénynek lokális maximuma (vagy lokális minimuma ) van az a pontban, akkor az f függvénynek feltételes lokális maximuma (vagy minimuma ) van az a pontban a g = 0 feltétel mellett. E kett t együtt feltételes lokális széls értéknek nevezzük. A lokális jelz t abszolútra cserélve deniálható a feltételes abszolút maximum és a feltételes abszolút minimum fogalma. A g függvényt feltételi függvénynek, a H halmazt feltételi halmaznak nevezzük. 3.4.11. Tétel. (Lagrange-féle multiplikátor módszer szükséges feltétele ) Legyen f : R P R folytonosan dierenciálható függvény, mely értelmezve van az a R P pont egy környezetében, továbbá legyen g : R p R q olyan folytonosan dierenciálható függvény, mely szintén értelmezve van a pont egy környezetében és teljesül rá, hogy g(a) = 0, valamint a g (a) Jacobi-mátrix sorvektorai lineárisan függetlenek. Ha az f függvénynek feltételes lokális széls értéke van az a pontban a g = 0 feltétel mellett, akkor vannak olyan λ 1, λ 2,..., λ q valós számok, melyekre az f + λ 1 g 1 + λ 2 g 2 +... + λ q g q függvény minden parciális deriváltja nulla az a pontban. 35
3.4.12. Megjegyzés. az L = f + λ 1 g 1 + λ 2 g 2 +... + λ q g q függvényt Lagrange-féle függvénynek, a λ 1, λ 2,..., λ q valós számokat pedig Lagrange-féle multiplikátornak nevezzük. 3.4.13. Tétel. (Lagrange-féle multiplikátor módszer elégséges feltétele ) Legyen f : R P R kétszer folytonosan dierenciálható függvény, mely értelmezve van az a R P pont egy környezetében, továbbá legyen g : R p R q kétszer folytonosan dierenciálható függvény, mely szintén értelmezve van a pont egy környezetében és teljesül rá, hogy g(a) = 0, valamint a g (a) Jacobi-mátrix sorvektorai lineárisan függetlenek. Ha vannak olyan λ 1, λ 2,..., λ q valós számok, melyekre az L = f + λ 1 g 1 + λ 2 g 2 +... + λ q g q függvény minden parciális deriváltja nulla az a pontban, továbbá L függvény Hesse-mátrixa az a pontban pozitív denit, akkor az f függvénynek lokális minimuma van az a pontban g = 0 feltétel mellett, ha pedig L függvény Hesse-mátrixa az a pontban negatív denit, akkor az f függvénynek lokális maximuma van az a pontban a g = 0 feltétel mellett. 3.4.4. Feltételes széls érték-keresés egy feltétellel A hasznossági függvény a közgazdaságtan számos területén, különösen a mikroökonómiai fogyasztáselméletben gyakran használatos függvénytípus. Célja, hogy a gazdaság egy szerepl jének vagy bizonyos esetekben a társadalom egészének meghatározott javakhoz kapcsolódó preferenciáit matematikai eszközökkel modellezze. A függvény változóinak száma megegyezik a vizsgált javak számával. Egy n változós hasznossági függvény általános alakban így írható fel: U(x x, x 2,...x n ). Többnyire feltesszük, hogy a változók értékei a nemnegatív valós számok halmazának elemei, a függvényérték viszont bármilyen akár negatív valós szám lehet. A hasznossági függvényt l minden esetben azt várjuk el, hogy minél nagyobb a szóban forgó személy vagy a társadalom hasznossága, értéke annál nagyobb legyen, és fordítva: kisebb hasznossághoz kisebb U érték tartozzon. Példa (Feltételes széls érték-keresés egy feltétellel) Keressük meg az U(x, y) = xy + 2x, D(U) = R 2 hasznossági függvény maximumát a 2x + y = 30 feltétel mellett! Megoldás: A Lagrange-féle multiplikátor módszer felhasználásával: U(x, y) = xy + 2x, g(x, y) = 2x + y 30 = 0, D(g) = R 2. 36
A Lagrange-féle függvény: L(x, y) = xy + 2x + λ(2x + y 30), λ R, D(L) = R 2. Mivel az értelmezési tartomány nyílt halmaz, feltételes lokális széls érték abban a pontban lehet ahol L megfelel parciális deriváltjai nullával egyenl ek, azaz L (x, y) x = y + 2 + 2λ = 0, L (x, y) y = x + λ = 0. A fenti egyenletekb l az x = λ és y = 2λ 2 összefüggések adódnak, melyeket a feltétel (g(x, y) = 0) egyenletébe visszahelyettesítve: amib l λ = 8, tehát 2x + y 30 = 0 2( λ) + ( 2λ 2) = 30, x = 8, y = 14. Tehát feltételes lokális széls értéke a hasznossági függvénynek (8, 14) pontban lehet. A Lagrange-féle függvény Hesse-mátrixa ebben a pontban: ( ) 0 1 H L (8, 14) = 1 0 Mivel a H L (8, 14) mátrix indenit (egy pozitív és egy negatív sajátértéke van), ezért a Lagrange-féle multiplikátoros módszerrel nem tudjuk eldönteni, hogy valóban vane a (8,14) pontban lokális feltételes széls érték. Vegyük észre, hogy a feltételnek eleget tev pontok, az y = 30 2x egyenes pontjai, ahol x [0, 15]. A fenti összefüggést az eredeti hasznossági függvénybe behelyettesítve: Ũ = x(30 2x) + 2x, Ũ : [0, 15] R. Az Ũ függvénynek széls értéke abban az x (0, 15) bels pontban lehet, ahol dũ dx 30 4x + 2 = 0, amib l x = 8. 37
[0, 8) x = 8 (8, 15) Ũ + 0 - Ũ Lokális maximum 3.1. táblázat. Ũ függvény vizsgálata Ahogy 3.1.-es táblázatban láthatjuk a Ũ függvénynek lokális maximuma van az x = 8 pontban. Mivel az Ũ függvény folytonos a [0, 15] intervallumon, Weierstrasstétele kimondja, hogy az Ũ függvény korlátos ezen az intervallumon és felvett értékei között van legnagyobb és legkisebb. Mivel Ũ(0) = 0 és Ũ(15) = 30, ezért az Ũ függvénynek maximuma van az x = 8 pontban. 3.3. ábra. Az U hasznossági függvény és a g korlátozó feltétel 3.4.5. Feltételes széls érték-keresés két feltétellel Példa (Feltételes széls érték-keresés két feltétellel) Minimalizáljuk az U(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 hasznossági függvényt az x + 2y + 3z = 6 és x + 3y + 9z = 9 feltételek mellett! Megoldás: A Lagrange-féle multiplikátoros módszer segítségével történik. Tehát a dierenciálható U(x, y, z) függvény széls értékeit két korlátozó feltétel mellett keressük. A korlátozó feltételek rendezés után: g 1 (x, y, z) = x + 2y + 3z 6 g 2 (x, y, z) = x + 3y + 9z 9. A széls értékeket úgy találhatjuk meg, hogy bevezetjük a λ és µ Lagrange-féle multiplikátorokat. A feladatnak megfelel Lagrange-féle függvény: L(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + λ(x + 2y + 3z + 6) + µ(x + 3y + 9z 9), 38