1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn lehet deriváltk segítségével függvén tuljdonságit (monotonitás, injektivitás, konveitás, szélsőértékek) tnulmánozni Azt már láttuk, hog h eg függvén deriválhtó z pontbn, kkor foltonos is ebben pontbn Ennek következméne, hog h eg függvén deriválhtó eg I intervllumon, kkor foltonos is ezen z intervllumon 61 A mtemtiki nlízis lptételei Vizsgáljuk meg, hog függvén szélsőérték pontjibn menni lehet függvén deriváltj Ehhez előbb ismételjük át és pontosítsunk néhán foglmt Legen D, D és f : D eg függvén Értelmezés 1 Az pont heli mimumpontj z f függvénnek, h létezik oln V V ( ) körnezete -nk, hog f ( ) f ( ), D V Az heli minimumpontj z f függvénnek, h létezik oln V V ( ) körnezete -nk, hog f ( ) f ( ), D V H z f ( ) f ( ) egenlőtlenség bármel D esetén teljesül, kkor -t z f globális mimumpontjánk nevezzük 4 H z f ( ) f ( ) egenlőtlenség bármel D esetén teljesül, kkor -t z f globális minimumpontjánk nevezzük 5 A lokális mimum és minimum pontokt lokális szélsőérték pontoknk, míg globális mimum és minimum pontokt globális szélsőérték pontoknk nevezzük 6 A függvén áltl szélsőérték pontbn felvett értéket szélsőértéknek (lokális vg globális minimum vg mimumnk) nevezzük ábr A ábrán láthtó, hog globális mimumpont b, globális minimumpont z 1 és ezenkívül lokális mimumpont z és illetve lokális minimumpont z is Láthtó, hog z és b pontbn függvén viselkedése eltér többi szélsőérték-pontbeli O 1 b viselkedésétől, ugnis z 1,, pontokbn z érintő vízszintes, míg két végpontbn nem Erre vontkozik következő tétel, mel biztosítj, hog z értelmezési trtomán minden belső szélsőérték-pontjábn z érintő (h létezik) vízszintes 1 Fermt tétele H z f : I függvén ( I intervllum) deriválhtó -bn, z intervllum belső pontj, és z f függvén szélsőérték-pontj, kkor f ( ) =
Deriválhtó függvének tuljdonsági 1 Bizonítás Legen lokális mimumpont Íg létezik V V ( ) úg, hog f ( ) f ( ), I V, tehát f ( ) f ( ), I V Ebből következik, hog f ( ) f ( ) f ( ) f f ( ) b ( ) = lim és f j ( ) = lim < Mivel függvén deriválhtó -bn, f ( ) = f ( ) Ez csk kkor lehetséges, h f ( ) = f ( ) = f ( ) = j b j b Megjegzések 1 Az f :[ 1,1], f ( ) szélsőérték-pontj és > = függvénnek =±1 f ( ± 1) = A tétel ezekre szélsőérték-pontokr nem érvénes, mert szélsőérték-pontok z I = [ 1,1] intervllum végpontji Az f :, f ( ) = függvének z = pont lokális (és egben globális) minimumpontj és f, mert f nem létezik ( f = 1, f = 1) Az előbbi példák lpján láthtó, hog tétel minden feltétele szükséges Rolle tétele H z f :[, b] függvén foltonos z [ b], intervllumon, deriválhtó z ( b), intervllumon és f ( ) = f () b, kkor létezik c (, b ) úg, hog f ( c) = Bizonítás H f állndó, kkor f ( ) = minden (,) b esetén H f nem állndó, kkor létezik (,) b úg, hog f ( ) > f vg f ( ) < f Mivel z intervllum zárt, létezik z M = f ( c1) = m f ( ) és m = f ( c ) = mi n f ( ), b j b, b vlós szám A c 1 és c számok közül leglább z egik z intervllum belsejében vn H ezt jelöljük c -vel, Fermt tétel lpján f ( c) = f =fb Grfikus értelmezés A B A derivált grfikus értelmezése lpján ez zt jelenti, hog h tétel feltételei teljesülnek, kkor létezik oln belső pontj z [ b, ] intervllumnk, melben grfikus képhez húzott érintő vízszintes O c b Ezt úg is foglmzhtjuk, hog létezik 1 ábr z ( b, ) intervllumbn oln c pont, melben z érintő párhuzmos z AB húrrl A következő tétel zt muttj, hog ebben megfoglmzásbn elhghtó tétel egik feltétele ( húr ugnis tetszőleges helzetű lehet)
14 Deriválhtó függvének tuljdonsági Megjegzés A Rolle tétel feltételeit teljesítő tuljdonságú függvéneknek nevezzük f :[, b] függvéneket Rolle Lgrnge tétele H z f :[, b] függvén Rolle tuljdonságú z [ b], intervllumon, kkor létezik oln c (,) b pont, melre f ( b) f ( ) f ( c) = Bizonítás Visszvezetjük Rolle tételre Szerkesztünk eg oln függvént, melnek deriváltj pontosn kkor null, h teljesül z előbbi egenlőség, és mel teljesíti Rolle tétel feltételeit f () b f() Az F :[, b] függvén deriváltj f ( ) kellene legen, tehát z f () b f() F = f bf () f () b függvén ezt feltételt teljesíti Másrészt F () = = Fb (), z F függvén foltonos [ b], -n és deriválhtó ( b,)-n, tehát lklmzhtó rá Rolle tétel Íg létezik oln c (, b ), melre F () c = és ebből következik, hog: f () b f( ) f () c = B f () b f() Geometrii értelmezés Az A kifejezés z AB húr iránténezője, tehát tétel zt fejezi ki, hog létezik oln c pont, melben z érintő párhuzmos z AB húrrl (lásd ábrát) O c b Gkorltok ábr 1 Bizonítsd be, hog tetszőleges 1, esetén cos 1 cos 1 Bizonítsd be, hog z = sin + cos egenletnek pontosn két megoldás vn [,] intervllumbn Bizonítsd be, hog z f ( ) = egenlet minden göke vlós, h f :, f ( ) = ( 1)( + )( )( + 4) 4 Igzold, hog z f :, f ( ) = + + függvén injektív 5 Htározd meg Lgrnge tételben szereplő c értéket következő függvének és intervllumok esetében: ) f :,,4, f ( ) = ; b) f :,1 π, 4, f ( ) = rctg 5 4 6 Bizonítsd be, hog z + + + 1 5 = egenletnek egetlen pozitív 1 göke vn és ez gök, intervllumbn vn
Deriválhtó függvének tuljdonsági 15 4 Cuch tétele A Lgrnge tételben szereplő tört nevezője számlálóhoz hsonló szerkezetű Felmerülhet kérdés, hog nem lehetne-e ott is eg g függvén? Erre kérdésre válszt következő tétel dj: Tétel H z f, g :[, b] függvének Rolle tuljdonságúk z [, b] intervllumon és g ( ), h (,) b, kkor létezik c (,) b úg, hog f () b f ( ) f ( c) = gb () g () g ( c) Bizonítás A Lgrnge tétel és g ( ), (, b) feltételből következik, hog g () gb () Lgrnge tétel bizonításához hsonlón, oln segédfüggvént keresünk, melnek deriváltj pontosn kkor, mikor teljesül tételbeli egenlőség Tekintjük h( ) = f ( b) f ( ) g g b g f ( ) segédfüggvént, hol [,] b Ez foltonos z [ b,]-n és deriválhtó z ( b,) intervllumon Ugnkkor h() = hb (), tehát Rolle tétel lpján létezik c (,) b úg, hog h ( c ) = vgis h ( c) = f ( b) f ( ) g c g b g f c = Mivel g () c, következik, hog ( ) f () b f ( ) f ( c) = gb () g () g ( c) Megjegzés Mindkét tételt ( Lgrnge és Cuch tételt) középérték tételnek vg véges növekedések tételének is nevezik 5 Drbou tétele H I intervllum és f : I deriválhtó függvén, kkor z f derivált függvén Drbou tuljdonságú Bizonítás Legen, b I, < b Bizonítndó, hog h λ és f ( ) vlmint f () b között vn, kkor létezik c, b úg, hog f ( c) = λ Tegük fel, hog f ( ) < f () b és f ( ) < λ < f () b Tekintsük g : I, g( ) = f ( ) λ deriválhtó függvént Ez függvén foltonos is, tehát h sikerül igzolni, hog minimumát vg mimumát z intervllum belsejében veszi fel, kkor Fermt tétel lpján következik, hog létezik c (, b) úg, hog g ( c ) = Ez éppen kívánt egenlőséget jelenti g ()= b f () b λ > és f () g ( ) = λ < lpján g () g () li m < és > g gb lim b b < b >, tehát létezik oln ε > és z ehhez trtozó δ >, hog teljesüljenek következő egenlőtlenségek:
16 Deriválhtó függvének tuljdonsági g () g () < ε, h < < + δ és g () gb () > ε, h b δ < < b b Ez lpján viszont g () < ε( ) + g () < g (), h < < + δ és g () < gb () + ε( b) < gb (), h b δ < < b Ebből két egenlőtlenségből következik, hog z f függvén minimumát nem veheti fel sem z sem b pontbn Íg foltonosság lpján minimumát z intervllum belső pontjábn veszi fel és ebben pontbn deriváltj Ebből következik, hog létezik oln c (,) b szám, melre λ = f ( c), és íg z f függvén Drbou tuljdonságú Következmén H I eg intervllum és f : I deriválhtó függvén úg, hog f ( ) h I, kkor f ( ) > minden I esetén vg f ( ) < minden I esetén 6 Gkorltok 1 Tnulmánozd Rolle tétel lklmzhtóságát következő függvénekre, z dott intervllumokon: I = [ 1, 1] f = ln( 1+ ), I = [ 1, 1] ; ) f ( ) =, ; b) π cos, 4 c) f = + 4, I = [ 5, 5] ; d) f π = π π, I =, ; sin, < 4 +, [ 1, ] e) f =, I = [ 1, 1] +, (, 1] * Bizonítsd be, hog h 1,,,, n + és 1 + + + n n, esetén, kkor 1 n = 1 Bizonítsd be, hog h z f 1,, :[, b] függvének foltonosk z [, b] intervllumon és deriválhtók z (, b) intervllumon, kkor létezik oln c (, b), melre f () c f () c f () c 1 f () f () f () = 1 f () b f () b f () b 1 4 Alklmzhtó-e Lgrnge tétel következő függvénekre, megdott intervllumokon?
Deriválhtó függvének tuljdonsági 17 ) f = 1 +, I = [ 1, 1] ; b) f =, I =,, ; 1 > c), f = ln I =, b, b > > ; d) f ( ) = 1+, I = [, 1] ; +, [ 4, ] e) f =, I = [ 4, ] ; + 1, (, ] 1 5 Érvénes-e Lgrnge tétel z f ( ) = függvénre z (, b) intervllumon, h b <? 6 Htározd meg z f ( ) = függvén grfikonján zokt pontokt, melekben grfikonhoz húzott érintő párhuzmos z A( 1, 1) és B(, 8) pontokt összekötő húrrl 7 Tnulmánozd Cuch tétel lklmzhtóságát következő függvénpárokr megdott intervllumokon: e ) f = lnés g =, I = [1, e ]; +, < 1 b) f = + 7, g () =, I =, 5, 1 5 ; 4 c) f ( ) =, g =, I = [ 1, 1] ; d) f = lnés g () =, I = [1, e ] e 6 Feldtok 1 Adott z ln n n ln = egenlet, n > 1, n, > Vn-e göke z egenletnek z I = (, + ) intervllumon? Hán göke vn? Az α mel értékére lesz z 1+ s in α = cos egenletnek eg göke? Legen f :[, b] eg deriválhtó függvén, hol b > Bizonítsd be, hog létezik c [, b] úg, hog 1 b b f ( ) f () b = 1 1 1 4 Legen f ( ) = 5 1 1 1 7 5 8 1 f ( c) c f ( c) Bizonítsd be, hog tlálhtó c (, 1) szám úg, hog f ( c) = 5 Htározd meg zokt z > számokt, melekre z egenlőtlenség igz minden > -r
18 Deriválhtó függvének tuljdonsági 6 Létezik-e oln nem lineáris függvén, mel értelmezett z egész számtengelen f? deriválhtó pártln függvén Bizonítsd be, hog z ( -en), deriválhtó n -szer (hol n ) és bármilen k -re 7 Legen f : f : függvén páros Igz-e z állítás fordítottj? ( k) 1 k 8 Igzold, hog P( X) = 1X + 1X 8X polinomnk vn leglább eg göke (, 1) intervllumbn minden esetén 9 Htározd meg z értékét úg, hog z f ( ) = ( ) függvén legen deriválhtó z = pontbn 1 Htározd meg z értékét úg, hog z f ( ) = + ( + 1 ) függvén legen deriválhtó z = pontbn 11 Igz-e, hog h + e = + e, kkor sin = sin? 1 Bizonítsd be, hog h z f : függvén teljesíti z f ( + h) f ( h) < h egenlőtlenséget, minden és h > esetén, kkor f állndó 1 ) Számítsd ki z U :,b, U = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 1 4 b c d 1 1 1 1 b c d b c d függvén deriváltját, h f :[, b] deriválhtó függvének és, b, c, d i = 1, 4 (, b) i i i i i b) Az fg, :[ b, ] függvének foltonosk és kétszer deriválhtók z intervllumon Bizonítsd be, hog 1 c (, b), melre teljesül következő egenlőség:,, [, b] 1 g 1 f 1 1 1 1 f ()1 c g g ()1 c f = 1 g 1 f esetén létezik oln