A tárgy neve Meghirdető tanszék(csoport) Felelős oktató: Kredit Heti óraszám típus Számonkérés Teljesíthetőség feltétele Párhuzamosan feltétel

Átírás

1 tárgy neve MTEMTIKI MÓDZEREK FIZIKÁBN. Megrdető tanszékcsoport ZTE TTK Elmélet Fzka Tanszék Felelős oktató: Dr. Gyémánt Iván Kredt 4 Het óraszám + típus Előadás+gyakorlat zámonkérés Kollokvum+gyakorlat egy Telesítetőség feltétele - Páruzamosan feltétel Előadás a gyakorlattal együtt Előfeltétel Kalkulus. Helyettesítő tárgyak - Peródus Tavasz félév, évente Javasolt félév Kötelező vagy kötelezően fzka választató JÁNLOTT IRODLOM. G. B. rfken, H. J. Weber: Matematcal Metods for Pyscsts, cademc Press, Bronsten, zemengyaev, Musol, Mulg: Matematka kézkönyv, Typotex Kadó, Budapest, 00.. Jánossy - Tasnád: ektorszámítás I., II., III., Tankönyvkadó, Budapest, G. mmonds: Tenzoranalízs dóéban, Műszak Könyvkadó, Budapest, Elmélet Fzka Példatár I., Tankönyvkadó, Budapest, 98.

2 TNTÁRGY RÉZLETE TEMTIKÁJ Bevezetés Matematka módszerek című tantárgyak céla, ogy a Kalkulus., a Kalkulus. és a Lneárs algebra fzkusoknak című kurzusokat elvégző, a fzka alapképzésben résztvevő allgatók gyakorlatot szerezzenek a matematka tételek és módszerek fzka alkalmazásaban. Ezek az smeretek az alapdploma mesterségbel tudásfedezetének lényeges részét képezk, eme tudás nélkül elképzeletetlen a fzka professzonáls tanulmányozása akár fzkatanár, akár akadéma fzkus, lletve fzkáoz kapcsolató nter-, vagy multdszcplnárs képzésekről legyen s szó. Matematka módszerek. című kurzus az alább témakörökre bontató:. -dmenzós vektorok, a koordnáta rendszer forgatása, skalár-, vektor-, vegyes - szorzat, ármas vektor szorzat.. áltozó vektorok, vektorok derválta: dődervált, gradens, dvergenca, rotácó. nabla-vektor, többszörös derváltak, számolás szabályok. Görbék és felületek: megadás módszerek, főbb ellemzők. 4. Görbevonalú koordnáták. 5. ektormezők ntegrálása: vonal-, felület-, térfogat ntegrálok. 6. Gauss tétele. tokes tétele. lkalmazások. 7. Gradens, dvergenca, rotácó, görbevonalú koordnátákban. 8. Másodrendű tenzorok, tenzorműveletek. 9. Tenzorkomponensek transzformácóa. 0. Főtengelytétel, tenzornvaránsok.. Ferdeszögű koordnátarendszerek, metrkus tenzor. ektorok és tenzorok kovaráns és kontravaráns komponense. Bázstranszformácók. Ezek a témakörök a fzka tanulmányok során mnd fontos alkalmazásokat nyernek. z alább következő részletes tematkában az alkalmazásoknak csak egy korlátozott körét tuduk bemutatn.. -dmenzós vektorok, a koordnáta rendszer forgatása, skalár-, vektor-, vegyesszorzat, ármas vektor szorzat.. -dmenzós vektorok... Irányított szakaszok, összeadás, szorzás számmal, kvonás stb. Pl.: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő, mpulzus, mpulzusnyomaték... etületek, komponensek, műveletek számármasokkal... koordnáta-tengelyek elforgatása a a elykoordnáták transzformácóa b vektorkomponensek transzformácóa c forgásnvaráns koordnáta rendszertől független fzka törvények

3 ..4. kalárszorzat a vetületek adott rányokra, B = B = B cos γ b B = B blneárs, forgásnvaráns stb. c = > 0, B B B d e m e n = δ mn..5. ektor szorzat a nyomatékok b B = B sn γ n ˆ n ˆ, B obbkéz szabály c e m e n = ε e mn l l d L = r p, F L = v B e B = B, stb. f B = B B e +. g felírás determnánssal az és B által kfeszített paralelogramma területe pl.: a felület sebesség és az mpulzusnyomaték kapcsolata..6. egyesszorzat: B C a B C = B C = C B = C B = C B = B C b felírás a komponensekből felépített determnánssal B C = B C B C B C c az, B, C vektorok által kfeszített paralelogramma előeles térfogata d obbsodrás balsodrás e krstályrács recprok rács..7. Hármas vektor szorzat: B C = B C C B a forgó test mpulzusnyomatéka a szögsebesség omogén lneárs függvénye b forgó test forgás energáa a szögsebesség omogén négyzetes függvénye c mozgó töltések mágneses kölcsönatása. áltozó vektorok r,t derválta: dődervált, gradens, dvergenca, rotácó.. Idődervált ektor függvény skalár változóval: t a a fzkában a vektormennységek általában dőfüggőek, változás ütemüket dőderváltuk elent: & Pl.: a sebesség a elyvektor dőderválta, stb. b összeg, skalárszorzat, vektor szorzat dőderválta c egységvektor dőderválta d centráls erőtérben a felület sebesség állandó e

4 .. Gradens kalárfüggvény vektor változóval: r a áltozás üteme függ az ránytól n: = nx + n y + nz = n n x y z b az függvény leggyorsabb növekedésének rányába mutat c merőleges az llető ponton átmenő szntfelületre d = e x Nabla vektor e r f erő = potencál.. Dvergenca ektorfüggvény vektorváltozóval : r x y z a = + + x y z r b = 0 r 0 c = + d B = 0 B forrásmentes e B = B + B.4. Rotácó ektorfüggvény vektorváltozóval: r a = e + x x = e x e x e x b = + c E = 0 E örvénymentes d r = 0 r 0 r e ω r = ω f B = B + B + B + B 4

5 g =.5. többszörös alkalmazása a = Laplace b = 0 c d = 0 e =. Görbék és felületek.. Görbék... íkgörbék a mplct, explct, paraméteres, polárkoordnátás megadás módok b ívelem, érntő, normáls, görbület sugár... Térgörbék a paraméteres megadás b ívossz c érntő, normálsík, smulósk, főnormáls, bnormáls, rektfkáló sík, kísérő tráder d görbület, görbület sugár, torzó, torzósugár, Frenet-képletek.. Felületek.. Megadás módok: mplct, explct, paraméteres elyvektoros.. Érntősík, normáls.. Felület görbe íveleme, felületdarab felszíne..4 Felület görbék görbülete, görbület sugara, főgörbület sugarak 4. Görbevonalú koordnáták 4.. Példák a íkbel polárkoordnáták x = ρ cos ϕ, y = ρ sn ϕ b Hengerkoordnáták x = ρ cos ϕ, y = ρ sn ϕ, z = z c Gömb polárkoordnáták x = r cos ϕ sn θ, y = r snϕ sn θ, z = r cos θ 4.. Ortogonáls görbevonalú koordnáták a koordnáta felületek, koordnátavonalak b Lamé féle együttatók,, c ívelemek, felületelemek, térfogatelem ds = d nncs összegzés dσ l = k d d k nncs összegzés dτ= d d d 5

6 4.. Általános görbevonalú koordnáták a koordnátafelületek, koordnátavonalak b metrkus tenzor g c felületelemek, ívelemek, térfogatelem 5. ektormezők ntegrálása 5.. onalntegrál 5... Görbe mentén vett vonalntegrál a síkgörbe γ mentén vett vonalntegrál γ f x, y dx, f x, y dy, γ P x, y dx + Q x, y dy γ b térgörbe mentén vett vonalntegrál c addtvtás, rányítás, zárt görbe mentén vett vonalntegrál, crkulácó d a vonalntegrál függetlensége az úttól e munka, konzervatív erőtér, potencál B W B = F dr F d r = 0 F = 5.. Felület ntegrálok 5... Kettős ntegrálok f x, y dsxy = xy y y b a dy x b y x a y dx f x, y 5... kalártér felület ntegrála r d = x, y, z d yz + yz 5... ektortér felület ntegrála fluxus a fluxus r d = x x, y, z yz d + b r d = k d + yz [ x y ] yz yz onalntegrál kfeezése felület ntegrállal F dr = F d tokes formula C F Térfogat ntegrál kfeezése felület ntegrállal 6

7 = F F d Fd F Gauss formula 6. Gauss- és tokes-formulák alkalmazása grad = lm d dv = lm d rot = - lm d n rot = lm C dr Green formulák: = + d d = d d 7. grad, dv, rot előálltása ortogonáls görbevonalú koordnátákban dv = + + grad = e + e + e rotf = F F e + = +... a enger: =ρ, =ϕ, =z, =, =ρ, = b gömb polár: =r, =θ, =ϕ, =, =r, =r snθ 7

8 8. Másodrendű tenzorok. Műveletek tenzorokkal. 8.. B = T omogén, lneárs vektor vektor függvény a Teetetlenség tenzor b Nyúlás tenzor c Feszültségtenzor 8.. Tenzorok egyenlősége, zérus tenzor, egységtenzor, tenzorok összeadása, tenzor transzponálta, szmmetrkus antszmmetrkus tenzor T = T + TT + T - TT 8.. Descartes féle derékszögű komponensek T u = T u k e k = u k Te k, e e k = δ k T e k = T k e, aol T k = e Te k v = T u = T k u k e, vagys v = T k u k 8.4. T= T k e e k másdrendű tenzor Descartes-féle bázsa 9. Tenzorkomponensek transzformácóa a Koordnátatranszformácó b Koordnátarendszer forgatása: K K : x = x = D = d k ortogonáls forgásmátrx D - =D T d k d k = δ, d k d l =δ kl a D forgásmátrx sor- és oszlopvektora ortonormáltak c x = x, ll. x =D x T = T T, ll. T = D T D - 0. Tenzor főtengelye 0.. Ts = λs saátvektorok, saátértékek 0.. zmmetrkus tenzor saátértéke valósak, saátvektora ortonormáltak: T d = λ d, D = d d d oszlopvektorok mátrxa, D T D - = T dagonáls 0.. Főteetetlenség rendszer, szabadtengelyek 0.4. Tenzornvaránsok 0.5. Invaráns tenzorok 8

9 . Ferdeszögű koordnátarendszerek, metrkus tenzor, tenzorok kovaráns és kontravaráns komponense. Tenzorok görbevonalú koordnátarendszerekben... ektor felbontása nem-ortogonáls komponensekre: = k g k = k g k... Recprok bázs a bázs: g, g, g recprok bázs: g, g, g g g k = 0, a k és g g k =, a = k b g g g =D; g g g =D ; DD = g = D g g, g = D g g, g = D g g c krstálytér recprok tér... k = g k kontravaráns komponensek k = g k kovaráns komponensek... Metrkus tenzor: g k = g k = g g k ; g k = g k = g g k k = g kl l ; l = g lk k k ; = δ k g ds = g dx dx k = g k dx dx k ; G = det G = det g k ; D = G ; G =det k g..4. Kontravaráns bázs kovaráns bázs g = g k g k ; g k = g k g..5. kalárs szorzat: B = B..6. ektor szorzat: B = ε k B g k k g ; D = G ' ; GG =.. Másodrendű tenzor komponense a alsó ndexes komponensek kovaráns T g = T = T g ; T = g T g ; T = T g g b felső ndexes komponensek kontravaráns T g = T = T g ; T = g T g ; T = T g g c vegyes ndexű komponensek T = g Tg ; T = g T g; T = T g g ; T= T g g. T d a T szmmetrkus, akkor T = T ; T = T ; =.. Tenzorkomponensek transzformácóa... Bázs transzformácóa T 9

10 g = R g + R g + R g g = R g R R R = R R R R g = R - g ;, G = GR., R R R ; R- = R R R G = G R-. G - = R - G - ; g = R - g. G - = R G - ; g = R g.... ektorkomponensek transzformácóa = g = R - g. = R ; = R Bármely másodrendű tenzorra R R R R R R T' T' k p = R R T ; ' = R- k R kp k = R R- p ; p T k T T '..4. Egységtenzor komponense Ι = I = g, I =, I δ..5. Indexek le- és felúzása g =g k g k, g = g k g k, = g k k, = g k k, = g T =gkt kp, T =g k T k, T =g k T, k p k T p = R - k R - T kp p 0