Teleszkopikus összegekről, avagy kalandozások egy versenyfeladat körül

Átírás

1 Teleszopius összegeről, avagy alandozáso egy versenyfeladat örül. Bevezetés Besenyei Ádám Középisolai matematiaversenyeen gyaran előfordul, hogy egy-egy itűzött feladat valójában speciális esete vagy éppen egyszerű övetezménye valamely általános tételne. Mivel azonban az ilyen tétele rendszerint túlmutatna a özépisolás tananyagon, és a megoldási útmutatóban általában nincs hely a részletezésüre, ezért a diáo és tanárai csa ritán ismerheti meg az általánosításoat, valamint azo eredetét. Jelen írás célja éppen az, hogy özépisolás szinten bemutassa egy 202. évi matematia versenyfeladat mögött rejlő elméleti és történeti érdeességeet. Figyelmün özéppontjában a teleszopius összege állna majd, amelyehez apcsolódóan számos hasznos fogalomra, illetve összefüggésre világítun rá, és özben iváló matematiusoat ismerün meg. Kalandozásun során a lehető legevesebb előismeretre támaszodun, ezért minden előerülő fogalomra és összefüggésre emléeztetni fogun. A ci olvasásával így bári megpróbálozhat, de egyes része aár órán vagy szaörön is feldolgozható. A téma iránt mélyebben érdelődő számára menet özben bőséges olvasnivalót ajánlun, valamint a ci jó néhány önálló gondolodásra itűzött feladatot szintén tartalmaz, amelyehez útmutatást is adun. 2. Kiindulás: egy 202. évi OKTV feladat Matematiatörténeti utazásun iindulópontja a 20/202. tanévi matematia Országos Középisolai Tanulmányi Verseny (OKTV) döntő fordulójána a II. ategóriában induló, vagyis a nem speciális matematia tanterv szerint haladó gimnazistá számára itűzött 3. feladata (lásd a [5] honlapot). 2.. Feladat (OKTV, 20/202). Legyen h() és n 2, 3,... esetén h(n). Mutassu meg, hogy i i L h 2 () + 2 h 2 (2) + 3 h 2 (3) h 2 (202) < 2. Aadhat, ai még nem találozott a jellel (görög nagy szigma betű), amelyet összege tömör leírására (a... helyett) is használun a övetezőéppen Jelölés. Ha (a n ) egy tetszőleges valós számsorozat, aor () a i : a + a a n, i

2 amelyet úgy olvasun, hogy szumma i -től n-ig a i. Természetesen i helyett bármilyen futóindexet használhatun, mi a ciben általában a betűt fogju. Az () összeget a továbbiaban az (a n ) sorozat egy (méghozzá az n-edi) részletösszegéne fogju nevezni. Mielőtt az Olvasó továbbhaladna, érdemes egy is időt szánnia az OKTV feladat önálló megoldására, vagy legalábbis a megoldáson való töprengésre. A hivatalos és egyben talán legelegánsabb megoldást az alábbiaban ismertetjü. A megoldás ötlete, hogy egy olyan összeggel becsüljü felülről, más szóval majorál ju L-et, amelyet meg tudun adni zárt alaban. Ehhez vegyü észre, hogy mivel a (h(n)) sorozat (szigorúan) monoton növő, azért 2 esetén (2) h 2 () h( )h() h() h( ) h( )h() h( ) h(). Ezt 2-től n-ig összegezve apju, hogy (3) ( h 2 () h() ) ( + ) ( + ) h(2) h(2) h(3) h(3) h(4) }{{}}{{} 0 ( + h(n 2) 0 ) ( + h(n ) h(n ) } {{ } 0 ). h(n) A (3) egyenlőtlenség jobb oldala egy úgynevezett teleszopius összeg, amelyben (a zárójele elhagyásával) minden tag, az első és az utolsó ivételével, pozitív és negatív előjellel egyaránt szerepel, ezért iesi, vagyis az összeg teleszópszerűen (vagy gondolhatun a zsebrádió antennájára) összecsuli. Követezéséppen (4) n h 2 () + h 2 () h 2 () + h() h(n) < h 2 () + h() 2 minden n 2 esetén, speciálisan n 202 esetén is, amit bizonyítani aartun. A (4) becslést röviden úgy is fogalmazhatju, hogy a h 2 () (n, 2,... ) összegene a 2 egy felső orlátja Definíció. Egy (a n ) valós számsorozatot felülről orlátosna nevezün, ha van olyan K valós szám, hogy a n K minden n, 2,... esetén. Eor K a sorozat egy felső orlátja. Hasonlóan, az (a n ) sorozat alulról orlátos, ha a n K minden n, 2,... esetén. Eor K a sorozat egy alsó orlátja. Egy sorozatot orlátosna mondun, ha alulról és felülről is orlátos Példa. Az a n n sorozat egy felső orlátja az, az a n n sorozat viszont felülről nem orlátos. Az a n ( ) n sorozat alulról és felülről is orlátos. 2

3 Még egy pillanatra visszatérve az OKTV feladat megoldására, szinte tálcán ínálozi az általánosítás lehetősége. Gondolju meg, hogy a (h(n)) sorozat helyett tetszőleges pozitív tagú (d n ) sorozat D n : n részletösszegei vehető, hiszen eor is alalmazható a (2) becslés h() helyett D -val. Valójában a övetező tételt igazoltu a fentieben Állítás. Legyen (d n ) tetszőleges pozitív tagú valós számsorozat és részletösszeg-sorozata D n : n (n, 2,... ). Eor D 2 < (n 2, 3,... ), D D D D n D tehát a (5) D 2 (n 2, 3,... ) összege sorozata felülről orlátos (mégpedig /D egy felső orlátja) Megjegyzés. A 2.5. Tételben a (d n ) sorozat pozitivitása helyett nyilván elegendő, hogy (d n ) nemnegatív tagú és d D > 0. Mivel az (5) összege sorozata felülről orlátos, és természetesen monoton növeedő is egyben, ezért a jól ismert tétel szerint (lásd az [5] önyv. öteténe 38. oldalát vagy a [9] önyv 40. oldalán a 5. feladatot) n esetén szüségéppen van határértée, tehát onvergens (a ciben csa néhány helyen erül elő a onvergencia fogalma, ezért azo is nyugodtan folytathatjá az olvasást, ai még nem hallotta róla; egyébént az [5, 9] önyve részletesen foglalozna a határérté-számítás témaörével) Definíció. Legyen (a n ) tetszőleges valós számsorozat. Ha a (6) lim a n határérté létezi és véges, tehát egy S valós szám, aor azt mondju, hogy a a (végtelen) sor onvergens, és összege S. A a összegeet a sor részletösszegeine szoás hívni (ezzel egyenértéűen mi az (a n ) sorozat részletösszegei elnevezést is használju, ha ez nem ooz félreértést). Ha a (6) határérté valamelyi végtelennel egyenlő vagy nem létezi, aor a sort divergensne mondju Megjegyzés. A 2.7. Definíció előtt tett megállapításun alapján, ha egy sor nemnegatív tagú, azaz a n 0 minden n-re, és részletösszegei felülről orlátosa, aor a sor onvergens. Ez visszafelé is igaz, hiszen ha egy tetszőleges valós számsorozat, legyen az aár egy részletösszeg-sorozat, onvergens, aor orlátos (lásd az [5] önyv. öteténe 25. oldalát) Példa. A sor onvergens és összege 0, hiszen a részletösszegsorozata az azonosan 0 sorozat, amelyne határértée 0. Az sor divergens, mert n-edi részletösszege n, amely n esetén végtelenhez tart. Az sor (2n + )-edi részletösszege, 2n-edi részletösszege 3

4 pedig 0, így a részletösszege sorozatána n esetén nincs határértée, tehát a sor divergens. Látszólag az sor összege 0, mert minden tag iesi, azonban a részletösszeg-sorzata, 0, 2, 0, 3, 0..., amelyne nyilván nincs határértée, tehát a sor nem onvergens. Ez azt mutatja, hogy egy végtelen összeget általában nem zárójelezhetün aárhogyan, mert ezáltal az összeg, sőt a onvergencia vagy divergencia ténye is megváltozhat. Rögzített q valós számra az + q + q 2 + q úgynevezett geometriai sor n-edi részletösszege a geometriai sorozat első n tagjána összegéplete alapján q n q. Mivel q < esetén q n 0, így eor a geometriai sor onvergens, és + q + q 2 + q q ( q < ). (Gondolju meg, hogy az iménti éplet mit adna q esetén, ha érvényes lenne, az sor összegére.) A továbbiaban célun a 2.5. Állítás messzemenő általánosítása. Ezzel apcsolatban természetes módon vetődi fel a övetező érdés Probléma. Legyen (d n ) tetszőleges pozitív tagú valós számsorozat és részletösszeg-sorozata D n : n (n, 2,... ). Eor milyen α valós szám esetén felülről orlátos a (7) (n 2, 3,... ) összege sorozata? D α A ci további részében a 2.0. Problémát teljesen megválaszolju, majd az eredménye néhány alalmazását mutatju be. Látni fogju, hogy a problémához apcsolódó érdéseel számos matematius foglalozott az elmúlt évszázado folyamán. 3. Általánosítás: Pringsheim tétele Kezdjü a 2.0. Probléma talán legegyszerűbb esetével! Ha α 2, aor x D /D választással x α x 2, ezért D α D α ( ) α D D D α ( ) 2 D D D α 2 D 2, és így a 2.5. Állításból övetezően D α ( D α 2 ) < D D n 4 D α,

5 vagyis a (7) összege sorozata ismét felülről orlátos. Megmutatju, hogy a felülről orlátosság α > esetén is érvényben marad. Sőt, ennél többet igazolun, nevezetesen, minden β > 0 esetén a D D (8) D β D D β D (n 2, 3,... ) D α alaú összege sorozata felülről orlátos. Eor β α > 0 választással a D α D D α D becslésből övetezi a (7) összege sorozatána α > esetén való orlátossága. A (8) összeg becsléséhez legyen p tetszőleges pozitív egész szám, amelyre /p β, és tegyü fel, hogy d D. Eor azt állítju, hogy (9) D D p. D β D Valóban, az u D p és v D p választása folytán D β u, így D D D β D D p D p jelölése bevezetésével D D és p vp u p uv p. A jobb oldalt szorzattá alaítva, majd u v felhasználásával v p u p uv p (v u)(vp + v p 2 u vu p 2 + u p ) uv p ( (v u)pvp uv p p u ), v ahonnan a (9) egyenlőtlenség azonnan adódi. Tetszőleges D > 0 esetén teintsü a : /D (, 2,... ) sorozatot, eor D D /D, speciálisan d D, így érvényes a (9) becslés alábbi megfelelője: D D D β D p. D p D p Ebből egyszerű átalaítással nyerjü, hogy D D (0) D β D p D β p D p Visszatérve iindulási célunhoz, a (0) becslést alalmazva végeredményben azt apju, hogy D D p D β D p. D β p D p D p D p. D β p A fentie alapján a 2.5. Állítás övetező általánosítását nyertü, amelyet Alfred Pringsheim (850 94) német matematius igazolt 890-ben. D p D p n 5

6 3.. Tétel (Pringsheim, 890). Legyen (d n ) tetszőleges pozitív tagú valós számsorozat és részletösszeg-sorozata D n : n (n, 2,... ). Eor tetszőleges β > 0 szám esetén a D +β és D β D (n 2, 3,... ) összege sorozatai felülről orlátosa. Sőt, tetszőleges p /β pozitív egész számra fennáll a övetező becslés: () D +β D β D p < p D β. D β p 3.2. Megjegyzés. Alfred Pringsheim főént a valós és omplex analízis területén alotott jelentőset, emellett művészettörténettel és zenével is foglalozott. Most röviitérőt teszün, hogy egy icsit több analízis segítségével a (9) egyenlőtlenségnél erősebbet igazoljun, illetve a (7) összegere özvetlenül, a (8) összege nélül is adjun felső becslést. A övetező rész eredményeit a ésőbbieben nem használju, ezért első olvasásra ihagyható (a (5) összefüggésre azért érdemes rápillantani), és az Olvasó nyugodtan a 4. szaaszra ugorhat. Megmutatju, hogy (9) helyett 0 < β esetén tetszőleges D > 0 mellett vagy evivalens módon (2) D D D β D β β [ (D D ( ) β ] D β D p D β ) D D. Mivel D < D, ezért elegendő igazolnun, hogy rögzített a < esetén az f(x) : ax (x > 0) x függvény (szigorúan) monoton növő (nyilván a esetén is monoton növő), hiszen eor a D /D választással β esetén f(β) f(), ami éppen a (2) egyenlőtlenség, és az is látható, hogy β esetén f(β) f(). Vegyü észre, hogy f(x) nem más, mint az a x függvény grafionjána a 0 és az x abszcisszájú pontjait összeötő húr meredesége. Ez viszont x növelésével szigorúan a x D p n, y 0 x x 2 x. ábra. a x onvexitása monoton nő, ugyanis a x szigorúan onvex függvény, ami éppen azt jelenti, hogy tetszőleges [0, x] intervallumon a függvénygrafion a végpontjait összeötő húr alatt feszi (ivéve természetesen a végpontoat), lásd az. ábrát, illetve onvex függvényeről bővebben az [5] önyv. öteténe oldalait és a [9] önyv 208. oldalán a 33. feladatot. 6

7 A onvexitás fogalmána segítségével az is megmutatható, hogy α > esetén (3) D D D α ( α D α ) D α. Valóban, a g(x) x α (x > 0) függvény bevezetésével a (3) egyenlőtlenség a (4) g(d ) g(d ) D D g (D ) alaot ölti. Ez az egyenlőtlenség viszont övetezi a g függvény onvexitásából: g grafionja x α bármely érintője fölött feszi (i- véve nyilván az érintési pontot), így a D D D x abszcisszájú pontba húzott érintő meredesége (vagyis (4) jobb oldala) legalább aora, 2. ábra. x α onvexitása mint a D, D abszcisszájú pontoat összeötő húr meredesége (azaz (4) bal oldala), lásd a 2. ábrát. A (3) becslés segítségével a (7) összegere végül a (5) D α ( α D α D α α ) ( D α y ) Dn α < (α )D α felső becslést nyerhetjü, amely α /p esetén egybevág a 3.. Tétel () becslésével, ülönben pedig annál egy issé erősebb. 4. Még tovább: Dini tétele Hátravan még a (7) összeg vizsgálata a 0 < α esetben. Mielőtt rátérnén, vegyü észre, hogy D α D α D α D n D D α. Ez azt jelenti, hogy ha a (D n ) részletösszeg-sorozat felülről orlátos, aor a (7) összege sorozata is felülről orlátos minden α valós számra. Ezentúl feltehető tehát, hogy a (D n ) részletösszeg-sorozat felülről nem orlátos. Megmutatju, hogy eor 0 < α esetén a (7) összege sorozata sem felülről orlátos. Ezt elég belátni az α esetben, hiszen x D /D választással 0 < α esetén x α x, így D α D α ( ) α D D D α D D α D D. A nemorlátosságot először egy speciális esetben igazolju, az általános eset bizonyítása pedig anna mintájára történi. Teintsü tehát a speciális 7

8 (, 2,... ) onstans sorozatot, és legyen α! Eor D, így D α. A fenti összeg nemorlátosságát már Nicole Oresme (320 örül 382) francia filozófus és matematius (ai ésőbb Lisieux város püspöe is volt) 350 örül belátta. Bizonyításána ötlete, hogy n 2 l választással l növelésével tetszőlegesen nagy alsó becslést aphatun a övetező módon: (6) }{{ 4 } > }{{ 8 } > } {{ } > > l 2 l l l }{{ l > } > 2 l l Az előbbi becslést nevezhetjü ondenzációs eljárásna, amelyne lényege az egymás utáni tago ondenzációja, más szóval sűrítése, összenyomása. Érdemes meggondolni, hogyan módosul a bizonyítás 2 hatványai helyett 0 hatványaival. A (6) egyenlőtlenségből, valamint anna ellenező irányú párjából onrét becslés nyerhetün az első n pozitív természetes szám reciproösszegére. 4.. Feladat. Igazolju, hogy (7) 2 [log 2 n] n [log 2 n] +, ahol [x] az x egészrésze, vagyis a legnagyobb x-nél nem nagyobb egész szám Megjegyzés. Ha egy a sor onvergens, vagyis összege egy S valós szám, aor a n n a a n S S 0, tehát a n 0 a sor onvergenciájána szüséges feltétele. A (6) példa mutatja, hogy e feltétel nem elegendő, hiszen /n 0, de a sor divergens, mert részletösszegei felülről nem orlátosa. Az általános esetben a (7) összege α mellett való nemorlátosság igazolása a (6) egyenlőtlenséghez hasonló alsó becsléssel (minorálással) történi. Először is rögzítsün egy tetszőleges n 0 indexet! Eor (8) d n0+ + d n d n 0+n d n 0+ + d n0+n d n0+n D n0+ D n0+2 D n0+n D n0+n D n 0+n D n0 D n0+n D n 0. D n0+n Mivel a (D n ) sorozat felülről nem orlátos, ezért (a rögzített n 0 -hoz) található olyan n > n 0 index, hogy D n0 /D n /2, így a (8) egyenlőtlenségben n n n 0 választással (9) n n 0+ D 2. 8

9 Az előbbi gondolatmenetet n 0 helyett az n indexszel végrehajtva hasonlóan nyerün egy n 2 indexet úgy, hogy a (9) egyenlőtlenség mintájára n 2 n + D 2. Az eljárást folytatva végül egy olyan (n l ) indexsorozatot apun, amelyre n l n 0+ D Követezéséppen a n n 0+ D n l n l + D l 2. (20) D (n 2, 3,... ) sorozat felülről nem orlátos. Vegyü észre, hogy a speciális esetben Oresme bizonyításában (vagyis a (6) becslésben) éppen n l 2 l. A apott eredményt Pringsheim tételével és a (5) becsléssel, illetve a szaasz elején írottaal összevetve Ulisse Dini (845 98) olasz matematius egy 867- es eredményét nyerjü, amellyel a 2.0. Problémát teljesen megválaszoltu Tétel (Dini, 867). Legyen (d n ) tetszőleges pozitív tagú valós számsorozat, amelyne részletösszeg-sorozata D n : n (n, 2,... ) felülről nem orlátos. Eor a (2) D α (n 2, 3,... ) összege sorozata α esetén felülről nem orlátos, α > esetén felülről orlátos, méghozzá D α < (α )D α. Más szóval a D α sor α > esetén onvergens, α esetén pedig divergens. Amennyiben a (D n ) részletösszeg-sorozat felülről orlátos, aor a (2) összege sorozata is felülről orlátos minden α valós szám esetén Megjegyzés. Dini főént a valós egyváltozós függvénye területén utatott, az általánosítás és az ellenpéldá mestere volt. A 4.3. Tételt az általun özölt bizonyításotól eltérő módon igazolta, és jelentősen általánosította. 5. Kitérő: Abel tétele A 4.3. Tétel α eseténe 4. szaaszbeli bizonyítása apcsán érdemes egy röviitérőt tennün, hogy megismeredjün Niels Henri Abel ( ) 9

10 norvég matematius egy eredményével. A (20) összeg helyett most a (22) D (n 2, 3,... ) alaú összegeet fogju tanulmányozni. Az ötlet, amelyet az alábbiaban ismertetün Abeltől származi. Először írju át a (22) összeget a övetező alaba: (23) D D D D ( ) D. D Ezután alalmazzu az (24) ln( + x) x (x > ) y x egyenlőtlenséget (ahol ln az e alapú, más szóval a természetes logaritmust jelöli; az e 2, 78 számról bővebben lásd a [3] ciet)! Ez egyszerűen övetezi abból, hogy az ln(+x) függvény érintőjéne meredesége az x 0 0 ln( + x) x pontban az (ln( + x)) /( + x) derivált 0-beli értée, vagyis, tehát az érintő az y x 3. ábra. ln( + x) x egyenletű egyenes. Mivel az ln( + x) függvény onáv, ezért a grafionja tetszőleges érintője alatt feszi, amiből ln( + x) x rögtön adódi (lásd a 3. ábrát). Eor a (24) egyenlőtlenségből övetezően ( ) D D ln D D (ln D ln D ). Ez utóbbi ismét egy teleszopius összeg, így végül a (23) egyenlőség alapján azt apju, hogy ln D n ln D. D Ezzel beláttu Abel egy 828-ban igazolt tételét. 5.. Tétel (Abel, 828). Legyen (d n ) tetszőleges pozitív tagú valós számsorozat, amelyne D n : n (n, 2,... ) részletösszeg-sorozata felülről nem orlátos. Eor a (n 2, 3,... ) D összege sorozata felülről nem orlátos, vagyis a D sor divergens. Érvényes továbbá a övetező becslés: D ln D n ln D. 0

11 5.2. Megjegyzés. Abel talán legismertebb eredménye az ötöd- és magasabb foú egyenlete gyöjeleel való megoldhatatlanságána bizonyítása. Ez annyit jelent, hogy a másod-, harmad- és negyedfoú egyenleteel ellentétben, nem létezi általános megoldóéplet magasabb foú algebrai egyenletere. Abel ezenívül maradandót alotott többe özött a csoportelmélet, az elliptius függvénye, a sorelmélet területén is. Nagyon fiatalon, 26 éves orában halt meg tüdőgyulladásban. Az Abel Dini-féle tételeről a [8] önyv. öteténe oldalain, illetve a [2] önyv oldalain olvashatun, ahol megtalálható az idézett eredménye eredeti hivatozásai is (a [2] önyv a sorelmélet alapműve, amely digitálisan elérhető a [] archívumban). Az előzőeben mi is e ét önyv felépítését övettü, néhol iegészítve az eredményeet. A [4, 6, 9] önyve rengeteg idolgozott feladatot tartalmazna a soro témaöréből, és ifejezetten ajánlható özépisoláso számára. A végtelen soro történetéről a iváló [4] önyvben és a [7] ciben olvasható további érdeessége. 6. Alalmazás: hiperharmonius soro Miután a 2.0. Problémát imerítően megoldottu, övetezhetne az alalmazáso. Kezdjü rögtön a iindulási OKTV feladatunal! Amint a 4. szaasz elején Oresme ondenzációs módszerével láttu, hogy a (25) h(n) : (n, 2,... ) sorozat felülről nem orlátos, így Dini tételéből övetezően α > esetén h α () < (α )D α α, ami α 2 esetén az OKTV feladat állítását adja (sőt Dini tételéből azt is tudju, hogy a érdéses sorozat α esetén felülről nem orlátos). A (h(n)) részletösszege által meghatározott sort szoás harmonius sor na nevezni. Enne divergenciájára talán az említett Oresme-féle bizonyítás a legismertebb. Az érdeesség edvéért mutatun még egy gondolatmenetet, amely Pietro Mengoli ( ) olasz matematiustól származi. A özvetlenül (vagy a számtani és harmonius özepe özötti egyenlőtlenség segítségével) igazolható (26) x + x + x + > 3 (x > ) x egyenlőtlenség alalmazásával (és a (25) jelöléssel) h(3n + ) }{{ 4 } }{{ 7 } 3n + 3n + > 3n + }{{} > 3 3 > 3 6 > 3 3n > n + h(n),

12 amiből azonnal adódi, hogy h(4) > 2, h(3) > 3, h(40) > 4 stb., vagyis a (h(n)) sorozat felülről nem orlátos. Vegyü észre, hogy a fenti Mengoli-féle bizonyítás is a ondenzáció módszerére épült. A harmonius sor részletösszegeire Abel tétele alapján az is igaz, hogy vagyis (27) n ln n, 6.. Feladat. Mutassu meg, hogy (28) ln(n + ). ln n +. (Útmutatás: alalmazzu a (24) egyenlőtlenséget x / választással!) A (27) és (28) becsléseből (amelyeet érdemes összevetni a orábbi (7) becsléseel) jól látható, hogy a harmonius sor részletösszegei ugyan felülről nem orlátosa, ám rendívül lassan nőne: például ahhoz, hogy az összeg 00-nál nagyobb legyen örülbelül, tagot ell összeadni. Valójában igazolható (lásd az [5] önyv 2. öteténe oldalait vagy a [9] önyv 69. oldalán a 32. feladatot), hogy létezi és véges a γ : lim n ( n ln n határérté, amelyet Euler-féle állandóna szoás nevezni. A határérté Leonhard Euler ( ) egy 734-es ciében jelent meg először, értée három tizedes jegyre ereítve 0,577. Máig megoldatlan érdés, hogy γ racionális vagy irracionális szám-e. Végül érdeességéppen megemlítjü, hogy a harmonius sort a prímszámo reciproösszegére megritítva még mindig divergens sort apun (lásd az [5] önyv 2. öteténe oldalait), viszont a 9-es számjegyet nem tartalmazó pozitív egész számo reciproösszege véges (lásd az [5] önyv 2. öteténe oldalait). Dini tételéne mási alalmazásaént teintsü újra a onstans sorozatot! Eor azt apju, hogy a ) α (n 2, 3,... ) összeg 0 < α esetén felülről nem orlátos, azonban α > esetén felülről orlátos. Ez azt jelenti, hogy a (29) úgynevezett hiperharmonius sor α > esetén onvergens, 0 < α esetén pedig divergens. α 2

13 6.2. Feladat. Igazolju a ondenzációs módszer segítségével (lásd a (6) becslést), hogy a (29) sor onvergens! (Útmutatás: egy 2 hosszú szelet minden tagját becsüljü felülről a legnagyobb taggal!) (30) Speciálisan α 2 esetén apju, hogy a sor onvergens, amely összegéne onrét meghatározását először Pietro Mengoli vetette fel. A érdés aor vált igazán ismertté, és ragadt rá a bázeli probléma elnevezés, amior a svájci Bázel városából származó Bernoulli család egymással folyton versengő matematius fivérei, Jaob ( ) és Johann ( ) elezdté törni a fejüet rajta. Jaob Bernoulli 689-ben belátta, hogy (3) 2 n 2 + ( ) 2 n. (Lényegében ezt a becslést használtu mi is a 2.5. Állítás bizonyításában.) Megjegyezzü azonban, hogy Bernoulli nem teleszopius összegént való felírással apta az utóbbi egyenlőséget, hanem issé bonyolultabban. Elsőént Isaac Newton ( ) írta fel teleszopius összeg alaban 75-ben. A (30) sor összegét végül Leonhard Euler ( ) határozta meg először, ai ugyancsa bázelből származott, és a tanítója Johann Bernoulli volt, tőle ismerte meg a problémát. Euler 24 éves orában az összeget több tizedes jegy pontossággal iszámolta, és a övetező sejtésre jutott, amelyet 3 év múlva, 734-ben igazolni is tudott: (32) 2 π2 6. Az eredmény és Euler bizonyítása bámulatos, ahogy Johann Bernoulli fogalmazott: Bárcsa a bátyám megérhette volna ezt!. (Euler bizonyítását illetően lásd a [7] ciet; Euler eredeti cie és angol fordítása elérhető a [0] archívumban az E4 jelzéssel; további bizonyításo olvasható az [5] önyv 2. öteténe oldalain vagy a [9] önyv 74. oldalán szereplő 75. feladat megoldásában, illetve a [4] önyv oldalain.) Megjegyezzü, hogy π 2 /6, 645, amiből épet aphatun a (3) becslés pontosságáról (vagy inább pontatlanságáról). Később Euler általánosan is megmutatta, hogy 2m ( )m+ 2 2m B 2m π 2m, (2m)! ahol B 2m jelöli az úgynevezett Bernoulli-számoat. Például B 2 /6, B 4 /30, B 6 /42, így apju a (32) összefüggést, illetve 4 π4 90 és 6 π Páratlan itevő esetén nem ismert zárt ala a hiperharmonius sor összegére, sőt a páratlan esetben α 3 ivételével még azt sem tudni, hogy az érté 3

14 racionális vagy irracionális-e. Az α 3 esetben irracionális, ezt Roger Apéry (96 994) francia matematius 978-ben Helsiniben a Nemzetözi Matematiai Kongresszuson tartott előadásában igazolta. A szaaszt egy mási érdees sorral zárju Feladat. Mutassu meg, hogy a ln α sor pontosan α > esetén onvergens. (Útmutatás: a (27), (28) összefüggése segítségével majoráljun, minoráljun és használju a szaasz elején tett megállapításoat; oldju meg a feladatot a ondenzációs módszerrel is, lásd a [9] önyv 342. oldalán a 4/f feladatot.) 6.4. Megjegyzés. Louis Olivier, aine ilétéről szinte semmit sem tudni, 827- ben egy ciében azt állította, hogy ha na n 0, aor a a sor onvergens. A 6.3. Feladat alapján látju, hogy ez nem igaz, hiszen n n ln n 0, de ln n a sor nem onvergens. Olivier állítását Abel cáfolta meg 828-ban az ln iménti példával, illetve igazolta az 5.. Tételt. Sőt, megmutatta, hogy nincs olyan ϕ(n) függvény, amellyel egy sor pontosan aor onvergens, ha ϕ(n)a n Kapcsolat: egy 989. évi OKTV feladat Kiindulási OKTV feladatun özeli roonságban áll egy 23 évvel ezelőtti feladattal (i tudja, talán a itűző személye is ugyanaz). Az 988/989. tanévi matematia OKTV döntő fordulójában a II. ategória (aoriban alaptantervű gimnazistá) számára itűzött 3. feladat a övetező volt (lásd a KöMaL 989. novemberi számána oldalait, illetve a [2, 6] honlapoat). 7.. Feladat (OKTV 988/89). Bizonyítsu be, hogy ha n tetszés szerinti, 3-nál nem isebb pozitív egész számot jelöl, aor (33) n 3 < 2. A feladat megoldásával ismét érdemes először önállóan megpróbálozni, talán az előzőe alapján már nem olyan nehéz. Mielőtt rátérnén a hivatalos megoldásra, csábítóna tűni Dini tételéne alalmazása, hiszen a (33) egyenlőtlenség bal oldala majdnem a hiperharmonius sor egy részletösszege α 3 esetén. A d 2, ( 2) és α 3 választással Dini tételéből azt apju, hogy n 3 < D 2 Emögött a (4) becslés áll, amely most a özvetlenül is ellenőrizhető 3 ( 2 ( ) 2 ) 2 4

15 alaot ölti. Látju, hogy ebből az egyenlőtlenségből a (33) összegre nem adódi a ívánt felső becslés, ezért egy erősebbel ell probáloznun. Azonnal ínálozi, hogy a (3) ötlet mintájára a ( 2)( ) < 3 becslést használju. Világos, hogy a végén minél pontosabb felső becslést szeretnén nyerni a (33) egyenlőtlenség bal oldalára, ezért vegyü észre, hogy az előbbinél van egy még jobb becslés, mégpedig ( )( + ) 3 < 3. Ez utóbbit alalmazva (34) 3 3 < n 3 ( )( + ). Adódi a érdés, vajon (34) jobb oldalát fel tudju-e írni teleszopius összeg alaban? A válasz, igen, méghozzá (35) ( )( + ) ( + ) ( ) 2 ( )( + ) ( ) 2 ( ). ( + ) Eor 3 < 3 n 3 ( ) 2 ( ) ( + ) 2 ( ) 2 3 < n(n + ) 2, amit bizonyítani aartun. Megjegyezzü, hogy a (35) átalaítás helyett alalmazható az alábbi úgynevezett parciális törtere bontás is (amelyből a (26) egyenlőtlenség is azonnal adódi): ( )( + ) 2 ( 2 + ). + Ám ezt összegezve issé bonyolultabb teleszopius összeget apun, amelyben majdnem minden tag étszer (+) és egyszer ( 2) szorzóval szerepel. Oda ell tehát figyelni, hogy mi esi i, és mi marad a végén, a részlete idolgozását az Olvasóra bízzu. A (34) becslés pontosságát illetően megemlítjü, hogy a bal oldal értée özelítőleg 0,077, míg /2 0, 083. A fentie alapján azonnal adódi a övetező általános összefüggés, amelyet már Mengoli is ismert (650-es művében számos hasonló összeget iszámolt). E formula lehetőséget ad a (33) egyenlőtlenség tetszőleges itevőre való általánosítására, amelyeet az Olvasó önállóan meggondolhat Állítás. Legyen m rögzített pozitív egész szám. Eor 2... (m + ) (m + 2) n(n + )... (n + m) ( ) m... m. (n + )... (n + m) Végezetül a 7.2. Állítás párját tűzzü i feladatént (további feladato található a [6] önyv 0., valamint 8 9. oldalain) Feladat. Legyen m rögzített nemnegatív egész szám. Eor 2... (m + ) (m + 2) n(n + )... (n + m) n(n + )... (n + m + ). m + 2 (Útmutatás: sejtsü meg a teleszopius összegént való felírást!) 5

16 8. Ráadás: hatvány- és trigonometrius összege Ciün lezárásaént a teleszopius összegene még néhány alalmazási lehetőségét mutatju be. Bizonyára soan ismeri Carl Friedrich Gaussról ( ) a övetező anedotát (a történet hitelességében többen ételedne). A is Gauss tanórai rossz viseledése miatt büntetésül egyszer azt a feladatot apta, hogy az összeget számítsa i, ám Gauss, tanára óriási meglepetésére, másodperce alatt megadta a helyes választ. Az ötlete az volt, hogy pároban adju össze a számoat, +00 0, ,..., , és mivel 50 ilyen párt tudun épezni, így az összeg Most egy mási módszert mutatun az első n pozitív egész szám összegéne meghatározására, amely általánosítható hatványösszegere is. Csupán azt az egyszerű észrevételt ell használnun, hogy ( + ) , amelyet -től n-ig összegezve a bal oldalon egy teleszopius összeg jeleni meg, így (n + ) 2 ( ( + ) 2 2) (2 + ) n, ahonnan (36) n(n + ). 2 Vegyü észre, hogy a 7.3. Feladat m 0 esetén éppen a (36) összefüggést adja, ezért érdemes végiggondolni milyen bizonyítást nyerün ezáltal erre az összefüggésre. Az előbbie mintájára határozzu meg zárt alaban az első n pozitív egész szám négyzetösszegét: n 2? Most a ( + ) azonosságot összegezzü -től n-ig, így (n + ) 3 ( ( + ) 3 3) Ebből övetezően a már ismert (36) összefüggés felhasználásával 2 3. ( ) (n + ) 3 3n(n + ) n 3 ((n 2 (n + ) + ) 2 32 ) n, tehát (37) 2 n(n + )(2n + ). 6 Természetesen, ha valai megsúgta a (36) és (37) összefüggéseet, aor teljes inducióval önnyen igazolhatju azoat (gondolju át a bizonyításoat!). A fenti gondolatmenet azonban eljárást is ad hatványösszege meghatározására tetszőleges pozitív egész itevő esetén. 6

17 8.. Feladat. Adju meg zárt alaban a összegeet! n 3 és n 4 Még hosszasan sorolhatnán a ülönféle alalmazásoat, amelyeben teleszopius összege fordulna elő, ízelítőül néhány trigonometrius összefüggést említün meg feladat formájában. Két lasszius összefüggés, amelye a soro elméletében gyaran felbuanna, az alábbi (lásd még a [6] önyv oldalait és az [] feladatgyűjtemény II. öteténe 423. feladatát) Feladat. Igazolju, hogy x 2π ( Z) esetén és sin x + sin 2x sin nx cos x 2 cos x + cos 2x cos nx cos (2n+)x 2 2 sin x 2 (2n+)x sin 2 sin x 2 2 sin x. 2 (Útmutatás: használjun a sin u sin v szorzatra vonatozó addíciós összefüggést!) Végül egy emény dió a KöMaL decemberi számána B feladata (amelyne nem teleszopius összeget használó mintamegoldása olvasható a otóberi szám oldalain, lásd a [2] honlapot) Feladat. Határozzu meg a arcctg ( 2n 2) összeg értéét, ahol arcctg a n ctg függvény (0, π) intervallumon vett inverzét jelöli. (Útmutatás: alalmazzun az (arcctg u arcctg v) ifejezésre vonatozó addíciós összefüggést!) 9. Zárszó Az előzőeben egy versenyfeladat apcsán számos matematiussal és eredményeiel, valamint ehhez apcsolódó érdeességeel ismeredtün meg. Az említett matematiuso műveine nagy része egy attintással mindeni számára (legálisan!) elérhető a világhálón (az életrajzoat illetően a iváló [3] oldalt ajánlju, eredeti cie pedig a [4] archívumban található). Nagyszerű matematiuso eredeti gondolataina és ötleteine olvasása nemcsa élvezetes (de gyaran nem önnyű), hanem a nyelvtanulás szempontjából is hasznos tanár és diá számára egyaránt. Remélhetőleg a ciel többe érdelődését sierült felelteni, vagy még jobban elmélyíteni a problémamegoldás és a matematiatörténet iránt. Hivatozáso [] Horvay Katalin, Reiman István, Geometriai feladato gyűjteménye I II., Nemzeti Tanönyviadó, Budapest, 997. [2] K. Knopp, Theory and Applications of Infinite Series, Blacie & Son, Ltd., London,

18 [3] Kós Rita, Kós Géza, Miért természetes az e?, KöMaL, 2003/5, [4] Németh József, Előadáso a végtelen sororól, Polygon Könyvtár, Polygon, Szeged, [5] Pintér Lajos, Analízis 2. (a gimnázium speciális matematia osztályai számára), Tanönyviadó, Budapest, 987. (újabb iadás: TypoTEX, 2006.) [6] Rábai Imre, Elemi matematiai példatár III. (Sorozato, soro, válogatott feladato), Gondolat, Budapest, 976. [7] Simonovits András, A végtelen soro felfedezése I II., KöMaL, 2007/7, és 2007/8, [8] Szász Pál, A differenciál- és integrálszámítás elemei 2., Közotatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 95. (újabb iadás: TypoTEX, 2009.) [9] Urbán János, Határérté-számítás, Műszai Könyviadó, Budapest, 975. (újabb iadás: 2006.) Internetes oldala: [0] Euler Archive: [] Internet Archive: [2] KöMal archívum: [3] MacTutor History of Mathematics archive: [4] Német Digitális Folyóiratarchívum: [5] Otatási Hivatal: [6] Versenyvizsga Portál: 8