Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar MŰSZAKI MECHANIKA III. KINEMATIKA, KINETIKA

Átírás

1 Nyugt-Mgyrországi Egyetem Fipri Mérnöki Kr Dr Szli József egyetemi tnár MŰSZKI MECHNIK III KINEMTIK, KINETIK egyzet fipri-, könnyűipri-, erdőmérnök és környezetmérnök hllgtók számár Kézirt Jított és átdolgozott kidás Sopron, 8

2 Bírálók Dr Roller Bél műszki tudomány doktor egyetemi tnár Dr Thmm Ffigyes műszki tudomány kndidátus ny egyetemi docens Ezúton szeretnék köszönetet mondni Krácsonyi Zsolt doktorndusznk egyzet ábráink bemásolásáért és Dr Horáth-Szoáti Gézánénk Műszki Mechnik és Trtószerkezetek Intézet dminisztrátoránk egyzet szkértő és gondos leírásáért Sopron, 8 nuár

3 Trtlomegyzék trtlomegyzék teles nyg z fipri MSC képzés Dinmik c kötelező tntárgy félköér betűkkel nyomttott címszk fipri BSC képzés Mozgástn c álszthtó tárgyánk nygát elölik Oldl Kinemtik, pont kinemtiká mozgásfüggény sebességfüggény gyorsulásfüggény 4 Kinemtiki lpfelok 5 kinemtiki digrmok 6 pont speciális mozgási 6 Egyenesonlú mozgások 6 Síkmozgások 6 Térmozgások mere test kinemtiká mereségi feltételből köetkező kötöttségek mere test mozgásállpot sebességállpot 4 z elemi mozgások csoportosítás 5 Mozgásrendszerek 6 gyorsulásállpot 7 Véges mozgások 7 Véges hldó mozgás 7 Véges forgómozgások 7 Véges csrmozgás 74 Áltlános éges mozgás 4 Szerkezetek kinemtiká 4 mechnizmusok szbdságfok 4 mechnizmusok mozgásellemzőinek megdás 4 Néhány egyszerű mechnizmus kinemtiki izsgált 4 Forgttyús mechnizmus 4 Kulisszás mechnizmus 4 Négytgú csuklós mechnizmus 44 Httgú kulisszás mechnizmus 45 Szkszos mozgtók

4 4 5 reltí mozgás kinemtiká Kinetik z nygi pont kinetiká kinetik lptörénye tömegpont kinetikáánk tételei és elei z nygi pont néhány speciális mozgás Szbd mozgás Kényszermozgás reltí mozgás kinetiká mere test kinetiká mere testre htó erők és csoportosításuk mere test tehetetlenségi (inerci-) nyomték mere test kinetiki tételei 4 mere test mozgásánk lpegyenletei 5 mere test speciális mozgásink izsgált 5 Hldó mozgás 5 Forgó mozgás 5 Síkmozgás 4 Szerkezetek kinetiká 4 szerkezetek (mechnizmusok) tgir htó erők meghtározás 4 Ütközési folymtok 5 Mechniki rendszerek izsgált 5 irtuális munk ele és d lembert-féle el 5 Lgrnge-féle elsőfú mozgásegyenletek 5 Hmilton-el 54 riációszámítás és Hmilton-el 55 Lgrnge-féle másodfú mozgásegyenletek Felhsznált és ánlott irodlom

5 5 KINEMTIK KINEMTIK TÁRGY ÉS FELOSZTÁS kinemtik mozgások leírásál fogllkozik Fel mozgásellemzők definiálás és köztük léő kpcsoltok leírás nélkül, hogy mozgást kiáltó okokkl törődne E egyzetben kinemtikát csk olyn mélységig tárgyluk, hogy rr műszki mérnöki gykorltbn szükség n Ennek megfelelően z nygot pont, mere test és szerkezetek (mechnizmusok) kinemtiká témkörökre osztottuk KINEMTIK LPFOGLMI kinemtikábn tér, z idő, z nygi pont és mere test foglmár n szükség, melyeket mechniki tnulmányink eleén már definiáltunk (Mechnik I) PONT KINEMTIKÁJ lóságbn előforduló testek mindig térbeli kiteredéssel és tömeggel rendelkeznek kinemtikábn test tömege érdektelen H test kiteredése is elhnygolhtó (ezt mindig izsgált szemponti döntik el), testet pontszerűnek képzelük s (z nygi) pont mozgásáról beszélünk MOZGÁSFÜGGVÉNY H pont helyét áltoztt térben, zz mozog, dott t időpillntbni helyét r helyektorál dhtuk meg ( ábr) Nyilánlón minden időpillnthoz trtozik egy helyektor, zz z r ektor z időnek, mint sklármennyiségnek függénye: r r(t) fenti kpcsoltot mozgásfüggénynek gy mozgástörénynek neezzük ábr Térben ektort három sklár koordinátál duk meg E három elileg független, zt mondhtuk tehát, hogy pont mozgásánk szbdságfok három, mi egyben pont szbd mozgáslehetőségeit is elenti

6 6 helyektorok égponti egy görbét htároznk meg, melyet pont pályáánk neezünk Legyen mozgó pont helyektor t időpontbn r, t (t >t ) időpontbn r P pontból P pontb muttó ektor r r r r(t + t) r(t) z ún elmozdulás, hol t t t z elmozdulás ektor pálygörbe P és P pontához trtozó szelő irányáb esik Képezzük r / t hánydost, ill ennek htárértékét úgy, hogy t értékét egyre kisebbre esszük: r r(t + t) r(t) dr lim lim r & t t t t mennyiben létezik ez htárérték, mozgásfüggény idő szerinti deriáltánk neezzük, mely definíció szerint P pontbn ( t időpontbn) pálygörbe érintőének irányáb esik z idő szerinti differenciálást toábbikbn felül elhelyezett ponttl is elölük H t t t időinterllumbn pálygörbe mindenütt rendelkezik érintőel és z B érintő egységektor z időnek folytonos függénye, kkor ún sim görbéről beszélünk z ilyen görbének mérhető z íhoszszúság Vegyük fel z ponttól kezde ngyon kicsiny t időközökhöz trtozó elmozdulásektorokt (ábr)ezek öszszessége pálygörbét megközelítő törtonlt lkot törtonl hossz közelítőleg pály B íhosszál egyezik ábr meg: s B n r n i i i r i t i t i beosztás finomításál megkpuk z B görbe pontos íhosszát: n r t B t B i dr s B lim t r& t i i i 4 t i t t H z pontot kezdőpontnk tekintük, z dott időponthoz trtozó P pontot zz mozgó pont helyét úgy is meghtározhtuk, hogy z ponttól kezde felmérük z íhosszt,

7 7 t P P t s r& s(t) s 4/ melyet íkoordinátánk neezünk mozgó pont helyét tehát pálygörbe ( rt kielölt kezdőpont és egy pozití irány) ismeretében s s(t) 5 összefüggéssel, z ún pálybefutás függénnyel gy törénnyel is megdhtuk z íkoordinát hosszúság dimenzióú mennyiség, SI-beli mértékegysége [m] pálybefutás függénye pály egyenletéel együtt telesen egyenértékű mozgásfüggénnyel Egyik másikból egyértelműen meghtározhtó H t B t időszksz ltt befutott B íen pont mindig egy iránybn hld (nincs fordulópont), z u s B ihosszt pont áltl befutott útnk neezzük Mértékegysége [m] Vegyük észre, hogy bár bizonyos feltételek mellett z íkoordinát és z út számértéke megegyezhet, ezek lpetően más foglmkt elentenek Descrtes-féle koordinát rendszerben z r r(t) ektort meghtározzák koordinát tengelyekre ett etületei: r (t) x(t)i + y(t) + z(t)k 6 z x x(t), y y(t) és z z(t) ábr sklár-sklár függények pont koordináttengelyek irányáb eső etületi mozgását dák meg z x(t), y(t), z(t) sklármennyiségek mértékegységek mértékegysége [m] Derékszögű hengerkoordinát rendszerben helyektort e R és k irányú összeteőkkel duk meg: r(t) R(t)eR (t) + z(t)k 7 4 ábr z e R (t) egységektor irány z idő függénye z R(t) sklármennyiség mértékegysége [m] Értéke: R(t) e R (t) cos φ(t)i + sinφ(t) 8 hol φ π φ(t) sklárfüggény értéke dimenzió nélküli mennyiség [rd]

8 8 (8) egyben megd kétféle koordinátrendszer közötti átszámítás lehetőségét: x (t) R(t) cos (t), y(t) R(t) sin φ(t), z(t) z(t) z (6) obb oldlánk első két tg, ill z (7) obb oldlánk első tg pont x,y síkr eső etületi mozgását d z össze- 5 ábr függések lpán úgy is foglmzhtunk, hogy etületi mozgások eredőe tényleges mozgás mozgásfüggény ismeretében pálygörbe minden pontához meghtározhtunk egy ún természetes koordinátrendszert gy kísérő triédert Miel z s s(t) pálybefutásfüggénynek létezik egyértelműen inerz függénye, zz minden koordinátához egy meghtározott idő trtozik, mozgásfüggényt nemcsk z idő, hnem z íkoordinát függényeként is felírhtuk: r r(s) r[ s(t) ] Htározzuk meg z érintő irányt megdó deriáltektort () lpán, (4/) felhsználásál: Innen dr dr(s) ds(t) dr r & s& ds ds r& dr ds r& dr(s) e(s), lmint e r& ds 9/, b görbe érintő egységektorát tehát úgy kpuk meg, hogy mozgásfüggényt z íkoordinát szerint deriáluk Differenciáluk (9/b)-t még egyszer z íkoordinát szerint: de(s) d r(s) e(s) e(s) ds ds sklár szorzt eltűnése zt mutt, hogy kiée zt z esetet, mikor de / ds d r / ds, mi zt elenti, hogy e(s) áll, zz pály egyenes de(s) d r(s) ds ds ektor merőleges z e ektorr Ezt z irányt főnormális iránynk neezzük

9 9 e(s Htározzuk meg ennek ektornk hosszát mennyiben s elég kicsi, z e (s) és z + s) egységektorok közelítőleg közös síkb esnek Ebbe síkb esik pályánk s íhosszúságú szksz is, mely áltlánosságbn egy ρ sugrú körídrbnk tekinthető z 6ábrán láthtó ektorháromszög és POP háromszög hsonlóságából köetkezik, hogy s e ρ Így d r ds de ds e lim s s lim főnormális irányb muttó ektor bszolút értéke tehát pálygörbe P pontához trtozó, ún simulókör sugránk reciprok főnormális egységektor ezek szerint d r de n ρ ρ, ill n,/, b ds ds simuló kör sugrát fenti kifeezésből z s ρ ρ d r ρ ds összefüggéssel számíthtuk 6ábr pálygörbe dott pontábn ismerük tehát z egymásr merőleges e és n egységektorokt két ektor meghtározz görbe P-beli simuló síkát z e ektor értelme mindig mozgás irányáb mutt z n ektor pedig simuló kör középpont irányáb (zz görbe homorú oldlár) esik természetes koordinátrendszer hrmdik irányát, z ún binormális irányt ektorális szorzttl nyert egységektorrl definiáluk e, n és b z dott sorrendben obbr forduló rendszert lkot z e és b áltl meghtározott síkot rektifikáló síknk, n és b síkát normálsíknk neezzük kísérő triédert mozgó ponthoz kötük, így természetes koordinátrendszer z idő függénye (7ábr)

10 7 ábr SEBESSÉGFÜGGVÉNY műszki gykorlt számár mozgó pont helyének megdásán kíül mozgás egyéb ellemzői is lényeges szerepet átsznk H pont helyektor t pillntbn r (t) és t idő múl r(t + t), kkor k r(t + t) r(t) r 4 t t mennyiséget tidőszkr ontkozó közepes sebességnek neezzük t -t egyre kisebbnek álszt r(t + t) r(t) dr (t) limk lim & r t t t 5 htárértékhez utunk, melyet pont t időpillnthoz trtozó pillntnyi sebességének 8 ábr neezzük (5) tehát ektor-sklár függény, s definíció szerint mozgásfüggény idő szerinti deriált sebességektort ponthoz köte értelmezzük H különböző időpontokhoz trtozó sebességektorokt egy pontból kiindul rzoluk fel, égpontik egy görbét írnk le, melyet sebesség-hodográfnk neezzük

11 [ s(t) ] dr(s) dr s(t)e(t) & (t)e(t) dr(s) ds ds(t) 6 9 ábr sebességektor irány tehát mindig görbe érintő irányáb esik, ngyság pedig pálybefutás függényének idő szerinti első differenciálhánydosál egyenlő, nee pálysebesség s& kinemtiki elentését szármztthtuk közetlenül pélysebesség függényéből is z ábránk megfelelően H z íkoordinát t idő ltt s -sel áltozik meg, kkor közepes pálysebesség: s k tgα k t Htárátmenettel tgα lim t k s(t + t) lim t t ds s & 7 duk meg mozgásfüggényt z íkoordinát függényében sebesség (9/) felhsználásál: ábr pálysebesség dimenzió leszármzttott mennyiség, mértékegysége [m/s] Descrtes-féle koordinátrendszerben sebesség kifeezése: dr d [ x(t)i + y(t) + z(t)k] x(t)i & + y(t) & + z(t)k &, mert z egységektorok függetlenek z időtől Ezzel i + k, x y + hol x, y, z sebességektor etületei koordináttengelyekre, zz etületi mozgások sebessége Hengerkoordinátrendszerben z

12 dr d [ R(t)e (t) + z(t)k] R R(t)e & (t) + R(t)e& (t) + z(t)k, & R R mert z e R (t) egységektro állás most z időnek függénye (8) felhsználásál: hol e φ (t) - z (t) hogy e R e& (t) φ(t)e & φ [ sinφinφi + cosφosφ ] φ(t)e & (t), e & (t) φ(t) & R R ektorr merőleges egységektor (ábr) Rögtön beláthtuk zt is, (t) Ezek után sebességektor: R(t)e & R + z(t)k & (t) + R(t)φ(t)e & (t) + R e R + φ e φ φ + z k, Itt R - rdiális sebességkomponens, φ R(t)φ(t) & R(t)(t) - kerengő sebességkomponens és ábr dϕ(t) (t) - szögsebesség, mértékegysége [/s] Kinemtikilg z x,y síkbn mozgó R(t)eR (t) ektor x tengellyel bezárt szögének z idő szerinti első deriált GYORSULÁSFÜGGVÉNY tidő ltt égzett mozgó pont sebessége (t + t) k l8 t t φ r elmozdulás során áltlábn megáltozik z t csökkentéséel htár- mennyiséget tidőszkr ontkozó közepes gyorsulásnk neezzük esetben köetkező kifeezést nyerük: (t) lim t (t + t) lim t t k d, & 9 melyet t időponthoz trtozó gyorsulásnk, ill gyorsulásfüggénynek neezzük definició lpán nem más mint sebesség-hodográf sebessége (ábr) (5) mitt d dr r (t) && r,

13 tehát gyorsulás sebességfüggény idő szerinti első deriált, ill mozgásfüggény idő szerinti második deriált gyorsulásektort meghtározhtuk (6) felhsználásál is: [ (t)e(t) ] d d d(t) de(s) ds e(t) + (t) ds (/) lpán zonbn d e n, ds ρ Így (t) (t)e(t) & + n ee + nn ρ gyorsulásektor tehát minden pontbn két összeteőre bonthtó: & & s& - tngenciális gy pály-menti gyorsulás, e n - normális gy centripetális gyorsulás ábr ρ gyorsulás-koordináták mértékegysége [m/s ] gyorsulás ektor fentiek lpán mindig görbe simuló síkáb esik pálymenti gyorsulás sebesség ngyságánk áltozásából dódik H sebesség nő, gyorsulás érintő irányú komponense mozgás irányáb mutt H pálymenti sebesség csökken, pálymenti gyorsulás mozgás irányál ellentétes ( hétköznpi életben zt monduk, mozgás lssuló) normális irányú gyorsulás értéke csk pozití lehet Zérus értéket csk egyenes onlú pályán, gy göre pály inflexiós pontibn ehet fel z eredő gyorsulás ektor fentiek köetkeztében z érintő egyenessel megfelezett simuló síknk mindig rr z oldlár esik, melyiken simuló kör középpont is n (ábr) Descrtes-féle koordinátrendszerben gyorsulás: d r & x(t)i + && y(t) + & z(t)k xi + y + zk, hol x, y, z - koordinátgyorsulások, etületi mozgások gyorsulás Henger-koordinátrendszerben: [ R(t)e & (t) + R(t)(t)eφ(t) + z(t)k & ] d d R R(t)e && R (t) + R(t)e & & R (t) + R(t)(t)eφ(t) & + R(t)(t)eφ(t) & + + R(t)(t)e& (t) + && z(t)k φ é

14 4 z egységektorok deriálás után pedig: hol ábr [ R(t) && R(t) (t)] e (t) + [ R(t)ε(t) + R(t)(t) & ] + && z(t)k R e R + φ e φ R + R - rdiális gyorsuláskomponens, ϕ - keringő gyorsuláskomponens és dε(t) d φ(t) ε - szöggyorsulás 4 KINEMTIKI LPFELDTOK z k, e (t) + z eddigiek során pont mozgásellemzőit z idő gy z íkoordinát függényében uk meg Nincs zonbn nnk sem kdály, hogy lmelyik mozgásellemzőt kármelyik másik függényben duk meg z összes lehetőséget z lábbi táblázt szerint fogllhtuk össze: t r r& & r& t - t (r) t (r& ) t (r & ) r r (t) - r (r& ) r (r & ) r& r& (t) r& (r) - r &(r & ) & r& & r&(t ) & r&(r ) & r (r& ) - kinemtiki problémák során fel áltlábn éppen z szokott lenni, hogy táblázt függényének egyikéből többi -et meghtározzuk Ehhez differenciálás, integrálás, z inerzképzés és kiküszöbölés mtemtiki műeleteit kell lklmzni z integrálás során keletkező egy gy több integrálási állndót z un kezdeti feltételekből htározhtuk meg kinemtiki problémák kezdeti feltételek lmilyen időponthoz trtozó mozgásellemző ismeretét elentik, pl t t - nál és r r H mozgás izsgált időszk egyes részeiben különböző törények szerint fo- φ

15 5 lyik, z egyes trtományhtárokon éppen z integrálási állndók helyesen meghtározott (megálsztott) értékei teremtik meg mozgásszkszok bizonyos ellemzőinek folytonosságát és illeszkedését 5 KINEMTIKI DIGRMOK H ismerük mozgó pont pályáát mint láttuk, elegendő megdni pálybefutás függényét z s s(t) ismeretében mozgás érintő irányú (pálymenti) ellemzői sklárfüggényekre definiált műeletekkel htározhtók meg z előző tábláztot tehát ektorellemzők helyett pálymenti sklárellemzőkkel is felírhtuk sklárfüggényeket grfikusn ábrázol kinemtiki digrmokt kpuk z s s(t), (t), e e (t), (s), e e (s), e e () függények közül z első háromnk megfelelő digrmot foronómii görbének is neezik Előfordulht, hogy lmelyik foronómii görbe ismeretében kell szerkesztéssel meghtározni többi digrmot Ilyenkor grfikus differenciálássl, ill integrálássl oldhtuk meg felot grfikus ábrázoláshoz célszerű előre lklms léptéket álsztni: t t Lt, s s Ls, L, e e L, /,b,c,d hol L, L, L, L - z idő, z íkoordinát, sebesség és pálymenti gyorsulás léptéke, t s t,s, - z egyes mozgásellemzőknek megfelelő táolságok (lklms hossz egységben), e Grfikus differenciálás Grfikus differenciálássl kpuk z s s(t) függényből (t)-t ill ebből z e e (t)-t szerkesztéshez zt tényt kell felhsználnunk, hogy dott helyen differenciálhánydos görbéhez húzott érintő irányszögének tngense Íruk fel sebességet z s t digrmról leehető hoszszúságok felhsználásál: + s s Ls Ls tgφ + t t L L t t Húzzunk párhuzmost z s s(t) digrm t időpontbeli érintőéel t ábr kezdőpontától t táolságr felett pontból φ dőlésszögű egyenes függőleges tengelyből kimetszi sebesség ordi- + nátáát kérdés csupán z, hogy mekkorár álsszuk t -t, ill t -t, hogy szerkesztett + sebességet éppen z előre megálsztott sebességléptéknek megfelelően kpuk Miel két kifeezésből H z ennek megfelelő L L + + s s + L tgφ és t + t Lt Lt t Lt L s t dódik L + t táolsággl másoluk át z érintőt, kkor z előre álsztott sebességléptéknek megfelelően közetlenül kpuk sebesség ordinátáát Hsonló gondoltmenettel szerkeszthetük meg z e t digrmot t pólustáolság és léptékek közötti összefüggés nlóg leezetéssel:

16 6 L t L Grfikus integrálás Ismert (t) függényből z s s(t) függényt integrálássl kpuk: s (t) (t) + s, érintő sokszögbe ezután 4ábr φ n hol s t t időponthoz trtozó íkoordinát z integrálást z előző szerkesztés megfordításál égezhetük el Helyettesítsük (t) görbét egyenes htárolású, lépcsős függénnyel (5ábr) úgy, hogy görbe két oldlár eső, srffozott előelhelyes területek összege közelítőleg zérus legyen Vetítsük ki értékeket függőleges koordinát tengelyre és kössük össze őket t L s /L táolságú pólusponttl z így kpott φ, φ, szögek z s(t) ábr megfelelő időpontokhoz trtozó érintőinek z időtengellyel bezárt szögei z érintőrzolást úgy kell kezdeni, hogy t -hoz trtozó φ dőlésszögű érintő átmenen kezdeti feltételnek megfelelő s ponton z berzolhtuk folytonos onlll z s(t) görbét ügyele rr, hogy z érintkezési pontok mindig z időszksz htárokon legyenek 6 PONT SPECIÁLIS MOZGÁSI 6 EGYENESVONLÚ MOZGÁSOK z egyenesonlú mozgás törénye mindig felírhtó z r r + s(t)e lkbn mozgás pályá z r helyektorú ponton átmenő e irányú egyenes z r helyektorú pontot kezdőpontnk tekinte, pálybefutás törényét z s(t) sklár-függény d meg sebesség: r& s(t)e &, gyorsulás:

17 7 e & r& & s(t)e, mert n / ρ, hiszen ρ z ismert pálygörbe lehetőé teszi, hogy z egyszerűbben kezelhető sklárellemzőkkel számolunk 5ábr / Állndó sebességű mozgás Állndó sebességűnek neezzük mozgást, h áll Ilyenkor e & és s(t) t + s 6ábr H kezdeti feltétel: t t -nál s s, z integrálási állndó értéke s * s - t, így pálybefutás törénye: mozgás kinemtiki digrmit z 7ábr mutt

18 8 7ábr B/ Állndó gyorsulású mozgás Állndó gyorsulású mozgás, h e áll pálysebesség: t + H t t -nál, * - t Így ( t) + ( t t ) pálybefutás függénye: s t + s H t t -nál s s, s * s t + t és s(t) [ + (t t )] t t t + s Feezzük ki z utóbbi egyenletből (t-t )-t: + + (t t ) (t t ) t ± (s s) t Ezt behelyettesíte sebesség képletébe megkpuk sebességet z íkoordinát függényében, mi prbol egyenlete: (s) ± + (s s ) kinemtiki digrmokt z 8ábrán láthtuk

19 9 8ábr C/ pálymenti gyorsulás (lssulás) sebesség lineáris függénye gyorsulás és sebesség közötti kpcsoltot z e -k összefüggés ír le, hol k pozití állndó, mértékegysége [/s] Ilyen törény szerint mozognk gázokbn és folydékokbn mgukr hgyott testek, h sebességük nem túl ngy z lpdefinicióból: d d d k, e k innen ln -kt + *, h t t -nál, * In + kt ezzel pálybefutás törénye: (t) e k(t t ) k(t t ) k(t t ) s e e + s k,

20 h t t -nál s s, s * s + k, ezzel s(t) pálymenti gyorsulás z idő függényében: k k(t t ) [ l e ] s + k(t t ) e (t) k(t) k e pálybefutás törényéből: k ( t t ) k e ( s s ), melynek felhsználásál megkpuk sebességet z íkoordinát függényében: (s) k(s s ), mi egyenes egyenlete pálygyorsulás z íkoordinát függényében: e (s) k + k (s s ), zz egyenes pálygyorsulás sebesség függényében pedig elee dott olt: e () k mozgás kinemtiki digrmi z 9ábrán láthtók 9ábr

21 D/ pálymenti gyorsulás (lssulás) egyenesen rányos sebesség négyzetéel gyorsulás és sebesség közötti kpcsoltot most z e -k pozití állndó, mértékegysége [/m] z lpdefinícióból: d d k d, e k innen kt +, h t t -nál -nál kt zz (t) k (t t ) + pálybefutás törénye: s ln( k (t t ) + ) + s k h t t -nál s s, ks sk (kt ) s(t) s + ln[ k(t t ) + ] k pálygyorsulás z idő függényében: k e (t) k [ k ] (t t ) + Feezzük ki pálybefutás törényéből z időt: k(s s ) k (t t ) + e Ennek felhsználásál: k(s s ) (s) e és k(s s ) ke e (s) mozgás kinemtiki digrmi z ábrán láthtók összefüggés ír le, hol k E/ pálymenti gyorsulás z íkoordinát lineáris függénye pálygyorsulás és z íkoordinát kpcsoltát z e ± c s összefüggés ír le, hol c tetszőleges állndó, mértékegysége [/s] Miel e & s z lpösszefüggés így írhtó: d s & s&m c s ± c s, mi egy másodrendű, hiányos homogén differenciálegyenlet, melynek áltlános megoldás ttól függ, melyik előelet álsztuk ) H gyorsulás értelme ellentétes z íkoordinátál, differenciálegyenletben pozití előel érényes z áltlános megoldás:

22 ábr s (t) cos ct + Bsin ct, melyben, B integrálási állndók mennyiben t t -nál s s és okt álsztuk kezdeti feltételnek és figyelembe esszük, hogy (t) c sin ct + cbcos ct, z integrálási állndók s cosct sin ct, B s sin ct + cosct c c H speciálisn t, mozgásfüggények lk lényegesen egyszerűsödik pálybefutás törénye: s(t) sin ct, c sebesség: (t) cos ct, gyorsulás: (t) c sin ct

23 sebesség z íkoordinát függényében: s (s) c s gy +, c tehát ellipszis gyorsulás sebesség függényében: e e () c gy +, ( c) zz ellipszis mozgás kinemtiki digrmit z ábrán láthtuk Ezt mozgástípust hrmonikus rezgőmogásnk neezzük mozgás ellemzői bizonyos idő után, z ún periódusidő elteltéel megismétlődnek ábr periódusidőt ct + π ct + ct összefüggésből htározhtuk meg: π T c c-t egyébként rezgőmozgás frekenciáánk neezzük b) H differenciálegyenletben negtí előel érényes, z áltlános megoldás:

24 4 s (t) ch ct + Bsh ct t t -nál s s és kezdeti feltételt felhsznál z integrálási állndókr köetkező kifeezéseket kpuk: s ch ct sh ct, B s sh ct + ch ct c c Speciálisn t, s kezdeti feltételt álszt mozgásfüggények köetkező lkot öltik: s(t) sh ct, (t) ch ct, e (t) c sh ct, c s (s) + s c gy, mi hiperbol egyenlete c e () c gy +, szintén hiperbol ( c) e mozgás kinemtiki digrmi z ábrán láthtók ábr

25 5 6 SÍKMOZGÁSOK Síkmozgás esetén koordinátrendszer x, y tengelyét célszerűen mozgás síkábn eszszük fel Így mozgásellemzők: r (t) x(t)i + y(t), (t) x(t)i & + y(t) &, (t) & x(t)i + & y(t) H ismert pály y y(x) egyenlete, mozgást megdhtuk z s s(t) pálybefutás törényéel pály tetszőleges pontán z érintő irány:, dy tgφ y dx s ezzel sebességkomponensek: x& s& cosφ, y& s& sinφ x pály görbületi sugr:,,5 ( + y ) ρ,, y n s& és e & s ρ y gyorsuláskomponensek x y cosφ + sinφ e sinφ cosφ e n n ábr / Állndó gyorsulású mozgás sebesség: áll * t +, t (t) (t t ) + h t t -nál sebességektor benne n z és áltl meghtározott síkbn mozgó pont helyektor: r (t t ) + t + r, h t t -nál r r t Ezzel r(t) r + (t t ) + (t t ),

26 6 pály tehát z r helyektorú pontr illeszkedő,, ektorokkl meghtározott síkbn n sebességhodográf egyenes (4 ábr), pálygörbe prbol, mert (t t ) lineárisn, z (t t ) négyzetesen áltozik z időel prbol tengelye párhuzmos gyorsulásektorrl és nnál szélesebbre nyílik, minél ngyobb z 4 ábr szerinti sebességektor H, pály egyenessé ful 4 ábr / z egyik legfontosbb állndó gyorsulású síkmozgás ferde hítás Ebben z esetben: 5 ábr g g és t, r, cosα i + sinα sebességfüggény: (t) cosα i + ( sinα gt) mozgásfüggény: g r(t) t cosα i + ( t sinα t ) pály egyenlete: gx y x tgα, cos α függőleges tengelyű prbol

27 7 α esetén mozgást ízszintes hításnk, α 9 esetén függőleges hításnk neezzük B/ gyorsulásektor helyektor lineáris függénye gyorsulás és helyektor kpcsoltát z & r c r gy z & r + c összefüggések írák le t t, r r, kezdeti feltételeket lklmz mozgásellemzők: (t) cr sin ct + cos ct, ill (t) cr sh ct + ch ct r(t) r cosct + sin ct, ill r(t) r ch ct + sh ct c c r r r pálygörbék z 6ábrán láthtó módon z r és áltl kifeszített síkbn fekszenek görbék ellipszisek, ill hiperbolák, melyeknek középpont z origó, konugált félátmérőik pedig r és / c H, konugált félátmérők főtengelyekbe mennek át H / c, z ellipszis pály körpályáá lkul c esetén mozgás egyenes onlú áll sebességű mozgássá ful 6 ábr zokt mozgásokt, melyek gyorsulásektor mindig ugynbb pontb mutt, centrális mozgásoknk neezzük

28 8 C/ Körmozgás körmozgás esetén pálygörbe körí Simuló körének sugr megegyezik kör sugrál: ρ R áll mozgás izsgáltához célszerű polárkoordinátrendszert lklmzni (7ábr) 7 ábr r Re R, Rφe & R, φ e φ R(e & e ) pálymenti sebesség tehát megegyezik keringő sebességgel: r, hol dφ - pillntnyi szögsebesség pálymenti gyorsulás egyben keringő gyorsulás: φ R hol Rε, e φ d ε - pillntnyi szöggyorsulás

29 9 normális irányú gyorsulás rdiális irányú gyorsulás ellentette: n r R R műszki gykorlt egyik legfontosbb mozgástípus z egyenletes pálysebességű körmozgás Jellemzői: áll, ε, R áll, e, n R z egy teles kör megtételéhez szükséges idő z ún periódusidő: π T, ennek reciprok másodpercenkénti fordultok szám gy frekenci: ν T π Sokszor hsználák ennek 6-szorosát, melyet percenkénti fordultszámnk neezzünk és n- nel elölünk D/ Ciklois mozgás H egy r sugrú korongot egy egyenes mentén legördítünk, korong ponti (sőt koronghoz kpcsolt pontok is) ciklois mozgást égeznek 8 ábr mozgó pont helyektor z ábráról közetlenül leolshtó ( k táolság pont korongközépponttól ló táolságát elenti): hol R áll r (t) (r t) ksin (t)i + (r kcos t), innen + (t) (r k cos t)i kφ sin t,

30 ( x r ) k cos t k sin β t y x r ) + y k (, zz sebességhodográf kör z 9 ábr lpán sebességek szélső értéke könnyen meghtározhtó: + k (r + k) mx min k (r k) hol sebesség- és gyorsulásektorok párhuzmosk, pályánk inflexiós pont n gyorsulásektor: 6 TÉRMOZGÁSOK (t) k + k k cos sin ti + k áll és mindig korong középpont felé mutt z 8 ábrán láthtuk, hogy pálygörbék lk függ k értéktől k < r esetén nyútott cikloist, 9 ábr k r esetén csúcsos cikloist, k > r esetén hurkolt cikloist kpunk t, sin t + cos t / Csrmozgás mozgást célszerűen hengerkoordinát rendszerben izsgáluk ( ábr): r (t) R cosφi + R sinφ + z(t)k H csronl menetemelkedése h, kkor - miel z szög lineáris függénye, zz, sebességfüggény: z cφ - c h/π (t) Rφsin & φi + Rβφ& cosφ + cφk & gyorsulásfüggény: (t) ( Rφsinφ & Rφ& cosφoi + (Rφcosφ && Rφ& sinφi + cφk &

31 ábr Egyenletes csrmozgás esetén: φ t, ε mozgásfüggény: r (t) R cosφti + R sint + ctk, sebességfüggény: (t) Rsin ti + R cost + ck, gyorsulásfüggény: (t) R costi R sin t sebesség bszolút értéke: R (sin t + cos t) + c c + R áll sebességhodográf c k mgsságábn léő R sugrú kör gyorsulásektor párhuzmos z x, y síkkl: (t) R er (t) és metszi z tengelyt pálymenti sebesség állndóság mitt z érintő irányú gyorsulás null, zz R + c ) R + c n R, innen ρ áll ρ R R Tehát csronl görbületi sugr mindenütt egyform MEREV TEST KINEMTIKÁJ n Egy n számú nygi pontból álló mozgó rendszer kinemtiki ellemzőit kkor tekinthetük ismertnek, h meg tuduk dni minden pontánk mozgástörényét H z nygi pontok között semmiféle kpcsolt nincs - zz egymás mozgását nem befolyásolák - mozgásfüggényre n szükség rendszer szbdságfok legáltlánosbb esetben n H z egyes pontok között lmilyen kinemtiki kpcsolt n, pontrendszer szbdságfok kisebb lehet MEREVSÉGI FELTÉTELBŐL KÖVETKEZŐ KÖTÖTTSÉGEK

32 mere test definícióából köetkezik, hogy tetszőleges két pontánk táolság mozgás folymán nem áltozht meg ( ábr): ri (r ri ) áll Tétel: mere test mozgásánk egyértelmű mozgásfüggényét megdásához elegendő, h ismerük három nem egy egyenesbe eső pontánk mozgásfüggényét Bizonyítás: Vegyünk fel mere testben egy BC csúcspontú háromszöget és z, B, C pontok sorrendének megfelelő körülárási irányt (ehhez z irányhoz kár egy normálektort is rendelhetünk és háromszögnek zt z oldlát, melyik normálektor értelméel zonos oldlr esik, háromszög pozití oldlánk neezzük) Ezután álsszunk ki mere testben tetszőlegesen egy D pontot H tuduk, hogy ez pont pl háromszög pozití oldlán n és z, B, C pontoktól D, BD, CD táolságr tlálhtó, kkor D pontánk ú helyét z, B, C pontok ú helyének ismeretében mindig meghtározhtuk, hiszen mozgás folymán mindig fennáll, hogy D ' D', BD B' D', CD C' D' mere test mozgásánk megdásához tehát elegendő z r r (t), rb rb (t), rc rc (t) mozgásfüggények ismerete Ez ugyn kilenc sklármennyiséget elent, de r (r r ) áll, r B B BC (rc rb ) B (rb r ) áll, és r áll, feltételek mitt mere test szbdságfok áltlános esetben ht ábr ábr zt, hogy mere test mozgását ht tl (áltlános koordinátál) egyértelműen megdhtuk, köetkező gondoltmenettel is beláthtuk z ábr lpán Válsszuk ki testnek egy tetszőleges pontát, melynek helyektorát z r r (t) ektor-sklár függénnyel dhtuk meg Vegyünk fel z pontbn egy x, y, z koordinátrendszert, melynek tengelyei párhuzmosk z eredeti x, y, z rendszer tengelyeiel, lmint egy, mere testhez kötött ξ, η, ζ koordinát rendszert Miel mere test z ponthoz képest csk forgó mozgást égezhet, helyzetét megdhtuk, h ismerük testhez kötött koordinátrendszer helyzetét esszőshöz képest koordináttengelyek irányit, ill

33 iránycosinuszit kilenc ellemzi, ez szám zonbn z iránycosinuszok közötti ht összefüggés mitt háromr csökken fennmrdó három független ot Euler után köetkezőképpen célszerű megálsztni Htározzuk meg z x, y és ξ, η koordinátsíkok metszésonlát, melyet toábbikbn csomóonlnk neezünk ( ábrán k-l elöltük) ábr Ezek után köetkező, ún Euler-féle szögeket definiáluk: Ψ (x', k), precessziós szög, υ ( z', ζ ), nutációs szög, φ (k,ξ), sát forgás szöge Ψ z, ν k, φ ζ tengely körüli forgást elent Ezekkel, z elforgtott ξ, η, ζ tengelyek helyzetét egyértelműen megdhtuk z x x (t), y y (t), Ψ Ψ( t), ν ν(t), φ φ(t) sklárfüggények egymástól függetlenek és mere test helyzetét z eredeti x, y, z koordinátrendszerben pontosn megdák mozgás szbdságfok tehát lóbn ht mereségi feltétel mitt mere test tetszőleges két pontánk sebességei és gyorsulási között is bizonyos kötöttségek lépnek fel Tétel: mere test tetszőleges két pontábn sebességeknek két pontot összekötő egyenesre ett etülete egyenlő ( sebességek összeférhetőségi tétele gy rúdirányú sebességek tétele) Bizonyítás: Differenciáluk ()-t z idő szerint hol r r& (r r )(r& r& ), i i i i r& i r& r& i P pont P i ponthoz iszonyított sebessége, reltí sebesség Legyen n P i és P pontot öszszekötő egyenes irányánk egységektor i i

34 4 4 ábr Ekkor tehát r& n( ), i i n n i n tétel ngyon szemléletes, hiszen, h P i P táolság mozgás folymán nem áltozht, kkor két pontot összekötő irányb eső sebességkomponenseknek meg kell egyezniük (4 ábr) Tétel: mere test tetszőleges két pontábn gyorsulásoknk két pontot összekötő egyenesre ett etületének különbsége mindig i / ri, hol i - reltí sebesség, r i - két pontot összekötő egyenes hossz ( gyorsulások összeférhetőségi tétele) Bizonyítás: Differenciáluk ()-t z idő szerint in, itt i innen i r& + r & (r& r& )(r& r& ) + (r r )(r && & r ) 4 i i i i i i i i ( i i ) + ri ( ), i + ri i, P pontnk P i ponthoz iszonyított gyorsulás, reltí gyorsulás i + ri n( i ) i + ri ( n n ),

35 5 n i in in r i fenti két tétel értelmét és elentését még egyszerűbben megérthetük, h belátuk, hogy egy mere test lmely pont egy másikhoz képest z r i áll mitt csk forgómozgást égezhet Ezért P pont iszonyított sebessége (függetlenül P i mozgásától) csk érintő irányú, zz P i P egyenesre merőleges lehet Ugynkkor iszonyított gyorsulásnk két pontot összekötő egyenesére ett etülete forgómozgás normális, elen esetben P i P irányú gyorsuláskomponenséel egyezik meg (5 ábr) 5 ábr MEREV TEST MOZGÁSÁLLPOT Legyen r mere test egy tetszőlegesen álsztott pontánk, r lmely P pontánk helyektor z x, y, z koordinátrendszerben Ekkor z r r r ektor z pontból P pontb muttó helyektort elenti Ennek állás és ngyság függ iszonyítási pont és P futópont helyétől fenti kifeezésből: r r + r, 5 mely meg tetszőleges P pont helyét, mi fentiek szerint P pont ponthoz iszonyított helyének és - h test mozog - z időnek függénye mozgásfüggény tehát áltlánosn így írhtó: kétáltozós függény független ektoráltozóát, pontánk r r(r, t) 6 r t rögzíte megkpuk mere test P r r(t) 7

36 6 mozgástörényét, független skláráltozót, zz z időt rögzíte megkpuk test pontink r r(r ) 8 helyét z dott pillntbn mere test pontink sebességét és gyorsulását formilg z (6)-os kifeezés differenciálásál nyerük: r& (r, t), 9/ & r (r, t), 9/b melyek megdák dott r esetén P pont sebesség-és gyorsulásfüggényét: (t), / (t), /b ill dott t időpillntbn test összes pontánk sebességét és gyorsulását (r ) és (r ) függényeket mere test dott időpillnthoz trtozó sebesség-, ill gyorsulásállpotánk neezzük z (), () összefüggések test minden pontához egy-egy ektort rendelnek, sebesség- és gyorsulásállpot tehát egy-egy ektormezőt, teret lkot sebesség- és gyorsulásállpot együttesét mere test mozgásállpotánk neezzük H minden pillntbn dott mozgásállpot, mere test mozgását ismertnek tekinthetük mere test hosszbb időszkhoz trtozó mozgását éges mozgásnk neezzük éges mozgást mindig úgy tekintük, mint egymást köető, igen kicsi t időszkhoz trtozó, ún elemi mozgások összességét H t időszkokt elegendően kicsire álsztuk, kkor z időtől függő elemi mozgások helyett z dott időszkhoz trtozó, ebben z elemi időszkbn állndónk tekinthető mozgásállpottl számolhtunk Miel mere test éges mozgásánk időbeli izsgált áltlábn ngyon bonyolult, kinemtiki felot mozgásállpot izsgáltár ezetük issz Ennek ugyn hátrány, hogy nem tuduk test mozgását időben égig köetni, de lehetőség nyílik rr, hogy z áltlunk tetszőlegesen kiálsztott fontosnk, gy ellemzőnek trtott időpont(ok)bn mozgás összes ellemzőét meghtározzuk műszki gykorltbn előforduló mozgások többsége olyn, hogy ez z elárás lklms felmerülő problémák megoldásár SEBESSÉGÁLLPOT mere test sebességállpotát kkor tekinthetük ismertnek, h ismerük minden pontánk sebességektorát Miel égtelen sok sebességektort nem tudunk megdni, olyn összefüggést kell meghtároznunk, mellyel tetszőleges pont sebességét kiszámíthtuk Meg kell tehát keresnünk (r ) függény konkrét lkát duk meg test egy pontánk helyektorát z (5)-ös kifeezéssel úgy, hogy 6 ábr P i pont legyen z iszonyítási pont:

37 7 z idő szerint differenciál: r r + r r& r& + r& + E szerint tetszőleges pont sebességét megkpuk, h iszonyítási pont sebességektorához hozzáduk reltí sebességektort z ()-s kifeezés, mely esetünkben r 4 formát ölti, lpán megállpíthtuk, hogy r, hisz sklárszorzt értéke null reltí sebesség irány tehát már dott, ngyságát kell még meghtároznunk Tétel: reltí sebesség mindig megdhtó (r ) lkbn, hol x r mere test pillntnyi szögsebesség ektor Bizonyítás: mereségi feltétel mitt testben felett P P háromszög lk mozgás folymán nem áltozht meg z ebben síkbn felett tetszőleges P pont helyektor így mindig felírhtó z r és r ektorok lineáris kombinációként (7 ábr): r k r + k, 5 r hol k, k sklárok, mozgástól, zz z időtől független mennyiségek z x, y, z koordinátrendszerben mozgó test r, r, helyektori természetesen z r idő függényei, differenciál (5)-öt: h dr dr,, kkor dr d (kr + kr ) k 6 + k Ω r hol Ω homogén lineáris ektoroperátor, más néen tenzor, tehát reltí sebesség 7 ábr ektor helyektorok homogén, lineáris függénye kpcsolt ezért kifeezhető egy tenzor segítségéel: Ω r, 7 hol Ω - z ún szögsebesség-tenzor, melyet z x, y, z koordinát rendszerben egy x-s mátrixszl reprezentálunk (4) mitt r r Ωr,

38 8 mi tetszőleges r ektor esetén kkor állht csk fenn, h Ω ferdén szimmetrikus tenzor, gy másik neén ntiszimmetrikus tenzor Tetszőleges ntiszimmetrikus tenzorhoz zonbn mindig meghtározndó egy olyn ektor, mellyel eredményt kpuk, tehát r -t ektorálisn szoroz ugynzt z Ωr xr, 8 hol - z ún szögsebesség-ektor ektor irány z ( ponton átmenő) forgástengelyt elöli ki, ngyság pedig tengely körüli forgás szögsebességét d H z x, y, z koordinátrendszerben xi + y + kkor szögsebesség-tenzor mátrix z lábbi lkot ölti: Ω z y x z k, z y x z () kifeezés ezzel köetkező formát eszi fel: + xr, 9 mi mere test sebességállpotát egyértelműen meghtározz sebességállpot megdásához tehát iszonyítási pont pillntnyi sebességére és pillntnyi szögsebességre n szükség Mindkét ektort z ponthoz szoktuk kötni és mere test kinemtánk neezzük őket Vizsgáluk meg, hogyn áltozik meg mere test kinemt, h megáltozttuk ontkozási pontot Tétel: kinemt sebességektor függ ontkozttási pont megálsztásától és ontkozttási pont pillntnyi sebességéel egyezik meg Bizonyítás: z (9)-es összefüggés zt mutt, hogy mere test pontink sebessége áltlábn különböző H másik ontkozttási pontot álsztunk, kkor z (9) kifeezés első tgként z () összefüggésnek megfelelően - z ú ontkozttási pont sebességét kell megdni Tétel: kinemt szögsebesség ektor nem függ ontkozttási pont megálsztásától, z mere test minden pontábn ugynz Bizonyítás: Legyen z ú ontkoztási pont, mere test kinemtiká ezzel: Htározzuk meg egy tetszőleges P pont sebességét,

39 de r + r r mitt xr + x(r r ) + xr xr + x( r ) + xr +xr H P pont sebességét z ontkozttási pontból htároznánk meg: + xr Összehsonlít két kifeezést, zok csk kkor lehetnek egyenlők, h 8 ábr Miel z pontot tetszőlegesen álsztottuk, fenti egyenlőség zt elenti, hogy mere test szögsebessége minden pontbn megegyezik megállpítás szemléletünkkel is ól egyezik, hiszen, h pl test két részének szögsebessége különbözne, z csk úgy képzelhető el, hogy test két, egymástól független részből áll, mi iszont ellenkezik mere test foglmál Tétel: Egy dott ontkozttási ponthoz trtozó szögsebesség ektor htásonl mentén tetszőlegesen eltolhtó nélkül, hogy test sebességállpot megáltozn Bizonyítás: z egyik ontkozttási pont legyen, másik pillntnyi forgástengelyen léő pont Egy tetszőleges P pont sebességektor z ontkozttási pontból meghtároz: z ontkozttási pontból: + xr, Miel + xr + xr + x(r r ) r, ektoriális szorztuk null, így + xr, tehát két pontból számított sebesség megegyezik Vegyük észre, hogy mellékeredményként zt is megállpítottuk, hogy pillntnyi forgástengely pontink sebességektor megegyezik, Ennek birtokábn úgy is bizonyíthtnánk tételt, hogy mere test kinemt forgástengely minden pontábn ugyn z ( és ), tehát szögsebesség ektor támdáspontánk nincs meghtározó szerepe szögsebesség ektort így nem támdáspontához, hnem ontkozttási ponton átmenő htásonlához köthetük Tétel: Egy pillntnyi forgástengelyen kíül eső pontnk forgástengely bármely pontához iszonyított sebessége megegyezik

40 4 9 ábr 4 ábr Bizonyítás: forgástengelyen felett két ontkozttási pontból számít P pont sebességét, z előző melléktétel felhsználásál rögtön dódik, hogy gy xr xr tétel egyébként ektorális szorzt tuldonságiból is köetkezik reltí sebesség merőleges z és z r ektorok áltl lkotott síkr ( r ) is ebbe síkb esik), ngyság pedig r sinα R, r sinα R, 4/,b tehát szintén zonos fenti kifeezésekben pillntnyi szögsebesség ngyság, R pedig P pont táolság forgástengelytől Tétel: mere test lmely P pontán átmenő, pillntnyi forgástengellyel párhuzmos egyenes pontink sebessége megegyezik Bizonyítás: k + xr, + xr + x(r + r ) mert k k, + xr r k 4 Z ELEMI MOZGÁSOK CSOPORTOSÍTÁS Mint láttuk, mere test pillntnyi sebességállpotát kinemtál, zz lmely ontkozttási pontánk sebességéel és szögsebesség ekto- 4 ábr rál dhtuk meg kinemt két ektoránk ellem-

41 4 zői lpán z elemi mozgásokt néhány lpetőmozgástípusr bonthtuk I, mere test tetszőleges pontánk sebessége: + xr, tehát z dott pillntbn test minden pontánk null sebessége test pillntnyi nyuglombn n II, mere test tetszőleges pontáénk sebessége: + xr, tehát test minden pont ontkozttási pont sebességéel mozog z ilyen mozgást elemi hldó gy trnszlációs mozgásnk neezzük sebességállpot ektormezőe homogén P pont elemi elmozdulás t időszk ltt: r t t r, minden pontbn megegyezik Ebből z 4 ábr köetkezik, hogy éges időszk mozgását tekinte, test pontink pálygörbée egybeágó fentiek lpán z elemi hldó mozgást égző test kinemtiki szempontból egyetlen egy ponttl helyettesíthető, mozgás szbdságfok három III, Tetszőleges pont sebessége: + xr xr 4 z feezet utolsó tételének értelmében z ponton átmenő, l párhuzmos egyenes pontink sebessége null Ez z egyenes pillntnyilg nyuglombn n, nee: pillntnyi forgástengely z elemi időszk ltt P pont elmozdulás: r t (xr ) t txr φxr, 4 hol φ - z elemi időszkhoz trtozó szögelfordulás ektor, irány egybeesik pillntnyi szögsebesség ektorrl, ngyság z elemi szögelfordulás szögsebesség és szögelfordulás kpcsolt:

42 Kinemtik9 4 4 ábr r φ dφ lim 4 t t z elemi elmozdulás merőleges φ és síkár, ngyság r φ r sinα φr, hol R P pont táolság pillntnyi forgástengelytől mere test forgástengelyen kíül eső ponti tehát R sugrú köríen mozognk körpály sík merőleges pillntnyi forgástengelyre mozgást elemi forgó gy rotációs mozgásnk neezzük pillntnyi sebességektor (4) szerint merőleges és síkár, tehát körpály P - r beli érintőébe esik, ngyság r sinα R, 44 Tehát P pont forgástemgelytől mért táolságál egyenesen rányos sebességállpot ektormezőét ilyen esetben rotációsnk neezzük pillntnyi forgástengellyel szembe néze z 44 ábr szerint tgα áll,,45 r mi zt elenti, hogy forgástengely lmely pontán átmenő, rr merőleges síkon 44 ábr mere test pontink sebessége zonos α szög ltt látszik z elemi forgó mozgás egyéb törényszerűségeiel síkmozgásnál fogllkozunk részletesebben z elemi forgó mozgást z szögsebesség ektor egyértelműen meghtározz (hllgtólgosn feltételeze, hogy ismerük test egy nyugó pontánk helyét), mozgás szbdságfok három Szokták rotációs mozgást téesen egy szbdságfokúnk neezni Ez csk kkor helyes, h elee ismertnek tételezzük fel forgástengelyt Ilyenkor elegendő φ φ(t) szögelfordulás megdás IV, Vizsgáluk meg először, égezhet e ebben z esetben mere test elemi forgó mozgást, s h igen, mi feltétele? z elemi forgómozgás ellemzőe pillntnyi nyuglombn léő forgástengely Nézzük meg, n-e olyn pont, melyre telesül: + xr 46

43 Kinemtik9 4 Innen rögtön látszik, hogy xr r x, tehát z r helyektornk merőlegesnek kell lennie -r Szorozzuk be -l sklárisn (46)-ot: innen második tg eltűnése mitt + (xr ), (46) tehát kkor állht fenn, h o, kinemt két ektor merőleges egymásr Ebben z esetben zonbn égtelen sok ilyen pont n, hiszen z ponton átmenő, ϖ -l párhuzmos egyenes minden pontánk null sebessége, így éppen ez pillntnyi forgástengely z pont helyektoránk meghtározásához szorozzuk be (46)-ot blról ϖ -l ektoriálisn: Innen x x o + x(xro ), + (r ) r () o o o x (ro) r o + & Keressük éppen zt z pontot, melynek helyektor r, merőleges ϖ -r Ekkor r ' merőleges ϖ mitt: x r o' 47 Ez ektor merőleges -r és -r is 45 ábr Ngyság ezért π sin( ) r' 48 fentiek lpán h o, és o, kkor elemi forgómozgássl állunk szemben pillntnyi forgástengely -r merőleges síkon z pontbn -r merőlegesen felett egyenesen r' / táolságon elhelyezkedő, -l párhuzmos egyenes H o, és o, kkor z előbbieket figyelembe ée testnek nincsen olyn pont, melyik nyuglombn n mozgás elemzéséhez izsgáluk meg, n-e

44 Kinemtik9 44 olyn pont, melynek sebességektor párhuzmos szögsebesség-ektorrl H, kkor (9) felhsználásál: x x + x(xr ), + (r ) r () fenti kifeezésből meghtározhtuk zt helyektort, melyre (49) fennáll x (r) r + x, 49 H most is zt z pontot keressük, melynek r, helyektor merőleges z szögsebességektorr, kkor x r ' 5 bszolút értéke: r' sinβ hol β (, ) Htározzuk meg ennek pontnk sebességét: 46 ábr ' + xr ' x + x + [ () ] ϖ ϖ + ϖ ϖ ϖ ϖ Íruk fel szögsebességektort e lkbn, hol e - forgástengely egységektor Ekkor fenti kifeezés z lábbi formát ölti: e ' e cosβ ϖ ϖ ( e )e e ' z és ele együtt z ezen ponton átmenő -l párhuzmos egyenes minden pontánk sebessége tehát sebességektornk szögsebességektor irányár ett etületéel egyenlő Irány pedig lóbn párhuzmos szögsebességektorrl z ponton átmenő, -l párhuzmos egyenest pillntnyi csrtengelynek neezzük, mert test mozgását úgy képzelhetük el, hogy sebességgel tengely irányábn mozog, miközben ezen tengely körül ϖ szögsebességgel forog Ilyen ellegű csr mozgás is zt monduk, hogy ilyen feltételek mellett, test elemi csrmozgást égez Vegyük

45 45 zonbn észre, hogy z elemi cssrmozgás elemi hldó és forgó mozgás összegeként is felfoghtó 5 MOZGÁSRENDSZEREK mere test mozgásállpotát egyideűleg több elemi mozgás ellemezheti z egyideűleg htó elemi mozgások összességét mozgásrendszernek neezzük Állon mozgásrendszer két zonos ngyságú, ellentétes értelmű, párhuzmos szögsebesség-ektorból, ún forgáspárból Tétel: forgáspár mindig elemi hldómozgást eredményez pillntnyi sebesség test minden pontábn: xb, hol, b két forgástengelyt összekötő helyektor Bizonyítás: Tetszőleges P pontbn sebesség két pillntnyi forgómozgásból szármzó sebességek ektorális összegeként dódik: + xr + ( )xr xr + xr x(r r ) xb Miel P t tetszőlegesen álsztottuk, mere test minden pontánk sebességektor ugynz Ngyság b sin α d, 5 hol d két tengely táolság, irány pedig merőleges két tengely áltl lkotott síkr z elemi hldó mozgás 47 ábr tehát mindig helyettesíthető egy forgáspárrl Egyenértékű mozgásrendszerek Két mozgásrendszer egyenértékű, h mere test egyik mozgásrendszerből számított sebességei pontonként megegyeznek másik mozgásrendszerből számított sebességekkel Vlmely mozgásrendszerrel egyenértékű, lehető legegyszerűbb mozgásrendszert eredő mozgásrendszernek neezzük Miel hldómozgás forgáspárrl helyettesíthető, egy mozgásrendszert szögsebesség-ektorok rendszereként dhtunk meg mere test sebesség állpotát ismerük, h meg tuduk dni tetszőleges P pontbn sebességektort sebességek ektoriálisn összegezhetők, így P pont sebessége, h testen P i pontbn,,, n): n ( ixri ) i i szögsebesség-ektor működik (i 5 hol r i - P i pontból P pontb muttó helyektor Két mozgásrendszer egyenértékűségének eldöntéséhez z (5)-s kifeezéssel test minden pontát meg kellene izsgálni Ez lehetetlen, z egyenértékűség eldöntéséhez tehát más módszerekhez kell folymodnunk

46 46 Tétel: Két mozgásrendszer egyenértékű, h mere test egyik pontánk sebessége két szögsebesség rendszerből számít megegyezik és szögsebesség-ektorok eredőe is egyenlő Bizonyítás: tétel értelmében egy pontbn sebesség: n ( ixr i ) ( kxr k ) és n m i k m i k, i k hol i (i,,,n) z egyik mozgásrendszer, k (k,, m) másik mozgásrendszer Htározzuk meg egy P pont sebességét z első mozgásrendszerrel: 48 ábr n i n ( xr ) ( x(r + r )) ( xr ) + xr + xr i i i második mozgásrendszerrel: m k m i i n i i i i (kx(rk + r )) (kxrk ) + ( xr ) xr + xr k k k k k m két rendszerből számított sebesség megegyezik, két mozgásrendszer tehát lóbn egyenértékű Tétel: Két mozgásrendszer egyenértékű, h három, nem egy egyenesbe eső pontánk sebessége két rendszerből számít megegyezik m k n i Bizonyítás: Jelölük két mozgásrendszert most is z i és k indexszel Íruk fel tétel állítását z, B és C pontokr: n ( xr ) (kxrk ), B m i i i k + n i xr i C B + + n i m k xr i xr k C B + m k xr k C 49 ábr lkítsuk át két utolsó egyenletet z lábbi formáb:

47 47 n m i k xrb, k i n m i k xrc k i Miel, B, C nem egy egyenesbe esik, fenti két egyenlőség csk úgy állht fenn, h szögletes záróelben léő mennyiségek nullál egyenlők, miből: n i m i k és megegyezik, mi - z előző tétel értel- két mozgásrendszerből számít tehát, mében - z egyenértékűség feltétele k z eredmény összhngbn n zzl korábbi állítássl, hogy mere test mozgását három pontánk mozgástörénye meghtározz Mint látuk, sebességállpotát három pontánk sebessége szintén meghtározz fenti két tétel egyben zt is mutt, hogy egy tetszőleges mozgásrendszer két ektorrl, mere test egy pontánk sebessége- és szögsebesség ektorál ellemezhető Ez teles összhngbn n z (9)-es kifeezés trtlmi elentéséel és ektorok áltl lkotott kinemt tehát tetszőleges mozgás- 5 ábr rendszer eredőe Egy i (i,,,n) mozgásrendszer eredőét z lábbi gondoltmenettel igen szemléletesen meghtározhtuk Válsszunk ki mere testben tetszőlegesen egy pontot (ontkozttási pont) Vegyünk fel ebben pontbn P i pont szögsebesség-ektorál zonos és ellentétes i és i ektorokt (5 ábr) E két utóbbi szögsebesség-ektor összege null, így z eredeti mozgásrendszer nem áltozott meg z eredeti i és felett i forgáspárt lkot, tehát helyettesíthetük egy z elemi hldó mozgásr ellemző sebességektorrl: xr i P i pontbn működő egyetlen i szögsebesség helyettesíthető z pontbn htó i és i ektorokkl ellemzett mozgásrendszerrel Minden szögsebességre elégeze ezt z átlkítást, eredményül z pontbn i i n, i i i n i ektorokkl ellemzett, eredő mozgásrendszerhez utunk 5 ábr

48 48 6 GYORSULÁSÁLLPOT z (r ) gyorsulásállpot konkrét lkát z (), ill (9) kifeezések differenciálásál nyerük: d(xr ) & & + & & & + xr & + xr& + εxr x(xr ), 54 + hol - z ontkozttási pont gyorsulás, d ε - szöggyorsulás-ektor, szögsebesség-ektor idő szerinti differenciálhánydos, melyet z ponthoz köte értelmezünk Korábbn láttuk, hogy egy dott időpontbn mere test minden pontábn ugynz Ebből és szöggyorsulás definícióából köetkezik, hogy ε is z egész testre ellemző mennyiség lkítsuk át (54)-et: εxr + x(xr ) P pont ponthoz iszonyított gyorsulás kifeezés mutt, hogy reltí gyorsulás két komponensből áll εxr, 56 melyik merőleges z ε és áltl lkított síkr, ngyság: r ε r sinα, [ e (r e ) r ] R n, x(xr ) (r α) r () 57 itt figyelembe ettük, hogy e és r e )e r R n, 58 ( 5 ábr 5 ábr

49 49 hol R P pontnk pillntnyi forgástengelytől mért táolság, n - fenti táolságnk forgástengely irányáb muttó egységektor gyorsuláskomponens ngyság: R 59 mere test gyorsulásállpotát tehát egyértelműen meghtározz egy pontánk gyorsulás, lmin t z dott időpontr ellemző szögsebesség- és szöggyorsulás-ektor Ez három mozgásellemző zonbn sebességállpot időbeli áltozásánk ismeretében számíthtó z elemi mozgások gyorsulásállpotánk elemzéséel külön nem fogllkozunk, csupán rr híuk fel figyelmet, hogy pillntnyi nyuglom zz és - esetén z (54)-es kifeezés z + εxr lkot ölti, mi zt mutt, hogy bár sebességállpot null test gyorsulásállpot csk toábbi feltételek telesülése esetén lehet null 7 VÉGES MOZGÁSOK Mint korábbn már definiáltuk, éges mozgás elemi mozgások egymás utáni soroztánk tekinthető éges mozgásokt z szerint osztályozhtuk, hogy milyen elemi mozgásokból épülnek fel 7 VÉGES HLDÓ MOZGÁS éges hldó mozgás elemi hldó mozgások egymásután dott elemi időszkbn, ill időpontbn mozgás kinemt: (t) és (t) H ismerük mere test lmely ontkozttási pontánk sebességét z idő függényében, minden pont mozgásellemzőét meghtározhtuk, hiszen (t) (t), r (t) rk + (t) rk + (t), 6 (t) & (t) & (t) (t), hol r K - P pont helyektor t t o időpillntbn (6) második összefüggése zt mutt, hogy mere test pontink pályái egybeágók, egymáshoz képest csk eltolt helyzetűek, mi egyben zt elenti, s ez éges hldó mozgás egyik igen szemléletes tuldonság hogy testen felett tetszőleges egyenes mozgás folymán eredeti helyzetéel mindig párhuzmos mrd (54 ábr) éges hldó mozgás kinemtiki szempontból egyetlen pont mozgásál helyettesíthető mozgás szbdságfok három 7 VÉGES FORGÓ MOZGÁSOK / Álló tengely körüli éges forgó mozgás olyn elemi forgómozgások egymásutánánk tekinthető, hol forgástengely helyzete állndó, szögsebesség-ektor tehát (t) (t)e,

50 5 54 ábr hol e - z álló forgástengely egységektor mozgás kinemt, h ontkozttási pontot célszerűen forgástengelyen esszük fel: (t) és (t) (t)e Tetszőleges pont sebessége: (t) (t)xr (t)(e xr ), 6/ sebesség ngyság: (t) (t) (t) r sinα (t)r 6/b z összefüggések szerint tetszőleges pont sebessége z dott ponton átmenő, e -re merőleges síkon n s ngyság egy dott pillntbn forgástengelytől mért R táolsággl rányos most is érényes (6/b) mitt z (44)-es kifeezés állítás, mi szerint P ponton átmenő, e -re merőleges síkon forgástengelytől néze ugynbbn pillntbn minden ponton sebességektor ugynkkor α szög ltt látszik mereségi feltétel mitt test lmely P pont forgástengely körül R r sinα sugrú köríen mozog pály ismeretében elegendő P pont pálybefutás függényét meghtározni 6/b) mitt s (t) (t) (t)r R (t) s + R ϕ(t), 6 o hol s - t t o -hoz trtozó íkoordinát, ϕ (t) - szögelfordulás-függény, melyet ektorként is értelmezhetünk: ϕ (t) ϕ(t)e Tetszőleges pont gyorsulás: 55 ábr itt (t)e & ε(t)e (t) & (t) (t)xr & xr xr + (t)e + (t)e x x(e xr + (t)xr& ),