Fizika A2E, 10. feladatsor

Átírás

1 Fizik AE, 10. feltsor Vi György József 1. felt: Niels ohr 1913-bn felállított moellje szerint hirogéntombn középpontbn lév proton ül egy elektron kering, ttól = 5, m távolságbn, v =, 10 6 m/s sebességgel. Htározzuk meg z elektron áltl keltett mágneses tér ngyságát proton helyén! Az elektron töltésének ngyság e = 1, C. El ször htározzuk meg, hogy z elektron mekkor ármnk felel meg: r p + 1-A. ábr e v Utolsó móosítás: 015. április 7., 19:19 = Q t = e T = hol T keringés ieje. A árm ϕ szögnél tlálhtó elemi (ϕ) rbj ev π, (1-1) (ϕ) = µ 0 (ϕ) r π r 3 (1-) mágneses inukciót hoz létre, hol ϕ 0-tól π-ig fut és r ϕ szögnél lév, l = ϕ hosszú, ármrbtól proton helyére muttó vektor. A (ϕ) vektor érint irányú, és ngyság (ϕ) = l. Mivel árm mentén végig mer leges r és z árm irány, így z összes (ϕ) járulék egy irányb mutt: síkr mer legesen felfele. A teljes vektor így = (ϕ) = µ 0 π (ϕ) r r 3 = µ 0 π e z π 0 ϕ 3 = µ 0 e z (1-3) = µ 0ev π e z (1-) V s π 10 7 A m = C, 10 6 m s π(5, m) = 157,5 T. (1-5). felt: Négyzet lkú, = 0, m élhosszúságú vezet keretben = 10 A er sség árm folyik. Számítsuk ki mágneses tér ngyságát és irányát keret középpontjábn! A keretet fel tujuk osztni nnk négy ollár, és z ere inukciót meg tujuk ni úgy, mint egy oll inukciójánk négyszerese. Ezután már csk zt kell meghtároznunk, hogy egy hosszúságú rú közepét l = távolságbn mekkor z inukció (lás -. ábr). Ennek meghtározásához peig tekintsük vezet szksz z hosszú rbját. Az O pontbn létrejöv mágneses inukció mer leges vezet t és z O α h -A. ábr 1

2 Fizik AE, 10. feltsor megolások y z z z z ϕ ϕ ϕ β αh α h b = -. ábr cos ϕ ϕ O x O pontot trtlmzó síkr és befelé mutt. Az összes ilyen rbr mágneses inukció zonos irányb mutt, így z ere kiszámolásához elég vektorok ngyságát összegezni. Ehhez = z e z : (z) = µ 0 r π r 3 = µ 0 r sin β π r 3, (-1) hol β z és vezet rbot z O-vl összeköt vektor közé zárt szög. A geometrii elrenezésb l láthtjuk, hogy β = 90 + ϕ, vgyis sin β = sin(90 + ϕ) = cos ϕ, tehát (z) = µ 0 π z 1 + z + z = µ 0 π 1 z, (-) ( + z ) 3 melyet sjnos nem lehet túl prktikusn összegezni z [, ] trtományon úgy, hogy z-t hsználjuk, mint integrálási változót. Éremes áttérni szög szerinti prméterezésre. Ekkor ϕ szög [ α h,α h ] trtományt járj be, hol sin α h = +. (-3) cos ϕ A ϕ és z közötti összefüggést z ábráról olvshtjuk le. A ϕ szögnél lév ϕ szög ltt látszóó z rb r = távolságr vn z O ponttól, vgyis kiemelt háromszög befogój b = rϕ = háromszögben b = z cos ϕ, vgyis Így (ϕ) = µ 0 π 1 r 3 Melyet integrálv: = vezet = µ 0 π z = cos ϕ ϕ = µ 0 π = µ 0 cos ϕ ϕ = π α h + és mivel itt =, így α h cos ϕϕ. A erékszög cos ϕ. (-) ϕ 1 ( cos ϕ ) 3 cos ϕ ϕ = µ 0 cos ϕ ϕ. π (-5) µ 0 π [sin ϕ]α h α h = µ 0 π sin α h (-6), (-7) A teljes hurokr ennek négyszeresét kpjuk, így = µ 0. (-8) π hurok = µ 0. (-9) π

3 Fizik AE, 10. feltsor megolások 3. felt: Toroink nevezik zt z eszközt, mikor egy hosszú tekercset gy r lkbn önmgáb visszhjlítunk. A jöv energiforrásként emlegetett hirogén fúziós rektorok egyik kísérleti pélány z ún. Tokmk. Ez lényegében egy igen ngy mágneses tér létrehozásár lklms toroi, melynek középvonlábn tlálhtó mgs h mérséklet hirogéngázból keletkezett plzm. Egy bizonyos tokmk bels sugr 1 = 0,7 m, küls sugr peig = 1,3 m. Összesen N = 900 menet veszi ül toroi gy r t, és minen egyes menetben = 1000 A árm folyik. ) Mekkor mágneses tér er ssége bels sugár közelében? b) Mekkor mágneses tér er ssége középvonlnál? c) Mekkor mágneses tér er ssége küls sugár közelében? 1 3-A. ábr A mágneses inukciót z Ampère-törvény segítségével számoljuk, mely kimonj: s = µ 0 bent, (3-1) zárt hurok hol bl ollon mágneses inukció vonlintegrálj áll egy ott zárt hurok mentén, míg jobb ollon hurok áltl bezárt árm el jeles összege szerepel. H egy ármot hurok jobb kéznek megfelel en öleli be, kkor zt pozitív, h bl kéznek megfelel en, kkor negtív el jellel kell gyelembe venni. Ennek lklmzásához zzl közelítéssel élünk, hogy toroi ngyon s r n vn tekercselve, így renszer forgásszimmetrikus nnk tengelyére. H ez igz, kkor kilkuló mágneses tér is forgásszimmetrikus lesz, vgyis létrejöv tér ngyság csk z r sugártól függ. Válsszunk egy r sugrú vonlt zárt huroknk. A üljárás irány legyen megegyez tér irányávl. Mivel s és ngyság független ttól, hogy z ott r sugrú mentén hol vgyunk, így s = (r) s = (r)rπ. (3-) A befogllt árm r függvényében változik. H r < 1 kkor hurkon belül nincs árm, vgyis mágneses inukció is null. J 1 < r <, kkor bent = N, hiszen bels sugár mentén felfele folyik z árm tekercs meneteiben. Ekkor (r) = µ 0N rπ. (3-3) A < r trtományon szintén z összes bezárt árm null, vgyis ott sincs inukció. Összefogllv tehát: 0 r < 1 µ (r) = 0 N rπ 1 < r <. (3-) 0 < r A válsz felt három kérésére: ( ) 1 + ( 1 ) = 3,6 T, =,5 T, ( ) = 1,9 T. (3-5) 3

4 Fizik AE, 10. feltsor megolások y P x. felt: Az x y síkbeli koorinátrenszer tengelyei mentén egy, z origóbn megtört kábel vezeti z ármot következ móon: z y = irányból érkez árm koorinátrenszer középpontjáig egyenesen hl, itt kábel megtörik, és z árm z x = iránybn z x tengely mentén távozik. Mekkor mágneses tér er ssége z x tengely mentén, z x > 0 pontokbn? -A. ábr A feltbn szerepl vezet felbonthtó két rbr. Az zonnl óik, hogy z x tengellyel párhuzmos rész nem mágneses inukciójárulékot P pontbn, hiszen vezet rbokt és P pontot összeköt vektor párhuzmos z árm folyásirányávl, vgyis iotsvrt-törvényben szerepl keresztszorzt null lesz. Az y tengellyel párhuzmos rész járulékát peig. felt ereménye lpján tujuk egyszer en számolni. Szimmetriokok mitt félegyenesnek fele kkor mágneses inukciót kell létrehozni, mint végtelen hosszú vezet nek. Annk terét peig másoik feltbn z α h π htáresetben kpjuk: végtelen egyenes = lim α h π µ 0 πx sin α h = µ 0 πx, (-1) honnn (P -ben) = µ 0 πx. (-) (r) (r) r 5. felt: Ngyon hosszú, sugrú, egyenes kábelben 0 árm folyik. Tételezzük fel, hogy z árms r ség vezet egész keresztmetszetében állnó. Hogyn függ kábel áltl keltett mágneses tér ngyság kábel középvonlától mért távolságtól kábel belsejében z r < trtománybn és z r > térrészben kábelen kívül? Ennek feltnk megolásához is z Ampère-törvényt fogjuk hsználni. A hengerszimmetri mitt válsszunk itt is lkú integrálási utt. A tér itt is érint irányú lesz és ngyság csk sugártól függhet. Az Ampére-törvény bl ollán szerepl vonlintegrál: s = (r) s = (r)πr. (5-1) 5-A. ábr H r > kkor teljes ármot mgáb fogllj hurok: bent =. Azonbn h r <, kkor z ármnk csk egy részét kerüljük meg. Mivel z ármeloszlás egyenletes, így bezárt felület és teljes keresztmetszet rány j meg bezárt árm mennyiségét: bent (r) = r π π. (5-) Ezek lpján (r) = { µ0 r π r < µ 0 1 π r < r. (5-3)

5 Fizik AE, 10. feltsor megolások 6. felt: Két hosszú vezet rbot, melyek tömege méterenként µ = 0 g, szorosn egymás mellé, vízszintesen mennyezetre függesztünk l = 6 cm hosszú cérnrbokkl. Minkét kábelbe ármot vezetünk, melyek htásár vezet k egymástól eltávolonk. Ekkor két kábelt trtó cérnszálk ϑ = 16 -os szöget zárnk be egymássl. ) A két vezet ben zonos vgy ellenkez iránybn folyik z árm? b) Mekkor z ármer sség? ) A két eset felrjzolásávl meggy z hetünk rról, hogy vezetékekben ellentétes iránybn kell folyni z ármnk. H z árm befelé folyik, kkor bl olli vezeték áltl létrehozott mágneses tér lefelé mutt jobb olli vezeték helyén. tt Lorentz-er kkor mutt jobbr, vgyis olyn irányb, hogy vezetéket eltszíts másiktól, h bbn kifelé folyik z árm. A forított eset is ellen rizhet, bl olli vezetékre is tszító er t kpunk. b) Vegyünk s hosszúságú vezetékrbokt. H felírjuk z er k egyenl ségét vízszintes és függ leges iránybn: honnn K-t eliminálv x : 0 = F L K sin ϑ (6-1) y : 0 = K cos ϑ µ s g, (6-) F L K mg l K mg ϑ F L F L = µsg tg ϑ. (6-3) 6-A. ábr A Lorentz-er : F L = s, hol -t z el z feltok lpján már tujuk = µ 0 π. könnyen meghtározhtó, hiszen = l sin ϑ, mellyel: F L = µ 0 s πl sin ϑ. (6-) A Lorentz-er re felírt két kifejezés egyenl ségéb l: µsg tg ϑ = µ 0 s πl sin ϑ (6-5) πlµg tg ϑ = sin ϑ. (6-6) µ 0 7. felt: Egy sugrú, fél lkr hjlított vezet hurokbn ngyságú árm folyik. A vezet z x y síkbn fekszik. A mágneses inukció z y tengellyel párhuzmos, és nnk pozitív irányáb mutt. Számítsuk ki z egyenes, illetve hjlított szkszokr htó er ngyságát! ϑ F L Az egyenes szkszr htó er t ngyon egyszer kiszámolni, hiszen vezet végig mer leges mágneses inukciór: F egyenes =, (7-1) F L ϑ 7-A. ábr 5

6 Fizik AE, 10. feltsor megolások mely síkr mer legesen felfelé mutt. A fél lkú vezet rbbl kissé bonyolultbb helyzet. A ϑ szög ltt lév l = ϑ hosszú vezet rb ϑ szöget zár be mágneses inukcióvl, vgyis ott Lorentz-er járulék: F L = l = ϑ sin ϑ ( e z ). (7-) Vgyis z összes rb járulék lefelé mutt. A teljes félre ezeket tujuk összegezni: F fél = fél π F L = 0 sin ϑ ϑ = [ cos ϑ] π 0 =. (7-3) 1 F 1 F F e 1 F b Tehát láttjuk, hogy félre és z egyenes részre is ugynkkor er ht, csk ellentétes iránybn. Ez zt ereményezi, hogy vezet hurok el fog forulni mágneses térre mer leges iránybn. 8. felt: Egy hosszú, egyenes vezet és egy tégllp lkúr hjlított vezet keret egy síkbn fekszik. A tégllp rövi oll = 0,15 m, hosszú oll b = 0,5 m. Az egyenes vezet és tégllp hosszú oll egymássl párhuzmosk, z egyenes vezet és tégllp közelebbi élének távolság c = 0,1 m. Az egyenes vezet ben folyó árm 1 = 5 A, keretben peig = 10 A árm kering. ) Számítsuk ki keret egyes rbjir htó er t! b) gz-e, hogy keretre htó er k ere je null? Mgyrázzuk meg z ereményt! c 3 F 3 8-A. ábr ) Az egyenes vezet áltl létrehozott mágneses inukció ngyság (r) = µ 0 1 πr. (8-1) Az egyes ollkr htó Lorentz-er k irányát jobbkéz szbály segítségével tujuk meghtározni. A két vezet vel párhuzmos ollr htó er ngyság: F = µ 0 1 π( + c) b, F = µ 0 1 πc b. (8-) A mer leges ollknál mágneses inukció ngyság változik vezet mentén, így ott lokálisn kell vizsgálni z er ket. A 1-es oll végtelen vezet t l x távolságbn lév x hosszú rbjár htó er ngyság vgyis teljes ollr htó er : F L = µ 0 1 πx x, (8-3) F 1 = 1-es oll F L = +c c µ 0 1 πx x = µ 0 1 [ln x] +c c = µ 0 1 ln + c. π π c (8-) Hsonlón 3-s ollr is ugynezt z ereményt kpjuk. 6

7 Fizik AE, 10. feltsor megolások b) Azt látjuk, hogy z 1-es és 3-s er kiejtik egymást, hiszen ugynkkorák és egymássl ellentétes irányúk. Azonbn -es és -es er nem ugynkkor, hiszen más távolságbn vnnk zok z ollk z egyenes vezet t l, így más mágneses inukciót éreznek. Az ere er : F e = F F = µ 0 1 b π mely z egyenes vezet felé mutt. ( 1 c 1 + c ), (8-5) 9. felt: Egy elektron V = 00 V feszültséggel felgyorsítv olyn térrészbe érkezik, hol homogén mágneses tér ngyság = 1,7 T. Az elektron töltésének ngyság e = 1, C. ) Mekkor lehet legngyobb és legkisebb er, mely z elektronr ht? b) Mit l függ z er ngyság? Az elektronr htó Lorentz-er : F L = qv = ev, (9-1) melynek ngyság F L = ev sin ϕ, hol ϕ sebesség és mágneses inukció áltl bezárt szög. A Lorentz-er ngyság bezárt szögt l függ. H bezárt szög 0, kkor Lorentz-er elt nik, illetve h t ϕ = 90, kkor z er mximális. A Lorenzt-er ngyságánk kiszámításához tununk kell z elektron sebességét. H V feszültséggel gyorsítottuk, kkor z elektron energiáj E = V e. Ez megegyezik z elektron mozgási energiájávl: V e = 1 V e mv v = m. (9-) A Lorentz-er mximális értéke V e F L = ev = e m = 1,7 T (1, C) 3 00 V 9, kg (9-3) = 7, N. (9-) 10. felt: Egy proton v = 10 6 m/s sebességgel hl át egy = 1,7 T ngyságú mágneses téren. A mágneses térrel vló kölcsönhtás mitt protonr F L = 8, N ngyságú er ht. Mekkor szöget zár be proton sebességének irány mágneses térrel? A proton töltése e = 1, C. A megoláshoz hsználjuk z el z feltbn szerepl összefüggést: sin ϕ = F L ev = 8, F 1, C 10 6 m = 0.75 s 1,7 (10-1) ϕ = 8,9. (10-) Ez zonbn nem egy egyértelm iránynk felel meg, hiszen sebességvektor egy kúpfelületen lehet. 10-A. ábr 7