FIZIKA. Sörlei József (Zalaegerszeg) szerző: BME Gépészmérnöki Kar. főiskolai szintű képzés. kísérleti jegyzet

Átírás

1 FIZIKA BME Gépészmérnök Kar főskola szntű képzés kísérlet jegyzet szerző: Sörle József (Zalaegerszeg)

2 Mechanka. Knematka.. Matematka alapsmeretek Koordnátarendszerek Egy geometra pont helyét ll. mozgását szükségszerűen mndg valamlyen más ponthoz vszonyítva, azaz egy bzonyos vonatkoztatás rendszerben tudjuk vzsgáln. Attól függően, hogy mlyen adatokat (koordnátákat) használunk a matematka leírásban, különféle koordnátarendszerekről beszélünk. Síkmozgás esetén ez lehet a már jól smert síkbel derékszögű koordnáta-rendszer vagy az ún. polárkoordnáta-rendszer. A síkbel polárkoordnáta-rendszerben egy pont helyzetét az O (orgó, pólus) ponttól mért távolság (r P(r,ϕ) rádusz) és egy, az orgóból knduló félegyenessel (x y tengely, polártengely) bezárt szög (ϕ polárs szög) r határozza meg. Az áttérés egyk rendszerből a máskra az alább ϕ összefüggések segítségével történhet (.. ábra alapján): O x y r x + y ; ϕarc tg.. ábra x xr cosϕ; yr snϕ x k O z r j.. ábra P(x,y.z) y A vektorokat félkövér betűvel jelöljük. A térbel helyzet megadásához leggyakrabban a Descartes-féle derékszögű koordnáta-rendszert használjuk. A P pontot a koordnáta-tengelyekre eső merőleges vetületevel, (x, y, z), írjuk le. Az r helyvektort a tengelyek rányába mutató egységvektorokkal (,j,k) a következőképpen kapjuk meg: r x + y j + z k. Két vektor szorzata lehet skalár- vagy vektormennység. Skalárszorzat: a b c b c cosϕ, ahol b és c rendre a b és c vektorok nagysága (hossza) és ϕ a két vektor által bezárt szög. Innen következk, hogy két vektor skalárszorzata akkor s lehet zérus, ha egykük sem nullvektor, amennyben φ9 o vagy 7 o. Továbbá o φ<9 o és 7 o < φ 36 o esetén a skalárszorzat poztív, míg 9 o >φ>7 o esetén negatív. Vektorszorzat: a b c (b kereszt c) olyan vektort eredményez, melynek nagysága ab c snϕ, ránya pedg a b és c vektorok által meghatározott síkra merőleges, és ha b-t a ksebb szög alatt c-be forgatjuk, a jobbmenetű csavar haladás rányával egyezk meg. A tényezők sorrendje nem cserélhető fel, mert akkor az eredmény ránya megváltozk: b c c b. Nylvánvaló, hogy két párhuzamos állású vektor vektoráls szorzata nullvektort eredményez. A későbbekben többször khasználjuk majd, hogy az így defnált szorzat műveletekre a vektorok összeadásával és számmal való szorzásával kapcsolatban ugyanolyan szabályok (kommutatvtás, asszocatvtás) állnak fent, mnt a számok halmazán értelmezett szorzás esetében.

3 Dfferencálszámítás A fzkában gyakran valamely mennység (y) változását vzsgáljuk egy másk mennység (x) függvényében. A változást a görög delta ( ) betűvel jelöljük, am matematkalag különbséget jelent úgy, hogy a mennység később értékéből kvonjuk a korább értékét. A két menynység megváltozásának hányadosa a dfferencahányados, y/ x. Ha a független változó megváltozása ( x) nagyon kcs (dfferencálsan kcs), akkor a változást d betűvel jelöljük és a dy/dx hányados dx határértékét dfferencálhányadosnak nevezzük. A dervált függvény megadja a dfferencálhányadosokat a független változó függvényében. Az f függvény derváltját f -vel jelöljük. Egy mennység dő szernt derváltját a fölé írt ponttal s szokás jelöln (pl.: r& ). Fontosabb derválás szabályok: Konstans függvény derváltja: Ha f(x)c, akkor f (x) Függvények összegének derváltja: (f(x)+g(x)) f (x)+g (x) Hatványfüggvény derváltja: Ha f(x)x n, akkor f (x)n x n- Konstanssal szorzott függvény derváltja:ha f(x) c g(x), akkor f (x)c g (x) Alapvető trgonometrkus függvények derváltja: Ha f(x)snx, akkor f (x)cosx, ha f(x)cosx, akkor f (x) snx Közvetett függvény derváltját úgy kapjuk meg, hogy a belső függvény derváltját szorozzuk a külső függvény derváltjával (pl.: ha f(x)sn(k x), akkor f (x)k cos(k x). Egy függvény adott pontban vett érntőjének meredekségét a dervált függvény helyettesítés értéke adja meg. Integrálszámítás Az ntegrálás a dfferencálás nverze: azon F függvényt, melyre fennáll, hogy F (x) f(x), az f határozatlan ntegráljának nevezzük és az F(x) f(x)dx kfejezéssel jelöljük.. Ha egy függvényhez egy konstanst hozzáadunk, akkor az eredet függvény derváltja egyenlő a konstanssal bővített függvény derváltjával, ezért F(x) csak egy konstans erejég meghatározott. Nylvánvaló vszont, hogy az F függvény bármely két pontban felvett értékének különbsége, F(a,b) F(a)-F(b), egyértelműen adott. Ezért az F(a,b) mennységet az f függvény (a,b) szakaszon vett határozott ntegráljának nevezzük. Az összegzést a görög Σ betűvel jelöljük, és a jelentésének megfelelően szummá -nak mondjuk. Ha valamely függvény alatt területet akarjuk kszámítan az (a,b) szakaszon, akkor az x tengely megfelelő részét feloszthatjuk x szakaszokra, és a területet közelíthetjük az f(x) magasságú és x szélességű téglalapok területének összegével. Egy téglalap területe f(x) x, n így az összeg f(x ) x, ahol az (a,b) szakaszt n egyenlő részre osztottuk fel. Ha a felosztást dfferencálsan kcs dx ntervallumokat véve fnomítjuk, akkor könnyen belátható, hogy a függvény alatt területet a függvény határozott ntegrálja adja meg: b F ( a, b) f ( x) dx. Fontosabb függvények határozatlan ntegrálja: n+ n x Hatványfüggvény ntegrálja: x dx n ; dx ln x n + x cos x sn x, sn x cos x Trgonometrkus függvények ntegrálja: a 3

4 .. Az anyag pont mozgásának knematka jellemzése A knematka a mechankának olyan része, am a mozgások dőbel lefolyását vzsgálja, de nem foglalkozk a mozgást okozó hatásokkal. A test anyag pontnak teknthető, ha kterjedése a mozgásra jellemző egyéb méretek (a pálya hoszza) mellett elhanyagolható. Pálya: A mozgó pont által leírt görbe. Az orgóból a testhez mutató helyvektor végpontja s ezen mozog. A pályaegyenlet ezt a görbét adja meg. A testek pályája lehet kötött (pl.: vasút sín, úthálózat, versenypálya), vagy szabad (pl.: elhajított kő, Föld körül kerngő űrhajó). Ívhossz: egyrányú mozgás esetén azon pályaszakasz hossza, melyen az anyag pont végghaladt. Út: (előjeles skalár mennység), az anyag pont mozgása során egy adott dő alatt mért pályament távolság. Jele: s, mértékegysége az méter [m]. Görbe vonalú mozgásnál a görbét egy adott hely kcsny környezetében a smulókörével helyettesíthetjük (.3. ábra). Ez a pálya legnagyobb sugarú kör, am az adott pontban (a konvex oldalról) érnt a görbét. A pálya görbülete a smulókör sugarának recproka: G/ smulókör [/m] A szögelfordulás mértékegysége SI mértékrendszerben a radán [rad]. Általános görbevonalú mozgás esetén a szöget.3. ábra kcsny elmozdulás során tudjuk értelmezn úgy, hogy az ívhosszt elosztjuk a sugárral: ϕ/s/ [m/m][] [rad]. Körmozgás esetén természetesen tetszőleges dejű mozgásra értelmezhető a szögelfordulás. y Az elmozdulásvektor a mozgás vzsgált részének kezdőpontjából a végpontjába mutató vektor. Ezt úgy kaphatjuk meg, r r(t) ha a t+ t dőpontban levő helyvektorból r( t + t) kvonjuk a t r(t+ t) dőpontbel helyvektort r (t) :.4. ábra x r r( t + t) r( t)... Sebesség y Az átlagsebesség a megtett összes út és a közben eltelt dő hányadosa, skalár mennység: s s v [m/s]. t t A pllanatny sebességet megkapjuk, ha a nagyon rövd dő alatt vett elmozdulásvektort elosztjuk r a közben eltelt dővel: v r. Az.5. ábrán látható, t r hogy ha egyre rövdebb dőtartamokat veszünk, akkor r, következésképpen v ránya egyre jobban x közeledk az érntő felé. Pontosabban fogalmazva a pllanatny sebesség.5. ábra egyenlő az elmozdulás vektor dő szernt első der- 4

5 váltjával: dr v dt r& A pllanatny sebesség nagyságát a megtett út dő szernt első derváltja adja: vds/dt s&. A sebességvektor koordnátát a helykoordnáták dő szernt első derváltja határozzák meg: v x dx/dt x& v y dy/dt y& v z dz/dt z. Ha smerjük a mozgás v(t) sebesség-dő függvényét, akkor a derválás és ntegrálás kapcsolata alapján (l.. pont) a t a és t b dőpllanatatok között elmozdulást a következőképpen számíthatjuk k: n b r ( t ) r( t ) v t ) t ( t t, t t + t, K, t t ) ll. ( t ) r( t ) v( t) dt b a ( a a n b r, ahol r ( t a ) az anyag pont helyvektora a t a dőpllanatban. Koordnátákként kírva, x( t ) x( t ) ll. b a n n vx ( t ) t y( t ) y( t ) vy( t ) t z( t ) z( t ) vz( t ) t b a b a t b n n x b a y b a z ) t x( t ) x( t ) v ( t) dt y( t ) y( t ) v ( t ) t z( t ) z( t ) v ( t t. b a a Az elmozdulás bármely derékszögű komponense tehát az adott sebességkomponens-dő függvény alatt (előjeles) területtel egyezk meg. ( A területet oly módon kell értelmezn, hogy a tengelyekkel párhuzamos távolságokat a tengelyeken levő fzka mennységekkel azonosítjuk!) Nylvánvaló, hogy valamely tengelyre vonatkoztatva vsszafelé történő mozgásnál az elmozdulás negatív értéket s felvehet. Ezzel szemben a megtett út nemnegatív mennység, melyet a n tb s v ( t ) t ll. s v( t) dt, kfejezések defnálnak, ahol v(t) v(t).... Gyorsulás A gyorsulás a sebességváltozás és a közben eltelt dő hányadosa, a sebességváltozás rányába mutató vektor: a v [m/s ] t Ha dfferencálsan kcs változásokat v veszünk, akkor azt mondhatjuk, hogy a gyorsulás a sebesség dő szernt első v derváltja, ll. az elmozdulás dő szernt másodk derváltja: v dv d r a v& a & r. v dt dt.6. ábra v v v t v t a b n Mvel a sebességnek a nagysága és az ránya s változhat, célszerű a gyorsulást komponensenként meghatározn. Az.6. ábrán látható, hogy ha a görbe vonalú pályán mozgó test sebességének a t t a 5

6 a nagysága és ránya s változk, akkor a v sebességváltozás összetehető egy csak a nagyság változásából származó v t, és egy, az rány változásából származó v komponensből. A nagyság változásából származó gyorsuláskomponens érntő rányú (tangencáls). t A tangencáls gyorsulás nagysága: at v d v dv ll. a t. t dt dt A sebesség rányának változásából származk a centrpetáls v v gyorsulás. ϕ v v ϕ v Az.7. ábra alapján belátható, v 3 hogy ha a t dőtartamot rövdítjük, akkor a v sebességváltozás v 3 ránya a kezdet sebesség rányára v 3 merőleges lesz. Ha a sebesség nagyságát v-vel jelöljük, akkor ks szögelfordulás esetén ϕ s/ v/v. Ebből a.7. ábra sebességváltozás: v s v/. Mndkét oldalt t-vel osztva, és annak fgyelembe vételével, hogy v s/ t, a centrpetáls gyorsulás nagyságára acp adódk. Ugyanakkor az.7 ábrából az s nylvánvaló, hogy a centrpetáls gyorsulás a görbület kör középpontja felé mutat. Ha smerjük az anyag pont gyorsulását az dő függvényében, akkor a sebességet a gyorsulás dő szernt ntegrálja adja meg. Az ntegrálás konstans értékét a kezdet feltétel, azaz a kezdősebesség határozza meg: Ismételten koordnátákként kírva, v v b ( t ) v( t ) + a( t) dt v. b tb tb tb x ( tb ) v x ( ta ) + ax ( t) dt v y ( tb ) v y ( ta ) + ay ( t) dt v z ( tb ) v z ( ta ) + az ( t) dt, ta ta ta tehát a sebességkomponensek megváltozását a gyorulás-dő függvény alatt (előjeles) terület adja meg. Amennyben csak a sebesség nagyságának megváltozására vagyunk kváncsak, elegendő a tangencáls gyorsulást smern az dő függvényében, a t ta tb v( t ) v( t ) + at ( t) dt. b a ta.3. Specáls mozgások knematka vzsgálata.3.. Galle transzformácó Vzsgáljuk meg a mozgások knematka jellemzőt egymáshoz képest mozgó vonatkoztatás rendszerekben.legyen adott egy K koordnátarendszer, amelyben a mozgó test helyvektora r (t). A K-hoz képest csak haladó mozgást (transzlácó) végző K rendszerben a mozgó test helyvektora r (t). K rendszerből nézve K orgójának helyvektora r ( ). t 6

7 y y r (t) r (t) r(t).. ábra x x A.. ábra alapján látható, hogy r ( t) r ( t) + r'( t). Az összegfüggvény derválására vonatkozó szabály szernt, r &( t) r& ( t) + r& '( t), azaz v ( t) v ( t) + v'( t), tehát a sebességvektorok összeadódnak. Újabb dfferencálás után kapjuk, hogy a gyorsulásvektorok s összeadódnak: a ( t) a ( t) + a'( t)..3.. Egyenes vonalú egyenletes mozgás ' s.. ábra t v t Az jellemz, hogy a sebességvektor állandó, a gyorsulása zérus. Az átlagsebesség egyenlő a pllanatny sebesség nagyságával. A megtett út egyenlő az elmozdulás nagyságával: sv t Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás Akkor jön létre, ha a gyorsulásvektor állandó, és a kezdősebesség a gyorsulással egy egyenesbe esk: a áll. Idő szernt ntegrálva kapjuk a sebességet: ll. skalár alakban: t v t) v + a dt v + a ( t t ), ( t v(t) v + a (t - t ), ahol v a t dőpllanatban mért kezdősebesség, v(t ) v Az elmozdulás a sebesség dő szernt ntegrálja: t r( t) r + v( t) dt r + v dt + a ( t t r + v ( t t ) + a ( t t ), am skalár alakban a megtett utat adja: s( t) v ( t t ) + a( t t ). t t t t t ) dt 7

8 A mozgás út dő, sebesség dő és gyorsulás dő függvényet a.3. ábrán látjuk. s v a v.3. ábra t t t t t A megtett út kszámítható a sebesség dő függvény alatt terület segítségével s: v + v s ( t t ) Hajítások A hajítás olyan mozgás, melynek gyorsulásvektora állandó, nagysága g9,8m/s m/s, ránya függőlegesen lefelé mutat. A legegyszerűbb hajítás a szabadesés, am kezdősebesség nélkül esetben jön létre. Tehát egy g gyorsulású egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás függőlegesen lefelé. A függőleges hajítás s egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás, de van függőleges kezdősebessége. Fölfelé hajításnál a kezdősebesség a gyorsulással ellentétes rányú és ellentétes előjelű, lefelé hajításnál pedg azonos rányúak.függőlegesen felfelé hajításkor a test pllanatny sebessége a keydőpllanatot zérusnak választva: v v g t,a kezdőponttól mért magasság: y v t g /. Az emelkedés dejét abból a feltételből kapjuk meg, hogy a t legmagasabb pontban a pllanatny sebesség nulla: y v max / g. ll. y v y α v v x.4. ábra A függőleges sebesség y t e v / g. Az emelkedés magassága pedg A ferde hajítás összetehető egy vízszntes rányú egyenes vonalú egyenletes és egy függőleges rányú egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásból. Ferdén fölfelé hajításnál a.4. ábra alapján írhatjuk, hogy v x v cosα és v y v snα, t dő alatt az x rányú elmozdulás x v x t v cosα t, x az y rányú elmozdulás pedg y v y t g t / v snα t g t /. Ez a pálya dő-paraméteres egyenletrendszere. Ebből t kküszöbölésével kapjuk a pályaegyenletet: v y g x x, v v x x g x y x tgα. v cos α v y v y g t v snα g t. 8

9 A emelkedés dejét abból a feltételből kapjuk meg, hogy a pálya legmagasabb pontján a függőleges sebesség zérus: t e v snα /g. Innen a maxmáls emelkedés, y v sn α / g, és az ezalatt vízszntes rányban megtett távolság, x v cosα snα / g v sn α / g. Egy adott pontban a pálya görbületét úgy határozhatjuk meg, hogy először kszámítjuk ott a sebességének g n a vízszntes és a függőleges komponensét. A v x.5. ábra alapján ϕ tg ϕ v y / v x. ϕ v y A gravtácós gyorsulás vektorát pedg felbontjuk g g t tangencáls és normáls (érntő rányú és rá merőleges) komponensekre. A normáls rányú komponens a centrpetáls gyorsulás: g n g cosϕ és g n v / Ezekből a görbület:.5. ábra g cosϕ G. v.3.5. Egyenletes körmozgás A mozgás pályája kör, és a sebesség nagysága állandó. Peródusdő (T): egy körülfordulás deje Fordulatszám (f; n):megadja az dőegység alatt megtett fordulatok számát: f /T [/s] A gyakorlatban használják az /mn mértékegységet s, amt rpm-mel s szoktak jelöln (rot per mn fordulat /perc). Az egyenletes körmozgás sebessége (kerület sebesség vagy pálya ment sebesség): v s / t π / T. A körmozgás vzsgálatánál célszerű polár-koordnátarendszert használn, mvel a sugár állandó. A szögelfordulás egyenesen arányos az eltelt dővel. Szögsebesség (ω): a szögelfordulás dő szernt első derváltja, ϕ dϕ ω ll. ω ϕ& [/s]. t dt A szögsebességet szokás vektormennységként s defnáln. Iránya a kör síkjára merőleges, és a jobb kéz szabállyal állapítható meg: ha a jobb kezünk 4 ujját a szögelfordulás rányába teszszük, akkor a knyújtott hüvelykujjunk mutatja a szögsebesség rányát. (Az óramutató járásával ellentétes rányú forgás esetén a szögsebesség vektor felénk mutat.) Tetszőleges görbevonalú mozgás esetén a pllanatny szögsebesség általános defnícója: ω n v, ahol a görbület sugár, n a görbület kör középpontjából a pálya adott pontjába mutató egységvektor, v pedg a pllanatny sebességvektor. π Egyenletes körmozgásnál a szögsebesség állandó és ω π f. T A szöghelyzet a szögsebesség dő szernt ntegrálja: 9

10 ϕ ϕ + ω t) dt ϕ + ω( t t ), t t ( ahol a kezdet t dőpllanatban vett szöghelyzet ϕ. A kerület sebesség a fent kfejezések fgyelembevételével v ω. Az egyenletes körmozgás gyorsuló mozgás, mert változk a sebesség ránya. A centrpetáls gyorsulás a kör közepe felé mutat, és a már smert képlettel számítható k: v a cp Egyenletesen gyorsuló körmozgás A mozgás pályája kör, és a tangencáls gyorsulása állandó. Polár-koordnátarendszerben vzsgálva a mozgást bevezethetjük a szöggyorsulás fogalmát, am ennél a mozgásnál szntén állandó. A szöggyorsulás (β) a szögsebesség dő szernt első derváltja, ω dω β ll. β ω& t dt. s A szögsebességet megkapjuk a szöggyorsulás dő szernt ntegrálásával, t ω t) ω + β ( t) dt ω + β ( t t ), ( t ahol ω a kezdet szögsebesség. A szögelfordulás (szöghelyzet) a szögsebesség dő szernt ntegrálásával számítható, ϕ ( t) ϕ + ω ( t t ) + β ( t t ), ahol ϕ a kezdet szöghelyzet. A megtett út és a sebesség az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásnál használt összefüggésekkel számítható k azzal a különbséggel, hogy a gyorsulás tt a tangencáls (érntő rányú) gyorsulás. A haladó mozgás és a szögjellemzők kapcsolata: s ϕ v ω at β, azaz mnden esetben a sugár az arányosság tényező. Az egyenletesen változó körmozgásnak a tangencáls gyorsuláson kívül van centrpetáls gyorsulása s: a cp a t v a a cp ω. Az eredő gyorsulás a.6. ábra alapján a Ptagorasz tétel segítségével számítható k:.6. ábra a + a t a cp.3.7. A harmonkus rezgőmozgás A rezgés tágabb értelemben egy fzka mennység egyensúly helyzet körül ngadozása. Vllamos rezgés például a hálózat váltakozó feszültség. Mechanka rezgést végez a rugóra akasztott test, ha egyensúly helyzetéből ktérítjük és magára hagyjuk. Harmonkus rezgésről beszélünk, ha a ktérés az dőnek sznuszos függvénye.

11 A harmonkus rezgés jellemző: Ktérés (y): Az egyensúly helyzettől mért távolság. Ampltúdó (A): A legnagyobb ktérés. Peródusdő (T): Egy teljes rezgés deje (Egy teljes rezgés két, egymást követő azonos fázsú állapot között megy végbe. Az azonos fázs azt jelent, hogy a rezgő test ugyanott van, és ugyanabba az rányba mozog.) Frekvenca (f): Megadja az dőegység alatt rezgések számát. f [/shz] T Körfrekvenca (ω): A frekvenca π-szerese, ω π f π / T [/s] Mnden harmonkus rezgéshez található egy olyan egyenletes körmozgás, amelynek a merőleges vetülete együtt mozog a rezgő testtel. α y A.7.ábra A.7. ábrán az α szöghöz tartozó y ktérés a körmozgás alapján: y snα, de A és αω t, így a rezgés ktérése: y(t)a sn(ω t). Ha a t dőpontban a ktérés nem zérus, akkor y(t)a sn(ω t+ϕ ), ahol ϕ a kezdet fázs. A ktérés dő szernt első derváltja adja a sebességet, v(t) y& (t) A ω cos(ω t+ϕ ), ahol a legnagyobb sebesség: v max A ω. A sebesség dő szernt derváltja a gyorsulás, a A ω sn(ω t+ϕ ) ahol a legnagyobb gyorsulás: a max A ω. Nylvánvalóan fennáll az a ω y összefüggés, azaz a gyorsulás (és, mnt nemsokára látn fogjuk, a mozgást létrehozó erő s) a ktéréssel egyenesen arányos és ellentétes rányú.

12 . Dnamka.. Inercarendszer Dnamka: A mozgást okozó hatásokat kutatja. A testeket most tömegpontoknak tekntjük, am azt jelent, hogy a kterjedésüket elhanyagoljuk, de a tömegüket fgyelembe vesszük. A mozgásokat mndg valamlyen vonatkoztatás rendszerben vzsgáljuk. Az nercarendszer olyan vonatkoztatás rendszer, amelyben a meglökés után magára hagyott pontszerű test egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. Ilyen rendszernek teknthető az állócsllagokhoz rögzített koordnátarendszer. A legtöbb esetben a Földhöz rögzített vonatkoztatás rendszer s lyennek teknthető. Egy nercarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző rendszer s nercarendszer. (Ez gaz akkor s, ha a két rendszer relatív sebessége megközelít a fénysebességet, csupán az előző fejezetben tárgyalt Galle transzformácót kell lecserélnünk az ún. Lorentz transzformácóra.) A dnamka alaptörvénye nercarendszerben érvényesek... A dnamka alaptörvénye (Newton törvénye)... A dnamka I. alaptörvénye Ezt a törvényt tehetetlenség törvénynek s szokás nevezn: Mnden test nyugalomban marad, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez a kezdet állapotától függően mndaddg, amíg valamely más testtel való kölcsönhatása annak megváltoztatására nem kényszerít. Ez azt jelent, hogy a nyugalom és az egyenesvonalú egyenletes mozgás dnamka szempontból megkülönböztethetetlen. Más megfogalmazásban: Mnden test nyugalomban marad, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez a kezdet állapotától függően mndaddg, amíg a ráható erők eredője nulla. Matematka formában: v állandó, ha ΣF Ha az állandó zérus, akkor nyugalomban van a test. A fent törvény felfedezése azért volt nehéz feladat, mert azt tapasztaljuk, hogy az ellökött és magára hagyott test megáll. A valóságban azonban az lyen test csak látszólag magára hagyott, ténylegesen kölcsönhatásban van a talajjal, a súrlódás fékez le.... A dnamka II. alaptörvénye Ahhoz, hogy egy test mozgásállapotát megváltoztassuk, egy másk testtel való kölcsönhatásra van szükség, melyet kvanttatíven erőként értelmezünk. Az erő vektormennység, mérése különböző fzka hatásokon keresztül lehetséges. A tapasztalat szernt ugyanazon a testen nagyobb erő nagyobb gyorsulást hoz létre. Ugyanakkora erő vszont a különböző testeket általában különböző mértékben gyorsítja pl. ha egy azonos mértékben összenyomott rugóval különböző testeket ellökünk. A testek tehetetlenségének a mértéke a tömeg, jele: m, mértékegysége kg. Az a test tehetetlenebb, amelyk ugyanakkora erő hatására kevésbé gyorsul. A dnamka II. alaptörvénye, az erő értelmezése: A testre ható erő egyenesen arányos az általa okozott gyorsulással, és az arányosság tényező a test tehetetlen tömege. Az erő és a gyorsulás egyrányúak: F m a. Ezt az egyenletet mozgásegyenletnek s nevezk.

13 Ezen törvény lehetőséget ad a tömeg mérésére anélkül, hogy az erőhatást konkrétan smernénk. Ha ugyans különböző testeket azonos erővel gyorsítunk, akkor Fm a és Fm a. Ebből a gyorsulások mérésével meghatározhatjuk a tömegek arányát: m a. m a Ha az m tömeget egységnynek választjuk, akkor egy tetszőleges test tömege az előbb összefüggés alapján meghatározható. A tömeg egységének az dm 3 térfogatú 4, C hőmérsékletű desztllált víz tömegét választották, és kg-nak nevezték el. Etalonja egy platna-rdum ötvözetből készült henger, amt Sevres-ben őrznek. Ha a tömeg egységét megválasztottuk, akkor az erő mértékegysége a fent egyenlettel ugyancsak rögzíthető. Megállapodás szernt, az egységny erőhatás kg tömeget m/s gyorsulással mozgat. Az erő mértékegysége tehát kg N newton. m s m Sűrűség A test tömegének és térfogatának hányadosa az átlagos sűrűség: ρ mér- V kg tékegysége az 3. A hely (lokáls) sűrűség az anyag egy nfntezmáls, dm tömegű és dv m térfogatú, darabjára vonatkozk: dm ρ (r), és az anyagon belül helyről helyre változhat. dv..3. A dnamka III. alaptörvénye Hatás - ellenhatás (akcó - reakcó) törvénye: Ha egy test erőt fejt k a máskra, akkor az vsszahat az elsőre. Ez a két erő közös hatásvonalú, egyenlő nagyságú, ellentétes rányú, és a két különböző testre hat: F, F,., ahol F, az -es test által a -es testre kfejtett erőt, F, pedg a -es test által az -es testre kfejtett erőt jelöl. Felmerülhet a kérdés, hogy akkor mért a ló húzza el a kocst, és mért nem a kocs a lovat? Erre a kérdésre a harmadk test, a talaj fgyelembevételével adhatjuk meg a választ. A ló és a kocs egymásra egyenlő nagyságú és ellentétes rányú erőt fejt k. A ló azonban nyomja a talajt hátrafelé a lábával, ezért a talaj ugyanakkora erővel nyomja előre a lovat. Ha ez az erő nagyobb, mnt amt a kocs fejt k a lóra, akkor a ló előrefelé fog haladn (gyorsuln)...4. A dnamka IV. alaptörvénye Szuperpozícó elv, az erőhatások függetlenségének elve: Ha egy testre több erő hat (F,,,n) akkor a test gyorsulását megkaphatjuk úgy, hogy az egyes erők által okozott gyorsulásvektorokat összegezzük, vagy először meghatározzuk az erők vektor összegét, az eredő erőt, és ezzel számítjuk a test gyorsulását: n F m a Mvel az erők egymástól függetlenül fejtk k hatásukat, ezért több erőt helyettesíthetünk a vektor összegével (eredő erő), vagy egy erőt vektor összetevővel. Mndg a számunkra kedvezőbb, egyszerűbb eljárást választjuk. Pl. a ferde hajításnál a vízszntes és függőleges rányú mozgás a függetlenség elv matt vzsgálható külön. Ha egy testet felemelünk, akkor vszont a gyorsulása úgy határozható meg 3

14 egyszerűen, hogy először kszámítjuk az eredő erőt (ΣFF emelő -m g), és ezzel számítjuk a mozgásegyenletből a gyorsulást. Impulzus (lendület; mozgásmennység): a test tömegének és sebességének szorzata, a sebesség rányába mutató vektormennység. I m v, mértékegysége: kg m/s. Ha a mozgásegyenletbe behelyettesítjük a gyorsulás dfferencáls értelmezését, v F m a m, t akkor átrendezve kapjuk, hogy F t m v (m v) I. Az egyenlet bal oldalán álló mennységet lökésnek nevezzük. Pl.: a bobosok annál nagyobb lökést fejtenek k a bobra, mnél nagyobb erőt képesek kfejten rá, és mnél hosszabb deg hat az erő. A jobb oldalon álló mennység a test lendületváltozása. Az így kapott törvényt lendület-tételnek nevezzük, mely szernt tehát egy test lendületének megváltozása egyenlő a rá ható erők lökésével..3. A dnamka alaptörvénye a mozgásmennység alapján Vzsgáljunk olyan kölcsönhatást, amelyben csak két test vesz részt (párkölcsönhatás). Ilyenkor a két test sebességváltozása mndg ellentétes rányú. A tehetetlenebb test sebességváltozása ksebb. Párkölcsönhatásban a testek tömegének és sebességváltozásának szorzata egyenlő nagyságú, vagys: m v m v m v + m v I + I. Ez azt jelent, hogy párkölcsönhatás esetén az mpulzusok vektor összege állandó, hszen a lendületváltozások összege nulla. Ez a lendület-megmaradás törvénye. Azt a hatást, amkor egy test megváltoztatja a másk test mozgásállapotát, erőhatásnak nevezzük. Az erő mértéke az általa okozott mpulzusváltozás sebessége, valamnt az erő és az mpulzusváltozás egyrányúak: di F I&. dt Ha de beírjuk a lendület értelmezését, és fgyelembe vesszük, hogy a tömeg állandó és ezért a dfferencáláskor kemelhető, akkor dv F m m a, dt vagys vsszakaptuk Newton II. törvényét. dv Ha m és F, akkor, amből következk, hogy v állandó, vagys megkaptuk dt Newton I. törvényét: Két test kölcsönhatásánál m dv m dv.mndkét oldalt dt-vel osztva kapjuk Newton III. törvényét, mert m F, tehát F, dv F, : dt Szuperpozícó (Newton IV. törvénye): A tapasztalat szernt ha egy testre több erő hat, akkor azok hatása egymást nem zavarva összegződnek: F I &. 4

15 .4. Erőtörvények.4.. Gravtácós erő (tömegvonzás) Mnden test a máskra a tömegekkel (m, m ) egyenesen arányos vonzóerőt fejt k. Ez az erő fordítottan arányos a pontszerű testek között távolság (r) négyzetével. Pontszerűnek teknthetjük a testeket lyen szempontból, ha a köztük lévő távolsághoz képest a testek mérete kcs. m m m m r, m m F f, ll. vektorosan: F, f f r 3, r r r r r, A képletben szereplő F, az jelű test által a jelű testre kfejtett erő, az jelű anyag r ponttól a jelű felé mutató egységvektor, a negatív előjel pedg az ezzel ellentétes rányt, a Nm vonzást fejez k. Az f gravtácós állandó értéke: f 6,67, amt először kg Cavendsh határozott meg torzós ngával. Magát a törvényt Newton fedezte fel. Felsmerte, hogy a Föld által a Holdra kfejtett erő, am a pályáján tartja a Holdat, azonos fajta erő azzal, am a Föld közelében a magára hagyott testeket g gyorsulással gyorsítja. Eötvös Loránd gen nagy pontossággal kmutatta, hogy a gravtácós vonzóerő független a testek anyag mnőségétől, valamnt, hogy az erőtörvényben szereplő (gravtácós) tömeg a tehetetlen tömeggel egyezk meg. Gömbszmmetrkus homogén héjakból álló testeket a gömbön kívül testre gyakorolt hatás szempontjából a középpontjukba helyezett összes tömeggel helyettesíthetjük. Általában azonban nem gaz az, hogy egy kterjedt testet a gravtácós erő szempontjából a tömegközéppontjába képzelt tömegével helyettesíthetünk. Homogén gömbhéj üregében bármely pontban egy pontszerű tömegre a gömbhéj által gyakorolt gravtácós erő nulla..4.. Nehézség erő, súly, súlytalanság A Földön, adott helyen, légüres térben mnden magára hagyott test azonos gyorsulással mozog. Ezt a gyorsulást nevezzük gravtácós gyorsulásnak (g). Értéke függ a földrajz helyzettől, a tengersznt felett magasságtól, a Föld hely összetételétől, a Földnek a Naphoz ll. a Holdhoz vszonyított helyzetétől A nehézség erő az az erő, am a Föld közelében a magára hagyott testeket gyorsítja: F n m g. Ez az erő a Föld gravtácós vonzóerejéből származk elsődlegesen, de a Föld forgása matt nem egyenlő vele (l. később). Ha a testet alátámasztjuk, ugyanekkora erővel kell tartan. A súly az az erő, amellyel egy test a vízszntes alátámasztást nyomja, vagy a függőleges felfüggesztést húzza. Szokásos jele: G. Testek súlya függőlegesen gyorsuló rendszerben: Ha egy vízszntesen alátámasztott nyugvó testet vzsgálunk, F t akkor azt mondhatjuk, hogy hat rá a nehézség erő és a tartóerő, amelyek kegyenlítk egymást: m g + Ft a m mg m g F t. A tartóerő ellenereje a test súlya, vagys G Ft m g, am az alátámasztást nyomja. G.. ábra 5

16 Ha azonban az alátámasztott test pl. egy gyorsuló lftben van, akkor megváltozk a test súlya. Gyorsuljon a lft fölfelé. Vele együtt gyorsul a test s. Tekntsük ezt az rányt poztívnak. A 3.. ábra alapján felírhatjuk a mozgásegyenletet: F t m g m a. Ebből F t m g + m a m (g+a), vagys a test súlya megnövekedett, mert G F. Ha a lft lefelé gyorsul, akkor a gyorsulás negatív előjelű, ezért, F t m (g a), tehát lyenkor a test súlya csökken. Ha a lft szabadon esk, akkor ag, és így F t. Ilyenkor a test nem nyomja az alátámasztást, tehát súlytalan ugalmas erő; lneárs erőtörvény Ha egy csavarrugóra húzóerőt fejtünk k, akkor az megnyúlk. Ez a nyúlás addg tart, amíg a rugó által fordított rányban kfejtett erő a húzóerőt k nem egyenlít. A nyúlás bzonyos határg egyenesen arányos a húzóerővel. A rugóerő tehát a megnyúlással ( l) egyenesen arányos, és vele ellentétes rányú: F D l. Az arányosság tényezőt drekcós állandónak (D) vagy rugóállandónak nevezzük, am a rugó egységny megnyújtásához szükséges erőt adja meg. Mértékegysége N/m. Megjegyzendő, hogy D elnevezése nem egységes. Szokás D-t rugómerevségnek, a recprokát pedg rugóállandónak nevezn. A mértékegységéből derül k, hogy melyk értelmezés módról van szó. A rugóerő és a megnyúlás között egyenes arányosság tesz lehetővé, hogy lneárs skálájú rugós erőmérőt készíthessünk. (Léteznek nemlneárs karaktersztkájú rugók s, például változó keresztmetszetűek).4.4. Szabaderők és kényszererők Szabaderők: Olyan erők, amelyek nagyságát és rányát valamlyen erőtörvénnyel adhatunk meg, más erőktől ll. külső körülményektől függetlenek. Ilyenek pl. a már megsmert gravtácós vonzóerő vagy a rugóerő. Szabad mozgás esetén a testre csak szabaderők hatnak (pl. vákuumban elhajított kő, égtestek mozgása). Kényszermozgásról beszélünk akkor, ha a test csak valamlyen előre meghatározott pályán ll. geometra feltétel (vonal vagy felület) mellett mozoghat. Ilyen pl. egy merev lejtőn vagy sínen való mozgás, vagy a fonalnga lengése. A mozgást korlátozó geometra feltételek a kényszerfeltételek. Kényszererők: Azon erők, amelyek - a szabaderőkkel együtt - bztosítják, hogy a test a kényszerfeltételeknek megfelelően mozogjon. Értelemszerűen csak kényszermozgás esetén lépnek fel.. A kötélerő mndg fonalrányú. Vzsgáljuk meg egy kényszerfelület által kfejtett erőt! A szabaderők eredőjét (F) felbonthatjuk a felülettel párhuzamos és a felületre merőleges (F n ) komponensekre. Legyen a kényszererő F k, a felületre merőleges gyorsuláskomponens a n. Ekkor a normálrányú mozgásegyenlet: F k + F n m a n, és ebből F k m a n F n. t 6

17 Nyugvó, merev, súrlódásmentes sma felület a felületre merőleges kényszererőt fejt k a mozgó testre. mert a n, és így F k F n. v Nyugvó, görbült felület esetén an acf, ezért a kényszererő a sebességtől s függ, de r még mndg merőleges a kényszerpályára Súrlódás Csúszás súrlódás Ha egy test egy másk testen csúszk, akkor fellép egy, a felülettel párhuzamos kényszererő s, amt csúszás súrlódás erőnek nevezünk. Ez az erő egyenesen arányos a felületekre merőleges nyomóerővel (F n ), valamnt függ az érntkező anyagok fajtájától és érdességétől. Iránya a vszonylagos elmozdulással ellentétes rányú. v F s µ F n ll. vektorosan Fs µ Fn, v ahol µ a csúszás súrlódás tényező és v a két felület relatív sebessége. Azt s szokták mondan, hogy a súrlódás mozgást akadályozó erő. Ez csak annyban gaz, hogy a felületek vszonylagos elmozdulását akadályozza, de nem jelent azt, hogy egy test nercarendszerhez képest sebességét nem növelhet. Például egy ékszíjnál mndg van egy ks csúszás, mégs mozgásba hozza a hajtott tárcsát. Ha egy füzetre ráteszünk egy könyvet, és a füzetet megrántjuk, akkor a könyv az asztalhoz képest a füzettel egy rányba mozdul el, de a füzethez képest hátrafelé. Mvel a vszonylagos elmozdulást akadályozza a súrlódás erő, a könyvre a füzet mozgásával megegyező rányba hat Tapadás súrlódás Olyan, az érntkező felületekkel párhuzamos erő, am megakadályozza a felületek vszonylagos elmozdulását. Ha az érntkezés hely nercarendszerbel gyorsulásának a felületekkel párhuzamos komponense a p, a több erő eredőjének a felülettel párhuzamos komponense F p, akkor F + F m a ts p Ha nncs gyorsulás, akkor a tapadás súrlódás kegyenlít a több erő eredőjének a felületekkel párhuzamos komponensét: Fts Fp. A tapadás súrlódás erő maxmuma: F tsmax µ F n A tapadás súrlódás erő: F ts µ F n, ahol µ a tapadás súrlódás tényező. Azonos anyagok esetén a csúszás súrlódás tényező mndg ksebb mnt a tapadás súrlódás tényező Közegellenállás Ha egy test az őt körülvevő közeghez képest mozog, akkor a közeg akadályozza a mozgását. A közegellenállás erő egyenesen arányos a relatív sebességgel (v), az áramlásra merőleges keresztmetszettel (A), és a közeg sűrűségével (ρ): Fc A ρ v ll. vektorosan F c A ρ v, ahol c az ún. alaktényező. p.5. Mozgások dnamka leírása egymáshoz képest mozgó vonatkoztatás rendszerekben Jelöljön K egy nercarendszert, amhez képest a K vonatkoztatás rendszer mozog. A dnamka egyenletek tárgyalásánál az.3.. pontban bevezetett jelöléseket ll. Galle transzformácót fogjuk alkalmazn. 7

18 .5.. Az nercarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatás rendszer A K rendszer egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, ezért a a', m a m a' ; F m a. Az nercarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző koordnátarendszerben az anyag pont mozgását ugyanaz a dnamka egyenlet írja le, mnt az nercarendszerben. Az egymáshoz képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatás rendszerek egyenértékűek. Semmlyen dnamka kísérlettel nem dönthető el, hogy egy rendszer egy nercarendszerhez képest áll, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. Ezt nevezzük Galle-féle relatvtáselvnek..5.. Az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló vonatkoztatás rendszer Az.3.. pontban láttuk, hogy a K rendszerben a gyorsulás a K rendszer gyorsulásának és a test K -bel gyorsulásának vektor összege: a a + a. Mndkét oldalt szorozva a tömeggel: m a m a + m a, amből következk, hogy F m a m a A K gyorsuló rendszerben tehát nem gaz, hogy a tömeg és gyorsulás szorzata megegyezk a testre ható erővel (ll. azok eredőjével), hanem ahhoz hozzá kell adnunk az Ft m a, tehetetlenség (fktív) erőt. Ekkor teljesül, hogy F + F F m a t. A gyorsuló rendszer tehát nem nercarendszer. A gyorsuló rendszerben a testre ható valóságos erőkön kívül hat a tehetetlenség erő s. A tehetetlenség erőnek nncs ellenereje. Ez az az erő, amelyk például egy fékező autóbuszon az embereket előredönt, vagy egy nagy gyorsulással nduló autóban az utasok ettől süppednek az ülésbe. Kívülről nézve az utóbb esetet, azt mondhatjuk, hogy ahhoz, hogy az utas az autóval együtt gyorsuljon, kell egy előre ható erő, amt az ülés fejt k a testre. A gyorsuló autóból szemlélve ugyanezt úgy fogalmazhatunk, hogy az utasra hat előre az ülés által kfejtett erő, valamnt a m a nagyságú tehetetlenség erő, amelyek eredője nulla, és az utas az autóhoz képest egyensúlyban marad Egy helyben forgó állandó szögsebességű vonatkoztatás rendszer.. ábra Egyenletesen forgó rendszerben nyugvó testre ható tehetetlenség erő Vzsgáljuk meg azt az esetet, amkor egy egyenletesen forgó korongon nyugalomban van egy test. Például egy rugó egyk végét rögzítsük a tengelyhez, a másk végéhez pedg rögzítsünk egy golyót a.. ábrának megfelelően. A golyó a koronggal együtt egyenletesen forog, a rugó nyújtott állapotban van. Kívülről, nercarendszerből nézve azt mondhatjuk, hogy a golyóra a nehézség erőn és a tartóerőn kívül hat a rugóerő, am az egyenletes körmozgáshoz szükséges 8

19 centrpetáls erőt bztosítja: F D l m r ω m a cp. A forgó rendszerből vzsgálva a jelenséget úgy fogalmazhatunk, hogy a golyóra kfelé hat egy m a cp nagyságú tehetetlenség erő, és ezt kegyensúlyozza a rugóerő, így a golyó egyensúlyban van. Ezt a forgó rendszerben kfelé ható tehetetlenség erőt centrfugáls erőnek nevezzük. Ez az erő vsz k a centrfugában nagy sebességgel forgó ruhából a vzet, vagy ez az erő vsz jobban kfelé a nagyobb sűrűségű anyagot egy folyadékban, és így lehetőség van a különböző sűrűségű anyagok szétválasztására. Ez a berendezés a centrfugáls szeparátor Egyenletesen forgó rendszerben mozgó testre ható tehetetlenség erők Ha a koronghoz képest a test mozog s, akkor egy másk tehetetlenség erő s fellép. Nézzük meg a.3. ábrán levő kísérletet. Az egyenletesen forgó korong P pontjából az A pont felé elgurítunk egy golyót v kezdősebességgel. A golyó és a korong között súrlódást tekntsük elhanyagolhatónak. Ha a golyó a B pontban esk le a korongról és eközben a P pont a P pontba ér, a golyó P B görbét (parabolát) súrolja végg a korongon. C B r ω P Kívülről, nercarendszerből nézve azt r mondhatjuk, hogy a golyónak volt a A P v körmozgásból származó r ω nagyságú kezdősebessége, és ehhez adódk hozzá vektorálsan a v sebesség. Mvel elhanyagolható a súrlódás, a golyó az eredő sebességgel egyenesvonalú egyenletes mozgással halad a B Forgó pont felé. rendszerből vzsgálva a kísérletet,.3. ábra ugyancsak a függetlenség elvet alkalmazhatjuk. Mközben a P pontból a golyó sugárrányban egyenletesen halad, az A pont a C r helyére, a P pont P helyére jut. A közben eltelt dő t. A golyó azonban a C pont helyett B-nél esk le, tehát egy tehetetlenség erő eltérítette a sebességre merőlegesen. Ezt az erőt v Corols -erőnek nevezzük. A sugárra merőleges rányban a golyó egyenletesen gyorsuló mozgást végez kezdősebesség nélkül. A t dő alatt megtett útja a ϕ ( r) ω t ( r) C t. Ebből a Corols-gyorsulás a C v ω, a Corols-erő pedg F C m v ω. A.3. ábra alapján vektorálsan: F C m v ω. Az egyenletesen forgó rendszerben a v sebességgel mozgó testre tehát a valód erőkön (F v ) kívül a centrfugáls erő (F cf ) és a Corols-erő hat. Ebben a rendszerben a test mozgásegyenlete: F + F + F m a v cf C. 3. A mozgásegyenlet alkalmazása 9

20 3.. A perdület (mpulzusmomentum) és forgatónyomaték Írjuk fel a mozgásegyenletet a lendületváltozás segítségével, és szorozzuk meg balról vektorálsan az r vektorral, am egy kválasztott pontból a testhez rányított helyvektor: m v ( r mv) r r F, ll. r F t t Az egyenlet bal oldalán szereplő N r m v mennységet perdületnek nevezzük. Egy test adott pontra vonatkoztatott perdülete (mpulzusmomentuma) a pontból a testhez rányított helyvektor és a test lendületének vektorszorzata: m N r m v, ll. Nr m v snα, mértékegysége kg s ahol α-az r és v vektorok által bezárt szög. Az mpulzusmomentum vektor az r és v vektorok síkjára merőleges, és rányát a jobbmenetű csavar haladás ránya adja meg, ha az r vektort a ksebb szög alatt v-be forgatjuk. A kr snα szorzat megadja az mpulzusvektor hatásvonalának a ponttól mért merőleges távolságát. Ezt az mpulzusvektor karjának nevezzük. Az egyenlet jobb oldalán szereplő mennység az erő pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka: M r F, ll. MF r snα, kr snα - az erő karja A forgatónyomaték mértékegysége newtonméter [Nm] A forgatónyomaték nagysága egyenlő az erő és az erőkar szorzatával, ránya az r és F vektorok által meghatározott síkra merőleges, és ha r vektort a ksebb szög alatt F-be forgatjuk, a jobbmenetű csavar haladás rányával egyezk meg. m v Az r r F egyenlet azt jelent, hogy a forgatónyomaték egyenlő a test dőegység alatt bekövetkező perdületváltozásával: M N& t t N Ezt átrendezve a lendülettétellel analóg összefüggést kapunk, amt perdülettételnek nevezünk: A test perdületének megváltozása egyenlő a testre ható forgatónyomaték és a hatás dőtartamának szorzatával (a forgatólökéssel): M t N 3.. Centráls erők. A terület sebesség. Centráls erők tétele Az olyan erőt, amelyknek a hatásvonala mndg ugyanazon a ponton megy keresztül, centráls erőnek, azt a pontot pedg, amelyken keresztülmegy, centrumnak nevezzük. Ilyen erő pl. egy pontszerű test vagy egy homogén gömb által egy máskra kfejtett gravtácós vonzóerő, vagy a pontszerű töltések által egymásra kfejtett vonzó vagy taszítóerő. A centráls erőtérben mozgó test mpulzusmomentuma állandó, ugyans a centráls erő r {F(r)} felírható a következő alakban: F ( r) f ( r) r ahol f(r) az erő nagysága a távolság függvényében, r pedg az erőcentrumból kfelé mutató helyvektor. r dv A mozgásegyenlet : f ( r ) m a m r dt Szorozzuk meg balról vektorálsan mndkét oldalt r - rel, ekkor r dv r f ( r) r m r dt

21 Mvel az egyenlet bal oldalán szereplő két vektor párhuzamos, a vektorszorzatuk nulla, d vagys r m v, amt ntegrálva kapjuk, hogy r m v c áll. dt A konstans vektor azt s jelent, hogy a centráls r erőtérben való mozgás síkmozgás a c-re merőleges v síkban. (Kepler. törvénye: A bolygómozgás síkmozgás) A A terület sebesség egy olyan vektor, melynek nagysága megadja a centrumból a testhez húzott vektor (vezérsugár) által dőegység alatt súrolt területet: f r v Iránya az r és v vektorok által meghatározott síkra merőleges, és a vektorszorzat szabálya szernt állapítható meg. A 3.. ábrán felénk mutat. A perdület állandóságának következménye, 3.. ábra hogy a centráls erőtérben mozgó test centrumra vonatkoztatott terület sebessége állandó. r r r N r mv m r v m r m t t Mvel ks t dő esetén a háromszög területe Ar r/, a perdület A A N m állandó, vagys állandó (Kepler II. törvénye: A Naptól a bolygóhoz t t húzott vezérsugár egyenlő dőközök alatt egyenlő területeket súrol.) Centráls erők tétele: A centráls erőtérben a tömegpont síkmozgást végez úgy, hogy a centrumra vonatkoztatott terület sebessége állandó A munka és a teljesítmény A munka A munka egyenlő az erő és az elmozdulás skalárszorzatával: W F r, ll. WF r cosα ahol α az erő és az elmozdulás által bezárt szög. Más megfogalmazásban a munka egyenlő az erő, és az erő rányába történő elmozdulás szorzatával. Skalár mennység. WF r, ha F párhuzamos r-rel Mértékegysége: [NmJ] joule (dzsúl) Nncs munkavégzés akkor, ha az erő merőleges az elmozdulásra. Ha egy testre több erő hat, akkor az eredő erő munkája egyenlő az erők munkának összegével. Ha az erő nem állandó, de párhuzamos az elmozdulással, akkor az elem munkavégzés egy rövd s úton: F WF s ll. dwf ds Mndkét oldalt ntegrálva kapjuk a végzett összes W 3.. ábra s munkát: W B A F d s

22 Ennek szemléletes jelentése: Ha smerjük az erőt a vele párhuzamosan megtett út függvényében, akkor a grafkon alatt terület megadja a végzett munkát (3.. ábra) A teljesítmény Az átlagteljesítmény megadja az egységny dő alatt végzett munkát: W P t J Mértékegysége: [ W] s watt. A pllanatny teljesítmény egyenlő a végzett munka dő szernt első derváltjával: W dw P ll. P t dt Ha egy v sebességű testre F erő hat, akkor a pllanatny teljesítménye: F r r P F F v t t Az erő pllanatny teljesítménye egyenlő az erő és a sebesség skalárszorzatával Hatásfok A hasznos munka és az összes (befektetett) munka, ll. a hasznos teljesítmény és az összes W h Ph teljesítmény hányadosa: η Wö Pö Ideáls esetben η, a valóságban azonban η< Energa. Néhány erőfajta munkája. Mechanka energafajták. Munkatétel Az energa munkavégző képesség Egy test vagy rendszer energája egyenlő azzal a munkával, amt végezn képes, mközben egy meghatározott alapállapotba jut, vagy azzal a munkával, amt deáls esetben végeznünk kell ahhoz, hogy a testet az alapállapotból egy adott állapotba juttassuk. Jele: E, mértékegysége: [J] joule Konzervatív erők: Azok az erők, amelyek által végzett munka csak a kezdő és a végponttól függ, de független attól, hogy mlyen úton jutott a test az egyk pontból a máskba. Ez azt s jelent, hogy egy zárt görbe mentén végzett összes munka zérus (pl.: nehézség erő munkája). A konzervatív erőteret potencálos erőtérnek nevezzük. Ez azt jelent, hogy az erőtér mnden pontjához megadhatunk egy potencált (potencáls energa), am egyenlő azzal a munkával, amt a konzervatív erő végez, mközben a test az adott pontból egy választott vonatkoztatás pontba jut. Ha egy test konzervatív erőtérben az A pontból a B pontba jut, akkor a konzervatív erőtér által kfejtett erő munkája egyenlő a test potencáls energája megváltozásának mínusz egyszeresével: W A WA B + WB Ebből: WA B WA WB WA WB ( WB WA ) W Dsszpatív erők: A végzett munka nagysága nem csak a szélső pontok helyzetétől függ, hanem attól s, hogy mlyen úton jut el a test az egyk pontból a máskba (pl. súrlódás erő munkája). A dsszpatív erő a mechanka energát szétszórja (dsszpál szétszór), rendezetlenné tesz, hővé alakítja.

23 3.4.. A rugóerő munkája, a rugalmas energa F r l l F r F r W 3.3. ábra l Ha egy rugót megnyújtunk, munkát végzünk, mközben a rugóban energa tárolódk. A rugó összehúzódásakor deáls esetben ugyanenny munkát képes végezn. Ez kszámítható a 3..ábrán látható trapéz területeként: Fr + Fr W E ( l l) Mvel F r D l, a végzett munka és a rugalmas energa változása: W E D Ha a nyújtatlan rugó rugalmas energája zérus, akkor a rugalmas energa: A nehézség erő munkája, a helyzet (potencáls) energa ( l + l ) ( l l ) D ( l l ) E r D l Ha egy testet állandó sebességgel felemelünk h magasságba, a nehézség erő egyenlő az emelőerő nagyságával. A végzett munka és a test helyzet energájának megváltozása: W E h m g h, független az úttól, tehát a nehézség erő konzervatív. A helyzet (potencáls) energa egy általunk szabadon választott nulla sznthez értendő: E h m g h Ha a test a nulla sznt alatt van, akkor a potencáls energája negatív, ha fölötte van, poztív előjelű A gravtácós erő munkája A gravtácós erőtér szntén konzervatív. A gravtácós erő által végzett munka: m m m m W g f dr f f m m r r A gravtácós potencáls energa legyen nulla a tér végtelen távol pontjaban (, és / ). Ekkor a gravtácós mezőben levő m tömegű test potencáls energája: E gr f m m A rugalmas energát, a nehézség erőtérben levő magasság energát és a gravtácós erőtérben lévő energát gyűjtőnéven szokás helyzet vagy potencáls energának nevezn, hszen az első esetben a rugó megnyújtott helyzetéből, a másk két esetben a testnek az erőtérben lévő helyzetéből származk az energája A kényszererő munkája Ha a kényszererő merőleges a sebességre, akkor nem végez munkát. Ilyen kényszererőt fejt k egy nercarendszerben a nyugvó merev kényszerfelület a rajta mozgó testre, de lyen az nga fonala által kfejtett erő s. 3

24 A gyorsító erő munkája, a mozgás energa. Munkatétel Ha egy v kezdősebességű testet a sebességgel párhuzamos állandó erővel (a testre ható eredő erő) gyorsítunk, akkor a test egyenesvonalú egyenletesen változó mozgást végez. Ekkor v + a végzett munka: W F s F v v v t, a munkavégzés deje t, a mozgásegyenlet a pedg: Fm a v+ v v v A gyorsító erő munkája W m a, amből egyszerűsítés és rendezés után a kapjuk, hogy W m ( v v ). A kapott egyenletet munkatételnek s szokás nevezn. Ez azt mondja k, hogy a testre ható erők eredőjének munkája (vagy a testre ható erők munkának összege) egyenlő a test mozgás energájának megváltozásával. Mozgás (knetkus) energa: E m m v Egy test mozgás energája nem lehet negatív előjelű mert negatív tömeg nncs, v pedg csak poztív lehet. Mvel a sebesség függ a vonatkoztatás rendszer megválasztásától, a mozgás energa s rendszerfüggő A mechanka energa-megmaradás elve Ha egy pontszerű testre csak konzervatív erők hatnak, akkor a mechanka energának összege állandó. A munkatétel alapján ugyans ha egy test az A pontból a B pontba jut egy tetszőleges pályán, akkor WA B E pa E pb m v B m v A. Ezt átrendezve kapjuk, hogy E p +E m állandó E p - az összes potencáls energa, E m a mozgás energa. 4. Pontrendszerek dnamkája Pontrendszer: Egymással valamlyen kapcsolatban álló tömegpontok halmaza. A rendszer elemet tetszőlegesen választhatjuk meg. Kötött pontrendszer: Amelynek tagja valamlyen kényszer mentén egymáshoz képest nem mozdulhatnak el. Szabad pontrendszer: A rendszer eleme között távolság szabadon változhat. Belső erők: Amelyeket a rendszer tagja fejtenek k egymásra. F k jelent az -edk testre a k-adk test által kfejtett belső erőt. Külső erők: Amelyeket a rendszerhez nem tartozó testek fejtenek k a rendszer bármelyk elemére. F -vel jelöljük az -edk testre ható külső erők eredőjét. Zárt rendszer: Amelyre ható külső erők eredője nulla. 4.. Pontrendszer mozgásának vzsgálata mozgásegyenlet-rendszerrel A véges számú elemből álló pontrendszer mnden elemére felírhatjuk a mozgásegyenletét. Az -edk tömeg mozgásegyenlete: F F m a + k 4

25 Ha smerjük a belső és külső erőket, akkor az egyenletrendszerből a gyorsulások meghatározhatók. Ezek és a kezdet feltételek smeretében a több knematka jellemző s kszámítható. Leegyszerűsít a feladatot, ha a pontrendszer kötött, mert a kényszerfeltételek matt a gyorsulások, a sebességek ll. az elmozdulások között a kényszertől függő meghatározott öszszefüggések írhatók fel. F n F F k s m g 4.. ábra F k m m g Az 4.. ábrán két testből álló kötött pontrendszert látunk. A két test gyorsulása nyújthatatlan fonal esetén közös. A mozgásegyenlet-rendszer: F F m a k s g F m m k a A tömegek és a súrlódás tényező smeretében ebből az egyenlet-rendszerből a kötélerő és a gyorsulás meghatározható. 4.. A pontrendszer mpulzusa (lendülete; mozgásmennysége) A pontrendszer mpulzusa egyenlő a rendszer tagja lendületenek vektor összegével: I m n v Írjuk fel mnden test mozgásegyenletét, majd a kapott egyenletrendszert adjuk össze: n n n I F + Fk k t Az egyenlet bal oldalán a másodk összegzésben a belső erők vektor összege szerepel, de a hatás ellenhatás törvényét fgyelembe véve ez az összeg zérus, ezért: n I F I& t Ez azt jelent, hogy a rendszer összes mozgásmennységének megváltozását a külső erők eredője határozza meg. Impulzustétel pontrendszerre: A rendszer összes lendületének dő szernt első derváltja egyenlő a külső erők eredőjével. (A rendszer összes mpulzusának dőegység alatt megváltozása egyenlő a külső erők eredőjével.) Átrendezve: n F t I A külső erők által okozott lökés egyenlő a rendszer összes mpulzusának megváltozásával. Lendületmegmaradás tétele: Az mpulzustétel következménye, hogy zárt mechanka rendszerben (ha a külső erők eredője nulla) a rendszer összes mpulzusa állandó. Ezen alapul a rakétahajtás s. Ott a rakétából a hozzá képest állandó u sebességgel káramló forró gáz hajtja a rakétát. A rakétához rögzített rendszerben az mpulzusmegmaradás, ha m hajtógáz nagyon kcs a rakéta tömegéhez képest: m rakéta v+ m hajtógáz u, Átrendezve: d v u dm m ll. m rakéta dv-dm hajtógáz u 5

26 Mndkét oldalt ntegrálva: : v v d v u m r m Ebből a rakéta sebességének megváltozása: m a rakéta kezdet tömege v sebességnél m r a rakéta megmaradt tömege dm m m v v u ln m r 4.3. Tömegközéppont. Tömegközéppont tétel A tömegközéppont defnícója és mozgása Írjuk fel a pontrendszer mnden tagjának mozgásegyenletét, és a kapott egyenletrendszert adjuk össze. Vegyük fgyelembe, hogy a belső erők eredője zérus, így a következő egyenletet kapjuk: n n n n d d d m r F m v m r m, ahol dt dt dt m mσm - a rendszer összes tömege. A gyorsulás a test helyvektorának dő szernt másodk derváltja. A fent összefüggésben ez a helyvektor a rendszer tömegközéppontjának helyvektora. A tömegközéppont: r n TKP n m r m Tömegközéppont tétel: A rendszer tömegközéppontja úgy mozog, mntha ebben a pontban lenne a rendszer összes tömege, és erre hatna a külső erők eredője. A tömegközéppont mozgásegyenlete tehát: n Ebből a tömegközéppont gyorsulása: F n n m & r TKP a m a TKP n F TKP n m A tömegközéppont gyorsulása egyenlő a külső erők eredőjének és a rendszer összes tömegének a hányadosával. Zárt rendszer esetén a külső erők eredője nulla, ezért a TKP, és v TKP állandó, tehát zárt mechanka rendszerben a tömegközéppont a kezdet feltételtől függően vagy nyugalomban van, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez A pontrendszer tömegközéppontjának meghatározása A tömegközéppont defnícója: n TKP n r m r m Ez a vektoregyenlet három skalár egyenlettel egyenértékű, amelyekből megkapjuk a tömegközéppont koordnátát: 6

27 x TKP n n m x m, y TKP n n m y m, z TKP n n m z m Két tömegpontból álló rendszer tömegközéppontja a tömegeket összekötő szakaszon van a nagyobb tömeghez közelebb úgy, hogy ezt a szakaszt a tömegekkel fordított arányban osztja. Vegyük föl az x tengelyt úgy, hogy a tömegeken menjen keresztül. Az 5.. ábra jelölésevel x TKP -x x -x TKP m x + m x x m m TKP. A nevezővel beszorozva mndkét oldalt: m + m x x TKP x x m x TKP +m x TKP m x +m x, ahonnan xtkp x m 4.. ábra x xtkp m Kterjedt testek tömegközéppontja: Középpontosan szmmetrkus homogén testek tömegközéppontja a szmmetracentrum. Általános esetben a testet feloszthatjuk olyan kcs részekre, amelyeken belül a sűrűség már állandónak teknthető, és az így kapott pontrendszer tömegközéppontját határozzuk meg. Ekkor: Koordnátá: n m r ρ V r r TKP, ll. n m m x TKP ρ xdv m n y TKP ρ ydv m r TKP z TKP ρ r dv m ρ zdv m 4.4. Pontrendszer perdülete, sajátperdület és pályaperdület Pontra vonatkozó perdület A pontrendszer adott pontra vonatkozó mpulzusmomentuma egyenlő a tömegpontok ugyanerre a pontra vonatkoztatott perdületenek vektor eredőjével: N n r m v A pontrendszer adott pontra vonatkoztatott perdülete egyenlő a sajátperdület és a pályaperdület vektor összegével. N N s + N p A sajátperdület: A rendszer elemenek a saját tömegközéppontra vonatkoztatott perdülete. A pályaperdület: A rendszer összes tömegét a tömegközéppontba képzeljük, am a tömegközéppont sebességével mozog. Ennek a testnek az adott pontra vonatkoztatott perdülete a pályaperdület Pontrendszerre vonatkozó mpulzusmomentum-tétel (perdület-tétel) Írjuk föl a pontrendszer mozgásegyenlet-rendszerét: + Fk m Szorozzuk meg mndkét oldalt balról vektorálsan r -vel, és az egyenleteket adjuk össze: F a 7

28 n n n d + n m v r d r F r Fk r (a v) k dt dt A bal oldalon álló első tag a külső erők forgatónyomatékanak vektor összege az orgóra vonatkoztatva. n r F M Ha a belső erők centrálsak, akkor Fk Fk, ezért a bal oldal másodk tagja zérus. Az egyenlet jobb oldalán a rendszer orgóra vonatkoztatott perdületének dő szernt első d derváltja áll: n N & r m v dt Mvel az orgót tetszőleges helyen felvehetjük, a fent egyenlet fzka tartalma az, hogy a pontrendszerre ható külső erők tetszőleges pontra vonatkoztatott forgatónyomatékanak vektor eredője egyenlő a pontrendszer ezen pontjára vonatkozó mpulzusmomentumának dő szernt első derváltjával. (A pontrendszerre ható külső erők tetszőleges pontra vonatkoztatott forgatónyomatékanak vektor eredője egyenlő a pontrendszer mpulzusmomentumának dőegység alatt megváltozásával.) M külső N& N, ll. M külső t Mndkét oldalt t-vel szorozva: M külső t N, azaz a külső erők által okozott forgatólökés egyenlő a rendszer perdületének megváltozásával Az mpulzusmomentum megmaradásának elve (perdületmegmaradás elve) Az mpulzusmomentum-tétel matt ha M külső, akkor N, azaz ha a külső erők forgatónyomatékanak eredője egy választott pontra vonatkoztatva nulla, akkor a rendszer perdülete ugyanezen pontra vonatkoztatva nem változk: Ha M külső, akkor N állandó, Tengelyre vonatkoztatott perdület és forgatónyomaték Pontrendszer vagy merev test síkmozgásán olyan mozgást értünk, amkor mnden pont egymással párhuzamos síkokban mozog. Ilyen esetben a síkokra merőleges tengelyre vonatkoztatott perdületet ll. forgatónyomatékot célszerű vzsgáln. A tengelyre vonatkoztatott perdület és forgatónyomaték s előjeles skalár mennységek. Tengelyre vonatkoztatott forgatónyomaték: Határozzuk meg az erőnek a tengelyre merőleges síkra eső vetületét (F xy )! A z tengelyre csak ez a komponens fejt k forgatónyomatékot. Ez egyenlő az erő és az erőkar (k) szorzatával. Az erőkar az F xy erő hatásvonalának a forgástengelytől mért merőleges távolsága (4.3. ábra). k F M F xy k A forgatónyomaték poztív előjelű, ha a F xy tengely rányából nézve az óramutató járásával ellentétes rányba forgat. ( A 4.3. ábrán látható erő nyomatéka negatív előjelű) 4.3. ábra Hasonló módon a tengelyre vonatkoztatott 8

29 perdület esetén s először az mpulzusvektornak a tengelyre merőleges síkra eső vetületét kell meghatározn. A tengellyel párhuzamos komponensnek nncs perdülete a tengelyre vonatkoztatva. A vetület mpulzusvektornak a karja tt s a hatásvonalnak a tengelytől mért merőleges távolsága. A tengelyre vonatkoztatott perdület egyenlő a vetület mpulzusvektor és a karjának szorzatával: N I xy k Az előjelet a nyomatékhoz hasonlóan kell megállapítan. A pontra és a tengelyre vonatkoztatott mennységek kapcsolata: α M 4.4. ábra z α O k F xy r A z tengelyen helyezkedk el az O pont. Az F xy erő a z tengelyre merőleges síkban hat. A 4.4. ábra alapján írhatjuk, hogy a tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatéka: M z F xy kf xy r snαm snα Az O pontra vonatkoztatott forgatónyomaték: M F xy r Egy tengelyre merőleges síkban ható erő forgatónyomatéka a tengelyre vonatkoztatva egyenlő a tengelyen levő pontra vonatkoztatott forgatónyomaték tengelyrányú vetületével. Hasonló módon az O pontra vonatkoztatott perdület z tengely rányú vetülete egyenlő a z tengelyre vonatkoztatott perdülettel Pontrendszerekre vonatkozó energetka tételek A pontrendszer mozgás energája egyenlő a tömegpontok mozgás energának összegével: E n m m v A pontrendszer mozgás energája megadható a tömegközéppont mozgás energája és a tagok tömegközépponthoz vszonyított mozgásából származó knetkus energa összegeként s: n E v TKP + v m m m v - a tömegpont sebessége a tömegközépponthoz vszonyítva. Pontrendszerre vonatkozó munkatétel: Ha mnden tömegpontra felírjuk a munkatételt, és a kapott egyenleteket összeadjuk, azt kapjuk, hogy a rendszer összes mozgás energájának megváltozása egyenlő a külső és belső erők munkának összegével Em Em Wkülső + Wbelső A belső erők munká nem mndg kompenzálják F 4.5. ábra F F egymást, csak abban az esetben, ha a testek ugyanakkora sebességgel mozognak ugyanabban az rányban. Ha pl. két testet fonallal összekötünk, és egy asztalon húzzuk őket, akkor a fonalerő belső erő, és a 9

30 két testre ható belső erők munkának összege zérus. (4.5. ábra). Ellenben ha pl. egy nyugvó gránát felrobban, és két részre szétesk, akkor a két darab elmozdulása ellentétes rányú, de a belső erők s ellentétes rányúak, ezért mndkét belső erő munkája poztív lesz. Itt a rendszer összes mozgás energáját a belső erők változtatták meg. Természetesen ez összhangban van az energa megmaradásának tételével, mert tt a rendszer mozgás energáját a robbanószer kéma energája változtatta meg. Pontrendszerre vonatkozó mechanka energa megmaradásának tétele: Írjuk fel a rendszerre a munkatételt: Em Em Wkülső + Wbelső Ha a belső és külső erők konzervatívak, akkor az általuk végzett munka egyenlő a belőlük származtatható potencáls energák megváltozásával. Ha a potencáls energát U-val jelöljük, akkor azt kapjuk, hogy: E m +ΣU belső +ΣU külső állandó Ha a pontrendszerre ható belső és külső erők s mnd konzervatívak, akkor a rendszer mechanka energának összege állandó. 5. Merev testek A merev test olyan dealzált kterjedt test, amelynek pontja a ráható erők hatására egymáshoz képest nem mozdulnak el. Egy végtelen sok pontból álló kötött pontrendszernek teknthető. Helyzetét a térben 3 nem egy egyenesen elhelyezkedő pontja határozza meg. Ez 9 koordnátát jelent, de csak 6 független egymástól, mert a pontok között távolság állandó. 5.. ögzített tengely körül forgó merev test dnamkája A rögzített tengely körül forgó merev test pontja egymással párhuzamos síkokban mozognak ögzített tengely körül forgó merev test perdülete Osszuk fel a merev testet nagyon kcs térfogatelemekre. A tengelyre vonatkozó mpulzusmomentumát megkapjuk az egyes térfogatelemek perdületenek összegeként: n n N r m v r m r ω m r n ω Θ ω A képletekben r az -edk térfogatelemnek a tengelytől mért távolságát, m a tömegét, ω a szögsebességét jelent (ωállandó). Tehetetlenség nyomaték (Θ ): n Θ m r mértékegysége: kg m, skalár mennység A tehetetlenség nyomaték a tömegelemek tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomatékanak összege A testek tehetetlenség nyomatéka A pontszerű test tehetetlenség nyomatéka a fent defnícó alapján: Θm r Két tömegpontot kössünk össze egy elhanyagolható tömegű merev rúddal. Ennek a merev testnek a tehetetlenség nyomatéka a tömegközépponton d átmenő tengelyre vonatkoztatva (a tengely merőleges a tömegpontokat összekötő egyenesre): Θm r + m r m m Az ezzel a tengellyel párhuzamos, tőle d távolságra levő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenség nyomaték a TKP 5.. ábra jelölésevel: r r 5.. ábra 3

31 Θm (r +d) + m (r -d) A négyzetre emelés elvégzése és kemelés után: Θm r + m r +(m +m ) d + d (m r -m r ) A tömegelemek elsőrendű nyomatékanak összege a tömegközéppontra vonatkoztatva nulla, azaz m r -m r, ezért az utolsó tag zérus. A tömegközépponton átmenő tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkoztatott tehetetlenség nyomaték: Θm r + m r +(m +m ) d Θ TKP +m d. A kapott összefüggés általában s gaz és Stener tételnek nevezzük: : ΘΘ TKP +m d. Ha smerjük egy test tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenség nyomatékát, akkor a vele párhuzamos, tőle d távolságra levő tengelyre vonatkozó tehetetlenség nyomaték egyenlő a tömegközéppont tengelyre vonatkoztatott tehetetlenség nyomaték, plusz a rendszer összes tömegének és a tengelytávolság négyzetének szorzata. Ennek következménye, hogy az egymással párhuzamos tengelyek közül a tömegközéppont tengelyre vonatkoztatott tehetetlenség nyomaték a legksebb. Ha azonos ponton átmenő különböző rányú tengelyekre számítjuk k a tehetetlenség nyomatékot, akkor azt tapasztaljuk, hogy három egymásra merőleges tengely esetén ennek hely szélsőértéke van. Ezeket a tengelyeket főtengelyeknek, az ezekre vonatkozó tehetetlenség nyomatékokat fő tehetetlenség nyomatékoknak nevezzük. Általában egy test adott tengelyre vonatkoztatott tehetetlenség nyomatéka ntegrálással számítható k: Θ ρ r dv V ρ sűrűség, r a dv nfntezmáls térfogatelem távolsága a tengelytől. A rögzített tengely körül forgó merev test perdülete: NΘ ω Néhány szabályos homogén test tehetetlenség nyomatéka a tömegközéppontján átmenő tengelyre vonatkoztatva: Hosszú vékony rúd, a tengely merőleges a rúdra: Θ m l Tömör henger, korong, a tengely a szmmetratengely: Tömör gömb: Θ m 5 Θ ögzített tengely körül forgó test mozgásegyenlete m A merev test kötött pontrendszernek teknthető. Írjuk fel a pontrendszerre a perdület-tételt: N Θ ω Θ ω ω M Θ Θ β t t t A kapott összefüggés a forgómozgás mozgásegyenlete: M Θ β A szöggyorsulás okozója a testre ható eredő forgatónyomaték. A forgatónyomaték és a szöggyorsulás egyenesen arányosak, arányosság tényező a test forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenség nyomatéka. Ez az összefüggés analóg a haladó mozgásra vonatkozó mozgásegyenlettel: Fm a A két egyenletet összehasonlítva azt látjuk, hogy a forgómozgás esetén a tehetetlenség mértéke a tehetetlenség nyomaték. Ez nem csak a tömegtől függ, hanem attól s, hogy a tömegelem mlyen messze van a forgástengelytől. 3

32 5..4. A forgás energa (rotácós energa) n A pontrendszer mozgás energája: : E m m v A rögzített tengely körül forgó test mnden pontja azonos szögsebességgel forog, ezért v r ω n Ezt behelyettesítve: E rot m r ω Θ ω A forgás (rotácós) energa: E rot Θ ω Ha az F erő karja r, és s úton munkát végez a rögzített tengely körül forgó testen akkor a végzett munka: WF sf r ϕm ϕ, tehát a végzett munka a forgatónyomaték és a szögelfordulás szorzatával egyenlő. A munkatétel alapján ez a munka egyenlő a test forgás (rotácós) energájának megváltozásával: M ϕ E rot 5... Merev test síkmozgása A merev test síkmozgása azt jelent, hogy pontja egymással párhuzamos síkokban mozdulnak el. A merev test mozgása mndg összetehető a tömegközéppont haladó mozgásából (transzlácó), és a tömegközéppont körül forgásból (rotácó). Ez a mozgás úgy s vzsgálható, hogy felírjuk a tömegközéppont haladó mozgására a mozgásegyenletet, és a tömegközéppont körül rotácóra a forgómozgás mozgásegyenletét: F m a és M Θ β TKP TKP 5... Merev test egyensúlyának feltétele Egyensúly esetén a merev testnek semmlyen gyorsulása nncs. Ez akkor lehetséges, ha a ráható erők eredője nulla, és a ráható forgatónyomatékok egy tetszőleges tengelyre vonatkoztatva nulla: F és M 5.3. Specáls problémák a tömegpont és pontrendszerek mechankájából A bolygók mozgása (Kepler törvénye) Kepler részben saját megfgyelése, részben korább csllagászat adatok elemzése alapján a bolygók mozgására vonatkozó törvényszerűségeket állapított meg. Ezek a törvények Newton törvénye alapján levezethetők. Nem csak a Naprendszer bolygóra érvényesek, hanem mnden olyan rendszerre, ahol egy nagy tömegű égtest körül nála sokkal ksebb tömegű égtestek kerngenek (pl.: egy bolygó körül kerngő természetes és mesterséges holdak). A 3.. fejezetben már láttuk, hogy a bolygómozgás síkmozgás (centráls erőtérben való mozgás). Ezt szokás Kepler. törvényének s nevezn. Kegészítés: A bolygók pályá közel egy síkban vannak. A Föld pálya síkjával (eklptka) bezárt legnagyobb szög 7 a Plútónál. Kepler I. törvénye: A bolygók olyan ellpszs alakú pályákon kerngenek, amelyek egyk fókuszpontjában (gyújtópont) van a Nap. 3

33 Kegészítés: A bolygók pályá csak ks mértékben térnek el a körtől. Kepler II. törvénye: A Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő dőközök alatt egyenlő területeket súrol (a terület sebesség állandó): r v r v Ezt s láttuk a 3.. fejezetben. Ebből következk, hogy a bolygó pllanatny sebessége Napközelben (perhélum) maxmáls, Naptávolban (afélum) mnmáls. Megjegyzés: A tél és a nyár nem a Naptól mért távolsággal van kapcsolatban, hanem attól függ, hogy a napsugarak délben mlyen szögben érk az adott helyet. Ez a Föld tengelyének ferdeségével függ össze. Az 5.. ábrán láthatjuk, hogy Napközelben a dél féltekét, Naptávolban az észak féltekét süt a merőlegeshez közelebb a Nap, mert a Föld tengelye ferde, és a pálya síkjával állandó szöget zár be. A Naptól mért távolság változása matt a dél féltekén a tél hdegebb, a nyár pedg melegebb. Kepler III. törvénye: A bolygók kerngés dejenek négyzete úgy aránylanak egymáshoz, 3 T r mnt a pályasugarak (fél nagytengely) köbe: 3 T r Ha a bolygók pályát körnek tekntjük, akkor azt mondhatjuk, hogy a Nap által a bolygóra kfejtett gravtácós vonzóerő egyenlő a centrpetáls erővel: M Nap mb f m b r ω r Egyszerűsítés után és a szögsebességet a peródusdővel kfejezve kapjuk, hogy 3 M r f Nap 4 π T A másk bolygóra hasonló egyenletet felírva megállapíthatjuk, hogy a bal oldalon levő mennység mndkét esetben azonos, tehát a jobb oldalak s egyenlők. Ezzel a törvényt bebzonyítottuk Tehetetlenség erők a forgó Földön A Föld a saját tengelye körül forog, az állócsllagokhoz vszonyított egyéb mozgásatól most eltekntünk. A csllagnap (két csllagdelelés között eltelt dő) 3 óra 56 perc, és ebből a szögsebessége ω7,9-5 /s. Ebben a forgó rendszerben a testekre a valód erőkön kívül tehetetlenség erők s hatnak. Ezek mozgó ny F test esetén a centrfugáls erő és a Corols erő. Először vzsgáljunk egy testet, am a Föld felszínén nyugszk. Ekkor nncs Corols-erő. F grf F ny r F cf Az 5.3. ábrán látható, hogy a forgó Földön ϕ F grf levő testre hat a Föld gravtácós vonzóereje É F cf É ( F grf ), és a sarkok kvételével a centrfugáls F grf F ny erő ( F ). Ezek eredőjét egyenlít k a nyomóerő. cf N D D F F + F ll. 5.. ábra 5.3. ábra ny grf m mf F ny f + m r ω Az ábrából az s látszk, hogy ez a nyomó- cf 33

34 erő a centrfugáls erő változása matt a Föld különböző helyen más és más, és nem pontosan sugárrányú a sarkok és az egyenlítő kvételével. Ha a Föld gravtácós vonzóereje által okozott gyorsulást g -lal jelöljük, valamnt a körpálya sugarát (r) a Föld sugarával () és a földrajz szélességgel (ϕ) fejezzük k (r cosϕ), akkor Fny m g + m ω cos ϕ r A Föld nem pontosan gömb alakú, hanem geodéta, azaz a sarkokon kssé belapult (vagy nkább a centrfugáls erő matt az egyenlítő környékén kssé megnyújtott), ezért és g nem állandó értékű. Ha az alátámasztást megszűntetjük, akkor a testet ugyanekkora erő gyorsítja. Ez a nehézség erő. A Földhöz képest v sebességgel mozgó testre a centrfugáls erőn kívül a Corols-erő s hat. Ez az erő merőleges a Föld forgástengelyére (a szögsebesség vektorra), tehát párhuzamos az Egyenlítő síkjával: F C m ω v snα v snα a test sebességének az egyenlítővel párhuzamos komponense. A Föld tengelyével párhuzamos sebességkomponens nem befolyásolja a Corols-erőt. Ha egy test egy délkör mentén mozog az észak féltekén, akkor a mozgás rányától függetlenül a Corols-erő a testet jobbra térít el, a dél féltekén pedg balra. Ez az erő okozta Foucault ngájának a Földhöz képest eltérülését, am a Föld forgásának ékes bzonyítéka. r A harmonkus rezgés dnamkája Az.3.7. pontban már vzsgáltuk a harmonkus rezgőmozgás dőbel lefolyását: A ktérés dő függvény: ya sn(ω t+ϕ ) A sebesség dő függvény: v A ω cos(ω t+ϕ ) A gyorsulás dő függvény: a A ω sn(ω t+ϕ ) A gyorsulás ktérés függvény: a ω y Helyettesítsük be a mozgásegyenletbe (Fma) a gyorsulást: F m ω y A harmonkus rezgés dnamka feltétele, hogy az eredő erő a ktéréssel egyenesen arányos és ellentétes rányú legyen. Ezt a feltételt kelégít a rugóerő: F D y Az erő két kfejezését egyenlővé téve a rugón rezgő test körfrekvencáját kapjuk meg: m ω y D y, és ebből A rezgés peródusdeje: T ω π D m m D Csllapítatlan rezgés esetén nncs súrlódás, közegellenállás a rezgő rendszer összes energája állandó. Szélső helyzetben a sebesség zérus, a ktérés pedg maxmáls (ya), ezért csak rugalmas energa van: E összes D y A középső, egyensúly helyzetben a ktérés zérus, a sebesség pedg maxmáls, csak mozgás energa van: E összes m v max Egy tetszőleges ktérésnél rugalmas és mozgás energa s van: E összes D y + m v 34

35 Fonalnga (matematka nga) Elhanyagolható tömegű nyújthatatlan fonal végére rögzítsünk egy ks méretű testet (tömegpontot). A fonal másk vé- l α gét rögzítsük, majd a testet stabl egyensúly helyzetéből kcst ktérítve engedjük el. Az nga állandó peródusdejű len- F k y gésbe jön. A 6.3. ábra alapján az ngára a nehézség erő és a kötélerő m g hat, melyek eredője érntő rányú a szélső helyzetben, és nagysága F é m g snα. m g snα y A ktérés: yl snα, amből snα l 6.3. ábra Ks ktérés esetén az érntőrányú erő és a ktérés közelítőleg ellentétes rányú, így írhatjuk, hogy y m g F é m g y l l Ez az összefüggés a harmonkus rezgés dnamka feltételének felel meg (az erő a ktéréssel egyenesen arányos és ellentétes rányú), ezért mω y A két egyenlet jobb oldalanak egyenlővé tételéből A fonalnga lengésdeje: T A fzka nga π l g F é ω g l, de ω π, így T Ha egy merev testet a súlypontja fölött tengely körül ks ktérésű lengésbe hozunk, fzka ngát kapunk. Mnden tengely fzka ngához található egy olyan matematka nga, amelyk vele együtt leng. s A 6.4. ábrán látható fzka ngára ható nehézség erő Mm g s snα nagyságú forgatónyomatékot fejt k a tengelyre. α TKP M m g s snα k A fzka nga szöggyorsulása: β Θ pll Θ pll mg A vele együtt lengő fonalnga szöggyorsulása: M mf g l snα β Θ pll mf l 5.4. ábra Az együttlengő ngák szöggyorsulása s megegyeznek, m g s g l Θ pll amből, ll. Θ pll l g m g s Θ pll A fzka nga redukált hossza: lr m s A fonalnga lengésdejére vonatkozó képlet segítségével a fzka nga lengésdeje: Θ pll T π m g s 35

36 Torzós (csavarás) nga Egy huzal vagy sprálrugó megcsavarásához szükséges forgatónyomaték egyenesen arányos a szögelfordulással, a rugó pedg ezzel egyenlő nagyságú, de ellentétes rányú forgatónyomatékot fejt k. A torzós rugó nyomatéka tehát: M D ϕ A forgómozgás mozgásegyenlete alapján M D ϕ Θ β D* drekcós nyomaték: megadja a torzós rugó egységny szöggel való elcsavarásához szükséges forgatónyomatékot. A szöggyorsulást a fonalnga szöggyorsulásával egyenlővé téve D ϕ mf g l snϕ 5.5. ábra Θ mf l Egyszerűsítés után, és fgyelembe véve, hogy ks szögek esetén a szög sznusza közel g D egyenlő a radánban mért szög nagyságával (snϕϕ) azt kapjuk, hogy, amből l Θ Θ a torzós nga lengésdeje: T π D Az egyenletes körmozgás dnamkája Amnt azt az.3.5. fejezetben láttuk, az egyenletes körmozgás gyorsuló mozgás, mert változk a sebesség ránya, és ebből származk a centrpetáls gyorsulás: a cp v r ω r A mozgás dnamka feltétele: a testre ható eredő erő mndg a kör közepe felé mutató állandó nagyságú erő legyen, amt centrpetáls erőnek nevezünk: v F cp m r ω m r A vízszntes úton kanyarodó jármű esetén a centrpetáls erőt a tapadás súrlódásnak kell bztosítana, hogy a jármű ne csússzon k, azaz F ts F cp v Vízszntes talajon: F tsmax µ m g, tehát µ m g m r Ebből adott tapadás súrlódás tényező esetén a kanyarban lehetséges legnagyobb sebesség a megcsúszás veszélye nélkül: v µ g r Versenypályákon, autópályákon, éles kanyarokban gyakran megdöntk az utat, hogy a kanyar nagyobb sebességgel s bztonságosan bevehető legyen Példák kényszermozgásokra Súrlódásmentes lejtőn csúszó test: F n α F ny F p Az 5.6. ábrán látható test súrlódásmentesen csúszk le a lejtőn. Függőlegesen lefelé hat rá a nehézség erő (mg), és a lejtőre merőleges kényszererő (F ny ). A két erő ere- mg α ábra

37 dője bztosan a lejtővel párhuzamos, mert a test lejtőrányban gyorsul. A nehézség erő felbontható a lejtővel párhuzamos (F p ) és a lejtőre merőleges (F n ) komponensekre. A lejtőre merőleges erők eredője nulla, ezért F n F ny. Az eredő erő a lejtővel párhuzamos komponens, am az ábra alapján: F p mg snα A mozgásegyenlet: F p ma, ll. mg snαma A test gyorsulása: a g snα A leérkezés dejét és sebességét a kezdet feltételek fgyelembevételével az egyenletesen gyorsuló mozgásnál megsmert knematka összefüggésekkel számolhatjuk k. Súrlódásos lejtőn csúszó test: F s F n α mg F ny F p 5.7. ábra Az 5.7. ábrán már súrlódás erő s szerepel. A test nyugalm állapotában a tapadás súrlódás erő egyenlő a lejtővel párhuzamos erőkomponenssel, tehát F ts mg snα. A megcsúszás határán F ts µ F ny µ mg cosα A két egyenletet egymással egyenlővé téve kapjuk, hogy a megcsúszás határán µ tg α Ha a test lefelé gyorsul, akkor F p F s ma mg snα µ mg cosαma Ebből a gyorsulás: a g (snα µ cosα) Ha a lejtővel párhuzamos, lefelé mutató v kezdősebességgel ndítjuk a testet, akkor a leérkezés sebességét a munkatétel alkalmazásával s kszámíthatjuk: ( mg snα µ mg cosα) s m v v p Fs ) s m( v v ), ( ) ( F Ebből a sebesség: v g( snα µ cosα ) s + Ha a test h magasságból ndul, akkor α A leérkezés deje: t v v a s h snα A lejtőn csúszásmentesen gördülő henger: A hengerre ható erők a 6.8. ábrán láthatók. A forogva haladó mozgást két mozgásegyenlettel írhatjuk le. A tömegközéppont haladó mozgásának mozgásegyenlete: Fp Fts m a, ahol F p mg snα A tömegközéppont körül forgás mozgásegyenlete: F ts r Θ β, mert a több erő hatásvonala átmegy a tömegközépponton. F ny F ts Csúszásmentes esetben a henger szélső pontja F p érntőrányú gyorsulásának meg kell egyezne a tömegközéppont gyorsulásával: a r F n α β v mg 5.8. ábra α mg sn α Fts ma F ts r Θ a r 37

38 mg snα Ebből az egyenletrendszerből a tömegközéppont gyorsulása: a Θ m + r mg snα A tapadás súrlódás erő: mr + Θ Az ehhez szükséges súrlódás tényező abból a feltételből számítható k, hogy µ mg cosα F ts Ütközések Ütközéskor a testek egymásra vszonylag rövd deg jelentős erőt fejtenek k egymásra, Ezt a hatást pllanatszerűnek tekntjük. Ütközés normálsa: Az érntkezés felületre állított merőleges Centráls ütközés: Az ütközés normáls átmegy mndkét test tömegközéppontján. Egyenes ütközés: A sebességvektorok az ütközés normálsával párhuzamosak. Abszolút rugalmatlan ütközés: A testek összekapcsolódnak, a sebességük közössé válk. ugalmatlan ütközés: A mechanka energa egy része másfajta energává alakul át. Abszolút rugalmas ütközés: A testek szétpattannak, és nncs mechanka energaveszteség. Tökéletesen rugalmatlan centráls egyenes ütközés: A rendszer mpulzusa változatlan marad. Ha a kezdet sebességeket v, az ütközés után sebességeket u betűvel jelöljük, m akkor a 6.9. ábra ránya és jelölése alapján I. v m v a lendületmegmaradás törvénye: m v + m v ( m + m ) u Ebből a közös sebesség kfejezhető: m +m u m v+ m v II. u m+ m A mechanka energa csökkenése: 5.9. ábra E ( m + m ) u m v + m v Tökéletesen rugalmas centráls egyenes ütközés: m I. v m v m u m II. u 5.. ábra Az 5.. ábra alapján felírhatjuk a mozgás energa megmaradását és a lendületmegmaradást: m v + m v mu + mu m v+ m v m u + m u Egyszerűsítés után rendezzük úgy az egyenleteket, hogy a bal oldalon legyenek az ndexű, a jobb oldalon pedg a ndexű m v u m u tagok: ( ) ( v ) m ( v u ) m ( u ) v 38

39 A v u ( v u)( v+ u) azonosság fgyelembevételével a két egyenletet elosztva egymással: : v+ u v + u tehát az ütközés előtt sebességek összege egyenlő az ütközés után sebességek összegével. Ebből u-t kfejezve és az mpulzus-megmaradás tételbe vsszahelyettesítve: m ( v u ) m ( v+ u v v ), amelyből ( m m ) v+ m v u m + m 6. Mechanka hullámok 7.. ábra 6.. ábra A hullám egy rezgés vagy hely zavar térbel terjedése (nem az anyag terjed, hanem a rezgés fázs). Az energa fajtájától függően a gyakorlatban legfontosabb hullámok lehetnek mechanka vagy elektromágneses hullámok. Az elektromágneses hullámokkal majd később fogunk foglalkozn. A mechanka hullámok terjedéséhez valamlyen közvetítő közegre van szükség. Attól függően, hogy a tér mely részén terjednek a hullámok, lehetnek: Vonalment hullámok (pl. egy kfeszített rugalmas kötél egyk végét rezgésbe hozzuk, vagy egy vonat a sínt rezgésbe hozza, és ez terjed a sín mentén) Felület hullámok (pl. a víz felületén terjedő hullámok, vagy ha egy kfeszített sátorra ráütünk, a felületén terjedő hullámok) Térhullámok (pl. a hanghullámok) A felület és térhullámok esetén az egymás mellett azonos fázsban rezgő pontokat hullámfrontnak nevezzük. A hullám terjedés ránya a hullámfrontra merőleges egyenes (a hullámfront normálsa) a terjedés sugár. Síkhullám: Ha a térbel hullám hullámfrontja egymással párhuzamos egyenesek. Gömbhullám: Ha a térbel hullám hullámfrontja koncentrkus gömbök. Attól függően, hogy a rezgésrány és a terjedés ránya egymáshoz képest mlyen, lehetnek: Transzverzáls (keresztrányú): A rezgésrány merőleges a terjedés rányára. Szemléletesen a hullámban hullámhegyek és hullámvölgyek terjednek (6.. ábra). A transzverzáls mechanka hullámok terjedéséhez rugalmas közegre van szükség (pl. a víz felületén terjedő hullámok. Longtudnáls (hosszrányú): A rezgésrány és a terjedés ránya megegyezk, az anyag sűrűsödésében és rtkulásában nylvánul meg. (Pl.: A 6.. ábrán egy vízszntes rugón terjedő longtudnáls hullám látható, am úgy jött létre, hogy a rugó egyk végét hrtelen megrántottuk, majd elengedtük. ugalmatlan közegben, gázokban s ter- 39

40 jedhetnek. (pl. levegőben terjedő hanghullám) Perodkus hullám: A hullámforrás rezgése perodkus Harmonkus hullám: A rezgés ktérése az dőnek sznuszos függvénye. A hullámmozgásnál s használjuk a rezgésnél már megsmert ktérés (y), ampltúdó (A), frekvenca (f), körfrekvenca (ω), peródusdő (T) fogalmakat. Hullámhossz (λ): A terjedés rányában mérve egymáshoz két legközelebb azonos fázsban rezgő pont távolsága. (A terjedés rányában mérve azon pontok távolsága, amelyek rezgése között a fázskülönbség π) Terjedés sebesség (c): Homogén és zotrop közegben a hullám egyenes vonalban és egyenletesen terjed, a sebessége állandó. Ha t dő alatt x utat tett meg a rezgés fázs, akkor a x λ terjedés sebesség: c λ f t T 6.. ábra Hullámegyenlet: Megadja a hullámforrástól x távolságra levő pont ktérését a t dőpllanatban harmonkus vonalment hullám esetén. A hullámforrás rezgésének ktérés-dő függvénye legyen: ya sn(ω t+ϕ). Ez a fázs a vonal mentén az x távolságot t dő alatt tesz meg, ezért az x helyen a rezgés ktérése: ya sn{ω(t-t )+ϕ}. A t x/c, ωπ/t és c Tλ összefüggések behelyettesítésével a hullámegyenlet: y A sn π + ϕ T λ t x Ha bevezetjük a hullámszám fogalmát: kπ/λ, mértékegysége: [/m], akkor a hullám- y A sn ω t kx + ϕ egyenlet: ( ) 6.. Polarzácó Síkban polarzált hullám: A polarzácó egysíkú rezgést jelent. A hullámban a rezgés sík dőben állandó. Csak transzverzáls hullámok polarzálhatók. Ha pl. egy hosszú kötél végét össze-vssza mnden rányba rezgetjük, amnt az a 7.3. ábrán látható akkor a kötélen véggfutó hullám nem polarzált. Ha azonban a kötelet egy hosszú keskeny résen fűzzük keresztül, akkor a rés mögött a kötél pontja már csak a réssel párhuzamos síkban rezegnek. Ha a rés függőleges helyzetű, akkor a hullám függőlegesen polarzált. Ha távolabb még egy függőleges rést helyezünk el (analzátor), akkor az a hullámot nem 6.3. ábra változtatja meg. Ha azonban az analzátort forgatjuk, akkor az ampltúdó az analzátor után csökken, és keresztezett állásnál (amkor az analzátor rése vízszntes) az analzátor mögött a hullámzás megszűnk. Crkulársan polarzált hullám: Ha a kötél végét egyenletesen körbeforgatjuk, akkor a rezgés ampltúdók vetülete a terjedésre merőleges síkban egy körön helyezkednek el. 4

41 Ellptkusan polarzált hullám: Ha a kötél végét egyenletesen egy ellpszsen mozgatjuk, akkor a rezgés ampltúdók vetülete a terjedésre merőleges síkban egy ellpszsen helyezkednek el. forrás v f T λ λ é 6.4. ábra 6.. Doppler-effektus észlelő Ha akár a hullámforrás, akár az észlelő mozog a közeghez képest, akkor az észlelt frekvenca megváltozk. Ezért halljuk a közeledő motorkerékpár hangját magasabbnak, távolodáskor pedg mélyebbnek. Ha a hullámforrás mozog az észlelő felé, akkor a hullám végét már az észlelőhöz közelebbről bocsátja k, ezért a 6.4. ábra alapján λλ é +v f T c c λ, λ é, és T f f f Ebből az észlelt frekvenca: c fé c v f f A képletekben: f - a hullámforrás frekvencája, λ - a hullámforrás hullámhossza f é az észlelt frekvenca, λ é az észlelt hullámhossz v f a hullámforrás sebessége, c a hullám terjedés sebessége Ha az észlelő mozog a hullámforrás felé, akkor az észlelt hullámhossz, és az észlelés peródusdeje alatt megtett út összege egyenlő a hullámhosszal, tehát λ é +v é tλ A fent összefüggéseket de behelyettesítve: c é c + v f f f Ebből az észlelt frekvenca: c + v é f é f c Ha a hullámforrás és az észlelő egymás felé mozognak (mndkettő mozog a közeghez képest), akkor a hullámforrás mozgása matt az álló észlelő v f c v λ λ hullámhosszt f f f érzékelne. Az észlelő mozgása matt λ λ -v é T é az észlelt hullámhossz, ahol T é /f é, és λ c/f é Ezekből c c v f v é f é f f f é Az észlelt frekvenca: c ± v é f é f c m v f A képletben a fölső előjelek érvényesek közeledéskor. é c f é c f é v + f f é 4

42 6.3. A harmonkus mechanka hullámok energája Mközben egy ks V térfogatú közegen hullám halad át, a közeg deformálódk, részecské mozgás és rugalmas energára tesznek szert. Harmonkus hullám esetén a m tömegű v rezgés sebességű közegrész mozgás energája: x E v cos m m m A ω [ ω ( t )] c Látható, hogy a mozgás energa a hely és dő függvénye. A rugalmas energa a harmonkus hullámban a mozgás energával egyenlő nagyságú, és azonos fázsú: x m A ω cos [ ω ( t )] E r c Ezt beláthatjuk egy vonalment longtudnáls hullám példáján. Vzsgáljuk a 6.4. ábrán látható V térfogatelemet, melynek hossza x, keresztmetszete q (ne legyen összekeverhető az ampltúdóval) A x hosszúságú közegelem kezdő és végpontjának megnyúlása eltérő, hszen eltérő fázsban rezegnek, E r mert a hullámforrástól eltérő távolságra vannak. A megnyúlás ξξ -ξ. Ha a távolság nagyon kcs, akkor a sebesség nem változk számottevően, ezért x ξ v t v c, ahol D - a d- A rugalmas energa rekcós állandó. E r A Hooke-törvény alapján D F q ξ Y x Young-modulus. Ebből a drekcós állandó: F Y q D ξ x Y q x x A ω t x c t A rugalmas energa: ω cos [ ( )] A longtudnáls hullám terjedés sebessége: E r c q 6.4. ábra ξ ξ x Y q x x A ω cos [ ω( t )] x Y t ρ Y c ρ -a közeg sűrűsége. ρ ξ, ahol, Y a Egyszerűsítés után, és fgyelembe véve, hogy ρ q x m, kapjuk, hogy x E cos r m A ω [ ω ( t )] c A rugalmas energa tehát a mozgás energával egyenlő nagyságú és azonos fázsú, amt gazoln akartunk. Az összes energa a mozgás és a rugalmas energa összege: x E m A ω cos [ ω ( t )] c Az összes energa tehát a hely és az dő függvénye. A V térfogatban levő átlagos energa az összes energa ampltúdójának fele, mert cos α átlaga,5. 4

43 E m A ω E J Az átlagos energasűrűség: w ρ A ω V 3 m E A sugárzás teljesítmény megadja a q felületen dőegység alatt átáramló energát: P t E w q x Ez kfejezhető az energasűrűséggel s, mert: P w q c t t A sugárzás ntenztása (energaáram-sűrűség): Megadja az egységny felületen dőegység alatt átáramlott energát. Iránya a terjedés sebesség rányába mutat. P S w c W q m, ll. S w c Az ntenztás és az ampltúdó távolságfüggése: Pontszerű hullámforrás esetén a térhullámok hullámfrontja koncentrkus gömbök. A gömbhullám ntenztását megkapjuk, ha a sugárzás teljesítményt elosztjuk a gömb felszínével: S G P ρ A ω c 4 π r Ebből látható, hogy a gömbhullám ampltúdója fordítottan arányos a távolsággal: A G ~ r Ha a hullámforrás vonalszerű (hosszú vékony rúd), akkor a térben hengerhullámok alakulnak k, a hullámfrontok koaxáls hengerek. h magasságú henger esetén az ntenztás: P S H π r h A pontszerű hullámforrás esetén keletkező felület hullám (pl. vízbe kavcsot ejtünk) hullámfrontja koncentrkus körök, amk teknthetők egy vékony h magasságú rétegben terjedő hengerhullámnak. Ennek ntenztása: P S H ρ A ω c π r h Ebből látszk, hogy pontszerű hullámforrás esetén a felület hullám ampltúdója a távolság négyzetgyökével fordítottan arányos: A F ~ r A valóságban a belső súrlódások és egyéb veszteségek matt az ampltúdók a fent képletekből számíthatónál jobban csökkennek A mechanka hullámok terjedése Terjedés tulajdonságok. Huygens-elv Homogén (egynemű, egyenletes anyageloszlású) és zotrop (a közeg tulajdonsága mnden rányban azonosak) közegben a hullámok egyenes vonalban terjednek. Ha a hullám egy közeghatárhoz érkezk, akkor egy része vsszaverődk, a másk része behatol az új közegbe. A két közegben a terjedés sebesség és a hullámhossz eltérő, de a frekvenca változatlan. Ha a hullám olyan közegbe érkezk, ahol a terjedés sebessége nagyobb, mnt az előző közegben volt, akkor ellentétes fázsban verődk vssza. Ha az új közegben ksebb a terjedés 43

44 sebessége, akkor a vsszaverődés azonos fázsú. Pl. egy kötélen vagy acéldróton terjedő transzverzáls hullámnál jól megfgyelhető, hogy rögzített vég esetén a hullám ellentétes fázsban verődk vssza, szabad vég esetén pedg azonos fázsban. akadály 6.5. ábra Ha egy felület- vagy térhullám keskeny résen halad keresztül, vagy egy akadály mellett halad el, melynek mérete a hullámhosszal öszszemérhető, akkor ott s tapasztalunk hullámjelenséget, ahová egyenes terjedéssel a hullám nem juthatna el. Ez a jelenség jól megfgyelhető a víz felületén terjedő hullámok esetén (6.5. ábra). Huygens (hajgensz) elv: Egy hullámfront mnden egyes pontja elem gömbhullámok kndulópontja, és ezek burkoló felülete adja a később hullámfrontot. Ezzel nem csak a terjedés, hanem a törés és vsszaverődés törvénye s magyarázható. beeső hullámfront beeső sugár vsszavert sugár 6.6. ábra B vsszavert hullámfront hullámfrontok A elem gömbhullám C A 6.6. ábrán látható, hogy a beeső hullámfront A pontja éppen elér a vsszaverő felületet. Egy peródusdő elteltével a belőle knduló elem gömbhullám hullámhosszny távolságot tesz meg vsszafelé. Ezalatt a B pontból knduló elem gömbhullám éppen elér a vsszaverő felületet a C pontban. A C pontból tehát most ndul vsszafelé az elem gömbhullám. Az A és C pontok között elem hullámok a vsszandulástól eltelt dőtől függő távolságokat tesznek meg. A C ponttól az A középpontú körhöz húzott érntő adja a vsszavert hullámfrontot egy peródusdő múlva. A beesés és vsszaverődés szög egyenlő. A 6.7. ábrán a hullámok törése fgyelhető meg. A beeső hullámfront N pontja éppen elér a közeghatárt. Amíg ez a hullámfront megtesz λ hullámhosszny távolságot az első közegben T dő alatt, addg a másodk közegben a hullám λ hullámhosszny távolságot tesz meg. λ λ Az NOP derékszögű háromszögből snα, az NPQ háromszögből pedg sn β. x x A két egyenletet elosztva egymással megkapjuk a Snellus Descartes törvényt, a hullámok snα λ c törés törvényét: n, snβ λ c mert cf λ és fállandó. n a másodk közegnek az elsőre vonatkoztatott törésmutatója, c pedg a terjedés sebesség az egyes közegekben. 44

45 Beeső sugár α O λ N λ α β P Q Beesés merőleges x β Megtört sugár közeghatár 6.7. ábra Hullámok szuperpozícója. Interferenca Szuperpozícó: A hullámok találkozásakor a tényleges ktérés mnden pllanatban az egyes hullámok ktérésenek vektor összege. A szuperpozícó megfgyelhető, ha pl. egy kötél két végéről hullámhegyeket ndítunk egymással szemben. A találkozáskor a két ktérés összeadódk. Ha egyk végről hullámhegyet, a máskról hullámvölgyet ndítunk, akkor találkozáskor a két ktérés különbsége fgyelhető meg. Interferenca: Koherens hullámok találkozásakor lejátszódó jelenség, melynek eredményeként a hullámok egymást erősíthetk, vagy gyengíthetk. Az azonos fázsban találkozó hullámok nterferencája maxmáls erősítést eredményez, az azonos ampltúdójú, ellentétes fázsú hullámok pedg koltják egymást. A koherenca nterferenca-képességet jelent, azaz azonos fajta hullámok tartósan az észlelés dőn túl azonos fázskülönbséggel találkoznak. Ehhez a hullámok frekvencájának ll. hullámhosszának meg kell egyezne, és a hullámforrások kezdőfázsanak s állandónak kell lenne. Az egymásra merőlegesen polarzált hullámok nem koherensek. Ha két pontszerű forrásból knduló hullám találkozását vzsgáljuk egy P pontban, és az egyk kezdőfázsát nullának választjuk, akkor az általuk okozott ktérések: y A sn(ω t-k x ), és y A sn(ω t-k x +ϕ) A két hullám fázsának különbsége: ω t-k x -(ω t-k x +ϕ)k (x - x )-ϕ. Látható, hogy a fázskülönbség csak az útkülönbségtől és a kezdőfázstól függ. Azonos fázsú hullámforrások esetén ϕ, így azonos fázsban találkoznak a hullámok és maxmáls erősítést kapunk, ha az útkülönbség a fél hullámhossz páros számú többszöröse: s k λ, k,,,. Ezek a k-adrendű erősítés helyek A maxmáls gyengítés (azonos ampltúdó esetén koltás) ott keletkezk, ahol ellentétes fázsban találkoznak a hullámok. Ennek feltétele, hogy az útkülönbség a fél hullámhossz páratlan számú többszöröse legyen: λ s (k ), k,, 3,. k-adrendű maxmáls gyengítés helyek. 45

46 Max. erősítésű helyek A 6.8. ábrán felület hullámok hullámfrontja láthatók. A folytonos vonal hullámhegyet, a szaggatott hullámvölgyet jelent. A nulladrendű maxmáls erősítésű helyek a hullámforrásokat összekötő szakasz felezőmerőlegesén helyezkednek el, a több maxmáls erősítés hely pedg hperbola-íveken található. Ha vízbe egyszerre érkezk két kavcs, akkor ezen ívek mentén látjuk mozogn a kdudorodásokat és bemélyedéseket ábra Huygens-Fresnel elv 7.9. ábra S α α s e A Huygens elvet Fresnel (frenel) pontosította úgy, hogy a hullámtér pontja elem gömbhullámok kndulópontja, és ezen elem hullámok nterferencája határozza meg a hullámtér később állapotát. Ha víz felületén pl. egyenes hullámfrontokat keltünk egy beejtett pálcával, és néhány hullámhosszny szélességű résen mennek át a hullámok, akkor elhajlás jön létre. Meghatározott rányokban maxmáls erősítéseket ll. koltásokat fgyelhetünk meg. Az ntenztás rányfüggő, a nulladrendű elhajlásé a legerősebb. A Huygens-Fresnel elv alapján az elhajlás rányok és az ntenztás s meghatározható. A réstől távol e egyenesen vzsgáljuk az nterferenca eredményét. Ebben az esetben a résből knduló hullámok csak nagyon ks szöget zárnak be egymással, ezért közel párhuzamosoknak teknthetők. A rés két széléből knduló hullámok útkülönbsége s. Ha ez a távolság a fél hullámhossz páros számú többszöröse, akkor a hullám olyan páros számú nyalábra osztható, amelyeken belül mnden sugárnak van olyan párja, amelyek útkülönbsége éppen fél hullámhosszny, ezért koltják egymást (6.9. ábrán sλ) ábra 46

47 A nulladrendű elhajláshoz képest ez az rány d résszélesség esetén a λ s d snα k n n,, 3,, összefüggésből határozható meg a 7.9. ábra alapján. A maxmáls erősítés helyeket akkor kapjuk, ha s a félhullámhossz páratlan számú többszöröse, mert lyenkor a két szomszédos zóna sugara koltják, a harmadk nyaláb sugara pedg erősítk egymást, mert az útkülönbségük bztosan ksebb mnt a hullámhossz fele: λ s d snα er (n + ), n,,, 3, Az ntenztás eloszlása s látható a 7.9. ábrán Állóhullámok Egydmenzós (vonalment) állóhullámok: Egymással szemben haladó azonos ampltúdójú hullámok nterferencája állóhullámot eredményez. Ilyen állóhullám létrehozható pl. úgy, hogy egy kötél egyk végét rögzítjük, a másk végét pedg állandó ampltúdójú rezgésbe hozzuk. Bzonyos feltételek teljesülése esetén állóhullámok alakulnak k. Az l hosszúságú kötél egyk végétől x távolságra levő pont ktérését az y A sn(ω t-k x), ll. az y A sn[ω t-k (l x)] hullámegyenletekből lehet meghatározn. A másodk egyenlet a vsszavert hullám egyenlete, am l x utat tett meg odág, a negatív előjel pedg azért van, mert a rögzített végről vsszavert hullám ellentétes fázsban verődk vssza. A ktérés: yy +y. Ha A-t kemeljük és felhasználhatjuk a α β α + β snα sn β sn cos trgonometrkus azonosságot, akkor a hullámegyenletekből: α-βk(l-x) és α+β(ω t-kl), így a ktérés: yasn[k(l-x)] cos(ω t-kl) A képletből látható, hogy az ω körfrekvencájú rezgés ampltúdója a hely függvényében sznuszosan változk, maxmuma A. π λ Mvel k, az l x n helyeken a rezgés ampltúdója nulla, λ λ az l x (n ) helyeken pedg az ampltúdó maxmáls. (n,, 3, ) 4 Azokat a helyeket, ahol az ampltúdó maxmáls: duzaadóhelynek nevezzük. Azokat a helyeket, ahol az ampltúdó mnmáls: csomópontoknak nevezzük. Két egymáshoz legközelebb csomópont és duzzadóhely távolsága a hullámhossz negyede. 7.. ábra 6.. ábra A 6.. ábrán a mndkét végén rögzített kötél, a 6.. ábrán a mndkét végén szabad kötél lletve a nytott síp, a 6.. ábrán pedg az egyk végén rögzített, másk végén szabad kötél ll. a zárt síp állóhulláma láthatók. 47

48 7.. ábra 7.. ábra 6.. ábra 6.. ábra A rögzítés pontokban természetesen csomópontok vannak, a szabad végeknél pedg duzzadóhelyek. Kétdmenzós (felület), és 3 dmenzós állóhullámok: ábra 6.3. ábra Ha egy keretre tapadó szappanhártyán állóhullámokat keltünk, akkor csomóvonalak fgyelhetők meg. Téglalap alakú keret szappanhártyáján a legegyszerűbb csomóvonalak egyenesek, amelyek néhány lehetséges esete a 6.3. ábrán látható. A + jelek kdudorodást, a jelek behorpadást (ellentétes rányú kdudorodást) jelentenek egy adott pllanatban. Kör alakú keret esetén a csomóvonalak körök és egyenesek s lehetnek. Háromdmenzós állóhullámok jöhetnek létre egy merev falú rugalmas közeggel ktöltött test belsejében. Ilyen esetben csomófelületek alakulnak k. Egy merev falú gömbbel határolt rugalmas közegben a csomófelületek csomósíkok és csomógömbök lehetnek. 48

49 Hőtan (termodnamka) 7. Empírkus hőtan. A hőtan első főtétele 7.. Hőtan alapfogalmak Hőmérséklet: A hőmérséklet fogalma a hőérzetünk alapján alakult k. A különböző állapotú testeket hdegnek vagy melegnek érezzük, néha fázunk, néha melegünk van. A hőérzet azonban szubjektív. Ha pl. egyk kezünket meleg, a máskat hdeg vízben tartjuk, majd mndkettőt langyos vízbe tesszük, akkor az egyk kezünkkel ezt melegnek, a máskkal hdegnek érezzük. Az s megfgyelhető, hogy a testek fzka tulajdonsága megváltoznak, ha a hőérzetünk változk. Ezek a fzka tulajdonság változások már lehetővé teszk a hőmérséklet mérését. A termodnamka nulladk főtétele: Legyen egy A és egy B test. Egy ks méretű harmadk testet (C) am csak elhanyagolhatóan változtatja meg a másk testek hőállapotát hozzunk termkus egyensúlyba először az A, majd a B testtel. Ha C fzka tulajdonsága a két esetben megegyeznek, akkor az A és B testek egymással hőegyensúly állapotban vannak, hőmérsékletük egyenlő. Ezt a tapasztalat tényt a termodnamka nulladk főtételének nevezzük. Ha a C test fzka tulajdonsága a két esetben eltérőek, akkor A és B hőmérséklete s különböző. A hőmérséklet mérésére a C test fzka tulajdonságanak változása alkalmasak. A Celsus-féle hőmérséklet skála két alappontja normál légkör nyomáson a jég olvadáspontja ( C) és a víz forráspontja ( C). Ha hganyos hőmérőt termkus egyensúlyba hozunk az alappontokat meghatározó testekkel, és megjelöljük az egyensúly állapotokban a hgany szntjét, majd a kapott távolságot egyenlő részre osztjuk, akkor megkapjuk a Celsus-féle hőmérséklet skálát. A C-ban mért hőmérséklet jele: t A gyakorlatban használnak a folyadékos hőmérőkön kívül ellenállás-, kerfémes-, hőelemes-, tenzós és egyéb hőmérőket s. Magas hőmérsékletek mérésére a sugárzásmérésen alapuló prométerek alkalmasak. A különböző hőmérséklet tartományokban eltérő fzka tulajdonságok változásat használjuk a hőmérséklet mérésére. Ha különböző kezdet állapotú gázok nyomását vzsgáljuk a hőmérséklet függvényében állandó térfogaton, akkor azt tapasztaljuk, hogy csökkenő hőmérséklettel lneársan csökken a nyomásuk s. A kezdet állapottól függetlenül azonos hőmérsékleten lenne a nyomásuk nulla. W. Thomson (Lord Kelvn) javasolta, hogy a Celsus-féle beosztást megtartva a skála kezdőpontját de célszerű eltoln. Az így kapott hőmérséklet a termodnamka vagy abszolút hőmérséklet. Jele: T, mértékegysége: kelvn [K] A két skálán a változás azonos, tehát: T t A kezdőpontok különbsége matt T(t+73) [K] A hőmérséklet állapotjelző, csak a test állapotától függ, nem függ az anyagától vagy a méretétől. Az anyagok részecské rendezetlen mozgást végeznek. A testek abszolút hőmérséklete az egy részecskére jutó átlagos rendezetlen mozgás energával arányos. Hőmennység (Q): A hőmennység egy energafajta, am a hőfolyamatok során egyk testről a másknak adódk át, vagy más energafajtából állítható elő. A tapasztalat szernt két különböző hőmérsékletű test érntkezésekor a hdegebb felmelegszk, a melegebb pedg lehűl. Eközben a melegebb test hőenergát, hőmennységet ad át a hdegebbnek. 49

50 Ha két testet összedörzsölünk, a súrlódás matt felmelegszenek. Ha egy ellenálláson vllamos áramot vezetünk át, akkor s melegedést tapasztalunk. Ezekben az esetekben s hőenerga fejlődk. A testek által felvett hőenerga a növelhet a testek részecskének átlagos mozgás energáját (hőmérsékletét), megváltoztathatja a részecskék között kapcsolatokat, a részecskék egymáshoz vszonyított potencáls energáját (halmazállapot változás, fázsátalakulás), de fordítódhat munkavégzésre s. A hőmennység nem állapotjelző, hanem útfüggvény. (A hőmennység attól s függ, hogy mlyen úton, mlyen állapotváltozásokon keresztül jutott a test a kezdet állapotból a végállapotba.) Belső energa (U): Egy test belső szerkezetével, belső tulajdonságaval összefüggő energát belső energának nevezzük. Egy test belső energája a részecskék egymáshoz vszonyított potencáls és rendezetlen mozgás energának összege. A belső energa összetett állapotjelző (l. 7.3.). Térfogat munka (W): Egy hengerbe zárt gáz térfogatát csökkentsük a 7.. ábrának megfelelően úgy, hogy közben a gáz nyomása ne változzon meg (nagyon lassú és kcs elmozdulás, és közben a gázt hűten kell). A gázon végzett munka: WF s. Ha a dugattyú egyenletesen mozog, akkor F p A, mert a dugattyúra a gáz nyomása s kfelé ható erőt fejt k. A gázon végzett munka így: A F W p A s p V V Dfferencálsan kcs elmozdulás esetén: dw p dv, 7.. ábra ll. W V V pdv Ez azt jelent, hogy ha smerjük a nyomást a térfogat függvényében, akkor a grafkon alatt terület megadja a térfogat munka abszolútértékét. A térfogat munka összenyomáskor poztív ( V negatív), táguláskor negatív előjelű. A térfogat munka nem állapotjelző, hanem útfüggvény. 7.. A termodnamka I. főtétele. Az általános energamegmaradás elve A termodnamka I. főtétele: Egy test belső energájának megváltozása ( U) egyenlő a közölt hőmennység (Q) és a testen végzett térfogat munka (W) összegével: UQ+W A felvett hőmennység, és az összenyomáskor végzett munka poztív előjelű. A térfogat munka negatív értékét tágulás munkának (W t ) nevezzük: W t W A hőtan I. főtétele a tágulás munkával: Q U+ W t Ezt az alakot a hőerőgépészek szeretk elsősorban. Fzka tartalma: A gázzal közölt hőmennység (a tüzelőanyag elégetése során fejlődött hőenerga) tágulás munkát végez, egy része pedg a gáz belső energáját növel. Ez a törvény nem vezethető le, de ezzel ellentéteset még senk nem tapasztalt. Az általános energamegmaradás elve: Zárt rendszerben a folyamatok jellegétől függetlenül a rendszer összes energája állandó. Nytott rendszer esetén ez azt jelent, hogy a rendszer energája pontosan annyval változk, amenny a környezetből felvett vagy leadott energa. Energa tehát nem keletkezhet, és nem s tűnhet el. 5

51 7.3. Állapotjelzők Azokat a fzka mennységeket, amelyek a rendszer egyensúly állapotát egyértelműen meghatározzák, állapotjelzőknek nevezzük. Ha megváltozk a rendszer állapota, akkor az állapotjelzők értéke csak az új állapottól függ, és nem függ attól, hogy mlyen állapotváltozásokon keresztül jutott a rendszer ebbe az állapotba. Ilyen pl. a hőmérséklet, a nyomás, a térfogat, stb. Azokat a mennységeket, amelyek értéke függ attól, hogy egy rendszer mlyen változásokon keresztül került az új állapotba, útfüggvényeknek nevezzük. Ilyen pl. a hőmennység és a térfogat munka. Extenzív állapotjelzők: Azokat az állapotjelzőket, amelyek a rendszereket elválasztó szgetelések megszűntetésekor összeadódnak, extenzív állapotjelzőknek nevezzük. Ilyenek például a tömeg, részecskeszám, térfogat, belső energa. Intenzív állapotjelzők: Azokat az állapotjelzőket, amelyek az egyensúly rendszereket elválasztó szgetelések feloldásakor kegyenlítődnek, ntenzív állapotjelzőknek nevezzük. Ilyenek pl. a hőmérséklet és a nyomás. A gázok állapotjelző: Térfogat (V): A tárolóedény térfogatát tekntjük az deáls gáz térfogatának. Nyomás (p): Abból származk, hogy a gázrészecskék az edény falával abszolút rugalmasan ütköznek, és közben erőt fejtenek k az edény falára: F N p, ha F A, mértékegysége: [ Pa] A m pascal Hőmérséklet (T ): Az egy részecskére jutó átlagos mozgás energával arányos Anyagmennység (n): 6, 3 db részecske mol (Avogadro-szám: N A 6 3 /mol) észecskeszám (N ) N m n, N A M ahol M molárs tömeg [kg/mol], mely megadja mol anyag tömegét. Sűrűség (ρ): ρm/v 7.4. Szlárd testek és folyadékok hőtágulása Térfogat hőtágulás: Ha szlárd testeket vagy folyadékokat melegítünk, akkor megváltozk a térfogatuk. A legtöbb esetben növekvő hőmérséklettel a térfogat növekszk. (Eléggé közsmert az s, hogy a víz térfogata 4 C alatt csökkenő hőmérséklettel növekszk) A térfogatváltozás ( V) egyenesen arányos a kezdet térfogattal (V ) és a hőmérsékletváltozással ( t): V β V t ll. VV (+β t) β térfogat hőtágulás tényező, mely megadja, hogy C hőmérsékletváltozás mekkora V V relatív térfogatváltozást okoz. β Mértékegysége: t K C A térfogat hőtágulást használjuk pl. a folyadékos hőmérőkben. Az üreges testek hőtágulásakor az üreg ugyanúgy tágul, mnt ha ott s anyag lenne. Mvel a hőmérsékletváltozás nem okozza a testek tömegének változását, a hőtágulás a tes- 5

52 m m ρ tek sűrűségét s megváltoztatja: ρ V V ( + β t) + β t A víz megfagyásakor és a jég hűlésekor bekövetkező térfogat növekedés okozza télen az utak fagykárat. Lneárs hőtágulás: Hosszú, vékony, rúdszerű testek esetén a keresztrányú kezdet méretek kcsk, ezért az lyen rányú hosszváltozások s elhanyagolhatók. Az lyen testeknél csak a hosszméret változása ( l) számottevő, am a kezdet hosszúsággal (l ) és a hőmérsékletváltozással ( t) egyenesen arányos: l α l t, ll. ll (+α t) α lneárs hőtágulás tényező, mely megadja, hogy C hőmérsékletváltozás mekkora relatív hosszváltozást okoz. Mértékegysége: K C Adott anyag esetén β 3α A lneárs hőtágulást hasznosítják pl. az kerfémeknél. Két különböző hőtágulás tényezőjű fémet egymásra hengerelnek, és egyk végét rögzítk. Növekvő hőmérséklet hatására a nagyobb hőtágulás együtthatójú fém jobban megnyúlk, ezért a szabad vég a ksebb hőtágulás tényezőjű fém felé elhajlk. Gyakran használják a hőtágulást csapágyak tengelyvégre való rögzítésekor. A tengelyt lehűtk, majd ráhúzzák a csapágyat. A tengely felmelegedésekor a csapágy rászorul. A hordókra az abroncsot felmelegítve húzzák rá, am lehűléskor összeszorítja a dongákat Az deáls gázok állapotegyenlete Az deáls gázoknál a részecskék egymással és az edény falával abszolút rugalmasan ütköznek. Két ütközés között egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek, tehát egymásra lyenkor nem fejtenek k erőt. Ezt a mozgást rendezetlen hőmozgásnak nevezzük, mert az ütközések matt a részecskék sebességének mnd a nagysága, mnd az ránya változk, az átlagsebesség nagysága pedg a hőmérséklettől függ Boyle Marotte törvény (zoterm állapotváltozás) p T T 7.. ábra zotermák V Ha egy jó hövezető anyagból készített mozgatható falú tartályban (7.. ábra) a bezárt gáz térfogatát nagyon lassan változtatjuk úgy, hogy a gáz hőmérséklete állandó maradjon, akkor azt tapasztaljuk, hogy a nyomás és a térfogat szorzata állandó: p V állandó, ha Tállandó Ez azt jelent, hogy a gáz nyomása és térfogata között fordított arányosság van: állandó p, ha n állandó és V Tállandó. A p - V dagramon ez hperbolákat eredményez. A magasabb hőmérséklethez tartozó hperbola feljebb van. Ezeket a görbéket zotermáknak nevezzük. Az zotermák egymást nem metszk. Ilyen zotermák láthatók a 7.. ábrán. 5

53 Az állandó mennységű gáz állandó hőmérsékleten bekövetkező állapotváltozását zoterm állapotváltozásnak nevezzük Gay-Lussac I. törvénye (zobár állapotváltozás) Izobár állapotváltozás: Az állandó mennységű gáz állandó p nyomáson végbemenő állapotváltozása (nállandó és pállandó). p Ha egy jó hővezető anyagból készült mozgatható falú tartályban (7.. ábra) a gázt nagyon lassan összenyomjuk és közben hűtjük úgy, hogy a nyomás állandó maradjon, vagy a gázt lassan melegítjük, mközben a külső nyomás állandó, akkor azt V V V tapasztaljuk, hogy a gáz térfogatának és abszolút hőmérsékletének hányadosa állandó: 7.3. ábra V állandó, ha nállandó és pállandó T Ez azt s jelent, hogy a térfogatváltozás és a hőmérsékletváltozás között egyenes arányosság van: V β V t ll. VV (+β t) Ha az alaphőmérséklet C, akkor a gáz anyag mnőségétől függetlenül Ennek az állapotváltozásnak a p V dagramja látható a 7.3. ábrán. β 73 C Gay-Lussac II. törvénye (zochor állapotváltozás) Izochor (zokór) állapotváltozás: Állandó mennységű gáz állandó térfogaton bekövetkező állapotváltozása p (nállandó és Vállandó). p Ha egy zárt, merev, hővezető falú tartályban levő gázt melegítünk, akkor a gáz nyomásának és abszolút hőmérsékletének hányadosa állandó: p p állandó, ha nállandó és Vállandó T V V Ez azt s jelent, hogy a nyomásváltozás egyenesen arányos 7.4. ábra a hőmérsékletváltozással és a kezdet nyomással. p β p t Ha az alaphőmérséklet C, akkor a gáz anyag mnőségétől függetlenül az arányosság tényező ebben az esetben s β. 73 C p p p T T Ennek az állapotváltozásnak a p V dagramja látható a 7.4. ábrán Az általános gáztörvény A p, V, T kezdet állapotú állandó mennységű gázt juttassuk el a p, V, T végállapotba. Mvel a kezdet és végállapotot s az állapotjelzők határozzák meg, a két állapot között tetszőleges utat választhatunk. Legyen az útfüggvény a 7.5. ábra szernt zobár majd zoterm folyamat. V V V 7.5. ábra V 53

54 Az első változásra felírhatjuk, hogy V V, a másodkra pedg hogy p V p V T T. Ha a két egyenletet összeszorozzuk, majd V-vel egyszerűsítünk, akkor megkapjuk az állandó mennységű deáls gázokra vonatkozó általános gáztörvényt: p V p V p V, ll.: állandó T T T Mérések alapján a fent egyenlet jobb oldalán levő állandó értéke mol gáz esetén a gáz J fajtájától függetlenül 8, 3. mol K n mol gáz esetén az állandó értéke n. unverzáls (egyetemes; molárs) gázállandó, mely csak a mértékrendszertől függ, a gáz fajtájától mennységétől független. m Az egyetemes gázállandó segítségével írhatjuk, hogy: p V n T T M Ezt az összefüggést az deáls gázok állapotegyenletének nevezzük, mert megadja a gáz adott állapotában az állapotjelzők között matematka kapcsolatot. Mndkét oldalt V-vel osztva, és a sűrűség értelmezését fgyelembe véve ( állapotegyenlet másk alakját: p ρ T M Az általános gáztörvény nem állandó mennységű gáz esetén: : 7.6. A fajhő és a fázsátalakulás hők p V n T p n m ρ )kapjuk az V A termodnamka I. főtétele alapján egy test belső energaváltozása egyenlő a közölt hőmennység és a testen végzett munka összegével. Mvel a belső energa állapotjelző, a változása s csak a kezdet és végállapottól függ. Ha szlárd testeket vagy folyadékokat melegítünk, akkor a test térfogata ks mértékben változk. Eközben a test a környező közeg nyomása ellenében munkát végez. A kcs térfogatváltozás matt azonban ez a munka nem számottevő, így jó közelítéssel azt mondhatjuk, hogy a felvett hőmennység a test belső energáját növelte: U Q. A melegedéskor felvett hőmennység (Q) egyenesen arányos a test tömegével (m) és a hőmérsékletváltozással ( t) A különböző anyagok esetén az arányosság tényező méréssel határozható meg. Ezt az anyag állandót fajhőnek nevezzük (c), am megadja, hogy menny hőenerga kell az kg tömegű anyag hőmérsékletének C-kal való megváltoztatásához. Qc m t A CQ/ t mennységet hőkapactásnak nevezzük, melynek mértékegysége: J/kg. Gázok fajhö: Gázok esetén a térfogatváltozás jelentős lehet, ezért a munkavégzés nem mndg elhanyagolható. A hőmennység útfüggvény, ezért azonos kezdet és végállapotok esetén a felvett hőmenynység attól s függ, hogy a gáz mlyen állapotváltozásokon keresztül jutott az kezdetből a végállapotba. Állandó térfogaton nncs munkavégzés, ezért Q U. Ezt a hőmennységet az előzőhöz hasonlóan számíthatjuk, de a fajhőt állandó térfogaton mért fajhőnek (c v ) nevezzük: U Qc v m t V T 54

55 Ha a hőfelvétel állandó nyomáson történk, akkor azonos hőmérsékletváltozáshoz a belső energa megváltoztatásán kívül még munkát s kell végezn, ezért több hőre van szükség. A felvett hőmennység lyenkor Qc p m t Egy gáz állandó nyomáson mért fajhője (c p ) mndg nagyobb, mnt az állandó térfogaton mért fajhő. Állandó nyomáson a felvett hőmennység: Q U+ W t c v m T + p V c v m T + n T A fent két egyenletből: c p m T c v m T + n T ll.: c p m T c v m T n T és Ezekből a két fajhő különbsége: c p cv M n m M Fázsátalakulás, halmazállapot-változás Ugyanaz az anyag különböző körülmények között eltérő halmazállapotban fordul elő, de egy krstályos anyag belső szerkezete s eltérő lehet. A kénnek pl. két allotrop módosulata van, egy rombuszos ll. egy monokln szerkezet. A graft és a gyémánt s szénatomokból áll. A halmazállapot vagy a belső szerkezet megváltozását fázsátalakulásnak s nevezzük. A fázsátalakulás állandó hőmérsékleten megy végbe, és hőfelvétellel vagy hőleadással jár. Ez a hőmennység egyenesen arányos az anyag tömegével, és függ az anyag fajtájától: QL m Az L arányosság tényező a fázsátalakulás hő, amt halmazállapot-változáskor az átalakulás fajtájától függően olvadáshőnek (L o ), párolgáshőnek (L p ), vagy forráshőnek (L f ), nevezünk. Mértékegysége J/kg. Megadja az kg tömegű anyag halmazállapotának megváltoztatásához szükséges hőmennységet. Ha egy szlárd testet lassan t szlárd Olvadás fagyás Szlárd + folyadék 7.5. ábra párolgás forrás Folyadék + gőz folyadék gőz Q melegítünk, a felvett hőmennység függvényében a hőmérséklete és a halmazállapota a 7.5. ábrának megfelelő módon változk. Ha a test halmazállapota nem változk, akkor a felvett hőmenynység a test hőmérsékletét növel, a részecskék átlagos mozgás energája növekszk Ha halmazállapot-változás vagy fázsátalakulás van, akkor a felvett energa a részecskék egymáshoz vszonyított potencáls energáját változtatja meg, a test hőmérséklete állandó. 55

56 8. Az deáls gázok belső energája. Nyílt folyamatok. A valóságos gáz állapotegyenlete 8.. Az deáls gázok belső energája. Az ekvpartícó tétel A 7.6. fejezetben láttuk, hogy az deáls gázok belső energaváltozása kszámítható a UQc v m T képlettel. Ha T hőmérsékleten U, akkor az deáls gázok belső energája: U c v m T Az deáls gázok belső energája azonban a modell alapján s kszámítható. Szabadság fok (f): Egy részecske szabadság fokán azt értjük, hogy a mozgása hány egymástól független mozgásból tehető össze. Más megfogalmazásban a szabadság fok megadja, hogy a részecske hány négyzetes energataggal leírható energát tárol. (Négyzetes energatagok: mozgás energa, forgás energa, rugalmas energa) Egyatomos gázok esetén f3. A gázatomot ugyans úgy teknthetjük, hogy az elhanyagolható méretű, de nagy tömegű atommagot elhanyagolható tömegű elektronfelhő vesz körül. Egy lyen részecske csak haladó mozgást (transzlácó) végezhet, a sebessége pedg a tér három rányába mutató sebességkomponensből tehető össze. Ha egy részecske tömege µ, akkor a tárolt energa: E v µ v + µ v + µ v µ x y Kétatomos gázok esetén f5. A kétatomos molekulát a súlyzómodellel jellemezhetjük. A két atom magjában van két jelentős tömeg, és őket összeköt az r x z elhanyagolható tömegű merev rúdnak teknthető elektronfelhő. Olyan ez, mnt a súlyemelők súlyzója (8.. ábra). Egy lyen részecske a haladó mozgáson kívül foroghat s. A tér három rányába mutató sebességkomponens 3 szabadság fokot jelent. Az atommagokat összekötő szakasz két egymásra merőleges felezőmerőlegese körül forgás újabb szabadság fokot jelent (az ábrán az x és z tengely körül forgás) A forgás energa 8.. ábra Ex Ez Θ ω µ r ω A harmadk tengely (az ábrán az y tengely) körül forgás nem tárol energát, mert r, a tengely átmegy a magokon. Ekvpartícó-tétel (egyenlő rész): Mnden részecske mnden szabadság fokára k T energa jut. z r y k Boltzmann-állandó. Az N részecskéből álló deáls gáz belső energája: U f N k T Mvel N kn, a belső energa az U f n T képlettel s kszámítható. 8.. Nyílt folyamatok deáls gázokkal Azt a folyamatot, amelynek végén a rendszer eredet állapotába kerül vssza, körfolyamatnak nevezzük. Azt a folyamatot, amelynek végén a rendszer az eredettől eltérő állapotba kerül, nyílt folyamatnak nevezzük. 56

57 8... Izoterm folyamat Állandó mennységű gáz állandó hőmérsékleten végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy lyen változásnál a p V szorzat állandó. Mvel állandó a hőmérséklet, T, ezért U A termodnamka I. főtétele alapján a felvett hőmennység munkavégzésre fordítódk: Q W A gázon végzett munka kszámítható a W n T p, ezért V W n T dv V V V V pdv összefüggéssel. Az állapotegyenletből V V n T ln V Tehát zoterm állapotváltozáskor a gázon végzett munka: V p W n T ln n T ln V p 8... Izobár folyamat Állandó mennységű gáz állandó nyomáson végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy lyen esetben a T V hányados állandó. A gázon végzett térfogat munka: W p (V V )n (T T ), mert a nyomás állandó, és p Vn T f m f A belső energa változása: U cv m T T p V, M mert a belső energa állandó gázmennység esetén csak a hőmérséklettől és a gáz fajtájától függ. f Ebből az egyenletből az állandó térfogaton mért fajhő: c v M A felvett hőmennység: Qc p m T, valamnt az I. főtétel alapján Q U + p V Az I. főtételbe a belső energa-változást és a végzett munkát behelyettesítve: f f + f + Q p V + p V p V n T f + Ezekből kapjuk az állandó nyomáson mért fajhőt: c p M c p f + A két fajhő hányadosát adabatkus ktevőnek (κ) nevezzük: κ c f Izochor (zokór) folyamat Állandó mennységű gáz állandó térfogaton végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy lyen esetben a T p hányados állandó. A térfogat állandósága matt nncs elmozdulás, ezért nncs munkavégzés sem: W A belső energa változása egyenlő a felvett hőmennységgel: UQc v m T v 57

58 8..4. Adabatkus folyamat Az adabatkus állapotváltozásnál a rendszer és környezete között nncs hőcsere. Ez nagyon jó hőszgetelő falú tartály esetén valósítható meg, ll. ha a változás nagyon p gyors, és nncs dő a hőcserére. adabata Adabatkus folyamatnak teknthető, amkor a szódás szfon patronját kbökjük, és a széndoxd gáz hrtelen ktágul. Azt T tapasztaljuk, hogy a gáz lehűl, mert a végzett tágulás munka a saját belső energáját zotermák csökkent. T Adabatkusnak teknthető az s, amkor a pumpában hrtelen összenyomjuk a levegőt, am ekkor felmelegszk, mert a gázon végzett munka növel a gáz belső energáját. V Az adabatkus állapotváltozásnál tehát: 8.. ábra Q UWc v m T Az adabatkus változást a p V síkon a 8.. ábra mutatja. Az adabata meredekebb, mnt az zotermák, ezért metsz őket. Ha egy dfferencálsan kcs térfogatváltozást vzsgálunk, akkor a nyomást állandónak teknthetjük. Ekkor a végzett munka kfejezhető a nyomással, de ez egyenlő a belső energa megváltozásával s, mert Q: pdv c v mdt ( 8.. ) m T Az állapotegyenletből p M, valamnt c p cv V m ( c p cv ) T Ezekből p V m ( c p cv ) T Vsszahelyettesítve a 8.. egyenletbe: dv V Mndkét oldalt c v m mel osztva, és fgyelembe véve, hogy κ dv dt V T Mndkét oldalt ntegrálva: Az ntegrálást elvégezve: e-adk hatványra emelve mndkét oldalt: κ Ebből T V állandó p V Mvel T, ezért n κ p V állandó M c c c p v v mdt κ kapjuk, hogy κ dv dt V T ( κ )lnv lnt + lnc, C ntegrálás konstans κ ) V CT κ V ( A 8.. és 8.3. egyenletekből V elmnálásával kapjuk, hogy: T p κ κ állandó ( 8.. ) ( 8.3. ) 58

59 8..5. Poltropkus állapotváltozás A gyakorlatban az adabatkus állapotváltozás pontosan nem valósítható meg, mert tökéletes hőszgetelés nncs, és mnden folyamat lejátszódásához dőre van szükség. Poltrop állapotváltozásról beszélünk akkor, ha a végzett munkának mndg ugyanannyad része távozk a rendszerből hőfolyamat során. A végzett munka nem egyenlő a belső energa megváltozásával, hanem annál ksebb: Wα U és Q(-α) U α<, megadja, hogy a gázon végzett munka hányad része alakul át a gáz belső energájává. κ A poltropkus ktevő: n. α A adabatkus ktevő helyett a poltrop ktevőt kell használn ennél az állapotváltozásnál: n n T T V állandó p V n állandó állandó n p Ha α, akkor nκ tehát adabatkus állapotváltozás Ha α, akkor n, ezért pvállandó, tehát zoterm állapotváltozás Ha α-κ, akkor n, ezért pállandó, tehát zobár állapotváltozás V V Ha α, akkor n-, ezért állandó tehát zochor állapotváltozás p p 8.3.eáls gázok. Telítetlen és telített gőzök Az deáls gázok térfogatán a tároló edény térfogatát értettük. A valóságban a gáz részecskének van saját térfogatuk s, ezért a mozgáshoz rendelkezésre álló hely ennél ksebb. A térfogat csökkenése arányos a részecskék számával (N ), ll. a gáz tömegével (m) és függ a gáz fajtájától. A valód gázrészecskék egymásra gyenge vonzóerőt fejtenek k. Ez a vonzóerő arányos a N térfogategységben levő részecskeszámmal, am csökkent a nyomást. Mvel a falba üt- V köző részecskék száma s arányos N N -vel, így a nyomáscsökkenés nel arányos. V V Ezek fgyelembevételével a valód gázok vselkedését pontosabban adja meg a N van der Waals állapotegyenlet: p + a' ( V b N ) N k T ' V Adott gáz esetén az N m hányados arányos V -vel, V m így a van der Waals egyenlet szokásos alakja: p + a ( V b m) n T V Az egyenletben a és b anyag állandók 59

60 n T m A valód gáz nyomása a van der Waals egyenletből: p a V b m V A p V síkon különböző állandó hőmérsékleteken ábrázolva az állapotváltozást, azt tapasztaljuk, hogy magas hőmérsékleten a görbe alakja jó közelítéssel hperbola, olyan mnt az deáls gázoké. p p Alacsonyabb hőmérsékleten a T>T kr görbe eltér a hperbolától. A krtkus hőmérsékletű (T kr ) zotermának egy bzonyos térfogaton nflexós TT kr p kr pontja van. Ehhez a ponthoz tartozk a krtkus nyomás (p kr ). A krtkus hőmérséklet alatt a T<T kr görbe alakja kcst eltér a méréssel felvehető görbétől, mert a valóság- V ban egy szakaszon összenyomáskor kr 9.5.ábra V állandó nyomáson lecsapódás, táguláskor pedg forrás következk be ábra Mndez a 8.3. ábrán látható. A krtkus hőmérsékletnél ksebb hőmérsékletű zotermán a vastagabb vízszntes vonal a méréssel felvehető, halmazállapotváltozással járó folyamatot mutatja. A keletkező folyadék már nagyon nagy nyomással s csak kcst nyomható össze. A krtkus hőmérséklet felett a légnemű anyagot gáznak nevezzük. A gázok semekkora nyomással sem cseppfolyósíthatók. A krtkus hőmérséklet alatt a légnemű anyagot gőznek nevezzük. A gőzöknek két jól megkülönböztethető állapota lehetséges. Telítetlen gőz: Ha a gőzt állandó hőmérsékleten összenyomjuk, és közben a nyomása növekszk, akkor a gőz telítetlen. Telített gőz: Ha a gőzt állandó hőmérsékleten összenyomva a nyomása állandó marad, de eközben a halmazállapota változk meg, mert lecsapódk, akkor a gőz telített. Az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásán térfogatnöveléskor a párolgás bztosítja a nyomás állandóságát Halmazállapot-változások Olvadás, fagyás: A szlárd folyadék átalakulást olvadásnak nevezzük. Az a hőmérséklet, amelyen ez bekövetkezk, az olvadáspont. A folyadék hűtésekor az olvadásponton a folyadék megfagy. A nagyon tszta folyadék rázkódásmentesen túlhűthetö, am azt jelent, hogy a fagyáspontja alatt hőmérsékleten s folyadék halmazállapotú. Ha a túlhűtött folyadékot megmozgatjuk, azonnal megfagy, és felmelegszk a fagyáspontjára. A melegedéshez szükséges hőmennységet a fagyás matt felszabaduló energa bztosítja. A nem krstályos szerkezetű szlárd testeket amorfnak nevezzük. Ilyen anyag pl. a btumen és az üveg. Az amorf testeknek nncs határozott olvadáspontjuk, hanem melegítéskor fokozatosan lágyulnak, egyre ksebb lesz a vszkoztásuk. 6

61 Párolgás, lecsapódás: A folyadékokban a részecskék energája állandó hőmérsékleten eltérő. A felszínhez közel nagy mozgás energájú részecskék ezért képesek legyőzn a több molekula kohézós erejét, és légneművé válnak. Állandó hőmérsékleten a párolgás sebesség függ a hőmérséklettől, és a felület nagyságától. Ha a folyadék fölött gőzt eltávolítjuk, akkor a párolgás sebesség növekszk. Ezért szárad gyorsabban a nedves ruha, ha fúj a szél. Forrás: A párolgásnak van egy specáls esete. Ha a folyadék telített gőzének a nyomása az adott hőmérsékleten éppen meghaladja a külső nyomást, akkor a folyadék forrn kezd. Ez abban nylvánul meg, hogy a folyadékban buborékok keletkeznek, és felszállnak. Általában a folyadékokban találhatók apró buborékok, amelyek a felület feszültség matt az edény falához tapadnak. Ha állandó nyomáson a folyadékot melegítjük, az adott nyomáshoz tartozó forrásponton nem csak a folyadék felszínéről lépnek k részecskék, hanem a folyadék belsejében ezekbe a pc buborékokba s megndul a párolgás, mert a külső nyomás már ezt nem tudja megakadályozn. A buborékokban a folyadék telített gőze van. A rohamos növekedés matt a hdrosztatka felhajtóerő s gyorsan nő, ezért a buborék felszáll. Forráspont: Forrás közben a folyadék hőmérséklete a hőfelvétel ellenére állandó nyomáson állandó. A forráspont növekvő nyomással növekszk. Túlhevített folyadék: Ha a folyadék nem tartalmaz semmféle szennyeződést és teljesen buborékmentes, akkor a forráspontja fölé növelhető a hőmérséklete. A buborékmentes folyadék többször átforralással és lassú hűtéssel állítható elő. A túlhevített folyadék rázás vagy más zavar hatására robbanásszerűen forrásba jön. Szublmácó: A szublmácó azt jelent, hogy a szlárd test közvetlenül légneművé alakul. Szokták mondan, hogy eltűnt mnt a kámfor. Szobahőmérsékleten és légkör nyomáson ugyans a kámfor szublmál. Megfelelő hőmérsékleten és eléggé alacsony nyomáson mnden anyag szublmál. 9. A hőtan II. főtétele. Az Entrópa 9.. Kvázsztatkus reverzbls és rreverzbls folyamatok A lassan változó, egyensúly állapotokon keresztül végbemenő folyamatokat kvázsztatkus folyamatoknak nevezzük. Megfordítható (reverzbls) folyamatok: Ha egy rendszert eredet állapotába úgy tudjuk vsszajuttatn, hogy a környezetében maradandó változás nem következk be, akkor a folyamat reverzbls. Ilyennek teknthető pl. egy gáz kvázsztatkus zoterm állapotváltozása. Ha nagyon lassan zotermkusan a gázt összenyomjuk, akkor a környezete melegszk. Ha ezután a gáz zotermkusan eredet térfogatára tágul, akkor pontosan anny hőt vesz fel, mnt amennyt az összenyomáskor leadott. Ha a dugattyú súrlódása elhanyagolható, akkor a környezetben a folyamat végén nncs maradandó változás. Irreverzbls (nem megfordítható) folyamatok: A valóságos folyamatok mnd rreverzblsek, mert ha egy rendszer állapotát megváltoztatjuk, majd eredet állapotát vsszaállítjuk, akkor a környezetben maradó állapotváltozás történk. Mozgások esetén a súrlódás, közegellenállás matt a környezet melegszk. Két különböző hőmérsékletű test termkus kölcsönhatásakor a hőmérséklet kegyenlítődk. Ez a folyamat önként megy végbe. Jó hőszgetelő merev falú tartályban a felvett és leadott hőmennységek egyenlők. Ahhoz azonban, hogy az eredet hőmérsékleteket vsszaállítsuk, 6

62 jelentős energa befektetés szükséges, mert a hűtés csak energa befektetésével valósítható meg. 9.. A termodnamka II. főtétele. Ez a főtétel a természetben önként végbemenő folyamatok rányára vonatkozk, melynek többféle megfogalmazása s smert. Clausus féle megfogalmazás: Hő magától csak a melegebb helyről a hdegebb helyre mehet át, ezért a természet folyamatokban a hőmérséklet-különbségek kegyenlítődésre törekszenek. Planck féle megfogalmazás: Nem lehet olyan perodkusan működő hőerőgépet készíten, amelyk egyetlen hőtartály lehűlése árán munkát végezne. Az lyen gépet másodfajú perpetuum moblének nevezzük, A perodkus működésű gép úgy kerül vssza eredet állapotába, hogy nullánál nagyobb eredő munkát végez. Ha létezne lyen gép, akkor például az óceánok lehűlése árán mechanka munkát végezhetne. Ez a főtétel nem zárja k, hogy egy gép egyrányban működve a hőtartály leadott energáját teljes egészében mechanka energává alakítsa, de a folyamat végén a gép leáll, így folyamatos munkavégzésre nem használható. Ilyen gép lenne egy zotermkusan táguló gáz dugattyúja. A perodkus működéshez azonban vssza kell vnn a dugattyút az eredet állapotába. p A D T T 9.. ábra B C 9.3. A Carnot körfolyamat V A hőerőgépek olyan perodkus működésű gépek, amelyek hőtartállyal vannak kapcsolatban. Mvel a cklus végére eredet állapotukba kerülnek vssza, a p V dagrammon a működésüket zárt görbe írja le. Az lyen folyamatokat körfolyamatoknak nevezzük. A Carnot (karnó) körfolyamat két zoterm és két adabatkus állapotváltozásból áll. A 9.. ábrán látható a körfolyamat cklusa. Az A B változás egy zoterm tágulás a magasabb hőmérsékleten. Ilyenkor a belső energa nem változk, a felvett hőmennység teljes egészében mechanka munkavégzéssé alakul. A B C állapotváltozás adabatkus tágulás. Itt nncs hőcsere, a munkavégzés a gáz belső energájának rovására történk, ezért a gáz lehűl. A C D állapotváltozás egy zoterm összenyomás az alacsonyabb hőmérsékleten. A végzett munka egyenlő a leadott hőmennységgel. Ilyenkor a környezet melegszk. 6

63 A D A állapotváltozás adabatkus összenyomás. A végzett munka a gáz belső energáját növel, ezért növekszk a gáz hőmérséklete. Mvel az adabatkus változások azonos hőmérséklet határok között történtek, az összenyomáskor végzett munka egyenlő a táguláskor a gáz által végzett munka nagyságával: c v m T W BC W DA Az zoterm munkavégzések azonban különbözők, a magasabb hőmérsékleten végzett munka nagyobb (görbe alatt területek). Az összes munkavégzés, a hasznos munka egyenlő a bezárt területtel: W h W AB +W BC W CD W DA W h W AB W CD Mvel az adabatkus változásoknál nncs hőcsere, az zoterm változásoknál pedg a belső energa állandó, a hasznos munkavégzés kszámítható a felvett és a leadott hőmennységek abszolútértékének kűlönbségeként s: W h ΣQQ fel Q le 9.4. A hőerőgépek termodnamka hatásfoka Egy deáls Carnot gép a betáplált és a leadott hőmennység különbségét mechanka Wh ΣQ Q fel Qle Qle munkává alakítja. A hatásfoka: η Q fel ΣQ fel Q fel Q fel Ez a hatásfok független a használt gáz anyag mnőségétől. Adott hőmérséklet határok között működő hőerőgépek közül a Carnot gép a legjobb hatásfokú. VC n T ln VD η VB n T ln VA Az adabatkus folyamatokra felírhatjuk, hogy: κ κ κ κ T VB T V C, ll. T VA T V D V B VC A két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy: VA VD T T T A Carnot körfolyamat hatásfoka az egyszerűsítések után: η T T Tehát az deáls Carnot gép hatásfoka csak a hőmérséklet határoktól függ, és annál nagyobb, mnél nagyobb a hőmérsékletek különbsége Entrópa. Az entrópanövekedés és az entrópamaxmum elve Jelöljük a T hőmérsékleten felvett hőmennységet Q -vel, a T hőmérsékleten leadott hőmennységet Q -gyel. A Carnot gép hatásfokára kapott kétféle összefüggést egyenlővé téve : T Q Q Q Q Q +, majd rendezve, ll.: +. T Q T T T T Ez általánosan s gaz: Bármely reverzbls körfolyamatban a T Q hányadosok összege zérus. (Bármelyk folyamat megközelíthető nagyon fnom felosztású zoterm és adabatkus részfolyamatokkal): 63

64 n Q reverzbls T Irreverzbls folyamatoknál a Clausus - féle egyenlőtlenség érvényes: n Q rreverzbls < T azaz az rreverzbls folyamatokban több a leadott hőmennység (a leadott hőmennység előjele negatív) Ha egy rendszert A állapotból B állapotba juttatjuk reverzbls a úton, majd reverzbls módon vsszajuttatjuk eredet állapotába egy másk b úton, akkor Q Q Q Q + T T T T A B a úton B A b úton A B a úton A B b Bármlyen reverzbls úton juttatjuk s el a rendszert egyk állapotából a máskba, a n Q reverzbls hányados állandó, tehát állapotjelző. T Ez a hányados megadja a kezdet és végállapot között entrópa különbségét. Az entrópa jele S, mértékegysége: [J/K], skalár mennység Az entrópa változása egyenlő a reverzbls módon felvett hőmennység és a hőmérséklet n Q dq hányadosával: S reverzbls, ll. ds reverzbls T T Mvel az entrópa állapotjelző, a megváltozása független attól, hogy egy állapotváltozás reverzbls vagy rreverzbls úton történt, csak a kezdet és végállapottól függ. everzbls körfolyamatban: S edukált hőmennység: Q Ha a rendszer állapotváltozása rreverzbls, akkor a rreverzbls hányadost redukált T hőmennységnek nevezzük. A Clausus féle egyenlőtlenség alapján a redukált hőmennységek összege ksebb mnt a Q rendszer entrópaváltozása: rreverzbls < S B S A T A termodnamka II. főtétele ezek alapján úgy s megfogalmazható, hogy: Zárt rendszerben önként lezajló folyamatok esetén a rendszer entrópája nem csökkenhet (a valóságos folyamatok rreverzblsek, ezért az entrópa csak növekedhet). Ez az entrópanövekedés elve. Egyensúly állapotban a rendszer entrópája maxmáls. Ez az entrópamaxmum elve. Ez teknthető a hőtan II. főtétele matematka megfogalmazásának s: Q S zárt rendszerben önként végbemenő folyamatok esetén. T 9.6. A termodnamka III. főtétele A termodnamka III. főtétele (Nernst-tétel): A kémalag egységes anyagok hőmérsékletét nullához közelítve az entrópájuk s nullához tart: lm S T Ebből következk, hogy a fajhőjük s tart a zérushoz, ezért a K nem érhető el, csak megközelíthető. (A nagyon ks fajhő matt az anyag nagyon könnyen vesz fel hőt, ezért a hőmérséklete növekszk.) úton 64

65 9.7. Nyílt rendszerek egyensúlyának feltétele. Termodnamka potencálok. Kéma potencál Termodnamka potencálok Nyílt rendszer: Ha a rendszer és környezete között legalább egyféle kölcsönhatás lehetséges (pl. hőcsere, munkavégzés, részecske áramlás, stb.) Egy rendszer entrópája növekedhet, csökkenhet, vagy változatlan maradhat attól függően, hogy a rendszer és környezete között mlyen folyamatok mennek végbe. A belső folyamatokban azonban a rendszer entrópája csak növekedhet. Jelöljük ezt az entrópa növekedést σ-val (szgma). σ>. Ekkor a rendszer entrópaváltozása: S A felvett hőmennység poztív, a leadott pedg negatív előjelű. Bzonyos specáls esetekben az új összetett állapotjelzők bevezetésével a nytott rendszer egyensúly állapotának feltétele matematkalag egyszerűen megfogalmazható. a.) pállandó és Tállandó esetén: Gyakran megy végbe olyan folyamat, amkor a környezet hőmérséklete és nyomása s állandónak teknthető (pl. légkör nyomás, szobahőmérséklet). Vzsgáljunk tehát állandó hőmérsékleten és állandó nyomáson végbemenő állapotváltozást. Az I. főtételből a hőmennység Q U+p V, és ezzel az entrópaváltozás: U + p V S + σ T Átrendezve: σ T U + p V T S ll. σ T ( U + p V T S) < Mvel σ és T csak poztív lehet, az egyenlet bal oldalán negatív szám van, tehát a jobb oldal s csak negatív lehet. Entalpa: Az U+p VH összetett állapotjelzőt entalpának nevezzük. Szabadentalpa: G U + p V T S, összetett extenzív állapotjelző, mértékegysége: joule [J] Tehát állandó nyomású és állandó hőmérsékletű környezetben csak olyan rreverzbls folyamatok mehetnek végbe, amelyekben a G σ T szabadentalpa-változás negatív, tehát a rendszer szabadentalpája csökken. Egyensúly állapotban a szabadentalpa mnmáls. b.) Vállandó és Sállandó esetén: Energamnmum elve: Ha a rendszer térfogata és entrópája állandó, akkor p V és T S, ezért σ T U < Állandó entrópájú és állandó térfogatú rendszerben csak olyan folyamatok mehetnek végbe, amelyekben a rendszer belső energája csökken. Egyensúly állapotban a belső energa mnmáls. Q T + σ c.) Vállandó és Tállandó esetén: Ha állandó térfogaton (merev falú tartályban) és állandó hőmérsékleten megy végbe nyílt folyamat, akkor p V, és σ T ( U T S) < Szabadenerga: FU TS Állandó térfogaton és állandó hőmérsékleten nyílt rendszerben rreverzbls módon csak olyan folyamatok mehetnek végbe, amelyek eredményeként a rendszer szabadenergája csökken. Egyensúly állapotban a rendszer szabadenergája mnmáls. d.) Tállandó esetén: Állandó hőmérsékleten, ha van munkavégzés, akkor a II. főtétel: U + W S T t + σ 65

66 Ebből a tágulás munka: W t T S U σ T ( T S U ) σt F σ T Mvel σ és T csak poztív lehet a tágulás munka ksebb mnt a szabadenerga megváltozása: W t < F Tehát állandó hőmérsékleten a rendszer által végzett munka csak ksebb lehet a szabadenerga megváltozásánál Kéma potencál Valamely kéma anyag különböző halmazállapotokban lletve fázsokban fordulhat elő. Ha pl. csak víz és vízgőz van egy zárt edényben, akkor az egy komponensű fázsú rendszer. Ha a gőz nyomása nem egyenlő az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásával, akkor a rendszer nncs egyensúlyban. Ekkor a párolgás vagy lecsapódás addg tart, amíg a nyomás el nem ér a telített gőz nyomását. Eközben mndkét fázs részecskeszáma változk. A víz belső energája nem csak hőközlés vagy munkavégzés matt változhat, hanem azért s, mert a fázsátalakulás matt változk a részecskeszám. A részecskeszám változása matt kéma munka (W k ) arányos a részecskeszám változásával: W k µ N ( a víz belső energája csökken az eltávozó részecskék matt) µ kéma potencál, ntenzív, kegyenlítődő mennység. A víz belső energaváltozása: UQ+W µ N A párolgás vagy lecsapódás addg tart, amíg a víz és gőz fázsban a kéma potencálok k nem egyenlítődnek. Ha a rendszeren belül kéma folyamatok s lejátszódnak, akkor az egyes komponensek részecskeszáma és a komponensek belső energája s változk. Egyensúly akkor alakul k, ha az egyes komponenseken belül a különböző fázsok kéma potencálja megegyeznek, vagys a részecskék a ksebb kéma potencálú hely felé áramlanak. 66

67 Elektrodnamka. Elektrosztatka.. Elektrosztatka alapjelenségek vákuumban. Az elektromos töltés. Coulomb Törvény Az elektrosztatka a nyugvó töltések között kölcsönhatásokkal foglalkozk. Már az ókorban smert volt a dörzselektromosság (érntkezés elektromosság) jelensége. A gyapjúval megdörzsölt borostyánkő a selyemszálra függesztett bodzabél golyót magához vonzza. A borostyánkő görög neve elektron. Glbert a megdörzsölt borostyánkőnek ezt a tulajdonságát elektromos hatásnak nevezte el. Az s közsmert, hogy a testeknek kétféle elektromos állapota lehet. Az azonos elektromos állapotú testek taszítják, a különböző elektromos állapotúak pedg vonzzák egymást. A gyapjúval dörzsölt ebont rúd és a bőrrel dörzsölt üvegrúd ellentétes elektromos állapotú, ellentétes töltésű. A töltések tehát egymásra erőt fejtenek k. Mvel a vonzó és taszító erőhatás alapján a töltések két csoportba sorolhatók, Frankln a bőrrel dörzsölt üveg töltését poztívnak, a gyapjúval dörzsölt ebont vagy borostyánkő töltését negatívnak nevezte el. Az egymáshoz dörzsölt testek ellentétes töltésűek lesznek, azaz a dörzsöléskor nem töltések keletkeznek, hanem a töltések szétválasztódnak. Ha ellentétes töltésű fémeket összeérntünk, akkor a töltések lerontják, semlegesítk egymást. Ha egy ksméretű töltött fémgolyóhoz egy azonos méretű semleges fémgolyót érntünk, akkor a két golyón a töltések egyenlő arányban oszlanak meg. Ilyen módon egy töltött fémgolyóhoz azonos méretű semleges fémgolyókat érntve a töltést sok különböző ksebb részre tudjuk osztan. A vllamos töltés (Q). Coulomb törvénye Két pontszerű töltés által egymásra kfejtett erő nagyságát Coulomb franca hadmérnök vzsgálta kísérletleg torzós mérleggel. (A töltések akkor teknthetők pontszerűnek, ha a testek mérete elhanyagolható a köztük levő távolsághoz képest.) Ez az erő (F) egyenesen arányos mndkét test töltésével (Q, Q ), és fordítva arányos a köztük levő távolság (r) négyzetével. Az arányosság tényező vákuumban SI mértékrendszerben k 9 9 Nm C Q Q Q Q A pontszerű töltések által egymásra kfejtett erő: F k ll. F r 4 π ε r ε vákuum delektromos állandója (permttvtása; abszolút permttvtás) Ha a fent módszerrel smert a töltések aránya, akkor ezen törvény alapján a töltés mérhető. A vllamos töltés jele: Q, mértékegysége: coulomb [C] Mllkan amerka Nobel-díjas fzkus bzonyította, hogy a töltésnek létezk egy természetes elem egysége, am egy proton, lletve egy elektron töltésének abszolútértékével egyenlő. Olajcseppeket porlasztott kondenzátorlemezek közé, amk a porlasztástól enyhén negatív töltésűvé váltak. A rá ható erők alapján az olajcseppek töltése meghatározható. Azt tapasztalta, hogy az olajcseppek töltése ugyan különböző volt, de mndegyk csepp töltése egy elem egységnek egész számú többszöröse. Ezt az értéket elem töltésegységnek nevezzük, melynek értéke e,6-9 C. 67

68 .. Vllamos térerősség. Erővonalak, a térerősség fluxusa A Coulomb törvény vzsgálatakor azt mondtuk, hogy két egymástól távol töltés hat egymásra. Ezt a távolba hatás elméletét Mchael Faraday (feredé) megváltoztatta. Bevezette az elektromos és mágneses erőtér (elektromos és mágneses mező) fogalmakat. Az elektromos kölcsönhatást nem úgy értelmezte, hogy két távol töltés hat egymásra, hanem hogy egy töltés maga körül elektromos erőteret (mezőt) hoz létre, és az ebben a mezőben levő másk töltésre a vele érntkező mező fejt k erőhatást. Ez a közelhatás elmélete. Az elektromos mezőt jellemezhetjük a vllamos térerősség vektorral (E): A vllamos térerősség megadja a vzsgált pontban a poztív egységny mérőtöltésre ható F N V erő nagyságát és rányát: E Q C m A mező mnden pontjához rendelhető egy térerősség vektor, amt úgy lehet megmérn, hogy elosztjuk a mérőtöltésre ható erő (F) nagyságát a mérőtöltéssel (Q). Iránya a poztív mérőtöltésre ható erő rányával egyezk meg. Vllamos térerősség-vonalak: A vllamos erőteret szemléltethetjük erővonalakkal. Ilyen jellegű vonalak mentén rendeződnek például az elektromos mezőben levő olajra szórt daraszemcsék. Az erővonalak tulajdonsága elektrosztatkus térben: Sűrűségük arányos a vllamos térerősség nagyságával Érntőjük az adott helyen megadja a vllamos térerősség rányát. Mndg poztív töltésből ndulnak, és negatív töltésen záródnak A fémekből (vezetőkből) merőlegesen lépnek k, vagy be. Azt az erőteret ahol a vllamos térerősség mndenütt azonos nagyságú és rányú, homogén erőtérnek nevezzük. A homogén erőteret egymással párhuzamos, egymástól azonos távolságra levő erővonalakkal jellemezhetjük. Pontszerű töltés vllamos tere: Q +.. ábra A.. ábrán egy poztív pontszerű töltés erővonalképe látható, am gömbszmmetrkus. Az erővonalak sugárrányban kfelé mennek. A pontszerű negatív töltés erővonala ugyanlyen alakúak, de befelé mutatnak. A vllamos térerősség a töltéstől r távolságban: Q Qm F 4πε r r E Qm Qm r Egyszerűsítés után: Q r E 4πε r r +Q E +Q E E Szuperpozícó: A vllamos térerősséget a mérőtöltésre ható erő alapján határoztuk meg. Ha az erőteret több töltés létesít, ak-.. ábra 68

69 kor a mérőtöltésre ható erők vektorálsan összegződnek, ezért a vllamos térerősség vektorok s a vzsgált pontban összegződnek (.. ábra) A vllamos térerősség fluxusa (ψ) Az elektromos fluxus (Ψ) (pszí) megadja az A felületen merőlegesen átmenő vllamos térerősség-vonalak számát. Ψ En A, [ Vm] C Nm.3. Forráserősség. Gauss tétel (Maxwell I. törvénye) Vzsgáljuk meg a ponttöltés elektromos fluxusát egy őt körülvevő gömb esetén! A gömb középpontja a ponttöltés helyén van. Q Ekkor Ψ En A 4 π r Q 4ππ r ε Mvel az elektromos mező forrása a Q töltés, a belőle knduló összes erővonalszám független a távolságtól, vákuum esetén csak a töltés nagyságától függ. Ezt a mennységet forráserősségnek nevezzük. A Q töltés forráserőssége: N E Q ε Gauss-tétel: Ha a vllamos teret több töltés létesít, akkor meghatározhatjuk egy tetszőleges V térfogatban levő töltések forráserősségét. Vegyük körül a töltéseket egy tetszőleges zárt felülettel. Osszuk fel olyan felületelemekre, amelyeken belül a térerősség állandónak teknthető. Szorozzuk meg a felületre merőleges térerősség-komponenst a felületelemmel, és az így kapott szorzatokat adjuk össze a teljes zárt felület mentén. Ez az összeg egyenlő a felület által bezárt térfogatban levő töltések előjeles összegének és a vákuum permttvtásának hányadosával. Matematka alakban: En A Q ε V zárt felületre Ezt a tételt Maxwell I. törvényének s nevezk, melynek fzka jelentése: A sztatkus elektromos tér forrása és nyelő a vllamos töltések. (James Clerk Maxwell foglalta egységes elméletbe az elektrodnamkát, am 4 egyenletből és még 3 anyag egyenletből áll.).4. Az elektromos mező munkája, feszültség és potencál Juttassunk el egy +Q mérőtöltést az A pontból a B pontba a.3. ábrának megfelelő módon. A vzsgált helyen az E térerősséggel megegyező rányú erő a kcs s úton W F s cosϕ E Q s cosϕ munkát végez. s A végzett összes munka Q kemelése után: B ϕ B W Q E s cos ϕ ll. B W Q E s Q A A A E A sztatkus elektromos erőtér konzervatív, azaz a végzett munka független az úttól, csak a kezdő és végpont helyzetétől függ..3. ábra 69

70 A vllamos feszültség: A vllamos erőtér pontja között mérhető. Megadja, hogy az elektromos mező menny munka árán képes elvnn a poztív egységny mérőtöltést az egyk pontból a máskba. Skalár mennység (nncs térbel ránya). W Értelmező egyenlete: U mértékegysége volt [V] Q Szokás a két pont között feszültséget nyíllal jelöln, és a feszültség rányáról beszéln, ez azonban nem térbel rányt jelent, hanem a feszültség előjelét határozza meg. Ilyen értelemben a feszültség ránya a poztívabb ponttól a negatívabb pont felé mutat. (Két pont közül az a poztívabb, amelykből az elektromos tér képes a máskba elvnn a poztív mérőtöltést.) Egy zsebrádó működése függ attól, hogy az elemet hogyan tesszük bele, a + és pólus nem cserélhető fel, de a térbel elforgatása nem befolyásolja a működést, ha az antenna rányérzékenységétől eltekntünk. A vllamos munka: A végzett vllamos munka egyenesen arányos a két pont között feszültséggel, és a mozgatott töltéssel. W U Q A feszültség és a térerősség kapcsolata: Ha a feszültség értelmező egyenletébe behelyettesítjük a vllamos munkára kapott összefüggést, akkor U W Q B Q E s A. Q Egyszerűsítés után: U E s, ll. U E ds Két pont között feszültség egyenlő a vllamos térerősség és az elmozdulás skalárszorzatanak összegével. Homogén mezőben egy erővonal d távolságú pontja között a feszültség: U E d Ponttöltés elektromos erőterében (centráls erőtér) a két pont között feszültséget ntegrálszámítással határozhatjuk meg. r A A B Ha az A és B pontok egy erővonalon vannak a.4. ábrának megfelelően, akkor: r B rb ra rb ra B A Q Q U Eds dr 4πε r 4πε U Q.4. ábra 4πε r A r B A képlet akkor s gaz, ha a pontok az adott sugarú gömbök tetszőleges pontjaban vannak. Ha ugyans a mérőtöltést egy gömb felszínén mozgatjuk, akkor nem végzünk munkát, mert az elmozdulás merőleges az erőre. Így tetszőleges kezdet helyzetből a. 4. ábrának megfelelő A pontba vhetjük a mérőtöltést az r A sugarú gömbön munkavégzés nélkül. Potencál: A potencál egy választott nullponthoz vszonyított feszültség. A nullpont nem geometra pont, hanem egy nívófelület. Ha egy töltést az erővonalakra merőlegesen mozgatunk, akkor a vllamos erőtér nem végez munkát, vagys az lyen pontok között nncs feszültség. Az lyen felületeket nívófelületeknek vagy ekvpotencáls felületeknek nevezzük. A gyakorlatban szokás a földet, vagy a vllamos berendezés legnagyobb kterjedésű fémrészét (test) nulla potencálú pontnak választan. A fzkában általában a tér végtelen távol pontját választjuk nulla potencálúnak. r rb ra 7

71 A feszültség és potencál kapcsolata: Juttassuk el az A pontból a B pontba a poztív mérőtöltést. A végzett munka független az úttól, mert a sztatkus elektromos mező konzervatív erőtér. Először vgyük a töltést a nulla potencálú helyre. Ekkor a végzett munka: W A B WA + W B WA WB Az egyenlet mndkét oldalát Q-val osztva kapjuk, hogy U AB U A U B, vagys a két pont között feszültség egyenlő a két pont potencáljának különbségével. Pontszerű töltéstől r távolságra levő pont potencálja (a nulla potencálú pont a végtelenben van): Ha a ponttöltés feszültségére kapott összefüggésben r B, akkor a potencál: Q U 4πε r A ponttöltés terében a potencál egyenesen arányos a forráserősséggel, és fordítva arányos a forrástól mért távolsággal..5. Örvényerősség. Maxwell II. törvénye Az elektromos tér által két pont között végzett munka: W B Q A E s, amnt azt a.3. ábra alapján már beláttuk. Mvel a nyugvó (sztatkus) elektromos tér konzervatív, a zárt görbe mentén végzett munka zérus:. W Q E s Mvel Q, ezért E s zárt görbére Ezt a kfejezést az elektromos tér örvényerősségének (crkulácó) nevezzük: A vllamos térerősség és a pllanatny elmozdulás skalárszorzatának zártgörbére vett összege. Az örvényerősség értelmező egyenlete: Ö E zárt görbére E s zárt görbére Maxwell II. törvénye: Az elektrosztatkus tér örvénymentes, tehát az örvényerősség bármely zárt görbére zérus: Ö E E s zárt görbére Más megfogalmazásban ez azt jelent, hogy az elektrosztatkus tér erővonala nem lehetnek zárt görbék. Ha ugyans zárt görbe lenne egy erővonal, amely mentén kszámítanánk az örvényerősséget, akkor az E s szorzatok azonos előjelűek lennének, és így az összeg nem lehetne nulla..6. Vezetők elektrosztatkus mezőben Vezetők: Olyan anyagok, amelyekben szabadon mozoghatnak a töltések. Elsődleges vezetők a fémek, amelyek rácspontjaban helyhez kötött fémonok rezegnek, a köztük levő térben pedg szabad (delokalzált ) elektronok rendezetlen hőmozgást végeznek. Másodlagos vezetők az elektroltok, az onokat tartalmazó folyadékok. Ilyenek a fémek olvadéka, valamnt a sók, savak és bázsok vzes oldata, olvadéka. Vzsgáljuk meg, hogy a semlegesítetlen töltések hol helyezkednek el egy fémtárgyon? Ha egy fémgömbre pl. egyetlen elektron többlettöltést vszünk fel, akkor az bárhol lehet. 7

72 Ha vszont lyen elektron van, akkor azok taszítása matt már a külső felületen helyezkednek el. Természetesen ugyanez érvényes a semlegesítetlen poztív töltésekre s. A szabad töltések a fémek külső felületén helyezkednek el. Gömb esetén a felület töltéssűrűség állandó, a töltések eloszlása a felületen egyenletes. Q C Felület töltéssűrűség: D A m Csúcshatás: Ha a tárgynak hegyes csúcsa, éle vannak, akkor a taszítás matt ott a töltéssűrűség nagyobb. Ezt látjuk a.5. ábrán. Vllamos megosztás (nfluenca): Ha vllamos térbe teszünk egy semleges fém tárgyat, akkor benne a töltések szétválasztódnak. A keletkező belső vllamos tér a külsővel ellentétes rányú, így a külső teret gyengít. Ez a folyamat addg tart, amíg a fém belsejében az eredő vllamos térerősség nulla nem lesz. Ez látható a.6. ábrán. Földelés: A föld jó vezető, mert vízben oldott ásvány anyagokat tartalmaz. Ha egy fémtárgyat vezető anyaggal összekötünk a földdel, azt földelésnek nevezzük. A földelő rúdnak olyan mélyen kell lenne, hogy mndg nedves talajjal érntkezzen. Ha egy semleges fémet egy töltött test közelébe vszünk, akkor benne a töltések szétválasztódnak (nfluenca). Ha ezt a megosztott testet rövd deg leföldeljük, akkor a megosztó töltéssel egynemű töltések a földbe távoznak, így az eredetleg semleges fém a megosztó testtel ellentétes töltésű lesz. A Földkéreg nem semleges, hanem negatív töltéstöbblete van, ezért a felszín közelében lefelé mutató vllamos térerősség mérhető. E külső Megosztás előtt.5. ábra. 6. ábra Megosztás matt E külső Árnyékolás: Ha egy elektronkus eszközt vagy vezetőt zárt fémburokkal vagy fémhálóval veszünk körül, akkor az megvéd a belsejében levő berendezéseket a külső elektromos mezőktől. A zárt fémburkolatot általában leföldelk. A vllamos megosztásnál már láttuk, hogy a külső töltések nem létesítenek vllamos teret a zárt fém belsejében, mert az erővonalak a fémen záródnak, vagy a fémből ndulnak. A vasbeton épületek árnyékoló hatása csökkent a hordozható rádók vétel lehetőségét. Az árnyékolt kábelek belső eret sűrű szövésű rézháló, vagy félg átlapoltan alufóla vesz körül. A zárt fémburok véd az embereket a vllámcsapástól a repülőgépekben és a gépkocskban. Faraday-kalckát használnak a nagyfeszültségű távvezetékek átvzsgálásához s. Vllámhárító: A vllámhárító egy hegyes fémrúd, amelynek a másk vége földelve van. Működése a megosztáson és a csúcshatáson alapul. A megosztás matt a csúcs a felhővel ellentétes töltésű lesz, a csúcshatás matt pedg a térerősség nagyon nagy. Ez az erős nhomogén vllamos tér hozza létre az átütést, a vllámot. 7

73 Tükörtöltés: +Q Q.7. ábra Ha egy nagy kterjedésű fémlap vagy fémtest fölött elhelyezünk egy pontszerű töltést, akkor az a fémlapban megosztást okoz. A vllamos térerősségvonalak a fém felületénél sztatkus térben a fémre merőlegesek, mert ha lenne párhuzamos komponens, akkor az a töltések elmozdítását okozná. Olyan erővonalkép alakul k, mnt ha a fém felülete mögött, tőle azonos távolságban egy, az eredetvel azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés lenne. Ezt tükörtöltésnek nevezzük (.7. ábra)..7. Szgetelők elektrosztatkus mezőben Szgetelő anyagok: Nncs bennük szabadon mozgó töltés. Ilyenek az atomrácsos, molekularácsos és onrácsos szlárd testek, valamnt a csak atomokat vagy molekulákat tartalmazó folyadékok és gázok. Dpólus: Egy semleges atom poztív és negatív töltésközéppontja egy pontba esk. Ha vllamos térbe tesszük, akkor a negatív töltésközéppont a térerősséggel ellenkező, a poztív töltésközéppont pedg a térerősséggel megegyező rányba eltolódk. Az olyan részecskéket, amelyek össztöltése nulla, de a töltésközéppontok nem egy pontba esnek, dpólusoknak nevezzük. Vannak olyan molekulák, amelyek eleve dpólus szerkezetűek (pl. vízmolekula). Ha szgetelőanyagot vllamos térbe teszünk, akkor benne dpólus láncok alakulnak k a polarzácó matt, lletve ha eleve dpólus molekulákból állt, akkor a dpólusok rendeződnek, befordulnak a tér rányába. Átütés: Az erős vllamos tér képes kszakítan elektronokat a dpólusokból. Töltéshordozók keletkezhetnek a gázokban úgy s, hogy nhomogén térben a dpólusok nagyon felgyorsulnak, és egymással ütköznek. Űtközéskor elektron mehet át egyk dpólusról a máskra, vagy kszakadhat a kötésből és szabaddá válhat. Ez az ütközés onzácó. A mező a fémekből s képes elektronokat kszakítan, amk a környező szgetelőt vezetővé teszk. Az erős vllamos tér hatására tehát a szgetelők vezetővé válhatnak, szkraksülés, vllám vagy egyéb ksülés keletkezhet. Átütés szlárdság: Az a legksebb térerősség, amelynél az átütés bekövetkezk..8. Kondenzátorok. Kapactás Kondenzátor: Töltések tárolására alkalmas eszköz. Felépítése: Két jó vezető (fegyverzetek) között szgetelő anyag található. A kondenzátorok töltéstároló képességét a kapactással jellemezzük -Q +Q Kapactás (C): megadja, hogy egységny feszültség hatására menny töltést képes tároln a kondenzátor. Ér- A A d.8. ábra 73

74 telmező egyenlete: Q U C V C mértékegysége: [ F ] farad Q az egyk lemezen tárolt töltés (csak az egyk kondenzátorlemez vesz fel töltést, a máskon megosztással keletkezk) U a lemezek között feszültség. A gyakorlatban főleg pf, nf és µf (pkofarad, nanofarad, mkrofarad) nagyságrendű kapactásokkal találkozhatunk. Beszélhetünk egy fémtárgy földhöz vszonyított, ll. a tér végtelen távol pontjához vszonyított kapactásáról s. Ekkor Q a fémen levő töltés, U a potencál. Határozzuk meg a. 8. ábrán látható síkkondenzátor kapactását, ha a lemezek között vákuum van. A lemezek között az erőtér homogén, az erővonalak párhuzamosak, és sűrűségük állandó. Az összes erővonal a poztív töltésű lemezről ndul k, és a negatív töltésű lemezen végződk, ha a lemezek elég közel vannak egymáshoz. Vegyük körül a poztív töltésű lemezt a szaggatott vonallal rajzolt téglatesttel, és alkalmazzuk a Gauss-tételt. A téglatestnek csak a jobboldal A felületű lapján nem nulla a térerősség, ezért E A Q ε A térerősség és feszültség kapcsolatából: E d U Az egyenletrendszerből E kküszöbölésével kapjuk a síkkondenzátor kapactását: C ε Q A U d A szgetelőanyag hatása a kapactásra: Ha a két lemez között teret valamlyen szgetelőanyag tölt k, akkor a kapactás megnövekszk. E külső Ennek az az oka, hogy a szgetelőanyagban a.9. ábrán látható módon delektromos polarzácó jön létre. A szgetelőanyagban az ellentétes töltések E polarzácós lerontják egymást, de a széleken semlegesítetlenül maradt polarzácós töltések a külső térrel ellentétes.9. ábra teret hoznak létre, így az eredő térerősség csökken. Ematt csökken a feszültség, és növekszk a kapactás: C Q Q U E d A kapactás növekedésének mértéke a szgetelőanyag fajtájától függ. elatív delektromos állandó (relatív permttvtás; ε r ): Megadja, hogy hányszorosra növekszk a síkkondenzátor kapactása, ha a lemezek között C r r C teret vákuum helyett az adott szgetelőanyag tölt k: ε [puszta szám] Delektromos állandó: ε ε ε r A szgetelőanyag tehát lecsökkent a térerősséget, és növel a kapactást a vákuumhoz képest. Ematt Maxwell I. törvénye s megváltozk delektrkum esetén: En A Q ε ε r V zárt felületre Az így kapott egyenlet anyagfüggő. Célszerű bevezetn egy olyan mennységet, amellyel anyagtól függetlenül lehet jellemezn az elektrosztatkus teret. 74

75 C Delektromos eltolás vektor (D): D E ε m Q A Gauss-tételből következk, hogy egy fém felületén a felület töltéssűrűség D A megegyezk a közvetlenül a fém mellett a szgetelőanyagban a delektromos eltolás nagyságával. Maxwell I. törvénye a delektromos eltolással: D A Q zárt n felületre A delektromos eltolás zárt felületre vett fluxusa egyenlő az ezen felület által bezárt térben levő töltések összegével..9. Kondenzátorok fajtá A legtöbb kondenzátor lényegében síkkondenzátornak teknthető, mert a fegyverzetek egymás- Szgetelő fóla sal párhuzamosak. A két fegyverzet alumínumfóla-szalag, amelyek közé papírt, olajjal áttatott papírt, műanyag fólát (polsztrol, poletlén) tesznek, majd az így kapott szalagszendvcset összehajtogatják, vagy feltekercselk (.. ábra) Gyakran két kvezetéssel látják el. A két kvezetés lehet az egyk homlokfelületen, vagy mndkét alaplapon egy egy. Lehetséges, hogy csak egy kvezetés található, Alumínumfóla mert a másk maga a fémház, amelyhez fém blnccsel tudunk csatlakozn... ábra Elektrolt kondenzátor (Polartásfüggő) Nagy kapactást ks térfogatban úgy lehet előállítan, hogy nagy felületeket hozunk létre, és azokat nagyon közel helyezzük el egymáshoz. Egy sík lap felülete sokszorosára növelhető, ha a felületén domborzatot hozunk létre. Ez kéma maratással megoldható. Az alumínumoxd (Al O 3 ) jó szgetelő, amt megfelelő vastagságban elektrolízssel lehet létrehozn. Az atomos oxgén, am az elektródánál kválk, bedffundál az alumínum elektródába, és oxdálja azt. A másk elektródának fel kell venne pontosan a domborzat negatívjának alakját, különben a két elektróda távolabb lenne egymástól, de a közel csúcsok matt az átütés szlárdság s kcs lenne. Ez úgy valósítható meg, ha a másk elektróda egy vezető folyadék, amt tatóspapírban feltatnak. A poztív elektróda az alumínum, a negatív elektróda az elektrolt. Ellentétes polartásnál az elektroltban gáz fejlődk, am a kondenzátort szétrobbantja. Forgókondenzátor (.. ábra) A változtatható kapactású kondenzátorok leggyakrabban forgatható kvtelben készülnek. Egymástól meghatározott távolságra levő, egymás fölé rögzített és vllamosan összekötött fémlemezek közé közös tengelyen levő, egymással szntén fémes kapcsolatú lemezsort lehet V.. ábra 75

76 be- lletve khajtan. A két lemezsor természetesen egymástól szgetelt. A lemezek elforgatásával változk a szembenálló felület nagysága, és ematt a kapactás s... Kondenzátorok kapcsolása Kondenzátor rajzjele: C Eredő kapactás: Egy kondenzátor csoportot helyettesíthetjük egyetlen olyan kapactással, amelyk ugyanakkora feszültség esetén ugyananny töltést tárol, mnt a kondenzátorcsoport (ugyananny töltést vesz fel a tápegységből, mnt a kondenzátor csoport). Soros kapcsolás: A soros kapcsolást az jellemz, hogy a kondenzátorok között nncs elágazás (.. ábra). Ennek következménye, hogy mnden kondenzátorlemezen ugyananny töltés található: Qállandó. Ha ugyans erre a kondenzátorcsoportra egyenfeszültséget kapcsolunk, akkor a negatív pólusból a C C C +Q Q +Q Q jobboldal lemezére Q töltés megy, am C baloldal + lemezéről Q töltést eltaszít, így C baloldal lemeze U U U +Q töltésű lesz. Ugyanígy megosztás jön létre C.. ábra Egyszerűsítés után: +, ll. C C C kondenzátornál s. Mvel U + U U, és Q C + C Q C n Q C. Q U C C Sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapactása egyenlő a részkapactások recproka összegének recprokával. Párhuzamos kapcsolás: A párhuzamos kapcsolást az jellemz, hogy a kondenzátorok azonos ponthoz kapcsolódnak (.3. ábra). Ebből az következk, hogy a feszültségük közös. U Q Q C C +Q +Q A felvett töltés a vllamosan összekapcsolt lemezeken eloszlk, tehát QQ +Q C U C U + C U C C + C ll. C C A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapactása egyenlő a részkapactások összegével. n.3. ábra 76

77 .. Az elektromos mező energája és energasűrűsége Q W.4. ábra U Egy síkkondenzátort töltsünk fel úgy, hogy gondolatban egyenként vgyük át az elektronokat egyk lemezéről a máskra. A kapactás állandó, mert csak a kondenzátor felépítésétől függ. A feszültség egyenesen arányos az átvtt töltéssel. Egy-egy töltés átvtelekor annál nagyobb munkát végzünk, mnél nagyobb a feszültség a lemezek között. A végzett munkát a.4. ábrán látható egyenes szakasz alatt terület adja meg: W Q U Mvel Q C U, a végzett munka és a tárolt energa: W C U A tárolt energa kfejezhető a vllamos térerősséggel s. Az U E d és A C ε d A összefüggéseket a tárolt energa képletébe helyettesítve: W ε E d. d A homogén elektromos mező energája egyszerűsítés után, valamnt VAd fgyelembevételével: W ε E V E D V A homogén elektromos mező energája egyenesen arányos a térfogatával és a térerősség négyzetével, arányosság tényező a permttvtás. Az elektromos mező energasűrűsége: megadja a térfogategységben tárolt energát: W w ρ el, V ha V Az elektromos mező energasűrűsége: w ρ el ε E E D. Egyenáramú hálózatok.. Az elektromos áram Áramerősség (I) A vllamos áram a töltések egyrányú rendezett mozgása. Az áramerősség megadja a vezető teljes keresztmetszetén dőegység alatt átáramlott töltésmennységet. Q I [ A] amper t Skalár mennység, nncs térbel ránya. A technka áramrány (nem térbel rány, csak előjelet határoz meg) a poztív töltések mozgásával megegyező, lletve a negatív töltések mozgásával ellentétes rány. Az dőben állandó áramot staconárus áramnak, vagy egyenáramnak nevezzük. (Tágabb értelemben mnden olyan áram egyenáram amnek nem változk az ránya.) A fémekben a vllamos áram úgy jön létre, hogy az elektromos mező gyorsítja a szabad elektronokat, amk vszont ütköznek a fémonokkal, és energájukat leadva lelassulnak, sebességük ránya és nagysága s változk. A mező hatására tehát egy rendezetlen mozgáshoz egy rendezett, egyrányú mozgás s társul. 77

78 N A vezető árama kfejezhető a térfogategységben levő szabad elektronok számával n, V az elem töltésegységgel (e), a vezeték keresztmetszetével (A), és az elektronok rendezett mozgásának átlagsebességével ( v ): I n e A v N a vezetőben levő szabad elektronok száma, V a vezető térfogata. A rendezett mozgás átlagsebessége a szokásos áramoknál cm/s nagyságrendű... A vllamos ellenállás. Ohm törvénye Mnt láttuk, a vezetőben az elektronok ütköznek a fémonokkal, és ez a rendezett mozgást akadályozza. Vllamos ellenállás (): A vezetőknek azt a tulajdonságát, hogy a töltések mozgását akadályozzák, vllamos ellenállásnak nevezzük. Egy vezető ellenállása annál ksebb, mnél nagyobb áram folyk rajta azonos feszültség hatására. ajzjele: Ohm-törvény: Ohm német fzkus megállapította, hogy fémek esetén állandó hőmérsékleten a vezető két végpontja között feszültség (U) és a vezetőn folyó áram (I) hányadosa állandó. Ez a hányados jellemz a vllamos ellenállást (rezsztenca): U [ Ω] ohm I A vezető ellenállása állandó hőmérsékleten a vezető hosszúságától (l), keresztmetszetétől (A), és anyag mnőségétől függ. Az anyagra jellemző állandót fajlagos ellenállásnak (ρ) nevezzük: ρ l A A vezető ellenállása egyenesen arányos a vezető hosszával, fordítottan arányos a vezető keresztmetszetével, arányosság tényező a fajlagos ellenállás. A fajlagos ellenállás megadja az egységny hosszúságú és egységny keresztmetszetű Ωmm anyag ellenállását. Mértékegysége: Ωm. A gyakorlatban azonban nkább az egységet m használják, mert a vezetékek keresztmetszetét általában mm ben adják meg. A vezetők fajlagos ellenállása, és ezért az ellenállása s függ a hőmérséklettől: ρ ρ ( + α t), ll. ( + α t) α a C-hoz tartozó ellenállás-hőfoktényező (temperatúra-koeffcens) ρ a C-hoz tartozó fajlagos ellenállás t hőmérsékletváltozás Vezetőképesség (G): Az ellenállás recproka: G [ S] semens Fajlagos vezetőképesség (γ): A fajlagos ellenállás recproka: γ ρ Áramsűrűség (J): megadja a vezető egységny keresztmetszetén átfolyó áramerősséget (az egységny keresztmetszeten dőegység alatt átáramló töltésmennységet): I A J A m 78

79 A felületre merőleges, a technka áram rányába mutató vektor. Az Ohm-törvénybe helyettesítsük be az ellenállást a vezető adataval kfejezve: l ρ A I U Átrendezve: γe A ρ l Az Ohm-törvény (Maxwell egyk anyag egyenlete s): J γ E Az áramsűrűség egyenlő a fajlagos vezetőképesség és a vllamos térerősség szorzatával. Az áramsűrűség és a vllamos térerősség egyrányúak..3. A vllamos munka és teljesítmény A feszültség defnícójából kfejezhetjük a vllamos munkát: W U Q A vllamos áram defnícójából a töltés: Q I t, így a vllamos munka: W U I t U Az Ohm-törvényből I ll. U I U A vllamos munka: W t ll. W I t Joule-törvény: A vllamos ellenálláson a vllamos munka teljes egészében hővé alakul. Amnt már láttuk, az elektromos tér gyorsítja a szabad elektronokat a vezetőben, de az ütközések matt az energát az elektronok átadják a fémonoknak, am a hőmérséklet emelkedésében nylvánul meg. A vllamos teljesítmény W A teljesítmény defnícója P fgyelembevételével, a vllamos teljesítmény: t U P U I I A vllamos berendezéseknek egy fontos jellemzője a névleges teljesítményük..4. Valód feszültségforrások A leggyakrabban használt egyenáramú (DC) vllamosenerga-források a galvánelemek és az akkumulátorok. Galvánelem: Ha egy elektroltba (onokat tartalmazó folyadékba) jó vezető anyagot (fémet, vagy graftot) merítünk, akkor vagy a fémből mennek poztív onok az elektroltba, vagy az elektroltból válnak k poztív onok a vezető elektródán. Az elektródán ezért vagy elektrontöbblet, vagy elektronhány alakul k, és így az elektrolt és az elektróda között feszültség keletkezk. Ahhoz, hogy ezt a feszültséget hasznosíthassuk, még egy elektródára van szükség. A két elektródának különböző anyagúnak kell lenne, mert azonos anyag esetén a két feszültség eredője nulla. A galvánelemek tehát valamlyen elektroltba merülő két különböző anyagú elektródából állnak. Ha a galvánelemre fogyasztót kapcsolunk, akkor áram jön létre, am az elektroltban onvándorlást, az elektródoknál pedg az onok semlegesítődését és kéma változást okoz. A galvánelemekben ez a kéma folyamat nem megfordítható. A szárazelemben a cnk tartály a negatív elektróda, a poztív elektróda pedg egy réz sapkával ellátott graftrúd. Az elektrolt szalmáksó (ammónumklord) vzes oldata keményítőben feltatva. A graft rudat barnakőpor (MnO ) vesz körül, mert a használat során tt hdrogén keletkezk, am az elem feszültségét csökkentené. A barnakőpor (depolarzátor) oxdálja a hdrogént, ezért a használat során az elektrolt hígul. U I 79

80 Alkálmangán elem: A tartós elem elektroltja kálumhdroxd tatóspapírban feltatva, belül van a negatív elektródát alkotó cnkpaszta, amhez egy fém tüske kvezetés csatlakozk. A poztív elektróda mangándoxd edény, melyet acél burkolat vesz körül. Hganyoxd elem: Acél házban a negatív elektróda cnkpor, a poztív elektróda hganyoxd, az elektrolt kálumhdroxd. Telep: Nagyobb feszültséget úgy hoznak létre, hogy az elemeket sorba kapcsolják. Akkumulátorok: A galvánelemekhez hasonló felépítésűek, de a bennük lejátszódó kéma folyamatok megfordíthatók. Töltéskor a vllamos energát kéma energává alakítják, majd ksütéskor vsszaalakítják vllamos energává. Az egyszerű áramkör: A.. ábrán látható a legegyszerűbb áramkör, am I egy feszültségforrásból, egy ellenállásból és két vezetékből áll. U U A vllamosenerga-forrás feszültsége és árama ellentétes rányú, míg a fogyasztó (tt ellenállás) feszültsége és I árama megegyező rányú. A valód áramkör azonban ettől eltérő, mert az áramforrás anyagának van saját ellenállása, amt belső ellenállásnak nevezünk... ábra A.. ábrán már a belső ellenállással kegészített áramkört láthatjuk. Az U t nyugalm, vagy üresjárás feszültségnek nevezzük, mert akkor mérhető, ha az energaforrásban nem folyk áram. b Ezzel egyenlő nagyságú és ellentétes rányú + U K k az elektromotoros erő (E), am a galvánelemben U kéma energa hatására a poztív töltéseket az alacsonyabb potencálú helyről a magasabb potencálú helyre mozgatja, tehát szétválasztja a töltéseket: E U.. ábra Az elem kvezetése között mérhető a kapocsfeszültség (U k ). k - a külső, vagy terhelő ellenállás. A belső ellenállásra jutó feszültséget belső feszültségesésnek (U b ) s szokták nevezn, mert a kapocsfeszültséget csökkent: U U U U I k b.5. Krchhoff törvénye I. Csomópont törvény Csomópontban töltés nem halmozódhat föl és nem nyelődhet el. Ennek következménye, hogy a csomópontba befolyó és onnan kfolyó áramok előjeles összege nulla. (A befolyó és kfolyó áramok ellentétes előjelűek.) Csomópontban I ll. I be I k E törvény következménye, hogy csomóponttól csomópontg az áram változatlan. II: Huroktörvény Zárt hurokban a feszültségek előjeles összege nulla. (Maxwell II. törvényéből következk). Zárt hurokban U b 8

81 A huroktörvény alkalmazásakor az a szokás, hogy mközben a hurkot körüljárjuk, a körüljárással megegyező rányú feszültségeket poztív, az ellentétes rányúakat negatív előjellel vesszük fgyelembe..6. Eredő ellenállás. Ellenállások kapcsolása Eredő ellenállás: Az az ellenállás, amellyel egy ellenálláscsoportot helyettesítve az áramkör több részén semmlyen változást nem tapasztalunk. Soros kapcsolás: Az ellenállások között nncs elágazás, az áramuk közös (Iállandó) A.3. ábra A és B pontja között levő 3 ellenálláscsoportra felírhatjuk a huroktörvényt: U A I B + U + U 3 U Az Ohm-törvény alkalmazásával: U U U 3 I + I + I 3 I e U Ebből az eredő ellenállás:.3. ábra e Soros kapcsolásnál az eredő ellenállás a részellenállások összege: n e Párhuzamos kapcsolás: Párhuzamos kapcsolásnál az ellenállások azonos két pont közé I csatlakoznak, ezért a feszültségük közös (Uállandó) A.4. ábra kapcsolására a csomópont törvényt alkalmazva: II +I +I 3 Az ohm-törvényből az áramokat behelyettesítve: I I U U U U + + e 3 I 3 3 Egyszerűsítés után az eredő ellenállás: e U ábra Párhuzamos kapcsolásnál az eredő ellenállás egyenlő a részellenállások recproka összegének recprokával: e n Két ellenállás esetén közös nevezőre hozás után: e + Vegyes kapcsolás: az ellenállások vegyes kapcsolása esetén tsztán soros vagy tsztán párhuzamos kapcsolású ellenálláscsoportokat helyettesítünk a részeredőjükkel. Az eljárást addg folytatjuk, amíg a teljes hálózat eredőjét meg nem kapjuk. Léteznek olyan áramkörök s, amelyek nem bonthatók fel csak soros vagy csak párhuzamos kapcsolású részekre. Ilyenkor az eredő ellenállás meghatározásánál a delta csllag, vagy a csllag delta átalakítás segíthet. Ilyen áramkör például a.7. ábrán látható Wheatstonehíd s (a galvanométernek s van ellenállása). 8

82 8 Háromszög (delta) csllag (Y) átalakítás: A.5. ábra bal oldalán látható delta kapcsolású három ellenállás helyettesíthető egyenértékű három csllagkapcsolású ellenállással. Mvel az áramkör több részén semmlyen változást nem tapasztalhatunk, specáls esetet használunk a levezetésnél. endre A, B, C, pontoknál legyen szakadás. Ekkor a másk két pont között eredő ellenállásnak a két kapcsolásban meg kell egyezne: ) ( ) ( ) ( A másodk egyenletből 3 -t, a harmadkból 3 -t kfejezve és az elsőbe behelyettesítve: ) ( ) ( ) ( Ebből: 3 + +, továbbá: , Csllag háromszög átalakítás: Ha a csllagkapcsolású ellenállásokat smerjük, és abból akarjuk a háromszögkapcsolás ellenállásat meghatározn, akkor a vezetőképességekkel célszerű dolgozn. Az előző levezetéshez hasonlóan felírhatjuk az eredő vezetőképességek azonosságát úgy, hogy AB, BC, CA pontokat rövdrezárjuk. A levezetés mellőzésével a vezetőképességek kszámíthatók a.6. ábra ndexe használatával: 3 G G G G G G + +, G G G G G G + +, G G G G G G + + és G A B C A B C ábra 3 3 B 3 A C.6. ábra A B C 3

83 .7. Wheatstone híd A Wheatstone híd kapcsolás rajza a.7. ábrán látható. A G jelű galvanométer gen érzékeny árammérő. Ha a galvanométeren áram folyk, akkor a híd kegyenlítetlen. Sok mérőáramkörben az egyk ellenállás változk a négy közül (pl. hőmérsékletváltozás hatására), és a kegyenlítő áramot mérjük. Ellenállásmérésre a kegyenlített hdat szokták használn. A híd akkor kegyenlített, ha a galvanométeren nem folyk áram. Ha a mérendő ellenállás, pedg egy nagy pontossággal smert normálellenállás, akkor a potencométer csúszkáját addg mozgatjuk, amíg a galvanométeren nem folyk áram. Kegyenlített híd esetén a galvanométer végpontjanál nncs áramelágazás, ezért és árama közös (I ). Ugyanez érvényes 3 és 4 -re s (I 34 ) és 3 valamnt és 4 párhuzamosan vannak kapcsolva, mert a galvanométeren nem folyk áram, a két végpontja azonos potencálú. A feszültségek egyenlősége felírható: I I 34 3, és I I A két egyenletet elosztva egymással: 3 4 Az egyenletet a nevezők szorzatával beszorozva: 4 3 G A kegyenlített híd szemközt ellenállásanak szorzata egymással egyenlők Az smeretlen ellenállás: U 4 A mérés módszer előnye, hogy független a tápfeszültség ngadozásától, és ha a hdat az 3 és 4 közepe táján tudjuk kegyenlíten, akkor.7. ábra a mérés hbája csak pontatlanságától függ.. Mágneses tér.. Mágneses alapjelenségek. A mágneses ndukcó I I.. ábra I I Közsmert, hogy az állandó mágnesek egymásra vonzó vagy taszító erőt fejtenek k attól függően, hogy ellentétes vagy azonos pólusak vannak egymáshoz közelebb. Két párhuzamos árammal átjárt vezeték s egymást vonzza, ha azonos rányú áram folyk bennük, és egymást taszítja, ha ellentétes rányú az áramuk (.. ábra) Mágneses mező: Olyan mező, amelyet mozgó töltések keltenek, és a mozgó töltésekre erőt fejt k. Az állandó mágnesekben a mágneses tér az elektronok mozgására vezethető vssza. 83

84 A mágneses tér rányán azt az rányt értjük, amerre az adott helyen az ránytű észak pólusa mutat. (A Föld Észak sarkán tehát dél mágneses pólus van) A mágneses teret szemléltethetjük a mágneses ndukcóvonalakkal. Az ndukcóvonalakhoz hasonló vonalak mentén helyezkednek el a vasreszelék szemcsé, ha mágneses mezőbe szórjuk őket. A mágneses ndukcóvonalak tulajdonsága: Önmagukban zárt görbék. Sűrűségük arányos a mágneses tér erősségével (a mágneses ndukcó nagyságával). Érntőjük megadja az adott helyen a mágneses tér rányát. A mágnesből a felületre merőlegesen lépnek k, vagy be. A mágnesből az észak pólusnál lépnek k, és a dél pólusnál lépnek be. Egyenes vezető áramának mágneses tere: Tegyünk a vezető közelébe egy ránytűt, majd mozdítsuk el egy kcst abba az rányba, amerre az észak pólusa mutat. Az ránytű ezzel a módszerrel lassan körbefordul, I vagys az egyenes vezető áramának ndukcóvonala a vezetőre merőleges síkban koncentrkus körök (.. ábra). A körök körüljárás rányát a jobbkéz-szabállyal tudjuk megállapítan. Ha a jobb kezünk hüvelykujját az áram rányába tesszük, akkor a másk 4 ujjunk mutatja az ndukcóvonalak körüljárás rányát... ábra Tekercs (szolenod) áramának mágneses tere: A tekercs belsejében a mágneses tér homogénnek teknthető (mndenütt azonos nagyságú és rányú). A tekercs belsejében a mágneses tér rányát szntén a jobbkéz-szabállyal tudjuk I meghatározn, de most a jobb kezünk 4 ujját kell az áram rányába B tenn, és a knyújtott hüvelykujj mutatja az ndukcó rányát (.3. ábra) (Az x a tőlünk távolodó, a a felénk mutató rányt jelöl.) A mágneses ndukcó (B) A mágneses ndukcó vektormennység, ránya az az rány, amerre az ránytű észak pólusa mutat az adott helyen, lletve a jobbkéz-szabállyal állapítható meg. Nagyságának meghatározásához egy ks méretű, szabadon elforduln képes lapos mérőtekercs szükséges. A mérőtekercs (magnetométer) stabl egyensúly helyzetében a saját mágneses terének ránya megegyezk a vzsgált mágneses tér rányával. Ha ebből a helyzetből 9 -kal elforgatjuk, akkor a tekercsre maxmáls forgatónyomaték hat, am vssza akarja fordítan az egyensúly helyzetbe. Ez a forgatónyomaték (M max ) egyenesen arányos a vzsgált mágneses tér ndukcójával (B), a mérőtekercs keresztmetszetével [egy menet által körülzárt felülettel] (A), a menetszámával (N) és az áramával (I): M B A N I max.3. ábra Ebből az ndukcó: B M max A N I Nm m A Vs m, mértékegysége: [ T] tesla 84

85 Mágneses nyomaték (mágneses momentum) (m): A mérőtekercs mágneses momentuma egyenlő a keresztmetszetének, menetszámának és áramának szorzatával: m A N I, rányát pedg a jobbkéz-szabállyal állapíthatjuk meg. A mérőtekercsre ható forgatónyomaték általános esetben az M m B vektorszorzattal határozható meg. Bsnα Ha az ndukcóvektor a magnetométer tengelyével α szöget zár be, akkor a nyomaték nagysága: B M B A N I snα α Az ndukcóvektor ugyans felbontható a tekercs tengelyével megegyező, és rá merőleges rányú összetevőkre Bcosα (.4. ábra). Nyomatékot csak a tekercs tengelyére merőleges (a tekercs síkjával párhuzamos) összetevő fejt k..4. ábra.. A mágneses fluxus és forráserősség. Maxwell III. törvénye A mágneses fluxus (Φ): Megadja az A felületen merőlegesen átmenő ndukcóvonalak Vs Wb Inhomogén mező esetén: Φ B n A B n a felületre merőleges ndukcókomponens számát: ΦB A ha B A mértékegysége: [ ] [ ] weber A forráserősség (Maxvell III. törvénye) Megállapítottuk, hogy az ndukcóvonalak zárt görbék. Ez azt jelent, hogy ha egy zárt felületet vzsgálunk, a k és belépő ndukcóvonalak száma egyenlő. Más megfogalmazásban ez azt jelent, hogy a mágneses tér forrásmentes: N B Ez Maxwell III. törvénye: Bármely zárt felületre számított mágneses fluxus nulla, tehát bármely térfogat mágneses forráserőssége zérus: Bn A ll. Bn da zárt felületre A mágneses tér tehát forrásmentes, lényegesen különbözk a sztatkus elektromos tértől, amelynek forrása a töltések. Nncs mágneses monopólus, mnden észak pólusnak van egy dél párja..3. A mágneses örvényerősség. Gerjesztés törvény (Maxwell IV. törvénye) A mágneses ndukcóvonalak a mágneses mezőt keltő áramokat zárt görbékként körülveszk. Másként fogalmazva azt mondhatjuk, hogy a mágneses mező örvényet az áramok keltk. Vs A mágneses mező örvényerőssége: Ö B d s, ll. Ö B B d s B zárt görbére Specáls esetekben zárt görbének általában célszerű egy ndukcóvonalat választan. Egyenes vezető áramának mágneses ndukcója: Mérések alapján megállapítható, hogy a mágneses ndukcó örvényerőssége egyenesen arányos a vezetőben folyó árammal (I). Az arányosság tényezőt vákuum esetén abszolút permeabltásnak (vákuum permeabltása) nevezzük. Jele: µ. Értéke: µ 4π A mágneses mező örvényerőssége: 7 Ö B Vs Am µ I A m 85

86 A vezetőtől r távolságra nylvánvalóan az ndukcó mndenütt azonos nagyságú, ezért kemelhető, a zárt görbére vett Σ s pedg a kör kerülete. Az örvényerősség kétféle kfejezését egyenlővé téve: B π r µ I µ Ebből a mágneses ndukcó: B I π r Gerjesztés törvény vákuumban: Ampere megállapította, hogy általánosan s gaz az, hogy vákuum esetén egy tetszőleges zárt görbére az örvényerősség egyenlő az abszolút permeabltás és a görbe által körülzárt felületen átfolyó áramok összegének szorzatával: B s µ I zárt görbére A Mágneses gerjesztés (Θ): A zárt görbe által kfeszített felületen átfolyó áramok előjeles összege. Θ I [A] A.4. Permeabltás. Mágneses térerősség A különböző anyagok megváltoztatják a mágneses teret. Ha valamlyen anyag tölt k az áramok körül teret, akkor a mágneses ndukcó: B µ r B µ r relatív permeabltás (puszta szám). Megadja, hogy a mágneses ndukcó hányszorosra változk a vákuumhoz képest, ha az adott anyag tölt k a teret. Permeabltás: µ µ µ r A relatív permeabltás alapján az anyagok 3 csoportba oszthatók. A damágneses anyagok relatív permeabltása nagyon kcst ksebb, mnt (µ r <) és állandó. A damágnesek tehát csökkentk a mágneses ndukcót. A paramágneses anyagok relatív permeabltása nagyon kcst nagyobb mnt (µ r >) és állandó. Ezek az anyagok tehát nagyon kcst növelk az ndukcót. Ide tartozk a levegő s. Mvel a da és paramágneses anyagok relatív permeabltása csak nagyon kcst tér el -től (az eltérés ksebb mnt.%), ezeket az anyagokat a hétköznap életben nem mágneses anyagoknak nevezzük. A ferromágneses anyagok relatív permeabltása sokkal nagyobb mnt (µ r»), de nem állandó, hanem a korább állapot és a mágneses térerősség függvénye. Pontosan csak grafkusan adható meg a térerősség függvényében. Mágneses térerősség (H): B A H mértékegysége: µ m A mágneses térerősség és a mágneses gerjesztés segítségével a gerjesztés törvény a következő módon s megfogalmazható: Vegyük körül a mágneses teret gerjesztő áramokat egy tetszőleges zárt görbével (általában célszerű egy ndukcóvonalat választan). Osszuk fel a görbét olyan részekre, amelyeken belül a mágneses térerősség állandónak teknthető. Szorozzuk meg a térerősséget a szakasz hosszával (skalárszorzat), és az így kapott szorzatokat adjuk össze. Ez az összeg egyenlő a mágneses gerjesztéssel: H l I Θ zárt görbére A Ha a mágneses körben különböző anyagok vannak, akkor a gerjesztés törvény csak ebben az alakban alkalmas arra, hogy adott mágneses fluxus létesítéséhez meghatározzuk a szükséges mágneses gerjesztést. 86

87 .5. Bot Savart törvény A gerjesztés törvény egy zárt görbe mentén alkalmazható, nem alkalmas mndg arra, hogy a mező egy pontjában meghatározzuk a térerősség vagy az ndukcó nagyságát. Bot (bó) és Savart (szavár) kísérletek alapján megállapították, hogy egy I áramú, kcs l hosszúságú áramvezető a tőle r távolságra levő pontban mekkora mágneses ndukcót (B) létesít vákuumban. Az I l áramelemvektor nagysága I l, hatásvonala a vezető érntője, rányát pedg a technka áramrány határozza meg. Bot Savart törvény: I l I ϕ r P B.5. ábra jobbkéz-szabállyal határozható meg. µ I snϕ Az ndukcó: B dl 4π r Az áramelemvektor által a P pontban létesített mágneses ndukcó a.5. ábrának megfelelően µ I l r µ I l snϕ B ll. B 3 4π r 4π r Az elem ndukcó egyenesen arányos az áramerősséggel, az elem vezetékszakasz hosszával, az áramelem és az r ( l középpontjából a P pontba mutató) helyvektor által bezárt szög sznuszával, és fordítottan arányos a távolság négyzetével. Iránya merőleges az r és l által meghatározott síkra, és a.6. Specáls áramelrendezések mágneses tere.6.. Mozgó ponttöltés mágneses tere Mnt már láttuk a.. fejezetben, a vezető árama felírható az In e A v alakban. Ezt a µ n e A v l snϕ Bot Savart törvénybe beírva: B 4π r Mvel A lv és az elem vezetékszakaszban levő töltések száma Nn Vn A l, így az B B elem töltés által keltett mágneses ndukcó a P pontban B : N n l A µ e v Egy mozgó elektron által keltett ndukcó: B snϕ 4π r.6.. Végtelen hosszú egyenes vezetőn kívül a vezetőtől r távolságra levő pontban a mágneses ndukcó µ I B, amnt ezt a.. pontban már láttuk. Iránya a jobbkéz-szabállyal határozható πr meg. 87

88 .6.3. Szolenod (hosszú egyenes tekercs) belsejében a mágneses ndukcó: Az l hosszúságú tekercs belsejében a mágneses tér homogénnek teknthető, a tekercsen kívül pedg az ndukcó elhanyagolhatóan gyenge. I A légmagos szolenod síkmetszete és mágneses ndukcóvonala a.6. ábrán látható. Ha alkalmazzuk a gerjesztés törvényt zárt görbének B egy ndukcóvonalat kválasztva, akkor azt részre oszthatjuk. A tekercs belsejében az ndukcó B, a tekercsen kívül pedg B k. l N menetű tekercs esetén a körülzárt áramok összege, azaz a mágneses gerjesztés ΘN I A gerjesztés törvény tehát: B lµ N I.6 ábra Ebből a szolenod belsejében a mágneses ndukcó: N I B µ l Az ndukcó egyenesen arányos a tekercs menetszámával és áramával, fordítottan arányos a tekercs hosszával, arányosság tényező a vákuum permeabltása. N I A szolenod belsejében a mágneses fluxus Φ µ A l.6.4. Torod (körtekercs) belsejében a mágneses ndukcó A.7. ábrán látható a légmagos torod síkmetszete és képe. A gyűrű alakú csévetest körbe van tekercselve. Gyakorlatlag az összes ndukcóvonal a k tekercs belsejében B megy, de az erőtér nem homogén, mert az ndukcóvonalak eltérő I.7. ábra hosszúságúak, és az ndukcó ránya s változk. Ha a közepes ndukcóvonalat választjuk zárt görbének, akkor a gerjesztés törvény alapján írhatjuk, hogy π µ N I, ahonnan B k B µ N I π k.6.5. Körvezető középpontjában a mágneses ndukcó dl r B A.8. ábrán látható körvezetőre alkalmazzuk a Bot Savart törvényt. Mvel dl és r mndenütt merőleges egymásra, snϕ. Iállandó és rállandó, ezért az ntegráljel elé kvhetők. Az ntegrálást a kör kerületére kell elvégezn. I.8. ábra 88