Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet www.math.u szeged.hu/~nemeth 2006, 2007.
Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1 sztadion előnyt. Utoléri e Akhilleusz a teknősbékát, és ha igen, hol?
Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1 sztadion előnyt. Utoléri e Akhilleusz a teknősbékát, és ha igen, hol? Utoléri, hiszen ha Akhilleusz megtesz mondjuk 2 sztadion utat, ezalatt a teknősbéka az előnyével együtt is csak 1,2 sztadion messzire jut, tehát lemaradt.
Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1 sztadion előnyt. Utoléri e Akhilleusz a teknősbékát, és ha igen, hol? Utoléri, hiszen ha Akhilleusz megtesz mondjuk 2 sztadion utat, ezalatt a teknősbéka az előnyével együtt is csak 1,2 sztadion messzire jut, tehát lemaradt. Ahhoz, hogy a teknőst utolérje, Akhilleusznak sztadion utat kell megtennie. 1 1 10 1 100 1 1000 1 10 k
Gombóc Artúr nagyon szereti a csokoládét. Kedvenc csokija csomagjában van egy szelvény, és 10 szelvényért egy újabb csokit lehet kapni a boltban (persze becsomagolva). Mennyit ér valójában egy csomag csoki?
Gombóc Artúr nagyon szereti a csokoládét. Kedvenc csokija csomagjában van egy szelvény, és 10 szelvényért egy újabb csokit lehet kapni a boltban (persze becsomagolva). Mennyit ér valójában egy csomag csoki? Világos, hogy egy tábla csokit és egy szelvényt. De ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 1 szelvény = 0,1 csomag, és a tized csomaghoz is tartozik egy tized szelvény... Tehát a becsomagolt csoki mindösszesen 1 1 10 1 100 1 1000 1 tábla (meztelen) csokit ér. 10 k
Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz 9 szelvény = 1 tábla csoki, 1 1 szelvény = tábla csoki, 9
Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz 9 szelvény = 1 tábla csoki, 1 1 szelvény = tábla csoki, 9 tehát 1 1 10 1 100 1 1000 1 10 k =1 1 9
Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz 9 szelvény = 1 tábla csoki, 1 1 szelvény = tábla csoki, tehát 9 1 1 10 1 100 1 1000 1 10 k =1 1 9 Azaz a becsomagolt csoki 1 tábla csokit ér; Akhilleusz 1 sztadion után éri utol a teknőst; és úgy adhatunk össze végtelen sok számot, hogy az elsőt 1, a másodikat 0,1, a harmadikat 0,01másodperc alatt adjuk a többihez és így tovább ekkor 1 másodperc alatt végzünk. 1 9 1 9 1 9
Nézzük általánosan: Ha 1 x x 2 x 3 x 4 =S, x x 2 x 3 x 4 =x S, azaz 1 0 0 0 0 = 1 x S, 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x.
Nézzük általánosan: Ha 1 x x 2 x 3 x 4 =S, x x 2 x 3 x 4 =x S, azaz Ha x = 1 10, akkor 1 0 0 0 0 = 1 x S, 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x. 1 1 10 1 100 1 1000 1 10 k = 1 1 1 10 =1 1 9
Ha x = 1, akkor 4 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x 1 1 4 1 4 2 1 4 3 1 4 k = 1 =1 1 3 1 1 4
Ha x = 1, akkor 4 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x 1 1 4 1 4 2 1 4 3 1 4 k = 1 =1 1 3 1 1 4
1 8 1 16 1 32 1 64 = 1 8 1 1 2 1 4 1 8 = 1 1 8 1 1 2 = 1 4
1 8 1 16 1 32 1 64 = 1 8 1 1 2 1 4 1 8 = 1 1 8 1 1 2 = 1 4
1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x
Ha x = 1, akkor 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 = 1 2 Egész számok összege tört?
Ha x = 1, akkor 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 = 1 2 Egész számok összege tört? Ha x =2, akkor 1 2 4 8 16 = 1 1 2 = 1 Pozitív számok összege negatív?
Ideje pontos definíciót adni. Az a 1 a 2 a 3 a 4 a k = k =1 formális összegnek (végtelen sornak, numerikus sornak) képezzük a részletösszegeit a következő módon: a k s 1 =a 1, s 2 =a 1 a 2, s 3 =a 1 a 2 a 3, s 4 =a 1 a 2 a 3 a 4, s n =a 1 a 2 a 3 a n,
Ideje pontos definíciót adni. Az a 1 a 2 a 3 a 4 a k = k =1 formális összegnek (végtelen sornak, numerikus sornak) képezzük a részletösszegeit a következő módon: a k s 1 =a 1, s 2 =a 1 a 2, s 3 =a 1 a 2 a 3, s 4 =a 1 a 2 a 3 a 4, s n =a 1 a 2 a 3 a n, Ha van olyan s szám, amit a részletösszegek minden határon túl megközelítenek, azt mondjuk, hogy a sor konvergens és összege s. Ha nincs ilyen szám, az összeget nem értelmezzük, a sor divergens.
Számoljuk ki az sor részletösszegeit: 1 x x 2 x 3 x k s n =1 x x 2 x n = 1 x n 1 x x 1
Számoljuk ki az sor részletösszegeit: 1 x x 2 x 3 x k s n =1 x x 2 x n = 1 x n 1 x Legyen x < 1. Ha n elég nagy, x n 0, s n 1 1 x, s n 1 1 x x 1
Számoljuk ki az sor részletösszegeit: 1 x x 2 x 3 x k s n =1 x x 2 x n = 1 x n 1 x Legyen x < 1. Ha n elég nagy, x n 0, s n 1 1 x, s n 1 1 x 1 Tehát fenti sorunk összege. 1 x x 1 Ha x 1, a részletösszegek minden határon túl növekszenek (abszolút értékben); ha x = 1, a 0 és az 1 között ugrálnak; a sor összege definíciónk szerint ekkor nem értelmezett.
Ha a sor tagjai mind pozitívak, a részletösszegek monoton növekszenek. A helyzet egyszerű: Ha a részletösszegek minden határon túl növekszenek, a sor divergens.
Ha a sor tagjai mind pozitívak, a részletösszegek monoton növekszenek. A helyzet egyszerű: Ha a részletösszegek minden határon túl növekszenek, a sor divergens. Ha a részletösszegek korlátosak, a sor konvergens.
Példa: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 k
Példa: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 k s 2 n=1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 8 1 9 1 16 1 2 n
Példa: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 k s 2 n=1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 8 1 9 1 16 1 2 n 1 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 1 16 1 16 1 2 n 1 1 2 n A részletösszegek nem korlátosak, ezért a fenti, ún. harmonikus sor divergens, azaz nincs összege.
Példa: 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 k 2
Példa: 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 k 2 s n =1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 n 2 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 n 1 n
Példa: 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 k 2 s n =1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 n 2 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 n 1 n tudjuk, hogy 1 k 1 k = 1 k 1 1 k 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 n 1 1 n
Példa: 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 k 2 s n =1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 n 2 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 n 1 n tudjuk, hogy 1 k 1 k = 1 k 1 1 k 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 n 1 1 n 2 1 n 2
Mivel a részletösszegek (növekedőek és) korlátosak, a sornak van összege, nem tudjuk, mennyi, de legfeljebb 2. Belátható, hogy 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 k 2 1 1 1 2 2 3 1 2 4 1 1 2 2 5 2 k = 2 6
Példa: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 k 1 1 k
Példa: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 k 1 1 k A sor tagjai egyre kisebbek és váltakozó előjelűek. Az ilyen sorok mindig konvergensek, mert a részletösszegek egy számra húzódnak rá. Tehát a fenti sornak van összege.
Egy háromszög minden oldalára tegyünk egy harmadakkora háromszöget, majd ezt folytassuk. A határalakzat az ún. Koch féle hópehely.
Az eredeti háromszög oldala legyen 1. Minden lépésben az oldalak száma megnégyszereződik, hosszuk pedig harmadolódik.
Az eredeti háromszög oldala legyen 1. Minden lépésben az oldalak száma megnégyszereződik, hosszuk pedig harmadolódik. 3 Az n edik alakzat kerülete tehát 4 n. 3
Az eredeti háromszög oldala legyen 1. Minden lépésben az oldalak száma megnégyszereződik, hosszuk pedig harmadolódik. 3 Az n edik alakzat kerülete tehát 4 n. 3 Ez a sorozat minden határon túl nő, tehát a Koch hópehely kerülete végtelen nagy! Akkor igencsak kanyargós lehet...
Az n edik lépésben a hozzáragasztott kis háromszögek területe: 3 4 n 1 1 9 n 3 4 =1 3 3 4 n 1, 4 9
Az n edik lépésben a hozzáragasztott kis háromszögek területe: 3 4 n 1 1 9 n 3 4 =1 3 3 4 n 1, 4 9 tehát a hópehely területe 3 4 3 4 1 3 1 4 9 4 2 9 4 9 3 = 3 4 3 4 1 3 1 1 4 9 = 8 5 3 4
Az n edik lépésben a hozzáragasztott kis háromszögek területe: 3 4 n 1 1 9 n 3 4 =1 3 3 4 n 1, 4 9 tehát a hópehely területe 3 4 3 4 1 3 1 4 9 4 2 9 4 9 3 = 3 4 3 4 1 3 1 1 4 9 = 8 5 3 4 tehát a végtelen hosszú görbe véges területet határol! (Azért a kerület és terület fogalma igazából tisztázandó.)
Egy apa elhatározza, hogy gyermekének minden születésnapjára annyiszor 1000 Ft ot ajándékoz, ahány éves (a gyerek). Mennyi pénzt tegyen a bankba évi 6 % os kamatra, hogy ezt akármeddig folytathassa? Ahhoz, hogy n év múlva n 1000 forintunk legyen, most n 1000 q n Ft ot kell a bankba rakni (ahol q =1,06 ). A keresett összeg tehát 1000 1 q 2 q 2 3 q 3 4 q 4 5 q 5
1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q 5 1 q 2 1 q 3 1 q 4 1 q 5 1 1 q 3 q 1 4 q 5 1 1 q 4 q 5
1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q 5 1 q 2 1 q 3 1 q 4 1 q 5 1 1 q 3 q 1 4 q 5 1 1 q 4 q 5 1 q 2 3 q 2 q 4 3 q 5 4 q 5
1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q = 1 5 q 1 1 1 q 1 1 1 1 q 2 q 3 q 4 q 5 = 1 q 1 q 1 1 1 q 3 q 1 4 q 5 = 1 1 q 2 q 1 1 1 q 4 q = 1 1 5 q 3 q 1 = 1 q 1 1 q 2 3 q 2 q 4 3 q 5 4 q = 1 1 5 q 1 q 1 q 1 1 2 q 3 q 1 4 q 5
1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q = 1 5 q 1 1 1 q 1 1 1 1 q 2 q 3 q 4 q 5 = 1 q 1 q 1 1 1 q 3 q 1 4 q 5 = 1 1 q 2 q 1 1 1 q 4 q = 1 1 5 q 3 q 1 = 1 q 1 1 q 2 3 q 2 q 4 3 q 5 4 q = 1 1 5 q 1 q 1 q 1 1 2 q 3 q 1 4 q = 5 A feladat számaival ez kb. 277 ezer Ft. 1 2 q 1
Egy 10 m hosszú gumikötél egyik vége rögzített, a másik végétől egy csiga mászik a fal felé, 1 cm/s sebességgel. Igen ám, de a kötelet egy gonosz manó közben nyújtja, 10 m/s sebességgel. Eléri e a csiga a falat? 1 s múlva a csiga megtett legalább 1 cm t, a kötél 2000 cm. 2 s múlva a csiga megtett legalább 1,5 + 1 cm t, a kötél 3000 cm. Ez nem hangzik valami jól...
Egy 10 m hosszú gumikötél egyik vége rögzített, a másik végétől egy csiga mászik a fal felé, 1 cm/s sebességgel. Igen ám, de a kötelet egy gonosz manó közben nyújtja, 10 m/s sebességgel. Eléri e a csiga a falat? 1 s múlva a csiga megtett legalább 1 cm t, a kötél 2000 cm, tehát megtette az út legalább részét. 2 s múlva a csiga megtett legalább 1,5 +1 cm t, a kötél 3000 cm, tehát megtette az út legalább Ez az! 1 2000 1 2000 1 3000 részét.
Tehát n s múlva a csiga megtette az út legalább 1 1 1000 2 1 3 1 4 1 n részét. Mivel a zárójelben levő összeg minden határon túl nő. eléri az 1000 értéket is, és akkor a csiga célba ért. (A feladat adatait komolyan véve, mintegy 10 427 év alatt, a Föld kora mintegy 10 9 év )
Az ábrán látható négyzetrácsban hány pont látszik a bal alsó sarokból? Az ábrán például a zöld pontok látszanak, a pirosak nem. Bebizonyítható, hogy N növelésével a látható és az összes pontok számának aránya egy állandó K értékhez közelít. Mekkora ez a K állandó? (Úgy is fogalmazhattuk volna a kérdést, hogy milyen gyakoriak a relatív prím számpárok.)
A nem látható pontokat (mint a és b ), nyilván látható pontok takarják el (mint A és B ). Az a pontot feleúton takarja el a A pont, az ilyen takarópontok láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A b pontot harmadúton takarja el a B, az ilyen takarópontok láthatóak az N/3 oldalú négyzetben...
A nem látható pontokat (mint a és b ), nyilván látható pontok takarják el (mint A és B ). Az a pontot feleúton takarja el a A pont, az ilyen takarópontok láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A b pontot harmadúton takarja el a B, az ilyen takarópontok láthatóak az N/3 oldalú négyzetben... A látható pontok száma K N 2 =N 2 K N 2 2 K N 3 2 K N 4 2,
A nem látható pontokat (mint a és b ), nyilván látható pontok takarják el (mint A és B ). Az a pontot feleúton takarja el a A pont, az ilyen takarópontok láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A b pontot harmadúton takarja el a B, az ilyen takarópontok láthatóak az N/3 oldalú négyzetben... A látható pontok száma K N 2 =N 2 K N 2 2 K N 3 2 K N 4 2, = K 1 1 2 1 1 1 2 3 2 4 = 6 2 2
Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123 = 123 1000 123 1000 2 123 1000 3
Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123 = 123 1000 123 1000 2 123 1000 3 = 123 1000 1 1 1000 1 1000 2 = 123 1000 hiszen a mértani sort már ismerjük. 1 1 1 1000 = 123 999,
Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123 = 123 1000 123 1000 2 123 1000 3 = 123 1000 1 1 1000 1 1000 2 = 123 1000 hiszen a mértani sort már ismerjük. Hasonlóan 1 1 1 1000 = 123 999, 0,9999 = 9 10 9 10 2 9 10 3 = 9 10 1 1 10 1 10 2 1 10 3
Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123 = 123 1000 123 1000 2 123 1000 3 = 123 1000 1 1 1000 1 1000 2 = 123 1000 hiszen a mértani sort már ismerjük. Hasonlóan 1 1 1 1000 = 123 999, 0,9999 = 9 10 9 10 2 9 10 3 = 9 10 1 1 10 1 10 2 1 10 3 = 9 10 1 1 1 10 = 9 9 =1
0,9999 =1 Ez elég meglepő, nézzük más úton is! 1 1 10 0,9 1
0,9999 =1 Ez elég meglepő, nézzük más úton is! 1 1 10 1 1 100 0,9 1 0,99 1 1 1 1000 0,999 1
0,9999 =1 Ez elég meglepő, nézzük más úton is! 1 1 10 1 1 100 0,9 1 0,99 1 1 1 1000 0,999 1 Ez az úgynevezett rendőr elv. 1 1
Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 1 egy végtelen összeg. 0,abcdef = a 10 b 10 2 c 10 3 d 10 4
Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 1 egy végtelen összeg. 0,abcdef = a 10 b 10 2 c 10 3 d 10 4 Részletösszegei monoton nőnek, tehát elég a korlátosságot igazolni.
Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 1 egy végtelen összeg. 0,abcdef = a 10 b 10 2 c 10 3 d 10 4 Részletösszegei monoton nőnek, tehát elég a korlátosságot igazolni. a 10 b c d 9 10 2 10 3 10 4 10 9 10 9 9 2 10 3 10 4 =1.
Még egy igazi alkalmazás: a közelítése Definíció. 2 arctan x 2, tan arctan x =x arctan 1 3 = 6, arctan1= 4
Még egy igazi alkalmazás: a közelítése Definíció. 2 arctan x 2, tan arctan x =x Belátható, hogy arctan 1 3 = 6, arctan1= 4 arctanx =x x 3 3 x 5 5 x 7 1 x 1 7
Még egy igazi alkalmazás: a közelítése Definíció. 2 arctan x 2, tan arctan x =x Belátható, hogy ebből arctan 1 3 = 6, arctan1= 4 arctanx =x x 3 3 x 5 5 x 7 7 1 1 3 1 5 1 7 = 4 1 x 1
Igen ám, de milyen gyors a közelítés? A hiba az utolsó hozzáadott taggal becsülhető
Igen ám, de milyen gyors a közelítés? A hiba az utolsó hozzáadott taggal becsülhető Ha 100 tagot adunk össze: hiba 1 199 1 200
Gyorsabban is közelíthetünk: az ábra szerint 4 =arctan 1 2 arctan 1 3
Gyorsabban is közelíthetünk: az ábra szerint ezt használva 4 =arctan 1 2 arctan 1 3 4 = 1 2 1 2 3 3 1 2 5 5 1 2 7 7 1 3 1 3 3 3 1 3 5 5 1 3 7 7
Gyorsabban is közelíthetünk: az ábra szerint ezt használva 4 =arctan 1 2 arctan 1 3 4 = 1 2 1 2 3 3 1 2 5 5 1 2 7 7 1 3 1 3 3 3 1 3 5 5 1 3 7 7 most a hiba (ismét 100 tagot adva össze) hiba 1 2 99 99 1 3 99 99 10 30, ez 30 pontos tizedesjegy!
Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 =s.
Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 =s. 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 =s
Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 =s. 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 =s 2 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 = 1 2 s
Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 =s. 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 =s 2 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 = 1 2 s 1 2 1 0 1 3 1 2 1 5 0 1 7 1 4 = 3 2 s
Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 =s. 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 =s 2 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 = 1 2 s 1 2 1 0 1 3 1 2 1 5 0 1 7 1 4 = 3 2 s 1 1 3 1 2 1 5 1 7 1 4 = 3 2 s Ezek szerint az (1) összeg megváltozhat, ha a tagokat más sorrendben adjuk össze!?
A végtelen összegek érdekesek!