GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Műeletek mátriokkl determináns meghtároás mátri foglm. Neeetes mátriok. Mátriok egenlősége. Műeletek mátriokkl (össedás sklárrl ló sorás mátriok lineáris kombinációj mátri sorás mátrisl). Mikor lehet eg mátriot eg ektorrl megsoroni és mi les sorás eredméne? Két ektor (sor- és oslopektor) sorásánk lehetőségei. Mi eredmén h egik össegőektor? Hogn sorohtunk eg áltlános n m típusú mátriot sor- ill. oslopmátrisl? Trnsponált mátri. Mátri rngj. determináns és lgebri ldetermináns foglm. detrmináns meghtároás. Kifejtési tétel Srrus-sbál. determináns tuljdonsági és lklmás.. Végee el C B B műeleteket h dottk lábbi mátriok! B C. dj meg lehetséges kétténeős sorásokt lábbi mátriokkl! B C. Végee el lábbi mátriműeleteket mjd dj meg műelet eredméneként kpott mátri determinánsát menniben léteik! ) B C C B T b) B C C B T
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I.. Eg álllkoó rktárbn négféle terméket tárol lábbi menniségekben (db): T T T T R R R Mátriműeletek segítségéel htáro meg: ) Mennit tárolnk össesen eges termékekből? b) Menni tárolt termékek rktáronkénti össértéke h termékek egségári 8 eft?. Eg cég három telephelén négféle terméket tárol lábbi menniségekben (db): Termék Termék Termék Termék Telep Telep Telep termékek eldáskor lábbi egségárkt és tárolási költségeket sámolják fel: Egségár (FT / eer db): Tárolási költség (FT / eer db): Mátriműeletek segítségéel álsoljon köetkeő kérdésekre: ) Menni lenne eldáskor telephelenként és össes ár ill. össes tárolási költség? b) Termékenként össesítse állltok árukésletét! c) Telephelenként össesítse árukésletet! 6. Eg KFT öt termék előállításár képes melekhe háromféle erőforrásból eg-eg termék előállításáho sükséges menniség lmint erőforrásokból össesen felhsnálhtó menniség lábbi táblátból olshtó ki: Erőforrás Termék Termék Termék Termék Termék Kpcitás Nersng 8 Energi 6 Gépór Mátriműeletek segítségéel dj meg köetkeő kérdésekre álsokt: ) Elegendő-e erőforrásokból rendelkeésre álló kpcitás h eges termékekből rendre db legártását tereik? b) Menni mrd eges erőforrásokból? c) Menni les árbeétel KFT-ben h termékek egségári eft?
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Iner mátri Iner mátri definíciój. iner mátri meghtároásánk módji (definíció lpján tétel lpján és báistrnsformáció segítségéel). Iner mátri meghtároás determinánsokkl. 7. dj meg lábbi mátri inerét és ellenőrie megoldását! 8. Htáro meg mátri inerét inermátri definíciójár támskod! 9. dj meg lábbi mátri determinánsát és inermátri második soránk hrmdik elemét ill. hrmdik oslopánk negedik elemét!. Htáro meg mátri inere. oslopánk első és második elemét! meghtároását csk sor- g oslop serinti kifejtéssel égeheti! Egenletrendserek megoldás Lineáris egenletrendser foglm típusi. lineáris egenletrendserek ostáloás megoldhtóságuk sempontjából. lineáris egenletrendser mátrios és ektoros lkj. Crmer-sbál. (Determináns foglm felhsnálás egenletrendserek megoldásáho.) Lineáris egenletrendser megoldás báistrnsformációl.
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I.. Htáro meg egenletrendser egütthtóiból képett mátri inerét ill. ennek felhsnálásál oldj meg egenletrendsert! 7 7. Oldj meg lábbi egenletrendsert Crmer-sbál segítségéel! 6. Oldj meg lábbi egenletrendsert Guss-elimináció segítségéel! ) b) 8 u u. Htáro meg köetkeő egenletrendser megoldását báistrnsformáció segítségée! ) u u u b)
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Vektorterek ektortér foglm. Vektorok lineáris kombinációj. Vektorrendser lineáris függősége függetlensége. Lineárisn függő és lineárisn független ektorrendserekre ontkoó tételek. Vektorrendser rngj. Vektorrendser dimeniój. Komptibilitás foglm. Generátorrendser és báis. Mit ért eg éges ektortér dimenióján? Vektor báisr ontkoó koordinátái. Termésetes báis.. Htáro meg hog és ektorok mel lineáris kombinációj állítj elő b ektort! 6. Htáro meg hog lábbi ektorrendserek lineárisn függő g független ektorrendsert lkotnk-e! ) b) 7. dj meg hog b ektor benne feksik-e ektorok áltl generált ltérben? ) b b) b
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. 6 8. Legen dott V -ben lábbi ektor: b. dj meg b ektor koordinátáit termésetes báisr ontkoón lmint báisr ontkoón. Báistrnsformáció és lklmás. báistrnsformáció elemi báistrnsformáció foglm.. báistrnsformáció lklmási: ektorrendser lineáris függetlenségének függőségének meghtároás ektorrendser rngjánk ill. mátri rngjánk meghtároás komptibilitás isgált lineáris egenletrendserek megoldás iner mátri meghtároás. 9. Legen c) 7 6 b d) b e) b Lineárisn függő g független ektorrendsert lkotnk-e ektorok? Hán dimeniós teret generálnk ektorok? Menni ektorrendser rngj? Komptíbilis-e b ektor ektorrendserrel? Mi b egenletrendser megoldás?
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. 7. dottk lábbi ektorok: b b elemi báistrnsformáció lklmásál álsoljon köetkeő kérdésekre: ) Lineárisn függő g független ektorrendsert lkotnk-e ektorok? b) Hán dimeniós teret generálnk ektorok? c) Menni ektorrendser rngj? d) Komptíbilisk-e b i i ektor ektorrendserrel? e) Mi i b i egenletrendser megoldás?. dj meg báistrnsformáció segítségéel hog ektoroknk melik lineáris kombinációj állítj elő c ektort!. dottk lábbi ill. c ektorok: c. Báistrnsformáció segítségéel htáro meg lábikt: ) Állpíts meg hog függetlenek-e ektorok? b) Kifejehető-e c ektor ektorok lineáris kombinációjként?
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Többáltoós függének Gömbkörneet foglm. Többáltoós függén lokális és globális sélsőértéke. Többáltoós függén feltétel nélküli sélsőérték-sámítás. (Sükséges és elégséges feltétel.) Többáltoós függén feltételes sélsőérték-sámítás. (Lgrnge-féle multiplikátorok módsere.) Ismertesse grfikus módser lénegét!. Htáro meg lábbi két függén első- ill. másodrendű prciális deriáltjit! ) f ( ) cos e 7 b) f ( ) 6cos e tg. dj meg köetkeő többáltoós függének elsőrendű prciális deriáltjit! ) f ( ) ln9 b) c) f ( ) e cos f ( ) ctg 7 d) e) f ( ) 6 log f ( ) sin ln cos Többáltoós függének sélsőértéksámítás. Htáro meg lábbi kétáltoós függén sélsőértékét! ) f ( ) 9 b) f ( ) c) f ( ) 6 d) f ( ) 6. rnoott sinórrl kell átkötni egser hossábn egser séltében m -es egenes négetes hsáb formájú dísdobot. Milen élhossúság mellett les sükség legröidebb sinórr? Oldj meg feldtot feltételes és feltétel nélküli sélsőérték feldtként is! 7. Milen lp- ill. oldlélű felül nitott egenes hsáb lkú néget lpú edént késítsünk m lemeből hog lehető legtöbb foldék férjen bele? 8
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. 8. Milen oldlélek mellett les legngobb térfogtú felül nitott tégltest formájú ítároó h ljánk és oldlánk össege kell elgen? Oldj meg feldtot feltételes sélsőértékként! 9. Milen oldlélek mellett lehet eg -es felül nitott tégltest formájú ítároló lját és oldlit legkeesebb betonnl kibetononi? Oldj meg feldtot kétáltoós függén sélsőértékére isseete! m. -es lpos tetejű tégltest formájú rktárépület tetőfelülete kétser elülső homlokt háromsor nnib kerül -enként mint többi oldlfelülete. Milenek legenek méretei hog legkeesebbe kerüljön? m m. Eg gdálkodó munknp munkerőel és 6 munknp gépkpcitássl rendelkeik. Nég nöén termelése jöhet sób melek hektáronkénti igéne munkerő np illete gépi munknp. nöének hektáronkénti termelési értékei 6 6 eft. Milen területen termelje gdálkodó eges nöéneket hog össes termelési érték legngobb legen?. Háromféle lpngból rendre tonn áll rendelkeésünkre melekből nég különböő termék eg-eg drbjáho rendre ; ; tonnát kell felhsnálni. költségek leonás után eges termékekre jutó tist jöedelem 6 7 eft. Mennit gártsunk eges termékekből hog eges tist jöedelem legngobb legen? Mekkor e jöedelem? Mennit hsnálunk fel ehhe lpngokból? m 9
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Feldtsor. Eg álllkoó rktárbn négféle terméket tárol lábbi menniségekben (db): T T T T R R R Mátriműeletek segítségéel htáro meg: c) Mennit tárolnk össesen eges termékekből? d) Menni tárolt termékek rktáronkénti össértéke h termékek egségári 6 eft?. Htáro meg lábbi mátri inerét - menniben léteik - és ellenőrie megoldását!. Oldj meg lábbi egenletrendsert báistrnsformáció segítségéel! 6. Htáro meg lábbi háromáltoós függén sélsőérték-helét és sélsőértékének értékét! f ( ) 6 6 7 9 7. Sorolj fel neeetes mátriokt! Mikor lehet eg mátriot eg ektorrl megsoroni és mi les sorás eredméne? 8. Mikor mondjuk eg ektorrendserről hog lineáris függő? 9. dj meg többáltoós függén lokális sélsőérték-helének definícióját!
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Feldtsor. Végee el lehetséges kétténeős sorásokt lábbi mátriokkl és ellenőrie megoldást! C B. Determinánsok felhsnálásál htáro meg lábbi mátri iner-mátri. soránk. elemét és oslopánk második elemét!. Báistrnsformáció lklmásál oldj meg köetkeő egenletrendsert!. Eg m -es lpos tetejű tégltest formájú rktárépület tetőfelülete -ser elülső homlokt háromsor nnib kerül m -enként mint többi oldlfelülete. Milenek legenek méretei hog legkeesebbe kerüljön?. Többáltoós függén sélsőértékének meghtároás (sükséges és elégséges feltétel). 6. Hogn htárohtó meg eg mátri determináns ill. inere? 7. Lineáris tér (ektortér) foglm.
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Feldtsor. Eg cég három telephelén négféle terméket tárol lábbi menniségekben (db): Termék Termék Termék Termék Telep Telep 6 Telep 6 termékek eldáskor lábbi egségárkt és tárolási költségeket sámolják fel: Egségár (FT / eer db): Tárolási költség (FT / eer db): Mátriműeletek segítségéel álsoljon köetkeő kérdésekre: d) Menni lenne eldáskor telephelenként és össes ár ill. össes tárolási költség? e) Termékenként össesítse állltok árukésletét! e) Telephelenként össesítse árukésletet!. Htáro meg lábbi mátri inere. soránk első és második elemét determinánsok felhsnálásál! ( meghtároását csk sor- g oslop serinti kifejtéssel égeheti)!. Htáro meg egenletrendser egütthtóiból képett mátri inerét ill. ennek felhsnálásál oldj meg egenletrendsert! 6 7 többáltoós függén sélsőérték-. dj meg f ( ) helét és sélsőértékét!. Többáltoós függén feltételes sélsőértéke h feltételek egenlőség formájábn dottk. 6. Lineáris kombináció és lineáris függetlenség foglm!
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. 7. Homogén egenletrendserek típusi megoldásuk. Feldtsor. Htáro meg lábbi mátri determinánsát lmint inere. soránk. elemét!. dottk lábbi ektorok: b b elemi báistrnsformáció lklmásál álsoljon köetkeő kérdésekre: f) Lineárisn függő g független ektorrendsert lkotnk-e ektorok? g) Hán dimeniós teret generálnk ektorok? h) Menni ektorrendser rngj? i) Komptíbilisek-e b i i ektorok ektorrendserrel? j) Mi i b i egenletrendser megoldás?. dj meg T mátriot h. Htáro meg lábbi mátri inerét mjd oldj meg b egenletrendsert h konstnsok ektor * b!. Inhomogén egenletrendserek típus és megoldásuk. 6. Mit ért báison? Mondjon példát három-dimenióbn báisr! Generátorrendser foglm! 7. djon meg öt különböő determináns-tuljdonságot!
GRÁRMÉRNÖK SZK lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Feldtsor. Legenek dottk B és C mátriok. Htáro meg T B mátriot C sortmátriot lmint C mátri trnsponáltj inerének második soránk hrmdik elemét!. Oldj meg köetkeő egenletrendsert báistrnsformáció segítségéel!. Legen dott V -ben lábbi ektor: b. dj meg b ektor koordinátáit termésetes báisr ontkoón lmint báisr ontkoón.. dj meg köetkeő többáltoós függén sélsőérték-helét és sélsőértékét! f ) (. dj meg hog milen képlettel htárohtó meg báistrnsformáció segítségéel egenletrendser megoldás! 6. Mikor mondjuk hog eg ektor komptíbilis eg ektorrendserrel? 7. Lineáris egenletrendserek megoldási lehetőségei!