Vektoralgebra és vektoranalízis

Átírás

1 VI. Vektoalgeba és vektoanalís fka kémában gakan találkounk olan mennségekkel meleknek csak nagsága van len például a tömeg a dő és a hőméséklet. Eek skalá mennségek. Étékük a válastott koodntátaendsetől és annak oentácójától független. Uganakko több sámunka édekes mennség jelleméséhe a nagságon kívül eg án s tatok. Ilen például a elmodulás a sebesség a gosítás a eő a mpulus (lendület) és a mpulusnomaték (pedület) a elektomos lletve a mágneses té (a elektomágneses té). Nagsággal és ánnal jellemehetők a vekto mennségek (másképpen ánított sakas). skalá mennségektől töténő megkülönbötetés édekében a vektookat félkövé betűkkel jelöljük folóíásban pedg gakan níllal a mennség jele felett. Fogalmak (a) a vektook kénelmesen epeentálhatók eg ánított sakassal (níllal) melnek hossa a vekto nagságával egek meg ána pedg a vekto ánával a R n - dmenós vektotében (általában n (sík) lletve n 3 (3D Eukldes té) a sokásos válastás); vektook össeadása ekko a vektook egmás után heleését jelent (első vekto végéhe llestjük a másodk vekto elejét ) majd a háomsög sabál sent a össeg vekto a első vekto kndulás pontjától a másodk vekto végpontjág tat (b) a egségvektook a válastott koodnátaendse (pl. Descates-koodnátaendse) tengele ánába mutatnak kjelölk a potív és negatív ánokat hossuk egségn (aa nem csak otogonálsak de otonomáltak egmása e e δ ) (c) vektoalgeba sabála/aómá (V vektoté a b és c vektook m és n skaláok): V0. m a V ( a b) V V át a skaláal soása és a vektook össeadásáa néve V1. a b b a a vektook össeadása kommutatív V. a (b c) (a b) c a vektook össeadása assocatív V3. a 0 a a 0 a össeadás aonossága V4. 0a 0 V5. 1a a a 1 a soás aonossága V6. m(na) (mn)a n(ma) V7. m(a b) ma mb a sámmal soás dstbutíva V8. (m n)a ma na vektook össeadásáa néve V1-V3 sabálok a vektook össeadásáa a V4-V6 sabálok a skaláal töténő soása vonatkonak. V7 és V8 sabálok a két művelet kölcsönhatását defnálják. Eeket a sabálokat könnű megjegen met lénegében aonosak a sámoka megtanult művelet aómákkal. V0-V8 sabálokat kelégítő tetsőleges objektumok vektoteet képenek. De megjegendő hog a sabálok egelőe semmt nem mondanak két ánított sakas (vekto) soásáól. (d) amennben a adott V vektotébel v 1 v... v vektook a1 v 1 av... a v lneákombnácója csak a tváls a a... a 0 válastás mellett nulla akko a 1 m n mn 79

2 vektook lneásan függetlenek míg ellenkeő esetben a vektook lneásan össefüggőek (e) bás a adott koodnátaendset egételműen kfesítő egségvektook össességét básnak a báselemeket pedg básvektooknak neveük; másképpen eg V vektotében lévő I { v1 v...v n } véges n-elemű halmat a V básának neveünk amennben mnden V-bel vekto a I -bel vektook lnákombnácójával eg és csaks eg módon állítható elő (véges dmenójú teek esete de vannak végtelen dmenójú teek s) (f) amennben eg V vektoteet n básvekto fesít k úg a V dmenója n: dm V n (nlván V {} 0 dmenója 0) (g) a e e e és B e B e B e B vektook össeadásáa a gafkus össeadás technka mellett a alább algeba össefüggés vonatkok: ± B e ± B ) e ( ± B ) e ( ± B ) ( (h) vektook felíásáho többne elegendő a komponensek megadása és a egségvektook elhagása pl. ( ) a komponensek lehetnek valós és képetes sámok s (vag általában bámlen más objektumok) () vekto soása sámmal csak a vekto nagságát váltotatja meg ánát nem (j) a e e e vekto hossa R 3 -ban ( ) 1/ et gakan nomának nevek (k) vektook R 3 -ban egenlőség: B ekko B 1 3 össeadás: B C ekko B C 1 3 skaláal töténő soás: a ( a1 a a3) a valós ( a v a v amennben a < 0 a vekto oentácója s megváltok nem csupán a hossa) negatív vekto: ( 1) ( 1 3) null vekto: 0 (000) 80

3 Mntafeladatok 4 djuk össe a a (k 5 3 a) és b (e 15 3 b) 4-dmenós vektookat ( a b R ). k e T 10 Megoldás: ( a b). 0 a b Nomáljuk 1-e a v (1 3) vektot. v Megoldás: e e N N v Gakoló feladatok Találja meg at a vektot mel meőleges a U j k és a V j k vektooka. M a helet akko ha at s megköveteljük hog ennek a vektonak a hossa egségn legen? Bonítsa be a V1. sabált! Hán dmenós téel lehet epeentáln eg mól He atom fásteét? 81

4 V.1 Skalásoat Fogalmak (a) két vekto és B skalásoata eg sám amele fennáll hog B B cosθ ahol θ a két vekto által beát sög míg és B a vektook hossát jelöl (b) a skalásoás eedméne ksámítható mnt B B B B amennben komponensek adott koodnátaendseben smetek amből látsk hog a skalásoás kommutatív (c) a skalásoat egk leggakobb alkalmaása a munka eő ktéítés cos θ kfejeés kapcsán töténk amelet úg ntepetálunk hog a ktéítést megsoouk a eőnek a ktéítés ánába eső pojekcójával W F S (d) amennben B 0 és tudjuk hog 0 és B 0 úg cos θ 0 tehát θ ±90 ±70 stb. és a két vekto egmása meőleges (otogonáls) (e) a skalásoat valóban skalás mennség aa nem függ a koodnátaendse elfogatásától (nvaáns a fogatás műveletée) Gakoló feladatok Bonítsa be R -ben hog a skalásoat valóban nvaáns a Descates koodnátaendse elfogatásáa. B B B. Mutassa meg hog ( ) ( ) Bonítsa be a kosnus-tövént abból kndulva hog ( B C). (Nehé!) Két dpólusnomaték vekto μ 1 és μ kölcsönhatását mnd vektoáls μ1 μ 3( μ1 )( μ ) V 3 5 mnd skalás μ μ V 3 ( cosθ cosθ snθ snθ cos) alakban k lehet fejen ahol a két dpólvekto kedőpontját össekötő vekto θ 1 és θ a és a dpólvektook által beát sög míg φ a dpól síkok elfodulását leíó dédees sög. Mutassa meg hog a két kfejeés egmással ekvvalens. 8

5 V. Vektoáls (keest) soat Fogalmak (a) két vekto és B vektoáls soata eg olan C B eedménvekto mel meőleges a két vekto által kfesített síka úg hog a B és C vektook jobbsodású koodnátaendset alkossanak továbbá a eedménvekto hossáa ga hog C B snθ (b) a vektoáls soás antkommutatív B B (c) a B B snθ megfelel a köös kedőpontban felvett két vekto által kfesített paallelogamma teületének (d) a vektoáls soat vekto jellege a általunk megsokott geometa té háomdmenós temésetével van kapcsolatban (ld. geometa algeba pl. Clffod algeba általánosításat) (e) a C vektoáls soat ( C jbk k B j j k mnd különböő és a 13-nak cklkus pemutácója) elemenek memoálását segít a alább detemnáns alak: e e e C e e B B B B B B B Gakoló feladatok mennben adott a alább háom vekto P 3 e e e Q 6 e 4e e és R e e e találjon kettőt melek meőlegesek és kettőt melek páhuamosak vag ellentétes ánúak. Bonítsa be hog ( B) ( B) ( B ) ( B). Ellenőe hog a v ( 1 0) és u ( 3 1 0) vektook vektoáls soatával kapott w v u vekto ténleg meőleges u-a és v-e s. e B B 83

6 V.3 Hámas skalás és vektoáls soatok Fogalmak (a) háom vekto B és C hámas skalás soata a alább módon keül defnálása: ( B C) am eg skalát eedméne (nnen a elneveés); a áójelet el s lehet hagn (a gakolatban el s hagják) hsen ( B) C eg skalá és eg vekto vektoáls soatát jelentené am nncsen defnálva (b) können belátható a magas smmetája ennek a kfejeésnek hsen B C B C C B C B B C C B (c) at s édemes megjegen hog a skalás és a vektoáls soás soendje s B C B megcseélhető: ( ) C (d) e a kfejeés s legkönnebben eg detemnáns segítségével memoálható: B C B C (e) a hámas skalás soat geometa jelentése: a köös kedőpontban felvett háom vekto által defnált paaleleppedon téfogata (f) háom vekto B és C hámas vektoáls soata a alább módon keül defnálása: ( B C) vektot eedméne (nnen a elneveés) és a áójelet nem lehet elhagn mvel a vektoáls soás nem assocatív (g) fennáll hog ( B C) B( C) C( B) B C B C 84

7 V.4 Nabla (del) tt megadott defnícók a megsokott 3D Descates-tée vonatkonak a fka és fka-kéma alkalmaásoknak megfelelően. legtöbb fogalmat csak Descateskoodnáták esetében defnáljuk más koodnátaendseeke töténő (amúg sokso alkalmaott) általánosításuk túlmutat tágalásunkon. Fogalmak (a) nabla (del) vekto: : j k e e e dffeencáló vekto opeáto (mndkét tulajdonság fontos a vele töténő munkálkodásko) (b) gadens (gad ) a nabla vekto skalámeőe hat és vektomeőt eedméne (c) dvegenca (dv ) egseű ktejestése a gadensnek vekto függvéneke aa vektomeőe hat és skalámeőt eedméne (d) otácó (cul ) vektomeőe hat és a vektoáls soás eedméneként vektomeőt eedméne Legen a függvénnek háom váltoója és. Ekko a teljes dffeencála at íhatjuk hog d( ) ( d d d) ( ) [ ( d d d) ( d d) ] [ ( d d) ( d) ] [ ( d) ( ) ] d d d a at a fontos követketetést vonhatjuk le hog a teljes dffeencál eg skalásoat melnek egk tagja a d koodnáta vekto másk tagját pedg a függvén ánment deváltja alkotják. gadens geometa jelentésének megétéséhe képeük a skalásoatát a elmodulás d d jd kd vektoával. Ekko a követkeő önmagában s tanulságos állítást kapjuk: d d d d d. Most tekntsünk eg adott felület esetén két olan köel P és Q pontot meleke ( ) C ahol C konstans aa Q távolsága P-től d. Temésetesen mnthog a válastott felületől nem modulunk el íg d d 0. E at mutatja hog a gad gadensvekto meőleges a ( ) C sntfelülete. s meggondolható hog amennben két C 1 -gel lletve C -vel jellemehető felület köött mogunk úg a gad gadensvekto a legövdebb utat defnálja a két felület köött aa mamáls megváltoásának ánába mutat. E abból s látsk hog a függvén d d megváltoása a skalás a skalás soat tulajdonsága alapján akko a legnagobb amennben d. 85

8 Mntafeladatok potencál gadensét. V ( ) V ( ) V ( ) Megoldás: V ( ) j k és V() pl. -től a () kapcsolaton keestül függ. Mnthog Sámítsuk k a V ( ) V ( ) V ( ) dv ( ) d és ( ) 1/ ( ) 1/ stb. íg 1 dv ( ) dv ( ) dv ( ) V ( ) ( j k) ˆ d d ahol ˆ a potív ánba mutató adáls egségvektot jelöl. Gakoló feladatok Sámítsa k ( ) ( ) 3/ S esetén a gadenst a (1 3) pontban. Eg víet tatalmaó lombk köepébe njekcós tűvel eg csepp etanolt juttatunk. etanol koncentácójának kedet eloslása c( ) c0 ep( ). Fck I. tövéne alapján adja meg a kedet anagáamot a hel függvénében. 86

9 V.5 Dvegenca a opeáto Vektomeők dffeencálása egseű ktejestése a skalá mennségek dffeencálásával kapcsolatban elmondottaknak. Ha egsee fgelünk a nabla vekto művelet kapcsán annak mnd a dffeencáló mnd a vekto tulajdonságáa akko vlágos hog V V V V és et a skalámeőt a V vektofüggvén dvegencájának neveük. Mntafeladatok Sámítsuk k a koodnátavekto dvegencáját. Megoldás: j k ( j k) 3. Sámítsuk k a centáls eőté dvegencáját. Megoldás: df df ( f ( ) ) [ f ( ) ] [ f ( ) ] [ f ( ) ] 3 f ( ) d d 3 f ( ) df d df d. Gakoló feladatok 1 Mutassa meg hog amennben a centáls eőté alakja f ( ) n úg annak dvegencája n -e eltűnk (éus). Mutassa meg hog ( f V) ( f ) V f V am eg skaláfüggvén és eg vektofüggvén soataként kapott mennség dvegencájának ksámításáa solgáltat fomulát (a eedmén nagban emléketet a soatfüggvén dffeencálása kapcsán tanultaka). 87

10 V.6 Rotácó (cul) a opeáto Eg másk lehetőség a nabla vekto és a vektomeők kapcsolatában a hog a kettő vektoáls soatát ( keestsoatát ) képeük. Ekko a követkeő össefüggést állapíthatjuk meg a vektook vektoáls soása kapcsán tanultak alapján: ˆ V V ˆj V kˆ V et a vektomeőt a V vektomeő otácójának neveük. Mntafeladatok Sámítsuk k a centáls eőté otácóját. Megoldás: ( f ( ) ) f ( ) [ f ( ) ] ahog a első gakoló feladat mutatja. Können megmutatható hog 0 (mnden képendő veges devált éus). Koábból tudjuk hog f ( ) ˆ ( df / d) tehát df ( f ( ) ) ˆ 0 aa a centáls eőté otácója nulla. d Gakoló feladatok Mutassa meg (legegseűbb elősö a egk komponense megmutatn) hog ( f V ) f V ( f ) V am eg skalámeő és eg vektomeő soataként kapott mennség otácójának ksámításáa solgáltat jól alkalmaható fomulát (a eedmén analóg a dvegencánál megsmet eedménnel). 88

11 V.7 Nabla többsö alkalmaása gadens (skalából vekto) a dvegenca (vektoból skalá) és a otácó (vektoból vekto) fogalmának megsmeése után felmeülhet a kédés hog m töténk ha a kapott mennségeke smételten hattatjuk a nabla vekto opeátot. alább öt esetet különbötethetjük meg amennben skalámeő míg V vektomeő: (a) dv gad (b) ot gad (c) V gad dv V (d) V dv ot V V ot ot V. (e) ( ) Mnden eges esetben másodk deváltakat magukban foglaló kfejeéseket kapunk a műveletek eedméneként és mnden fellépő mennség seepel a fkában és a fka kémában különös tekntettel a elektomágnesség elméletée (lásd Mawellegenletek). Mndaonáltal a kfejeések nem egfomán fontosak íg jelen helen csak a első kettővel foglalkounk ésletesebben. Össefoglaló tábláat a nabla-t alkalmaó kfejeésekől ahol U és V skalámeők míg és B vektomeők: Kfejeés Ételmeés ( U V ) gad( U V ) U V gad U gadv ( B) dv( B) B dv dv B ( B) ot( B) B ot ot B ( U) ( U ) U ( ) ( U) ( U ) U ( ) ( B) B ( ) ( B) ( B) ( B ) B( ) ( ) B ( B) ( U ) U U U U ( U ) 0 (ot gad U 0) ( ) 0 (dv ot 0) ( ) ( ) 89

12 90 Mntafeladatok Sámítsuk k a dv gad kfejeést. Megoldás: k j k j és íg können megmutatható hog. Gakan előfodul hog a helett a jelölést alkalmauk. Sámítsuk k a ot gad kfejeést. Megoldás: k j. detemnáns kfejtéséből adódk hog 0 k j feltéve hog a pacáls dffeencálás soendje felcseélhető. E fennáll amennben a függvén másodk pacáls deváltja foltonosak. a at a általánosan événes eedmént kaptuk hog a gadens otácója aonosan nulla a pobléma fka köülménetől függetlenül. Gakoló feladatok Mutassa meg hog amennben a centáls potencál alakja n V ) ( úg 1) ( dv gad n n n V am eltűnk n 0 (a potencál konstans) és n 1 (Coulomb potencál) esetée (aa a Coulomb-potencál megoldása a 0 ) ( V ún. Laplaceegenletnek). Mutassa meg hog tetsőleges vektomeő otácójának dvegencája aonosan nulla.