Egy feladat a gördülő kerékről

Átírás

1 1 Egy feldt gördülő kerékről Az orosz nyelvű mechniki szkirodlom tnulmányozás során láttuk, hogy sokt fog - llkoznk merev test síkmozgásánk tárgyláskor P sebességpólussl, illetve Q gyorsuláspólussl. E két, áltlábn nem egybeeső pontbn mozgó test sebessége, illetve gyorsulás zérus. Az [ 1 ] és [ ] munkákbn tláltunk egy - egy feldtot, melyek együt - tes nem teljes tnulmányozás hsznos lehet tém iránt érdeklődőknek. A feldt Egy sugrú kerék csúszás nélkül gördül egy egyenes sínen. A kerék O 1 középpontj sebességének skláris komponense v O1, gyorsulásáé w O1. Írjuk fel kerékhez mereven kpcsolt, nnk középpontjától l távolságr lévő M pont mozgásegyenleteit, sebességét és gyorsulását, mjd htározzuk meg P sebességpólus, vlmint Q gyorsuláspólus helyét! A megoldás Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! 1. ábr forrás: [ 1 ] A mozgás leírásához egy álló Oxy és egy mozgó O 1 x 1 y 1 koordinát - rendszert válsztunk, z 1. ábr szerint. E két k. r. tengelyei mozgás folymán párhuzmosk mrdnk. A mozgás megkezdésének pillntábn z y 1 tengelytől z ór járásávl egyező forgás - értelemben számított elfordulási szögre:

2 φ t = 0 = 0, ( 1 ) így ekkor z M pont koordinátái: x M t = 0 = x 01 (t = 0), y M t = 0 = y 01 + l. ( ) A kerék tiszt gördülése mitt: dx O1 dφ = 0 dx O1 dt dφ = 0 v dt O 1 (t) ω(t) = 0 ω(t) = v O1 (t). ( 3 ) Eszerint tudjuk, hogy kerék és sín P érintkezési pontjábn sebesség zérus, vgyis P pont kerék - mozgás sebességpólus. Most ( 3 ) differenciálásávl: ε t = dω (t) = d dt dt ε t = w O1 t v O 1 (t) = 1 d dt v O1 (t) = w O1 t, tehát:. ( 4 ) Az láhúzott ( 3 ) és ( 4 ) összefüggések tiszt / csúszásmentes gördülés esetében állnk fenn. H tehát ismerjük sínen gördülő, sugrú kerék középpontjánk sebességét és gyorsulását, kkor ( 3 ) - ml ismert szögsebessége, ( 4 ) szerint pedig szöggyorsulás. A kerék, illetve hozzá mereven rögzített M pont mozgásegyenletei z lábbik: x M t = x 01 t + l sin φ(t), ( 5 ) y M t = y 01 + l cos φ t. ( 6 ) A kerék M pontjánk helyvektor ( 5 ) és ( 6 ) - tl is: r M t = x M t i + y M t j, ( 7 ) hol i és j k. r. - ek tengelyei menti egységvektorok. A M pont sebességének komponensei ( 5 ) és ( 6 ) differenciálásávl: v M,x = dx M t = d x dt dt 01 t + l dφ cos φ t = v dt O 1 (t) + l ω(t) cos φ t, tehát: v M,x = v O1 (t) + l ω(t) cos φ t ; ( 8 ) hsonlón: v M,y = l ω(t) sin φ t. ( 9 )

3 3 Az M pont sebességvektor ( 8 ) és ( 9 ) - cel is: v M t = v M,x t i + v M,y t j. ( 10 ) A M pont gyorsulásánk komponensei ( 8 ) és ( 9 ) differenciálásávl: w M,x = dv M,x t = d dω (t) v dt dt O1 (t) + l cos φ t ω (t) sin φ(t) = dt = w O1 t + l ε t cos φ t ω t sin φ t, tehát: w M,x = w O1 t + l ε t cos φ t ω t sin φ t ; ( 11 ) hsonlón: w M,y = l ε t sin φ t + ω t cos φ t. ( 1 ) Az M pont gyorsulásvektor ( 11 ) és ( 1 ) - vel is: w M t = w M,x t i + w M,y t j. ( 13 ) A Q gyorsuláspólus gyorsulás zérus(vektor), így ( 13 ) - ból M Q cserével: w Q t = w Q,x t i + w Q,y t j = 0, zz gyorsuláspólusr: w Q,x t = 0, w Q,y t = 0. ( 14 ) Most ( 11 ), ( 1 ) és ( 14 ) - gyel, vlmint l l Q - vl és φ φ* - gl: w O1 + l Q ε cos φ ω sin φ = 0, ( 15 ) l Q ε sin φ + ω cos φ = 0, l Q 0. ( 16 ) Most ( 16 ) összefüggésekkel: ε sin φ + ω cos φ = 0, ebből: ε cos φ = = ω sin φ ctgφ = tg 90 φ = tg φ 90 = tgα, tehát: tgα = ε, ( 17 / 1 ) ω innen: α = φ 90 = rctg ε. ( 17 ) ω Mjd ( 15 ) képlettel: w O1 + l Q ε cos φ ω sin φ = 0 ε cos φ ω sin φ = w O1 l Q. ( 18 ) átlkításokkl:

4 4 ε ω cos φ sin φ = w O1 l Q ω, ε ω cos φ + sin φ = w O1 l Q ω ; ( 19 ) most ( 19 ) - cel és ( 17 ) előtti képletsorrl: cos φ cos sin φ φ + sin φ = w O1, l Q ω cos φ +sin φ sin φ 1 sin φ = w O1 l Q = w O1 l Q, 1 = w O1 sin φ l Q ω cos φ +sin φ sin φ = w O1 l Q ω, innen: 1 + ctg φ = w O1 l Q ω, ( 0 ) mjd ( 17 ) előtti képletsorrl és ( 0 ) - szl: 1 + ε = w O1, ω 4 l Q ω ε +ω 4 ω 4 = 1 ω 4 w O1 l Q ε + ω 4 = w O1 l Q ε + ω 4 = w O1 l Q, innen: l Q = w O1 ε +ω 4. ( 1 ) A ( 17 ) és ( 1 ) képletekkel meghtároztuk kerék - mozgás Q gyorsuláspólusánk helyét. ábr. A ( 17 / 1 ) képletet még tovább lkíthtjuk; ( 3 ) és ( 4 ) - gyel:. ábr

5 5 tgα = ε ω = w O1 v O = w O1, tehát: 1 v O 1 tgα = w O1 v O 1 α = rctg w O1 v O 1 ; ( ) A ( 1 ) képletet még tovább lkíthtjuk; ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: l Q = l Q = w O1 ε +ω 4 = w O 1 ε 1+ ω 4 ε = 1+ v O1 w O 1 wo1 = ε 1+ ω 4 ε w O 1 ε 1+ ω ε = 1+ctg α, innen ( ) - vel is:. ( 3 ) A ( ) és ( 3 ) képletek feldt bemenő dtivl fejezi ki gyorsuláspólus helyét megdó polárkoordinátákt, mozgó k. r. - ben. A derékszögű koordináták. ábr szerint: x 1,Q = l Q cos α, y 1,Q = l Q sin α. ( 4 ) 1. SZÁMPÉLDA [ ] Egy 40 cm sugrú henger gördül csúszásmentesen egy vízszintes síkon. A henger C kö - zéppontjánk sebessége 0, 4 m / s, gyorsulás 0, m / s, egy dott pillntbn. A henger véglpjir szimmetrikusn elhelyezve mereven ráerősítünk egy - egy 50 cm sugrú körtárcsát, melyek nem kdályozzák henger mozgását. Htározzuk meg tárcsák pill - ntnyi gyorsuláspólusánk helyét! Megoldás Adott: ( A ) = r = 40 cm = 0,4 m ; R = 50 cm = 0,5 m ; v O1 = v C = 0,4 m s ; w O1 = w C = 0, m s ; Keresett: α, l Q.

6 6 A feldt jellemző dtit 3. ábr fogllj össze. 3. ábr forrás: [ ] A megoldás eredményét 4. ábr szemlélteti. A gyorsulásvektorok α* szöget zárnk be QM szksszl. 4. ábr forrás: [ ] Most ( ), ( 3 ) és ( A ) - vl: α = rctg w C r v C α 6,6. = rctg 0, m s 0,4 m 0,4 m s = rctg 1 = 6,565, tehát: ( ) l Q = r 1+ v C w C r = 0,4 m 0,4 m s 1+ 0, m s 0,4 m = 0,4 m 1+4 = 0,4 5 m = 0,1789 m 0,179 m, tehát: l Q 0,179 m. ( b )

7 7 Megjegyzések: M1. A számpéld esetében P sebességpólus henger keresztmetszeti körének és sík e kört érintő egyenesének érintési pontjábn vn. A henger sebességeloszlás z 5. ábrán szemlélhető. A sebességvektor merőleges PM szkszr; itt M: B, C, D, E. 5. ábr forrás: [ ] Jvsoljuk, hogy z érdeklődő Olvsó rjzolj meg számpéldbeli tárcsák sebesség - eloszlási ábráját is! M. A 4. ábrán szemléltették zt z idevágó tényt / tételt is, hogy síkmozgást végző merev test bármely M pontj gyorsulásánk ngyság rányos pontnk Q gyorsulás - pólustól mért távolságávl; pl.: ( 1 ) szerint: l Q = w O1 ε +ω 4 w O 1 = l Q ε + ω 4, l Q = l CQ. ( 5 ) M3. A szkirodlombn más képletek is tlálhtók gyorsuláspólus helyének meghtá - rozásár; [ 3 ] - bn tláltuk z lábbikt. A Q gyorsuláspólus x Q, y Q koordinátái mozgó koordinát - rendszerben, részben z itteni jelölésekkel is: x Q = ω w Ox ε w Oy ε +ω 4, y Q = ω w Oy +ε w Ox ε +ω 4 ; ( 6 ) esetünkben w Oy = 0, ( 7 ) így ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

8 8 x Q = ω w Ox ε +ω 4, y Q = ε w Ox ε +ω 4. ( 8 ) A O 1 Q szksz hossz, ( 8 ) - cl is: l Q = x Q + y Q = = w Ox ε +ω 4 = w Ox ε +ω 4 = ω w Ox ε +ω 4 + ε w Ox ε +ω 4 = w Ox ε +ω 4 ε + ω 4 = w O1, egyezésben ( 1 ) - gyel. ε +ω 4 Az O 1 Q szksznk z x 1 tengellyel bezárt szögére, ( 8 ) - cl is:: tgα = y Q x Q = ε w Ox ε +ω 4 ω w Ox ε +ω 4 = ε, egyezésben ( 17 / 1 ) - gyel. ω M4. A tárgylt feldtbn szokásos pozitív forgás - értelemhez képest ε < 0, így z α* szöget z x 1 tengely lá hordtuk fel. H ε > 0, kkor z x 1 tengely fölé hordjuk fel. Az α* szög ngyságár fennáll, hogy 0 α 90, ( 9 ) mint z ( 17 / 1 ) vizsgáltávl beláthtó. ( 17 / 1 ) - ben fontos figyelni ε előjelére. Ezzel összefüggésben megemlítjük, hogy ( 8 ) képletek lklmzáskor feldtunkbn fennáll z helyzet, hogy w Ox > 0 ε < 0 x Q > 0, y Q < 0, ( 8 / 1 ) hogyn z számpéldábn is dódott. Érdemes felhívni figyelmet rr tényre, hogy ( 6 ) képletek levezetése során φ > 0 szög z 1. ábráévl ellentétes értelmű. Az 1. ábr szög - felvételét z indokolj, hogy z ottni mozgás során természetesen előálló elfor - dulási szöget vették pozitívnk. Ezzel szemben ( 6 ) képlet vektoros levezetése során mtemtikábn szokásos előjelszbályt lklmzták; eszerint forgás pozitív, h z ór járásávl ellentétes értelmű. Az elkeveredés megkdályozhtó, h képleteinket egyfjt előjelszbállyl vezetjük le és lklmzzuk. Egyébként nem bj, h látunk többféle képle - tet és zok lklmzását is. E részletkérdéssel zért fogllkozunk ilyen sokt, mert egy tnkönyvet felütve tlálunk egyfjt képleteket, mikkel esetleg nem ugynzon ered - ményre jutunk, mint máshonnn szármzókkl. Az eltérés ok lehet z előjelszbály is. M5. Nem feledhetjük, hogy feldtunkbn l Q (t) = 1+ v O1 (t) w O t 1, α (t) = rctg w O1 (t) v O 1 (t),

9 9 vgyis áltlábn gyorsuláspólus helye is függvénye z időnek. Ezt is jelzi számpéld szövegének z egy dott pillntbn része. Feldtunkbn Q helye változtln, h w O 1 (t) v O 1 (t) = k = konst. w O1 t = K v O1 t, K = k. ( 30 ) M6. Most nézzük meg, hogy mit mondnk P sebességpólus helyéről z egyenletek! ( 8 ) és ( 9 ) lpján: v P,x = v O1 + l P ω cos φ = 0 ; v M,y = l P ω sin φ = 0, l P ω 0. ( 31 ) Először ( 31 / 1 ) és ( 3 ) - ml: v O1 +l P v O1 cos φ = 0 ; v O1 1 + l P cos φ = 0 v O l P cos φ = 0, innen: cos φ = l P. ( 3 ) Másodszor ( 31 / ) - ből: sin φ = 0. ( 33 ) Ezután: sin φ = 1 cos φ = 0 cos φ = ±1. ( 34 ) Most ( 3 ) és ( 34 ) - gyel: cos φ = = 1 l l P =, φ = 180. ( 35 ) P mert > 0, l P > 0. A ( 35 ) összefüggések megerősítik P pont helyéről mondottkt. Látjuk, hogy ez z időtől függetlenül ugynz. M7. A bevezetőben említettük, hogy P és Q pontok áltlábn nem egybeesőek. Most nézzük meg, hogy mikor esnek egybe! Minthogy P pont kerékhez képest z l P =, α* = 90º dtokkl jellemezhető, ezért olyn mozgás - esetet keresünk, mikor ez előáll. A ( 3 ) képlet szerint: l Q = 1+ v O1 w O 1 =, h v O 1 w O 1 = 0 ; ekkor: v O1 = 0, w O1 0 ; ehhez ( ) képlet szerint α = rctg w O1 0 = 90 trtozik. Vgyis zt tláltuk, hogy z éppen mozgásb jövő kerék esetében P = Q. Ez érdekes, mert nekünk is új. ( Vgy csk elfelejtettük? Lehet, hogy sosem tudtuk. )

10 10 M8. A címbeli feldt kiírásábn szerepel z M pont mozgásegyenleteinek felírás is, mint részfeldt. Itt ezt z x M t = x 01 t + l sin φ(t), ( 5 / 1 ) y M t = + l cos φ t egyenletek jelentik, melyekben t 0 t 0 ( 6 / 1 ) x 01 t = x 01 t = 0 + v O1 τ dτ, ( 36 ) v O1 t = v O1 t = 0 + w O1 τ dτ ; ( 37 ) hsonlón: t 0 t 0 φ t = φ t = 0 + ω τ dτ, ω t = ω t = 0 + ε τ dτ. ( 38 ) ( 39 ) A legegyszerűbb w O1 = 0, v O1 = konst. esetben mozgásegyenletek [ 1 ] szerint z lábbik: x M t = v O1 t + l sin v O1 y M t = + l cos v O1 t, ( 40 ) t. ( 41 ) Utóbbik t = 0 φ = 0 ( 4 ) felvétellel állnk elő. A részletszámításokt rábízzuk z érdeklődő Olvsór.. SZÁMPÉLDA A sínen gördülő kerék sugr = 0,4 m, középpontjánk sebessége v O1 = 0,4 m / s. Ábrázoljuk kerék l = 0, l = / 5, l = és l = 5 / 4 dtokkl bíró pontjink pályáját! Megoldás: A feldtot ( 40 ), ( 41 ) egyenletek és feldt dti lpján felírhtó x M t = 0,4 t + l sin 1 t, ( m ) ( 40 / 1 ) y M t = 0,4 + l cos 1 t ( m ) ( 41 / 1 )

11 11 prméteres egyenletrendszerrel megdott görbék ábrázolásávl oldjuk meg, Grph rjzoló progrm segítségével, l különböző értékeire 6. ábr. Az egyes görbék neve: ~ l = 0 : egyenes ( fekete ); ~ l = / 5 : nyújtott ciklois ( zöld ); ~ l = : csúcsos ciklois ( sötétkék ); ~ l = 5 / 4 : hurkolt ciklois ( lil ) görbe. Az egyes görbék egyező futásidőre készültek ( 0 ~ 10 s ), így nem ugynott érnek véget. Utóbbi tény érdekesnek is mondhtó. Gondoljunk bele! 6. ábr.. M9. Az áltlunk látott és hivtkozott orosz nyelvű források közül többen ngyon részle - tesen fogllkoznk e témkörrel. Azonbn tlálkoztunk olyn tnkönyvvel is, hol bár nem hnygolták témát nem volt ilyen prólékos, mondhtni szájbrágós kifejtés, mondván, hogy: A gyorsuláspólusnk kinemtiki szempontból nincs olyn ngy jelentősége, mint sebességpólusnk [ 4 ]. Gynítjuk, hogy sok orosz könyv mint pl. [ 5 ] részletességének ok z, hogy e nem éppen könnyű témkörbe jobbn bedolgozz mgát tnuló. Ezzel egyet tudunk érteni. Igz, rengeteg időt igényelhet, főleg, h szerkesztéses megoldási módokr is részletesen kitérnek. Bizony, Mechnik időigényes tudomány.

12 1 M10. Ebben z írásunkbn némi óvtossággl igyekeztünk elővezetni e nem éppen sláger - tém néhány érdekesnek is mondhtó részletkérdését, nem törekedve teljes kifejtésre. Ez itt mi játékunk / játékr vló felhívásunk. Akit érdekel, bekpcsolódht, hiszen z lábbi források mind elérhetők z interneten, így z itt nyitv hgyott kérdések - nek nem nehéz utánnézni. Élvezzük játékot! Források: [ 1 ] M. I. Bty ~ G. Ju. Dzsnelidze ~ Kel zon: Tyeoretyicseszkj mehnyik v primerh i zdcsh Tom I.: Szttyik i gyinmik Izd. 7., Nuk, Moszkv, [ ] A. A. Jblonszkij ~ V. M. Nyikiforov: Kursz tyeoretyicseszkoj mehnyiki Csszty 1.: Szttyik, kinyemtyik Izd. 5., Vüszsj skol, Moszkv, [ 3 ] L. G. Lojcjnszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehnyiki, Tom I. Szttyik i kinyemtyik Izd. 8., Nuk, Moszkv, 198. [ 4 ] Szli József: Műszki mechnik III. Kinemtik és kinetik Jegyzet, Erdészeti és Fipri Egyetem, Fipri Mérnöki Kr, Sopron, [ 5 ] Sz. M. Trg: Krtkij kursz tyeoretyicseszkoj mehnyiki Izd. 10., Vüszsj skol, Moszkv, Sződliget, Összeállított: Glgóczi Gyul ny. mérnöktnár