Háló, Boole-algebra. A György-féle feladatsor megoldókulcsa

Átírás

1 Háló, Boole-lgebr A György-féle feltsor megolókuls Új foglmk: háló (.), félháló (3.), korlátos háló (2.), részháló (5.), izomorf hálók (8.), isztributív háló (8.), komplemens elemek hálóbn (.), Boole-lgebr (2.). A = {, 2, 3,, 7, 4, 2, 42}. Vizsgáljuk z (A; lnko, lkkt) lgebrát. gzoljuk, hogy háló. Ajunk meg hálón priális renezést. gzoljuk, hogy háló korlátos. Megjegyzések lnko: legngyobb közös osztó; lkkt: legkisebb közös többszörös lgebr = lgebri struktúr = struktúr = egy hlmz és ezen hlmzon értelmezett műveletek = egy hlmz, és olyn műveletek, melyek nem vezetnek ki hlmzból, zz melyekre hlmz zárt. Átgonolhtó, hogy A zárt z lnko ill. lkkt műveletekre: bármely két A-beli elem lnko-j és lkktje A-bn vn. Pl. lnko(3,7) =, lkkt(3,7) = 2 stb. "Bj lenne", h pl. 8 A lenne: ekkor pl. lkkt(3,8) = 24 A teljesülne, tehát művelet kivezetne hlmzból, és ez esetben nem beszélhetnénk lgebráról. A hálónk két efiníióját is hsználjuk.. efiníió: A háló olyn (A; ) priálisn renezett hlmz, melyben bármely két elemnek vn infimum és szuprémum. 2. efiníió: A háló olyn (A;, ) kétműveletes lgebri struktúr, melyben két művelet minegyike kétváltozós, továbbá minegyik kommuttív, sszoitív, iempotens és teljesülnek rájuk z bszorpiós törvények. Tétel: A két efiníió egyenértékű. Egyrészt: H z (A; ) priálisn renezett hlmz háló, kkor z x y = inf(x,y), x y = sup(x,y) efiníiókkl (A;, ) lgebri értelemben is háló (x, y A). Másrészt: h z (A;, ) lgebr háló, kkor z x y, h x y = x efiníióvl (A; ) priálisn renezett hlmz és háló (x, y A).. Mo.: Először belátjuk, hogy fenti lgebr 2. ef. értelmében háló. Ehhez belátjuk, hogy z lnko és lkkt műveletek minegyike kommuttív, sszoitív, iempotens, továbbá teljesülnek rájuk z bszorpiós törvények. Az áttekinthetőséget nehezíti, hogy szereplő műveleti jeleket (lnko ill. lkkt) eléírássl és nem közéírássl hsználjuk (pl. lnko(x, y)-t írunk és nem x lnko y -t). Ezért élszerű minig z áltlános műveleti jelekkel is megfoglmzni, mit bizonyítni szeretnénk: l. minig keretezve! lnko kommuttív, mert x,y A esetén lnko(x,y) = lnko(y,x) (triviális) x y = y x lnko sszoitív, mert x, y, z A esetén lnko(x, lnko(y, z)) = lnko(lnko(x, y), z), ugynis minegyik egyenlő lnko(x,y,z)-vel. x (y z) = (x y) z lnko iempotens, mert x A esetén lnko(x, x) = x (triviális) x x = x lkkt kommuttív, mert x,y A esetén lkkt(x,y) = lkkt(y,x) (triviális) x y = y x lkkt sszoitív, mert x,y,z A esetén lkkt(x,lkkt(y,z)) = lkkt(lkkt(x,y),z), ugynis minegyik egyenlő lkkt(x,y,z)-vel. x (y z) = (x y) z lkkt iempotens, mert x A esetén lkkt(x, x) = x (triviális) x x = x bszorpió: lnko(x,lkkt(x,y)) = x, hiszen "jobbolli" x osztój "benti" x-nek és lkkt(x,y)-nk is, tehát közös osztó, és x-nek nins x-nél ngyobb osztój; x (x y) = x lkkt(x, lnko(x, y)) = x, hiszen "jobbolli" x többszöröse "benti" x-nek és lnko(x, y)-nk is, tehát közös többszörös, és x-nek nins x-nél kisebb többszöröse. x (x y) = x Ezzel beláttuk, hogy z lgebr háló.

2 2. Mo.: Gykorlásképpen z. efiníió szerint is belátjuk, hogy hálóról vn szó! A fenti tétel lpján: z x y, h x y = x efiníióvl (A; ) priálisn renezett hlmz és háló. Most tehát x y x y = x lnko(x,y) = x x y. Tehát oszthtósági reláióról vn szó. N tetszőleges részhlmzán z oszthtóság priális renezési reláió, ezért fenti A hlmzon is. Lássuk be, hogy bármely két elemnek vn infimum és szuprémum! A gyors meghtározáshoz tekintsük renezés Hsse-igrmját: Az egymássl reláióbn lévő elempároknk triviálisn minig vn infimum és szuprémum, így elég z egymássl reláióbn nem lévő elempárokt vizsgálni: Tételesen: inf(2,3) = sup(2,3) = inf(2,7) = sup(2,7) = 4 inf(2,2) = sup(2,2) = 42 inf(3,7) = sup(3,7) = 2 inf(3,4) = sup(3,4) = 42 inf(,7) = sup(,7) = 42 inf(,4) = 2 sup(,4) = 42 inf(,2) = 3 sup(,2) = 42 inf(4,2) = 7 sup(4,2) = 42 Beláttuk, hogy z. efiníió szerint is hálóról vn szó. Másképp: Hsse-igrm lpján z (A;lnko,lkkt) lgebr Boole-lgebr, tehát háló. (l.: 2.) 2. Döntse el, hogy z lábbi, priálisn renezett hlmzok hálót lkotnk-e z inf és sup műveletekkel: () A = {3,,,,,}, b, h b oszthtó -vl,,b A Mo.: Hsse-igrm: 3 Nem háló, pl. inf(,), sup(3,) (b) A 2 = {,2,3,4,,2}, b, h b oszthtó -vl,,b A 2 Mo.: Hsse-igrm:

3 2 3 4 Háló. Bármely két elemnek vn infimum és szuprémum: inf(,b) = lkkt(,b), sup(,b) = lnko(,b) () Az előző két pél közül z egyik nem háló. Egészítse ki megfelelő hlmzt olyn, minimális számú elemmel, hogy z így megott hlmz z ott renezéssel már háló legyen. Melyek ezek z elemek? Korlátos-e háló? Mo.: Az ()-beli renezésről vn szó. Elég két elemmel bővítenünk z A hlmzt: vegyük hozzá z inf{3,,,,,} = lnko(3,,,,,) = ill. sup{3,,,,,} = lkkt (3,,,,,) = 8 elemeket hlmzhoz. Az A 3 = {,3,,,,,,8} hlmz már háló z ott priális renezési reláióvl. Hsse-igrm: ef.: legkisebb elem. Egy háló legkisebb eleme, h létezik, egy olyn elem, mely háló minen elemével reláióbn áll, és minegyiknél kisebb vgy egyenlő. (ált. jel: O) ef.: legngyobb elem. Egy háló legngyobb eleme, h létezik, egy olyn elem, mely háló minen elemével reláióbn áll, és minegyiknél ngyobb vgy egyenlő. (ált. jel: ) ef.: korlátos háló. Egy háló korlátos (más néven: egységelemes), h vn legkisebb és legngyobb eleme. A kiegészítéssel kpott háló korlátos: legkisebb eleme, legngyobb eleme 8. (Azz: O = és = 8) megj.: Vigyázt, "kisebb vgy egyenlő", "ngyobb vgy egyenlő" kifejezés trtlm priális renezési reláiók esetében (és így hálók esetében is) megszokottól eltérő is lehet. Tekintsük ugynis pl. z lábbi hálót: A = {,2,3,} hlmzon b, h b. Hsse-igrm: 2 3 Ebben renezésben pl. 2 teljesül, tehát itt " kisebb vgy egyenlő, mint 2". Továbbá O = és =. (Vö.: 2.b)

4 3. Az lábbi ábrák egy-egy priális renezés Hsse-féle igrmji. Melyek lkotnk hálót, illetve félhálót sup és inf műveletekkel? ) b) ) ) f b e e b b b Mo.: minig elég z egymássl reláióbn nem lévő elempárokt vizsgálni (l..) ) Háló. inf(,) = b, sup(,) = e b) Háló. inf(b,) = inf(b,) = inf(,) =, sup(b,) = sup(b,) = sup(,) = e ) Félháló z inf műveletre, e nem háló. inf(,b) =, e sup(,b) ) Nem háló, nem félháló. sup(,b), inf(,), sőt inf(,b) (!), sup(,) (!) megj.: Vigyázt! A ()-beli pél is jelzi, hogy óvtosn kell eljárnunk elempárok infimum és szuprémum vizsgáltkor. Attól, hogy egy priális renezési reláiónk "szép" Hsse-igrmj, még nem biztos, hogy hálóról vn szó. Lás z lábbi pélát: NEM HÁLÓ! 4. gzoljuk, hogy egy (L;, ) véges elemszámú háló minig korlátos. Írjuk fel korlátos háló és O elemeit háló többi elemének segítségével. (Elméleti kérés) 5. L = {,,,b,e,,}. Az (L; ) priálisn renezett hlmzbn legkisebb ill. legngyobb elemek: ill.. A rákövetkező elemek:, b,, b,, b e,, és e. gzolj, hogy z (L;in f,sup) struktúr háló. Az lábbik közül melyek részhálói L-nek? () L = {,,b,} (b) L 2 = {,,e,} () L 3 = {,,,} () L 4 = {,,,} (e) L 5 = {,,,e,} megj.: most tehát: O = és = megj.: Rákövetkező elem: x y, h x y, x y és nins köztük "közvetítő tg" (zz nins olyn, tőlük különböző z, melyre x z és z y). Az egymássl rákövetkező viszonybn lévő elempárok tkp. Hsse-igrm éleit foglmzzák meg. Ez lpján (L; ) Hsse-igrmj:

5 e L b ef.: részháló. Egy L háló egy S részhálój egy olyn S L hlmz, melyre igz, hogy tetszőleges két, b S elemre z L-beli (!) inf(,b) és sup(,b) is S-ben vn. Átfoglmzv: egy olyn S részhlmz, melyben bármely két elem "mgávl hozt" S-be z ereeti, L-beli infimumát és szuprémumát. Mo.: Belátjuk, hogy L bármely két elemének vn infimum és szuprémum. Az egymássl reláióbn lévő elempároknk triviálisn minig vn infimum és szuprémum, így elég z egymássl reláióbn nem lévő elempárokt vizsgálni: Tételesen: inf(,b) = inf(,e) = inf(,e) = inf(,) = sup(,b) = sup(,e) = sup(,e) = sup(,) = Szimmetri okok mitt elég ezeket párokt megvizsgálni. Kptuk: L háló. () NEM. L nem részhálój L-nek, mert sup(,b) = L L b (b) GEN. L 2 részhálój L-nek, inf(,e) = L 2, sup(,e) = L 2 L 2 e () GEN. L 3 részhálój L-nek, inf(,) = L 3, sup(,) = L 3 L 3

6 () NEM. L 4 nem részhálój L-nek, mert inf(,) = L 4 L 4 (e) GEN. L 5 részhálój L-nek, mert inf(,e) = inf(,e) = L 5, sup(,e) = sup(,e) = L 5 e L 5. A H = {,3,,,,,,8} hlmz elemein b, h b oszthtó -vl. Válssz ki z lábbi hlmzok közül zokt, melyek fenti renezés szerinti in f és sup műveletekkel hálót lkotnk, és zokt, melyek z ereeti (H;in f,sup) háló részhálói: H = {,3,,,,,8} H 2 = {,3,,,,} H 3 = {,3,,,} H 4 = {,,,8} H 5 = {,,,,,8} H = {,,,,8} H 7 = {,,,,8} Mo.: H Hsse-igrmj (l. még 2.): 8 H 3 A hlmz Hsse-igrm Háló-e? Részhálój-e H-nk? 8 3 H 3 GEN GEN H 2 NEM sup(,) NEM mert nem is háló

7 A hlmz Hsse-igrm Háló-e? Részhálój-e H-nk? 3 H 3 8 GEN GEN H 4 8 GEN GEN H 5 8 GEN NEM pl. inf(,) = 3 H 5 H 8 GEN NEM inf(,) = H Vö.: H 3! H 7 GEN NEM inf(,) = 3 H 7 7. Írj le, hogy mik kritériumi nnk, hogy egy L hálónk részhálój legyen egy L háló! (Elméleti kérés) 8. gzolj, hogy z lábbi háló nem isztributív: megj.: egy (H;, ) háló isztributív, h tetszőleges x, y, z H-r i) x (y z) = (x y) (x z) és ii) x (y z) = (x y) (x z) megj.: z. feltbeli tétel lpján: x y = inf(x,y), x y = sup(x,y)

8 . mo.: Az x y z jelöléseket lklmzv, pl. próbálgtássl vizsgálhtjuk z i) egyenlőséget. Próbálgtás:,y,z elemekkel:,y, elemekkel: x,y,z elemekkel: (y z) =? ( y) ( z) b.o.: (y z) = = j.o.: ( y) ( z) = = (y ) =? ( y) ( ) b.o.: (y ) = = j.o.: ( y) ( ) = = Kptuk: háló nem isztributív. 2. mo.: x (y z)? = (x y) (x z) b.o.: x (y z) = x = x j.o.: (x y) (x z) = = TELJESÜL TELJESÜL NEM TELJESÜL! Birkhoff tétele szerint (l.:.) egy háló pontosn kkor isztributív, h köv. két háló egyikével sins izomorf részhálój: Egy háló önmgávl triviálisn izomorf, ezért nem isztributív. 3. mo.: Nem isztributív, mert vn olyn elem, melynek több komplementum is vn: pl. x = y és x = z. smertesse Birkhoff tételét! (Elméleti kérés) Tétel (Birkhoff) Egy háló pontosn kkor isztributív, h köv. két háló egyikével sins izomorf részhálój:. Válssz ki Birkhoff tétele lpján. felt hálói közül zokt, melyek nem isztributívk! Jelölje B ill. B 2 tételben szereplő két hálót:

9 B B 2 Az egyszerűbb esetekkel kezve: H 3 nem isztributív, mert H 3 B 2. H 3 3 H nem isztributív, mert H B 2. 8 H H 7 nem isztributív, mert H 7 B. 8 H 7 H 2 nem isztributív, mert nem is háló. H 2 3 Mg H háló sem isztributív, mert neki H 3 részhálój, és H 3 B 2. 8 H 3

10 H 4 isztributív, mert Hsse-igrmj lpján Boole-lgebr. 8 H 4 H 5 nem isztributív, mert belőle elemet elhgyv H 5 egy olyn H5 izomorf B 2 hálóvl. részhálóját kpjuk, melyik 8 H 5 8 H 5 H nem isztributív. Ennek bizonyítását lássuk négyféleképpen: 8 H 3 Nem isztributív, mert vn olyn eleme, melynek több komplementum is vn. Pl. =, = 3 Nem isztributív, mert komplementumos elemek H H = {,3,,,,8}, és pl. sup(3,) = H hlmz nem részháló. 8 H 3 Nem isztributív, mert ill. elemek elhgyásávl kpott H háló H -nek részhálój, és H B H Nem isztributív, mert ( ) ( ) ( ) Kptuk: felsoroltk közül kizárólg H 4 isztributív. megj.: Disztributív háló minen részhálój is isztributív.

11 . Htározzon meg z 5. felt L hálój és. felt H hálój elememeinek komplemensei közül néhányt. Állpíts meg e hálókról, hogy komplementumosk-e vgy sem! ef.: elem komplementum. Korlátos háló x elemének egy komplementum (vgy komplemense) hálónk egy olyn, szokás szerint x -vel jelölt eleme, mellyel x x = O és x x =. megj.: Egy elemnek lehet több komplementum is, e z is lehet, hogy egy elemnek nins komplementum. ef.: komplementumos háló. Egy háló komplementumos, h minen elemének vn (leglább egy) komplementum. Mo.: e b Az L hálóbn: = = e b = = b és = e e = és e = = L 3 8 Egyik háló sem komplementumos: L-ben, H-bn. A H hálóbn: H = 8 3 = = = és = = = 3 és = és = 8 = megj.: két háló összehsonlítását segíti, h Hsse-igrmjikt egységes elvek szerint rjzoljuk fel. Ehhez lás pl.: = = 2. Péltár: 4.4.., , feltok ef.: Boole-lgebr. Egy (B;,, ) háromműveletes lgebr Boole-lgebr, h (B;, ) isztributív, komplementumos háló (O ill. korlátelemekkel) és x z x elem komplementumát jelöli. (Boole-lgebrábn tehát egy egyváltozós művelet.) gzolj, hogy z lábbi struktúrák Boole-lgebrák: ) egy A / hlmz htványhlmz z unió, metszet és komplementer műveletekkel; b) z n-változós (n ) kétértékű logiki függvények hlmz konjunkió, iszjunkió és negáió műveletekkel. Mo.: Nem bizonyítjuk. L. z előás nygát!

12 Legyenek z A hlmz elemei 75 pozitív osztói; (A;, ) műveletei peig legyenek következők: b = lkkt(,b) és b = lnko(,b). ) Legyen z A hlmzon egy egyváltozós művelet ( ) értelmezve, melyre = 75. gzolj, hogy z (A;,, ) struktúr Boole-lgebr. Mo.: Nem bizonyítjuk. Útmuttás: A = {,5,,3,55,5,43,75} b b Hsse-igrm: b) Htározz meg fent efiniált Boole-lgebrábn z (5 ) (3 43) kifejezés ereményét. Mo.: (5 ) (3 43) = 43 (3 43) = = Boole-lgebrát lkot-e (A;,, ), h A = {42 pozitív osztói}, legkisebb közös többszörös, legngyobb közös osztó és = 42? Mo.: gen. (Nem bizonyítjuk.) Útmuttás: A = {,2,3,,7,4,2,42} b b Hsse-igrm: (l.:.) megj.: Véges Boole-lgebrák elemszám minig 2 n vlmilyen n N-nel. megj.: Kis elemszámú Boole-lgebrák Hsse-igrmji: