Differenciálegyenletek alkalmazásai: feladatok

Differenciálegyenletek alkalmazásai: feladatok Tóth János jtoth@math.bme.hu Csikja Rudolf csikja@math.bme.hu Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematikai Analízis Tanszék 8. március.

Ismétlésképpen először a Rásegítő feladatok a Differenciálegyenletek alkalmazásainak tanulmányozásához c. Tóth János által írt segédanyagból érdemes feladatokat megoldani. A gyakorlaton a következő sorszámú feladatok szerepeltek:, 6, 8, /a, /a, 5/a, 7, 5/a, 7, 8/a, 9.. Elemi kvalitatív vizsgálat.. Feladat Vizsgáljuk meg az alábbi függvény tulajdonságait: szélsőérték, inflexiós pont, konvexitás, monoton növekedés, csökkenés: y (x) = y(x) x + x. Megoldás. Az y függvény szélsőértéke ott van, ahol y (x) = és y (x). Az első feltételből a függvénynek az y(x) = x x+ egyenletet teljesítő pontokban lehetséges szélsőértéke (. ábrán kékkel rajzolt). És mivel ezekben a pontokban y (x) = x+, 5 4 4. ábra. Iránymező (.. feladat). ezért az is kiderül, hogy a fenti szélsőértékek minimumok, ha x <, és maximumok, A segédanyag letölthető a http://math.bme.hu/ jtoth/ internetes oldalról. A segédanyag a feladatok mellett azok megoldásait is tartalmazza.

ha x >. Az x = esetben y () = y () = és mivel y () (x) =, ezért annak a függvénynek, melyre y() = teljesül az x = pontban inflexiós pontja van. Az x x x+ parabola (kék vonal) fölött a függvény monoton növekvő, alatta pedig monoton csökkenő. Mivel y (x) = y (x) x+ = y(x) x, ezért az x parabola (zöld vonal) fölött a függvény (alulról) konvex, alatta pedig (alulról) konkáv. A lehetséges x y(x) függvények közül néhányat (narancssárgával) berajzoltunk az. ábrán... Feladat Rajzoljuk fel a következő differenciálegyenletek iránymezőit: y (x) = y(x) x, y (x) = x y(x), Megoldás. A Mathematica segítségével: y (x) = y(x), y (x) = y(x) x x, y (x) = x y(x). VectorFieldPlot[{fx,fy}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}], ha y (x) = f y / f x. A megoldások értelemszerűen az alábbi ábrán láthatóak. f x, y y x.. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C R számokkal y(x) := C cos(x)+c sin(x) (x R), akkor y (x)+y(x) = (x R).

f x, y y x f x, y y x Megoldás. Határozzuk meg a függvény deriváltjait: y (x) = C sin(x)+c cos(x), y (x) = C cos(x) C sin(x) = y(x), tehát valóban y (x)+y(x) = (x R).

f x, y x y f x, y x y.4. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C R számokkal y(x) := C cosh(x)+c sinh(x) (x R), akkor y (x) y(x) = (x R). 4

Megoldás. Határozzuk meg a deriváltakat: y (x) = C sinh(x)+c cosh(x), y (x) = C cosh(x)+c sinh(x) = y(x), tehát valóban y (x) y(x) = (x R)..5. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C,λ,λ R számokkal y(x) := C e λ x +C e λ x (x R), akkor y (x) (λ + λ )y (x)+λ λ y(x) = (x R). Megoldás. A fenti függvény n-edik deriváltja (n=,,,... ): y (n) (x) = C λ n e λx +C λ n e λx. A bizonyítandó kifejezésbe behelyettesítve: C λ eλx +C λ eλx (λ + λ )(C λ e λx +C λ e λx )+λ λ (C e λx +C e λx ) = = (λ λ λ λ λ + λ λ )C e λx +(λ λ λ λ λ + λ λ )C e λx =..6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C,n R számokkal y(x) := x n (C cos(ln(x))+c sin(ln(x))) = (x R + ), akkor x y (x)+( n)xy (x)+(+n )y(x) = (x R). Megoldás. Határozzuk meg a deriváltakat: y (x) = x n [(nc +C )cos(ln(x))+(nc C )sin(ln(x))] y (x) = x n [((n n )C +(n )C )cos(ln(x))+ +(( n)c +(n n )C )sin(ln(x))]. A bizonyítandó kifejezésbe behelyettesítve innen már belátható az azonosság.. Közvetlenül integrálható egyenletek.7. Feladat Határozzuk meg az y (x) = x+a, differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. a R 5

Megoldás. Az első esetben legyen Ω :=] a,+ [ R, ekkor a megoldás (. ábra): y(x) = dx = ln(c(x+a)) (c > ). x+a A második esetben Ω :=], a[ R, ekkor a megoldás (. ábra): y(x) = dx = ln(c(x+a)) (c < ). x+a 4. ábra. A.7. feladat megoldása különböző c értékekre (a = )..8. Feladat Oldjuk meg a differenciálegyenletet. z (t) = +t Megoldás. Legyen Ω := R R. Mindkét oldalt integrálva a megoldás (. ábra): z(t) = + dt = ( ) t ( ) dt = arctan 6 + t t +C..9. Feladat Határozzuk meg a ϕ (r) = r differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. Megoldás. Az egyenlet jobboldalát figyelembe véve definiáljuk a következő (nyílt, egyszeresen összefüggő) tartományokat: ] [ ] [ ] [ Ω :=, R, Ω :=, R, Ω :=,+ R. 6

.5 4 4.5. ábra. A.8. feladat megoldása különböző C értékekre. Integráljuk mind a két oldalt: ϕ(r) = r dr. Végezzük el az integrandus parciális törtekre bontását: r = Tehát a megoldás (4. ábra): ϕ(r) = 6 ( r+ r+ )( r dr 6 ) = r r+ + r dr = 6 ln c r+ r ahol (r,ϕ(r)) Ω és (r,ϕ(r)) Ω esetén c >, illetve (r,ϕ(r)) Ω esetén c <..,.5..5.5..5 4. ábra. A.9. feladat megoldása különböző c értékekre... Feladat Oldjuk meg az u (p) = p 7

differenciálegyenletet. Megoldás. Legyen Ω := ábra): u(p) = ], [ R. Mindkét oldalt integrálva a megoldás (5. dp = p ( ) u(p) = arcsin p +C. ( ) dp, p..5...5.5..5..5..5 5. ábra. A.. feladat megoldása különböző C értékekre... Feladat Adjuk meg a z (ξ) = sin(ξ) differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. Megoldás. Legyen Ω :=],π[ R, illetve Ω :=] π,[ R. Természetesen még végtelen sok hasonló tartományt definiálhatnánk, de ez a kettő lényegében elég. Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát: ( ( ) ) ) ξ ) sin + cos ξ sin(ξ) = sin( ξ ) = sin( ξ cos( ξ ) cos( ξ + cos( ξ ) ) sin( ξ Mindkét oldalt integrálva a megoldás (6. ábra): ( ( )) ( ( ξ ξ z(ξ) = ln cos + ln sin )) ( +C = ln ctan ahol (ξ,z(ξ)) Ω esetén c >, illetve (ξ,z(ξ)) Ω esetén c <. ( )) ξ, 8

6 4 4 6 6. ábra. A.. feladat megoldása különböző c értékekre... Feladat Adjuk meg az x (y) = +y y differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. Megoldás. Legyen Ω :=],+ [ R, illetve Ω :=],[ R. Integrálva mindkét oldalt kapjuk a megoldást (7. ábra): ( +y x(y) = y dy = ) dy = y ln(c(y )), y ahol c >, ha (y,x(y)) Ω, illetve c <, ha (y,x(y)) Ω. 4 4 4 7. ábra. A.. feladat megoldása különböző c értékekre... Feladat Oldjuk meg a differenciálegyenletet. ϕ (r) = r +r 9

Megoldás. Legyen Ω :=],+ [ R, illetve Ω :=], [ R. Integrálva mindkét oldalt a megoldás (8. ábra): ϕ(r) = r ( r+ dr = r + ) dr = r r+ r+ln(c(r+)), ahol c >, ha (r,ϕ(r)) Ω, illetve c <, ha (r,ϕ(r)) Ω. 5 5 4 4 6 5 5 8. ábra. A.. feladat megoldása különböző c értékekre..4. Feladat Oldjuk meg a differenciálegyeneltet. p (s) = (s )(s+) Megoldás. Legyen Ω :=],+ [ R, Ω :=],[ R, illetve Ω :=], [ R. A jobb oldal parciális törtekre bontásával és integrálásával a megoldás (9. ábra): ) ds = 4 ln(s ) 4 ln(s+)+c, ( p(s) = 4 s 4 s+ p(s) = ( 4 ln c s ), s+ ahol (s, p(s)) Ω,Ω esetén c >, illetve (s, p(s)) Ω esetén c <..5. Feladat A szobába berepült két hógolyó, az egyik sugara éppen kétszer akkora mint a másiké. Tudjuk, hogy az olvadás sebessége egyenesen arányos a felülettel. Mekkora lesz a nagyobbik hógolyó abban a pillanatban, amikor a kisebbik teljesen elolvad? Megoldás. Feltehetjük, hogy a hógolyók jó közelítéssel szabályos gömb alakúak. Legyen I R nyílt intervallum, ami tartalmazza a nulla pontot és jelölje az I t r(t)

..5 4 4.5. 9. ábra. A.4. feladat megoldása különböző c értékekre. függvény a sugár időtől való függését. Mivel egy valós fizikai feladatról van szó, ezért érthető módon r : I R +. A gömb térfogatát és felszínét a következő függvények írják le: V r = 4π r, A r = 4πr. Azt a tényt, hogy a hógolyó fogy a tömegének változásával fogalmazhatjuk meg, ami a feladat szövege szerint: (V r) = k (A r), ρ ahol a hógolyó ρ R + sűrűségéről feltesszük, hogy homogén. Továbbá az egyenlet baloldalán elvégezve a deriválást (az összetett függvény deriválási szabálya szerint): (V r)r = k (A r) ρ 4πr r = k ρ 4πr r = K, ahol R + K = k/ρ. A megoldás mind a két oldal intergálásával adódik: t r (s)ds = t Kds r(t) = Kt + r(). Tehát azt kaptuk, hogy a fentiekben felállított modell szerint a hógolyó sugara az idő múlásával lineárisan csökken. Az r értékkészletére vonatkozó fizikai feltevés miatt t I (, r() K ). Legyen a kisebbik hógolyó kezdeti sugara r a nagyobbiké R = r, így a két hógolyóra vonatkozó egyenlet: r (t) = Kt + r, r (t) = Kt + r. Jelölje T azt az időt, amikor teljesen elfogy a kisebbik hógolyó, ekkor: r (T) = KT + r =, T = r K. Ekkor a nagyobbik hógolyó sugara: r (T) = K r K + r = r, vagyis pontosan akkora, mint amennyi a kisebbik volt az olvadás kezdetekor.

. A fokozatos közelítés módszere A fokozatos közelítés módszerénél a következő iterációval határozhatjuk meg az y (x)= f(x,y(x)) alakú differenciálegyenlet (x,y(x )) Ω ponton átmenő közelítő megoldását: x y n+ (x) = y(x )+ f(s,y n (s))ds, y (x) := y(x ). x.6. Feladat Oldjuk meg a fokozatos közelítés módszerével az y = y, y() = Cauchy-feladatot. Megoldás. Tehát a fentiek szerint y (x) := y() =. Az iteráció néhány lépése: y (x) = + y (x) = + y (x) = + x x x ds = +x (+s)ds = +x+ x ( +s+ s Tegyük fel, hogy az n-edik iteráció után a megoldás y n (x) = )ds = +x+ x + x. n k= alakban áll elő (ezt a fenti iterációból sejthetjük meg), ekkor y n+ (x)=+ x n k= x k k! dx=+ n k= x x k x k k! n k! dx = + x k+ n k= k!(k+) = + x k+ n+ k= (k+)! = x k k= k!, tehát a megoldás valóban a fenti alakban adható meg. A pontos megoldást a fenti függvénysor hatérértékeként ha az egyáltalán létezik kapjuk: lim y n(x) = lim n + n n + k= x k + k! = x k k= k! = ex. Ellenőrizhető, hogy ez valóban megoldása a fenti Cauchy-feladatnak..7. Feladat Oldjuk meg a fokozatos közelítés módszerével az y (x) = x +y (x), y() = Cauchyfeladatot az Ω := [,] [,] négyzeten. Megoldás. Tehát y (x) :=, továbbá y (x) = y (x) = y (x) = x x x s ds = x ( s + )ds s6 = x 9 + x7 6 ( ( ) s s ) + + s7 ds = 6 = x + x7 6 + x 79 + x5 5955. x (s + ) s69 s + 89 + s4 ds = 969

A megadott tartomány szélén: y () y () y ().8, tehát a harmadik iterációval kapott megoldás feltehetően nagy pontossággal megközelíti a valódi megoldást. 4. Autonóm és autonómra visszavezethető egyenletek 4.8. Feladat Oldjuk meg az kezdetiérték-problémát. y (x) = y (x), y() =. Megoldás. Alkalmas Ω := R R + tartományt választva: x y (s) x y (s) ds = ds, aminek baloldalára alkalmazva a helyettesítéses integrál formulát: y(x) y() tehát a megoldás (. ábra): η / dη = y(x) = x, y(x) = ( x + ) (x R). 4 6 4. ábra. A 4.8. feladat megoldása. 4.9. Feladat Oldjuk meg a z (x) = x+z(x)

differenciálegyenletet. Megoldás. Legyen Ω := R. Ez a feladat látszólag nem autonóm, de arra visszavezethető, ugyanis ha elvégezzük az u(x) := z(x) + x helyettesítést, akkor az: egyenletet kapjuk, melynek a megoldása: u (x) = u(x) + u (x) u(x) + dx = dx = x+c. A baloldalon lévő integrált tovább alakítva és elvégezve az s := ϕ(t) = lg(t ), ϕ(t) = ln()(t ) (t ],+ [) helyettesítést s + ds = ln() t(t ) dt = ( ln() t ) dt = t ln() ln amiből visszahelyettesítve t = s + = u(x) + : ( ) ln() ln u(x) u(x) = x+c, + ( t amiből kifejezve u(x)-et és elvégezve az u(x) = z(x) + x visszahelyettesítést kapjuk a megoldást (. ábra): ( c x ) z(x) = lg c x x, (x ], lg(c)[). Megállapítható, hogy az a speciális eset állt elő, amikor a megoldás értelmezési tar- t ), 5 4. ábra. A 4.9. feladat megoldása különböző c értékekre. tománya, illetve annak határa a kezdeti értéktől függ. Az nemzetközi szakirodalom az ilyen típusú szingularitásokat movable singularity néven említi. Egyéb kulcsszavak: blow-up, finite escape time. 4

4.. Feladat Határozzuk meg az differenciálegyenlet megoldását. y (x) = cos(y(x) x) Megoldás. Legyen Ω alkalmasan megválasztott tartomány. Alkalmazva az u(x) := y(x) x helyettesítést az u (x) = cos(u(x)) egyenlethez jutunk. A megoldáshoz osszunk le a jobboldalon szereplő kifejezéssel (ezt a megfelelően megválasztott Ω tartományon megtehetjük): A fenti integrál kiszámítása: cos(s) ds = u (x) cos(u(x)) dx = cos ( s ) sin ( s dx = x+c. ) ds = sin ( )ds = s tan ( s ), amiből az s = u(x) = y(x) x helyettesítéssel a megoldás: ( ) y(x) = arctan + x (x ], C[) vagy (x ] C,+ [). x+c Az előző feladatban szereplő megoldáshoz hasonlóan itt is a kezdeti értéktől függ a 4 4. ábra. A 4.. feladat megoldása különböző C értékekre. megoldás értelmezési tartományának határa, azonban itt ez a határ nem szingularitás miatt, hanem a megoldás differenciálhatósága miatt lép fel. 4.. Feladat A kemencéből kivett kenyér perc alatt C-ról 6 C-ra hűlt le. A környező levegő hőmérséklete C. Mikorra hűl le a kenyér 5 C-ra? Megoldás. A feladat megoldásához ismernünk kell a Newton által megfogalmazott törvényt, miszerint egy test hőmérsékletének időbeli változása egyenesen arányos a 5

környezet és a test hőmérsékletének különbségével. Tehát a következő összefüggést tudjuk felírni: Ṫ(t) = k(t k T(t)), ahol T(t) a test hőmérséklete a t időpontban és T k = C állandónak tekintett környezeti hőmérséket, illetve k R + szintén állandó. Mivel a feladat szövege szerint hülésről van szó, ezért feltehetjük, hogy T(t) > T k minden t R esetén (ezt a differenciálegyenlet megoldása során való integráláskor vegyük figyelembe). A fenti egyenlet megoldása: T(t) = T k + ce kt. A szövegben szereplő adatokat kiértékelve: T() = = +c, T() = 6 = +ce k, amiből tehát a konkrét lehülési görbe: c = 8, k = ln(), T(t) = +8e.69t. Jelülje t azt az időpontot, amikor a kenyér 5 C-os lesz: T(t ) = 5 = +8e kt t = ln(6) ln() = 4. 8 6 4 4 6 8. ábra. Illusztráció az 4.. feladat megoldásához. 4.. Feladat A liter vizet tartalmazó edénybe literenként.kg sót tartalamzó oldat folyik be folyamatosan l/perc sebességgel. Az edénybe belépő folyadék összekeveredik a vízzel, és a keverék ugyanilyen sebességgel kifolyik az edényből. Mennyi só lesz az edényben 5 perc múlva? 6

Megoldás. Az edényben lévő folyadék koncentrációja a t időpillanatban c(t) = m(t)/ kg/l. A befolyó folyadék állandó koncentrációja c be =. kg/l. A be-, illetve kifolyási sebességet figyelembevéve az edényben lévő folyadék koncentrációjának időbeli változására a következő egyenlet írható fel: [ ] kg ċ(t) = k(c be c(t)) ṁ(t) = k(c be m(t)), min ahol k a be-, illetve kifolyási sebesség. Behelyettesítve az ismert adatokat a következő differenciálegyenlethez jutunk: ṁ(t) = ( m(t)). Mivel az edényben lévő folyadék sótartalma nem haladhatja meg a befolyó folyadék sótartalmát, ezért feltehetjük, hogy m(t) < minden t R esetén. Ha kezdetben az edényben tiszta víz van, akkor m() =. Az egyenlet megoldása: amiből végül a megoldás (4. ábra): tehát 5 perc múlva sót tartalmaz az edényben lévő víz. t m (s) t m(s) ds = ds m(t) m() dµ= t µ ln( m(t))+ln() = t, m(t) = ( e t), m(5) = ( e ).99986 kg..5..5..5 4 5 4. ábra. Illusztráció az 4.. feladat megoldásához. 4.. Feladat Egy kőzet megvizsgált darabja mg uránt és 4mg ólmot tartalmaz. Ismert, hogy az urán felezési ideje 4.5 9 év, és hogy 8g urán teljes elbomlásakor 6g ólom keletkezik. Állapítsuk meg a kőzet korát. 7

Megoldás. A radioaktív bomlás a legegyszerűbb folytonos determinisztikus modell szerint olyan, hogy a bomlás egyenesen arányos a jelenlévő tömeggel, tehát: ṁ(t) = km(t), ahol k R + a bomlás sebességére jellemző állandó. A fenti egyenlet megoldása: m(t) = m()e kt azt mutatja, hogy a radioaktív anyag exponenciálisan bomlik. Felhasználva az urán felezési idejére való ismeretünket: amiből a bomlás sebessége: m() = m(4.5 9 ) m() = m()e k 4.5 9, k = ln() 4.5 9.54 9. A fenti adatokból könnyen kiszámítható, hogy eredetileg m() = + 8 4 6.75 6 gramm urán volt a kőzetben, így az erre a kőzetre vonatkoztatott bomlási folyamat: m(t) = 6.75e.54 9t. A kőzetben a jelen T időpontban g urán van, így az = 6.75e.54 9 T egyenlet megoldását kell meghatároznunk, ami ( ) 6.75 9 T = ln.54.89 6, azaz körülbelül millió éves kőzetről van szó. 5. Szétválasztható változójú egyenletek 5.4. Feladat Határozzuk meg az x y (x) cos(y(x)) = differenciálegyenletnek azt a megoldását, amelyre lim y(x) = 9π x + 4. 8

Megoldás. Legyen Ω := R + ] π, 5π [, ekkor a változók szétválasztásával és mind két oldal integrálásával: y (x) +cos(y(x)) dx = x dx = x +C. A baloldalon lévő integrált a helyettesítéses integrál segítségével a következőképpen írhatjuk fel, és számolhatjuk ki: +cos(s) ds = +cos (s) sin (s) ds = cos (s) ds = tan(s), tehát az általános megoldás: y(x) = arctan ( x ) +C. Mivel ezért a megoldás (5. ábra): lim x + y(x) = arctan(c) = 9π 4 y(x) = arctan C =, ( x + ) + π. 5Π 9Π 4 Π 7Π 4 Π 4 5 6 5. ábra. Illusztráció a 5.4. feladat megoldásához. 5.5. Feladat Határozzuk meg a y (x)y (x)+6x = xy (x) differenciálegyenletnek azt a megoldását, amely a jobb félegyenesen korlátos. Megoldás. Legyen Ω := R ], + [, ekkor y (x)y (x) y (x) 8 dx = xdx = x +C. 9

A fenti egyenlet baloldalát tovább alakítva: s s 8 ds = ln(s 8), így az általános megoldás: y(x) = ce x + 8 (x R), ami nyilvánvalóan csak akkor korlátos x R + esetén, ha c =, tehát a jobb félegyenesen korlátos megoldás: y(x) =. Megjegyzés: a feladat a z(x) := y (x) helyettesítéssel is megoldható, hiszen ekkor z (x) = y (x)y (x), ami éppen az egyenlet baloldalán szerepel. 5.6. Feladat A m térfogatú szobában.5% széndioxid gáz van. A ventillátor percenként m.4% széndioxidot tartalmazó levegőt fúj be. Mennyi idő múlva csökken a szoba levegőjében lévő széndioxid mennyisége a harmadára? Megoldás. Jelölje CO (t) a szobában lévő széndioxidot a szoba térfogatának százalékában a t időpontban. Nyilvánvaló, hogy a szobába beáramló térfogat egyenlő a kiáramlóval, bár tudjuk, hogy a gázok összenyomhatóak, de ebben az esetben fetesszük, hogy a szobában lévő nyomás közel állandó. Tehát a szobába percenként.4m széndioxid áramlik be, ugyanekkor CO (t) áramlik ki. Így a szoba szénmonoxid.5..5 4 6. ábra. Illusztráció a 5.6. feladat megoldásához. százalékos tartalmára a következő egyenlet írható fel: dco (t) dt így kihasználva, hogy CO () =.5 t CO (t) = (.4 CO (t)), CO (τ) t CO (τ).4 dτ =.dτ, CO () ds =.t, s.4 ln(co (t).4) ln(.) =.t,

tehát a megoldás: CO (t) =.e.t +.4. Legyen T azaz időpont, amikor a szobában lévő kezdeti széndioxid mennyiség a harmadára csökken, ekkor: ( ). CO (T) =.5 =.e.t +.4 T = ln.98min,. vagyis körülbelül 4 perc alatt csökken a széndioxid a megadott mértékre (6. ábra). 5.7. Feladat Mennyi idő alatt folyik ki az összes víz az.8m átmérőjű és.45m magasságú függőleges hengerből a fenekén lévő 6cm átmérőjű lyukon keresztül? (A h vízszint mellett a kifolyási sebesség:.6 gh, ahol g = m/s ) Megoldás. Jelölje h(t) a víz magasságát a t időpontban. Ekkor a tartályban lévő víz térfogata a t időpontban: V(t) = π.9 h(t). A tartályban lévő víz térfogatának időbeli változása:.5..5..5 4 6 8 7. ábra. Illusztráció a 5.7. feladat megoldásához. amiből V (t) =.9 π h (t) =. π.6 h(t), t így a megoldás (7. ábra) h ( ) (t). =.6.98 h(t).9 h (τ) t dτ =.98dτ h(τ) h(t) h() s ds =.98t h(t) h() =.98t, h(t) = (.49t +.5655). A tartály nyilván akkor ürül ki, amikor a h(t) =, vagyis T = 5s, ami 7.5 perc.