A DIFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA A DEMOGRÁFIAI STATISZTIKÁBAN APPLICATION OF DIFFERENTIAL CALCULATION IN DEMOGRAPHIC STATISTICS

Átírás

1 Gradus Vol 5, No 2 (218) ISSN A DIFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA A DEMOGRÁFIAI STATISZTIKÁBAN APPLICATION OF DIFFERENTIAL CALCULATION IN DEMOGRAPHIC STATISTICS Tóth Attila 1*, Csáky Atal 2, 1 Pedagógusképző Itézet, Közép-európai Taulmáyok Kara, Nyitra, Szlovákia 2 Pedagógusképző Itézet, Közép-európai Taulmáyok Kara, Nyitra, Szlovákia Kulcsszavak: Tredvoal. Demográfiai statisztika. Keywords: Tredlie. Demographic statistics. Cikktörtéet: Beérkezett 218. július 1. Átdolgozva 218. augusztus 15. Elfogadva 218. október 1. Összefoglalás A difereciálszámítás alkalmazható a demográfiai számításokba, a tredvoalak meghatározására alkalmas, segítségével a csekélyebb változások sebessége is kimutatható. A változások sebességéek változása a szociális itézkedésekkel, megélhetési küszöbbel determiált, összehasolítható a szomszédos országokba. Abstract Differetial calculatios ca be applicated i demographic calculatios. Ca ot be used oly for defiig trie lie, but also for measurig speed of the chages. The speed of the chages is determiated by social dispositios ad livig tresholds; the data ca be compared with data of eighborig coutries. 1. Bevezetés A mukába rámutatuk arra, hogya alkalmazható a difereciálszámítás a demográfiai számításokba. A deriválás emcsak a tredvoal levezetésére alkalmas, haem segítségével a csekélyebb változások sebessége is kimutatható. A változások sebességéek változása a szociális itézkedésekkel, megélhetési küszöbbel determiált, összehasolítható a szomszédos országokba. A kutatás tartalmaz egy tredvoal aomáliát is. Végsősorba rávilágítuk arra, hogy a családpolitikára érdemes odafigyeli, hisze a épesség mértékéek változása a sebességgel yomba kimutathatók. 2. Deriválás a tredvoalak levezetéséhez A tredvoalak meghatározásáál em a véletleszerű, haem a meghatározó jellegű, determiisztikus kompoessel számolak. Miszerit y i = η i + ε i (1). * Tóth Attila. Tel.: cím: atoth2@ukf.sk 258

2 A difereciálszámítás alkalmazása a demográfiai statisztikába Ha a véletleszerű kompoes ics olya agy befolyással az eseméyeikre, akkor a legjobba befolyásoló téyező a feltehetőe lieáris iráyál a következő egyelettel jellemezhető: η i = β + β 1 x i, (2) illetve az idősorokál az x helyett a t idő található. A tred bizoyos szempotból a jellegzetes közép voal. A matematikába és más műszaki ágazatokba általába a szóráségyzettel dolgozak, így a szóráségyzetet számítják ki a valós potok, és a hozzájuk tartozó tredvoal potjaiak a külöbségére, amit reziduumokak (becsült maradéktag) evezük. Ha lieáris tredvoalról va szó, akkor gyakorlatilag a b az aalitikus geometriába az eltolás, a b 1 pedig az iráytéyező, tehát, hogy milye iráyba halad az idősor vizsgált értékei, ha em változak a körülméyek, a tred. A szóráségyzetet a következő egyelettel írhatjuk fel: S = S(b, b 1 )= i=1 (y i y i ) 2 = i=1(y i b b 1 x i ) 2 (3), ahol y i a tredvoal potjait jeleti. Mikor kapjuk a legkisebb távolságot az összes pottól? Ha alkalmazzuk a difereciálszámítás azo tulajdoságát, hogy a szélsőértéket a derivált -helyé kell keresi: eszerit S = illetve S =. (4) b b 1 Az eltolás és iráytéyező szeriti deriválás segítségével kapjuk meg a legkisebb távolságokat a valós potoktól, hisze a második deriváció midkét esetbe egatív előjelű. A deriváció szabályaiak megfelelőe a következő egyeleteket kapjuk: illetve S = 2 b i=1 (y i b b 1 x i )( 1) = (5); S = 2 b i=1 (y i b b 1 x i )( x i ) = (6), 1 amelyekből két egyeletet kapuk, két ismeretleel, ha adottak az, y i, x i adatok: i=1 y i = b + b 1 x i i=1 y i x i = b i=1 x i + b 1 (x i ) 2 i=1 (7) i=1 (8) eze egyeletekbe az y függését vizsgáljuk az x-től, illetve az idősorok esetébe az x helyett t va, tehát időbeli függőségről va szó. Difereciálszámítással va tehát levezetve a legkisebb szóráségyzet, és eszerit számítják a lieáris tredvoalakat. A kvadratikus tredvoalak számítására pedig már a görbületet is beszámítják, ahol három egyeletet kapuk, három ismeretleel. Az idősorokra így ezt kapjuk: i=1 y i = T b + b 1 i=1 t i + b 2 (t i ) 2 i=1 y i t i = b i=1 t i + b 1 i=1 (t i ) 2 +b 2 (t i ) 3 i=1 (9) i=1 (1) i=1 y i t 2 i = b i=1 (t i ) 2 + b 1 i=1 (t i ) 3 +b 2 i=1 (t i ) 4 (11) A számítások akkor a legpotosabbak, ha a reziduumoktól való eltérés ulla, vagy a ullához közeli érték, ε i=1 = y i y i =. i=1 (12) 259

3 Tóth Attila, Csáky Atal 3. Az idősorok tredvoalaiak az alkalmazása a demográfiai számításokba Néháy gyakorlati példába bemutatjuk a tredvoalak klasszikus számítását a demográfiai statisztikába A ők születésekor várható átlagos életkora A ők a lieáris tredoal alapjá em érik meg a 1 éves kort ábra. A szlovák statisztikai hivatal adatai alapjá számított lieáris tredvoal és progózis Az 1. ábrá jól látható, hogy a ők a születéskor számított átlagos életkora,amely övekedő tedeciát mutat. A progózis szerit azoba ez a övekedés lassú, 4-5 év múlva lépi túl a kilecvees küszöböt A férfiak születéskor várható életkora Kvadratikus tredvoal, elérhető a százéves kor ábra A szlovák statisztikai hivatal adatai alapjá számított kvadratikus tredvoal és progózis A második ábra szerit, míg midezidáig a férfiak a statisztika alapjá belehaltak feleségük elvesztésébe, úgy éz ki a progózis szerit, hogy megedződek és így megelőzik a ők átlagos életkorát, és túlélik őket. A második ábra bal oldalá jól látható, hogy parabolikus a tred, tehát yilvá kvadratikus tredvoal számításával próbálkozuk. A számítások potossága az ötévekét 12 megadott adathalmazra i=1 ε = a férfiak esetébe, 12 i=1 ε = 3,61 1 a ők esetébe. Megkérdőjelezedő azoba az, hogy a tred valósa megmarad-e. Húsz évvel ezelőtt még fel sem tételeztük vola a mára már elért magas életkort, az orvostudomáy fejlődése azoba erre rácáfolt. 4. A deriváció alkalmazása a változások mérésére Az előzőekbe rámutattuk a lieáris tred és kvadratikus tred külöbözőségére, amit a demográfiai számítások átlagos életkorra voatkozó adatok alapjá dolgoztuk fel. A következőkbe pedig bemutatjuk azokat a számításokat, amelyek em várt eredméyeket hoztak a kvadratikus egyeletsor megoldásakét. Érdekes módo éppe a Szlovákiába hivatalosa tartózkodó vedégmukások esetébe a yilvátartottak száma a 3. ábra szerit másodfokú poliom függvéyre eged következteti. A számítások viszot erre rácáfoltak, hisze egy fordított parabola jeleik meg, ahol az eltolás egatív előjelű, va kicsúcsosodás, majd hayatlás is. Ha jól 26

4 A difereciálszámítás alkalmazása a demográfiai statisztikába belegodoluk eek az iterpretációjába, akkor talá azt várák el, hogy a gazdasági célból útak eredt fiatalok egyszer csak a saját hazájukba is találak majd megfelelő mukahelyet, ami a megélhetésüket is biztosítja. Az adatsor viszot, ha em vesszük figyelembe a kezdeti értékeket övekedő típusú parabolát mutat, az elvártat. Illetve politikailag em elvártat. A szerbiai fiatal férfiak a yelvrokoság miatt is vozóak találják Szlovákiát. Hisze az lee a jó, ha mideki a saját hazájába találá meg megélhetését, odahaza alapítaa családot. Ugyaez megvizsgálható a magyar fiatalok esetébe is, akik az agolokál találtak sokkal jobba kifizetődő mukát. Pedig em mideki tud megfelelő szite agolul. Megfigyeledő, hogy a magyar fiatalok jeleléte Nagy-Britaiába is fordított tredvoalat mutat, tehát meg kellee keresi a módját aak, hogy ottho maradjaak. Az okok keresését pedig az útak idulásuk okát kellee megkeresi. Ezt pedig úgy találhaták meg, ha megézék az akkori politikai itézkedéseket, mukaerő piaci helyzetet, és sok kis apró más befolyásoló téyezőt. Talá ezekbe az esetekbe em lehet figyelme kívül hagyi a véletleszerű hibafaktort (ε i ). Ha alkalmazzuk a difereciálszámítást geometriailag is, akkor a baloldali görbe derivációjával kapjuk a változás mértékét, ami gyakorlatilag évekéti változás. A kivádorlás sebességéek a görbéjéből potosa kiolvasható mikor volt potosa övekedő, illetve mikor volt csökkeő tedeciájú. Tehát a tredvoalak is a difereciálszámítás eredméyekét alkalmazhatóak a demográfiai statisztikába, de a változás mértéke (umerikusa számítva a statisztikába lehet bázis idex is, amelyet a kívát évhez hasolítuk potos időtartamokba) alkalmazva a görbére rögtözött sebességet mutat. 2 1 Szlovákiába egedélyezett szerb mukaerő A szerb mukaerő szlovákiai jeleléte a számítás alapjá ábra A szlovák statisztikai hivatal adatai alapjá számított kvadratikus tredvoal és progózis A harmadik ábrá megfigyelhető a külöbség, míg a program automatikus válasza a kért másodfokú poliómfüggvéyre felfelé ívelő parabolát mutat, ugyaakkor a umerikus számítás eredméyekét a jobboldali ábra jö elő. Érdekes az is, hogy az első éháy év elhagyásával a klasszikus számítás is felfelé ívelő parabolát mutat. Vizsgálgattuk a parabolikus átbilleést, azaz, hogy mikor kezd a három egyeletredszer megoldása em lefelé, haem felfelé ívelővé váli. A klasszikus számítás ugyais a baloldali ábrát úgy érzékeli, mit egy agy fordított parabola Magyar fiatalok Nagy- Britaiába /változás Magyar fiatalok Nagy- Britaiába /progózis ábra A ONS Portfolio statisztikai adatai alapjá feldolgozott változás és progózis 261

5 Tóth Attila, Csáky Atal Érdekes módo a magyar fiatalok agliai mukavállalása is ilye jeleség, hisze ha megvizsgálkjuk a 4. ábra baloldalát, akkor az utolsó 4 év elhagyásával felfelé ívelő parabolikus összefüggést sejtheték. Ha ebbe belegodoluk, a haza számára em elfogadható, hogy gyakorlatilag a végtelebe szaporodik a jobb megélhetésért kivádorlók száma. Nyilvá az ország kilépése az EU-ból valószíűleg bizoyítai fogja a jobboldali ábrá látható progózist. Érdekes megfigyeli a változás mértékét is a baloldali ábrá, ahol az alsó voal éppe a változás mértéke éháy ezres agyságredbe eléggé agyak tűik. 5. Összépességi számadatok Ha már éritőlegese foglalkoztuk a kivádorlás, bevádorlás illetve várható életkor problémakörrel vessük pillatást az összépességre. A V4 családkogresszuso publikált irodalom szerit a Magyarország jelelegi területé a lélekszám a következő ábra szerit változik Magyarország épessége (millió/év) ,5 1, , A épesség változásáak a sebessége (mill./év) 5 ábra KSH a századok statisztikája adatai alapjá feldolgozott progózis és változás Az adatokból sajos csökkeő tedeciájú parabola mutatkozik tredkét, yilvávaló, hogy midet meg kell tei azért, hogy az 1985 óta évi 2 fővel e fogyatkozzék a magyar ho. A változás mértéke a sebesség agyo jól kiolvasható az egyes időszakokba az 5. ábra jobb felé. A törtéészeik elgodolkodhatáak az egyes időszakok külöbségei Szlovákia lakossága/év (ezres agyságred) 1 5 Szlovákia épességéek a változása (ezer/év) ábra Karásek Vladimír: Vývoj osídleia Sloveska, Geografia statisztikai adatai alapjá feldolgozott progózis és változás Az egyes időszakokba a két országba jól összehasolítható a változás mértéke, az egyszerű derivált görbe segítségével. Nyilvávalóa megerősíthető az ú. baby-boom, ami a háborúk utá lei szokott (még a legutolsó szerb-horvát háború utá is kimutatható). A szlovákiai tredvoal biztatóa felfelé iráyul épességi szempotból, de aváltozás mértéke itt is lefelé iráyuló 262

6 A difereciálszámítás alkalmazása a demográfiai statisztikába tedeciát mutat. A hetvees évek Husák gyermekiből a demokrácia üres bölcsői lettek. Az utolsó egy-két évtized gyermeáldását szemlélvé ayi megállapítható, hogy stagál midkét országba A születések száma Szlovákiába stagál/deriváció Élveszületettek száma Magyarországo/változás ábra A PPT súčasý populačý vývoj v SR, és Családbarát fordulat kiadváy statisztikai adatai alapjá feldolgozva A 7. ábrá összehasolítható Magyarország és Szlovákia élveszületetteiek a száma, yilvá a szlovákiai összlakosság feleakkora agyságú (1/5 millió). 6. Zárógodolat A demográfiai statisztikába alkalmazott deriváció segítségével rámutattuk arra, hogy a deriváció segítségével meghatározott tredvoalak potjai extréme kicsi közelítéssel meghatározhatóak. A számításokba kapott rezídiumok összege 1 1 agyságredű közelítést mutat a ullához, vagy potosa. A parabolák felfelé, vagy lefelé ívelő mivoltába valószíűleg más befolyásoló téyezőket is figyelembe kell vei. Az egyes kormáyok családtámogatásához meg kell tehát vizsgáli az összes befolyásoló téyezőt, és azok befolyásolási mértékét. A deriváció másik alkalmazása a változás mértéke (ami lehet évekéti, vagy 5 1 évekéti redszerességű), ami kimutathatja az egyes itézkedések hatékoyságát. Irodalomjegyzék [1] ONS Portfolio [2] PPT súčasý populačý vývoj v SR, Ifostat 211 [3] Családbarát fordulat, Emberi Erőforrások Miisztériuma, 217 [4] Karásek Vladimír: Vývoj osídleia Sloveska, Geografia [5] Origo, Népességövekedés,, [6] Bick, Alexader «The Quatitative Role of Child Care for Female Labor Force Participatio ad Fertility.» Joural of the Europea Ecoomic Associatio, im Erscheie [7] Ifostat, Progóza stredej dĺžky života, 22 [8] Majerová Silvia, Aká bude populácia Sloveska o 3 rokov, 263