KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 8. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 8. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK"

Átírás

1 KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 8. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK Algebra és számelmélet 1. a) 0, 45; b)0, 5, 5, 40, 50, 55; c) 0, 1, 4, 5, 7, 0,, 5, 9, 40, 4, 45, 48, 50, 51, 54, 55, 57; d),, 6, 8, 9, 1, 4, 7, 8, 41, 4, 44, 46, 47, 49, 5, 5, 56, 58, 59.. a) {; 4; 6; 8}; b) { 10; 8; 6; 4; ; 0; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9}; c) {1; ; 5; 7; 9}; d){ 9; 7; 5; ; 1}.. A B = {; 8; 1}, A B = {1; ; ; 6; 8; 1; 1; 15; 16; 18; 19}, A \ B = {1; 6; 15; 19}, B \ A = {; 1; 16; 18}. 4. Mind a két szakkörbe 5-en járnak. 5. Legalább egy táborban 1 tanuló volt. Csak egy táborban 14 tanuló volt. Mindkét táborban 7-en voltak. 8 S 7 B 6 6. A B = {; ; 7; 8}, A B = {; ; 4; 5; 6; 7; 8}, A \ B = {4; 6}, B \ A = {5}. A tengelyesen és középpontosan szimmetrikus négyszögek sorszámai:.,., 7., 8. 1

2 7. A = { 1; ; ; 4; 5; 6}, A \ B = { 1; ; 5}, (A B ) = {1; ; 5; 7; 9}, B = { 6; 4; ; 0; ; 4; 6; 8}, B = { 5; ; 1; 1; ; 5; 7; 9}. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 8. Legalább egy szakkörre 8-an járnak. Az informatika szakkörre -en, a sportjátékok szakkörre 5-en jelentkeztek. 50 S I

3 Számok és mûveletek 1. a) 6 89; b) 6 416; c) 6 89; d) (4 + ) = = 18 4 (4 + ) = = (4 + ) + 4 = 0 4 ( 4) = = 0 (4 4) + = 1. a) ; b),; c) 5 ; d) a,5 0,7 8,9 4, ,4 b 1,9,01 1,01 0,0 0, c 44,65 1,467 8, ,7 Szabály: a b = c, c : a = b, c : b = a. 5. a) 175 4; b) 715,89498; ; d) = 44 c) 84 = = = = 47 ( ) 7 = 6 7 = 19 ( + ) 7 = = 6 7 = a) ; b) 0 75 ; c) ; d) : 17 = 460, 1,975 : = 0,059, 5,64 : 87 = 0, a) 59; b) : 1 = 890; c) d) 1. 0 ;

4 10. (18 54) : = 4 18 (54 : ) = 4 18 : 54 = 4 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 54 : 18 : = 1 (54 : ) 18 = 4 54 (18 : ) = a) 1; b) ; c) ; d) 1; e) 81; f) b) c) d) e) a) f) a) 1 1 ; b) ; c) ; d) , 9, 5, 1, 16 84, 768, a) 5 7 ; b) 9 ; c) 4 9 ; d) 6 5 ; e) a 1 ; f) y x + z + t. 16. a) 5 ; b) 5 ; c) 8 ; d) 6 ; e) ; f) x. 17. a) ; b) 1 ; c) a) ; b) ; c) 65; d) a) >; b) >; c) =; d) =; e) =; f) > a) 1 ; b) ; 19 c) ; a) 4 096; b) ; c) ; d) 1968 ; 187 e ) ; f ) a) 8, 6,, 4; b) 9, 7, 1, 7; c) 4, 6, 5, 6; d) 8, 6, 4,. 79 d) ; 4 e) 045,. 4

5 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK Osztó, többszörös, oszthatóság. a b K Annak a téglalapnak a legkisebb a kerülete, amelynek oldalai egyenlõek.. 4 = 4. A 4-nek 15 osztója van: 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 4, 7, 6, 81, 108, 16, A = {1; ; ; 4; 6; 9; 1; 18; 6}, B = {1; ; ; 6; 9; 18; 7; 54}. A B Közös osztók: 1,,, 6, 9, 18; (6;54) = A két szám: 10 és = = 1, 60 = 5 7, = (16; 646) = 16, [16; 646] = vel -mal 4-gyel 5-tel 6-tal 10-zel 5-tel 697 I I I N I N N I I N I I I I 541 N I N N N N N 000 I N I I N I I 0. -vel -mal 6-tal 4-gyel 1-vel 15-tel 4-gyel 9 7 igen lehet lehet igen lehet nem lehet 64 lehet lehet lehet lehet lehet lehet lehet 4 1 nem lehet nem nem nem nem nem 0 igen lehet lehet lehet lehet lehet lehet 5

6 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 1. a) 4; b) 18; c) 10; d) 10.. A:, 5, 8; B: 0,, 6. A + B =, A + B = 8, A + B = 14.. Az ismeretlen osztó: 6. ( ) : 6 = 70 : 6 = a) Az összeg osztható, mert páros és számjegyeinek összege osztható kilenccel. b) Az összeg osztható, mert páros és számjegyeinek összege osztható hárommal. c) Az összeg osztható, mert osztható néggyel és a számjegyeinek összege osztható kilenccel. 5. a) = 9 1 = 1 = ; b) : 048 = 18 : 11 = 7 = 18; c) = 5 8 = 1 = ; d) : = 1 : 10 = = 9; e) = 6 9 = 15 = ; f) : = 6 7 : 6 5 = 6 = 6; g) = = 0 = 4 15 = ; h) : 8 19 = 0 : 1 = 7 = < 18 14, 5000 > 5 000, < a) 5; b) -1; c) 8; d) -7; e) 1; f) 9. Számok normálalakja 8. a), ; b) 4,8 10 ; c), ; d) 4,0 10 ; e) ; f), 10; g) 4, ; h), ; i), ; j), ; k) 1, 10 1 ; l) a) 1 000; b) 0,000 5; c) 5 410; d) 0, ; e) ; f) 0, ; g) ; h) 0, K = 56 dm, T = dm. 41. a = 16 dm, T = 56 dm. 4. a = 8 dm, k = dm. Számok négyzete, négyzetgyöke 6

7 4. SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 1 < <, < 6 <, < 8 <, < 15 < 4, 4 < 4 < 5, 7 < 50 < 8, 7 < 64 = 8 < 9, 9 < 84 < 10, 14 < 00 < ( ) = 49 = 7, 5 = 5, = 4, 5 5, 4 ( ) = = = ( ) = , 5, 8, 64, 1 = 1, 100 = 10, = 100, = 1000, 10 = 10, 10 = 100, 10 = 1000, 10 = = = 1, 196 = 7 = 14, = =, 1 96 = = 6, 05 = 5 = 45, 600 = 5 = 60, 5 = 00, = 5 7 = = 7 = 56, = = = 6 94 = 6 6= 6, tehát az állítás igaz; = + 4= 7 7 5, tehát az állítás nem igaz; = 5 6 : 9 = 6 : = 6 : 9 = =, tehát az állítás igaz; 5 16 = = 1, tehát az állítás nem igaz; 64 : 4 = 4 4= 4, tehát az állítás igaz. 64 : 4 = ,4 = 1,96; 4,1 = 17,057; 5,08 = 5,806, 8,7 = 75,69; 7,9 = 6,885; 9,98 = 99, a),85 = 8,1; b) 8,5 = 81, = 8,1 10 ; c) 85 = 81 = 8, ; d) 850 = = 8, ; e) = = 8, ; f) 0,85 = 0,081 = 8,1 10 ; g) 0,08 5 = 0,00081 = 8, ; h) 0,00 85 = 0, = 8,

8 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 49. a) 54 = 916 = 9,16 10 ; b) 14 = = 1, ; c) 0 = = 9, ; d) = = 1, ; e) = = 76, ; f) = = 49, ; g) 0,6 = 0,969 = 9,69 10 ; h) 0,04 = 0, = 5, ; i) 0,00 6 = 0, = 1, ; j) 0, = 0, = 9, ; k) 0, = 0, = 60, ; l) 0, = 0, = 8, , 69 = 1, 64, 1, 4 =, 66, 45, 56 = 6, 75, 8, 7 = 9, 15, 1 = 1, 5 =, 4, 10 =, 16, 7 =, 65, 8 =, 8, 18 = 4, 4,, 5 = 4, 74, 0 = 5, 48. 1, 988 = 1, 41, 19, 88 = 4, 46,, 5 = 1, 8,, 5 = 5, = 4, 4, 180 = 1, 4, = 4, 4, = 14, 1, 8 = 1, 4, 0, 18 = 0, 44, 0, 018 = 0, 14, 0, 0018 = 0, = 1, 7, 1 40 = 6, 6, = 70,, =, 0, 7 = 0, 87, 0, 046 = 0, 14, 0, = 0, 068, 0, = 0, K = 1 dm, T = 10,565 dm. 55. K = 191, cm, T = 84,84 dm. 56. a = 44,5 m, T = 1980,5 m. 57. a = 1,8 dm, K = 7, dm. 58. a = 74,9 m, K = 99,6 m. 59. a = 0,005 km, K = 0,08 km. 8

9 Pitagorasz-tétel 1. a) c = 1 cm; b) y = 1 cm; c) m = 1 cm; d) c = 5,6 dm; e) y = 1,9 m; f) m = 8,57 cm.. A derékszögû háromszög átfogója 1, cm hosszú.. A derékszögû háromszög átfogója 65 dm hosszú, K = 157 dm, T = 1058 dm. 4. A derékszögû háromszög hiányzó befogója 8,1 m hosszú, K =,41 m, T = 19,11 m. 5. A négyzet átlója 16,97 cm hosszú, K = 48 cm, T = 144 cm. 6. A négyzet átlója 4,4 cm hosszú, a = cm, T = 9 cm. 7. Az egyenlõ szárú háromszög K = 4, cm, T = 7,9 cm. 8. Az egyenlõ szárú háromszög K = 6 cm, T = 8,6 cm. 9. Az egyenlõ szárú háromszög K = 46, dm, T = 46,9 dm. 10. Az egyenlõ szárú háromszög K = 6 cm, T = 60 cm. 11. A szabályos háromszög K = 54 cm, T = 140,1 cm. 1. A téglalap hiányzó oldala 15, cm hosszú, K = 56,4 cm, T = 197, cm. 1. A téglalap köré írható kör sugara 5,045 dm. 14. K = 4,4 cm, T = 70 cm. 15. K = 100 mm, T = 6, mm. 16. K = dm, T = 5,8 dm. 17. K = 80 cm, T = 10 cm. 18. K = cm, T = 44 cm. 19. A húr hossza 11, cm. 0. h 1 =,6 cm, h = 17 cm. 9

10 PITAGORASZ-TÉTEL 1. e. AO = 5, BO = 5,9, CO = 1,9.. AB = 5,8, CD = 6,7. 4. K = 6, A lapátló 11, cm, a testátló 1,86 cm. 6. A kocka felszíne 178 cm. 7. A téglatest testátlója 17 cm hosszú. 8. A leghosszabb lapátló 14,4 cm, a leghosszabb és a legrövidebb lapátló közötti különbség 4,97 cm, a téglatest testátlója 15,6 cm hosszú. 9. a) 0 cm; b),5 cm; c) 6,4 cm; d) 5,76 cm. b) < d) < c) < a) 0. Szögei szerint Pitagorasz tételének a megfordítása derékszög tompaszög derékszög hegyesszög derékszög hegyesszög tompaszög Kerület 1 cm cm 0 m 5 cm 0 dm 5 mm 7,6 dm Terület 6 cm cm 0 m 104 cm 7,5 dm 54 mm,6 dm 10

11 Algebrai kifejezések 1. a) b = a 6; b) a + b = ; c) 5a + b; d) (a b) ; e) (a + b) c; f) a 0,7 b; g) x y ; h) (x y) 5 x y ; i) c d ; j) c : 7 6; k) 1, ab ; ab ; x y ; 1,0 xyz; 1ab; xy. 6. Együttható,7 4, Változó c b x c x e x f xy 4. a-val egynemû: 0,9a, 8a; 5. ab -tel egynemû: 7ab ; 7ab 1,ab-vel egynemû: ab,, 4, ab, ba; 9 a b-vel egynemû: 7a b, 1a b. 7ab ab ; ; ab ab; 5ba; a; a b. 6. ab 5ab ; ab a b b ; ab; 5 ba a. 7. a) b) c) d) y, 7y, y, 6y, 11y ; 4 15 x, x, 8x, 17x, x ; xy, xy, xy, 1xy, xy; ab, ab,, ab, 9ab, ab. 17 ab 1 7 xy 8. 7ab, a b,,,, ab, a,, x y. ab ab 5xy 4 11

12 ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK ab, ab a a b, 5, ab, ab, xy ab, a,, 4x y. 5xy a ) 1+ y; b ) x; c ) x + xy+ y ; d ) y x + 5x y + y. a ) ab+ ab; b ) x y xy; c ) 8x + ; d ) x + x y. a ) y 1; b ) 7x + 17y z; c ) 4, 5xy 5xz 19, yz; d ) 0, 85y + z + 0 a ) 6, 45; b ) 0; c) 0; d) a ) 5; b ) ; c ) ; d ) a ) 10; b ) ; c ) 1; d ) a ) 17; b ) ; c ) 0; d ) a ) 6a ; b ) 4a ; c ) 6x y; d ) x y. 6 5x y 4x 6x y 8x y 105x 4 y x.,5x y 4,x 4 6,x y,8x 4 y 10,5x 5 y 5 4 xy x y x y 5 xy 5x 4 y a ) a ; b ) a; c ) 4x ; d ) 0, 4yz. y 0,6x 10x x 06, y x y y x y 4x y xy 15x 40x 4 y y x 4x y 1

13 ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK 1. a ) a ; b ) x ; c ) x ; d ) y ; e ) a ; f ) a b ; g ) a b ; h ) ab Szorzat összeggé alakítása 4. a) 6x 10x ; b) 1x 8x ; c) 1y 8y ; d) 18x 1x. 5. a) 1x 8x ; b) 1x 5 8x 4 + 4x ; c) 6x 9x + 1x; d) 6x 7x a ) 5x 19y; b ) 4x+ 10; c ) 7y 4xy+ 8y 6x; d ) 4c 6cd 8c d. 4 ab b 4,5a b 15ab 4 4 0,6a 0,6a 0,6a b a b 1 4 ab 1 5 ab 0,75a b a ) 6xya; b ) 9x 6x; c ) xy y+ x 6; d ) x x. 5 5 a ) 8( a b); b ) 5ab( 1 ab); c ) 4x ( x x + 1); d ) xy ( 1+ y 5x + xy). a ) ( ); b ) ( 6 ); c ) 7( b a + a+ b a ab+ b x xy+ y ); d ) z( 9x + 6xy+ y ). a ) 7a( 7a b+ ab ); b ) xy( 9x+ 6+ y); c ) 4( 16x 8x+ 1); d ) 17ab( ab + b). a ) E = ; b ) F = a; c ) G = xy ; d ) H = xz. a ) x+ y, alaphalmaz: és x y; b ) x y, alaphalmaz: és x y; c) x+ y, alaphalmaz: és x y; d ) x y, alaphalmaz: és x y. a a( a+ 9b). a ) x 7; b ) ; c ) ; d ). b ( a+ b) 4 9 ab 1 ab a b 5 ab 1 a 15 5 b 5 ab a 1

14 1. a) x = ; b) x = ; c) x = 1. Egyenletek, egyenlõtlenségek. a) x = 0; b) y = 0; c) azonosság; d) azonosság.. a) x = 1; b) x = 1; c) y = a) a = 9; b) b = 5; c) c = a) a = 4; b) b = ; c) x = a) a 1 = 0, a = 7; b) b 1 =, b = 5; c) c 1 = 0, c =, c = a) a1 =, a =, a = ; b) 1 b1 =, b =, b =. 8. > x. 9. x x x. 1. a ) 6 x; b ) x. 1. Azonosságok: a), c), f), g), h). 14. a) 4; b) x ; c) ; d) 4, a) a = ; b) a = 9; c) a =

15 Egyenlettel megoldható Szöveges feladatok 1. Jutkának 810 Ft-ja, Mártának 1040 Ft-ja van.. Az egyik polcon 56 befõtt, a másik polcon 74 befõtt van.. Az egyik szám 5, a másik szám Lolának 1640 Ft-ja, Balázsnak 10 Ft-ja volt eredetileg. 5. Az elsõ polcon 108, a második polcon 6, a harmadik polcon 7 könyv van. 6. Egy menü 840 Ft-ba került. 7. α = 45, β = 60, γ = α = 84, β = 60, γ = A ketrecben eredetileg 7 nyúl volt. 10. A matematikadolgozat átlaga,48 volt. 11. Laci 10 éves, édesanyja 8 éves, édesapja 40 éves. 1. Panni 9 éves, apukája 9 éves. 1. Az egyik szám 95, a másik szám A teremben 14 háromlábú és 178 négylábú szék van. 15. A parkolóban 7 motor és 15 autó van. 16. a) 11, 5 < x; b) x 64. 1, 5 15

16 17. x 10. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ a (cm) x 7 6 b (cm) x c (cm) x 10 9 K (cm) 9 Számok helyi értékével kapcsolatos feladatok 18. Ez a kétjegyû szám az Ezek a kétjegyû számok a 1, 4, 5, 46, 57, 68, Az eredeti kétjegyû szám a Az eredeti kétjegyû szám a 6.. Az eredeti kétjegyû szám a 8.. Az eredeti kétjegyû szám a Az eredeti kétjegyû szám a Az eredeti kétjegyû szám a Az eredeti kétjegyû szám a Az eredeti kétjegyû szám a Ez a háromjegyû szám a A betonozási munkák 4 napig tartanak Ede és Máté együtt 5 órát dolgozott Ede 8 órát dolgozott összesen. 4. Gábor összesen 7,5 napot dolgozott.. Gábor összesen 7 napot dolgozott. 9 Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok 16

17 4. Még munkást kell beállítani. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ Mozgásos feladatok 5. A motor Pécstõl 8,5 km távolságra éri utol a teherautót, 5,5 óra múlva. 6. A város a falutól 6 km távolságra van. 7. Szegedtõl a kiskert 6 km távolságra van. 8. A személygépkocsi és a teherautó 9 óra 5 perckor találkozott Kistelektõl 7 km távolságra. 9. A személygépkocsi 1 óra 57 perckor Szegedtõl 57,6 km távolságra éri utol a teherautót. 40. Lolka Bolkát 70 másodperc alatt körözi le. 41. Bence és Gergõ 150 másodperc múlva találkoznak. Keveréses feladatok 4. A 80%-os oldatból 5,45 grammra van szükség. 4. A 5%-os oldatból,5 kg-ra, a 45%-os oldatból 1,75 kg-ra van szükség. 44. A 10%-os ecetsavból 0 grammra, a 0%-os ecetsavból 90 grammra van szükség. 45. A 80%-os oldatból 0 grammra, a 50%-os oldatból 50 grammra van szükség. 46. A keverék elkészítésével 56 százalékos oldatot kapunk. 47. A szükséges töménység eléréséhez 600 gramm vizet öntsünk a sóoldathoz. 48. A keverék hõmérséklete 50 C lesz. 49. A közös hõmérséklet 60 C lesz. 50. A 90 C-os vízbõl 4,15 kilogrammra van szükség. 51. A 0 C-osból 8 kilogramm, a 80 C-osból 0 kilogramm víz szükséges. 17

18 Geometriai ismétlés Alapfogalmak, alapszerkesztések

19 GEOMETRIAI ISMÉTLÉS. a) b) c) d) 19

20 GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 4. Ha az egyenes érinti a körvonalat, akkor ilyen pont van. Ha az egyenes és körvonal távolsága cm-nél kisebb, akkor p 4 ilyen pont van. Ha az egyenes és körvonal távolsága cm, akkor 1 ilyen pont van. Ha az egyenes és körvonal távolsága cm-nél nagyobb, akkor 0 ilyen pont van. 5. A sík azon pontjai, amelyek e-tõl cm-nél nem nagyobb és P-tõl 1 cm-nél nem kisebb távolságra vannak Két megoldás esetén a pont és egyenes távolsága: d(p, e) < 6 cm. Egy megoldás esetén a pont és egyenes távolsága: 6 cm. Nincs megoldása a feladatnak, ha a pont és egyenes távolsága: d > 6 cm. 0

21 GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 8. Ha a feladatnak nincs megoldása, akkor a három pont egy egyenesen van

22 GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 1. Szerkeszd meg az adott szögeket! Mekkora a megszerkesztett szög mellékszöge? α =15 β =10 γ =157,5 δ =150 ϕ =45 μ =105 λ =15 ω = a) b) α = β α = γ c) d) α + δ = 180 α + ϕ = 180

23 GEOMETRIAI ISMÉTLÉS a) lehet; b) biztos, 1; c) lehet, 1; d) biztos. 16. nem; páros; és tengelyesen is; a tengelyek metszéspontja. 17. a) b)

24 18. a) cm < harmadik oldal hossza < 15 cm. 19. Háromszögek b) Marcsi háromszögének a. oldala 10,8 cm. Karcsi háromszögének a. oldala 6,7 cm. c) Pali háromszögének a. oldala 6 cm. d) Vali háromszögének a. oldala 9 cm. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 0. γ = 7 ; α = 45, β = 55 ; α = 75, β = 41, γ = Egy egyenlõ szárú háromszög egyik szöge 70. a) b) Ha az egyenlõ szárú háromszög egyik szöge 90, a feladatnak csak egy megoldása van.. α = 6, α = 7, α = 45, α = 90.. BAC = 55, ABC = 56, BCA = 69. 4

25 4. Egyenlõ szakaszok: AF = FB, CE = EF, BE = EA, BC = BF. Egyenlõ szögek: CEB = 60, BEF = 60, FEA = 60, EAF = 0, β = ϕ = Vázlat: GEOMETRIAI ISMÉTLÉS A két magasságvonal által bezárt szög: δ = Szerkesztés: 5

26 8. a) T = 0 cm ; b) K = 0 cm; c) m a = 1 cm, m b = 5 cm, d)s a = 1,6 cm, s b = 7,81 cm; e) r = cm. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS m c = cm; 9. Négyszögek 0. H, I, I, H, I, I, H, H, I, H, I. 1. Rombusz: β = 18, γ = 4, δ = 18 ; paralelogramma: α = 74, β = 106, γ = 74, δ = 106 ; trapéz: α = 44, β = 55, γ = 15 ; deltoid: α = 110, γ = 0, δ = α = 98, β = 89 ; α = 75, β = 11 ; α = 9,5, β = 9,5.. K = cm, T = 44 cm. 4. K = 66 cm, T = 5 cm. 5. K = 4 cm, T = 18 cm. 6. b = 5,66 cm, K = 5, cm, T = 8 cm. Szerkesztés menete: 1. 7 cm-es szakasz felvétele.. Egyik végpontjába 45 -os szög szerkesztése.. 7 cm-es oldallal 4 cm távolságra párhuzamos egyenes szerkesztése. 4. Ahol a 45 -os szög szára metszi a párhuzamost, onnan a 7 cm-es szakasz mérjük. 5. A kapott két végpont összekötése. 6

27 GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 7. b = 8,54 cm, K = 7,08 cm, f = 1 cm, f** = 4 cm, T = 6 cm. Szerkesztés menete: 1. e átló felvétele.. a oldallal, mint szárral e alappal egyenlõszárú háromszög szerkesztése.. e felezõmerõlegesének megszerkesztése. 4. e felezõpontjából rámérem f*-ot. 5. A kapott pontot összekötöm e végpontjaival. Szerkesztés: 7

28 8. Egy csúcsból húzható átlók száma Az egy csúcsból húzott átlók ennyi háromszögre bontják a sokszöget GEOMETRIAI ISMÉTLÉS Sokszögek háromszög négyszög ötszög hatszög hétszög tízszög tizenhatszög n-szög n n Összes átlók száma ( n ) n Belsõ szögeinek összege (n ) 180 Külsõ szögeinek összege a) 65; b) 1980 ; c) a) 15; b) 880 ; c) a) A sokszög 6 oldalú. b) A sokszög 1 oldalú. c) A sokszög 4 oldalú. 4. a) A sokszög 7 oldalú. b) A sokszög 14 oldalú. c) A sokszög 0 oldalú. 4. a) A sokszög belsõ szögeinek összege 160. b) A sokszög belsõ szögeinek összege 060. c) A sokszög belsõ szögeinek összege a) A sokszög 8 oldalú. b) A sokszög 15 oldalú. c) A sokszög 17 oldalú. d) A sokszög 1 oldalú. 45. T 1 = 5 cm, T = 5 cm, T = 4 cm, T = 11 cm, a = 7,8 cm, b = 8,06 cm, K = 5,4 cm. 46. háromszög négyszög ötszög hatszög hétszög tízszög tizenhatszög n-szög 46. Középponti szögének nagysága Egy belsõ szögének nagysága Egy külsõ szögének nagysága Szimmetriatengelyeinek száma , ,5 6,5 60 n ( n ) 180 n 60 n n Középpontosan szimmetrikus-e? nem igen nem igen nem igen igen 8

29 47. a) 9; b) 140 ; c) 40 ; d) 9; e) nem. 48. a) 1; b) 150 ; c) 0 ; d) 1; e) igen. 49. a) A szabályos sokszög 18 oldalú. b) A szabályos sokszög 4 oldalú. c) A szabályos sokszög 6 oldalú. 50. a) A szabályos sokszög 18 oldalú b) A szabályos sokszög 5 oldalú. c) A szabályos sokszög 0 oldalú. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 51. K = 18 cm, m, 6 cm, T =, 9 cm, T =, 4 cm. a háromszög hatszög Szerkesztés: 5. a=, cm, K = 18, 4 cm, T =, 1855 cm, T = 5, háromszög nyolcszög 48 cm. Szerkesztés: 5. A kör 9

30 54. K = 7,68 cm, T = 11,04 cm. 55. A kerék átmérõje 0,64 m. 56. A körív hossza 75,6 cm, a körcikk kerülete 111,6 cm, a körcikk területe 60,88 cm. 57. A körív hossza 6,8 cm, a körcikk kerülete 5, cm, a körcikk területe 6,17 cm. 58. A pálya kerülete 57 m, a területe 696,5 m. 59. A keresett terület 40,19 cm A körszelet területe 41,04 dm. 6. A körszelet területe 45,5 cm. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS R r d K T a) 7 cm cm 4 cm 6,8 cm 15,6 cm b) 9 cm 6 cm cm 94, cm 141, cm c) 10 cm 7 cm cm 106,76 cm 160,14 cm d) 8 cm 5 cm cm 81,64 cm 1,46 cm 6. A hulladék területe 4,05 cm, ez 1,5 százaléka a háromszög területének. 0

31 Térgeometria 1. A lapok száma 5, a csúcsok száma 6, az élek száma 9.. A hasábnak 9 lapja, 14 csúcsa és 1 éle van.. A hasábnak 1 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van. 4. a) 7; b) 11; c) 10; d) a) 10; b) 8; c) 8; d) a) 0,7; b) 400; c) 56; d) m ; e) 80; f) mm ; g) 57; h) cm ; i) 8 000; j) dm. 7. a) 0,145; b) mm ; c),1 m ; d) cm ; e) 0,065; f) 0,46; g) 0, ; h) 1,; i) 750; j) 6,8. 8. A = 98 cm, V = 1080 (cm ). 9. A hasáb alapéle 4,5 dm, oldaléle 1,5 dm hosszú. A hasáb térfogata 7,75 dm. 10. A téglatest élei 1,8 dm,,7 dm, 4,5 dm hosszúak. Az edény térfogata 1,87 dm. Ebbe az edénybe 1,87 liter folyadék fér. 11. A hasáb felszíne 1 dm, térfogata 16 dm. 1. A hasáb felszíne 119,68 cm, térfogata 11cm. 1. A hasáb felszíne 148 cm, térfogata 10 cm. 14. Az edénybe 5,88 liter víz fér. 15. A tartály térfogata 156 dm, magassága 16 dm, a tartály felszíne 659,4 dm. 16. A henger felszíne 1507, dm, térfogata 617,8 dm. 17. A henger felszíne 1884 dm, térfogata 680 dm. 18. A két test felszínének aránya A 1 : A = 70,6 : 57,96, térfogatának aránya V 1 : V = 16 : A hulladék térfogata 1 85 cm, ez a rönk térfogatának 6, százaléka. 1

32 TÉRGEOMETRIA A gúla 0. A gúlának 8 lapja, 8 csúcsa és 14 éle van. 1. A gúlának 11 lapja, 11 csúcsa és 0 éle van.. A gúla éleinek a száma 5-nél nagyobb páros természetes szám lehet.. a) 10; b) 18; c) 9; d) a) 11; b) 15; c) 1; d) a) A gúla felszíne 96 cm, térfogata 48 cm. b) A gúla felszíne 1,96 dm, térfogata 1,78 dm. c) A gúla felszíne 84,56 cm, térfogata 1408 cm. 6. A gúla felszíne 110,4 cm. 7. A test felszíne 74 cm, térfogata 1 cm. 8. A test felszíne 194,88 cm, térfogata 188,16 cm. Az egyenes körkúp 9. a) A kúp felszíne 6,76 cm. b) A kúp felszíne 45,7184 dm. 0. a) A kúp felszíne 10,64 cm. b) A kúp térfogata 46 dm. 1. A kúp felszíne 565, cm, térfogata 401,9 cm.

33 . a) A = 1808,64 cm, V = 15,6 cm ; b) A = 105,76 cm, V = 411,5 cm.. A két kúp térfogatának aránya :. TÉRGEOMETRIA 4. A két kúp térfogatának aránya V 1 : V = 4 : A keletkezett test felszíne 149,464 cm, térfogata 18,5 cm. 6. A keletkezett test felszíne 8,6 mm, térfogata 14 mm. 7. A = 01,44 cm, V = 01,44 cm, a keletkezett hulladék térfogata 60,88 cm. 8. A keletkezett test felszíne ,5 cm, térfogata cm. 9. a) A test felszíne 44,9 cm, térfogata 9,0 cm. b) A test felszíne 0,8 cm, térfogata 9,7 cm.

34 Felvételire készülünk 1. x = 8, y = 10, z = 0,, w = 9.. 6,5, 19,5, 15, 1, 10, feladatsor. a) 0,0544; b) 500; c) 7; d) 0,44; e) a) Paliék 400 forintot fizettek. b) A eset = B eset. c) A esetben: 17,8 Ft, B esetben: 14 Ft. 5. a) Lekváros; b) db; c) 0%; d) 7 ; e) 167 db. 6. a) A boltba kötet érkezett. b) Az elsõ nap 576 kötetet adtak el. c) A második nap az eredeti készlet 4 százaléka fogyott el. 1 d) A negyedik napra a készlet része maradt meg a) 8-féle háromszög készíthetõ. b) 8-féle egyenlõ szárú háromszög készíthetõ. c) Az egyenlõ szárú háromszög készítésének nagyobb a valószínûsége. d) Annak, hogy a készített háromszög különbözõ oldalú, a valószínûsége a) Lehet, hogy igaz; b) lehetetlen; c) biztosan igaz; d) lehet, hogy igaz; e) biztosan igaz. 9. a) A háromszög oldalainak hossza a = 1 cm, b = 10 cm. b) Az alaphoz tartozó magasság 8 centiméter. c) A háromszög területe 48 cm. 10. V = 88 cm, A = 15 cm. 5 lapja piros:, 4 lapja piros:, lapja piros: 4, lapja piros:. 4

35 . feladatsor 1. A = 155, B = 156, C = 90. Növekvõ sorrend: 90 < 155 < 156. C < A < B.. 1. I,. H,. I, 4. I, 5. I.. Tóni apukája forint adót fizetett , 1 +, 1 +, 1 + 4, 1 + 5, 1 + 6, +, +, + 4, + 5, + 6, +, + 4, + 5, + 6, 4 + 4, 4 + 5, 4 + 6, 5 + 5, 5 + 6, FELVÉTELIRE KÉSZÜLÜNK Kata: 1 +, + ; Laci: 1 + 6, + 5, + 4; Juli: + 6, dobások esetén gyõz. Lacinak van legnagyobb esélye a gyõzelemre. Katának van a legnehezebb dolga az utolsó dobáskor. 5

36 6. a) 1970 és 1980 között volt a legnagyobb változás. b) A lakóinak száma kb. 8%-kal csökkent. c) Átlagosan 107 lakója volt a településnek. 7. α = 0. FELVÉTELIRE KÉSZÜLÜNK 8. a) Az ötödik nap percig tornázott Ede. b) A napi maximális edzésidõ 40 perc. c) Az egy hónap során 105 percet, azaz 17,5 órát edzett. 9. a) Az üzlet 17,5 kg barackot kapott. b) Az elsõ nap 9,5 kg, a második nap 7 kg barack volt az eladott mennyiség. c) A barack eredeti ára 80 Ft/kg. d) A barack eladásából az üzlet bevétele 7 40 forint volt. 10. a) A kocka éle 14 centiméter. b) A kocka : A téglatest = 1176 : 60 = 94 : 565 c) A kisebb téglatest élei 6 cm, 14 cm hosszúak. A nagyobb téglatest élei 11 cm, 14 cm, 0 cm hosszúak. d) V kocka = 744 cm, V kisebb téglatest = cm. A két térfogat közötti eltérés cm. 6

37 Függvények, sorozatok Hozzárendelések 1. I) Nyíldiagrammal: II) Táblázattal: III) Szabállyal: x x IV) Grafikonnal: V) Egyenlettel: x = y. Az A elemei A K elemei Szabály: x x + 7

38 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK. A elemei (x) K elemei (y = x + ) A elemei (x) K elemei (y) Szabály: x x 5. a) Ez a hozzárendelés függvény, mert minden számhoz egy számot rendelünk. b) Ez a hozzárendelés függvény, mert minden sokszögnek egyetlen kerülete van. c) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert lehet valakinek több testvére is. d) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert egy számhoz több számot rendelünk. 8

39 e) Ez a hozzárendelés függvény, mert egy természetes számhoz egy természetes számot rendelünk. f) Ez a hozzárendelés függvény, mert egy ponthoz egyetlen pontot rendelünk. 6. Szabály: x x 1 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 7. a) Z N, x x, y = x, g(x) = x ; b) Z Z, x x, y = x, f(x) = x; c) Z Z, x x +, y = x +, f(x) = x + ; d) Q Q, x x, y = x, f(x) = x; e) Q Q, x x, y = x, f(x) = x ; f) Q + 0 Q, x x, y = x, f(x) = x ; g) Z Z, x x, y = x, f(x) = x. 8. x g(x)

40 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK x f (x) x g(x) f( x)= x+ g(x) = x 1, y = x a) b) c) x 1 y =, ax ( ) = x; 1 1 y x, b( x) x; y< 1 1 x, c( x) < x. y 1 x y = 1 x y< 1 x 40

41 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 5 1. a) y(x) < x + 5; b) yx ( )< x+ ; c) y(x) > x x f(x) x g(x) x h(x) x x x f(x) g(x) h(x)

42 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 15. x x x f(x) g(x) h(x) A három grafikon egymással párhuzamos. Megegyeznek az együtthatóikban, különböznek a konstansokban m f =, m g =, m h = 4, m i = 6, m k = =, m l =. f(x) grafikonja a k(x) grafikonjával, g(x) grafikonja a l(x) grafikonjával a 1 (x) = 4x, a (x) = 4x + 5, a (x) = 4x +1, b 1 (x) = x, b (x) = x + 7, b (x) = x, c1 ( x)= x, c( x)= x, c( x)= x+. 4 4

43 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 18. x f(x) 1 1 x g(x) 0 4 x h(x) A g(x) és h(x) függvények grafikonjai egymást metszik. A g(x) és f(x) függvények grafikonjai egymásra merõlegesek. A h(x) és g(x) függvények grafikonjai egymást metszik. 19. x x x f(x) g(x) h(x) A három grafikon az y tengelyt a 1 pontban metszi. A h(x) függvény grafikonja zár be nagyobb szöget az x tengellyel. A g(x) függvénynek nagyobb a meredeksége. 4

44 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 0. P f (0; 4) Q f (1; 1), P g (0; 0) Q g (1; 4). 1.. Pe(;), 0 Qe 1;, Pf(; 0 -), Qf 1;

45 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK. 1 1 a ) ex ( ) = x ; b ) f( x) = x+ 1 ; c ) gx ( ) = x+ ; d ) hx ( ) =. 4. ax ( ) = x+ 5, bx ( ) = x, cx ( ) =, 1 dx ( ) = x, ex ( ) = x 5,, f( x) = 5 x +, 4 gx ( ) = x, hx ( ) = e(x) = x +, f(x) = x +, g(x) = x, h(x) = x, ix ( )= x 1. 45

46 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 6. x f(x) g(x) h(x) A g(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az y tengely mentén egységgel fölfelé. A h(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az x tengely mentén 1 egységgel balra. g(x): a függvény értéket növelem -vel. h(x): a változót növelem 1-gyel. 7. x f(x) g(x) h(x) A g(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az y tengely mentén egységgel lefelé. A h(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az x tengely mentén egységgel jobbra. g(x): a függvény értéket csökkentem -vel. h(x): a változót csökkentem -vel. 8. x e(x) f(x) g(x) e(x) minimumhely: x = 0, minimumérték: y = 0, f(x) minimumhely: x =, minimumérték: y = 0, g(x) minimumhely: x =, minimumérték: y =. 46

47 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 9. x f(x) g(x) h(x) Az f(x) grafikonjából a g(x) grafikonját megkaphatjuk, ha az f(x) grafikont eltoljuk az y tengely mentén 1 egységgel fölfelé. Az f(x) grafikonjából a h(x) grafikonját megkaphatjuk, ha az f(x) grafikont eltoljuk az x tengely mentén egységgel balra. 0. x a(x) b(x) c(x) a(x) grafikonjából b(x) grafikonját megkaphatjuk, ha a(x) grafikont eltoljuk az y tengely mentén egységgel lefelé. a(x) grafikonjából c(x) grafikonját megkaphatjuk, ha a(x)grafikont eltoljuk az x tengely mentén 1 egységgel jobbra. 1. x e(x) f(x) g(x) e(x)= x, f(x)= (x +), g(x)= (x + ). 47

48 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK e(x) minimumhely: x = 0, minimumérték: y = 0, f(x) minimumhely: x =, minimumérték: y = 0, g(x) minimumhely: x =, minimumérték: y =.. x e(x) f(x) g(x) h(x) e(x): minimumhely: x =, minimumérték: y = 0, f(x): maximumhely: x = 0, maximumérték: y = 1, g(x): maximumhely: x = 0, maximumérték: y =, h(x): maximumhely: x =, maximumérték: y = 0. 48

49 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK. Értelmezési tartomány: R. Értékkészlet: y [ 4; [; R. Minimumhely: x = 0. Minimumérték: y = 4. Menete: csökkenõ, x ] ; 0], növekvõ, x [0; [. Az f(x) függvény grafikonja az x = 4; 4 pontban metszi az x tengelyt. 4. Értelmezési tartomány: R. Értékkészlet: y. Minimumhely: x =. Minimumérték: y =. Menete: csökkenõ, ] ; ], növekvõ, [ ; [. Zérushely(ek): x = 5; Értelmezési tartomány: R. Értékkészlet: y 4. Minimumhely: x =. Minimumérték: y = 4. Menete: csökkenõ, ] ; ]. növekvõ, [; [. Zérushely(ek): x = 1; 5. 49

50 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Egyenletek grafikus megoldása 6. x =, y = 1, M (;1) 7. Megoldások: M 1 ( 1; 0); M (; 8) f( x) = x+, g( x) = x. Megoldások: M 1 (0; ); M (6; 4). 50

51 9. Megoldások: M 1 ( ; 0); M (; 4). FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 40. A két kerékpáros 9 órakor találkozott, az A településtõl 0 kilométer távolságra. Szöveges feladatok megoldása grafikusan 41. Az elsõ órában 4 km-t tettek meg; pihentek, játszottak órát; hazaindultak 14 órakor; hazaértek 17 órakor; a túra km hosszú volt; összesen 9 órán át túráztak. 51

52 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 4. A két társaság 10,6 órakor találkozott órakor indultak. A B jármû tartott pihenõt. A B jármûnek volt nagyobb az átlagsebessége. 10 óra 7,5 perckor találkoztak. Az A jármû 17,5 km, a B jármû 11,5 km utat tett meg a találkozásig. Az A-nak 4 óra; B-nek,5 óra volt az útja. 5

53 Sorozatok 1. a) 11, 14, 17,... ; b),,,... ; c) 11, 15, 0,... ; d) 1, 15, 18,..... A kapott sorozat: 0, 1,,, 4, 5, 0, 1,,.... a ) a = 1, a = 1, 1 a = 5, a 4 = 7; b ) b 1 =, b = 6, b = 11, b 4 = 18; c ) c 1 = 0, c = 1, c =, c 4 = 6; d ) d 1 = 4, d = 1, d = 1, d 4 = a) a n = a 1 + (n 1) 5; b) b n = b 1 ( ) n 1 ; c) c n = c 1 + (n 1) ; d) d n = d 1 + (n 1) ( ). Számtani sorozatok: a), c), d). 5. a 0 = 11, S 0 = Mindenkit le tudtak ültetni. Az utolsó sorba 4 szék került. 7. a 4 = 504, S 4 = a 0 = 1571,1, S 0 =

54 SOROZATOK 9. a a a a a a a a a = 8, = 7, = 6, = 5, = 4, =, =, = 1, = 0, a a = 6d, 9 0 6= 6d d = A keresett összeg a) 108,5 kg; b) 80 kg; c) 6 kg. Elemérnek ezek alapján a c) fogyókúrás receptet ajánlom. 1. Az 1. év végére Ft-ja, a. év végére Ft-ja, a. év végére Ft-ja, a 4. év végére Ft-ja lesz. Minden hányados azonos, 1,1 értékû. 1. Az elsõ év végén Ft volt az értéke. A második év végére Ft volt az értéke. Most Ft az értéke. Minden hányados azonos, 0,8 értékû a 7 = a 1 =, a = 6, a = 18, a 4 = 54, a 5 = 16, a 6 = 486. Összegük: Számtani sorozat lehet: c), f), e). Mértani sorozat lehet: a), d) a ),,...; b) 5, 4, 8...; c ) 1, 6,...; d ),, a) = ; b) = ; c) a 1 = 84; d) a 1 = 1. a 1 9 a 1 54

55 SOROZATOK 18. a = 9, illetve a = a) nem eleme; b) nem eleme. 0. Húsz év múlva a település lakóinak a száma 11 1 lesz. A település lakóinak a száma 4 év múlva lesz kevesebb nél. 55

56 Geometriai transzformáció, hasonlóság 1. H, I, I, I, H, I.. a) b). a) deltoid b) I, H, I, H, I, I. 4. a) b) A keletkezett síkidom deltoid. Szimmetriatengelye AC egyenese. A keletkezett síkidom egyenlõ szárú háromszög. Szimmetriatengelye AB egyenese. 56

57 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 5. Vázlat: 6. a) Ez a négyszög egyenlõ szárú trapéz. b) I, H, I, H, I, I. 7. Vázlat: Szerkesztés: Szerkesztés menete: 1. a alap felvétele.. a felezõmerõlegesének megszerkesztése.. m rámérése a felezõmerõlegesre. 4. A kapott pontban párhuzamost szerkesztek a-val. 5. A párhuzamos egyenesre rámérem a felezõmerõlegestõl jobbra és balra a c felét. 6. A kapott pontokat összekötöm a végpontjaival. 57

58 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 8. Három megoldás. Középpontos tükrözés 9. a) I; b) I; c) H; d) I A négyszög paralelogramma. Eltolás 1. Párhuzamosak: d, e, f; Egyenlõk: e; a ellentett vektora: d. Adott pont eltolása adott vektorral 1. egyenlõ, párhuzamos, egyenlõ, azonos, egybevágó 58

59 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG Az eltolás vektora egyenlõ az A-ból A -be mutató irányított szakasszal. 59

60 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG Hasonlósági transzformáció 19. a) I; b) H; c) I; d) I. Háromszögek hasonlósága 0. A B C λ a b c a b c = = a b c 4 4, ,75 10, ,5 1,5 10,5 1,5 60

61 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 1... Szakasz adott részekre osztása 4. 61

62 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 5. A középpontos hasonlóság transzformációja 6. a) b) 7. a) b) 6

63 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 8. a) b) 9. a) b) 6

64 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 0. a) b) 1. 64

65 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG.. a) b) 4. 65

66 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 5. 66

67 Kombinatorika, valószínûség 1. A lehetséges sorrendek száma: JAD, JDA, ADJ, AJD, DAJ, DJA.. Péter 4 1 = 4-féle sorrendben készülhet fel a másnapi órákra.. Összesen 10 ötjegyû számot készíthetünk. a) 4; b) 48; c) 4; d) Összesen 600 hatjegyû számot készíthetünk. a) 96; b) 19; c)10; d)7. 5. A hat golyót 60-féleképpen állíthatjuk sorba héten keresztül tarthat a kártyacsata az adott feltételek mellett. 7. Az origóból A-ba 79-féle módon juthatunk el. 8. a) 5-féle módon; b) 1-féle módon; c) 5-féle módon; d) 18-féle módon. 9. A maratoni versenyen féle befutási sorrend lehetséges. 10. A megadott feltételnek 70 szám felel meg. Kiválasztási feladatok (a sorrend is számít) 11. A szigetnek legfeljebb lakosa lehet. 1. Az utakon különbözõ rendszámú autó futhat. 1. Az adott feltételnek 90 ötjegyû szám felel meg , 6 4, 6 5, Az elsõ három helyezés 6-féleképpen lehetséges. Kiválasztási feladatok (a sorrend nem számít) 16. Zsófinak 105-ször kell fagylaltot vennie a nyáron. 17. Az osztály tanulói közül a diáktanács tagjait 19-féle módon választhatták ki. 67

68 KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉG 18. Az a) esetben 495, a b) esetben 10-féle választási lehetõség van. 19. A buszjegyen 84-féle különbözõ lyukasztás lehetséges. 0. a) 150 módon; b) 100 módon; c) 15 módon; d) 65 módon lehetséges. 1. Tíz csoki vásárlása 1001-féleképpen lehetséges. 68

69 Valószínûség a) ; b) a) ; b) ; c) a ) ; b) ;. c) a ) ; 6 5 b) ; 6 1 c) a) ; b) ; c) A kiválasztott három szakaszból valószínûséggel szerkeszthetünk háromszöget a) ; b) ; c) 0; d) ; e) a) ; b) ; c) ; d) ; e) a) ; b) ; c) ; d) ; e) a) ; b) a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

70 VALÓSZÍNÛSÉG 1. Az öt piros golyóhoz 0 fehéret kell tenni, hogy a feltétel teljesüljön Annak a valószínûsége, hogy a légy a csempe fehér színû részére száll:. 4 Statisztika 14. a) b),7; c) ; d). 15. a) x = 8; b) x =. 16. a) 199; b) 1998; c) 16,9; d) 000 elõtt. 17. a) 148,4; b) 157,; c) 15,85; d) egyenlõ; e) a) 17; b) 19,; c) 17; d) 4; e) igen. 19. a) b) 5; c) ; d) 4,5. 70

71 Év végi tudáspróba 1. feladatsor 1. a) {0; 5; 6; 40; 4; 45; 48}; b){4}; c) {5; 40; 45}; d){5; 4}.. a) 5,48; b) 1.. a) gx ( )= x 4; b) hx ( )= x x = Az alaphoz tartozó magassága 4 cm. A háromszög területe 168 cm. 6. a) 85; b) 5; c) A keverék hõmérséklete C lesz. A víz magassága 5 cm órakor találkoznak. A motorosnak még 79, km-t kell megtenni, hogy Dunaföldvárra érjen Együtt,6 óra alatt lesznek kész a) számtani; b) a 6 = 80; d = ; n = 69; c) 0; d)

72 1. a (b c) a b + c (a + b) c ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA = 4 7. feladatsor 18 7 a b = 4 7 1,4 1,4 74,65, = 9, 1 9 = a) X Y = {1; ; 4; 6; 7; 8; 0; ; ; 6; 8; 9; 40; 4; 44; 45; 46; 50}; b)y \ Z = {4; 7; 0; ; 9; 45; 48}; c) Y X = {4; 0; 4; 48}; d)(x Y) \ Z = {; 4; 6; 7; 0; ; ; 6; 8; 9; 40; 44; 45; 46; 50} = x 7

73 4. a) Menete: csökkenõ függvény. É. t.: R. É. k.: R. b) Menete: csökkenõ x [0; [; növekvõ x ] ; 0]. É. t.: R. É. k.: y. c) Menete: csökkenõ x ] ; ]; növekvõ x [; [. É. t.: R. É. k.: y 0. ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA 5. Az egyenlõ szárú háromszög területe 6 cm. 6. a) A 10%-os ecetbõl 4 liter %-os ecet készíthetõ. b) A 0%-os ecetbõl 9 liter %-os ecet készíthetõ. A 0%-os ecet vétele a gazdaságosabb, mert az abból készített %-os ecetbõl 1 liter 1 Ftba kerül. 7. Jenõ 9 éves és Benõ éves. 8. A két brigád együtt 5 napot dolgozott. 9. Pápától 144,5 km távolságra, 11 óra 40 perckor. 10. a) A szabályos sokszög 14 oldalú. b) Egy belsõ szöge 154, fokos. 7

74 ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA. feladatsor 1. a) 4 650,68; b) 4,696.. x.. Nóri most 4 éves. 4. Péter onnan tudta, hogy rossz a végösszeg, hogy a 545 nem osztható hárommal. 5. Milán a 9-es számra gondolt. 6. É. t.: R, É. k.: y 8. Menete: csökkenõ: x [1; [, növekvõ: x ] ; 1]. Szélsõérték: maximuma van, hely: x = 1, érték: y = Az számítógép eredeti ára Ft. 8. Az elsõ sorban 8 ülõhely van. A huszonegyedik sorban 108 ülõhely van. A nézõtéren 148 ülõhely van. 9. Még munkást kell beállítani, hogy kész legyenek 10 nap alatt a festéssel. 10. A belsõ tárolótér 18,4 dm. A bevonásra 87,6 dm anyag szükséges. 74

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)!

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)! 005. október. Egyszerűsítse a következő törtet! (x valós szám, x 0 ) x x x. Peti felírt egy hárommal osztható hétjegyű telefonszámot egy cédulára, de az utolsó jegy elmosódott. A barátja úgy emlékszik,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Feladatok megoldása. Sorozatok

Feladatok megoldása. Sorozatok Feladatok megoldása Sorozatok I /.. a = 5, a =, a = -, a = -7, a 5 = -, a 6 = -6 b =, b =, b = 5, b =, b5 = 5 7, b6 = I /. c =, c = d = -, d =, d =, c = 0, c = -, c5 = - c6 = 0 8, d =,6, d 5 = 7 e =, e

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 7. osztály

Tanmenetjavaslat 7. osztály Tanmenetjavaslat 7. osztály 1. Gondolkozz és számolj! Ebben a,,félkész tanmenetjavaslatban hasonlóan az 5. és 6. osztályos tanmenetjavaslatokhoz csak áttekintést nyújtunk a felhasználható feladatokról.

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

Matematika tanmenet, 9. osztály (heti 4 óra) Halmazok, műveletek racionális számok között 12 óra. Az n elemű halmaz részhalmazainak száma

Matematika tanmenet, 9. osztály (heti 4 óra) Halmazok, műveletek racionális számok között 12 óra. Az n elemű halmaz részhalmazainak száma Matematika tanmenet, 9. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 9. Példatárak: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából I. Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I.

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I. Orosz Gyula, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Orosz Gyula; dátum: 005. november A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló

Részletesebben

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra.

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra. Matematika Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1. Halmazok A halmazok megadásának különböző módjai, a halmaz elemének fogalma. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz,

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Elméleti kérdések. Definiálja egy szám n-edik gyökét! Mondja ki az n-edik gyökre vonatkozó azonosságokat!. Definiálja a logaritmus fogalmát! Mondja ki a logaritmusra

Részletesebben

. Próba érettségi feladatsor 2015. április 17. I. RÉSZ

. Próba érettségi feladatsor 2015. április 17. I. RÉSZ Név: Osztály: Próba érettségi feladatsor 2015 április 17 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA EMIR azonosító: TÁMOP-3.1.8-09/1-2010-0004 Név: MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA I. ÍRÁSBELI VIZSGA 1412 Ideje: 2014. április 24. 14:00 Időtartama: 45 perc Fontos tudnivalók 1. A feladatok

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése.

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése. Matematika 10. első kötet Témák Az óra témája (tankönyvi 1. Bevezető óra (101. Ismerkedés a tankönyvvel 2. Nyílt végű feladat: Szálloda tervezése (102. 3. Matematikai logika: Igaz vagy hamis (103. 4. Matematikai

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben