Differenciálegyenletek alkalmazásai: feladatok

Átírás

1 Differenciálegyenletek alkalmazásai: feladatok Tóth János Csikja Rudolf Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematikai Analízis Tanszék 8. március.

2 Ismétlésképpen először a Rásegítő feladatok a Differenciálegyenletek alkalmazásainak tanulmányozásához c. Tóth János által írt segédanyagból érdemes feladatokat megoldani. A gyakorlaton a következő sorszámú feladatok szerepeltek:, 6, 8, /a, /a, 5/a, 7, 5/a, 7, 8/a, 9.. Elemi kvalitatív vizsgálat.. Feladat Vizsgáljuk meg az alábbi függvény tulajdonságait: szélsőérték, inflexiós pont, konvexitás, monoton növekedés, csökkenés: y (x) = y(x) x + x. Megoldás. Az y függvény szélsőértéke ott van, ahol y (x) = és y (x). Az első feltételből a függvénynek az y(x) = x x+ egyenletet teljesítő pontokban lehetséges szélsőértéke (. ábrán kékkel rajzolt). És mivel ezekben a pontokban y (x) = x+, ábra. Iránymező (.. feladat). ezért az is kiderül, hogy a fenti szélsőértékek minimumok, ha x <, és maximumok, A segédanyag letölthető a jtoth/ internetes oldalról. A segédanyag a feladatok mellett azok megoldásait is tartalmazza.

3 ha x >. Az x = esetben y () = y () = és mivel y () (x) =, ezért annak a függvénynek, melyre y() = teljesül az x = pontban inflexiós pontja van. Az x x x+ parabola (kék vonal) fölött a függvény monoton növekvő, alatta pedig monoton csökkenő. Mivel y (x) = y (x) x+ = y(x) x, ezért az x parabola (zöld vonal) fölött a függvény (alulról) konvex, alatta pedig (alulról) konkáv. A lehetséges x y(x) függvények közül néhányat (narancssárgával) berajzoltunk az. ábrán... Feladat Rajzoljuk fel a következő differenciálegyenletek iránymezőit: y (x) = y(x) x, y (x) = x y(x), Megoldás. A Mathematica segítségével: y (x) = y(x), y (x) = y(x) x x, y (x) = x y(x). VectorFieldPlot[{fx,fy}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}], ha y (x) = f y / f x. A megoldások értelemszerűen az alábbi ábrán láthatóak. f x, y y x.. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C R számokkal y(x) := C cos(x)+c sin(x) (x R), akkor y (x)+y(x) = (x R).

4 f x, y y x f x, y y x Megoldás. Határozzuk meg a függvény deriváltjait: y (x) = C sin(x)+c cos(x), y (x) = C cos(x) C sin(x) = y(x), tehát valóban y (x)+y(x) = (x R).

5 f x, y x y f x, y x y.4. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C R számokkal y(x) := C cosh(x)+c sinh(x) (x R), akkor y (x) y(x) = (x R). 4

6 Megoldás. Határozzuk meg a deriváltakat: y (x) = C sinh(x)+c cosh(x), y (x) = C cosh(x)+c sinh(x) = y(x), tehát valóban y (x) y(x) = (x R)..5. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C,λ,λ R számokkal y(x) := C e λ x +C e λ x (x R), akkor y (x) (λ + λ )y (x)+λ λ y(x) = (x R). Megoldás. A fenti függvény n-edik deriváltja (n=,,,... ): y (n) (x) = C λ n e λx +C λ n e λx. A bizonyítandó kifejezésbe behelyettesítve: C λ eλx +C λ eλx (λ + λ )(C λ e λx +C λ e λx )+λ λ (C e λx +C e λx ) = = (λ λ λ λ λ + λ λ )C e λx +(λ λ λ λ λ + λ λ )C e λx =..6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen C,C,n R számokkal y(x) := x n (C cos(ln(x))+c sin(ln(x))) = (x R + ), akkor x y (x)+( n)xy (x)+(+n )y(x) = (x R). Megoldás. Határozzuk meg a deriváltakat: y (x) = x n [(nc +C )cos(ln(x))+(nc C )sin(ln(x))] y (x) = x n [((n n )C +(n )C )cos(ln(x))+ +(( n)c +(n n )C )sin(ln(x))]. A bizonyítandó kifejezésbe behelyettesítve innen már belátható az azonosság.. Közvetlenül integrálható egyenletek.7. Feladat Határozzuk meg az y (x) = x+a, differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. a R 5

7 Megoldás. Az első esetben legyen Ω :=] a,+ [ R, ekkor a megoldás (. ábra): y(x) = dx = ln(c(x+a)) (c > ). x+a A második esetben Ω :=], a[ R, ekkor a megoldás (. ábra): y(x) = dx = ln(c(x+a)) (c < ). x+a 4. ábra. A.7. feladat megoldása különböző c értékekre (a = )..8. Feladat Oldjuk meg a differenciálegyenletet. z (t) = +t Megoldás. Legyen Ω := R R. Mindkét oldalt integrálva a megoldás (. ábra): z(t) = + dt = ( ) t ( ) dt = arctan 6 + t t +C..9. Feladat Határozzuk meg a ϕ (r) = r differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. Megoldás. Az egyenlet jobboldalát figyelembe véve definiáljuk a következő (nyílt, egyszeresen összefüggő) tartományokat: ] [ ] [ ] [ Ω :=, R, Ω :=, R, Ω :=,+ R. 6

8 ábra. A.8. feladat megoldása különböző C értékekre. Integráljuk mind a két oldalt: ϕ(r) = r dr. Végezzük el az integrandus parciális törtekre bontását: r = Tehát a megoldás (4. ábra): ϕ(r) = 6 ( r+ r+ )( r dr 6 ) = r r+ + r dr = 6 ln c r+ r ahol (r,ϕ(r)) Ω és (r,ϕ(r)) Ω esetén c >, illetve (r,ϕ(r)) Ω esetén c <.., ábra. A.9. feladat megoldása különböző c értékekre... Feladat Oldjuk meg az u (p) = p 7

9 differenciálegyenletet. Megoldás. Legyen Ω := ábra): u(p) = ], [ R. Mindkét oldalt integrálva a megoldás (5. dp = p ( ) u(p) = arcsin p +C. ( ) dp, p ábra. A.. feladat megoldása különböző C értékekre... Feladat Adjuk meg a z (ξ) = sin(ξ) differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. Megoldás. Legyen Ω :=],π[ R, illetve Ω :=] π,[ R. Természetesen még végtelen sok hasonló tartományt definiálhatnánk, de ez a kettő lényegében elég. Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát: ( ( ) ) ) ξ ) sin + cos ξ sin(ξ) = sin( ξ ) = sin( ξ cos( ξ ) cos( ξ + cos( ξ ) ) sin( ξ Mindkét oldalt integrálva a megoldás (6. ábra): ( ( )) ( ( ξ ξ z(ξ) = ln cos + ln sin )) ( +C = ln ctan ahol (ξ,z(ξ)) Ω esetén c >, illetve (ξ,z(ξ)) Ω esetén c <. ( )) ξ, 8

10 ábra. A.. feladat megoldása különböző c értékekre... Feladat Adjuk meg az x (y) = +y y differenciálegyenlet lehetséges megoldásait. Megoldás. Legyen Ω :=],+ [ R, illetve Ω :=],[ R. Integrálva mindkét oldalt kapjuk a megoldást (7. ábra): ( +y x(y) = y dy = ) dy = y ln(c(y )), y ahol c >, ha (y,x(y)) Ω, illetve c <, ha (y,x(y)) Ω ábra. A.. feladat megoldása különböző c értékekre... Feladat Oldjuk meg a differenciálegyenletet. ϕ (r) = r +r 9

11 Megoldás. Legyen Ω :=],+ [ R, illetve Ω :=], [ R. Integrálva mindkét oldalt a megoldás (8. ábra): ϕ(r) = r ( r+ dr = r + ) dr = r r+ r+ln(c(r+)), ahol c >, ha (r,ϕ(r)) Ω, illetve c <, ha (r,ϕ(r)) Ω ábra. A.. feladat megoldása különböző c értékekre..4. Feladat Oldjuk meg a differenciálegyeneltet. p (s) = (s )(s+) Megoldás. Legyen Ω :=],+ [ R, Ω :=],[ R, illetve Ω :=], [ R. A jobb oldal parciális törtekre bontásával és integrálásával a megoldás (9. ábra): ) ds = 4 ln(s ) 4 ln(s+)+c, ( p(s) = 4 s 4 s+ p(s) = ( 4 ln c s ), s+ ahol (s, p(s)) Ω,Ω esetén c >, illetve (s, p(s)) Ω esetén c <..5. Feladat A szobába berepült két hógolyó, az egyik sugara éppen kétszer akkora mint a másiké. Tudjuk, hogy az olvadás sebessége egyenesen arányos a felülettel. Mekkora lesz a nagyobbik hógolyó abban a pillanatban, amikor a kisebbik teljesen elolvad? Megoldás. Feltehetjük, hogy a hógolyók jó közelítéssel szabályos gömb alakúak. Legyen I R nyílt intervallum, ami tartalmazza a nulla pontot és jelölje az I t r(t)

12 ábra. A.4. feladat megoldása különböző c értékekre. függvény a sugár időtől való függését. Mivel egy valós fizikai feladatról van szó, ezért érthető módon r : I R +. A gömb térfogatát és felszínét a következő függvények írják le: V r = 4π r, A r = 4πr. Azt a tényt, hogy a hógolyó fogy a tömegének változásával fogalmazhatjuk meg, ami a feladat szövege szerint: (V r) = k (A r), ρ ahol a hógolyó ρ R + sűrűségéről feltesszük, hogy homogén. Továbbá az egyenlet baloldalán elvégezve a deriválást (az összetett függvény deriválási szabálya szerint): (V r)r = k (A r) ρ 4πr r = k ρ 4πr r = K, ahol R + K = k/ρ. A megoldás mind a két oldal intergálásával adódik: t r (s)ds = t Kds r(t) = Kt + r(). Tehát azt kaptuk, hogy a fentiekben felállított modell szerint a hógolyó sugara az idő múlásával lineárisan csökken. Az r értékkészletére vonatkozó fizikai feltevés miatt t I (, r() K ). Legyen a kisebbik hógolyó kezdeti sugara r a nagyobbiké R = r, így a két hógolyóra vonatkozó egyenlet: r (t) = Kt + r, r (t) = Kt + r. Jelölje T azt az időt, amikor teljesen elfogy a kisebbik hógolyó, ekkor: r (T) = KT + r =, T = r K. Ekkor a nagyobbik hógolyó sugara: r (T) = K r K + r = r, vagyis pontosan akkora, mint amennyi a kisebbik volt az olvadás kezdetekor.

13 . A fokozatos közelítés módszere A fokozatos közelítés módszerénél a következő iterációval határozhatjuk meg az y (x)= f(x,y(x)) alakú differenciálegyenlet (x,y(x )) Ω ponton átmenő közelítő megoldását: x y n+ (x) = y(x )+ f(s,y n (s))ds, y (x) := y(x ). x.6. Feladat Oldjuk meg a fokozatos közelítés módszerével az y = y, y() = Cauchy-feladatot. Megoldás. Tehát a fentiek szerint y (x) := y() =. Az iteráció néhány lépése: y (x) = + y (x) = + y (x) = + x x x ds = +x (+s)ds = +x+ x ( +s+ s Tegyük fel, hogy az n-edik iteráció után a megoldás y n (x) = )ds = +x+ x + x. n k= alakban áll elő (ezt a fenti iterációból sejthetjük meg), ekkor y n+ (x)=+ x n k= x k k! dx=+ n k= x x k x k k! n k! dx = + x k+ n k= k!(k+) = + x k+ n+ k= (k+)! = x k k= k!, tehát a megoldás valóban a fenti alakban adható meg. A pontos megoldást a fenti függvénysor hatérértékeként ha az egyáltalán létezik kapjuk: lim y n(x) = lim n + n n + k= x k + k! = x k k= k! = ex. Ellenőrizhető, hogy ez valóban megoldása a fenti Cauchy-feladatnak..7. Feladat Oldjuk meg a fokozatos közelítés módszerével az y (x) = x +y (x), y() = Cauchyfeladatot az Ω := [,] [,] négyzeten. Megoldás. Tehát y (x) :=, továbbá y (x) = y (x) = y (x) = x x x s ds = x ( s + )ds s6 = x 9 + x7 6 ( ( ) s s ) + + s7 ds = 6 = x + x7 6 + x 79 + x x (s + ) s69 s s4 ds = 969

14 A megadott tartomány szélén: y () y () y ().8, tehát a harmadik iterációval kapott megoldás feltehetően nagy pontossággal megközelíti a valódi megoldást. 4. Autonóm és autonómra visszavezethető egyenletek 4.8. Feladat Oldjuk meg az kezdetiérték-problémát. y (x) = y (x), y() =. Megoldás. Alkalmas Ω := R R + tartományt választva: x y (s) x y (s) ds = ds, aminek baloldalára alkalmazva a helyettesítéses integrál formulát: y(x) y() tehát a megoldás (. ábra): η / dη = y(x) = x, y(x) = ( x + ) (x R) ábra. A 4.8. feladat megoldása Feladat Oldjuk meg a z (x) = x+z(x)

15 differenciálegyenletet. Megoldás. Legyen Ω := R. Ez a feladat látszólag nem autonóm, de arra visszavezethető, ugyanis ha elvégezzük az u(x) := z(x) + x helyettesítést, akkor az: egyenletet kapjuk, melynek a megoldása: u (x) = u(x) + u (x) u(x) + dx = dx = x+c. A baloldalon lévő integrált tovább alakítva és elvégezve az s := ϕ(t) = lg(t ), ϕ(t) = ln()(t ) (t ],+ [) helyettesítést s + ds = ln() t(t ) dt = ( ln() t ) dt = t ln() ln amiből visszahelyettesítve t = s + = u(x) + : ( ) ln() ln u(x) u(x) = x+c, + ( t amiből kifejezve u(x)-et és elvégezve az u(x) = z(x) + x visszahelyettesítést kapjuk a megoldást (. ábra): ( c x ) z(x) = lg c x x, (x ], lg(c)[). Megállapítható, hogy az a speciális eset állt elő, amikor a megoldás értelmezési tar- t ), 5 4. ábra. A 4.9. feladat megoldása különböző c értékekre. tománya, illetve annak határa a kezdeti értéktől függ. Az nemzetközi szakirodalom az ilyen típusú szingularitásokat movable singularity néven említi. Egyéb kulcsszavak: blow-up, finite escape time. 4

16 4.. Feladat Határozzuk meg az differenciálegyenlet megoldását. y (x) = cos(y(x) x) Megoldás. Legyen Ω alkalmasan megválasztott tartomány. Alkalmazva az u(x) := y(x) x helyettesítést az u (x) = cos(u(x)) egyenlethez jutunk. A megoldáshoz osszunk le a jobboldalon szereplő kifejezéssel (ezt a megfelelően megválasztott Ω tartományon megtehetjük): A fenti integrál kiszámítása: cos(s) ds = u (x) cos(u(x)) dx = cos ( s ) sin ( s dx = x+c. ) ds = sin ( )ds = s tan ( s ), amiből az s = u(x) = y(x) x helyettesítéssel a megoldás: ( ) y(x) = arctan + x (x ], C[) vagy (x ] C,+ [). x+c Az előző feladatban szereplő megoldáshoz hasonlóan itt is a kezdeti értéktől függ a 4 4. ábra. A 4.. feladat megoldása különböző C értékekre. megoldás értelmezési tartományának határa, azonban itt ez a határ nem szingularitás miatt, hanem a megoldás differenciálhatósága miatt lép fel. 4.. Feladat A kemencéből kivett kenyér perc alatt C-ról 6 C-ra hűlt le. A környező levegő hőmérséklete C. Mikorra hűl le a kenyér 5 C-ra? Megoldás. A feladat megoldásához ismernünk kell a Newton által megfogalmazott törvényt, miszerint egy test hőmérsékletének időbeli változása egyenesen arányos a 5

17 környezet és a test hőmérsékletének különbségével. Tehát a következő összefüggést tudjuk felírni: Ṫ(t) = k(t k T(t)), ahol T(t) a test hőmérséklete a t időpontban és T k = C állandónak tekintett környezeti hőmérséket, illetve k R + szintén állandó. Mivel a feladat szövege szerint hülésről van szó, ezért feltehetjük, hogy T(t) > T k minden t R esetén (ezt a differenciálegyenlet megoldása során való integráláskor vegyük figyelembe). A fenti egyenlet megoldása: T(t) = T k + ce kt. A szövegben szereplő adatokat kiértékelve: T() = = +c, T() = 6 = +ce k, amiből tehát a konkrét lehülési görbe: c = 8, k = ln(), T(t) = +8e.69t. Jelülje t azt az időpontot, amikor a kenyér 5 C-os lesz: T(t ) = 5 = +8e kt t = ln(6) ln() = ábra. Illusztráció az 4.. feladat megoldásához. 4.. Feladat A liter vizet tartalmazó edénybe literenként.kg sót tartalamzó oldat folyik be folyamatosan l/perc sebességgel. Az edénybe belépő folyadék összekeveredik a vízzel, és a keverék ugyanilyen sebességgel kifolyik az edényből. Mennyi só lesz az edényben 5 perc múlva? 6

18 Megoldás. Az edényben lévő folyadék koncentrációja a t időpillanatban c(t) = m(t)/ kg/l. A befolyó folyadék állandó koncentrációja c be =. kg/l. A be-, illetve kifolyási sebességet figyelembevéve az edényben lévő folyadék koncentrációjának időbeli változására a következő egyenlet írható fel: [ ] kg ċ(t) = k(c be c(t)) ṁ(t) = k(c be m(t)), min ahol k a be-, illetve kifolyási sebesség. Behelyettesítve az ismert adatokat a következő differenciálegyenlethez jutunk: ṁ(t) = ( m(t)). Mivel az edényben lévő folyadék sótartalma nem haladhatja meg a befolyó folyadék sótartalmát, ezért feltehetjük, hogy m(t) < minden t R esetén. Ha kezdetben az edényben tiszta víz van, akkor m() =. Az egyenlet megoldása: amiből végül a megoldás (4. ábra): tehát 5 perc múlva sót tartalmaz az edényben lévő víz. t m (s) t m(s) ds = ds m(t) m() dµ= t µ ln( m(t))+ln() = t, m(t) = ( e t), m(5) = ( e ) kg ábra. Illusztráció az 4.. feladat megoldásához. 4.. Feladat Egy kőzet megvizsgált darabja mg uránt és 4mg ólmot tartalmaz. Ismert, hogy az urán felezési ideje év, és hogy 8g urán teljes elbomlásakor 6g ólom keletkezik. Állapítsuk meg a kőzet korát. 7

19 Megoldás. A radioaktív bomlás a legegyszerűbb folytonos determinisztikus modell szerint olyan, hogy a bomlás egyenesen arányos a jelenlévő tömeggel, tehát: ṁ(t) = km(t), ahol k R + a bomlás sebességére jellemző állandó. A fenti egyenlet megoldása: m(t) = m()e kt azt mutatja, hogy a radioaktív anyag exponenciálisan bomlik. Felhasználva az urán felezési idejére való ismeretünket: amiből a bomlás sebessége: m() = m(4.5 9 ) m() = m()e k 4.5 9, k = ln() A fenti adatokból könnyen kiszámítható, hogy eredetileg m() = gramm urán volt a kőzetben, így az erre a kőzetre vonatkoztatott bomlási folyamat: m(t) = 6.75e.54 9t. A kőzetben a jelen T időpontban g urán van, így az = 6.75e.54 9 T egyenlet megoldását kell meghatároznunk, ami ( ) T = ln , azaz körülbelül millió éves kőzetről van szó. 5. Szétválasztható változójú egyenletek 5.4. Feladat Határozzuk meg az x y (x) cos(y(x)) = differenciálegyenletnek azt a megoldását, amelyre lim y(x) = 9π x

20 Megoldás. Legyen Ω := R + ] π, 5π [, ekkor a változók szétválasztásával és mind két oldal integrálásával: y (x) +cos(y(x)) dx = x dx = x +C. A baloldalon lévő integrált a helyettesítéses integrál segítségével a következőképpen írhatjuk fel, és számolhatjuk ki: +cos(s) ds = +cos (s) sin (s) ds = cos (s) ds = tan(s), tehát az általános megoldás: y(x) = arctan ( x ) +C. Mivel ezért a megoldás (5. ábra): lim x + y(x) = arctan(c) = 9π 4 y(x) = arctan C =, ( x + ) + π. 5Π 9Π 4 Π 7Π 4 Π ábra. Illusztráció a 5.4. feladat megoldásához Feladat Határozzuk meg a y (x)y (x)+6x = xy (x) differenciálegyenletnek azt a megoldását, amely a jobb félegyenesen korlátos. Megoldás. Legyen Ω := R ], + [, ekkor y (x)y (x) y (x) 8 dx = xdx = x +C. 9

21 A fenti egyenlet baloldalát tovább alakítva: s s 8 ds = ln(s 8), így az általános megoldás: y(x) = ce x + 8 (x R), ami nyilvánvalóan csak akkor korlátos x R + esetén, ha c =, tehát a jobb félegyenesen korlátos megoldás: y(x) =. Megjegyzés: a feladat a z(x) := y (x) helyettesítéssel is megoldható, hiszen ekkor z (x) = y (x)y (x), ami éppen az egyenlet baloldalán szerepel Feladat A m térfogatú szobában.5% széndioxid gáz van. A ventillátor percenként m.4% széndioxidot tartalmazó levegőt fúj be. Mennyi idő múlva csökken a szoba levegőjében lévő széndioxid mennyisége a harmadára? Megoldás. Jelölje CO (t) a szobában lévő széndioxidot a szoba térfogatának százalékában a t időpontban. Nyilvánvaló, hogy a szobába beáramló térfogat egyenlő a kiáramlóval, bár tudjuk, hogy a gázok összenyomhatóak, de ebben az esetben fetesszük, hogy a szobában lévő nyomás közel állandó. Tehát a szobába percenként.4m széndioxid áramlik be, ugyanekkor CO (t) áramlik ki. Így a szoba szénmonoxid ábra. Illusztráció a 5.6. feladat megoldásához. százalékos tartalmára a következő egyenlet írható fel: dco (t) dt így kihasználva, hogy CO () =.5 t CO (t) = (.4 CO (t)), CO (τ) t CO (τ).4 dτ =.dτ, CO () ds =.t, s.4 ln(co (t).4) ln(.) =.t,

22 tehát a megoldás: CO (t) =.e.t +.4. Legyen T azaz időpont, amikor a szobában lévő kezdeti széndioxid mennyiség a harmadára csökken, ekkor: ( ). CO (T) =.5 =.e.t +.4 T = ln.98min,. vagyis körülbelül 4 perc alatt csökken a széndioxid a megadott mértékre (6. ábra) Feladat Mennyi idő alatt folyik ki az összes víz az.8m átmérőjű és.45m magasságú függőleges hengerből a fenekén lévő 6cm átmérőjű lyukon keresztül? (A h vízszint mellett a kifolyási sebesség:.6 gh, ahol g = m/s ) Megoldás. Jelölje h(t) a víz magasságát a t időpontban. Ekkor a tartályban lévő víz térfogata a t időpontban: V(t) = π.9 h(t). A tartályban lévő víz térfogatának időbeli változása: ábra. Illusztráció a 5.7. feladat megoldásához. amiből V (t) =.9 π h (t) =. π.6 h(t), t így a megoldás (7. ábra) h ( ) (t). =.6.98 h(t).9 h (τ) t dτ =.98dτ h(τ) h(t) h() s ds =.98t h(t) h() =.98t, h(t) = (.49t ). A tartály nyilván akkor ürül ki, amikor a h(t) =, vagyis T = 5s, ami 7.5 perc.