3. a) 64; b) 32; c) 81; d) 1854; e) 8; f) 8; g) 1; h) 1; i) 1; j) 81 5 ; k) 1

Átírás

1 KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK Számok és mûveletek Hatványozás. a) 6 ; b),4 4 ; c) (0,6) ; d) () ; e) ;f) 9 9 ;g)b 8 ; h) (y) ;i) c ;j) x.. a) ; b),,,; c) 8; d) 0, 0, 0, 0, 0,; e) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9); f) () () () (); g) ; h) 4 ; i) 0 0); j) (0) (0); k) ; l).. a) 64; b) ; c) 8; d) 84; e) 8; f) 8; g) ; h) ; i) ; j) 8 ; k) ; l). 4. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h). a) 8, 8, 4, 6, b) 9,,,, c) 6, 4, 4, 6, d),,, ; e) 6, 6, 6, 6., 4,, ;,,, 9; 4, 6, 6, 4; 6. 0,, 9;,, 6. A hatványozás azonosságai. a) b) 9 ; c) ; d) 0 ; e) 6 ; f) 8 g) ; h) 9 ; i) ; j) 6 ; k) 0 4 ; l) a) (,) 4 b) 0, ; c) ; d) 0,. 9. a) ; b) ; c) ( ) ; d) 0 6.

2 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 0.a) 0 6 ; b) 0 6 ; c) 0 9 ; d) 0 8 ; e) 0 6 ; f) (4 ) ; g) ; h) 0 ; i) 8 4 ; j) ( )..; ; ; ; ;.a) ; b) 4; c) 6; d) ; e) 6, ; f) 6, ; g) ; h) 6; i), 8; j), 6..a) ; b) ; c) ; d) ; e) 4 8 : 4 6 f) : 9 g) : h) 4 0 : 4 8 i) : 0 6 6; j) 9 : ; k) : : ; l) 9 : 4.a) 6 6 6; b) ; c) 048; d) 4; e) ; f) 0; g) ; h)..a) 8; b) 6; c) d) 8; e) ; f). 6.I; H; H; H; I..; ; ;. Számok normálalakja 8.a), 0 ; b),4 0 ; c) 4,8 0 4 ; d),6 0 4 ; e) 0 ; f),4 0 ; g) 6, : 0 ; h) 9,8 : 0 8 ; i), : 0 ; j),00 : 0 4 ; k), : 0 ; l) 9 : 0. 9.a) 0; b) ; c) ; d) ; e) 0,000 ; f) 0, ; g) 0, ; h) 0, a), 0 4 ; b) 0 ; c) 0 ; d),9 0 6 ; e) 4, : 0 ; f) 0 ; g), ; h) 0 4.

3 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK Mûveletek racionális számokkal.a) 0,4; b) 0,; c) 0,; d) 0,8; e),88; f) 0,6; g),8; h),6. A fenti tört alakú számok tizedes tört alakja véges tizedes tört. ; ; 0 ; 0 ; ; 0 ; 8 ;. A nevezõk prímtényezõs alakjában csak és prímtényezõk szerepelnek..a) 0,46 ; b) 0,4 ; c) 0,6 ; d) 0, 48 ; e) 0,48 ; f) 0,690 ; g) 0,64 8 ; h) 0,46 ; i) 0,0. A fenti tört alakú számok tizedes tört alakja végtelen szakaszos tizedes tört. ; 9 ; 4 ; 4 ; ; 8. A nevezõk prímtényezõs alakjában itt már kettesen és ötösön kívül más prímtényezõk is szerepelnek..a) 0, 00 ; b) 0, e), 4 ; f) 0, ; c) 0, ; d), ; 4.a) 0,8 < 4 < 0,09 < 0,0 < 0, < 4 < 9 ; b) 40 : 0 < : 0 < 0, <, 0 < ,4,8 6, 800 0,8 normálalak 4, : 0,8 0 6, 0 0,8 0 8, : 0 0 0,04 0,8 0 0, , törtalak 0 n vagy : 0 n és , : 0 8 : 0 6 : : 0

4 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK , 49 4, 0,004 normálalak,4 0 4,00 0 4,9 0 4, 0 0,4 : , , , , , , 00 0, 490 0, 4, 0, 0,04 0, törtalak 0 n vagy : 0 n és : : 0 4 : 0 4. a) 4 9 ; b) ; c) 8 4 ; d) 4 ; e) ; f). 8.a) 8 9 ; b) ; c) ; d) 4 ; e) 9 ; f) ; g) ; h) 9 ; i) nem lehet. 9.a) 0 68 ; b) 6 04 ; c) 0 ; d) 0 60 ; e) a) 6 ; b) ; c) 6 9 ; d) ; e) ; f) 44, ; g), 8; h) , ; i) (, 6); j) 8..a) ; b) 6 ; c) 6 ; d) 4 ; e) 4 ; f) 6 ; g) 0 ; h) (; i) 0,; j),4; k) 68,; l),68; m) 00; n) 0,0; o) ( 0,08); p) 0 ; q) 9 ; r) 6..a) ; b) 40,06; c) ( ); d) j) 9 ; k) ( ); l) 40,06. 8 ; e) 0; f) ( ); g) 0,6; h) ; i) 9 ; 4

5 Számelmélet Osztó, többszörös, oszthatóság. a),,, 4; b), 9; c),,, 4, 6, 8, 9,, 8, 4, 6, ; d),,, 4,, 6, 8, 0,,, 0, 4, 0, 40, 60, 0. Minden szám osztható -gyel és önmagával.. a) 0,, 6, 9,,, 8,, 4,... b) 0,, 4,, 8,, 4, 49, 6, 6... c) 0,, 4, 6, 48, 60,, 84, 96, d) 0,, 4,, 68, 8, 0, 9, 6,... Minden számnak többszöröse a nulla és önmaga.. A {4 osztói},,, 4, 6, 8,, 4; B {0 osztói},,,, 6, 0,, és 0 közös osztói:,,, 6. A legnagyobb közös osztó: 6. 4 és 6 közös többszörösei:, 4, 6,.... Nem. A két számnak nincs kisebb közös többszöröse. [4;6]. 4. -mal 4-gyel 6-tal 8-cal 9-cel -vel 8-cal I I I I I I I N I N N N N N I I I N N I N 99 I I I I N I N 00 I N N N I N N 468 I N I N N N N. a), 6, 6, 906; b) 0, 86, 8, 864; c) 6, 9, 46, 0; d) 690, 4, 64, 890; e) 84, 6, 904, 496.

6 SZÁMELMÉLET 6. a) 4, ; b) 4, 44; c) 08, 40; d), 90; e) 6, ; f) 9, 8.. -mal 6-tal 9-cel -vel 8-cal 0-szal 4-gyel lehet nem lehet nem nem nem nem lehet nem lehet lehet nem nem nem 4 0 lehet nem lehet nem lehet nem lehet 98 lehet nem lehet nem lehet nem nem 8. I; H; I; I; H; I a) 4; b) 8; c) 6; d) 4. Szám ces maradék 0 6 a) 0; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) 0.. Szám es maradék 0 4 a) 986; 98680; 9860; b) 98 6; 98 6; a) I; b) H; c) H; d) H. 6

7 SZÁMELMÉLET Prímszám, összetett szám, prímtényezõs felbontás.a 9 osztói:,, 9. A 0 osztói:,,, 0. A 6 osztói:,, 4, 8, 6. A 0 osztói:,, 4,, 0, 0. A 9 osztói:, 9. A osztói:,, 4, 8, 6,. A 49 osztói:,, 9. Az 0 osztói:,,, 0,, 0. Prímszámok: 9. Összetett számok: 9, 0, 6, 0,, 49, 0. Páratlan számú osztója van: 9, 6, 49. További példák: 6, 64, 8, 00. A négyzetszámoknak van páratlan darabszámú osztója. 4.a) I; b) H; c) H; d) H; e) H; f) I; g) I; h) I I; I; I; H. I; H; I; H..6 ; 6 ; 49 ; 64 6 ; 8 4 ; 00 ; A négyzetszámok prímtényezõs felbontásában minden prímtényezõ hatványkitevõje páros szám. 8.B 4 C 6 4

8 SZÁMELMÉLET 9.a) Négyzetszám; b) páratlan szám; c) osztható 9-cel; d) -re végzôdik; e) osztható -tel; f) osztható -mal; g) osztható -tel; h) osztható -gyel. 0.a) I; b) H; c) I; d) H; e) I; f) I..a) a b) b c) x,, 4...; y,,...; d) k,, 4...; l 0,,... m,, 4...; e) e, 4, 6, 8...; f) h, 6, 9, ; k, 6, 9,.. 0 Osztók és többszörösök hatványalakból A prímtényezõk:,,. Az összes lehetséges prímtényezõs szorzat: = ; = ; = ; =. Az összes lehetséges prímtényezõs szorzat: = ; = 0; =. Az osztói:,,,,,,,,, 0,, A prímtényezõk:,,. Az összes lehetséges prímtényezõs szorzat: = 4; = 0; = 4; = ; = 49. Az összes lehetséges prímtényezõs szorzat: = 0; = 8; = 0; = 98; = 4. Az összes lehetséges 4 prímtényezõs szorzat: = 40; = 96; = 490. A 980 osztói:,, 4,,, 0, 4, 0, 8,, 49, 0, 98, 40, 96, 4, 490, A prímtényezõk:,,,. Az összes lehetséges prímtényezõs szorzat: = 4; = 6; = 0; = 4; = 9; = ; = ; =. Az összes lehetséges prímtényezõs szorzat: = ; = 0; = 8; = 8; = 0; = 4; = 4; = 6; = 0. Az összes lehetséges 4 prímtényezõs szorzat: = 6; = 60; = 84; = 0; = ; = 6. Az összes lehetséges prímtényezõs szorzat: = 80; = ; = 40; = 60. Az 60 osztói:,,, 4,, 6,, 9, 0,, 4,, 8, 0,, 8, 0,, 6, 4, 6, 0, 84, 90, 0, 6, 40, 80, 0,,, 40, 60, 60. 8

9 SZÁMELMÉLET. A, B, E. 4. a) a 4,,...; b) b,,...; c) c 0,,,...; d) d 4,, 6,...; e) e 0,,,...; f) f,, 4,....a),,, 0,, 0; b),,, ; c),,, 9,, a) 60; b) 96; c) ; d) 40; e) ; f) 4..a) a ; b,,...; b) c ; d,,...; c) e ; f ; g 4; d) h 4; j,,...; k 4,, 6, m. 8.a) ; b) 4 ; c) ; d) 4 ; e) ; f). 9.a) [; ] 40; ;. b) [; 8] 6; ; 8. c) [9; 0] 90; 9 ; 0. d) [; 4] 0; ; 4. 0.a) a 4; b ; b) c ; d ; c) e 6; f 4; g,,, 4, ; d) h 4; j ; k max 4; m (6; 480) 4 [6; 480] 9

10 SZÁMELMÉLET (00; 0) 0 [00; 0] 00.a) b) Két szám szorzata egyenlô a két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének a szorzatával (6; 400; 690) [6; 400; 690] a) (980; ) [980; ] b) (4; 0) [980; ]

11 SZÁMELMÉLET c) (88; 4) [88; 4] a) ; 6, ; 8, 9, b) ;, ; 840, nem lehet, c) ;, ; 4, 9, 4 6 ; 40 ; 8. 4.a) I; b) I; c) I; d) I; e) I; f) H; g) I; h) H; i) I. 8.a) I; b) H; c) H; d) H; e) I; f) I; g) H. 9.a) Páratlan; b) páros; c) páros; d) páratlan; e) páros; f) páratlan; g) páros; h) páros; i) páratlan. 40. a 4 b (a; b) [a; b] 4 a b 6 4 (a; b) [a; b] Mindkét számnak ugyanannyi osztója van. ;. 4.A legnagyobb háromjegyû számnak a természetes számok körében a 0 a legkisebb többszöröse.

12 SZÁMELMÉLET a) ö; b) p; c) p; d) p; e) ö; f) ö; g) ö; h) ö; i) ö; j) ö. 46. a), 4, 0, 8, 6; b) 8, 6, 4,, 40; c) Nincs ilyen szám. 4.a) 0; b) 0; c) 0; d) Ugyanazt a számot kaptuk eredményül. Ha egy szám osztható -vel és -tel, akkor 0-zel is osztható. Ha osztható 0-zel, akkor -vel és -tel is, ha 9-cel, akkor -mal is, ha 8-cal, akkor 4-gyel is, és ha -vel és -mal, akkor 6-tal is. 48.a) A ; b)b ; c) C ; d) D,, 49. a) Nincs ilyen szám. b) Ha két természetes szám közül az egyik a másiknak háromszorosa, akkor a két szám összege biztosan osztható -vel, 4-gyel és a kisebb természetes számmal..ha két pozitív egész szám közül az egyik a másiknak többszöröse, akkor a két szám legnagyobb közös osztója a kisebb szám..ha két természetes szám mindegyikét elosztjuk a legnagyobb közös osztójukkal, akkor a hányadosok relatív prím számok lesznek. 4.Igen, mert a legkisebb közös többszörös tartalmazza a számok összes prímtényezôjét az elôforduló legnagyobb kitevôn, a legnagyobb közös osztó pedig a közös prímtényezôket.

13 SZÁMELMÉLET.Nem. A -nél nagyobb prímszámok mindegyike páratlan szám, és két páratlan szám összege biztosan páros szám, ezért az összeg összetett szám, ami nagyobb -nél. 6.a) db nulla b) db nulla c) db nulla A számjegyek összege 9, ezért osztható 9-cel. A számjegyek összege, ezért osztható -mal és páros szám, ezért osztható -vel. Mivel -vel és -mal is osztható, ezért osztható 6-tal. A számjegyek összege 9, ezért osztható 9-cel. Az utolsó számjegyébôl képzett háromjegyû szám osztható 8-cal, ezért osztható 8-cal. Mivel 9-cel és 8-cal is osztható, ezért osztható -vel..a + B 6. 8.Az ismeretlen osztó a Az azonos számjegyekbôl álló háromjegyû számok mindegyike egész számú többszöröse. A, ezért osztható -tel, így minden ilyen szám osztható -tel. 60. A szorzat prímtényezôi között csak és szerepel. Ha a szorzat 0-ra végzôdne, akkor prímtényezôi között legalább egyszer szerepelnie kellene az -nek is. 6. A mûvelet elvégzése után -mal is osztható számot kapunk, így biztosan nem csak -gyel és önmagával osztható az eredmény.

14 Arányos következtetések, százalékszámítás. K 6 cm, K : K 6 : 0 4 :, K 0 cm, K : K 0 : 6 : 4, T 6 cm, T : T 6 :, T cm, T : T : 6.. a) : 4; b) : ; c) : 6; d) 8 : ; e) : ; f) : 4; g) : : 0; h) : 4 : 0.. A a 4-nek 0,8-szerese. A 0 a 8-nak 6 -szorosa. A 0 a 8-nak 6 -szorosa. A a -nek -szorosa. A 4 az -nek 4 -szerese. a -nek,-szerese. 0 A A 8 a 0-nek 6 -szerese. 4. x 6 9 0,, 60 0, y 0 0,, 600, , ,006. a),,,, 46, 46, 46, 46, 69, 69, 69, 69. b) Összesen szám felelt meg a feltételnek. c) A feltételnek megfelelõ összes szám közül 4 páros szám. 6. a) 0,6; b) 6,; c),; d) 8;,4.. A kisebb szám,9, a nagyobb szám 6,. 8. A kisebb szám,8, a nagyobb szám 8,. 4

15 ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS 9. A nagyobb szám 4. 0.A kisebb szám..a) a cm, b 8 cm; b) T 88 cm..a) a cm, b 0 cm; b) K 0 cm..a háromszög belsõ szögei 40º, 90º, 0º. 4.A háromszög belsõ szögei 4º, 4º, 0º vagy 6,º, 6,º, 4º..A három szám 6, 6, A rövidebb rúd hossza 40 mm, a hosszabb rúd hossza 900 mm..kata, Piri 4, Juli 0 fényképet készített. 8.Dénes Ft-ot, János Ft-ot, Lajos Ft-ot kapott a pénzbõl. 9.a) zsák liszt tömege 40 kg; b) kg liszt 49 zsákban fér el. 0.a) hektár területhez 8 kg mûtrágya szükséges. b) 0 kg mûtrágya 4 ha területre elegendô..a) Szörp mennyisége (dl) 0, 0,08 0,8,,6, 0 Üdítô mennyisége (dl), 0 0 6, 9,

16 ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS b) 0 0 0,. Eltelt idô t (óra) 0,, 4 4, Megtett út s (km) s t km h Ha óra alatt szeretné ugyanezt az utat megtenni, akkor 0 4 km h sebességgel kell haladnia. 4.Nyolc fõ esetén fejenként 00 Ft lenne a bérleti díj..ha 8 cm magas lépcsõket alkalmaznak, akkor 80 lépcsõ vezetne a kilátó tetejére. 6.a) Egy üveg ûrtartalma x (liter) A szükséges üveg mennyisége y (darab) x y

17 ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS b) y x. Az ágyás egyik oldala a (méter) 0,, 4 Az ágyás másik oldala b (méter) ,8 a b Arányossági feladatok 8.a) Az élek hossza 6,8 cm, cm,,8 cm. b) A téglatest felszíne 6,8 cm és térfogata,84 cm. 9.a) Az élek hossza 40 cm, 80 cm, 80 cm. b) A téglatest felszíne dm és térfogata 6 dm. 0.a) A háromszög oldalai cm, 6 cm, 6, cm hosszúak. b) A háromszög kerülete cm. c) A háromszög területe, cm..a 8 doboz festék m hosszú falfelületre elegendõ..4 munkás óra alatt 008 munkadarabot készít el..a második ládában 0 sorba helyezték el a dobozokat. 4.8 csapon keresztül 900 liter vizet, óra alatt gyûjthetünk.

18 ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS.a) A fiúk száma. b) A fiúk száma 9. c) A fiúk száma 9, a lányok száma. 6.a) a 4 cm, a cm, a : a :. b) A 96 cm, A 864 cm, A : A c) V 64 cm, V 8 cm, V : V.a) A telek szélességét ábrázoló szakasz hossza 0, cm. b) A tervrajz méretaránya: : 00. c) A telek területe: T 44 m. A telek ábrájának területe: T,4 cm. A két terület aránya: T : T :. 8.A szoba padlójának lakkozásához,8 kg anyagot kell vásárolni. 9.A második kertben a fákat sorba ültették el. 40. A szivattyút órát kell üzemeltetnünk. 4.a) ember napi 4 órai munkával 4 nap alatt végezné el ezt a feladatot. b) Napi 8 órai munkával 6 ember végezné el ezt a feladatot 9 nap alatt. 4.Kati 900 forintot, Ede 6 forintot, és Lilla 8 forintot gyûjtött liter víz gyûjtéséhez, órára van szükség. 44. A versenyre 6 korzójegyet, 468 tribünjegyet, és 80 állójegyet adtak el. Törtrész számítás, százalékszámítás 4.A kérdésekre egy-egy szorzat felírásával válaszolj, majd számítsd ki a keresett számot! a) 9,,, ; b) ,, ; c), 08, 6,,, 0 4, 0, 8 0 0, A keresett szám a 4. 4.a) 4; b) 6; c) 96. 8

19 ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS 48.a),; 000; %; 000%. b) 4,; 000; %; 000%. c) 80; ; 80%; %. 49. a) A nagyobb szám 600, a kisebbnél 600-zal nagyobb. b) A nagyobb szám, a kisebbnél -tel nagyobb. c) A nagyobb szám, a kisebbnél 8,-del nagyobb. 0.a) Az eddig megtett út 96 kilométer. b) A teljes útból még 44 kilométer van hátra. c) A vonat óránként 60 kilométer utat tesz meg. d) Az egész út megtételéhez 4 órára van szükség.. A kötél teljes hossza, méter..a) A habarcs 8 9 része homok, 9 része mész és 4 része víz. 9 b) A habarcs kb. 6 százaléka homok, kb. 4 százaléka mész és kb. 4 százaléka víz..a) A tervezett túra, kilométer hosszú volt. b) A második nap,4 kilométert tettünk meg. c) Az elsõ nap a tervezettnél, kilométerrel kevesebb utat tettünk meg. 4. A vásárló 990 forintot spórolt meg..a) 0, négyzetméterre ültettek paprikát. b) A paprikával beültetett rész a teljes kert,4 százaléka. 6.a) A gép a két árváltoztatás után 4 88, forintba kerül. b) A változás, százalékos.. a) Az elsô árváltozás, százalékos. A második árváltozás,6 százalékos. b) Az elsô árváltozás százalékos. A második árváltozás 0 százalékos. 8.a) A könyv eredeti áram 00 forint. b) A figyelmes vásárló forintot spórolt. 9.a) A téglatest éleinek hossza cm, 6,8 cm, 9 cm. b) A test felszíne 6,6 százalékkal változott meg. c) A test térfogata százalékkal változott meg. 9

20 Algebrai kifejezések. a) a b; b) 4a b; c) (a b) 4; d) a 8 ; b e) ; f) 0,4 c; g) x y; h) x 0, y; i) (x y) ; j) x y ; k) (x ) 0,6.. Algebrai kifejezés d b a 0,4x,4y c 4 Együttható 0,4, Változó b a x y c d e f ab 4 e 9 9 f ab. a) b) ; c) 44; d),48; e) 6 ; f) ; g) 4 6 ; h) 0,88; i) 04; j) a-val egynemû: a; 0,a; 4a; 4 b -tel egynemû: b ; b b ; ; 0,ab-vel egynemû: ab; ab ;,8ab; ba; a b-vel egynemû: 6a b. x x,, 0,x 8 a b) Például: a, a,, 0,a, a ; 8 c) Például: x y, x y, x y, 0,6x y, xy ;. a) Például: x, x, d) Például: b 4 c, b 4 c,b 4 c,9cb 4, 4 cb. 6. a) a a a a a a 6a; b) b c b c b c b c b b4c; c) d d 6d d; d),e,e 0,4e,6e,e,6e; e) 6 4 x 4 x x 6 x x x d d d d ; g) 0,8y,y 0,y 0,8y,y ( 0,y ); h),x y 0,9x y x y x y. 0

21 ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK. a) 4a a; b) b 8; c) c d d ; d) x ; e),e ; f) 4ab ab a b; g) a bc 4,abc ; h) a 0,8a; i) yx x. 0 a b c; d) 0,8xy xz,yz; 6 e),8a 4b 0,6ab; f) x y z a) 0a b 0c; b) x y 6z; c) 6 9. A B C 4x xy 4y ; A B C 6x 9xy y ; A B C xy 8y. 0.a) ; b),; c) ; d) 0,; e) ; f) 0,; g) ; h)..a) x 9 ; b) y 6 ; c) a 0 ; d) ab 8 4 ; e) 9 6 x ; f) 8 6 x ; g) 8ab; 8 4 h) 64ab; 6 9 i) y 4 ; j) y 4..a) 6ac; b) x ; c) y ; d) 4a b; e) cd; f) 0,006ef; g) 6 xy; h) ab c..a) a ; b) a; c) 4a ; d) b; e) 0,ab; f) 0,6b c; g) a ; h) a b 4. 6ab,4a ab 8a b 0a b 4b 4ab,6a b 0ab 4 a b 40a b 0,6a,6a b 0,84a 4 a b 4,8a 4 b 6a b 4 ab ab 0,a b 4 ab ab,a 4 b 4. osztandó osztó 6ab,4a ab 8a b 0a b a b 0,a,b 4ab a b 0,b a 8, a b 0 ab 60 4a b 0ab 6a 0a b 0b 80a 00a b

22 ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK 6.a) 0x 0; b) y 8; c) 0a 60ab; d),x,84; e) 4 c ; f) a 0b. 0 4.a) a 6a ; b) 0b 0b ; c),c 4 d + 0,cd ; d) 0,0x y 9,xy 4 ; e) e f 6 4 e f ; f) ab 0ab a) a 8b; b) 6x 4y 0z; c) a 4c ; d) x y xy 6x 6y; e) ab b ; f) x 0xy; g) 0,a 0,4b 9,8ab; h) c c d; i) e e; 0 j) y 9 ; 4 k) 6a 4b. 9.a) x 4y z; b) a b 4c; c) c c 0,; d) 0, d 0,d; e) e e ; f) f g a) 8a 6; b) b ; c) c; d) 0,08d 0,6d ; e) 6 f ; f) 6 x 4 8 xy..a) a 4 ; b) 60 e) 9 x 4 ; f) 60 b c 4 0d d0 ; c) ; d) y 6z 9 ; g). 6 0 ;.a) (a b); b) a(x y); c) 6y(x ); d) x(y ); e) 48ab; f) 40xy; g) d(c ); h) b(a ); i) 4ab; j) 6ab; k) 4xy; l) ab; m) 9xy; n) ab(4b c c a); o) xyxyy. 9

23 Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldása. Azonosságok: a), c), d).. Azonos egyenlõtlenségek: a), d), e).. a) x ; b) y 4; c) z 8; d) a 4; e) b ; f) c. 4. a) a ; b) b ; c) c ; d) d ; e) e ; f) f 4.. a) a ; b) x ; c) x ; d) y ; e) x 0; f) x ; g) x. 6. a) x 0, b) y 4, c) z 6 6 d) a 4, 4, a T V, a ; b bc K E b a, m c T ; A c ab : a b ; T e ; f T T m, c a c m a. 8. a) a 0, b) b 4, c) c, d) d, 4 0

24 EGYENLETEK, EGYENLôTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 9. a) x 9, b) y, c) z 0, d) a 8, a) a 4; b) b 0; c) c 44; d) d 4; e) x 4; f) y 9; g) x 0,; h) x..a) e 0; b) y 40; c) x 4; d) f,4; e) x 0; f) y 4; g) x ; h) x 6..x,8. a) {,8}; b) üres halmaz; c) üres halmaz a) {; ; 0; ; }; b) pozitív természetes számok halmaza; c) természetes számok halmaza; d) egész számok halmaza. 4.a) x 0, x ; b) y, y, y 0; c) a, a 4, a ; d) b 0, b 8, b 0, e) c, c. Szöveges feladatok.az osztályba 8 lány és fiú jár. 6.A gondolt szám 4..Az egyik kannában 4 liter, a másikban liter víz van. 8.Az elsõ dobozban 4, a másodikban 90, a harmadikban labda van. 9.8 ötödikes, hatodikos, 6 hetedikes és 8 nyolcadikos gyerek jelentkezett a táborozásra. 0.A háromszög szögei 9, 9, 0..A háromszög szögei,, 8..A háromszög szögei a),, 6 ; b) 44, 68, 68. 4

25 EGYENLETEK, EGYENLôTLENSÉGEK MEGOLDÁSA.A háromszög szögei a) 6, 6, 8 ; b) 44, 44, 9. 4.A háromszög szögei 40, 60, 80..A két szám 8 és 0. 6.A sorban összesen 9 ember állt, Pali elõtt állt fõ.. évvel ezelõtt volt az apa kilencszer idõsebb a fiánál. 8.Összesen 40 fabatkám volt, a ceruza 90 fabatkába került. 9.A két lécdarab 90 cm és 0 cm hosszú. 0.A téglalap területe 08 cm..a háromszög oldalai 9 dm, dm és dm hosszúak..a legnagyobb szám 60..A legkisebb szám Almából kilogrammot, körtébõl kilogrammot vettem.

26 Függvények. a) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. b) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. c) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. d) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert van olyan elem az alaphalmazban, amelynek több párja van a képhalmazban.. a) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. b) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert van olyan elem az alaphalmazban, amelynek több párja van a képhalmazban. c) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. d) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert van olyan elem az alaphalmazban, amelynek több párja van a képhalmazban. e) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. f) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. g) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert van olyan elem az alaphalmazban, amelynek nincs párja a képhalmazban. h) Ez a hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban.. a) b) Az a) hozzárendelés függvény, mert az adatok minden elemének pontosan egy párja van a képhalmazban. A b) hozzárendelés nem függvény, mert van olyan elem az alaphalmazban, amelynek több párja van a képhalmazban. 6

27 FÜGGVÉNYEK 4. x 0 4 f(x) x x x x x x. hx ( ) x. x h(x) gx ( )x. x x x x x x x

28 FÜGGVÉNYEK. x x x a(x) 4 b(x) 0 c(x) c c a b a b 8. x x x f(x) 6 6 h(x) g(x) h g Meredekségük azonos, de a koordinátatengelyeket más-más pontban metszik. f 9. f(x) meredekség:, g(x) meredekség: k(x) meredekség:, l(x) meredekség:. f(x) grafikonja párhuzamos a k(x) grafikonjával. g(x) grafikonja párhuzamos a l(x) grafikonjával., h(x) meredekség:, i(x) meredekség: 6, 8

29 FÜGGVÉNYEK 0.a (x) 4x, a (x) 4x, a (x) 4x,. b (x) x, b (x) x 4, b (x) x, c (x) x, c (x) 4 4 x, c (x) x. 4 x x x f(x) h(x) g(x),, f h g Mindhárom függvény közös pontja (0; +). Mindhárom függvény lineáris, de meredekségük A h(x) függvény nagyobb szöget zár be az x tengellyel. A h(x) függvénynek nagyobb a meredeksége..p a (0; 4), Q a (; ), P b (0; 0), Q b (; ). a P b Q a P a Q b b 9

30 FÜGGVÉNYEK. 4.P a (0; ), Q a (4; ), P b (0; 4), Q b (; 6). a Q a P a P b b Q b. ax x4, bxx, cx, dx x, ex x4, f x x, gx x, hx ax x, bx x, cx, x0,, dx x. P b c Q c a Q a P d P c Q b P a Q d d b 0

31 FÜGGVÉNYEK. a x x, bx x. f b a 8. A B C ;,, 4 D 4 ;, E ;, 0;, ;. C B D g A 9. x 0,,, 4 4 h(x) 4 0 D B Alatta: A, E. Rajta: D, F. A C Fölötte: B, C, G, J, K. h

32 FÜGGVÉNYEK 0. B E g a) A ; 8,, B 0; 4, C ; 4, 8 D ; 0, E;, F0; ; b) A ; 0, B 0; 6, C ; 0, ; 0, 0; 0, ; 0, 0 ;, ;,. ; a a a D ; 0, E 4;, F ; ; a a a c) A B C f f f D E F f f f. a) ax x; b) bx x; c) cx4x; d) dx x; 4 e) exx; f) f x x; g) gxx4; h) hx x4..i, H, I, H, H, H, H.. 60 Dani Pisti A két jármû 9 óra 0 perckor találkozott, a kerékpáros kiindulási helyétõl 0 kilométer távolságban.

33 FÜGGVÉNYEK 4. 0 Máté András 9 0 A két barát 0 óra 40 perckor találkozott, András tett meg hosszabb utat... grafikon: Mindkét gyalogos egyszerre (a 0. órában) indult el. Egymástól 40 km távolságra voltak. 8 óráig tartott az útjuk. Az a gyalogos tartott pihenôt. A pihenô 0 percig tartott. órakor találkoztak az a indulási helyétôl km-re, és a b indulási helyétôl km-re. A sebesség a pihenés után volt nagyobb.. grafikon: Az a gyalogos a 0. órában, a b gyalogos 0 perccel késôbb indult el. óráig tartott az útjuk. A b gyalogos nem tartott pihenôt. A b gyalogosnak nagyobb volt az átlagsebessége. óra 0 perckor találkoztak az indulási helytôl kb. 6 km távolságban. 6.a),,,, 9,,,, ; b), 6, 8,,, 0, 6,, 4; c),,, 4,, 4, 4, 6, 9; d) 0,, 8,, 4,, 48, 6, 80; e),,,,, 6,,,..a), 6, 8, 4, 6, 486; b) 64, 6, 4,, 4, 6, 64 ; c) 6,,, 6, 0, 4, 8; d), 6, 9,,,, 9; e) 0, 0, 6 0, 0, 4 0, 6, 0.

34 FÜGGVÉNYEK 8.a),,,, 8,, 8; b) nem számtani sorozat; c) nem számtani sorozat; d) 0,9,,6,,,,,, 4,4,,; e) nem számtani sorozat; f) 4,, 08, 8, 6, 9, 6; g), 4,, 4, 6 4, 4, 8 4 ; h),,, 4, 9,, 4. 9.a),,,, 9, 4; b) 6. 0.,4,,8, 4,,,6,, 0,6..a, S 40..a 89, S..a 0 4 0, S a 0,6, S 0 8..a 4,, S 4 04,6. 6.a 0, S 0 0..a 0,, S 6 9,. 8.a, S 0. 9.a 9, d, S a 0, d, S A. és a 4. elem átlaga a 0, amely megadja a. elemet. 4

35 FÜGGVÉNYEK 4.a 0, d, a , S A keresett összeg A keresett összeg A keresett összeg A keresett összeg a) A háromszög oldalai cm, cm, cm. b) A megoldások száma 6. 4.A négyszög szögei 9, 60, A körök mentén összesen 4 gyerek állt. 49.A két fiú közül Béla spórol több pénzt, 80 forinttal. A társasjáték 0 forintba kerül. 0.A piramis területe 40, cm.

36 Középpontos tükrözés. A szakaszok egy pontban az origóban metszik egymást. Ez a pont mindhárom szakasz felezô pontja. C B A A'' A' B'' C'' C' B'. F' E e' E' F A' C' B' A' B B' ' C' C A 6

37 KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS. C' B' O A' 4. a) D b) B' B' C D = A' C' A' A B C' A = D' O C D' B c) D = B' C = A' O A = C' B =D' d) Szakasz és tükörképe egyenlô hosszúságú. Szakasz és képe párhuzamos helyzetû. Szög és képe egyenlô nagyságú. Alakzatnak és képének megegyezik a körüljárási iránya.

38 KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS. C x C x A középpárhuzamos bármely pontja lehet C. A feladatnak végtelen sok megoldása van. 6. a) H; b) I; c ) I; d) H; e) I; f) H; g) I.. B =A' C' O cm cm C 4 cm A = B' A két alakzat együttesen téglalapot alkot. D =B' 8. C = A' D =B' C =A' A =C' B = D' A = C' B = D' E =B' D = A' F = C' C =F' A = D' B =E' Mind a három alakzat önmagának a tükörképe. Ezek középpontosan szimetrikus alakzatok. 8

39 KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS 9. a) O x x O O O x x x O x O Ox O x Ox O x b) C A M I E J F B G K N D H L P 0.a) I; b) H; c) I; d) H; e) H; f) I; g) H..a) 4, 8, ; b), 6, 0, 4; c) ; d),,,, 9,,, ; e),..a) H; b) I; c) H; d) I; e) I; f) I.. 4 ; 4 ; 86 ; 94 ; 94 ; 86 ; 94 ; 4 ;

40 KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS. 40

41 Sokszögek. a) centiméter < c < centiméter b), centiméter < c < 8, centiméter ; 9, 46 ;, 40, 6.. A háromszög harmadik szöge 4. Ez a háromszög hegyes szögû egyenlô szárú háromszög. 4. 6, 08..,. 6. 0, 0, 80 vagy 6, 6, 0.. a) Ha egy háromszögnek van két egyenlô oldala, akkor van két egyenlô szöge is. b) Ha egy háromszögnek van két egyenlô szöge, akkor van két egyenlô oldala. c) Ha egy háromszögnek van két egyenlô oldala, akkor az egyenlô szárú háromszög. d) Ha egy háromszögnek van két egyenlô szöge, akkor az egyenlô szárú háromszög. e) Ha egy háromszögnek minden szöge egyenlô, akkor oldalai egyenlô hosszúak. f) Ha egy háromszögnek minden oldala ugyanolyan hosszúságú, akkor szögei egyenlôek. g) Ha egy háromszögnek minden oldala ugyanolyan hosszúságú, akkor az egyenlô oldalú háromszög. h) Ha egy háromszögnek minden szöge egyenlô, akkor az egyenlô oldalú háromszög. i) Bármely háromszögben a leghosszabb oldallal szemközt van a legnagyobb szög. j) Bármely háromszögben a legnagyobb szöggel szemközt van a leghosszabb oldal. 4

42 SOKSZÖGEK 8. b c a 9. A háromszög oldalfelezô merôlegesei egy pontban metszik egymást. A háromszög oldalfelezô merôlegeseinek metszéspontja egyenlô távolságra van a háromszög mindhárom csúcsától ezért ez a pont a háromszög köré írható körének a középpontja. A háromszög csúcsain átmenô kör középpontja: hegyesszögû háromszögnél a háromszög belsejében, derékszögû háromszögnél az átfogó felezôpontján, tompaszögû háromszögnél a háromszögön kívül található. 4

43 SOKSZÖGEK 0. C 4, cm 6 cm A O cm B. A háromszög belsô szögfelezôi egy pontban metszik egymást. A háromszög belsô szögfelezôinek metszéspontja egyenlô távolságra van a háromszög mindhárom oldalegyenesétôl, ezért ez a pont a háromszög beírható körének a középpontja. 4

44 SOKSZÖGEK. C 6, cm O cm A 9 cm B. 6,

45 SOKSZÖGEK A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A háromszög magasságvonalainak metszéspontja a magasságpont, amely a hegyesszögû háromszögnél a háromszög belsejében, derékszögû háromszögnél a derékszögnél, tompaszögû háromszögnél a háromszögön kívül található , 40.. F b F m F a F k F c F l A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A háromszög súlyvonalainak metszéspontja a súlypont. 8. F b F m F a F k F c F l 4

46 SOKSZÖGEK 9. A m a = 4 cm 4 B 6 cm C 0. A cm 4, cm B C. A B' B C.a) T a 0 cm ; b) T b 9,8 dm ; c) T a 0 m ; d) T b 6, cm. 46

47 SOKSZÖGEK. A háromszög egyik oldala 8 cm 4,8 cm cm, cm 4 cm 6 cm A fenti oldalhoz tartozó magasság 6 cm 0 cm 4 cm cm cm 4 cm Állandó terület mellett az egyik oldal hossza és a hozzátartozó magasság között fordított arányosság van. 4.T ABC T ABD Indoklás: A közös oldal az AB szakasz. Mivel ABDC ezért az AB szakasz egyenesének ugyanakkora a távolsága a D és C pontoktól, ezért a két háromszög AB oldalhoz tartozó magassága egyenlô hosszúságú..k = 8 cm, T =, cm. Az átfogóhoz tartozó magasság,6 centiméter. 6.a) a, c, d, f, g, i, j; b) a, e, h, i, j; c) a, d, g, j; d) a, c, d, e, g, h, j; e) j; f) a, c, d, e, g, h, j; g) a, j; h) a, c, e, h, j; i) e, h, j; j) a, c, j; k) e, h, j; l) a, d, g, j; m) a, j; 4

48 SOKSZÖGEK.Az olyan négyszöget, amelynek van párhuzamos oldalpárja, trapéznak nevezzük. A középpontosan szimmetrikus négyszögeket paralelogrammának nevezzük. A húrtrapézok olyan négyszögek, amelyeknek a szimmetria tengelyük oldalfelezô pontokon halad keresztül. A deltoidoknak van csúcsokon áthaladó szimmetria tengelyük. Minden négyzet deltoid (paralelogramma). Minden rombusz paralelogramma (trapéz). Van olyan paralelogramma, amely rombusz. A téglalap egyenlõ szögû paralelogramma. A négyzet átlói merõlegesek egymásra, és egyenlõ hosszúak. 8.I, I, H, H, I, I, I, H, H, H, I. 9.,, ; 6,, 6, ;, 64, 6. 0.a), ; b) 9, 66, 4, 4 ; c) 0, 0, 0, 0 ; d) 0, 0, 0, 0.. D C m a A a B.Nincs megoldás. 48

49 SOKSZÖGEK.Szerkesztés menete:. ABC háromszög megszerkesztése ( cm; cm; cm) oldalakkal.. C középpontú cm sugarú körív rajzolása.. A középpontú cm sugarú körív rajzolása. 4. A körívek metszéspontja a D csúcs. D C cm A cm a B 4.Szerkesztés menete:. Két, egymástól 4 cm távolságra lévô párhuzamos egyenes szerkesztése (e; f).. Az f egyenes tetszôleges pontja A csúcs.. A pontba -os szög szerkesztése. 4. A szögszár és az e egyenes metszéspontja a D csúcs és ezzel adott lesz az AD szakasz hoszsza.. D középpontú AD sugarú körív és e metszéspontja a C csúcs. D C e A B f 49

50 SOKSZÖGEK.Szerkesztés menete:. e és f egymással párhuzamos, egymástól cm távolságban lévô egyenespár szerkesztése.. A pont f egyenes egyik pontja.. A pontra 60 -os szög szerkesztése. 4. A szögszár és e metszéspontja a D csúcs.. B középpontú, 4 cm sugarú körív és e metszéspontja a C csúcs. D C e A B f 6.Szerkesztés menete:. AED háromszög szerkesztése (4 cm, 4 cm, cm).. AE meghosszabbítása E-n túl, amelyen cm távolságban B csúcs kijelölése.. D csúcson át párhuzamos szerkesztése az AB szakasszal (f). 4. B középpontú, 4 cm sugarú körív és f metszéspontja a C csúcs. D a C e k A E c B f a c A középvonal hossza: cm. k.a) 4 cm ; b) dm ; c) 0,06 m ; d) 6, dm. 8.a) K cm; b) m a 4 cm, m b cm. 9.a) a cm, b 6 cm; b) K 6 cm. 0

51 SOKSZÖGEK 40.a) T a, cm ; b) T b 6, dm ; c) T c 9, cm. 4. a c m T cm 8 cm 4 cm 4 cm 9,6 cm 4 mm,6 cm cm 6,4 dm 4,6 dm,4 dm, dm 4.T ADFG 4 cm ; T DBEF 9 cm ; T GEC cm. 4.a) 800 ; b) 0 ; c) 0 ; d) a) 40 ; b) 6 ; c) 4 ; d) a) 40 ; b) 8 ; c) 6 ; d) a) 8; b) ; c) 0; d) 4. 4.a) ; b) 0 ; c) 4; d) a) 9; b) ; c) a) 9; b) ; c) ; d). 0.T BDKH 40 cm ; T ABHG 4 cm ; T BCD, cm ; T ABCDEFG 0, cm..t ABFE 4 cm ; T FCDE cm ; T BCF cm ; T ABCD cm.

52 A kör. körvonal szelõ sugár körív középpont érintõ egyenes átmérõ húr körcikk körszelet. e A e O e O O B E külsõ egyenes érintõ egyenes szelõ egyenes. Az érintési pontba húzott sugár és az érintô egyenes mindig merôleges helyzetû. 4. h < h, i < i, h h, i i. Egyenlõ sugarú körökben nagyobb középponti szöghöz hosszabb húrok és hosszabb ívek tartoznak. Egyenlõ sugarú körökben egyenlõ középponti szöghöz egyenlô hosszúságú húrok és egyenlô hosszúságú ívek tartoznak.

53 A KÖR. A húr felezõ merõlegese áthalad a kör középpontján. Egy kör két, egymással nem párhuzamos húrjainak felezõ merõlegesei meghatározzák a kör középpontját. 6. O. a),4 cm; b) 8,6 mm; c), dm; d) 4, m. 8. a) 8 cm; b), dm; c) 0, m; d) 0,6. 9. a),86 cm ; b) 0,696 mm ; c) 0,68 dm ; d),0096 m. 0.a) cm; b) 8 dm; c) 0, m; d) kb. 0, cm..kati kerékpárjának a kereke a, kilométeres úton 06 fordulatot tesz..k kicsi 6, T kicsi 9, K nagy 4, T nagy 49, K körgyûrû 0 = 6,8 cm, T körgyûrû 40 =,6 cm.

54 A KÖR.K körgyûrû 40 =,6 cm; T körgyûrû 80 =, cm. 4.Az üveghulladék területe cm..a) A körív hossza,66. cm, K körcikk, 66. cm; b) A körív hossza 4, cm, K körcikk 6, cm. 6.a) T,49. cm ; b) T 88,4 cm..a) r 6 cm; b) K kör =,68 cm; c) T hulladék 0,96 cm ; A négyzetlap, százaléka lett hulladék. 8.a) K 9,6 cm; b) T hulladék,86 cm ; A körlap kb. 6, százaléka lett hulladék. 9.a) T szürke, cm ; b) T szürke, cm ; c) T szürke 60, cm. 0.T szürke 4 cm..t szürke 0,4 cm. 4

55 Hasábok, hengerek. Egyenes hasáb: Az oldalélek merôlegesek az alaplap síkjára. oldalél testmagasság Ferde hasáb: Az oldalélek nem merôlegesek az alaplap síkjára. oldalél > testmagasság. A hasáb alaplapja Csúcsok száma (c) Élek száma (e) Lapok száma (l) háromszög 6 9 négyszög 8 6 ötszög 0 hatszög 8 8 nyolcszög tízszög 0 0 c l > e c l e. a) Nyolcszög; b) hatszög; c) kilencszög. 4. a) 4; b) 0; c) ; d) hatszög, 6.. A kocka éle 6 centiméter cm,8 dm, 0,4 cm 04 mm,, dm 0,0 m, 600 cm,6 m, 0,4 m 0,00004 km, 4 km 400 ha, cm 0,0 m, 8900 m 0,89 ha, 4 cm mm, 4 m 80 dm.

56 HASÁBOK, HENGEREK. A 44 cm. 8. A 80 cm. 9. A 46 cm. 0.A 9 cm.. cm = 0,0 dm, 0,04 cm = 40 mm,,9 dm = 0,09 m, 6 00 cm = 0,06 m,,4 m = 400 liter, 4, dm = 4 00 cm, liter = dm, 8900 cm = 8,9 liter, cm = 600 mm, 8 m = 6 dm..v 4,8 dm 4,8 liter..a) V 48 cm ; b) Ha részéig töltjük 0,488 dl víz lesz benne. 4.V 60 cm. 6

57 HASÁBOK, HENGEREK.a) V cm ; b) A kiásott föld tömege 4 tonna. 6.A keletkezett doboz térfogata 4 cm..a töltés 4 m földet tartalmaz. 8.A 840 cm ; V 00 cm. 9.a) A 0,44 cm, V 40,9 cm ; b) A 9,8 dm, V 69, dm. 0.A fazékba,86 liter víz fér..a 904, cm, V 04, cm..a kifúrt test 96, cm, V kifúrt test 68,6 cm..a) r 0 cm, m 6 cm, A 004,8 cm, V 884 cm ; b) A 60,88 cm, V 0,4 cm ; c) A 4,4 cm, V 4 cm. 4.a) A tartály magassága 4 m. b) A lefestett felület nagysága 0,6 cm..a fahulladék térfogata,6 dm. 6.A doboz magassága, cm..a két edény megtöltéséhez 8,06 deciliter vízre volt szükség.

58 HASÁBOK, HENGEREK 8.A test 98 cm, V test cm. Felülnézet: Elölnézet: Oldalnézet: 9.A test 600 cm, V test 0 cm. Felülnézet: Elölnézet: Oldalnézet: 8

59 Év végi tudáspróba. a) ; b). 6. feladatsor. a) Összesen 80 köbméter földet termeltek ki. b) A föld elszállításához a teherautó 80 fordult.. a) x = ; b) x =. 4. A keresett szám 80.. gx 4 x. f g 6. = 6, = ; = 44, = 6 ; = 69, =.. A magasságot 0%-kal kell változtatni, hogy a paralelogramma területe ne változzon. 9

60 ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA 8. Szerkesztés menete:. A 8 cm-es AB szakasz felvétele.. A pontba 60 -os szög szerkesztése.. AB szakasszal párhuzamos (f) szerkesztése cm távolságra. 4. A szögszár és f metszéspontja D.. B középpontú, 4 cm sugarú körív és f metszéspontja C és C. A feladatnak megoldása van. D C C m b b A a a B 9. ( ; ), [ ; ] 00, 4, A sokszög kilenc oldalú, egy belsô szöge 40 -os. 60

61 ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA 4. a) 000; b).. feladatsor. A nagyobb szám 0,.. a) x = ; b) x A keresett számok 8 és 86.. gx x. f g 6. a) Az akvárium elkészítéséhez 40 cm üveget használtak fel. b) Az akváriumban az adott feltétel mellett,6 liter víz van.. A embernek az adott feltételek mellett 9 napig tart a búza aratása. 6

62 ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA 8. K 0 cm, T 8 cm. D C m b A a B 9. A háromszög belsô szögei 8, 60, 9. 0.K körcikk,46 cm, T körcikk 66,986 cm. 6

63 ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA. feladatsor. a b a + b a b a b a : b ,6,88,6 4, T 9 cm.. xy xy. 4. Az üzemnek összesen 400 dolgozója van.. a) y = ; b) x a) A szabályos sokszögnek 4 oldala van. b) A szabályos sokszög összes átlóinak száma. c) A szabályos sokszög egy-egy belsô szöge 4.. a(x) x 4, b(x) x. b a 6

64 ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA 8. Szerkesztés menete:. Az ABC háromszög megszerkesztése.. C ponton át párhuzamos egyenes szerkesztése az AB szakasszal.. C középpontú cm sugarú körív és a párhuzamos metszéstengelye D. D C A B 9. V 60 cm. A test tömege 9 gramm. 0.Kati most 0 éves. 64