. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb egy elemét rendeljük. Értelmezési tartomány: Az A halmaz azon elemeinek halmaza, melyekhez rendelünk B halmazból elemet. Értékkészlet: A B halmaz azon elemeinek halmaza, amit A halmaz valamely eleméhez hozzárendeltünk. ( Alapüggvények Vannak bizonyos alapüggvények, melyeknek az ábráit és tulajdonságait ismertnek tekintjük. n () () n () () () a egymás inverzei g() log trigonometrikus üggvények: sin; cos; tg; ctg ) Függvénytranszormációk - () + c eltolás az y tengely mentén - ( + c) eltolás az tengely mentén - c () nyújtás az y tengely mentén - (c ) nyújtás az tengely mentén a Elemi üggvényvizsgálat Az elemi üggvényvizsgálat lépéseit ogom ismertetni, olyan sorrendben, amilyen sorrendben vizsgáljuk a üggvényt, és ezek közül néhányat deiniálok is. Értelmezési tartomány(globális tul.) Értékkészlet(globális tul.) Zérushely(lokális tul.) o De: Az ÉT azon elemei, melyekre a üggvény értéke. ()= Szélsőérték o abszolút szélsőérték (globális tul.) ()-nek -ban abszolút maimuma van, ha a üggvény a teljes értelmezési tartományon nem vesz el nagyobb értéket, mint ( ), ( D ). Ekkor a szélsőérték hely. ()-nek -ban abszolút minimuma van, ha a üggvény a teljes értelmezési tartományon nem vesz el kisebb értéket, mint ( ), ( D ). Ekkor a szélsőérték hely. o lokális szélsőérték (környezet: olyan intervallum, aminek az adott pont a közepén van)
min/ma: ( ) lokális szélsőérték, ha van -nak olyan kis környezete, amelyben a üggvény értelmezett és a üggvény nem vesz el kisebb/nagyobb értéket, mint ( ) Monotonitás(lokális tul.) o monoton csökken az () üggvény I intervallumon, ha értelmezett az I intervallumon (I D ), I-nek ha >, akkor ( ) ( )(ha csak nagyobb, akkor szigorúan monoton csökken) o monoton növekvőnél ugyanez, csak >, akkor ( ) ( ) Korlátosság(globális tul.) o () üggvény elülről korlátos, ha olyan K R, hogy D -re () K o () üggvény alulról korlátos, ha olyank R, hogy D -re () k o akkor korlátos a üggvény, ha alulról és elülről is korlátos Konveitás(globális és lokális tul.) o Az intervallumon a üggvény két pontját összekötő szakasz a üggvény elett/alatt halad. Paritás(globális tul.) o páros, ha D -re: D o páratlan, ha D - re: D ()=(-) geometriai jelentés: ábrája az y tengelyre szimmetrikus (-) = -() geometriai jelentés: ábrája az origóra szimmetrikus Periodikusság(globális tul.) Folytonosság(lokális tul.) Kölcsönösen egyértelműség(globális tul.) Dierenciálható-e(lokális tul., hozzátartozik, hogy hol) Analitikus eszközök Ha a üggvény ábráját nem ismerjük, a üggvény vizsgálatának az analitikus eszközeit kell használnunk. A legontosabb ilyen eszköz (a dierenciálhányados és) a deriváltja. Dierenciálhányados De:Legyen () üggvény értelmezett pontban és annak egy környezetében. Ekkor () üggvény pontbeli dierenciálhányadosa a következő határérték: '( ) határértéke.) () ( ) (Amennyiben létezik ez a szelő - ()-( ) érintő
Geometriai jelentése A dierenciálhányados a üggvényhez az adott pontba húzott érintőjének meredeksége. '( ) m tg e Deriváltüggvény De: Legyen az () üggvény értelmezett azokban az pontokban,melyekben () dierenciálható, és ezekben a pontokban vegye el az adott pontbeli dierenciálhányados értékét. () ( ) Vagyis '( ) ha a határérték létezik és véges. Az így deiniált üggvényt () deriváltüggvényének nevezzük. Alapüggvények deriváltjai Tétel: = n = n n Bizonyítás:n N - re megy: n = = n = n R = = minden pontban. n = = = = ez a képletnek megelelő eredmény ( = ) ( = ) = = ez a képletnek megelelő eredmény = minden pontban. n = n n n = n n = n n = n + n + + n = alkalmazzuk az a n b n azonosságot n db tag = n n minden R - ra = n = n n. - További alapüggvények deriváltjai (tételek) (sin )' cos (cos)' sin (tg)' (ctg)' cos sin (e )' e (ln )' (a (log )' a a )' ln a ln a
- Deriválási szabályok (tételek) ( c)' ' (c )' c ' ( g)' ' g' g ' 'g g' g Nevezetes tételek ( g)' 'g g' ( (g))' '(g) g' A tételek eltétele, hogy () értelmezett legyen és dierenciálható. A derivált, a monotonitás és a szélsőérték kapcsolata Tétel : () () szigorúan monoton nő () () szigorúan monoton csökken () = -nek lokális szélsőértéke van Csak ott lehet szélsőérték, ahol a derivált, de nem biztos, hogy szélsőértéke van ott, ahol a derivált. ( () = szükséges, de nem elégséges eltétel) (pl.: = minimuma deriválással nem jön ki) Második derivált Tétel :Ha () üggvény kétszer dierenciálható az értelmezési tartományon és ( ) konve ( ) konkáv ( ) = -nek inleiós pontja van (konveitást vált) Tétel 3 :Ha egy üggvény kétszer dierenciálható egy adott intervallumon és az az intervallum egy pontja, akkor ha -nek lokális maimuma van -ban ( ) = és ( ) < ha -nek lokális minimuma van -ban ( ) = és ( ) > Analitikus üggvényvizsgálat A sorrend itt más, mint az elemi üggvényvizsgálatnál.. Értelmezési tartomány. Folytonosság (olytonos, ha értelmezett pontban és = ), és szakadási helyek 3. Határérték a szakadási helyeken és az É.T szélein 4. Zérushely 5. Monotonitás ( ) 6. Szélsőérték ( ) 7. Konveitás, inleiós pont ( ) 8. Kölcsönösen egyértelműség 9. Korlátosság. Paritás. Ábra. Értékkészlet
Alkalmazások a dierenciálhányados az érintő szerkesztésére is alkalmas szélsőérték eladatok o pl. maimális proit o minimális költség o minimális elület (pingvinek a pingvinek az Egyenlítő mentén vékonyak, a Déli-sarkon gömbölyűek, az egyenlítőieknek jobb a hőleadása (nagyobb elszín)) o elhajtóerő maimalizálása (repülő) o légellenállás, közegellenállás minimalizálása (autóknál, úszásnál) o adott kerület esetén terület maimalizálása o szakítószilárdság maimalizálása, pl. hidak állóképessége a rá ható erők maimalizálása, és úgy építik, hogy azt kibírja o legkisebb elszín legnagyobb térogat (építészetben)