felületi divergencia V n (2) V n (1), térfogati töltéseloszlás esetében

Átírás

1 IV Az elektosztatka alaptövénye felület töltéseloszlás esetén Az előző paagafusban láttuk, hogy a töltések a vezető felületén helyezkednek el, gyakolatlag kétdmenzós vagy más szóval felület töltéseloszlást alkotva (Temészetesen atom méetekben ez a kép má nem tatható: pl a többletelektonok zöme a fémnek a vákuummal, vagy a levegővel éntkező hatáfelületének egy gen vékony, de mégscsak véges zónájában található Ez azonban a makoszkopkus elektodnamka leíás szempontjából olyan ks távolság, hogy a gyakolatban a kétdmenzós töltéseloszlás teljesen elfogadható közelítés) Felület töltéseloszlás esetén bevezethetjük a felület töltéssűűséget: d lm, A A da vagys a felületegysége eső töltést, am a téfogat töltéssűűséggel analóg fogalom A következőkben szeetnénk az elektosztatka alaptövényet megfogalmazn felület töltéseloszlások esetée (egyelőe továbba s vákuumban) Ee azon túl, hogy felület töltéseloszlások gyakan fodulnak elő azét s édemes sot keíten, met az elektosztatka alaptövénye lyen esetben nagyon egyszeűek E célból vezessük be egy V() vektoté felület foássűűségét az alább fomában: valamnt a felület övénysűűségét a felület dvegenca V n () V n (), A() felület otácó V t () V t () alakban () és () aa a két téféle utal, amelyeket a felület választ szét Az n és t ndexek a vektoté nomáls lletve tangencáls komponensét jelentk Ennek észletesebb magyaázatát lásd kcst később Ekko az elektosztatka alaptövényenek analóg megfogalmazása a következők: Az elektosztatka alaptövénye téfogat töltéseloszlás esetében felület töltéseloszlás esetében alaptövény dv D = D n () D n () = alaptövény ot E = E t () E t () = Szavakkal kfejezve az alaptövény felület töltéseloszlása azt mondja k, hogy a D té felület foássűűsége egyenlő a felület töltéssűűséggel, a alaptövény szent pedg a felület övénysűűség zéus E tételek belátásához tekntsük a IV és IV ábát n() n A() () () n() IV ába A jelen esetben poztív előjelű töltésfelhő (am pesze lehetne negatív s) egy felületen (de nem feltétlenül egy vezető felületén!), helyezkedk el A lényeg az, hogy valahogy létejött ez a kétdmenzós töltéseloszlás, aká úgy, hogy például a töltéseket odaenyveztük a felülethez A töltött felület válassza el az ()-gyel és ()-vel jelölt téfeleket egymástól, és a felület nomálvektoa mutasson az ()-től a () felé A felületet vegye köül egy zát A felület, amt /

2 jelöljön a két téfélben A() ll A() Ezek után az alaptövény felület alakját az alaptövény globáls fomájából: D da kndulva lehet bzonyítan Mvel a töltés most felület töltés, am a felületen helyezkedk el, ezét d, A és az alaptövény most a következő alakot ölt: D da d A (Felhívjuk a fgyelmet, hogy tt a d nem vekto, csak a felületelem nagysága) Tehát ezt a felületen elhelyezkedő töltést ölel köül a zát A felület Most zsugoítsuk á az A felületet mndkét oldalól a felülete Az A felület ekko lényegében két olyan A() és A() felületből áll, amelyek majdnem mndenben megegyeznek, mután ázsugoítottuk őket a -e Ezután ugyans mndkettő nagysága, csak míg az A() az ()-es téfélben van, és ezét felületelemenek ánya a hely nomálvektoal mndg ellentétes, addg az A() esetében, amely a ()-es téfélben van, a felületelemek a hely nomálvektoal azonos ányúak (A felületelemek ányát ugyans az szabja meg, hogy A() és A() együtt egy zát felületet alkot, és lyenko a felület ánya defnícó szent mndg kfelé mutat) Tehát az ábán s alkalmazott jelölésenkkel da() = da n() = da n, da() = da n() = da n és így D() da() = D n () da, D() da() = D n () da Tekntettel aa, hogy a teljes zát A felület két észe bontható, ezét D da D da D da ( D () d) (D A A() A() n n () d) A zsugoítás után ugyans A() = A() = Ezek után az alaptövény globáls alakja felület töltéseloszlás esetén: ( D () D ()) d d n n Mvel ez az összefüggés tetszés szent felülete gaz, ebből következk, hogy nem csak az ntegálok, hanem az ntegandusok s megegyeznek, tehát D n () D n () =, am nem más, mnt az alaptövény lokáls alakja felület töltéseloszlás esetén () A t () IV ába Az ábán látható vastag vonal jelképez a töltött felületet (metszet kép) A vékony vonal egy olyan zát G göbét mutat, amely felülől és alulól köülvesz a töltött felületben lévő H göbe szakaszt (H nncs jelölve az ábán) /

3 A alaptövény felület töltéseloszlása évényes alakját ugyancsak a globáls alakból kndulva vezethetjük le: E d G A zát G göbét vegyük fel úgy, hogy odafelé a felület felett, de annak közvetlen közelében haladjon a () téfélben, majd vsszafelé a felület alatt az () téfélben, de smét a felülethez gen közel, valamnt közvetlenül az odaút alatt Vagys d() = dt, d() = dt és így E()d() = E t ()dt, E()d() = E t ()dt Itt dt mndenütt az odaút ányába mutató a felülethez képest tangencáls egységvekto A zát göbement ntegál két észe osztható, az odaút és vsszaút szent: E d Ed G G() G() Ed Mvel az oda- és vsszaút tulajdonképpen majdnem ugyanazon a H göbén töténk, ezét felíható, hogy E d (E () E ())dt t G H t Mután ez az ntegál tetszés szent H göbée zéus, ebből az következk, hogy maga az ntegandus s nulla: E t () E t () =, am nem más, mnt a alaptövény lokáls alakja felület töltéseloszlás esetén IV3 Az elektosztatka alaptövénye vezető felülete Ha az elektosztatka felület töltéseloszlásoka évényes alaptövényet vezető felülete akajuk alkalmazn, akko abból ndulhatunk k, hogy a vezető belsejében nncs elektomos té, tehát ott mnd E, mnd D nulla Ha tehát a töltött felületünk egy vezető közeg () felülete, amely vákuummal () éntkezk, akko tudható, hogy E() = és D() = Az ebből adódó egyenleteket összehasonlító táblázatos fomában közöljük: Az elektosztatka alaptövénye általános felület töltéseloszlás esetében alaptövény D n () D n () = D n () = alaptövény E t () E t () = E t () = vezető felület esetén (): vezető, (): vákuum Vagys szavakban összegezve: az elektosztatkus té a vezető felületée mndg meőleges (met a tangencáls komponense ), a D té nomál komponense pedg (am vákuum estén maga a D vekto abszolút étéke) a felület egy pontján egyenlő az ugyanezen pontban méhető felület töltéssűűséggel /3

4 IV A felület töltéssűűség függése a göbület sugától súcshatás Kísélet: elektomos Segne keék, gyetyaláng elfújása elektomos széllel A csúcshatás azon alapszk, hogy - mnt ahogy lejjebb majd megmutatjuk - a vezető élen, lletve csúcsan sokkal nagyobb a töltéssűűség, és ennek következtében az E() = összefüggés matt tt a lokáls téeősség s sokkal nagyobb A nagy téeősség onzálja a levegő molekulát, a töltött levegő pedg mozgásba jön az elektomos té hatásáa Ez az elektomos szél Mvel magyaázhatjuk, hogy a csúcsokon - vagys ahol a felület göbület sugaa gen kcs - nagyobb a töltéssűűség, mnt a felület kevésbé göbült észen? Hogy ezt megétsük, képzeljük el a következő kíséletet Egy nagy sugaú vezető gömböt kössünk össze (ugyancsak vezetővel) egy ksebb sugaú gömbbel A endszet töltsük fel, és vzsgáljuk meg a két gömbön kalakuló és töltéssűűségek aányát Ha a gömbök egymástól vszonylag távol vannak, akko az sugaú gömb felszínén a potencált elsősoban az ott elhelyezkedő töltés fogja megszabn Az sugaú gömb potencáltee a gömbön kívül ugyanolyan, mnt a pontszeű töltés potencáltee (III paagafus), ezét Ugyanlyen alapon Vszont a két gömb ekvpotencáls, mvel vezetővel vannak összekötve, vagys =, ezét Tekntetbe véve, hogy egy gömbön a felület töltéssűűség, a két gömb felület töltéssűűségenek aányáa azt kapjuk, hogy, vagys mnél ksebb egy gömb sugaa, annál nagyobb ajta a felület töltéssűűség, és következésképpen a téeő s V Kapactás, kondenzátook V A kapactás fogalma Tekntsünk két vezető (mondjuk fém) daabot, melyek egymás közelében helyezkednek el: (Az egymás közelében pesze elatív fogalom Egyészt azt étjük alatta, hogy a vezető daabok átlagos távolsága a vezető daabok geometa méetenek a nagyságendjébe esk; lásd az V ábát Másészt pedg feltételezzük, hogy egyéb vezető daabok, lletve töltések nncsenek a közelben, más szóval elég távol vannak ahhoz, hogy a hatásuk elhanyagolható legyen, és így ne zavajanak Az ábán ezekhez a kevéssé zavaó töltésekhez vezető, vagy onnan knduló eővonalakat szaggatottan ajzoltuk) /

5 Az egyk vezetőn - ezt fogjuk a továbbakban a kondenzáto poztív fegyvezetének teknten - helyezkedjen el + töltés, a másk vezetőn pedg A kondenzáto fegyvezete között méhető feszültséget mndg úgy fogjuk számítan, hogy a téeősség göbement ntegálját a poztív fegyvezettől ndulva a negatív fegyvezetg eljutva számítjuk (Így jutunk poztív feszültség étékhez) Elektosztatkában a feszültség az úttól független, a kondenzáto lemeze pedg ekvpotencálsak, ezét a fent módon számított feszültség az egész kondenzátoa évényes adat Ezt fogjuk a kondenzáto feszültségének teknten U KONDENZÁTO ( ) Ed ( ) A kondenzáto töltésének pedg a poztív fegyvezeten lévő + töltést tekntjük Ha a kondenzátoa kétsze anny töltést vszünk fel, akko ezekből kétsze anny eővonal ndul k (az elektosztatka I alaptövénye ételmében) Ha ugyanaól a helyől kétsze anny eővonal ndul k, akko kétszees lesz az eővonalak sűűsége s, azaz a téeősség mndenütt a kétszeesée nő Ebből pedg az következk, hogy a feszültség s kétszees, mvel a göbement ntegálban E mndenütt dupla akkoa Vagys a feszültség aányos a kondenzátoon lévő töltéssel: U = k A k aányosság tényező ecpokát -vel jelöljük, és kapactásnak hívjuk Ha az egyenletet -a explct fomáa endezzük, akko = U Ez azt jelent, hogy mnél nagyobb a kondenzáto kapactása, egy adott feszültségen annál több töltést tud táoln A dolgot ahhoz hasonlíthatjuk, hogy egy víztáolónak annál nagyobb a táolókapactása, mnél több vzet tud befogadn egy adott magasság mellett (Pesze a víztáolónál az összes beléje féő vzet tekntk nkább - am még nem csap túl a táoló peemén -, és nem a magasságegysége eső táolóképességet A kondenzáto kapactásán vszont nem a bele tölthető legnagyobb töltést étk - ahol má pl átütne a kondenzáto -, hanem e helyett a feszültségegysége jutó táolt töltésmennységet) V Síkkondenzáto, gömb- és hengekondenzáto kapactása Amnt aól az előző paagafusban má volt szó, bámely két vezető daab képezhet egy kondenzátot A kondenzáto kapactása egyészt attól függ, hogy mekkoák a fegyvezetek, és ezeknek mlyen a geometa elendezése, másészt attól, hogy mlyen szgetelőanyag - vagy ~anyagok töltk k a fegyvezetek között teet Egyelőe fel fogjuk tételezn, hogy a fegyvezetek vákuumban vannak Ekko a kondenzáto kapactása egyedül a geometájától függ A sokféle elképzelhető geometa között van háom nevezetes eset, amt meg fogunk vzsgáln: a síkkondenzáto, a gömbkondenzáto, és végül a hengekondenzáto Síkkondenzáto A síkkondenzátot vázlatosan az V ába mutatja V ába /5

6 Lényegében két, egymással páhuzamos A felületű vezető lemezből áll, melyek egymástól mét távolsága d Lényeges, hogy a d távolság aánylag kcs legyen a kondenzáto több méetéhez képest Ekko ugyans az elektomos eőté a kondenzáto belsejében nagyjából homogén Igaz ugyan, hogy a kondenzáto-lemezek szélenél a té gyengül, met az eővonalak egy észe kívüle keül, de az a teület, ahol ez jelentős gyengülést okoz, egye ksebb, ahogy d-t csökkentjük A levezetésnél tehát azzal a közelítéssel fogunk éln, hogy az elektomos eőté homogén a kondenzáto lemeze között Lássuk akko a levezetést! Egy kondenzáto kapactása a ajta lévő töltés osztva a kondenzáto feszültségével: U Feltételezzük, hogy a töltések homogén felület töltéssűűséggel oszlanak el a fegyvezetek felületén, tehát a kondenzáto töltése = A Továbbá má láttuk, hogy egy vezető felületén az elektosztatka I alaptövénye szent = D Az elektomos eltolás vektoa pedg vákuumban felíható, mnt a vákuum pemttvtásának és az elektomos téeősségnek a szozata: D = E Tehát síkkondenzáto esetén íható, hogy = A E A kondenzáto feszültsége homogén té esetén az E téeősség és a d távolság szozata: U = E d, ugyans az ntegálásnál az E és d vektook egymással páhuzamosak (lyen utat választunk), és ezét a skalászozatuk egyenlő a nagyságak szozatával, az E pedg független a helytől (homogén té), és ezét az ntegáljel elé kemelhető, tehát U E d E d E d E d KONDENZÁTO Vsszatéve a síkkondenzáto kapactásáa: a töltése és a feszültsége kapott összefüggéseket helyettesítsük be a kapactás kfejezésébe A E A U E d d Vagys aa a eedménye jutottunk, hogy a síkkondenzáto kapactása aányos a fegyvezetek felületével, és fodítva aányos a lemezek egymástól mét távolságával Ezt az eedményt egy olyan kísélettel lehet szemléltetn (V3 ába), ahol a kondenzáto egyk fegyvezete egy elektoszkóp lemezéhez, a másk fegyvezete pedg ennek az elektoszkópnak a házához van kötve (am földelve van) V3 ába /6

7 Az elektoszkóp lemezéhez kötött kondenzáto fegyvezetée megdözsölt üvegúddal poztív töltést vszünk, és ettől az elektoszkóp kté Ha most a kondenzáto fegyvezetet közelítjük egymáshoz, akko az elektoszkóp lemeze összébb esnek, ha vszont távolítjuk egymástól a fegyvezeteket, akko az elektoszkóp lemeze s távolodnak egymástól Ezt úgy ntepetálhatjuk, hogy a kondenzáto U feszültsége nő, ha a fegyvezetet távolítjuk egymástól (met lyenko a kapactása csökken, a töltése vszont nem változk, tehát a feszültségnek nőne kell az U = / fomula ételmében), és ezt a megnövekedett feszültséget jelz az elektoszkóp Itt álljunk meg egy szóa Az eddgekben azt mondtuk és helyesen hogy az elektoszkóp a ajta lévő töltést mé, és feszültségméésől pedg nem szóltunk Valóban, a lemezek között taszítóeő a ajtuk lévő töltéstől függ a oulomb-tövény ételmében Mét mondjuk akko mégs azt, hogy a fent kíséletben az elektoszkóp a kondenzáto feszültségét mé? Nos, tt nncs ellentmondás, met az elektoszkóp mndkettőt mé Mvel az elektoszkóp házát földeljük, ezét az elektoszkóp s egy kondenzáto Mnél nagyobb ezen a kondenzátoon az elektomos töltés, annál nagyobb ajta az elektomos feszültség s az ELEKTOSZKÓP U ELEKTOSZKÓP ELEKTOSZKÓP összefüggés ételmében Mvel az elektoszkóp kapactása állandó, ezét az elektoszkóp feszültsége aányos lesz a ajta lévő töltéssel Az elektoszkóp tehát feszültségméő műsze s, csak a méőlemezenek kvezetését és a házát páhuzamosan kell kötn a méendő feszültséggel (mnt mnden feszültségméő műsze esetében) Jelen kíséletünkben a kondenzáto fegyvezetevel kötöttük páhuzamosan, tehát az elektoszkóp így valóban a kondenzáto feszültségét fogja mén (amellett, hogy a saját magán lévő töltést továbba s mé, csakhogy ez a töltés most aányos a kondenzáto feszültségével) Nagyon záójelesen még azt s megjegyezzük, hogy amko feszültséget méünk az elektoszkóppal egy kondenzátoon, akko az elektoszkóp általában nem teknthető deáls sztatka feszültségméő műszenek Az elektoszkóp kapactása ugyans hozzáadódk a méendő kondenzáto kapactásához, és ezét az elektoszkóp bektatásával a feszültség egy kcst csökken Ez a hatás annál ksebb, mnél ksebb az elektoszkóp kapactása Egy deáls elektoszkóp feszültségméő kapactása tehát zéus Gömbkondenzáto Tekntsünk most két koncentkus gömbfelületet mnt kondenzátot: V ába Legyen például a belső gömb poztív, a külső pedg negatív töltésű A belső gömbből nduló eővonalak a külső gömbön végződnek Ez most nem homogén té, hszen az eővonalak ánya sem azonos a legtöbb helyen, és a téeősség nagysága s csökken, ahogy a belső gömbtől távolodunk Ilyen téel azonban má találkoztunk, hszen a pontszeű töltés tee s gömbszmmetkus té A gömb felületén kívül nem tudjuk megállapítan, hogy az elektomos teet egy pontszeű töltés vagy pedg egy vezető gömb felületén eloszló töltés hozza léte (Pesze a gömb felületén belüle menve má nagy a különbség: pontszeű töltés esetén a téeő egye nő az ogóhoz közeledve, gömb esetén vszont a gömbön belül zéus a téeő) Szóval a gömbön kívül a téeősség és a potencál s úgy változk, mnt pontszeű töltés esetén: /7

8 E e és (), ahol a gömb középpontjától mét távolság Ezek szent ha a belső gömb sugaa, a külső gömbé pedg, akko a potencáljuk () és ( ) A két gömb között feszültség ezek szent: U () ( ), ahonnan a gömbkondenzáto kapactása: U Feladatok, kédések: ) Hasonlítsuk össze ezt a fomulát a síkkondenzátoa kapott képlettel! Mt kapunk eedményül, ha a két gömbfelület nagyon közel van egymáshoz? ) Mt kapunk eedményül, ha a másodk gömb sugaa gen nagy, vagy másodk gömb egyáltalán nncs s jelen? Hengekondenzáto Két L hosszúságú koncentkus hengeből álló kondenzáto kapactása L, ln( / ) ahol és a belső és a külső henge ádusza: V5 ába Ezt a fomulát úgy vezethetjük le, hogy az elektosztatka I alaptövényée támaszkodva felíjuk az elektomos téeősséget mnt a hely függvényét egy olyan hosszúkás hengekondenzátoban, amelynek töltése : a töltésbõlklépõ eõvonalak száma E annakaz sugaúhengenek( ) a felülete,aholaze- t kédezzük Ezután a kondenzáto U feszültségét kell kszámoln, fgyelembe véve, hogy az elektomos té mndg adáls ányú a hengekondenzátoban Ha tehát adáls utat választunk a feszültség kszámításához, akko gaz, hogy E d = E d, és így U KONDENZÁTO E d, Magát a levezetést nem közöljük, de kéjük az olvasót, hogy gondoljon utána /8

9 V3 Kondenzátook soos és páhuzamos kapcsolása Páhuzamos kapcsolás Páhuzamos kapcsolásól akko beszélünk, ha két vagy több áamkö elem - jelen esetben kondenzáto - ugyanazt a két pontot köt össze Ekko valamenny elemen ugyanaz az U feszültség van Ilyenko logkus kédés, hogy a páhuzamosan kapcsolt elemeket lehetséges-e egyetlen eedővel helyettesíten, amely ekvvalens módon vselkedk, és mekkoa ez az eedő? Például háom páhuzamosan kapcsolt kondenzáto esetén az a feladat, hogy mekkoa annak ez eedő kondenzátonak a kapactása, amely mnden feszültségen ugyananny töltést táol, mnt a háom kondenzáto együttesen? V6 ába EEDŐ EEDŐ EEDŐ 3 U 3 3 EEDŐ 3 U U U U Ennek a kondenzátonak a kapactása tehát EEDŐ = Vagy általában n daab páhuzamosan kapcsolt kondenzáto esetén: n EEDŐ Soos kapcsolás Mnt láttuk, kondenzátook páhuzamos kapcsolása esetén a feszültség azonos mnden kondenzátoon, met ugyanazt a két pontot kötk össze Kondenzátook soos kapcsolásánál mnden kondenzátoon ugyanaz a töltés jelenk meg, met elágazás nélkül egymás után vannak kötve Ekko ugyans az első kondenzáto poztív fegyvezetée felvtt töltés az elektomos megosztás évén ugyanazt a töltést jelenít meg valamenny kondenzátoon V7 ába A kondenzátookon eső feszültség összeadódk, tehát U EEDŐ = U + U + U 3, /9

10 vagy általában EEDŐ 3 EEDŐ n EEDŐ 3, V Kondenzáto és elektosztatkus té enegája Kondenzáto enegája Egy feltöltött kondenzáto enegáját úgy hatáozhatjuk meg, hogy megméjük, ksütése közben az elektomos té mekkoa munkát végez Ez a munkavégző-képesség a kondenzáto enegája Amko d töltés megy át a poztív fegyvezetől a negatív fegyvezete, akko a d töltésen a té által végzett munka dw = U d most az átvtt töltést jelent (Tehát az átvtt töltés a folyamat kezdetén, mután pedg ksütöttük a kondenzátot, az átvtt töltés a kondenzáto kezdet teljes töltésével egyenlő, amt - al jelölünk) A kondenzátoon maadó töltés =, a kondenzáto feszültsége pedg U A kondenzáto teljes ksütése soán végzett munka: W dw Tehát a kondenzáto enegája: d / U U Az eedményt (és az ½-es szozótényezőt) szemléletesen úgy s ételmezhetjük, hogy a kondenzáto feszültsége a ksütés közben a ajta lévő töltéssel aányban lneásan csökken nulláa Az átlagos feszültség pedg ennek következtében a kezdet és végső feszültség számtan átlaga: UÁTLAG U A végzett munka pedg W UÁTLAG U Olvasmány: az előjel és a potencáls enega A kondenzáto enegáját megadó fomulát úgy s le lehet vezetn, hogy -val nem az átvtt töltést, hanem a kondenzátoon lévő töltést jelöljük A ksütés soán végzett munka ekko azonban kcst más dw = U ( d) Ugyans ha ksütésől van szó, akko a kondenzáto töltése csökken, tehát d negatív A té által végzett dw munka vszont poztív, met a poztív töltés egy ks észét (am d-ként íandó ebben az esetben, hszen így lesz poztív) vsszük át a poztív fegyvezetől a negatív fegyvezete A ksütésnél végzett munka evvel a jelöléssel: W dw U( d) U d d

11 Mnt látható, ez a levezetés talán egyszeűbb, de a d előjelének megétése több fgyelmet gényel Az előjel, mnt látható, fontos dolog, és akámlyen egyszeű, mégs alaposan oda kell fgyeln, nehogy elhbázzuk Gyakolásul ajánlott, hogy a kondenzáto enegáját most a feltöltéseko végzett munkából kndulva vezessük le Segítség: a feltöltésko az elektomos eőté munkája negatív, valamlyen, a feltöltést végző eő munkája pedg poztív A feltöltött kondenzáto enegája temészetesen poztív Tehát a kondenzáto enegája vagy a feltöltést végző eő munkájával egyenlő, vagy pedg az elektomos eő munkájának a mínusz -szeesével Ez az előjel-konvencó onnan adódk, hogy az enega az nem munka, hanem munkavégző-képesség Ha tehát a té munkát végez, akko annyval csökken a munkavégző-képessége, amenny munkát végzett A té enegájának a változása tehát az általa végzett munkának a mínusz -szeese: E POT = W Tulajdonképpen má az első levezetésnél használtuk a fent összefüggést, amko azt mondtuk, hogy a kondenzáto enegája az a munka, amt a feltöltött kondenzáto eőtee végez a ksütés soán: EPOT EPOT() EPOT() EPOT(ksütött kond) EPOT(töltött kond) W A ksütött kondenzáto enegáját nullának tekntve kapjuk a kndulásul használt fomulát: E POT (töltött kond) W Az elektosztatka té enegája Azt szeetnénk bebzonyítan, hogy az elektosztatkus té enegasűűsége a té egy pontjában ( enega ) ED A levezetést az egyszeűség kedvéét egy síkkondenzáto lemeze között feszülő homogén elektomos tée végezzük el, és még azt s feltételezzük, hogy a kondenzáto lemeze között vákuum van elátható azonban (bá ennek bzonyítását tt nem közöljük), hogy az eedmény nem csak ee a specáls esete, hanem általában s gaz Tekntsünk tehát egy feltöltött síkkondenzátot, amelyben a homogén elektomos téeősség E Ekko a kondenzáto feszültsége: U E d Ed, ahol d a kondenzáto lemezenek a távolsága (Az ntegálás tt a homogén té matt szozássá egyszeűsödk) A kondenzáto enegája, mnt láttuk: EPOT U E fomulában a feszültsége helyettesítsük be, hogy U = E d, valamnt a síkkondenzáto A kapactását: Ezzel d A EPOT (E d) d amt átendezve azt kapjuk, hogy EPOT E ( E)(A d) (E D)V, ahol V a kondenzáto téfogata Innen má egyszeű feladat az enegasűűség kfejezése: EPOT ( enega ) ED, V am nem más, mnt a bzonyítan kívánt fomulának a síkkondenzáto esetée évényes alakja /

12 VI Dpólusmomentum Dpólus és töltésendsze potencáltee Egy töltésendsze momentumán az alább kfejezést étjük: m n vagys a töltéseket súlyozzuk a hozzájuk tatozó helyvektookkal Az azonos nagyságú, de ellentétes előjelű + és töltésekből álló töltésendszet dpólusnak nevezzük Ennek a töltésendszenek a momentuma a dpólusmomentum, amt p-vel jelölünk: p = + = ( + ) = Tehát a dpólusmomentum vektoa a negatív töltésből a poztív felé mutat (ld a VI ábát), z x - y VI ába a dpólusmomentum nagysága pedg a töltésnek és a töltéseket elválasztó = távolságnak a szozata A továbbakban azt szeetnénk belátn, hogy tetszés szent töltésendsze eőtee messzől nézve olyan, mnt egy dpólus tee Ezt a kédést azét édemes megvzsgáln, met a szgetelőanyagok molekulákból állnak, amelyekben a töltés eloszlása meglehetősen bonyolult s lehet Ha vszont tetszés szent töltésendsze a távolból nézve dpólussal helyettesíthető, akko makoszkopkus méések szempontjából a szgetelőanyagokat úgy teknthetjük, mntha egyszeű dpólusokból állnának (A molekulás méetekhez képest ugyans távolól vzsgáljuk ezeket a töltéseloszlásokat) Elsőnek egy egyszeű dpólus teét vzsgáljuk meg, és ne s az eőteét, hanem a potencálteét számoljuk k Az eőté ugyans ebből a potencáltéből gadens-képzéssel leszámaztatható, vszont a potencáltéel egyszeűbb számoln, mvel az skaláté Tehát tekntsük az alább ábát, ahol a dpólus potencálját a dpólustól aánylag távol lévő helyvektoú P pontban kívánjuk kszámítan A dpólusól tudjuk, hogy a koodnátaendszeünk ogója közelében helyezkedk el Jelölje + és a poztív és negatív töltés helyvektoát, + és - pedg ugyanezen töltéseknek a P ponttól mét távolságát z P + + x y - VI ába /

13 /3 A P pontban mét potencál a + és töltés által e pontban létehozott + és potencálok összege (III): Ez eddg mnden közelítés nélkül pecíz eedmény Vszont eddg még nem használtuk k, hogy a P pont gen messze van, és ezét az és + vektook által bezát szög közelítőleg zéus Így a két vekto skalászozata az abszolút étékek szozatával közelíthető, met cos, amből Az ába szent =, azaz + = +, és így ) ( A másodk átalakítást azét hajtottuk vége, hogy az + ecpokában egy tovább közelítést tegyünk: Hasonló megfontolásokkal Ha ezt a két közelítést behelyettesítjük a dpólus potencál kfejezésébe, akko a következő eedményt kapjuk: )], ( [ 3 vagys a dpólus potencálteét az alább kfejezéssel közelíthetjük:, 3 p ahol p = ( + ) a dpólusmomentum Ezek után nézzük meg egy tetszés szent töltésendsze potencálteét Itt s fel fogjuk tételezn, hogy a töltések az ogóhoz aánylag közel, a P pont pedg ahol a töltésendsze potencálteét vzsgáljuk az ogótól távol helyezkedk el A dpólus potencálteének számításához hasonló megfontolásokat és elhanyagolásokat alkalmazva: 3 Ha most azt s feltételezzük, hogy egy elektomosan semleges molekuláól van szó, akko = Továbbá smét felhasználjuk, hogy egy töltésendsze momentuma m =, és így egy semleges töltésendsze potencálja az pontban: 3 m Látható tehát, hogy a töltésendsze ugyanolyan potencálteet hoz léte, mnt egyetlen p = m dpólusmomentumú dpólus Vagys lyen alapon mndenfajta töltéseloszlással endelkező molekulát bátan helyettesíthetünk egyetlen dpólussal