Ábrázoló geometria ELTE

Átírás

1 Ábrázoló geometria ELTE 1

2 Tartalomjegyzék 1. A Monge-féle ábrázolás A 3. vetület el állítása Egyenes ábrázolása Sík ábrázolása Metszések szerkesztése Új vetületek el állítása Kollineációk Tengelyes anitás Centrális-axiális kollineáció Gúlák és hasábok metszetei, áthatása Egyenessel vett metszetek Síkkal vett metszet Gúlák, hasábok áthatása Méretfeladatok Hasáb és gúla kiterítése Axonometria

3 Az árázoló geometria tárgya tágan értelmezve a 3D-s tárgyakról készül 2D-s ábrázolás, illetve a 2D-s rajzokból a 3D-s objektumok rekonstruálása. E téma ismerete el segíti a 3 dimenziós képalkotási képességünk fejl dését és gyakorlati alkalmazások szempontjából is igen hasznos, mivel az objektumok megjelenítése, dokumentálása 2 dimenzióban történik (monitor, nyomtatott rajz). E jegyzet célja, hogy az el adás anyagát tömören összefoglalja. Ha megértjük a szerkesztések elvét és végig tudjuk követni az ábrákon az csalóka lehet. Az anyag biztos elsajátításához er sen ajánlott, hogy saját magunk is megszerkesszük kés bb a példákat a jegyzet segítsége nélkül. A jegyzet Dr. Zigány Ferenc Ábrázoló geometria c. tankönyvének tematikáját, és feladatait követi. 1. A Monge-féle ábrázolás Tekintsünk egy Descartes-féle derékszög koordináta rendszert és ebben egy P pontot, továbbá az xy, yz, xz koordináta síkokat. (1. ábra) 1. ábra. 1. ábra A P pont mer leges vetülete az xy síkra P, az xz síkra vett vetülete P és az yz síkra P. Ha a P, P, P pontokban a megfelel koordináta síkokra mer leges egyeneseket állítunk, akkor azok a P pontban metszik egymást. (1. ábra) Azaz a vetületek ismeretében a P pont rekonstruálható. Elég azonban csupán két vetületi pontot ismerni (pl. P, P ), hiszen már ezekb l is visszakaphatjuk P -t. Kicsit általánosabban, ha K 1, K 2 két egymásra mer leges sík és a P pont mer leges vetülete ezekre P, P, akkor ezekb l a vetületekb l is el állítható P. Azaz egy pontokból álló alakzatot a pontok K 1, K 2 síkokra vett mer leges vetületeinek ismeretében rekonstruálhatunk. Mivel minket csupán maga az alakzat érdekel és 3

4 nem a koordinátarendszerbeli pontos helye, ezért nem érdekes a K 1, K 2 egymásra mer leges síkok térbeli pontos helye. (Képzelhetjük azt is, hogy ezek az xy, xz koordináta síkok.). Még egy lépés van hátra, a K 1, K 2 síkok egyesítése. Ez alatt azt értjük, hogy nem szeretnénk a két vetületet külön külön rajzsíkon (rajzlapon) kezelni, hanem egy síkban szerenénk mind a két vetületet ábrázolni. Kés bb látni fogjuk, hogy ez igen hasznos lesz. Az egyesítés a következ módon történik. A két sík 4 részre osztja a teret, ezek közül tetsz legesen kijelölünk egyet melyet I jelöl. A K 1, K 2 síkoknak az I térrésszel közös félsíkjait nevezzük a K 1 +, K+ 2 pozitív félsíkoknak, míg a másik részek a K1, K def 2 negatív félsíkok (2. ábra). Az x 12 = K 1 K 2 metszésvonal körül beforgatjuk K 2 síkot K 1 -be úgy, hogy a K 2 + félsík a K1 félsíkra kerüljön (2. ábra). Így kapjuk meg a K 2 síkon lév vetületi pontok K 1 -en ábrázolandó képét. Figyeljük meg, hogy a konstrukció miatt a 2. ábrán azonosan jelölt térbeli szakaszok azonos hosszúságúak, továbbá, hogy a P P szakasz, mindig mer leges az x 12 metszésvonalra. 2. ábra. 2. ábra A K + 2 nálunk mindig az x 12 fölötti félsík és K + 1 az x 12 alatti félsík, ezt nem jelöljük külön az ábráinkon ezentúl. 1. Exercise. A 3. ábrán ábrázolt pontok hová esnek? (Melyik térnegyedbe, azaz pl. a K + 1, K 2 által határolt térnegyedbe.) Az el z feladatban az M pont a K 2 síkon van, mivel M x 12 (s t M x 12 M K 2 ), illetve hasonlóan N x 12 miatt N a K 1 síkonhelyezkedik el (és szintén N x 12 N K 1 ). Mivel ilyen speciális helyzet pontok a kés bbiekben fontosak lesznek és gyakran el fordulnak, ezért ezt jegyezzük meg! 1.1. A 3. vetület el állítása Miel tt rátérnénk az egyenesek síkok ábrázolására, ismerjünk meg speciális vetületet, melyr l kés bb általánosabban is szó lesz. Legyenek a K 1, K 2, K 3 egymásra páronként mer leges síkok. (4. ábra) Tegyük fel, hogy a K 1, K 2 síkok által határolt térnegyedb l, azt választjuk a fentebb I-gyel jelöltnek melyben P van, ekkor a 4. ábra alapján kell a K 2 síkot (és a benne lév vetületi pontokat) K 1 -be leforgatni. Mivel K 1, K 3 is két egymásra mer leges sík, így ezekre is alkalmazhatjuk a korábban leírt Monge-féle ábrázolást. Ha a K 1, K 3 által meghatározott négy térrész közül azt választjuk a kijelöltnek, mely P -t tartalmazza, akkor 4. ábra szerint kell a K 3 síkot (és a benne lév vetületeket) leforgatni K 1 -be. A 4. ábra 4

5 3. ábra. 3. ábra 4. ábra. 4. ábra 5

6 jobb oldalán egyszerre ábrázoljuk A K 1, K 2 rendszerhez tartozó x 12 tengelyt és a P, P vetületeket, illetve a K 1, K 3 rendszerhez tartozó x 13 tengelyt és P, P vetületeket. Ahogy azt a 4. árbra bal oldalán jelöltük a P pont x 12 -t l mért el jeles távolsága megegyezik a P pont x 13 -tól mért el jeles távolságával. El jeles távolság alatt azt értjük, hogy ha a P pont K 2 + -ban van akkor pozitív el jel a távolság, ha P pont K2 -ban van, akkor negatív el jel ez a távolság. Hasonlóan P és x 13 el jeles távolság akkor pozitív (ill. negatív), ha P a K 3 + (ill. K3 -ban) van. Fontos, hogy a K 1, K 2 ill. K 1, K 3 rendszerekben úgy válasszunk kijelölt térrészt (vagy ami ezzel ekvivalens pozitív félsíkokat), hogy K 1 sík azonos oldalára (azonos féltérbe) essen K 2 + és K 3 +. Ez azért kell, mert ha azt a K 1 sík által határolt félteret nevezzük pozitívnak, amibe K 2 + ill. K 3 + van, és a másikat negativnak, és a P pont el jeles K 1 -t l vett távolságát tekintjük (ahol az el jel a szerint + vagy, hogy P a pozitív vagy negatív féltérbe esik), akkor a következ teljesül: 1. A P pont K 1 -t l vett el jeles távolsága = P pont x 12 -t l vett el jeles távolságával = P pont x 13 -tól vett el jeles távolságával. 2. Amit tudunk még, hogy P P egyenes mer leges x 12 -re ill. P P mer leges x 13 -ra. A fenti két megjegyzés alapján P, P, x 12, x 13 ismeretében P szerkeszthet a következ alapján 1. mer legest állítunk P -b l x 13 -ra (jelölje ezt a mer legest h) 2. a h x 13 pontból a h-ra felmérjük a P pont x 12 -t l vett el jeles távolságát. (A h-nak az az oldala a pozitív rész mely a K 3 + -ban halad, illetve a P pont x 12 -t l mért távolsága csak akkor pozitív, ha P a K 2 + félsíkban van.) Vegyük észre, hogy a fenti okoskodásnál nem használtuk ki, hogy K 2 mer leges K 3 -ra, ezért e nélkül is igaz minden amit az el bb állítottunk. (5. ábra) 5. ábra. 5. ábra 2. Exercise. A 3. ábrán vagyünk fel egy tetsz leges x 13 tengelyt, ennek egyik oldalát jelöljük ki K + 3 -nak és ábrázoljuk a pontok 3. vetületeit a fentiek alapján. 6

7 1.2. Egyenes ábrázolása Egy egyenes mer leges vetülete egy síkra egyenes, kivéve, ha az egyenes mer leges volt a síkra, hiszen ekkor a vetület egyetlen pont (a döfés pont). Egy általános helyzet e egyenes metszi a K 1, K 2 síkokat, def def N 1 = K 1 e, N 2 = K 2 e. Az N 1, N 2 pontokat az egyenesek nyompontjainak nevezzük. Az els feladatnál tett megjegyzésünkkel összhangban N 1 K 1 N 1 x 12 (illetve N 2 K 2 N 2 x 12 ), mivel N 1 e (illetve N 2 e ), így N 1 = x 12 e (illetve N 2 = x 12 e ) ahogy az a 6. ábrán is látszik. Vigyázat a -b l jön 1 index, és a -b l a 2 index. 6. ábra. 6. ábra Ha e mer leges pl. K 1 -re, akkor e egyenes lesz, de e = K 1 e egy pontot (döfés pont) fog jelölni. Ha e nem mer leges K 1, K 2 egyikére sem, de mer leges x 12 -re, akkor e = e egy x 12 -re mer leges egyenes. Az ilyen egyenesnek meg kell adni két pontját, hogy egyértelm legyen (7. ábra). 7. ábra. 7. ábra Ha e párhuzamos valamelyik képsíkkal (pl. K 1 -gyel), akkor e párhuzamos x 12 -vel, és nem létezik az N 1 nyompont. (Ha mind kett vel párhuzamos, akkor N 1, N 2 is hiányzik. 7

8 3. Exercise. Adott egy e egyenes a vetületeivel, és egy P e pont egyik vetülete (pl. P ) szerkesszük meg a másik (P ) vetületet. A feladatot akkor nehéz megoldani, ha P P e = (itt P P a P -b l x 12 -re bocsájtott mer leges egyenes, mivel P P P és P e ezért általában P P e = {P }). Azaz ha e x 12 (ekkor az egyenes két pontjával van adva 7. ábra) bajban vagyunk. Ha a 1.1 alapján el állítjuk a 3. vetülete (ahol K 3 legyen mer leges K 1, K 2 mindegyikére, azaz x 13 x 12 ), akkor e nem fog egybeesni e = e -vel, ezen P szerkeszthet, majd, 1.1 alapján P is (8. ábra). 8. ábra. 8. ábra Még egy hasznos megjegyzés: párhuzamos egyenesek (adott síkra vett mer leges) vetületei párthozamosak Sík ábrázolása Egy S síkot megadhaunk: két metsz egyenespárral; egy egyenesével és egy pontjával; három nem kollineáris pontjával. 8

9 Az utolsó kett megadási mód visszavezethet az els re, hiszen az egyenes egy tetsz leges P pontját véve (pl. a P e vetületi pont tetsz leges, ami P -t már meghatározza mint fent 1.2 feladatánál láttuk) és ezt összekötve az adott A pontal. egy új az S síkban lév f egyenest kapunk (nyilván f = P A, f = P A ). Míg három pont esetén az összeköt egyenesek három a síkban lév egyenest határoznak meg. Így tehát feltehet, hogy sík mindig két metsz egyenesével van adva. Jegyezzük meg, hogy ha a, b S, akkor P def = a b vetületei P = a b, P = a b, és így P P x 12. def def Az S síkban két kitüntetett egyenes van n 1 = S K 1, n 2 = S K 2, melyeket az S sík nyomvonalainak nevezünk. (Ha pl. S K 1, akkor természetesen n 1 nem létezik.) 4. Exercise. Határozzuk meg az S sík nyomvonalait, ha a, b S egyenesek vetületei adottak. Mivel N1 a def = a K 1, N1 b def = b K 1 nyompontok, mind a K 1 mindpedig az S síknak elemei ezért N1 an 1 b = K 1 S = n 1. Hasonlóan, ha N2 a def = a K 2, N2 b def = b K 2, akkor N2 an 2 b = K 2 S = n 2. Az 1.2 alapján a nyompontokat meg tudjuk szerkeszteni, így a megfelel eket összekötve (9. ábra) megkapjuk a nyomvonalak képeit (azaz N1 a N 1 b = n 1, N1 a N 1 b = n 1, N2 a N 2 b = n 2, N2 a N 2 b = n 2, mivel N1 a, N1 b, N2 a, N2 b x 12 ezért n 1 = n 2 = x 12 kivéve, ha pl. n 1 x 12 n 1 egy pont x 12 -n). Vegyük észre, hogy n 1 n 2 = K 1 K 2 S, azaz a nyomvonalak x 12 -n metszik egymást (kivéve, ha x 12 S és ekkor n 1 n 2 x 12 ). Szerkesztéseknél hasznosak az úgynevezett f vonalai az S síknak. Ezek azon az S síkban futó egyenesek, melyeket S-b l K 1 -gyel (vagy K 2 -vel) párhuzamos síkok metszenek ki. Mivel egy adott síkból párhuzamos síkok párhuzamosegyenesekt metszenek ki, ezért a f vonalak azok az S-beli egyenesek, melyek az n 1, n 2 nyomvonalak valamelyikével párhuzamosak. A 10. ábráról jól látszik, hogy ha pl. v egy f vonal, mely párhuzamos n 1 -vel, akkor vetülete v n 1 illetve v n 1 x 12. Err l az ábráról az is leolvasható, hogy ha a v f vonal egy vetülete adott, pl. v akkor a másik képe úgy szerkeszthet, hogy v x 12 -ben mer legest állítunk x 12 -re, ahol ez az egyenes elmetszi n 2-t (ábrán Q ), azon ponton átmen x 12 -vel párhuzamos egyenes lesz v. Hasonlóan, ha v adott (10. ábrán ez P Q ), akkor v n 2 pontban mer legeset állítunk x 12 -re, ahol ez az egyenes elmetszi x 12 -t, abban a pontban n 1-vel párhuzamos egyenes lesz v. Az ábran piros, kék színekkel jelöltük a különböz f vonalakat és vetületeiket. 5. Exercise. Adott az S sík nyomvonalaival és egy P S pont P vetülete. Szerkesszük meg P -t! A fentiek alapján (10. ábra) ha P -n át veszünk egy K 1 -gyel párhuzamos L síkot, akkor v def = L S egy n 1 -vel párhuzamos f vonal lesz. Mivel v n 1 v n 1, továbbá P v P v azaz v a P -n átmen n 1-vel párhuzamos egyenes. A fentiek alapján v szerkeszthet. Ahol a P -ben x 12 -re állított mer leges elmetszi v -t az lesz P. Fontos, hogy a 10. ábra minden részletét megértsük, mivel a fentihez hasonló szerkesztések segítségével, sokszor könnyen, gyorsan kaphatunk eredményt. 6. Exercise. Adott az S sík nyomvonalaival, és egy e S egyenes e vetülete. Szerkesszük meg e -t. Ezt visszavezethetjük az el z feladatra, veszünk két pontot e-n tetsz legesen, pontosabban e -n veszünk fel két tetsz leges A, B pontot és ha megkeressük azt az A, B-t ami a síkon van, az szükségszar en e-n is rajta lesz. Azaz az el z feladat alapján megszerkesztetjük A, B -t és A B = e. Egyszer bb aszerkesztés, ha speciális pontok vetületi képeit vesszük, e nyompontjaiét (11. ábra). Gondoljuk meg, hogy az e n 1 pont n 1 = n 1 miatt rajta van K 1 S-en azaz ez az a pont, ahol e-nek döfnie kell K 1 -et, azaz ez a pont N 1 = N 1. Tudjuk, hogy N 2 = e x 12, Mivel N 2 = e K 2 S N 2 n 2 = K 2 S azaz N 2 n 2 = n 2, így a 11. ábra alpján N 1, N 2 könnyen adódik, melyek e -t meghatározzák. 7. Exercise. Az S síkban lév ABCDE ötszög pontjainak adott a K 1 síkra vett vetületei, és A, B, C. Szerkesszük meg az D, E pontokat! 9

10 9. ábra. 9. ábra 10

11 10. ábra. 10. ábra 11. ábra. 11. ábra 11

12 A 12. ábrán látható módon el ször P def = AC BD metszéspontját szerkesztjük meg, hiszen P = A C B D másrészt P rajta van A C egyenesen, és a P -n átmen x 12 -re mer leges egyenesen is. Hasonlóan D rajta van a D -n átmen x 12 -re mer leges egyenesen, és a B P egyenesen is. Ez a szerkesztés gyorsabb, mintha a sík nyomvonalait szerkesztettük volna meg, majd az ismert eljárással D, E pontokból a D, E képeket. Gyakran a feladat átgondolása egyszer bb szerkesztést tesz lehet vé, mint az alapszerkesztések gépies alkalmazása. 12. ábra. 12. ábra Térjünk vissza arra az 3 feladat azon esetére, amikor az e = e x 12. A 13. ábrán egy másik szerkesztési megoldást látunk. Felvettünk egy tetsz leges P pontot (vetületeivel) és tekintettük a P A, P B egyenesek által meghatározott síkot (ebben lesz nyilván e is). A C ponton át vettünk egy tetsz leges egyenest f, majd megszerkesztettük ennek f képét úgy, hogy f a P AB síkban legyen. Ekkor nyilván C f, ezért C f, mivel C e C = e f. Ez a példa azt mutatja, hogy érdemes néha új síkot felvenni, mely egy adott egyenest tartalmaz, mert ez megkönnyítheti a feladat megoldását (erre még a metszési részben is látunk majd példát). 8. Exercise. Adott az S sík n 1, n 2 nyomvonalaival és egy P / S pont. Szerkesszük meg annak a síknak a nyomvonalait, mely S-sel párhuzamos és tartalmazza P -t. Ha két sík párhuzamos, akkor a nyomvonalaik is párhuzamosak. A kérdés tehát az, hogy hova toljuk el az n 1, n 2 nyomvonalakat. Jelölje S a keresett síkot Vegyük a P -n átmen K 2 -vel párhuzamos sík és S metszésvonalát f-et (f tehát a P -n átmen n 2 -vel párhuzamos f vonal). Mivel f n 2 f n 2 = x 12 és f n 2, mivel P f ezért f, f def ábrázolható (14. ábra). Ekkor az N 1 = f K 1 nyompont ábrázolható a 1.2 rész alapján. Mivel N 1 f S és N 1 K 1 ezért N 1 a keresett S sík ñ 1 nyomvonalán van (azaz N 1 -en át kell n 1 -gyel párhuzamosat húzni 14. ábra). Mivel a nyomvonalak x 12 ben metszik egymást ñ 2 is megkapható (14.ábra). 9. Exercise. Adott két egyenes a, b. Adjuk meg a b-n átmen a-val párhuzamos sík nyomvonalait! 12

13 13. ábra. 13. ábra 13

14 14. ábra. 14. ábra 14

15 Vegyük a b egy tetsz leges pontját (pl. az egyik N 1 nyompontot) és vegyük az ezen átmen a-val párhuzamos egyenest (azaz N 1-n át párhuzamosaz húzunk a -vel és N 1 -n át páruzamosat húzunk a -vel) Metszések szerkesztése Az el z ekben megtanultuk az alapvet térelemek ábrázolását, nézzük most hogyan szerkeszhet meg két sík metszésvonala, illetve sík és egyenes döféspontja. 10. Exercise. Adottak az S, M síkok nyomvonalaival (s 1, s 2, m 1, m 2 ). Szerkesszünk meg az f def = S M metszésvonalat Mivel P def = s 1 m 1 S M és Q def = s 2 m 2 S M ezért P Q lesz az f metszésvonal. (nyilván P = s 1 m 1 és P a P -b l x 12 -re bocsájtott mer leges és x 12 metszépontja. Hasonlóan Q = s 2 m 2 és Q a Q -b l x 12 -re bcsájtott egyenes és x 12 metszéspontja. Hogyan szerkesszünk, ha P vagy Q túl messze esik (nincs a rajzlapon)? A 15. ábrán P, P megvan, de Q, Q nincs (pl. s 2 m 2 esetén is ez a helyzet). Legyen T sík K 1 -gyel párhuzamos. Ekkor a t 1 nyomvonal nem létezik, és t 2 x 12 (ezt tetsz legesen vettük fel a 15. ábrán). Mivel T K 1 ezért minden T -beli egyenes vetülete K 2 -re t -vel fog megegyezni. Azaz ha l def = S T, k def = M T, akkor l = t = k. Mivel l, k f vonalak el állításuk miatt, így l s 2, k m 2. A 10. ábra alpján ekkor l, k szerkeszthet (pl. l -höz l s 2 metszéspont talppontját vesszük x 12 -n, és ezen át párhuzamosat húzunk s 1-vel). Mivel R def = l k S T M ezért R a keresett f metszésvonalon van (R szerkeszthet, mert l, k ismert 15. ábra). Azaz f = P R. 15. ábra. 15. ábra 15

16 11. Exercise. Adott az S sík és az e egyenes. Szerkesszük meg a P def = e S metszéspontot. A feladat visszavezethet két sík metszésvonalára. Vegyük azt a K 1 -re mer leges síkot, mely e-t tartalmazza, jelölja ezt B (16. ábra). A 16. ábrán vastagok a K 1, K 2, S, B síkok látható élei, illetve a látható metszésvonalak, N 1, N 2 pedig az e egyenes nyompontjai. Ha m def = B S, akkor m e = P. A 17. ábrán követhetjük nyomon a szerkesztés lépéseit. Mivel B K 1, így minden B-beli egyenes vetülete e -vel esik egybe, azaz m = e. Ha a 16. ábrán meghosszabítjuk s 1, m egyeneseket, akkor azok e -ben metszik egymást (hiszen e = B K 1, s 1 = S K 1, m = S B azaz a három metszésvonal m, e, s 1 metszete a def három sík M 1 = S B K 1 közös pontja). Ezért M 1 = s 1 e, L x 12 miatt M képei szerkeszhet ek. Fontos megjegyezni, hogy M 1 az m egyenes egyik myompontja. A másik K 2 sikkal vett nyompontját is megszerkeszthetjük m-nek, ami épp S és B síkok s 2, b 2 nyomvonalainak metszete. Ehhez csak b 2 és s 2 kell. A 16. ábráról látszik, hogy e x 12 -ben kell x 12 -re mer legest állítani, hogy b 2-t megkapjuk. Ekkor pedig m = M 1 M 2, azaz m = M 1 M 2. Ekkor a tanult módon kapható e m = P (azaz P = m e amit felvetítve e -re adódik P ). A fentiek alapján akövetkez feladat is megoldható. 12. Exercise. Adott két térbeli hárömszög, szerkesszük meg ezek áthatását! (A szakaszt, ahol metszik egymást.) Tekintsük a 18. ábrát, és alkalmazzuk az el z feladatot. El ször megkeressük az AC egyenes DEF síkkal vett döféspontját. Ehhez olyan S síkot vettünk, ami mer leges K 1 -re és tartalmazza az AC egyenest. Ez a sík DF egyenest G, az EF egyenest a H pontban metszi, azaz GH a metszésvonala S-nek és DEF síkjának. Mivel G az DF szakaszra esik és H az EF szakaszra ezért a GH szakasz lesz az S sík által kimetszett rész a DEF háromszögb l. Ha az AC szakasz dö DEF háromszöget, akkor az csak GH AC lehet (ezt az M pontot az ábrán meg is szerkesztettük). Megszerkesztjük ez után DE szakasz döféspontját is hasonlóan, de a gyakorlás kedvéért, most a DE egyenest tartalmazó, de K 2 -re mer lege L síkot vesszük. Az L sík AC szakaszt a J, a BC szakaszt az I pontban metszi. Azaz IJ szakasz lesz az L sík és az ABC metszésvonala. Ennek a metszésvonalnak DE-vel vett metszete az az N pont, ahol DE dö az ABC háromszöget. Mivel két háromszög egy szakaszban (vagy sehol sem) metszi egymást, ezért az MN egyenes aon pontjai tartoznak a metszésvonalhoz, melyek mind a két háromszöghöz hozzátartoznak, ez épp az M N szakasz (egy pont a háromszög síkjában, akkor van a háromszög tartományban, ha mind két vetülete a háromszögtartomány megfelel vetületeiben van. Az ábrán a láthatóságot is ábrázoltuk aszerint, hogy nagyon magasról a K 1 pozitív oldalán (a K 1 -re vett vetületeknél), illetve nagyon oldalról a K 2 pozitív oldalán (a K 2 vetületre nézve) mi látható (kis ábra a 17. ábra jobb sarkában). Az biztos, hogy az A, B, C, F pontok láthatóak és a bel lük kiinduló élek is egy darabig, amíg nem kerülnek a egy másik alakzat alá, vagy nem döfnek egy másik alakzatot. A D, E pontoknál a K 2 -re vett vetületekb l látszik, hogy D az ABC alatt, míg E felette van (nehezen eldönthet esetekben, vegyük pl. a D ponton átmen K 1 -re mer leges egyenest és ennek az ABC vett X metszépontját, ha X a D alatt van, akkor D az ABC felett, míg, ha metszéspont X képe D felett van, akkor D az ABC alatt van.). Mivel D az ABC alatt van és E felette, továbbá N a döféspont, így DN szakasz alul, NE felül van. Hasonlóan D alul F felül van, ezért DG alul GF felül van. A másik vetületnél is hasonló okoskodásból jön a láthatóság.!!spec esetek!! Mivel a poliéderek háromszöglapokból épülnek fel (a sokszöglap háromszögelhet ek), így két poliéder áthatását is meg tudjuk szerkeszteni. S t poliéderekkel aproximálva tetsz leges térbeli testek áthatását is megtudjuk szerkeszteni (pontosabban approximálható). Az általános testeknél persze ez igen sok szerkesztéssel jár (erre való a számítógép), ezért mi maradjunk az egyszer bb testeknél. 16

17 16. ábra. 16. ábra 17

18 17. ábra. 17. ábra 18

19 18. ábra. 18. ábra 19

20 1.5. Új vetületek el állítása Térjünk most vissza a 1.1 pontban megismert technikára, és nézzük meg, hogyan transzformálódnak, az egyes térelemek (persze mondhatnánk, hogy pontokkal megadható az egyenes (2db) és a sík is (3db), tehát elég ezeket transzformálni és ezeket tudjuk, de érdemes a nyompontok, nyomvonalak transzformációját megnézni). 13. Exercise. Adott az e egyenes, és egy K 3 sík, mely mer leges K 1 -re (x 13 def = K 1 K 3 ). Szerkeszzük meg e vetületét K 3 -ra! A 19. ábrán látható, hogy az N 1, N 2 nyompontok K 3 ra vett vetületeit szerkesztettük meg, melyek e -t adják szekesztettük meg. Ha a két nyompont egybeesik (e metszi x 12 -t), akkor egy másik e-n lávó pontot kell választanunk még, pl. e K 3 -at. 19. ábra. 19. ábra 14. Exercise. Adott egy S sík a nyomvonalaival, és egy K 3 K 1 sík. Szerkesszük meg az S sík K 1, K 3 rendszerhez tartozó nyomvonalait! Nyilván s 1 = S K 1 egyenesre az új rendszerben is s 1 lesz a K 1 re vett vetület (ez nem változik), ami kell s def 1 (a K 3 -ra vetülete s 1 -nek), illetve s 3 = S K 3 vetületei a K 1, K 3 síkokra. Mivel K 1 K 3 és s 1 K 1, s 3 K 3, így szokás szerint s 1 = x 13 = s 3 (esetleg ha pl. s 1 x 13 s 1 = s 1 x 13 egyetlen pont). Tehát igazából csak s 3 kell. Mivel s 1, s 3, x 13 egy pontban metszi egymást, ezért s 1 x 13 megadja s 3 egy pontját. A másik pontot úgy kaphatjuk, hogy ha M def = x 12 x 13 és úgy vesszük M -t, hogy M S, akkor M éppen az s 2 nyomponton lesz (20. ábra). Mivel M K 2 K 3 ezért ez a pont K 3 -on is rajta lesz, azaz M K 3 S = s 3 nyomvonal másik keresett pontja. Ennek a K 3 -ra vett vetülete kell csak s 3 meghatározásához. A 20. ábrán követhet a szerkesztés: 1. Az M def = x 12 x 13 pontban mer legeset állítunk x 12 -re, ez metszi ki s 2-b l M -t; 2. az M -ben mer legeset állítunk x 13 -ra, és felmérjük innen az M M el jeles távolságot ez adja M -t; 20

21 3. az x 13 s 1 és M pontok egyenese lesz s ábra Nézzuk most, hogy az eddigiek segítségével hogyan kaphatunk olyan síkokra vett vetületeket is, melyek nem mer legesek K 1, K 2 egyikére sem. A következ 4 eset az, ami általában el fordul: A, Adott egy S sík a nyomvonalaival. Szerkesztend a többi objektum (pont, egyenes, poliéder) mer leges vetülete erre a síkra! Egy T segéd síkot fogunk felvenni, mely mer leges a K 1, S síkokra (vagy a K 2, S-re, ha az s 1 nyomvonal nem létezik). Ha T mer leges a két sík s 1 = K 1 S metszésvonalára, akkor mer leges mind a két síkra. Amit csinálunk ezek után a következ. Megszerkesztjük 1.1 alapján a T -re vett vetületeket és elfeledkezünk a K 2 vetületekr l. Ami marad az K 1, T egymásra mer leges síkokra vett vetülete. Ezekb l megint 1.1 alapján megszerkesztjük az S-re vett vetületeket (és ha elfeledkezünk a K 1 -re vett vetületekr l, akkor a T, S egymásra mer leges síkokra vett vetületek maradnak). Ahhoz, hogy a K 1, T rendszerre áttérjünk, ebben is ábrázolni kell S új rendszerbeli nyomvonalait!! A 21. ábrán egy háromszög alapú gúla esetén követhetjük a szerkesztést az alsó indexekben S, T a megfelel síkokra vett vetületet jelenti, az ábrán jelölve van, hogy a 21

22 leforgatás után melyik félsík lesz T + ill. S +. Az S síkra vett vetületnél B S D S szakasz nem látszik, hiszen a T -re vett vetületb l (a T index pontok) jól látható, hogy a B S D S szakasz közelebb van az x 14 = T S metszésvonalhoz, azaz ez van hátul és A S C S van el rébb. 20. ábra. 21. ábra B, Adott egy e egyenes, vegyünk fel tetsz lagasen egy ezzel párhuzamos síkot, és ábrázoljuk ezen a vetületeket! Ez a feladat egyszer, hiszen vehetjük az 11 feladatban szerepl B síkot K 3 -nak, vagy ennek egy eltoltját. Ez párhuzamos e-vel és mer leges K 1 -re, azaz a 1.1 rész alkalmazható. Tehát x 13 -nal bármilyen e -vel párhuzamos sík választható (vagy e -vel párhuzamos, és ekkor K 3 K 2 igaz). C, Adott egyenesre, vagy két adott síkra mer leges S síkot vegyünk fel, és ezen adjuk meg a vetületet! 22

23 Ha két sík adott, akkor ezek metszésvonalára mer leges minden S sík, mer leges lesz mindkét síkra. Azaz elég az egyeneses esettel tör dni. Ez az eset visszavezethet B-re. Legyen K 3 egy e-vel párhuzamos def sík, és térjünk át a K 1, K 3 rendszerre.vegyünk most egy K 4 síkot mely mer leges K 3 -re és x 34 = K 3 K 4 mer leges e -re ez a K 4 sík mer leges lesz e-re is (22. ábra). 21. ábra. 22. ábra Ez a feladat azért fontos, mert így lehet egy adott irányból vett (nézett) képet megszerkeszteni. D, Adott S síkra mer leges tetsz lege síkra vett vetület. Ezt már megoldottuk A-ban, hiszen az s 1 nyomvonalra mer leges T sík (ami S, K 1 mindegyikére mer leges volt) jó lesz. Nézzünk most náhány példát a fentiekre. 15. Exercise. Adottak egy kocka vetületei, mely a K 1 alapsíkon áll, és egy v vektor. Szerkesszük meg az v irányból látható képét a kockának! Az f1 ábrán követhetjük nyomon a szerkesztést. Vigyzat, a kocka csúcsai átfedik egymást, ahogyan azt az A, B pontok esetén jelöltük is. Igazából nem kell mind a 8 csúcs képét megszerkeszteni. hiszen a kockát egy csúcsa (pl. A) és az ebb l induló 3 élvektorok egyértelm en meghatározzák (az A pont + a három élszomszédos pont meghatározza ezeket az adatokat). A többi csúcsát a kockának az A pont és az élvektorok segítségével megszerkeszthetjük, mivel vektotok összegének vetülete = a vetületek összegével. Azaz, elég 4 pont képére megszerkesztenünk a K 4 -re vett vetülete, mert ezekb l a többi vetületi pont (vektorok felmérésével) könnyen adódik. 23

24 22. ábra. f1 ábra 24

25 16. Exercise. Adott az f2 ábrán lév konvex test (melynek minden lapja rombusz), szerkesszünk ki egy új vetületet! Szekesszünk egy vetületet, mely az egyik lappal párhuzamos síkra vetít! 23. ábra. f2 ábra 25

26 Ezen a példán jól látszik, hogy bizonyos esetekben igen nehéz elképzelni a térbeli testet a vetületekb l, és hasznos lehet egy új nézet létrehozása, mely jobban mutatja a test valódi alakját! Miel tt rátérnénk a gúlák és hasábok metszeteinek tárgyalására célszer egy rövid geometriai kitér t tenni, mely megkönnyíti a kés bbi szerkesztéseket Kollineációk Mint azt látni fogjuk a 1.7 fejezetben, bizonyos szerkesztéssek alaposan lerövidíthet k, néhány geometriai transzformáció ismeretében, melyeket tömören az alábbiakban összefoglalunk. Csupán azokat az tényeket ismertetjük melyekre nekünk a kés bbiekben szükségünk lesz, mivel ezekr l a témákról igen sok érdekeset el lehet mondani. A kollineáció szép deníciójához a kib vítet ún. projektív síkra lenne szükség. E nélkül az alábbi, kissé nehézkes módon deniálhatjuk: Legyenek S 1, S 2 síkok és ϕ : S 1 S 2 egy leképezés, mely legfeljebb egy S 1 -beli egyenes kivételével az egész S 1 síkon értelmezve van. A ϕ leképezést kollineációnak mondjuk, ha: 1. egyenes képe egyenes; 2. illeszkedés tartó (azaz, ha egy pont az e egyenesen van, akkor a képe e képén lesz, illetve két egyenes metszéspontjának a képe, a képegyenesek metszéspontja). Kollineációra példák pl. az egybevágósági transzformációk (eltolás, forgatás, tükrözés...), a hasonlósági transzformációk (nagyítás, kicsinyítés...) vagy az an transzformációk. Minket két speciális típusú kollineáció fog érdekelni Tengelyes anitás Legyen ϕ egy olyan kollineáció, melyre S 1 = S 2 és ϕ az egész S 1 síkon van értelmezve, továbbá teljesül az, hogy: 1. van egy olyan t egyenes, mely minden pontja x ϕ-nél; 2. párhuzamos egyenesek képei párhuzamosak, akkor ezt a ϕ transzformációt tengelyes anitásnak nevezzük, és t-t pedig a tengelynek. Nézzünk egy példát tengelyes anitásra. Legyenek S 1, S 2 metsz síkok, melyek metszésvonala m, továbbá e egy olyan egyenes, mely nem párhuzamos S 1, S 2 egyikével sem. El ször S 1 pontjainak megmondjuk az S 2 -n lév képeit. Ezeket úgy kapjuk, hogy egy P S 1 ponton át vesszünk az e-vel párhuzamos egyenest, ahol ez metszi az S 2 síkot az lesz P (azt is mondhattuk volna, hogy e irányban átvetítjük S 1 pontjait S 2 -re), lásd a g1 ábrán. Majd az így adódó P pontot mer legesen visszavetítjük S 1 -re. Jól látszik, hogy az m egyenes képe önmaga, minden pontja x, ez lesz tehát a tengelyünk. Mivel a vetítések kollineációk, és párhuzamos egyenesek képei párhuzamosak a vetítéseknél, így valóban egy tengelyes anitás lett a P P által deniált leképezés. Amit fontos megjegyezni, mert a kés bbiekben hasznos lehet, hogy párhuzamos egyenl hosszú szakaszok képei (tengelyes anitásnál) párhuzamos egyenl hosszú szakaszok lesznek. Ha adott egy ϕ tengelyes anitás tengelye és egy A, ϕ (A) pontpár, akkor minden pont képe megszerkeszthet az alábbiak szerint (g2 ábra). Tekintsük az Aϕ (A) egyenest és ennek metszetét a tengelyel M-et. Mivel M t ezért M x, így az AM egyenes képe a ϕ (A) ϕ (M) = ϕ (A) M, tehét az Aϕ (A) egyenes képe önmaga. Vigyázzunk ennek az egyenesnek a pontjai nem mind xek, hiszen A képe is ϕ (A). Vegyünk most egy tetsz leges B ponton átmen Aϕ (A)-val párhuzamos egyenest, ez N-ben metszi a t-tengelyt. Mi lesz BN képe? Lévén, hogy N a tengelyen van, így x, a kép egyenes is átmegy N-en. A párhuzamos tartás miatt, 26

27 24. ábra. g1 ábra mivel AM BN ezért a képeikre is fennál, hogy ϕ (A) M ϕ (B) N. De AM = ϕ (A) M miatt jól látsik, hogy ϕ (B) N párhuzamos AM = Aϕ (A) egyenesel (és mint láttuk átmegy N-en), azaz ϕ (B) N = BN (ez az egyenes is önmagába megy, de pontjai nem mind xek). Tehát egy egyenest tudunk szerkeszteni, amin rajta van ϕ (B), keressünk még egy egyenest, amin rajta van. Ha X def = AB t, akkor X xpont lévén AX képe ϕ (A) X. Mivel B AX ϕ (B) ϕ (A) X. Azaz ϕ (B) = BN ϕ (A) X ahogy azt a g2 ábrán is látjuk, megszerkeszthet ϕ (B). Mint láttuk az Aϕ (A) egyenes iránya nem függ az A pont megválasztásától. Ezt az irányt az anitás irányának modjuk. 25. ábra. g2 ábra 27

28 A tengelyes anitásra korábban mutatott példában könnyen látható, hogy az anitás irányát úgy kapjuk meg S 1 -en, hogy az e egyenest mer legesen levetítjük S 1 -re Centrális-axiális kollineáció Legyen ϕ egy olyan kollineáció, melyre S 1 = S 2 és ϕ, továbbá teljesül az, hogy: 1. van egy olyan t egyenes, mely minden pontja x ϕ-nél; 2. az összes Aϕ (A) alakú egyenes egy C pontra illesztkedik, akkor a ϕ tramszformációt centrális-axiális kollineációnak mondjuk, amelynek t a tengelye és C a centruma. A kollineáció deníciójából és 2.-b l könnyen igazolható, hogy a C pont x. Nézzünk most is egy konkrét példát centrális-axiális kollineációra. Legyenek S 1, S 2 egymásra nem mer leges síkok, melyek metszésvonala m, továbbá C / S 1 S 2 pont. Vegyünk egy P S 1 tetsz leges def pontot és legyen P = CM S 2 (ha létezik), majd jelölje P a P mer leges vetületét S 1 -re. A P P által meghatározott ϕ leképezés egy centrális axiális kollineáció lesz (g3 ábra). Miel tt ezt bizonyítjuk, vegyük az M-en átmen és S 2 -vel párhuzamos L síknak és S 1 -nek a metszetét. Ez egy olyan r egyenes lesz, melynek nincsen képe a ϕ trenszformációnál, és könnyen látható, hogy ϕ értelmezési tartománya S 1 \r.az nyilvánvaló, hogy ϕ egy kollineáció, és hogy az m metszésvonal pontjai xek. Jelölje M mer leges vetületét C, ami szintén x pont, ekkor azonban ha A S 1 \r egy tetsz leges pont, akkor AC elmetszi m-et egy R pontban. Mivel C, R AC x pontok, ezért az AC egyenes önmagába megy (pontjai nem mind xek), tehát ϕ (A) AC, azaz Aϕ (A) = AC, azaz a 2. feltétel is teljesül. Ha adott egy centrális-axiális kollineáció t tengelye C centruma, és egy A, ϕ (A) pontpár, akkor egy tetsz leges B pont képe már szerkeszthet (g4 ábra). Vegyük CB egyenest a 2. pont miatt ezen lesz ϕ (B) is. Az H def = AB t pont x így az AB képe a ϕ (A) H egyenes lesz, ezen is rajta van ϕ (B), azaz ϕ (B) = CB ϕ (A) H Gúlák és hasábok metszetei, áthatása Ha adott egy gúla vagy hasább, akkor az els lépésben vegyük azt a S síkot, mely az alapot tartalmazza és egy másik S-re mer leges T síkot. A fenti eljárással az S, T rendszerre vett vetületek megszerkeszthet ek. Ezért mi azzal a szép esettel fogunk csak foglalkozni, amikor a K 1 síkon áll a gúlánk, illetve a hasábunk Egyenessel vett metszetek 17. Exercise. Adott egy gúla és egy e egyenes. Szerkesszük meg a metszéspontokat! Kövessük nyomon a szerkesztést a 23. ábrán! Tekintsük azt az S síkot, mely átmegy a gúla M csúcsán és tartalmazza e-t. Megszerkesztjük S-nek és a gúlának a metszetét, mert ez tartalmazza majd az egyenes és a gúla döféspontjait is. Mivel az S sík átmegy a gúla M csúcsán, ezért a gúla palástját alkotókban metszi, melyek végpontjai (M-en kívül) azok a pontok, ahol S az ABCDE alap kerületét metszi. Mivel ez az alap a K 1 síkon van és s 1 = K 1 S. Ezért a keresett pontok az alaplap kerületének és az s 1 nyomvonalnak a metszete. Tehát keresend S nyomvonala K 1 -en. Ehhez a f vonalakról tanultakat használjuk fel. Ha S-et egy K 1 -el párhuzamos M-en átmen síkkal metszük el, akkor h def = S K 1 egy f vonal lesz, mely párhuzamos a keresett s 1 -gyel. A h kép tudjuk, hogy átmegy M -n és párhuzamos x 12 -vel (f vonal tulajdonségból jön). Mivel h, e S ezért R def = e h megszerkeszthet (lásd 23. ábra). Így R, M h h = R M. Ezek szerint s 1 h (hiszen h f vonal). Mivel e S ezért az e egyenes N 1 nyompontja rajta van az s 1 nyomvonalon, azaz N 1-n kell párhuzamosat húzni h -vel, hogy s 1-t megkapjuk. Az s 1 nyomvonalnal és az alap kerületének a 28

29 26. ábra. g3 ábra 29

30 27. ábra. g4 ábra 30

31 28. ábra. 23. ábra 31

32 metszete X, Y amiket kerestünk (ábrán csak X, Y van jelölve). Mint azt megállapítottuk XM, Y M lesznek azok az alkotók, melyekben a gúlat metszi S. Ezek az alkotók metszik ki e-b l a P, Q metszéspontokat. A szerkesztés akkor is m ködik, ha a gúla alapja nem párhuzamos K 1 -gyel, de ekkor hosszadalmasabb az alap poliéder és az S sík metszetének megszerkesztése, amint azt a következ példában látni fogjuk. 18. Exercise. Adott egy hasáb, mely egyik alpja az S síkon van, és egy e egyenes. Szerkesszük meg az e döféspontjait a hasábbal! Tekintsük a 24. ábrát (s 1, s 2, A, B, C már meghatározza A, B, C pontokat, ahogyan azt tanultuk, az A esetén jelöltük csak a tanult szerkesztést az ábrán). Vegyük azt a T síkot, mely párhuzamos az alkotóval, és tartalmazza e-t (az e egy tetsz leges R pontján át párhuzamosat húzunk az alkotóval, jelölje ezt a, ekkor e, a meghatározzák T -t). Mivel T párhuzamos az alkotóval, ezért a hasáb palástját a T sík alkotókban metszi. Ahhoz, hogy ezeket az alkotókat meghatározzuk, elég az egyik végpontjukat ismerni, pl. az ABC lap kerületén lév ket. Ezek pedig éppen T -nel és az ABC kerületének metszéspontjai lesznek. Ezen metszéspontok pedig pont S T egyenesnek és az ABC kerületének metszéspontjai. Azaz el ször az S T metszésvonalat határozzuk meg. Ehhez vesszük az M def = e S, N def = a S. (pl. M megszerkesztéséhez a tanultak alapján, venni kell azt a W síkot, mely e-t tartalmazza és mer leges K 1 -re, ennek s 2 -vel vett metszete H, s 1 -vel vett metszete L. A W S metszésvonal K 2 -re vett vetülete H L, ami e -t M -ben metszi, piros szerkesztés). Hasonlón szerkesztket N is (itt a gyakorlás kedvéért az a-t tartalmazó K 2 -re mer leges síkkal dolgoztunk, kék szerkesztés). Mivel M N a keresett S T metszésvonal (zöld szín ) ez meszti ki a T sík és ABC kerületének metszetét (az ábrán P, Q ). Az ábrán a láthatóságot is feltüntettük, mely a két vetület alapján könnyen adódik. Látható, hogy az általános helyzet alakzat esetén, bizony sok mindent kell megszerkeszteni pluszban Síkkal vett metszet Nézzük most, hogyan tudjuk az eddigiek alapján a gúla, illetve hasáb, egy adott síkkal vett metszetét megszerkeszteni. 19. Exercise. Adott egy gúla és egy S sík. Szerkesszük meg a metszetüket. Vagy megszerkesztjük az AM, BM,..., EM élek S síkkal vett metszéspontjait, vagy alkalmazzuk az el z fejezete. Ha S és a gúla metszete az A S B S C S D S E S öszög, akkor ennek a K 1 -re vett vetülete A S B S C S D S E S és A B C D E között egy centrális-axiális kollineáció áll fenn, mely tengelye s 1 és centruma M. Azért elég, ha pl. A S-t megszerkesztjük, abból a többi pont (B S, C S, D S, E S) a rész alapján megszerkeszthet (lásd 25. ábra). Ezek után márcsak fell kell vetíteni a ' képeket, hogy a vetületeket is megkapjuk. 20. Exercise. Adott egy hasáb és egy S sík. Adjuk meg a hasáb és a sík metszetét! Most is megszerkeszthetjük az éleknek az S síkkal vett A S, B S, C S, D S metszéspontjait, vagy a rész alapján, az A B C D négyszög pontjai és az A S B S C S D S pontjai között egy tengelyes anitás áll fenn, melynek tengelye s 1 (irány pedig A A S ), így s 1, A, A S alapján a többi pont is szerkeszthet (26. ábra). Az el z két feladatnál azért jó tudni a másik szerkesztési eljárást is, mert, ha az egyik módszer nem alkalmazható (a rajzlapon kívülre esnek a metszéspontok) akkor a másik még jó lehet Gúlák, hasábok áthatása Az eddigiek alapján, már könnyedén megtudjuk szerkeszteni gúlák, ill. hasábok áthatásait, hiszen csak azt kell megnézni, hogy az egyik alakzat alkotó élei hol dök a másik alakzatot. Ezt pedig a pontban már tárgyaltuk. Nézzünk most ezekre egy-egy példát a gyakorlás kedvéért. 21. Exercise. Adott két gúla. Szerkesszük meg ezek áthatását! 32

33 29. ábra. 24. ábra 33

34 30. ábra. 25. ábra 34

35 31. ábra. 26. ábra 35

36 A 27. ábrán követhetjük a szerkesztést. Feltehet, hogy olyan képsíkokat veszünk, hogy az egyik gúla az alapján áll. El ször azt szerkesztjük meg, hogy az ABCM 1 gúlát hol metszi az EM 2 él. ezt 17 alapján tettük meg. Vettük az EM 2 M 1 síkot, ennek M 1 M 2 egyenese a K 1 síkot N-ben metszi, mivel E K 1 ezért az EM 2 M 1 sík nyomvonala K 1 -en NE, ez az ABC alap kerületét 1, 2-ben metsz, amik segítségével jöttek az I, II döféspontok. Megkeressük ezek után az F M 2 egyenes és az ABCM 1 gúla metszéspontjait hasonlóan. Az M 1 M 2 F sík nyomvonalából N = M 1 M 2 K 1 már ismert. Az M 2 F nyopontja K 1 -gyel N F. Az NN F egyenes az ABC alapból a 3, 4 pontokat metszi ki, melyek segítségével szerkeszthet ek a III, IV döféspontok. Mivel az EGM 2 lap belemetsz az els gúlába, ezért ezen a lapon próbálunk újabb döféspontot találni. Megkeressük a CM 1 döféspontját az EGM 2 lapon (és reméljük, hogy ez tényleg létezik). Ez a döféspont rajta kell legyen az ACM 1 sík és az EGM 2 síkok metszésvonalán. E metszésvonal egy pontja II már ismert. Egy másik pontot úgy kapunk, hogy megkeressük a két sík K 1 -hez tartozó nyomvonalainak metszetét. Az ACM 1 nyomvonala AC (hiszen A, C K 1 ), az EGM 2 nyomvonala átmegy E-n (hiszen def E K 1 ), e nyomvonal másik pontját N G = M 2 G K 1 adja (pirossal szekesztve). Így a nyomvonalak R def = AC EN G metszéspontja (pirossal) szintén az ACM 1 sík és az EGM 2 síkok metszésvonalán van. Azaz II R a keresett metszésvonal (piros), ami CM 1 -b l kimetszi a V döféspontot. A CM 1 egyenesnek még egy lapotmetszenie kell (ami az F GM 2 lehet csak). Ezt a döféspontot hasonlóan az el z ekhez az M 2 GF és az ACM 1 síkok metszésvonalával keressük meg. Ezen a metszésvonalon van IV. A K 1 -gyel vett nyomvonalakból szerkesztünk egy újabb pontot a metszésvonalon, hiszen ACM 1 sík nyomvonala AC az M 2 GF -é pedig N F N G (hiszen ezek voltak az F M 2, GM 2 egyenesek nyompontjai K 1 -en). Így Q def = BC N F N G lesz az M 2 GF és az ACM 1 síkok metszésvonalán a másik pont (kékkel szerkesztve), és a III Q metszésvonal adja a V I döféspontját a CM 1 egyenesnek. A két gúla közös részét a láthatóség szerint zöldel berajzoltuk. 22. Exercise. Adoot egy gúla és egy hasáb. Szerkesszük meg azt az alakzatot, amit a gúlából kivont hasáb ad. Elméletben könny a feladat, hiszen megint csak a gúla éleinek a hasábbal vett meszeteit és a hasáb éleinek a gúlával vett metszeteit kell megrajzolni. Ez persze hosszú, ezért nézzünk egy spec állású példát, ahol némi okoskodással lerövidíthetjük a szerkesztést (28. ábra). Az els vetületen látszik, hogy a hasáb alapjainak síkja mer leges K 1 -re és az alkotók mer legesek az alapokra, ezért felvettünk egy K 3 síkot (az egyik alap síkja) és elkészítettük az erre vett vetületet is. Ez azért szép, mert az egész hasábnak egy négyzet vetülete, az alkotóké pedig egy-egy pont., Így ha azza vagyunk kíváncsiak, hogy a hasáb a éle hol metszi a gúlát, akkor vesszük az am síkját, megnézzük, hogy ennek a K 1 -re vett nyomvonala hol metszi el a gúla alapját (kék szerkesztés, a spec. helyzet miatt ez a nyomvonal az X -ben x 13 -ra állított mer leges, ami X, Y -t adja). Az X M, Y M alkotók és az a szakasz segítségével jönnek a döféspontok. a többi hasábél esetén is hasonlóan járunk el (piros, fekete szerkesztés). A gúla éleinek a hábbal vett metszete is könnyen szerkeszthet, hiszen pl. az AM él esetén, a K 3 vetületen meghatározzuk a metszéspontokat (zöld), majd ezekez csak át kell vetíteni a többi vetületre. Már csak a kiszerkesztett pontokat kell összekötni. Ha a hasáb lapjain végigmegyünk (tekintsük a K 3 vetületet és az óra járásával ellentétes irányt), akkor pontok színei az A M él jobb oldali zöldjét l indulva: zöld-kék-zöld-fekete-zöld-piros-zöld-(kezd zöld). Így a K 1 képen ez adja meg a sorrendet. Mivel a megfelel alkotókon az els és utolsó zöld kivételével két-két pont van, ezért el ször bal oldalra es ket kötjük össze ebben a sorrendben, majd a jobb oldalra es ket. Innen csak fel kell vetíteni a dolgokat a K 2 vetületre. A láthatóságot (a könnyebb átláthatóság kedvéért) egy külön eltolt ábrán jelöltük. 23. Exercise. Adott két hasáb, szerkesszük meg a metszetüket! A 29. ábrán adott két hasáb (az egyszer ség kedvéért az egyik K 1 -en a másik K 2 -n áll). Az eljárás ismert, az egyik alkotó éleinek a másik hasábbal vett metszetét kelll megszerkeszteni. A 18 feladathoz hasonlóan egy egyenes metszetét a hasábbal úgy kell megszerkeszteni, hogy egy síkot kell venni, mely tartalmazza az egyenest, most ezeket a síkokat úgy fogjuk felvenni, hogy a hasábok alkotó irányaival 36

37 32. ábra. 27. ábra 37

38 33. ábra. 28. ábra 38

39 legyenek párhuzamosak. Ez azért jó, mert ekkor minden alkotón átfektetett sík párhuzamos lesz, így mindnek a nyomvonalai párhuzamosak, és mint tudjuk, ezen nyomvonalaknak kell a metszetét venni a hasáb alaplapjával, és ametszéspontokon átmen alkotók segítségével szerkeszthet ek a döféspontok (lásd 18 feladat). Legyen P egy tetsz leges pont, ezen át az alkotókkal párhuzamos egyenesek a, b (29. ábra) és az a, b egyenesek S síkjának nyomvonalai n 1, n 2 (a megfelel vetületek piros ill. kék az ábrán). Ezek után S-sel párhuzamosat fektetünk a H 1 hasáb K 2 -n fekv alapjának csúcspontjain át, ezek seítségével megszerkesztjük a tanult módon H 1 alkotó éleinek H 2 -vel vett döféspontjait (zöld pontok a K 1 vetületen). Hasonlóan a H 2 hasáb K 1 -n nyugvó alapjának csúcsain át párhuzamos síkokat veszünk S-sel, és a H 1 alapjával vett metszéspontok segítségével megszerkesztjük H 2 alkotó éleinek a H 1 hasábbal vett döféspontjait (K 2 -n a piros pontok, két él nem dö a H 2 -t). Ezek után nincs más mint a megfelel eket összekötni (azonos élen lév csúcsokat kell összekötni, illetve az azomos lapon lév csúcsok konvex burkát kell venn H 1, H 2 konvexitása miatt). Egy eltolt ábrán a láthatóságot is ábrázoltuk. 34. ábra. 29. ábra Mindhárom feladatban vigyázni kell, mert ha egy él egyenesnek a testtel vett metszéspontja, nem esik az élre (a él szakszra), akkor az él megfelel végpontja is a metszet testre esik. Pl. egy kockába alulról beletolunk egy magas (fölfelé hosszú) tetraédert, de a tetraéder föls csúcsa nem jön ki a kockából felül, akkor nem egy luk, hanem egy üreg keletkezik. Ennek az üregnek az tetraéderélek döféspontjain kívül a tetraéder föls csúcsa is a határán lesz. A fenti lukas testek (pl. 22 feladat végeredményét) szeretnénk valóban létrehozni (pl. papír modell formájában). Ahhoz hogy ezt meg tudjuk csinálni szükségünk lesz még a következ fejezet anyagára. 39

40 1.8. Méretfeladatok 24. Exercise. A vetületeivel ábrázolt A, B pontpárnak szekesszük meg a távolságát. Ez legegyszer bb méretfeladat, hiszen ha vesszük azt a síkot K 3, mely mer leges K 1 -re és tartalmazza az AB szakaszt (azaz K 3 az A B -ben metszi a rá mer leges K 1 síkot), akkor a K 3 -ra vett vetülete az AB szakasznak A B, az AB szakasszal lesz azonos hosszúságú (30. ábra). Próbáljuk meg az el z feladatot visszafelé megoldani. 35. ábra. 30. ábra 25. Exercise. Adott az A pont vetületeivel, a B pont egy vetülete (pl. B ), és az d (A, B) távolság. Szerkesszük meg B -t. Az el z feladat alapján a K 3 -ra vett vetületekb l A szerkeszthet, és tudjuk, hogy B az A körüli d (A, B) sugarú körön van. B rajta van még a B -ben A B -re állított mer leges egyenesen is. Azaz e két alakzat metszete adja a megoldásokat (2 lehetséges megoldás 31. ábra). A B, B vetületekb l B megszerkeszthet. 26. Exercise. Adott egy e egyenes, egy A e pont és egy d távolság. Szerkesszük meg e-n az A-tól d távolságra lév pontokat! 40

41 36. ábra. 31. ábra 41

42 37. ábra. 32. ábra 42

43 Most is az e-t tartalmazó K 1 -re mer leges K 3 síkon vett vetülettel dolgozunk. Az A pontból e -re felmérve d-t, megkapjuk a keresett B, C pontok harmadik vetületeit (32. ábra). Az eddigi feladatokban a K 3 vetületeket úgy is felfoghattuk volna, mintha az alakzatot forgatottuk volna le a K 1 síkba. Ezért nézzük meg hogyan kell alakzatokat forgatni adott tengely körül. Ha adott a forgatás t tengelye az els lépés, hogy olyan K 1, K 2 rendszerben ábrázoljuk a térelemeket, poliédereket, melyekre t K 1 (vagy t K 2 ). Ez azért fontos, mert ilyen rendszerben a legkönnyebb a forgatás. Egy P pont a t tengely körüli forgatás közben egy körpályán mozog. Ennek a körnek a síkja mer leges t-re és átmegy P -n. A 33. ábrán látszik, hogy a szépen felvett rendszerben hol mozognak P vetületei, egy körön és egy szakaszon, Más csúnya rendszert véve a vetületek ellipsziseken mozognának, melyeket szerkesztéseknél nehéz lenne kezelni. Így viszont könnyedén forgattuk el a P pontot ϕ szöggel (33. ábra). 38. ábra. 33. ábra Az eddigi pédákat egy térbeli modellez program is megcsinálja (és gyorsabban is, mint mi), de a következ vel még egy igen jó program is csak nehezen boldogulna segítség nélkül (mi pedig könnyedén megoldjuk). 43

44 27. Exercise. Adott a t tengely a 34. ábra szerint és egy e egyenes. Forgassuk el t körül az e egyenest úgy, hogy páruzamos legyen a K 1 síkkal! Mivel t mer leges K 2 -re, ezért e a t pont körül forog, ennek az elforgatottnak kell párhuzamosnak lennie x 12 -vel, hogy a K 1 -gyel párhuzamos elforgatottat kapjunk. A t pontból mer legest bocsájtva e -re (ez A ) meg tudjuk szerkeszteni a keresett elforgatott e-nel az e vetületét. Mivel K 2 -t mer legesen dö t, így ez a sík önmagába forog, ezért az N 2 nyompont képe N 2 is K 2 -n van, azaz N 2 x 12. A másik képet N 2 pedig meg tudjuk szerkeszteni, mint N 2 elforgatotját. Mivel az A elforgatottjából A ismert és t -re esik (ami mer leges x 12 -re), így A is t -n van rajta. Másrészt t párhuzamos K 1 -gyel, így a forgatásnál az A az A -b l t -re bocsájtott mer legesen mozog. Ezzel A -t is megkaptuk. Így e = A N ábra. 34. ábra Ezt a módszert a 24 feladatnál is használhatjuk. Az AB szakasz A pontján átmen, K 1 -re mer leges t tengely körül beforgatjuk a szakaszt K 2 -vel párhuzamossá, így az új K 2 -re vett vetület a valódi hosszat adja. 28. Exercise. Adott egy S sík nyomvonalaival, egy t K 1 tengely és egy ϕ szög. Szerkesszük meg az S sík t körüli ϕ szög elforgatottjának nyomvonalait! 44

45 Legyen N az elforgatott sík. Mivel az s 1 nyomvonal a t-re mer leges K 1 síkban van, ezért ennek elforgatottja lesz az új n 1 nyomvonal. Jelölje P def = t S a döféspontot. Ez pont x a forgatásnál. Ezzel megvan az N sík egy egyenese és egy nem az egyenesen lév pontja, azaz a síkot ebb l meghatározhatjuk. Az n 2 nyomvonal azonban gyorsan kijön, mivel át kell mennie x 12 n 1 -en, és mivel P N ezért a 10. ábránál bemutatott szerkesztási eljárás (amit a 35. ábrán P meghatározásához is használtunk), m ködik, ezáltal n 2 egy másikpontját azonnal kiszerkeszthetjük. 40. ábra. 35. ábra 29. Exercise. Adott egy S sík a nyomvonalaival és egy P S pont. Forgassuk le az S síkot a K 1 síkba az s 1 nyomvonal mentén! Szerkesszük meg a P képét! Vegyünk a P -b l mer legeset s 1-re, ennek metszéspontja s 1-vel P 0 (36. ábra). A szokásos módon a K 3 képsíkkal megrajzoljuk P -t (a P P 0 egyenesre úgy is gondolhatunk, mint a K 3 S metszésvonal leforgatottjára). Mivel P 0 helyben marad a leforgatásnál t le d (P, P 0 ) = d (P, P 0 ) távol lesz a leforgatott kép. Ez a kép rajta van P P 0 egyenesen is, hiszen a forgatás s 1 tengelyére mer legesen mozog a P pont. Így a leforgatás irányától függ en P 1 vagy P 2 a keresett pont. Ez az eljárás alkalmas arra is, hogy nem alapsíkban fekv síkidom valódi alakját meghatározzuk. 30. Exercise. Adott az S síkban egy ABCDE síkidom. Szerkesszük meg ennek valódi alakját! 45

46 41. ábra. 36. ábra 46

47 Az el z feladat alapján leforgathatjuk az összes pontot, de némi ügyeskedéssel elég lesz egynek a képét meghatározni. Amikor beforgatjuk a síkunkat az egy kolineáció a leforgatott és a vetület között, ami párhuzamosság tartó is (visszafelé gondolva a K 1 alapsíkot forgatjuk fel S-be, majd levetítjük a K 1 alapsíkra, akkor níilván igaz amit modtunk). S t az s 1 nyomvonal még x is marad, azaz alapján egy tengelyes anités van a K 1 vetület és a leforgatott között. Mivel a pontok a forgatás tengelyére mer legesen mozognak, ezért az anitás iránya mer leges a tengelyre, azaz egy ún. mer leges tengelyes anitásról van szó. A rész g2. ábrája alapján ekkor tényleg elég egyetlen pont leforgatottját (an képét) tudni, abból a tengely ismeretében a többi pont képe is szerkeszthet (37. ábra itt A leforgatottját szerkesztettük meg, a többit anitással). 42. ábra. 37. ábra Az el z eket visszafelé is megcsinálhatjuk, azaz: 31. Exercise. Adott egy S sík. Egy P pontjának a képe, ha K 1 -be leforgatjuk a síkot P L. Szerkesszük meg P -t! Nincsen más dolgunk, mint az el z eket visszafelé alkalmazni. A P L pontból mer legest bocsájtunk s 1- re, ennek metszéspontja P 0 (38. ábra). Vesszük a P L P 0 -ban K 1 -re mer leges síkot K 3, és megszerkesztjük az S K 3 nyomvonalat s 3 -t. Erre felmérjük a P L P 0 távolságot, ez adja P -t. Innen P, P a szokott módon szerkeszthet (piros szerkesztés). Egy másik lehet ség, ha leforgatunk egy Q pontot, és a mer leges anitás segítségével megszerkesztjük a P képet (kék szerkesztés, Q pontot ügyesen vettük fel, hogy könny legyen a leforgatottat megszerkeszteni, mivel R x). Esetleg vesszük az s 2 -vel párhuzamos f vonalat f-et, 47